Depto. de Matemática, Faculdade de Ciências FC/UNESP. CEP: , Bauru, SP.

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1 September -8, Ro de Jaero, Brazl UM MÉODO PRIMAL-DUAL DE PONOS INERIORES BARREIRA LOGARÍMICA MODIFICADA COM ESRAÉGIAS DE AJUSE CÚBICO E DE CONVERGÊNCIA GLOBAL PARA PROGRAMAÇÃO NÃO-LINEAR E NÃO- CONVEXA. Programa de Pós-Graduação em Egehara Elétrca, Faculdade de Egehara de Bauru FEB/UNESP. CEP: 7-6, Bauru, SP. Depto. de Matemátca, Faculdade de Cêcas FC/UNESP. CEP: 7-6, Bauru, SP. arbalbo@fc.uesp.br RESUMO Neste trabalho apresetamos um método prevsor-corretor prmal-dual de potos terores barrera logarítmca modfcada com estratégas de auste cúbco e covergêca global (MPIBLMCG-EX para programação ão-lear e ão-covexa. O trabalho vsa o estudo de uma técca de auste cúbco para fuções barrera logarítmca modfcada que preserve a cotudade e as dervadas de prmera e de seguda ordem do logartmo as proxmdades da frotera da regão de vabldade defda pelas restrções de desgualdades e de uma técca de covergêca global que gere somete dreções de descda mesmo que o problema de otmzação sea ão-lear e ão-covexo. Essas téccas são combadas um método prevsor-corretor prmal-dual de potos terores (MPIBLM. O método resultate é aplcado um problema de Fluxo de Potêca Ótmo Reatvo cua fução obetvo e o couto de restrções são fuções ão-leares e ão-covexas. Neste trabalho apresetamos os resultados da aplcação do método em destaque sobre o sstema elétrco IEEE-6. PALAVARAS-CHAVE. Programação Não-lear. Método de Poto Iteror Prmal-Dual. Covergêca Global. ABSRAC I ths paper we preset a predctor-corrector prmal-dual teror pot logarthmc barrer modfed method, wth global covergece ad cubc fttg strateges for o-lear ad ocovex programmg (MPIBLMCG-EX. he wor ams at the study of a cubc fttg techque to modfed logarthmc barrer fuctos that preserves the cotuty ad the frst ad secod order dervatves of the logarthm ear of the feasblty rego boudary defed by equalty costrats ad a global covergece techque that geerates oly descet drectos eve f the optmzato problem s olear ad o-covex. hese techques are combed a predctor-corrector prmal-dual teror pot method (MPIBLM. hs method s appled to a Reactve Optmal Power Flow problem whose obectve fucto ad costrat set are o-lear ad o-covex fuctos. I ths paper we preset the applcato results of the hghlghted method over the IEEE-6 electrcal system. KEYWORDS. Nolear Programmg. Prmal-Dual Iteror ad Exteror Pot Method. Global Covergece. 98

2 September -8, Ro de Jaero, Brazl. O método prevsor-corretor Para a defção do método prevsor-corretor prmal-dual de potos terores barrera logarítmca modfcada (MPIBLM, cosderamos o segute modelo geral de otmzação ãolear com restrções de gualdade, de desgualdades caalzadas e de varáves caalzadas: M f ( x s. a : g( x = u ( h x u l x l em que: x R, f ( x : R R é a fução obetvo, g( x : R R e h ( x : R R são fuções de classe C. Cosdera-se, também, a codção de qualfcação de restrções proposta por (Magasara & Fromovtz, 976 para o desevolvmeto do método. O problema (. é trasformado em problema de otmzação ão-lear rrestrto e equvalete, de acordo com (Sousa, 6 a qual utlza a fução barrera modfcada apresetada por (Polya, 99, a segur: r r M L( ω = f ( x µ ( δ l ( z µ ( l ( ( l ( ( l δ z µ δ z µ δ ( z + = = = = m r + ( λ gt ( x + ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( t λ h x + u + z + λ h x u + z + t= = + ( λ ( x + ( l + ( z + ( λ ( x ( l + ( z = m r (. (. r δ = δ = R e + ode: µ R * é o parâmetro de barrera (,...,, (,..., r r = ( δ,..., δ, (,..., = δ δ + m Lagrage λ = ( λ,..., λ m r restrções de gualdade = ( λ,..., λ = ( λ,..., λ + δ δ δ δ + δ δ R são vetores estmadores dos multplcadores de R é o vetor de multplcador de Lagrage referete às λ,λ R são os vetores de r multplcadores de Lagrage referete às restrções de desgualdade λ = λ,..., λ, λ = λ,..., λ R + são os vetores de multplcadores de Lagrage ( ( referete às varáves caalzadas ( z,..., z, ( z,..., z ( z,..., z, ( z,..., z = = r r z = z = R e r r z z = + µ, z z R são varáves de folga ( z ( z = + µ, z ( z = + µ z z = + µ e ( são as varáves prmas defdas pela relaxação das restrções de desgualdade de (. em relação às varáves de folga z >, z >, z > e z > tas que: z > µ, z > µ, z > µ e z > µ m+ + r ( 5 ω = x,λ,λ, z R, =,...,. é o vetor de varáves da fução lagragaa 99

3 September -8, Ro de Jaero, Brazl aumetada teror L( ω. As codções de KK são recuperadas ao aplcarmos a codção ecessára de otmaldade L( ω =. Essas codções são apresetadas a segur: ( x g( x λ h( x ( λ λ λ λ g( x h( x h( x u u z z,... xl = f = L = = λ L = + + = L ( λ ω = L = + = λ = L = + + = λ x l z λ L = x l + = z L = Z z λ µ = δ (. m r ode: g( x R e h( x R são, respectvamete, as matrzes acobaas dos (,,...,. fucoas g( x e h( x e Z = dag ( µ + z = O sstema ão-lear L( ω = learzado por um aproxmate de aylor de prmera ordem sobre o poto ω + d ω, resulta o sstema lear expresso a segur: A dω = b (. ode: ( ( ( I I Κ g x h x h x g( x h( x Ir h( x Ir A = I I I I Λ Z Λ Z Λ Z Λ Z (.5 m r em que: Κ = f ( + ( λ gt ( + ( λ λ h ( de ordem r x x x I é a matrz detdade t t= = I é a matrz detdade de ordem r e dag ( λ (,,,..., b é o vetor resdual defdo por: dω = d x,d,d d = e λ λ z Λ =

4 September -8, Ro de Jaero, Brazl em que: (,,...,. z ( x g( x λ h( x ( λ λ λ λ ( (,,..., ( + f + t : g x t : h x z u b = = t : h x z u t : x z l t : x z + l Z λ + µ δ D d z λ z D = dag d = Para a defção do procedmeto prevsor, desprezamos os resíduos ão-leares D d, =,...,, sto é, a pror defmos esses resíduos como ulos, z λ pos descohecemos essas dreções. Essa estratéga é uma varate do método prevsor-corretor de (Wu, Debs, & Marste, 99, dferecado-se do procedmeto defdo por esses autores, pos cosderamos o parâmetro de barrera, defdo as codções de complemetardade apresetadas em (., o procedmeto prevsor, para o cálculo das dreções de busca. Assm, com procedmetos algébrcos, defmos, a segur, o quadro de dreções prmas e duas: ( ( θ ( ( θ ( f ( µ d = g x g x g x x + c + φ + t λ λ ( ( ( ( ( d x c φ g x λ g x d x = θ f + + µ + + λ z = + x d h x d t z x d = h x d + t z x d = d + t z x d = d + t λ µ z d = Z Λ d + Z δ λ, =,...,. ode: ( ( ( ( ( ( θ = Κ + h x Z Λ + Z Λ h x + Z Λ + Z Λ = Z Λ Z Λ + Z Λ Z Λ c h x t t t t e = Z + Z Z + Z. φ h x δ δ δ δ Com as dreções do procedmeto prevsor calculadas, ca-se o procedmeto corretor cosderado os resíduos ão-leares D d, =,...,, pos agora cohecemos essas dreções. O quadro de dreções do procedmeto z λ corretor é aálogo ao do procedmeto corretor. A dfereça está a complemetação de expressões algébrcas sobre o vetor c, em que, para dstgu-lo do procedmeto prevsor, o defremos por c ɶ apresetado a segur: ( ( Z Z D Z Z D z λ z λ cɶ = h x Λ t + d Λ t d + t. d z λ t d z λ + Z Λ + Z D Z Λ Z D (.6 (.7 (.8

5 September -8, Ro de Jaero, Brazl O cálculo do tamaho do passo prmal α p e do tamaho do passo dual α d defdos ( para a dreção ɶ ɶɶ ɶ =, ɶ dω d x,d λ,dλ d z, =,...,, são dados pela varate da regra apresetada em (Gravlle, 99. Esta é apresetada a segur: ( z ( z m, m ( (, ( z ( ( ( > e dz < dz z > e dz < dz =,..., r α p =, m ( z ( z,..., = m, m, ( ( ( z ( ( ( > e dz < dz z > e dz < dz α ( λ ( λ m, m, ( ( ( λ ( ( ' > e dλ < dλ λ ( > e dλ < dλ =,..., r d =, m ( λ ( λ,..., = m, m, ( ( ( λ ( ( ( > e dλ < dλ λ > e dλ < dλ (.9 (. etão, atualzamos o vetor + ω da segute maera: ( x λ λ z ɶ ɶ ɶ ɶ ( ( α p α d α d α p ω = x, λ, λ, z = x, λ, λ, z + d, d, d, d. (. Dado um escalar ε > sufcetemete pequeo, verfcamos se o crtéro de parada + do MPIBLM é satsfeto se a segute codção está satsfeta: L( ω ão sea satsfeto, atualzamos o parâmetro de barrera em que α (, µ ε. Caso o crtéro µ por uma heurístca defda por: + = µ (. µ α µ R é defdo prevamete atualzamos os estmadores dos multplcadores de Lagrage δ pela segute regra varate da técca de (Polya, 99: δ = λ, =,..., (. Em que λ, =,...,, está defdo em (. e recamos o procedmeto prevsor-corretor.. A estratéga de covergêca global Se θ = xx L é defda postva, etão a Decomposção de Cholesy (DC é possível de ser realzada. Caso a DC ão sea possível uma estratéga, que pode ser ecotrada em (Beso, Shao, & Vaderbe, e em (Bazaraa, Sheral, & Shetty, 6, é aplcada ao método. Essa estratéga cosste em uma perturbação sobre a matrz θ a qual é defda da segute maera: ɵ θ = θ + β I (. ode β > é deomado por parâmetro de dampg ou parâmetro de amortecmeto do método de Leveberg-Marquardt, o qual fo desevolvdo para a resolução de problemas de quadrados mímos. Assm, equato a DC ão for satsfeta, a perturbação (. é aplcada, sto é, essa estratéga trasforma o MPIBLM de tal forma a determar e garatr uma sequêca de dreções

6 September -8, Ro de Jaero, Brazl de descda para a determação de ovos potos, covertedo-o em um método prmal-dual com estratéga de covergêca global (CG, sto é, o MPIBLM trasforma-se em MPIBLMCG. O parâmetro β flueca tato a dreção quato o tamaho do passo, assm, a varate do procedmeto de Leveberg-Marquardt aplcado ao MPIBLM é teressate, pos ão ecesstamos de uma busca lear para descobrr o tamaho do passo a ser dado em cada dreção de busca em uma teração qualquer e há o tratameto do mau codcoameto da matrz θ em todo o procedmeto, prcpalmete quado ω tede a solução ótma do problema. Sea lm o úmero de terações ecessáras para torar a matrz θ em defda postva, etão temos o processo teratvo defdo a segur: ( 5 µ µ µ + + lm+ lm β = β µ em que: µ = µ lm e β é defdo por β = β +. Para uma teração que passa do procedmeto corretor para o procedmeto prevsor, ou sea, para uma teração +, podemos atualzar o valor de β de acordo com as defções a segur, que propõe uma modfcação a defção do parâmetro de amortecmeto em relação àquela ecotrada em (Bazaraa, Sheral, & Shetty, 6: Se L( L( + β ω ω <, 5, etão β é atualzado pela heurístca β + = Se L ( L ( + >, 5 Se L( L( + ω ω, etão β é atualzado pela heurístca (.5,5 ω ω,75, etão β ão será alterado. (.5. A estratéga de auste cúbco Na defção do algortmo proposto, a fução logarítmca modfcada exste e auxla o MPIBLMCG em seu procedmeto com potos váves que pertecem à regão de vabldade relaxada (amplada ou aumetada. Porém, a vabldade pode ocorrer em potos que estão próxmos ou que ão perteçam à regão relaxada, cosequete, mplcado a ão-exstêca da fução barrera logarítmca modfcada esse poto. Para suprr essa dfculdade, um auste cúbco, que preserva a cotudade e as dervadas de prmera e de seguda ordem do logartmo a partr de um poto vável, é aplcada ao MPIBLMCG. Esse auste é uma varate do auste quadrátco para fuções barreras modfcadas que pode ser ecotrado em (Perera, 7 e, com mas detalhes, em (Matol,. Por smplcdade, defremos por z uma compoete qualquer dos vetores z, z, z ou z. τ, R : o parâmetro de proxmdade da varável de folga z à frotera Sea ( teror relaxada. Se z τµ, etão a fução barrera modfcada ( z Ψ é defda por: z Ψ ( z = l +. Caso cotráro, se z < τµ, um auste cúbco é defdo pelo polômo a µ q segur: q Ψ ( z = z + z + q z + q 6 τ 5τ + 6τ em que: q = l ( τ +, 6 τ q = ( τ τ + ( µ τ, q = τ ( µ τ e q = ( µ τ (. Quado há a ecessdade de auste, a

7 September -8, Ro de Jaero, Brazl matrz Z é defda por '( + barrera µ é atualzado, se L( q z dag z + q z + q. Neste trabalho, o parâmetro de Ψ = e faça-se o teste: se para todo z obtermos que Caso cotráro, se para algum z obtermos cremeto ou pealzação: ω > ε, atrbudo-se α =,8, ou sea: µ + = (.6 µ, 8 µ + + z τµ + + z < µ, etão (, a heurístca (.6 permaece. µ + recebe o segute µ + =,8 m z, =,...,. (.7 O sal '' '' a expressão (.7 é devdo ao sal de z ser egatvo. Com a estratéga de auste cúbco (EX defdo e aplcado sobre o método MPIBLMCG, temos o método MPIBLMCG-EX.. O MPIBLMCG-EX aplcado ao problema de fluxo de potêca ótmo reatvo Aplcamos, através de uma mplemetação costruída em MALAB 6., o MPIBLMCG-EX ao problema de fluxo de potêca ótmo reatvo (FPO-Reatvo. O FPO-Reatvo é um feômeo observado e estudado o âmbto da egehara elétrca em uma subárea deomada por sstemas de potêcas. O Modelo de um FPO-Reatvo é defdo, segudo (Motcell, 98, a segur: ( NL M f f gm V Vm VVm m = s. a : ( x = ( V, γ = ( + cos( γ γ ( ( γ γ ( γ γ esp Pt = P V G V Vm Gm cos m + Bm se m = m Ω esp Qt = Q ( se ( cos( + V B V Vm Gm γ γ m Bm γ γ m m Ω = u cr V B + V Vm ( Gm se ( γ γ m Bm cos( γ γ m m Ω u cr l V bar bar l bar (.8 em que: f ( x : é a fução obetvo, que represeta as perdas de trasmssão de potêca atva a trasmssão a rede NL : é o úmero de lhas de trasmssão que compõe o sstema V R : é o vetor de tesões, tal que, NB é o úmero de barras do sstema γ NB : Vetor de âgulos V : é a tesão a barra a coectar γ tesão a barra m a ser coectada ( : m : é o âgulo da tesão da barra a coectar V m : é a γ m : é o âgulo da tesão da barra m a ser coectada g é a codutâca da lha a qual coecta as barras e m balaço de potêca atva. O sstema cotém ( NB equações Potêca atva gerada e a Potêca atva cosumda a barra Q t esp P NB P t : é a equação de : é a dfereça etre a : é a equação de balaço de potêca reatva. O sstema cotém NBC equações, ode NBC é o úmero de barras de carga esp Q : é a dfereça etre a Potêca reatva gerada e a Potêca reatva cosumda a barra

8 September -8, Ro de Jaero, Brazl cr : é o úmero de barras de cotrole de reatvos ( NBCR bar : é o úmero de barras do sstema Ω : é o couto de todas as barras vzhas à barra Ym = Gm + Bm, = : é a matrz de Admtâca das lhas as quas coecta com m Ω. Os taps dos trasformadores são todos fxos e, a exstêca de tap em uma lha de trasmssão, utlzamos o verso umérco desse valor para a costrução da matrz Y utlzamos a potêca de base megawatts ( MW, sto é, udade ( MW. m pu equvale a 5. Resultados para o sstema IEEE-6. O sstema IEEE-6 barras, cuo baco de dados fo ecotrado em (Uversty Washgto Electrcal Egeerg, cotém 5 são barras de carga, barras geradoras com cotrole de reatvo e 8 lhas de trasmssão. O sstema cotém restrções de gualdade, detre as quas, 6 são do tpo P e 5 são do tpo Q, e restrções de desgualdades caalzadas em que as caalzações das tesões e âgulos são defdas respectvamete por, 95 V, e -99 γ 99. Icamos o método com V e γ defdos pelo baco de dados cada compoete dos vetores dos estmadores dos multplcadores de Lagrage δ =,...,, é defda por, pu, µ = 5, β =,, τ =, 5. Utlzamos (. para obtermos z e λ, =,...,, e =,...,. A dmesão do vetor ω é 979, sto é, esse cotém 979 varáves. A precsão utlzada é ε 5 = para a verfcação das codções de KK é o crtéro de parada do pu método. A matrz ɵ θ cotém 976 elemetos, detre os quas 8 são ão-ulos, sto é, a matrz cotém,9% de elemetos ão-ulos. O método covergu em 7 terações. As perdas de potêca atva a trasmssão são avaladas * em f ( x =6, MW, a magem pela fução lagragaa está avalada em L( ω * =6, MW, as avalações as restrções de gualdades são avaladas em: ( P = pu e ( Q max,6 max =,96 pu a avalação do gap dual (codções de complemetardade é avalada em ( da solução ótma é avalada em L( ω * 6 = 7,5788 max gap = 6,78976 pu a precsão pu Os parâmetros µ e β são avalados em 6,967 9 e,8, respectvamete. A tabela apreseta os cotroles de reatvos ótmos. Destacamos a barra geradora, pos essa está operado em seu lmtate * superor. Por ser restrção atva em x, seu respectvo multplcador de Lagrage é ão-ulo e é avalado em,8 $ pu. 5

9 September -8, Ro de Jaero, Brazl abela : Os cotroles de reatvos ótmos para o sstema IEEE-6 obtdos pelo método MPIBLMCG-EX. Barra AVALIAÇÃO DOS CONROLES DE REAIVOS (em pu * u h( x -, -,7 -,7 -,66 -, 99, -,5 -, -, -,99 -, -,65 Notamos a fgura que as tesões *,868, , ,986598, , , , , ,9576, , V, V 8 e 6 u,,67 6,5,756,86 99,,,,5 99,,88, V estão operado em seus lmtes máxmos. Por serem restrções atvas em V, seus respectvos multplcadores de Lagrage são ão-ulos. Esses estão avalados, em $ pu, respectvamete por:,99,9987 e,95. Fgura : As tesões ótmas determadas pelo MPIBLMCG-EX em seus lmtes de defção para o sstema IEEE-6. 6

10 September -8, Ro de Jaero, Brazl Fgura : Os âgulos ótmos determados pelo MPIBLMCG-EX para o sstema IEEE-6. método: A fgura apreseta a sequêca de multplcadores de Lagrage λ gerados pelo Fgura : Sequêcas de potos λ gerados pelo MPIBLMCG-EX para o sstema IEEE-6. A fgura apreseta a sequêca de multplcadores de Lagrage λ, =,...,, geradas pelo método. 7

11 September -8, Ro de Jaero, Brazl Fgura : Sequêcas de potos λ, =,...,, geradas pelo método MPIBLMCG-EX para o sstema IEEE-6. A fgura 5 apreseta a sequêca de valores da fução obetvo obtda pelo método em cada teração. Fgura 5: Sequêca de valores da fução obetvo gerados pelo MPIBLMCG-EX para o sstema IEEE-6. A fgura 6 apreseta a evolução do parâmetro de amortecmeto terações. β ao logo das Fgura 6: Evolução do parâmetro de amortecmeto β gerado pelo MPIBLMCG-EX para o sstema IEEE-6. 8

12 September -8, Ro de Jaero, Brazl 6. Coclusões Neste trabalho fo apresetado o método prevsor-corretor prmal-dual de potos terores barrera logarítmca modfcada, com estratégas de auste cúbco e de covergêca global (MPIBLMCG-EX. A efcêca do método fo comprovada devdo aos segutes aspectos: ao procedmeto prevsor-corretor, por cosderar todos os resíduos codzetes às vabldades prmal, dual e codção de complemetardade, sto é, o vetor resdual b é ãoulo cuas compoetes são ão-ulas. Portato, esse cotrbuu ao refameto das dreções de busca, ao tratameto da esparsdade da matrz dos coefcetes A do sstema (.5 e também por explctar as equações de cada uma das dreção de busca à estratéga de covergêca global, a qual é uma varate do método de Leveberg- Marquardt, que austou os autovalores da matrz hessaa θ, torado-os postvos de tal forma que θ torou-se defda postva mesmo que a regão de vabldade sea ão-covexa, e tratou a stabldade umérca ao defrmos um ε > muto pequeo à estratéga de auste cúbco, a qual auxlou ao MPIBLMCG em ocasões extremas em que uma varável de folga z vesse a traspor a regão de vabldade á relaxada pelo método de barrera modfcada ou a ão ateder o crtéro de que z τµ. Essa estratéga os permtu a aplcação de uma ova heurístca para a atualzação do parâmetro de barrera em problemas de programação ão-lear e ão-covexo, de modo a cremetá-lo ou pealzá-lo a teração em que o auste cúbco fosse ecessáro. Cosderado-se os aspectos apresetados acma, o MPIBLMCG-EX apresetou robustez ao solucoar o problema de FPO-Reatvo, que é um problema de otmzação ão-lear e ão-covexo, sobre o sstema elétrco de potêca com 6 barras, realzado 7 terações para obtermos a solução ótma, de maera que o crtéro de parada fosse satsfeto em relação à 7 5 precsão ( L ω. Referêcas Bazaraa, M. S., Sheral, H. D., & Shetty, C. M. (6. Nolear Progremmg: heory ad Algorthms ( ed.. New Jersey: Wley Iterscece. Beso, H. Y., Shao, D. F., & Vaderbe, R. J. (. Iteror-Pot Methods for ocovex olear programmg: Jammg ad comparatve umercal testeg. (P. U. ORFE--, Ed. Operatos Research ad Facal Egeerg. Gravlle, S. (99. Optmal Reactve Dspatch hrough Iteror Pot Methods. IEEE rasactos o Power Systems, 9, 6-6. Magasara, O. L., & Fromovtz, S. (976. he Frtz-Joh ecessary optmalty codtos the Presece of Equalty ad Iequalty Costrats. Joural of mathematcal aalyss ad applcatos, 7, 7-7. Matol, L. (. Uma ova metodologa para costrução de fuções de pealzação para algortmos de lagrageao aumetado. Floraópols, Sata Catara: Programa de Pós-Graduação em Egehara de Produção, Uversdade Federal de Sata Catara. Motcell, A. (98. Fluxo de carga em redes de eerga elétrca. São Paulo: Edgard Blücher. Perera, A. A. (7. O método da fução lagragaa barrera modfcada/pealdade. São Carlos: Escola de Egehara de São Carlos, Uversdade de São Paulo. Polya, R. (99. Modfed barrer fuctos. Mathematcal Programmg, v.5 (, 77. Sousa, V. A. (6. Resolução do Problema de Fluxo de Potêca Ótmo Reatvo Va Método da Fução Lagragaa Barrera Modfcada. ese (Doutorado. São Carlos: Escola de Egehara de São Carlos, Uversdade de São Paulo. Uversty Washgto Electrcal Egeerg. (s.d.. Acesso em 6 de Março de, dspoível em Wu, Y., Debs, A. S., & Marste, R. E. (99. A Drect Nolear Predctor- Corrector Prmal-Dual Iteror Pot Algorthm for Optmal Power Flow. IEEE rasactos o Power Systems, 9,