I Seminário da Pós-graduação em Engenharia Elétrica

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1 MÉTODO PRIMAL-DUAL DE PONTOS INTERIORES EM PROBLEMAS DE DESPACHO ECONÔMICO COM RESTRIÇÃO AMBIENTAL Améla de Lorea Staza Alua do Programa de Pós-Graduação em Egehara Elétrca Uesp Bauru Prof. Dr. Atôo Roberto Balbo Oretador Depto de Matemátca Uesp Bauru RESUMO O trabalho vsa a vestgação e mplemetação dos métodos Prmal-Dual de Potos Iterores para programação quadrátca, com restrções leares e quadrátcas e varáves caalzadas, e a aplcação destes em problemas multobjetvo de Despacho Ecoômco e Ambetal, buscado determar soluções que mmzem os custos dos combustíves empregados a geração termoelétrca de eerga, cosderado como restrção a fução ambetal, lmtada superormete para íves permssíves de emssão. Testa-se uma mplemetação computacoal deste método, realzada em lguagem C++, para a determação de soluções aproxmadas do problema de Despacho Ecoômco e Ambetal, o qual será resolvdo utlzado-se a estratéga de resolução de problemas multobjetvo chamada de método ε-restrto, quado cosdera o problema ambetal como restrção do problema ecoômco. Esta vestgação pretede demostrar a efcêca do Método Prmal-Dual de Potos Iterores a ser desevolvdo, em comparação aos algortmos Geétcos Co-evolutvo, Atávco Híbrdo e Cultural, bem como ao método Prmal-Dual de potos terores, com procedmeto de busca udmesoal, os quas estão dvulgados a lteratura. PALAVRAS-CHAVE: Despacho Ecoômco e Ambetal, Método Prmal-Dual de potos terores, Aplcações em Egehara.. INTRODUÇÃO Problemas de otmzação ão-lear ocorrem em mutas áreas do cohecmeto tas como, matemátca, egehara, agrooma, etre outras. Devdo à sua ãoleardade e quatdade de varáves, estes problemas apresetam dfculdades à sua resolução, assm é de teresse utlzar métodos umércos efcetes para a determação de soluções destes, defdo crtéros de covergêca para tas determações. Detre os problemas de otmzação restrtos ão-leares destaca-se o Problema de Despacho Ecoômco (PDE), ecotrado a área de sstemas de geração de eerga, em Egehara Elétrca. Tal problema aalsa a geração termoelétrca baseado-se em seus aspectos ecoômcos. O PDE é um problema modelado em otmzação ão-lear, que busca otmzar o processo de alocação ótma da demada de eerga elétrca etre as udades

2 geradoras dspoíves mmzado o custo de combustíves empregados a geração termoelétrca. Durate muto tempo, a geração termoelétrca de eerga cosderou apeas estratéga ecoômcas, apesar de esta vr acompahada de desejáves emssões de gases como CO, SO, NO x e partculados. A preocupação pelas questões ambetas fez surgr ovas cosderações para o problema de geração termoelétrca como a modelagem do Problema de Despacho Ambetal (PDA), que busca mmzar a emssão de poluetes, respetado as mesmas restrções operacoas e de demada do PDE. O presete trabalho cosdera a fução ambetal como uma restrção adcoal ao PDE covecoal, lmtada por uma costate que represeta a máxma emssão permssível de poluetes, seja para todo o sstema de geração de eerga ou para cada uma das udades geradoras do sstema. Essa estratéga de resolução de problemas multobjetvo recebe o ome de método ε-restrto e pode ser ecotrada em [9]. A aálse de téccas de solução para a resolução dos problemas em destaque, possblta a vestgação de métodos e de téccas computacoas utlzadas para vestgar problemas de programação quadrátca. O Método Prmal-Dual de Potos Iterores (PDPI), vestgado o presete trabalho, têm se mostrado efcete para a resolução destes problemas. O algortmo prmal-dual de potos terores é defdo utlzado-se de procedmetos baseados a fução barrera logarítmca, defdos em [5] e [6]. Neste trabalho propõe-se uma extesão e aplcação do método Prmal-Dual de potos terores para problemas de programação quadrátca, com restrções quadrátcas e varáves caalzadas, o qual baseou-se os trabalhos [7] e [8], vsado a sua aplcação à determação de resultados dos modelos mult-objetvos de Despacho Ecoômco e Ambetal. Pretede-se demostrar a efcêca do Método Prmal-Dual de Potos Iterores desevolvdo e programado em Lguagem de programação C++, em comparação aos algortmos Geétcos Co-evolutvo, Atávco Híbrdo e Cultural, utlzados, respectvamete, em [0], [] e [], bem como pelo método Prmal-Dual de potos terores, com procedmeto de busca udmesoal desevolvdo em [3]. Este últmo autor utlzou a estratéga do método da soma poderada [9], para a resolução do problema multobjetvo em destaque.. METODOLOGIA. Método Prmal-Dual de Potos Iterores - Modelo O Método Prmal-Dual de Potos Iterores (PDPI) utlza a estratéga de barrera logarítmca e que a prátca, têm se mostrado efcete para a resolução de problemas de programação quadrátca covexa. Este método é varate do algortmo de trasformação projetva de Karmarar [] e fo aalsado e apresetado em [] e [3]. A demostração teórca da complexdade de tempo polomal fo feta com sucesso por esses autores. O algortmo relatvo a este método explora uma fução Prmal-Dual varate da fução barrera logarítmca, deomada de fução potecal. Os métodos serdos a metodologa Prmal-Dual de potos terores, foram amplamete vestgados em [4]. Defremos a segur um problema de mmzação de fuções quadrátcas, com restrções quadrátcas e varáves caalzadas em sua forma geral:

3 Mmzar f ( x) sujeto a gx ( ) 0; Mmzar L f ( x) l( z ) [l( z ) l( z ) ] m j j 3 j j j ( ) [ g ( x)] ( ) [ h ( x) ( u) ( z ) ] 0 j j j j j j j j ( ) [( x) ( l ) ( z ) ] ( ) [ ( x) ( l ) ( z ) ] j h( x) u; l x l x, g :, h : m p ; r r j j j j 3 j j j 3 j (.) Cosderações sobre o problema de mmzação (.): f(x): fução objetvo quadrátca; g(x): restrção lear; h(x): restrção quadrátca lmtada superormete por u; l e l : lmtates feror e superor, respectvamete, da varável x. Ao problema (.) com restrções de desgualdade, serão adcoadas varáves de folga e de excesso, obtedo-se o problema (.) segute: Mmzar f ( x) sujeto a gx ( ) 0; h( x) z u 0; x z l 0 x z l 0 ; 3 (.) m p x, g :, h : Ode: z, z : são varáves de folga relacoadas as restrções de desgualdade meor ou gual; z 3 : varável de excesso relacoada as restrções de desgualdade maor ou gual. O problema (.3) é a trasformação do problema (.) em um problema equvalete e rrestrto, cosderado a fução Lagragaa Barrera Logarítmca relacoada ao problema (.): (.3) Ode: μ: parâmetro de barrera; λ 0, λ, λ, λ 3 : multplcadores de Lagrage relacoadas as restrções de gualdade, desgualdade e caalzadas, respectvamete. Ao problema ateror vestgamos as codções de ª ordem das quas dervam as codções ecessáras de otmaldade de KKT: L( x, z, z, z,,,, ) (.4) Baseado o problema (.4) será apresetado o Método PDPI varate do algortmo de trasformação projetva de Karmarar [] e aalsado e apresetado em [] e [3]. Estes métodos foram amplamete vestgados em [4].

4 . Método Prmal-Dual de Potos Iterores Algortmo Os passos do algortmo relatvo ao método PDPI, que explora uma fução Prmal-Dual Barrera Logarítmca, serão apresetados a segur. PASSO - (Icalzado o algortmo): Ajuste 0. Escolha um poto cal: ( x, 0, z,z, z3,, 3,) e escolha, e 3 úmeros postvos sufcetemete pequeos. PASSO - (Resíduos): Calcule: t t m f ( x) g( x) h( x) ; t 0 g( x); t h( x) z u; t x z l ; t x z l ; 3 3 Z e e; Z e e; Z e e; p h( x) Z h( x) Z t Z Z t Z Z t ; t t t h( x) Z h( x) Z Z L. 3 3 PASSO 3 - (Teste de otmaldade): Crtéros de Parada t0 t )Factbldade prmal:,, t, t 3 ; g( x ) h( x ) ) Factbldade Dual: m ; ) Folgas Complemetares: ;,,3. 3 Se os crtéros de parada forem satsfetos, etão PARE. A solução é ótma. Caso cotráro sga para o PASSO 4. xx

5 PASSO 4 - (dreções de movmeto - prevsor): Determe as dreções de busca: t d ( g( x) g( x) ) ( t g( x) m g( x) p ); 0 t d m p g( x) d ; x d t h( x) d ; z x d t d z x d t d z 3 x 3 x x x 3 ; ; d Z [ ( t h( x) d )]; d Z [ ( t d )]; d Z [ ( t d )]. 0 0 PASSO 5 - (Teste lmtaredade) Se dz 0 e dz 0 ou dz 0,, etão PARE. A solução é lmtada. 3 Caso cotráro sga para o PASSO 6. PASSO 6 - (comprmeto do passo - prevsor): Cosderado as codções de factbldade prmal e dual, respectvamete, os comprmetos do passo são determados pela codção de factbldade Prmal e Dual: Codção de Factbldade Prmal: z dz z3 j Bu dz z m, m, z 0 e dz 0 0 e 0 z dz dz p m m,, z3 0 e dz3 0 j j 3 j ode m{ f ( x) d };0 Bu x Codção de Factbldade Dual: d 3 j d m, m, 0 e d 0 0 e 0 d d d m m, 3 0 e d3 0 j j 3 j PASSO 7 - (Novo poto): Atualze: x x d ; z z d ; z z d ; z z d ; p x p z p z 3 3 p z 3 d ; d ; d ; d. 0 0 D D D 3 3 D 0 3 Faça e volte para o PASSO..3 Problema de Despacho Ecoômco (PDE) O modelo do Problema Despacho Ecoômco (PDE) fo apresetado em [4]. Este é um problema modelado em otmzação ão-lear, e busca otmzar o processo de alocação ótma da demada de eerga elétrca etre as udades geradoras dspoíves mmzado o custo de combustíves empregados a geração termoelétrca. Portato, pretede-se mmzar a fução custo de geração de eerga F e defda a segur, codcoada à restrções de demada e de lmtes operacoas das udades geradoras:

6 e epvi Mmzar F F a P b P c Sujeto a P P D P P P M Max (.5) Ode: F e : fução custo total de geração do DE; F e PVI : represeta os custos de cada udade geradora, sem cosderar o efeto do poto de válvula; a, b e c são os coefcetes da fução custo; P s correspodem às potêcas as quas as udades geradoras devem operar; P D é o valor da demada de eerga; P M e P Max, os lmtes operacoas ferores e superores de saída das udades de geração termoelétrca, respectvamete..3. Problema de Despacho Ecoômco com Restrção Ambetal (DEA) A geração termoelétrca cotrbu cosderavelmete para a elevação da polução atmosférca. Cada qulowatt/hora (KW/h) de eletrcdade produzda pode estar assocado a taxas de emssões através de um fator de emssão. Em países ode o combustível fóssl é usado predomatemete, os mpactos mas séros proveetes da geração elétrca são as emssões de gases a atmosfera como subproduto da combustão. Com essa preocupação, trataremos o PDE apresetado em (.5), codcoado a uma restrção de máxma emssão de poluetes permssível, represetada pela fução ambetal modelada através do fator de emssão, lmtada por uma costate. Cosderamos uma modelagem da fução emssão do Despacho Ambetal, F a, que cosdera a relação etre a quatdade de cada poluete e a saída de potêca da udade, ecotrado os íves de cocetração resultates para esta udade geradora. Em [4] é defda uma fução ambetal F a (P ), através de uma fução polomal de seguda ordem: Fa ( P ) A P B P C (.6) em que, Fa, é a fução emssão assocada à udade ; P são a potêcas de saída dos geradores da udade ; A, B e C são os coefcetes da fução emssão da udade. Os parâmetros A, B e C são determados com base os resultados dos testes de emssão. O total das emssões, represetada pela fução F a, correspode à somatóra das emssões utáras, por gerador: F ( F ) ( P) (.7) a a O PDE (.5), a presete abordagem, será codcoado a restrções ambetas de dos modos: Modelo I - dscrma os lmtes ambetas para cada udade geradora:

7 em (.8) cosdera-se para cada udade geradora, uma fução ambetal Fa defda em (.6), lmtada por uma costate Fa de máxma emssão permssível; Modelo II - cosdera uma úca restrção ambetal: em (.9) cosdera-se uma úca fução ambetal Fa defda em (.7), lmtada por uma costate Fa e defda pela soma das emssões utáras vsta em (.7). Modelo I: Modelo II: e epvi Mmzar F F a P b P c Sujeto a P P D P P P M Max F P A P B P C F a( ) a,,,..., e epvi Mmzar F F a P b P c Sujeto a P P D P P P M Max F ( P) F a a (.8) (.9).4 Aplcação do Método PDPI ao modelo de PDE com Restrção Ambetal No que segue são cosderados os dados para a aplcação do método PDPI defdo a seção 3 e os resultados obtdos pela aplcação deste ao modelo de despacho ecoômco com restrção ambetal defdo pela Modelo I..4. Dados para a Aplcação ao Modelo Para o Modelo I vsto em (.8), cosderam-se: f ( x) F ( P); g( x) b AP; h ( x) F ( P),,...,6; a u F,,...,6; a e l ( P ) ; l ( P ) ; m Para o Modelo II vsto em (.9), cosderam-se: f ( x) F ( P); g( x) b AP; h( x) F F ( P) u F a e a a l ( P ) ; l ( P ) ; m

8 Nessa formulação temos que: P é a potêca gerada por cada udade geradora; (P m ) é a potêca míma gerada por cada udade geradora ; (P ) é a potêca máxma gerada por cada udade geradora. Cosderamos um sstema com 6 udades geradoras proposto em [] e []. As característcas do problema são apresetadas as Tabelas e. Tabela - Característcas do sstema de 6 geradores. Gerador Fução Custo Fução Emssão a b c A B C 0,547 38, ,7986 0,0049 0,3767 3,8593 0, ,596 45,35 0,0049 0,3767 3, , , ,9977 0, , , , , ,53 0, , , ,0 36, ,5696 0,0046-0,56 4, , , ,659 0,0046-0,56 4,89553 Tabela Lmtes Operacoas dos Geradores Cosderam-se os segutes dados, soluções e tolerâcas postvas para a calzação do método: A,,,,, ; b P P 500; ode: P 500 é o valor da demada e P 0, ou seja, descosdera-se a perda a trasmssão; 0 0 x (0, 30, 75, 75, 45, 55); (0, 0, 0, 0, 0, 0); (0, 0, 0, 0, 0, 0 ); 0 3 (,,,,, ); RESULTADOS Geradores Pm (MW) P (MW) D 0 L Utlzado os dados apresetados a seção.4, fo feta a aplcação do método PDPI defdo a seção., mplemetado em lguagem C++. D 3. Resultados obtdos para o Modelo I Os resultados obtdos são mostrados a tabela 3 em que, a colua F a costam os lmtes operacoas de emssão para a fução ambetal de cada gerador do sstema, utlzados a restrção ambetal do modelo I (.8) e a colua F e apreseta os valores mímos determados pelo método para a fução de custos (ecoômca). L

9 Tabela 3 Resultado da fução objetvo F e para dferetes lmtates F a. F a F a F a 3 F a 4 F a 5 F a 6 Fe , , , , ,80 3. Resultados obtdos para o Modelo II Os resultados obtdos são mostrados a tabela 4 em que, a colua F a costam os lmtes operacoas de emssão total do sstema, utlzados a restrção ambetal do modelo II (.9) e a colua F e apreseta os valores mímos determados pelo método para a fução de custos (ecoômca). Tabela 4 Resultado da fução objetvo F e para dferetes lmtates F a. F a F e , , , , ,80 Os resultados apresetados as tabelas 3 e 4, as coluas F e das duas tabelas são relatvos aos valores mímos da fução despacho ecoômco para os respectvos valores de restrções mpostos à fução ambetal relatva aos modelos I e II. Esses resultados são equvaletes àqueles mostrados em [3] e melhores que os apresetados em [] e [], o que era esperado pos estes autores utlzaram métodos bo-sprados. Em [3] o problema multobjetvo fo resolvdo pela estratéga da soma poderada [9] e pelo Método Prmal-Dual Prevsor-Corretor de potos terores. Em [] e [] o mesmo problema fo resolvdo utlzado-se algortmos geétcos co-evolutvos. A mplemetação dos modelos ada requer algumas melhoras como a aplcação do Método Prmal-Dual Prevsor-Corretor, para buscar melhores resultados e maor efcêca computacoal e explorar o método em destaque em problemas de dmesão maor, cotedo 40 geradores, ecotrados em []. 4. CONCLUSÕES Neste trabalho fez-se uma adaptação e aplcação de um Método Prmal-Dual de Potos Iterores para Problemas de Programação Quadrátca com restrções quadrátcas e varáves caalzadas, em Problemas de Despacho Ecoômco com restrção Ambetal. Na presete abordagem foram cosderadas duas dferetes modelages. No modelo I em (.8), utlzado lmtates de máxma emssão permssível de poluetes para cada uma das udades geradoras do sstema, tal formulação ressalta as característcas dvduas de cada gerador, ão somete de lmtes operacoas como de lmtes de emssão. No modelo II em (.9) utlzado um úco lmtate de máxma emssão permssível total do sstema. As soluções obtdas

10 em um caso testado foram comparadas com aquelas ecotradas em [], [] e [3]. Os resultados obtdos mostram a efcêca do método ctado para a resolução deste problema, quado comparados com os métodos cosderados estas referêcas. Ao método proposto será serda a estratéga prevsor-corretor e a mplemetação deste será feta e aplcada para problemas mult-objetvo defdos para 40 udades geradoras, comparado-se as soluções com as ecotradas em [], [] e [3]. 5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS [] I. Adler, N. Karmaar, M. Resede e G. Vega, A Implemetato of Karmaar's algorthm for lear Programmg, Math Programmg-pp , 989. [] R. C. Motero, I. Adler e M. C. Resede, A polyoma-tme prmal-dual affe scalg algorthm for lear ad covex quadratc programmg ad ts power seres exteso, Mathematcs of Operatos Research 5, 9-4, 990. [3] M. Kojma, S. Mzuo e A. Yoshse, A prmal dual - teror pot method for lear programmg, t Progress Mathematcal Programmg: Iteror-Pot ad Related Methods, Ed. N. Megddo, Sprger- Verlag, New Yor, 9-48, 989. [4] S. C. Fag e S. Puthepura, Lear Optmzato ad Extesos: Theory ad Algorthms, Pretce- Hall, Eglewood Clffs, New Jersey, 993. [5] Frsch, K. R. The Logarthmc Potetal Method of Covex Programmg. Uversty Isttute of Ecoomcs (mauscrpt). Oslo, Norway, 955. [6] Facco A. V., McCormc G. P. (968). Nolear programmg: sequetal ucostraed mmzato techques. New Yor, Joh Wley & Sos [7] S. J. Wrght, Prmal-Dual Iteror Pot Methods, SIAM Joural, , 997. [8] Y.C. Wu, A.S. Debs e R.E. Marste, A drect olear Predctor-Corrector Prmal-Dual Iteror Pot Algorthm for Optmal Power Flows, IEEE Trasactos o Power Systems, 9, No., , 994. [9] Mette, K. Nolear Multobjectve Optmzato. Bosto: Kluwer [0] J.O. Km, D. J. Sh, J.N. Par ad C. Sgh, Atavstc Geetc algorthm for ecoomc dspatch wth valve pot effect, Eletrc Power Systems Research, 6, (00) [] M.M.A. Samed, Um Algortmo Geétco Hbrdo Co-Evolutvo para Resolver Problemas de Despacho, Tese de Doutorado, UEM, Depto. de Egehara Químca, Agosto de 004, 67 p. [] Rodrgues, N. M.. Um algortmo cultural para problemas de despacho de eerga elétrca, Dssertação de Mestrado, Uversdade Estadual de Margá, Marga Pr, 007. [3] M. A. S. Souza, Ivestgação e Aplcação de Métodos Prmal - Dual de Potos Iterores em Problemas de Despacho Ecoômco e Ambetal, Tese de Mestrado, Faculdade de Cêcas, UNESP, Bauru, 00. [4] EL-Hawary M. E., EL- Hawary F., G. A. N. Mbamalu. NO x emsso performace models electrc power system. Caada Coferece o Electrcal ad Computer Egeerg, vol II, p. MA 8.., 99.