Otimização do Despacho Econômico de Energia Elétrica usando uma Combinação de Evolução Diferencial e Programação Quadrática Seqüencial

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1 Otmzação do Despacho Ecoômco de Eerga Elétrca usado uma Combação de Evolução Dferecal e Programação Quadrátca Seqüecal Leadro dos Satos Coelho e Vvaa Cocco Mara Potfíca Uversdade Católca do Paraá rupo Produtrôca, Pós-raduação em Egehara de Produção e Sstemas Pós-raduação em Egehara Mecâca, PPEM Rua Imaculada Coceção, 55, CEP , Curtba, PR, Brasl, E-mal: leadro.coelho@pucpr.br; vvaa.mara@pucpr.br Abstract Dfferetal evoluto (DE, s a recetly veted global optmzato algorthm of evolutoary computato area. hs paper proposes a hybrd DE method combed wth sequetal quadratc programmg (SQP techque. hs hybrd method s used for solvg the ecoomc load dspatch problem wth valve-pot effect. he hybrd methodology ad ts varats are valdated for a test system cosstg of 40 thermal uts wth cremetal fuel cost fucto taes to accout the valve-pot loadgs effects. he proposed hybrd method outperforms ad provdes qualty solutos terms of effcecy compared wth those obtaed from DE ad SQP aloe ad other exstg techques for load dspatch problem wth valve-pot effect.. Itrodução O obetvo básco do problema de despacho ecoômco da geração de eerga elétrca é o escaloameto das saídas das udades de geração coveadas para ecotrar a demada de carga cosumdora a um custo mímo de operação, satsfazedo a todas udades e restrções de gualdade e desgualdade mpostas pelo problema []. Quado o problema de despacho ecoômco trata de um tervalo de tempo smples, ele é referdo como um problema de despacho ecoômco estátco, equato o problema de despacho ecoômco dâmco cosdera um úmero fto de tervalos de despacho acoplados com a prevsão de carga para provdecar uma traetóra de geração ótma segudo uma demada varável de carga []. Mutos dos problemas de otmzação em sstemas de potêca, cludo os de despacho ecoômco, possuem característcas complexas e ão-leares com a preseça, mutas vezes, de restrções de gualdade e desgualdade. Desde que o problema de despacho ecoômco fo troduzdo, dversos métodos têm sdo utlzados para resolver este problema, tas como método teratvo λ, téccas baseadas em gradete, método dos potos terores, programação lear e programação dâmca. Etretato, mutas das abordages covecoas usadas em problemas de despacho ecoômco podem ão estarem aptas a provdecar uma solução ótma e, mutas vezes, a solução fca presa em armadlhas de mímos locas. A lteratura tem apresetado mutos estudos referetes à utlzação de metodologas da telgêca artfcal clássca (busca tabu, smulated aealg, sstemas especalstas e telgêca computacoal [3]- [6]. Algumas abordages, emergetes da telgêca computacoal são os algortmos evolutvos ou evolucoáros (AEs. Os AEs cluem algortmos geétcos, programação evolucoára, estratégas evolutvas, programação geétca, etre outras varates [7]. Detre estes algortmos evolucoáros destaca-se o algortmo de evolução dferecal (ED. A ED fo desevolvda por Stor e Prce [8] vsado uma busca por melhores resultados com uma abordagem um pouco dferete da utlzada os algortmos geétcos e em estratégas evolutvas. Algumas das potecaldades da ED têm-se a rapdez de covergêca da otmzação, a facldade de mplemetação e valdação. A cotrbução deste artgo é descrever e avalar uma ova metodologa híbrda para resolução do problema de despacho ecoômco de carga com efeto do poto de válvula. O método híbrdo proposto tegra uma abordagem híbrda de ED para a etapa de busca global combada com uma técca de programação quadrátca seqüecal (Sequetal Quadratc Programmg, SQP para a etapa de busca local. A metodologa híbrda é testada em um estudo de caso de 40 udades térmcas geradoras [9], [0] cosderado-se o efeto de válvula. Os resultados obtdos são aalsados e comparados com outros apresetados a lteratura, que ressaltam a efcêca da abordagem de otmzação proposta este artgo. O artgo é orgazado da segute forma. A formulação do problema de despacho ecoômco de eerga elétrca é detalhada a seção. Na seção 3 são apresetados os fudametos da ED e SQP as formas de cocepção solada e híbrda. A descrção de um estudo de caso de despacho ecoômco com 40 udades térmcas e uma aálse dos resultados de otmzação obtdos são apresetados a seção 4. Falzado o artgo, a coclusão e as perspectvas de

2 futuros trabalhos são apresetadas a seção 5, respectvamete.. Problema de despacho ecoômco O tpo de problema de despacho ecoômco, abordado este artgo, pode ser descrto matematcamete com uma fução obetvo e duas restrções. As restrções represetadas pelas equações ( e ( devem ser satsfetas, ou sea, P PL PD = 0 ( = m ( A equação ( represeta as restrções de gualdade do balaço de potêca (sto é, balaço etre suprmeto e demada, equato a expressão ( represeta as restrções de desgualdade relatvas aos lmtes da capacdade de geração de potêca de cada udade geradora, ode P é a saída para a udade geradora (em MW; é o úmero de geradores presete o sstema; P é a demada de carga total (em MW; P D são as perdas de trasmssão (em MW e m são respectvamete as saídas de operação mímas e máxmas da udade geradora (em MW. O custo total de combustível deve ser mmzado coforme represetado a equação (3, m f = F ( = e L (3 ode F é a fução custo de combustível para a udade geradora (em $/h, que é defda pela equação, F ( = a + b + c ode a, b e c são restrções das característcas do gerador. A equação (4 para o cálculo do custo total pode ser modfcada para cosderar o efeto do poto de válvula [], tal que ou F ~ ( F ~ ( P = a F( + e se m ( f ( P P (4 = (5 + b P + c + e se f m ( ( P P ode cosste do valor absoluto da expressão, e e f são costates do efeto do poto de válvula dos geradores. Coseqüetemete, o custo total de combustível que deve ser mmzado, coforme represetado a equação (3, é modfcado para (6 m f = F ~ ( = ode F ~ é a fução custo para a udade geradora (em $/h, que é defda pela equação (6. Nos exemplos abordados, este artgo, são descosderadas as perdas de trasmssão P L, portato, este caso P L = 0. (7 3. Métodos de otmzação aplcados ao problema de despacho ecoômco Os métodos de otmzação têm duas formas de cofguração: os métodos determístcos e os métodos estocástcos. Os métodos determístcos tedem a buscar um poto de mímo (quado o problema é de mmzação o espaço de busca baseados a formação dada pelo gradete da fução obetvo (fução custo. A efcêca destas téccas depede de dversos fatores, tas como: a solução cal, a precsão da avalação da dreção descedete, o método utlzado para executar a busca em lha e o crtéro de parada de otmzação adotado. Os métodos estocástcos, dos quas as abordages de algortmos e telgêca coletva fazem parte, ão ecesstam do cálculo do gradete e são aptos a ecotrar a solução global. Cotudo, o úmero de avalações da fução obetvo, ecessáras para ecotrar a solução, é geralmete maor que o úmero requerdo pelos métodos determístcos. A segur são detalhados os fudametos e potecaldades do ED, aálse de dversdade em ED e SQP, alem do método híbrdo combado ED e SQP. 3.. ED Neste artgo efoca-se a ED, proposta orgalmete por Stor e Prce [8], que apesar de apresetar cocetos smples é de fácl mplemetação, robusta e efcete para a mmzação de fuções ão-leares e ãodferecáves o espaço cotíuo. Na ED, os parâmetros da fução a ser otmzada são codfcados com varáves represetadas em poto flutuate a população e são realzadas mutações smples com uma operação artmétca smples. Stor [] relatou resultados mpressoates que mostram que a ED supera outros AEs (smulated aealg adaptatvo, Nelder e Mead com aealg, algortmo geétco breeder, estratéga evolutva e equações dferecáves estocástcas para abordages de mmzação em relação ao úmero de avalações ecessáras localzado o mímo global de dversas fuções teste cosoldadas a lteratura. Na ED, cada varável é represetada por um valor real (poto flutuate e o seu procedmeto de otmzação é regdo pelas segutes etapas:

3 ( gerar uma população cal aleatóra, com dstrbução uforme, de soluções factíves à resolução do problema em questão, ode é garatdo por regras de reparo que os valores atrbuídos às varáves estão detro das froteras delmtadas pelo proetsta; ( um dvíduo é selecoado, de forma aleatóra, para ser substtuído e outros três dferetes dvíduos são selecoados como getores (pas; ( um destes três dvíduos é selecoado como getor prcpal; (v com alguma probabldade, cada varável do getor prcpal é modfcada. Neste caso, pelo meos uma varável deve ser alterada; (v a modfcação é realzada adcoado ao valor atual da varável uma taxa, F, regda pela dfereça etre dos valores desta varável os outros dos getores. Em outras palavras, o vetor deomado getor prcpal é modfcado baseado o vetor de varáves de dos outros getores. Este procedmeto represeta o operador de cruzameto a evolução dferecal; (v se o vetor resultate apreseta uma fução de aptdão (ftess melhor que o escolhdo à substtução, ele o substtu; caso cotráro, o vetor escolhdo para ser substtuído é matdo a população. Em outras palavras, adotado-se um formalsmo de explcação matemátco, a evolução dferecal uma solução, l, a geração w é um vetor multdmesoal l l l x = w = ( x,, x N. Uma população, P =, a geração = é um vetor de M soluções, ode M > 4. A população cal, P = = x é gerada { } l M 0 x, = 0,,, = 0 calmete, com dstrbução uforme, adotado-se l x, = 0 = lmf ( x + rad [ 0, ] * { lmsup( x lmf ( x }, (8 ode lm f (x e lm sup (x são os lmtes feror e superor de valores admssíves para a varável x, respectvamete, M é o tamaho da população, N é a dmesão da solução e rad [0,] gera um úmero aleatóro, com dstrbução uforme, o tervalo etre 0 e. A seleção é realzada para escolher quatro dferetes ídces de soluções r, r, r 3 e [, M ]. Os valores de cada varável, a solução descedete, são modfcados com uma mesma probabldade de cruzameto, p m, para r ( r x x r x 3,= + F*,=,= ' N,x,= = se ( rad[ 0, ] < pc = rad, (9 x,=, os outros casos ode F ( 0, é uma taxa de perturbação a ser adcoada a solução escolhda aleatoramete deomada getor prcpal. A ova solução substtu a solução ateror (atga se ela for melhor que a ateror e pelo meos uma das varáves teha sdo modfcada. Esta solução é represetada a evolução dferecal pela seleção aleatóra de uma varável, rad (, N. Depos da operação de cruzameto, se uma ou mas varáves a ova solução estão fora das froteras (lmtes uma regra de reparo é aplcada, sedo esta regda pela segute equação [ x + lmf ( x ], / se x, < lmf ( x lmf ( x + [ lm ( ]/ ' x, sup x x, = = (0 se x, + > lmsup ( x x, +, os outros casos. 3.. Programação quadrátca seqüecal A mplemetação do SQP cosste de três estágos prcpas, que são brevemete descrtos a segur: ( calcular uma aproxmação da matrz Hessaa da fução Lagrageaa usado um método quase- Newto; ( gerar o sub-problema de QP; ( proceder em uma dreção de descda usado um método de busca em lha. Formulado o subproblema de programação quadrátca para o problema eucado a equação (, ( e (7 tem-se, m f ( P = d H d + f(p sueto a c( P + c( P d = 0 P m P + d P d ( ode d IR e P IR ; H é a matrz Hessaa da fução Lagrageaa a -ésma teração, L( P, λ = f ( P + c( P λ ( ode d é a dreção de busca a -ésma teração; P é o vetor de potêca real a -ésma teração; e c(p é a restrção de gualdade apresetada a formulação de despacho ecoômco. Detalhes do SQP são apresetados em Fletcher ( ED híbrda com SQP A ED e a SQP possuem potecaldades complemetares. A ED é robusta e pode ser proetada para buscas em um amplo espaço de busca (busca global. A SQP é freqüetemete aproprada para

4 covergr rapdamete para uma regão em toro de um mímo local para problemas de despacho ecoômco de eerga elétrca com efeto do poto de válvula. A SQP pode ser corporada a ED vsado à obteção de um aprmorameto da otmzação quato à busca local. Neste cotexto, para obter os beefícos da cofguração de otmzação híbrda, uma forma efcete é executar, calmete, a ED localzar a regão de ótmo global e após aplcar a SQP para a busca local, ou sea, o algortmo de busca local pode avalar algus dvíduos da ED (ou mesmo somete o melhor dvíduo a regão próxma a estes e substtur o dvíduo (vetor solução orgal da ED. Neste artgo, fo testada uma forma de hbrdzação após o crtéro de parada de otmzação da ED ter sdo atgdo é realzada uma busca local usado SQP com estmatva cal gual ao melhor dvíduo da população da ED. Quato ao tratameto de restrções, as varáves de decsão são cosderadas a gualdade da equação (. Caso a gualdade ão sea atedda, modfca-se a equação (7 para m f = F ~ ( + q = = P L P D (3 ode q é uma costate de pealdade (adotado este trabalho q=00 aplcada a restrção de gualdade ão atedda da equação (. 4. Exemplo de aplcação e resultados Para mostrar o desempeho relatvo da ED, SQP e ED-SQP, um estudo de caso fo testado. As smulações são valdadas para um sstema teste de 40 udades geradoras térmcas com fuções cremetas de custo de combustível que levam em cosderação o efeto de poto de válvula. Os algortmos para resolução do exemplo foram mplemetados em ambete computacoal Matlab 6.5, da MathWors, usado processador AMD Athlo de, Hz com 5 MB de memóra. Foram realzadas 30 expermetos com cada abordagem de otmzação testada. No caso do ED, a cada smulação os membros da população foram cados usado uma semete dferete de úmeros aleatóros. Além dsso, a ED fo utlzado um crtéro de parada com valor de Em relação a SQP, a cada smulação a estmatva cal fo gerada usado uma semete de úmeros aleatóros (geração com dstrbução uforme dferete. Os parâmetros de cofguração usados as smulações foram: =00 gerações, M=30 dvíduos e F=0,8. O estudo de caso abordado cosste de treze udades geradoras. Neste caso a demada de potêca a ser ecotrada pelas 40 udades geradoras é = 0500 MW. Os dados do sstema são P D apresetados a tabela e também podem ser ecotrados em Sha et al. [0]. Os resultados de covergêca foram apresetados a tabela que mostram as característcas de covergêca e tempo demadado com cada abordagem avalada. No fal desta seção, os resultados obtdos são também comparados com outros métodos apresetados a lteratura. Nota-se que a SQP para o caso estudado fo muto afetada pela estmatva cal. A ED-SQP fo a abordagem que obteve o meor custo para o problema de despacho ecoômco. e obteve melhor custo médo, meor desvo padrão e meor custo máxmo etre as téccas utlzadas. Etretato, a ED-SQP apresetou maor custo computacoal que a SQP e ED quado usadas de forma solada. A ED obteve resultados compettvos com a SQP, o etato com tempo computacoal aproxmadamete duas vezes maor. 5. Coclusão Neste artgo, fo apresetada uma ova metodologa híbrda combado ED e SQP para resolução do problema de despacho ecoômco de eerga elétrca com efeto do poto de válvula. A ED fo utlzada para realzar a busca global, equato a SQP fo utlzada para stoa fa das soluções obtdas pela ED. Em relação ao procedmeto de resolução do problema de despacho ecoômco de eerga elétrca com efeto do poto de válvula, os resultados com a SQP e a ED-SQP para otmzação das equações (, ( e (7 foram melhores que os apresetados em [9], [0], [4] e [5] para este o caso de 40 udades térmcas (ver tabela 3. A SQP quado aplcada de forma solada explora o espaço de busca rapdamete com a dreção do gradete e garate uma solução ótma local. O desempeho da EP-SQP testada fo amador, pos estas abordages ecotraram solução global de alta qualdade em tempo computacoal acetável. No etato, em relação a SQP, a desvatagem fo o custo computacoal maor da ED e da ED-SP para obteção da covergêca. Referêcas [] M. A. Abdo, A ovel multobectve evoluto ary algorthm for evrometal/ecoomc power dspatch, Electrc Power Systems Research, vol. 65, o., pp. 7-8, 003. [] B. H. Chowdhury e S. M. Rahma, A revew of recet advaces ecoomc dspatch, IEEE rasactos o Power Apparatus ad Systems, vol. 5, o. 4. pp , 990. [3] P. Attavryaupap, H. Kta, E. aaa e J. Hasegawa, A fuzzy-optmzato approach to dyamc ecoomc dspatch cosderg ucertates, IEEE rasactos o Power Systems, vol. 9, o. 3, pp , 004.

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6 Cotuação da abela m P P a b c e f ,0077 7,0 80, , ,54 3,33 055, 0 0, ,54 3,33 055, 0 0, ,54 3,33 055, 0 0, ,040 5,35 48,89 0 0, ,0060 6,43,9 50 0, ,0060 6,43,9 50 0, ,0060 6,43,9 50 0, ,0000 8,95 07, , ,0000 8,6 6, , ,0000 8,6 6, , ,060 5,88 307, , ,060 5,88 307, , ,060 5,88 307, , ,0033 7,97 647, ,035 abela : Resultados de covergêca para o caso de 40 udades geradoras com poto de válvula e (dados de 30 expermetos com cada método de otmzação. P D = 0500 MW técca tempo médo (s custo mímo ($/h custo médo ($/h desvo padrão do custo ($/h custo máxmo ($/h SQP 0,80 904, , , ,90 ED,67 83, ,53 50, ,95 ED-SQP 4,05 695, , ,576 49,56 * melhor estmatva cal de P obtda as 50 smulações: [04, , , , ,759 5, ,90 36,464 46, ,9358 8,95 4,895 6, ,883 60,049 7,767 38, , , ,4 44,34 4, , , ,449 36,4568 6,869, ,3483 9,850 44,9589 0, ,476 3,657 9, ,79 53,374 6, ,546 30,858] # fo usada a ED uma população de 30 dvíduos e =000. abela 3: Comparatvo dos resultados apresetados a lteratura para a fução custo f e os obtdos este trabalho. método de otmzação referêca custo mímo ($/h para o estudo de caso com 40 udades geradoras programação evolucoára [0] 64,3500 uvem de partículas [4] 930,4500 uvem de partículas modfcado [5] 5,650 programação evolucoára híbrda com SQP [4] 379,6300 uvem de partículas híbrda com SQP [4] 094,6700 SQP este artgo 904,443 ED este artgo 83,4385 ED-SQP este artgo 695,6980