Métodos de pontos interiores com estratégia de barreira logarítmica modificada em problemas multiobjetivo de despacho econômico e ambiental

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1 Métodos de potos terores com estratéga de barrera logarítmca modfcada em problemas multobetvo de despacho ecoômco e ambetal Améla de Lorea Staza Atoo Roberto Balbo Leoardo Nepomuceo Edméa Cássa Baptsta rograma de ós-graduação em Egehara Elétrca FEB - Uesp 7-6 Bauru S E-mal: arbalbo@fc.uesp.br mel.staza@hotmal.com baptsta@fc.uesp.br leo@feb.uesp.br Resumo: No presete trabalho é desevolvdo um método prevsor-corretor prmal-dual de potos terores com estratéga de barrera logarítmca modfcada vsado a sua aplcação à resolução de problemas multobetvo de despacho ecoômco e ambetal MEA ecotrados a egehara elétrca. O MEA vsa a mmzação de custos empregados a geração termoelétrca cocomtatemete com a mmzação da emssão de poluetes produzda pela quema de combustíves a geração respetado as restrções do problema. Tas obetvos de mmzação ecoômco e ambetal são cofltates e portato a resolução deste problema depede de métodos ecotrados a lteratura que possbltam a resolução desse problema. Nesse trabalho exploramos o método ε-restrto que trasforma a fução ambetal em uma restrção do problema dfcultado a obteção de soluções cas para o método. essa forma as soluções cas mpostas ao problema poderão ser factíves e ada assm a estratéga de barrera modfcada auxla o procedmeto teratvo do método sob determadas codções a buscar suavemete a curva de soluções efcetes do MEA. Os resultados obtdos para um problema de 6 geradores demostram a efcêca do método em destaque em comparação a outros métodos que estão dvulgados a lteratura.. Itrodução roblemas multobetvo de despacho ecoômco e ambetal ecotrados a egehara elétrca defdos a partr dos trabalhos [] [5] e [] vsam a mmzação de custos empregados a geração termoelétrca cocomtatemete com a mmzação da emssão de poluetes proveetes da quema de combustíves relatva à geração de eerga respetado as restrções de atedmeto de demada e lmtes operacoas dos geradores. Tas obetvos de mmzação ecoômco e ambetal são cofltates e portato a resolução deste problema depede de métodos ecotradas a lteratura tas como o método ε-restrto defdo em [7] que trasforma o problema multobetvo em um couto de problemas moo-obetvos a serem solucoados. O método ε-restrto trasforma uma das fuções obetvos do MEA como restrção do problema lmtado-o superormete por um valor costate. Nesse trabalho o problema multobetvo de despacho ecoômco e ambetal fo trasformado em um problema moo-obetvo de despacho ecoômco codcoado a uma restrção ambetal lmtada superormete para íves permssíves de emssão de poluetes. ara valores dferetes de lmtates cosderados obtém-se uma sequeca de problemas moo-obetvos a serem resolvdos. retede-se determar soluções que seam efcetes em relação ao custo dos combustíves empregados a geração termoelétrca de eerga e ao cotrole da emssão de poluetes para város íves de lmtes superores da fução ambetal. A resolução do problema de despacho ecoômco com restrção ambetal EA formulado através do método ε-restrto é equvalete a um problema de programação quadrátca com restrção quadrátca restrção ambetal restrção lear atedmeto de demada e varáves caalzadas lmtes operacoas das udades geradoras. À resolução desse será proposto um método prevsor-corretor prmal-dual de potos terores vestgado etre outros em [6] [4] e [5] que utlza a estratéga de barrera logarítmca modfcada [8] a qual relaxa e ampla a regão de vabldade e possblta a calzação do método com potos factíves potos exterores à regão vável. Esse método tem se mostrado efcete para a resolução de problemas de programação ão-lear covexa. ara a resolução destes uma mplemetação computacoal do método prmal-dual fo realzada em lguagem de programação C cosderado o procedmeto prevsor-corretor com uma estratéga de barrera modfcada para as restrções quadrátcas de desgualdade relatvas ao método ε-restrto. O procedmeto de barrera modfcada quado corporado ao método de poto teror relaxa e ampla a sua regão de factbldade permtdo que se trabalhe com potos exterores à regão vável orgal e terores à regão amplada ou sea permte que se opere com potos factíves à regão vável orgal. Esse procedmeto é mportate ao método para a resolução dos problemas multobetvo quado resolvdos através da estratéga ε-restrto para város íves de lmtes superores da fução ambetal 778

2 devdo a dfculdade de ecotrar uma solução cal que satsfaça a restrção ambetal a qual é uma fução quadrátca para todos os lmtes de emssão cosderados. essa forma as soluções cas mpostas ao problema poderão ser factíves ou muto próxmas da frotera da regão factível e mesmo assm o procedmeto teratvo do método busca suavemete a solução ótma. Testa-se uma mplemetação computacoal deste método realzada em lguagem de programação C para a determação de soluções aproxmadas de um problema teste de despacho ecoômco e ambetal com 6 udades geradoras. Os resultados obtdos demostram a efcêca do método em destaque em comparação a outros métodos como algortmos geétcos co-evolutvo atávco híbrdo e cultural apresetados em [9] e [] bem como ao método prmal-dual de potos terores com procedmeto de busca udmesoal apresetado em [] que estão dvulgados a lteratura.. roblema Multobetvo de espacho Ecoômco e Ambetal Nesse trabalho obetvou-se mmzar cocomtatemete o custo de geração e a emssão de poluetes através de um problema multobetvo de espacho Ecoômco e Ambetal modelado a segur de acordo com [] [5] e [] detalhes desse modelo podem ser vstos as referêcas ctadas: em que que F Mmzar {F F } Sueto a : e a d M F e F e a e b e c e é a fução obetvo de espacho Ecoômco tal : represeta os custos de cada udade geradora sem cosderar o efeto do poto de válvula e e ae be e ce são os coefcetes da fução relatvos ao custo de combustíves empregados; F a F a a a b a c a é a fução obetvo de espacho Ambetal tal que Fa : represeta as emssões de cada udade geradora e a a a. a b e c são os coefcetes da ' s : correspode à potêca a qual a udade geradora deve operar; : úmero total de fução emssão; M udades geradoras do sstema. e de geração termoelétrca respectvamete; : lmtes operacoas ferores e superores de saída das udades : potêca demadada descosderado-se as perdas a trasmssão. d Os obetvos ecoômco e ambetal são cofltates portato será ecessáro a utlzação uma estratéga que reformule o problema multobetvo trasformado-o em uma sequeca de problemas moo-obetvo. ara tato apresetaremos a segur a estratéga ε-restrto... Método ε-restrto A resolução de problemas multobetvo que apresetam obetvos cofltates ou sea que ão podem ser mmzados ou maxmzados ao mesmo tempo ecesstam de estratégas de resolução que cosstem em reformular o problema através de um problema moo-obetvo. A estratéga ε-restrto vsta em [7] sugere mater um dos obetvos do problema e cosderar o outro obetvo como restrção lmtado-o superormete por um valor costate. ara valores dferetes de ε a serem cosderados obtém-se um couto de problemas moo-obetvos a serem solucoados pelo Método proposto a seção. Através da estratéga ε-restrto reformula-se o MEA matedo a fução ecoômca como obetvo de mmzação e tratado a fução ambetal como restrção do problema. Essa formulação moo-obetvo será apresetada a segur... roblema espacho Ecoômco com restrção Ambetal A abordagem do presete trabalho cosdera as fuções F a como uma restrção do E lmtada superormete por uma costate que represeta a máxma emssão de poluetes permssível para as udades geradoras: Mmzar F e a e b e c e Sueto a : d F a F a a a b a c a Fa M. 779

3 Na formulação. ε F a. O E clássco com restrções leares e varáves caalzadas quado codcoado à restrção ambetal passa a ter uma restrção quadrátca. Cosderado o problema.4 será desevolvdo um método prevsor-corretor prmal-dual de potos terores para a resolução desse problema.. Método revsor-corretor rmal-ual de otos Iterores O método prevsor-corretor prmal-dual MCBLM de potos terores vestgado esse trabalho que utlza a estratéga de barrera logarítmca modfcada têm se mostrado efcetes para a resolução de problemas de programação ão-lear. A estratéga de barrera modfcada defda em [8] cosste em relaxar a regão factível do problema possbltado assm a utlzação de potos factíves o desevolvmeto do MCBLM até que este ata um poto teror factível. O problema de otmzação ão-lear em sua forma geral e a sua forma equvalete quadro troduz-se varáves de folga e a fução barrera logarítmca clássca: r Mmzar f x M f x µ l z µ l z µ l z sueto a g x ; Sueto a g x ; h x u; h x z l x l ; u ;. m x z ; x R g : R R ; l p l ; h : R R x z Adcoamos um parâmetro de barrera µ a restrção de desgualdade z essa restrção fca h x z u tal que µ relaxada através da segute formulação: z e em que e... T que permtrá ao método esta restrção operar com potos cas factíves. Essa restrção será represetada o problema pela restrção z em que: z µ z. obtedo o segute problema equvalete: r M f x µ δ l z µ l z µ l z Sueto a g x ; h x z u ; x z l ; l x z ; O problema. é trasformado em um problema equvalete e rrestrtocosderado a fução lagragaa barrera logarítmca modfcada relacoada a esse problema : r M L LM f x µ δ l z µ [l z l z ] m r [ ] [ ] g x h x u z.4 [ x l z ] [ x l z ]; δ : estmador doultplcador delagrageassocadoà barrera modfcada A partr do problema rrestrto.4 será desevolvdo o algortmo do método prmal-dual de potos terores com procedmeto prevsor-corretor e com barrera logarítmca modfcada. Aplcado as codções ecessáras de otmaldade de KKT sobre.4 sstema:. L x z z z temos o segute L t t x f x g x h x ; L g x ; L h x z u ; L x z l ; L x z l ; µ ; ; ; µ µ z L Z e I z L Z e I z L Z e I e.. R ;.. R. e.5 78

4 T h x z z z correte ão é ótmo etão L h Se um poto R m t t t t π π π relatvos a cada equação ão satsfeta em.5 gerado os resíduos respectvamete. Esses resíduos são calculados o passo do algortmo vsto a seção. e após serem reatualzados por R o procedmeto corretor do método vsto o passo 4 serão utlzados o crtéro de parada do método apresetado o passo 5 desse algortmo. A defção de um ovo poto: T h x z z z x α α α α α α α α T p dx d d d d z dz z dz z dz d d d d p p p depede dretamete das dreções de movmeto relatvas a cada compoete de dreção dh dx d d d d dz dz dz T e comprmeto de passo prmal α p e dual α d relatvos a essas dreções. As dreções do passo prevsor são determadas cosderado uma aproxmação de prmera ordem às equações do sstema. defdas por L h R e serão apresetadas o passo do algortmo da seção.. As dreções do passo corretor por sua vez cosderam aproxmações de seguda ordem sobre os resíduos π π π para o sstema.4 determadas por relacoadas às codções de complemetardade L h R que depedem das dreções dh determadas o passo prevsor. Esses serão apresetados o passo 6 do algortmo da seção.. Na seção. apresetaremos o algortmo completo do MCBLM detalhado a escolha dos valores cas o passo cálculo dos resíduos R o passo e dreções dh relacoadas ao procedmeto prevsor o dh relacoadas ao passo ; cálculo dos resíduos R o passo 4 testes de otmaldade o passo 5 dreções procedmeto corretor o passo 6 teste de lmtaredade o passo 7 determação do comprmeto do passo prmal α p e dual α d o passo 8 e a forma de atualzação das varáves o passo 9. A dreção d δ do passo é calculada de acordo com [8] da segute forma: δ. Algortmo MCBLM µδ µ z d z δ δ µ z ;...p. ASSO Icalzação do algortmo: Auste. Escolha valores cas para: x δ escolha o parâmetro de barrera µ e os erros relatvos ε ε eε úmeros postvos sufcetemete pequeos. Calcule as demas varáves z z z como segue: µ z u h x l x z x l ;z ;. R m t t t t π π π tal que: ASSO Resíduos - asso revsor: Calcule t t m f x g x h x ; t g x; t h x z u; t x z l ; t x z l ; π Z Λ e δµ ; π Z Λ e µ e; π Z Λ e µ e; ASSO reções de movmeto asso revsor: T dh dx d d d d dz dz dz tal que d g x θ g x t g x θ m p µ h x Z d ; t δ d θ m θ p θ g x d µ h x Z d ; d t h x d ; d t d ; d t d ; t x δ z x z x z x d Z [ π µ d Λ t h x d ]; d Z [ π Λ t em que: δ x d ]; d Z [ π Λ t d ]. x x p h x Z h x Z Λ t Z Z Λ t Z Z Λ t t t π π π ; t θ h x Z Λ h x Z Λ Z Λ L. xx ASSO 4 Resíduos asso Corretor - eterme R m t t t t π π π tal que: π π e; π π e; π π e ; ASSO 5 Teste de otmaldade: z z z t ε ; m ε ; π ε ;. ; Se os crtéros de parada forem Crtéros de arada: satsfetos etão ARE. A solução é ótma. Caso cotráro sga para passo 6. ASSO 6 reções de movmeto asso Corretor 78

5 d g x g x t g x m g x p d m p g x d d t h x d d t d t t θ θ θ ; θ θ θ ; ; x z x z x d t d ; d Z [ π Λ t h x d ]; d Z [ π Λ t d ]; d Z [ π Λ t d ]. x z x x x em que: p h x Z π h x Z Λ t Z π Z Λ t Z π Z Λ t. t t ASSO 7 Teste de lmtaredade Se d z e d z e d z e os potos z z e z são prmas factíves Se d e d e d e os potos e são duas factíves etão ARE. A solução é lmtada. Caso cotráro sga para o passo 8. ASSO 8 Comprmeto do passo Cosderado as codções de factbldade prmal e dual respectvamete os comprmetos do passo são determados por: m m z m z z α m z e d z e d z e d z < dz < z dz z < dz m m m α m e d e d e d < d < d < d ASSO 9 Novo poto: Atualze os estmadores parâmetro de barrera e as varáves: µ δ δ ; µ µ / φ;< φ ; α ; x x d x z z α d z ; z z α d z ; µ z z z α d z ; α d ; α d ; α d ; α d. Faça e volte para o ASSO. 4. Resultados O algortmo do MCBLM apresetado a seção. fo mplemetado e aplcado a um problema de despacho ecoômco com restrção ambetal. para 6 udades geradoras cuos coefcetes da fução obetvo ecoômca lmtes operacoas dados a tabela podem ser ecotrados em Samed 4 e Souza. ara os testes realzados será descosderado o valor da perda de eerga a trasmssão l ou sea l. Os coefcetes das fuções ecoômca e ambetal para 6 udades geradoras bem como os seus lmtes operacoas podem ser vstos em []. A demada de eerga d para o sstema de ses geradores cosderado este trabalho é de 5MW. Uma vez cohecdos esses valores para a calzação do algortmo apresetado a seção. precsamos estabelecer valores cas para: : o valor das potêcas cas geradas por cada udade geradora ; ε ε ε : o valor dos erros relatvos aos crtéros de parada prmal dual e folgas complemetares para MCBLM; µ: parâmetro de barrera logarítmca : multplcadores de Lagrage relacoadas às restrções do problema; F a : máxma emssão permssível do sstema vsto em. As aplcações foram realzadas utlzado os segutes valores: 69; 69; 8685; 8685; ; 54; ε ; ε ; ε ; µ 5; ; -6 ; ; -6 ; ö. Observe que µ 5 fo assm defdo para operar com a factbldade do método em relação a factbldades ocorrdas quado cosderou-se lmtates superores para F a O algortmo apresetado a seção. fo aplcado ao MEA.. determado as soluções ótmas para cada problema moo-obetvo. defdos a partr dos valores de F a as quas são soluções efcetes para o problema.. A otêca gerada por udade... cosderado cada lmtate superor para a emssão total do sstema de geração com 6 udades geradoras pode ser vsto em []. O método MCBLM buscou mmzar a fução ecoômca F e respetado a restrção de máxma emssão de poluetes F a escolhda para os valores cosderados. A partr desses lmtates as soluções efcetes obtdas pelo Método determaram que a fução ambetal vara o tervalo de 5594 a 8778 equato que a fução despacho ecoômca vara o tervalo de a 7.967em MW/$. Cabe ressaltar que quado cosderamos o lmtate F a 8 o resultado para a fução ambetal F a atge o valor 8778 que é o valor máxmo que a fução ambetal pode atgr esse sstema portato qualquer lmtate F a maor ou gual a 8778 atgrá o mesmo resultado. A fgura represeta a curva de areto relatva às fuções obetvos ambetal versus ecoômca e é costruída calculado-se os valores desta sobre as soluções efcetes potêcas geradas...6 para cada um dos valores de F a cosderados. 78

6 Fgura Curva de areto do roblema. para 6 udades geradoras Os resultados obtdos pelo MCBLM desevolvdo esse trabalho foram melhores em comparação àqueles dos algortmos geétco híbrdo co-evolutvo AGHCOE apresetados por [] algortmo cultural AC apresetado por [9] e os mesmos em relação aos resultados obtdos pelo método prmal-dual prevsor-corretor com procedmeto de busca udmesoal CBU apresetado por []. Esses estão apresetados em []. 5. Coclusões Nesse trabalho apresetamos o mas recete método vestgado essa lha deomado de método prmal-dual de potos terores com procedmeto prevsor-corretor com estratéga de barrera logarítmca modfcada o qual fo aplcado à determação de soluções efcetes do MEA que estão serdos a área egehara elétrca. ara a aplcação dos métodos desevolvdos e sua aplcação ao MEA fo cosderada a estratéga de resolução de problemas mutobetvo obtda através do método ε-restrto.. Os resultados obtdos para cada um dos problemas demostraram a efcêca dos métodos destacados quado aplcados para um caso teste de 6 udades geradoras em comparação com resultados ecotrados a lteratura prcpalmete em [9] [] e []. Foram obtdas as curvas de soluções efcetes para o caso de 6 udades geradoras as estratégas da soma poderada e ε-restrto. A estratéga da utlzação da fução barrera logarítmca modfcada a aplcação do método CBLM fo realzada com sucesso uma vez que a possbldade de operar com potos factíves as terações cas facltou a escolha desses potos para a calzação do método. Referêcas [] Coelho L. S.; Mara V. C. Otmzação de espacho Ecoômco com oto de Válvula Usado Estratéga Evolutva e Método Quase-Newto. Learg Nolear Models Revsta da Socedade Braslera de Redes Neuras SBRN vol. 4 pp.- 6. [] EL-Hawary M. E. EL- Hawary F. G. A. N. Mbamalu. NO x emsso performace models electrc power system. Caada Coferece o Electrcal ad Computer Egeerg vol II p. MA [] Facco A. V. McCormc G Nolear programmg: sequetal ucostraed mmzato techques. New Yor Joh Wley & Sos [4] Frsch K. R. The Logarthmc otetal Method of Covex rogrammg. Uversty Isttute of Ecoomcs mauscrpt. Oslo Norway 955. [5] Get M. R. Lamot J. W. 97. Mmum-emsso dspatch. IEEE Trasactos o ower Apparatus ad Systems Vol. AS-9 6 pp [6] M. Koma S. Mzuo e A. Yoshse A prmal dual - teror pot method for lear programmg t rogress Mathematcal rogrammg: Iteror-ot ad Related Methods Ed. N. Megddo Sprger-Verlag New Yor [7] Mette K. Nolear Multobectve Optmzato. Bosto: Kluwer Eds [8] olya R. A. Modfed barrer fuctos. Mathematcal rogrammg v. 54. p [9] Rodrgues N. M. Um algortmo cultural para problemas de despacho de eerga elétrca ssertação de Mestrado Uversdade Estadual de Margá Marga r 7. [] Samed M. M. A. Um Algortmo Geétco Hbrdo Co-Evolutvo para Resolver roblemas de espacho Tese de outorado Uversdade Estadual de Margá Marga r Agosto de 4. [] Souza M. A. S. Ivestgação e Aplcação de Métodos rmal - ual de otos Iterores em roblemas de espacho Ecoômco e Ambetal ssertação de Mestrado rograma de ós-graduação em Egehara Elétrca FEB Uesp Bauru-S. [] Staza A. L. Métodos revsor-corretor rmal-ual de otos Iterores em roblemas Multobetvo de espacho Ecoômco e Ambetal ssertação de Mestrado rograma de ós-graduação em Egehara Elétrca FEB Uesp Bauru-S. [] Steberg; M.J.C Smth T.H. Ecoomc Loadg of ower lats ad Electrc Systems MacGraw-Hll 94. [4] Wrght S. J. rmal-ual Iteror ot Methods SIAM Joural [5] Wu Y.C. ebs A.S. e Marste R.E. A drect olear redctor-corrector rmal-ual Iteror ot Algorthm for Optmal ower Flows IEEE Trasactos o ower Systems 9 No