II Seminário da Pós-graduação em Engenharia Elétrica

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1 MÉTODOS HÍBRIDOS DE PONTOS INTERIORES E DE PROGRAMAÇÃO INTEIRA 0- EM PROBLEMAS DE CUSTO DE TRANSPORTE E GERAÇÃO DE ENERGIA DA BIOMASSA DE CANA-DE-AÇÚCAR Camla de Lma Alua do Programa de Pós-Graduação em Egehara Elétrca Uesp Bauru Prof. Dr. Atoo Roberto Balbo Oretador Departameto de Matemátca Uesp Bauru Profa. Dra. Helece Floreto Slva de Olvera Co-oretadora Departameto de Boestatístca Uesp Botucatu RESUMO Neste trabalho desevolveu-se um método híbrdo que evolve os métodos prevsorcorretor prmal-dual de potos terores e brach-ad-boud, o qual é aplcado à vestgação de modelos assocados à colheta da caa-de-açúcar, e à coleta e ao aprovetameto de sua bomassa resdual. Além dsso, é proposta uma varação deste método híbrdo, a partr da utlzação do método brach-ad-cut, o qual cosdera a serção do passo de geração de plaos de corte o método brach-ad-boud. Este método fo aplcado aos modelos de mmzação do custo de colheta da caa-de-açúcar, mmzação do custo da coleta e trasporte da bomassa resdual e/ou à maxmzação de geração de eerga a partr do aprovetameto destes resíduos. O método é utlzado para determar a escolha das varedades de caa-de-açúcar para o plato as áreas determadas pela usa, que podem ser do tpo mecazáves (caa crua) ou sem-mecazáves (caa quemada), respetado-se as restrções do problema. Utlzou-se o método da soma poderada para a resolução do modelo multobjetvo, que o trasforma em uma classe de problemas moo-objetvo a partr da poderação das fuções objetvo de custo e balaço de eerga. De modo geral, o método prmal-dual de potos terores, o qual explora o parâmetro de barrera logarítmca os procedmetos prevsor e corretor, é utlzado para se obter a solução ótma relaxada do problema. A partr desta, utlza-se o método brach-ad-boud para tegralzar varáves fracoáras, obter a solução ótma tera 0- deste e determar as varedades a serem platadas, para cada poderação mposta. Os testes são realzados através de uma mplemetação computacoal o software Borlad C++ Bulder 6.0 e os resultados umércos obtdos são comparados àqueles do aplcatvo Solver do software Excel, demostrado que o procedmeto tem um excelete desempeho computacoal, determa as soluções efcetes dos subproblemas poderados e a curva de Pareto para o modelo multobjetvo. PALAVRAS-CHAVE: Método Prevsor-Corretor Prmal Dual de Potos Iterores, Métodos Brach-ad-Boud e Brach-ad-Cut, Bomassa Resdual da Caa-de-Açúcar.. INTRODUÇÃO Recetemete, tem se vestdo a serção de fotes alteratvas para produção de eerga, como as que exploram o gás atural, a eerga uclear, e as eergas reováves, as

2 quas utlzam recursos que são reabastecdos aturalmete, detre elas destacam-se a eerga solar, a eerga eólca e a eerga cogerada pela bomassa resdual (PELLEGRINI, 2002). De acordo com Lma (2009), a cogeração cosste em um processo de produção smultâea e sequecada de duas ou mas formas de eerga a partr de um úco combustível, que podem ser covertdas para cosumo própro ou veda. Vsto a baxa produção de mcro poluetes, o uso da bomassa como fote a cogeração de eerga tem sdo avalada como uma possível solução eergétca e ambetal. Segudo Rpol e Rpol (2004), o bagaço e o palhço da caa-de-açúcar são as bomassas que possuem maor poder calorífco. Coforme os dados do IBGE (202), o Brasl é o maor produtor de caa-de-açúcar do mudo, e as safras aumetam a cada ao. Algus problemas são resultados deste crescmeto acelerado, como o aumeto da quema da caa-de-açúcar, utlzadas o processo de colheta sem-mecazada, o que gera polução e mpactos ao meo ambete, e ada, a grade quatdade de resíduos o solo, como folhas, palhas, poteros e frações de colmo, ocasoada pela colheta mecazada, que favorecem o aparecmeto de pragas, a cotamação do solo, e o comprometmeto da próxma safra (TOLENTINO, 2007). A fm de resolver este problema, tem-se vestdo o reaprovetameto desta bomassa resdual através da cogeração de eerga, para utlzação desta o setor sucroalcoolero ou comercalzação o mercado de eerga. Assm, mutos estudos têm sdo propostos vsado otmzar os processos relacoados ao cultvo da caa-de-açúcar. Nos trabalhos de Floreto (2006), Toleto (2007) e Homem (200), são dscutdos modelos matemátcos para a escolha de varedades de caa-de-açúcar que buscam otmzar o custo de coleta da bomassa resdual e/ou a geração de eerga. Ramos (200) e Slva (20) apresetam modelos de mmzação de custo da colheta da caa-de-açúcar, cosderado áreas mecazáves e sem-mecazáves em sua formulação. De modo geral, os problemas vestgados vsam mmzar o custo da colheta da caa-de-açúcar, bem como mmzar o custo de coleta e trasporte da bomassa resdual e/ou maxmzar a geração de eerga da bomassa, determado qual tpo de varedade será platada em cada talhão, respetado as restrções de produção de sacarose e fbra de caa-deaçúcar, uso total da área destada ao plato (mecazável ou sem-mecazável) e o plato de apeas uma varedade de caa-de-açúcar por talhão. Assm, cada varedade de caa-deaçúcar pode ou ão ser platada em determado talhão. Este aspecto caracterza um problema de programação tera bára (zero-um), e depededo de sua dmesão, pode ser de dfícl resolução. Para a resolução do modelo multobjetvo, utlza-se o método da soma poderada, que o trasforma em uma classe de subproblemas moo-objetvo defdo pela poderação das fuções objetvo de custo e balaço de eerga. Desta forma, desevolveu-se um procedmeto híbrdo evolvedo os métodos prevsor-corretor prmal-dual de potos terores e brach-ad-boud para a resolução dos modelos relatvos à caa-de-açúcar, e como proposta futura, pretede-se clur o procedmeto híbrdo o método brach-ad-cut, mplemetar e testar esta varação do procedmeto os modelos em destaque. Assm, este trabalho será utlzado o método prevsor-corretor prmal-dual de potos terores para obter a solução ótma relaxada do modelo e, a partr desta, determar a solução ótma tera relacoada às restrções de tegraldade do problema, relatvas à escolha das varedades a serem platadas, através do método brach-ad-boud. A mplemetação e testes do procedmeto híbrdo assocado ao método brach-ad-cut está em fase de desevolvmeto. Pretede-se comparar os dos procedmetos propostos à resolução dos modelos assocados ao cultvo de caa-de-açúcar.

3 2. MÉTODO PREVISOR-CORRETOR PRIMAL-DUAL DE PONTOS INTERIORES E BRANCH-AND-BOUND Equato Secto (Next) 2.. Método prevsor-corretor prmal-dual de potos terores Cosdera-se o segute problema de programação (PPL) prmal, com restrções leares e varáves caalzadas: T Mmzar c x Ax = b (.) Sujeto a : l x u m m Em que A R, b R, x, c, l, u R e A com posto m. Tem-se etão, o segute problema equvalete, cujas varáves de folga (r 0) e excesso (z 0) referetes às desgualdades foram adcoadas ao problema orgal (.): T T Mmzar c x Mmzar c x Ax = b Ax = b (.2) Sujeto a : Sujeto a : x r = l e x + z = u x l e x u r 0 e z 0 Cosderado o PPL com restrções leares de gualdade e varáves caalzadas (.2), este é redefdo através de um problema de programação ão-lear (PPNL) prmaldual rrestrto expresso a partr da fução lagragaa barrera logarítmca L ( x, w, z, r, y, s) µ : L T T T T µ (,,,,, ) = c x + w ( Ax ) + s ( + r x ) + y ( + z u ) µ l( ) l( ) µ = = (.3) m Em que: w R e y, s R ; s 0, y 0, são as varáves duas do problema e µ > 0 é o parâmetro de barrera ou parâmetro de cetragem. Assm, a partr de (.3), temos as segutes codções de otmaldade de Karush-Kuh-Tucer (KKT) para este problema: T A w + s y = c (.4) Ax = b (.5) x r = l (.6) x + z = u (.7) RSe µ e = 0 (.8) ZYe µ e = 0 (.9) Em que: R, Z, S e Y são matrzes dagoas, respectvamete com r, z, s e y como elemetos dagoas e e = (, K, ) T. Cosderado o problema (.2) e a restrção x r = l, otase que quado l = 0 temos que x = r, desta forma, a codção de otmaldade (.8) pode ser reescrta como: XSe µ e = 0 (.0) em que: X é uma matrz dagoal tedo x como elemetos da dagoal, tal que =,...,. Se um poto ( x, z, w, s, y ) de uma teração correte ão satsfaz as equações de KKT apresetadas de (.4) a (.0), etão gera o resíduo dual g, relacoado à equação (.4), os resíduos prmas t e f, referetes às equações (.5) e (.7), respectvamete, e as folgas complemetares q e v, relacoadas às equações (.9) e (.0), respectvamete. Estes resíduos estão defdos o passo 3, do algortmo da seção 2.3, e serão utlzados o crtéro de parada do método apresetado o passo 2 desse algortmo. A defção de um ovo poto depede dretamete das dreções de movmeto e comprmeto de passo esta dreção, sedo defdo através de:

4 ( + ; + ; + ; + ; + x z w s y ) ( x α P d, z α P d, w α D d, s α D d, y α D d ) x z w s y = (.) P D Em que α > 0, é o comprmeto de passo das varáves prmas e α > 0, é o comprmeto de passo das varáves duas, que são calculados baseado-se em Gravlle (994), o passo 8 do algortmo ctado. As dreções do passo prevsor são determadas cosderado uma aproxmação de prmera ordem das codções de KKT, apresetada de (.4) a (.0) sobre o ovo poto defdo em (.) e serão apresetadas o passo 4 do algortmo da seção 2.3. As dreções do passo corretor, por sua vez, cosderam aproxmações de seguda ordem sobre os resíduos relacoados às codções de complemetardade, q e v, os quas são redefdos utlzado as dreções de busca ( d ; d ; d ; d ; d ), determadas o passo x z w s y prevsor do método, para obter os ovos resíduos do passo corretor q% e v%, vstos o passo 5 do algortmo 2.3, e as ovas dreções do passo corretor ( d% ; d% ; d% ; d% ; d% ),, vstas o passo 6 do algortmo O Método Brach-ad-Boud x z w s y O método brach-ad-boud é um método utlzado para a resolução de problemas de programação lear tera. Este método pode ser esquematzado por uma árvore de busca, tal que a raz represeta o problema orgal e os ós represetam subproblemas crados a partr das ramfcações (partções) do problema relaxado. Os passos que determam o método são apresetados a segur: Avalado o problema: Se a solução ótma ecotrada do problema relaxado for tera, etão esta é solução ótma do problema orgal. Seão, ce a lsta de subproblemas a serem avalados. y y Teste de tegraldade: Testar: x x s < 0,0; < 0,0; s + + z < 0,9; < 0,9. z Segudo Borches e Mtchell (992), uma varável bára do tpo fracoára, que se aproxma da otmaldade, deve ser tegralzada quado + z z + x x e + s s tedem a um e tedem a zero. As compoetes que ão satsfazem este teste de tegraldade devem ser ramfcadas Ramfcação: Para cada x, se x 0,95 (ou tão próxmo de quato for precso) assuma x = e faça x j = 0 para todos restates ( = j + h) e j. Seão faça x = 0. As varáves restates, dferetes de 0 ou, que ada ão atederam o crtéro de tegraldade, e satsfazem o crtéro apresetado dos autores ctados, devem ser ramfcadas, ou seja, dvddas em dos subproblemas: x e x 0, para o íco do processo de separação e ramfcação Seleção do ó: Selecoe um subproblema da lsta e resolva a relaxação correte utlzado o método prevsor-corretor prmal dual de potos terores Avalado os ós: Percorra todos os ós, verfcado a vabldade, tegraldade e otmaldade e assm, determado quas serão podados. A cada poda, é + y y e

5 escolhdo um ovo subproblema em seleção do ó. Se os valores obtdos são fracoáros, uma ova ramfcação é feta, e todos os passos são fetos ovamete Obtedo a solução: Após percorrer todos os ós, a solução que retora o melhor valor factível da fução objetvo, atededo os crtéros de tegraldade, vabldade e otmaldade, é a solução ótma do problema. Neste trabalho, utlzou-se apeas o método brach-ad-boud para a obteção dos resultados, ada sem corporar ao método a geração de plaos de corte brach-ad-cut, que se ecotra em processo de mplemetação, de acordo com o procedmeto proposto a seção 2.4. Desta forma, defem-se os passos do algortmo prevsor-corretor prmal-dual e brach-ad-boud (PDBB) a seção 2.3, detalhado a escolha dos valores cas, cálculo dos resíduos e dreções relacoadas ao passo prevsor e ao passo corretor do método, testes de otmaldade e lmtaredade, determação do comprmeto do passo prmal e dual e a forma de atualzação das varáves. Além dsso, este algortmo é complemetado o passo 0 pelo método brach-ad-boud, que é usado para tegralzar as soluções obtdas pelo método prmal-dual, baseado-se em Bazaara e Shetty (979), Borches e Mtchell (992) e Homem et al. (20) Algortmo prevsor-corretor prmal-dual e brach-ad-boud (PDBB) Passo : Ajustar = 0 e ecotrar uma solução cal ( x ; z ; w ; s ; y ) factível. Seja ε, ε, ε, ε, ε > 0 pequeas tolerâcas postvas auxlares ao passo 2 do algortmo Passo 2: Testar a otmaldade de solução: Se T T T t ε, g c x ( b w g y ) ε, ε, v% < ε, q% < ε, etão pare, a solução 2 T b + c + c x + x, z, w, s, y obtda é ótma, etão vá para o passo 0. Caso cotráro, cotue. Passo 3: Fazer os cálculos termedáros do passo prevsor: t = b Ax, T f = u x z (resíduos prmas); g = c A w s + y (resíduo dual), v = µ e X S e, e q = µ e Y Z e (folgas complemetares); θ ( X S Z Y ), p Z = Y f q + X v ; = + e ( ) Passo 4 : Calcular as dreções d, d, d, d e d do passo prevsor: x z w s y T d = θ ( A d + p g ), T d = X ( v S d ) d = d + f, d = ( Aθ A ) Aθ ( p g ) t x w s x z x w + + e d = Z ( q Y d ). Tal que y z X, Z, S e Y são matrzes dagoas, com x, z, s e y, respectvamete, como seus elemetos dagoas. Passo 5: Fazer os cálculos termedáros do passo corretor (atualzar os termos de seguda ordem das folgas complemetares): v% = µ e X S e D D, e q% = µ e Z Y e D D e. x s z y Em que: D = Dag( d ), D = Dag( d ), D = Dag( d ), e D = Dag( d ). x x s s z z y y Passo 6 : Atualzar as dreções d %, d%, d %, d % e d% do passo corretor : x z w s y T d % = θ ( A d % + p g ) d % ( T = Aθ A ) Aθ ( p g ) t, d d f x w w + + = + % % d% = X ( v% S d% ) e z x s x d% = Z ( q% Y d% ). y z Passo 7: Testar a lmtaredade: Se t = 0, f = 0, d %, d % > 0, e t c d % < 0, etão o x z x problema prmal é lmtado. Se g = 0, d %, d%, d % > 0 e t b d % > 0, etão o problema dual é w s y w lmtado. Se ambos os casos acotecem, etão PARE e vá para o passo 0. Se d %, d%, d %, d %, d % = 0, etão também PARE, x, z, w, s, y são soluções ótmas dos x z w s y problemas prmal e dual, respectvamete. Caso cotráro r para o passo 8.

6 P 2 Passo 8: Calcular os comprmetos dos passos prmal e dual: α m{, α, α } { α 3 α 4 } D α = m,,, em que α x α = m / dx 0, % < dx % = e 2 α z α = m / dz 0, % < dz % 3 α s α = m / ds 0, % 4 α y < α = m / dy 0 ds % % <, em que 0 < α <. dy % Passo 9: Determar uma ova solução: x + = x + α d%, z + = z + α d%, w + = w + α d%, s + = s + α d%, e y + = y + α d% P P D D D x z w s y Atualzar + e r para o passo 2. Passo 0 Itegralzar as soluções utlzado o método brach-ad-boud de acordo com os passos de 2.2. a 2.2.6, apresetados a seção O Método brach-ad-cut O método brach-ad-cut corpora em cada passo do método brach-ad-boud a geração de plaos de corte. A efcêca do método brach-ad-boud depede de quato a solução do problema relaxado está próxma da solução do problema orgal e como ecotrar uma solução vável rapdamete. Se a relaxação é rum, o úmero de ós aumeta, o que mplca em um úmero maor de ramfcações a serem vestgadas. Desta forma, o método de plaos de corte é uma alteratva para melhorar essa relaxação. Assm, o método brach-ad-cut opera da segute forma, para cada ó da árvore brach-ad-boud adcoam-se equações váldas o problema, com o objetvo de elmar soluções fracoáras, baseado-se a heurístca utlzada por Borches e Mtchell (992), e assm melhorar a qualdade dos lmtates em cada ó. Na lteratura, são ecotradas duas maeras dferetes de se abordar o método de potos terores jutamete com o método brach-ad-cut: a prmera, em que o método de potos terores é utlzado a resolução de subproblemas gerados pelo brach-ad-cut, e a seguda, cujo método brach-ad-cut é utlzado após a resolução do método de potos terores, a qual se adapta melhor à resolução dos modelos propostos este trabalho (seção 3). Os procedmetos do método brach-ad-cut são corporados o tem do método brach-ad-boud apresetado a seção 2.2 e o passo 0 do algortmo PDBB da seção 2.3, ou seja, a cada ó selecoado do problema são serdos plaos de corte, baseadose em Mtchell (995), com a teção de dmur o úmero de ós e obter a solução ótma em meos terações. Desta forma, um algortmo que evolve o método prevsor-corretor prmal-dual de potos terores e brach-ad-cut (PDBC) pode ser proposto a partr desta modfcação. Pretede-se mplemetar o algortmo PDBC de tal forma a, resolver o problema relaxado utlzado o método prevsor-corretor prmal-dual de potos terores e em seguda, utlzar o método brach-ad-cut para tegralzar as varáves, e etão obter a solução ótma tera 0- do problema. Pretede-se utlzar este algortmo à resolução dos modelos propostos a seção 3 a segur, comparado o seu desempeho com o algortmo PDBB, o qual fo executado este trabalho.

7 3. Modelagem MatemátcaEquato Secto (Next) 3. Modelo I Mmzação do custo de colheta da caa-de-açúcar O problema cosste em determar quas das varedades devem ser platadas os talhões j de medda L j (ha) e dstâca D j (Km) do cetro de produção (j=,2,...,) e, que ofereça o meor custo possível para o processo de colheta e de trasporte da caa-deaçúcar do campo para a usa. Para formulação do modelo, a área para plato fo dvdda em duas partes, uma parte para plato da caa que será colhda crua (l talhões) e outra para caa que deverá ser quemada a pré-colheta ((-l) talhões), devdo aos dferetes custos para cada tpo de colheta. Para a efcêca do modelo, deve-se satsfazer as restrções de sacarose e de fbra da caa (recomedações da empresa para mater a qualdade da caa e a demada de açúcar e álcool) e usar toda a área destada para o plato da caa (mecazada e sem-mecazada). Este modelo é defdo a segur: l M SM Mmzar CCT = C X + C X j j j j = j= = j= l+ Sujeto a : A X PT ; = j= (2.) F T F X F T; I j S = j= = X j X = 0 ou, =, 2,..., e j =, 2,..., j Em que: CCT é o custo do processo de colheta e trasporte da caa de açúcar; =, 2,..., são os ídces que represetam as varedades, j =, 2,..., são os ídces que represetam os talhões; l é úmero de talhões em que se cosdera o sstema mecazado; M l é o úmero de talhões em que se cosdera o sstema sem-mecazado; C j é o custo da colheta e do trasporte da caa de varedade platada o talhão j ( j =,..., l ), SM o sstema mecazado; C j é o custo da colheta e do trasporte da caa de varedade platada o talhão j ( j = l+,..., ), o sstema sem-mecazado; X j são as varáves de decsão, tas que, X j = mplca que a caa de varedade deve ser platada o talhão j e em caso cotráro X j = 0; A é a estmatva de produção de sacarose da varedade (t/ha); P é a quatdade míma estabelecda para a POL da caa; T é o úmero total de talhões; F é a estmatva do teor de fbra da varedade ; FI e FS são as quatdades mímas e máxmas estabelecdas para a fbra da caa. Com o tuto de utlzar mas varedades, seru-se ao modelo uma restrção que lmta a quatdade que cada tpo de varedade pode ser platada. j = ; j= j (2.2) X M (2.3) Em que: M é o úmero máxmo que cada varedade pode ser platada. 3.2 Modelo II Mmzação do custo de coleta da bomassa resdual de caade-açúcar resultate da colheta em áreas mecazáves Este modelo tem o objetvo de determar quas das varedades devem ser platadas os talhões j de medda L j (ha) e dstâca D j (Km) do cetro de produção e, que

8 ofereça o meor custo possível para o processo de trasferêca do palhço do campo para o cetro de processameto. Segudo Floreto (2006) e Homem (200), este custo (CC j ) é calculado pela soma do custo evolvdo o processo de elerar, compactar e carregar o camhão com o palhço da varedade (C ) e o custo de trasporte (CT j ), multplcada à área do talhão j (L j ). Além dsso, é ecessáro que as restrções de demada de sacarose e fbra, área de plato, e o plato de apeas uma varedade de caa-de-açúcar por talhão sejam ateddas, como o modelo ateror. Desta forma, o modelo é defdo a segur: Mmzar CC X (2.4) Sujeto a: Restrções (2.2) Cosdera-se CC j é o custo de coleta do palhço da caa de varedade platada o talhão j, e as restrções (2.2) são defdas a seção Modelo III Maxmzação do balaço de eerga para o aprovetameto do palhço resultate da colheta em áreas mecazáves Com este modelo pretede-se determar quas das varedades de caa-de-açúcar devem ser platadas os talhões j de área L j (ha) e dstâca D j (Km)da usa, que o produza o máxmo balaço de eerga o seu aprovetameto. Este balaço é calculado pela dfereça etre a eerga proveete do palhço da varedade platada o talhão j (EB j ) e a eerga gasta a trasferêca palhço da varedade platada o talhão j (ET Bj ) que é a soma das eergas gastas para elerar e compactar (E ECj ), carregar (E Cj ) e trasportar esta bomassa (E Tj ), coforme Floreto (2006) e Floreto (20). Assm como o modelo ateror, este problema cosdera as restrções de demada de sacarose e fbra de caa, uso total da área destada ao plato, e o plato de apeas uma varedade de caa-de-açúcar por talhão. A segur, o modelo é defdo. Maxmzar = j= = j= j j j BE X (2.5) Sujeto a: Restrções (2.2) Em que BE j é o cálculo do balaço de eerga o aprovetameto do palhço de caa produzdo da varedade o talhão j, e as restrções (2.2) são defdas a seção Modelo IV Modelo Multobjetvo Este modelo cosste em determar quas das varedades de caa-de-açúcar devem ser platadas os talhões de área L j (ha) e dstâca D j (Km) da usa, que vestgue, smultaeamete, o mímo custo total de colheta da caa-de-açúcar e coleta de resíduos e o máxmo balaço de eerga o aprovetameto de resíduos resultates da colheta em áreas mecazáves, os quas têm objetvos cofltates, levado em cosderação restrções como quatdade de produção de sacarose e fbra de caa-de-açúcar, uso total da área destada ao plato e o plato de apeas uma varedade de caa-de-açúcar por talhão. O modelo matemátco é defdo por: Mmzar ( CT;( ) BET ) (2.6) Sujeto a: Restrções (2.2) Em que CT é o custo total gasto pela usa a colheta da caa-de-açúcar e a coleta de seus resíduos, cosderado as áreas mecazáves e sem-mecazáves, que é expresso por l M M SM SM CT = ( C + CC ) X + ( C + CC ) + X ; tal que j j j j j j = j= = j= l+ j M CC é o custo de coleta j SM de resíduos que cosdera somete as áreas mecazáves, aalogamete, CC cosdera j áreas sem-mecazáves; BET é o balaço de eerga total o aprovetameto de resíduos da

9 caa-de-açúcar, que é expresso por BET BE X BE X ; tal que BE = l M SM + j j j j = j= = j= l+ M j é o balaço de eerga o processo de aprovetameto dos resíduos, porém cosdera apeas as áreas SM mecazáves, aalogamete BE cosdera somete as áreas sem-mecazáves; e as j restrções (2.2) são defdas o modelo de mmzação do custo de coleta da bomassa resdual da caa-de-açúcar, a seção Problema moo-objetvo Estratéga da soma poderada Geralmete, os modelos multobjetvo são de dfícl resolução e a maora das vezes exgem a terveção do usuáro para a determação de soluções satsfatóras (efcetes). Assm, para a resolução deste modelo multobjetvo, será utlzada a estratéga de otmzação cohecda por Otmaldade de Pareto, apresetada em Deb (2004), que utlza o método da soma poderada (α-parametrzado), como estratéga de resolução. Desta forma, o modelo multobjetvo é redefdo, utlzado esta estratéga, através do segute problema mooobjetvo: Mmzar αct ( α) BET (2.7) em que 0 α. 4. RESULTADOS ( ) Sujeto a: Restrções (2.2) Para a obteção de resultados, o algortmo prevsor-corretor prmal-dual e brachad-boud (PDBB), vsto a seção 2., fo mplemetado o software Borlad C++ Bulder 6.0. Assm, fo possível fazer a aplcação do método PDBB ao modelo multobjetvo vestgado referete à mmzação dos custos de colheta de caa-de-açúcar e coleta de resíduos, e à maxmzação de eerga relatva ao aprovetameto de resíduos, apresetado a seção 3.2, e etão, obter as soluções ótmas. Com o tuto de valdar estas soluções, compará-las com os resultados obtdos pelo aplcatvo Solver do software Excel. Para os cálculos referetes ao modelo multobjetvo vestgado, utlzou-se os dados apresetados por Floreto (2006), Lma (2009), Homem (200), Ramos (200) e Slva (20). E ada, para a aplcação do método PDBB aos modelos apresetados a seção 3, foram defdos os talhões 3 e para áreas sem-mecazáves, e os demas para as áreas mecazáves. 4. Modelo I Mmzação do custo de colheta da caa-de-açúcar A tabela apreseta os resultados reas e teros obtdos a partr da aplcação do algortmo PDBB, proposto a seção 2., para o modelo de mmzação do custo de colheta de caa-de-açúcar, vsto a seção 3.. O valor da fução objetvo ecotrada pelo método PDBB obtdos pelos passos de a 9, em 2 terações, é de aproxmadamete R$43.395, Após a tegralzação das varáves, através do passo 0 do método em 9 terações, obteve-se uma melhora o custo da mmzação da colheta, que passou a ser: R$ R$ , , e determou o plato das varedades apresetadas a colua Passo 0 Método PDBB.

10 Tabela : Resultados obtdos a partr da mplemetação do método PDBB 4.2 Modelo II Mmzação do custo de coleta da bomassa resdual de caade-açúcar resultate da colheta em áreas mecazáves A tabela 2 apreseta os resultados obtdos a partr da aplcação do algortmo PDBB, proposto a seção 2., para o modelo de mmzação do custo de coleta da bomassa resdual de caa-de-açúcar, vsto a seção 3.2. O valor da fução objetvo ecotrada pelo método PDBB obtdos pelos passos de a 9, em 9 terações, é de aproxmadamete R$36.25, Após a tegralzação, em uma úca teração, pelo passo 0 do método, o valor ótmo ecotrado fo de R$36.88, , determado o plato das varedades dcadas pela colua Passo 0 Método PDBB. Tabela 2: Resultados obtdos a partr da mplemetação do método PDBB 4.3 Modelo III Maxmzação do balaço de eerga para o aprovetameto do palhço resultate da colheta em áreas mecazáves Os resultados, apresetados pela tabela 3, são obtdos a partr da aplcação do algortmo PDBB, proposto a seção 2., o modelo de maxmzação do balaço de eerga

11 para o aprovetameto do palhço resultate da colheta mecazável, vsto a seção 3.3. O valor da fução objetvo ecotrada pelo método PDBB obtdo pelos passos de a 9, em terações, é de aproxmadamete R$29608, Após a tegralzação, em uma úca teração, pelo passo 0 do método, o valor ótmo ecotrado fo de R$29665,6737, e somete determado o plato da varedade 2. Tabela 3: Resultados obtdos a partr da mplemetação do método PDBB 4.4 Problemas moo-objetvo A partr da aplcação do método PDBB vsto a seção 2.3, pode-se obter um cojuto de soluções efcetes para o problema da seção 3.4., utlzado para vestgar soluções para o modelo multobjetvo apresetado a seção 3.4. Os resultados são apresetados por gráfcos que represetam a relação etre os valores de custo e balaço total, a partr da varação de α [0,], utlzado a estratéga de resolução de subproblemas moo-objetvo evolvedo a soma poderada das fuções objetvo, apresetada a seção A segur, é apresetada a curva de soluções efcetes referetes à aplcação do método PDBB ao problema (2.7): FIGURA : Gráfco que represeta as soluções efcetes do problema mooobjetvo (2.7) Cosderado a restrção (2.3) acrescda ao problema (2.7), tem-se um ovo problema, o qual, esta restrção mpede que uma varedade, seja platada em todos os talhões, ou a maora deles. Neste caso, a aplcação do método PDBB ao problema

12 reformulado determa um cojuto de soluções efcetes represetadas a curva de Pareto vsta a fgura 2. FIGURA 2: Gráfco que represeta as soluções efcetes do problema mooobjetvo (2.7) com restrção da varedades para plato (2.3) Os objetvos de mmzar o custo total e maxmzar o balaço de eerga são cofltates, assm, melhorar um dos objetvos mplca em porar o outro, como é vsto a curva de soluções efcetes apresetada as fguras e 2. As soluções obtdas através da poderação realzada sobre as fuções objetvo, chamadas soluções efcetes, são de teresse, pos formam ao produtor a determação das varedades a serem platadas, de modo a ateder o mometo ecoômco de sua empresa. Note que, os valores das fuções objetvo aumetaram, quado comparamos as fguras e 2. Isso acotece devdo ao fato de se corporar ao problema (3.), a restrção (2.3) relacoada ao cotrole do úmero de varedades que se repetem para o plato os talhões, e como a varedade mas barata ão pode ser platada em todos os talhões ou a maora deles, sto mplca dretamete o aumeto do custo de produção. Todos os resultados obtdos pelo método PDBB foram comparados com aqueles apresetados pelo aplcatvo Solver do software Excel. A partr desta comparação, pode-se coclur que ambos determam as mesmas varedades a serem platadas os talhões, e em relação aos valores das fuções objetvos, obtêm os mesmos resultados, se dferecado apeas a partr da quta ou sexta casa decmal. 5. CONSIDERAÇÕES FINAIS Neste trabalho, desevolveu-se um procedmeto híbrdo que evolve os métodos prevsor-corretor prmal-dual de potos terores e brach-ad-boud para aplcação em problemas de programação lear tera 0-, relacoados aos segutes modelos: I - mmzação do custo da colheta da caa-de-açúcar, que cosdera áreas mecazáves e sem-mecazáves, apresetado por Slva (20), II - mmzação da coleta da bomassa resdual, e III - maxmzação do balaço de eerga, cosderado apeas áreas mecazáves, apresetados por Floreto (2006), Floreto (20) e Homem (200); e o IV - modelo multobjetvo, assocado ao cultvo da caa-de-açúcar, com os objetvos cofltates de, mmzar o custo total de cultvo e maxmzar o balaço de eerga relatvo à bomassa resdual do processo. O algortmo PDBB fo mplemetado através do software Borlad C++ Bulder 6.0, aplcado aos problemas destacados, obtedo soluções ótmas para o os modelos I, II, e III, apresetados a seção 3., 3.2 e 3.3, respectvamete. As soluções obtdas pelo algortmo

13 PDBB para o modelo multobjetvo são efcetes (ão-domadas), ou seja, são soluções ótmas o setdo de Pareto. Estas foram comparadas com aquelas determadas pelo aplcatvo Solver, do software Excel. Assm, os resultados obtdos para um caso específco de dezesses talhões e dez varedades, revelaram o bom desempeho do método híbrdo proposto, mostrado a vabldade de se utlzar esta técca de otmzação para auxlar as usas a seleção de varedades a serem platadas, de tal forma a otmzar o processo, respetado-se as restrções de produção caracterzadas os modelos. No trabalho fo proposto também uma extesão do método PDBB cosderado a clusão do método brach-ad-cut o algortmo ctado, o qual fo deomado de algortmo PDBC. Desta forma, pretede-se mplemetar e testar este algortmo à resolução dos modelos de cultvo e de aprovetameto da bomassa resdual da caa-de-açúcar para comparar o desempeho deste com o algortmo PDBB, o qual fo executado este trabalho. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BAZARAA, M. S.; SHETTY, C., Nolear Programmg: Theory ad Algorthms. Joh- Wlley & Sos, Ic., 979. BORCHES, B.; MITCHELL, J. E., Usg a teror pot method a brach ad boud algorthm for teger programmg. Techcal Report 95, Mathematcal Sceces, Resselaer Polytechc Isttute, Troy, NY 280, March 99, Revsed July 7, 992. DEB, K., Mult-objectve optmzato usg evolutoary algorthms. Joh-Wlley & Sos Ltda., FLORENTINO, H. O., Programação lear tera em problemas de aprovetameto da bomassa resdual de colheta da caa-de-açúcar. 64f. Tese (Lvre Docêca) Isttuto de Bocêcas de Botucatu, Uversdade Estadual Paulsta, Botucatu, SP, FLORENTINO, H. O.; LIMA, A. D; CARVALHO L.; BALBO, A. R.; HOMEM, T. P. D., Multobjectve 0- teger programmg for the use of sugarcae resdual bomass eergy cogeerato. Iteratoal Trasactos Operatoal Research, v.8, p , 20. HOMEM, T. P. D., Procedmeto híbrdo evolvedo os métodos Prmal-Dual de Potos Iterores e Brach-ad-Boud em problemas multobjetvo de aprovetameto de resíduos de caa-de-açúcar. Dssertação (Mestrado em Egehara Elétrca), Faculdade de Egehara, Uversdade Estadual Paulsta. Bauru, 200. IBGE Isttuto Braslero de Geografa e Estatístca, Levatameto Sstemátco da Produção Agrícola. Cofroto das safras de 20 e 202 Brasl Feverero de dspoível em 20 de março de 202. LIMA, A. D., Otmzação do aprovetameto do palhço de caa-de-açúcar. Tese (Doutorado em Eerga a Agrcultura), Faculdade de Cêcas Agroômcas, Uversdade Estadual Paulsta, Botucatu, SP, 2009.

14 MITCHELL, J. E., Fxg varables ad geeratg classcal cuttg plaes whe usg a teror pot brach ad cut method to solve teger programmg problems, 995. PELLEGRINI, M. C., Iserção de cetras cogeradoras a bagaço de caa o parque eergétco do Estado de São Paulo: exemplo de aplcação de metodologa para aálse dos aspectos locacoas e de tegração eergétca. Dssertação (Mestrado em Eerga), Uversdade de São Paulo, São Paulo, SP, RAMOS, R. P., Modelo matemátco para custo e eerga a produção de açúcar e álcool. Dssertação (Mestrado em Agrooma/Eerga a Agrcultura), Faculdade de Cêcas Agroômcas, Uversdade Estadual Paulsta. Botucatu, 200. RIPOLI, T. C. C. RIPOLI, M. L. C. (2004), Bomassa de caa-de-açúcar: colheta, eerga e ambete. Praccaba SP. SILVA, L. M., Algortmo Geétco a Otmzação do Custo de Colheta e de Trasporte da Caa-de-Açúcar. Dssertação (Mestrado em Bometra), Faculdade de Cêcas Agroômcas, Uversdade Estadual Paulsta. Botucatu, 20. TOLENTINO, G., Programação Lear Itera Aplcada ao Aprovetameto do Palhço da Caa-de-Açúcar. Dssertação (Mestrado em Agrooma/Eerga a Agrcultura), Faculdade de Cêcas Agroômcas, Uversdade Estadual Paulsta, Botucatu, SP, WU, Y. C., DEBS, A. S. E MARSTEN, R. E., A Drect Nolear Predctor-Corrector Prmal-Dual Iteror Pot Algorthm for Optmal Power Flows. IEEE Trasactos o Power Systems, 9, No.2, , 994.