UMA NOVA ABORDAGEM PARA O CÁLCULO DE LIMITANTES PARA O PROBLEMA DA DIVERSIDADE MÁXIMA

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1 A tegração de cadeas produtvas com a abordagem da maufatura sustetável. Ro de Jaero, RJ, Brasl, 3 a 6 de outubro de 2008 UMA NOVA ABORDAGEM PARA O CÁLCULO DE LIMITANTES PARA O PROBLEMA DA DIVERSIDADE MÁXIMA Carlos Reato Seabra de Almeda Júor (INPE) cr_seabra@ahoo.com.br Luz Atoo Noguera Lorea (INPE) lorea@lac.pe.br O Problema da Dversdade Máma é um problema de atureza combatóra que cosste em selecoar os m tes mas dsttos de um couto N com elemetos, ode m, N e são prevamete determados. Dversos métodos heurístcos para o cálculo de soluções têm sdo abordados e testados, a maora baseada em algortmos de busca. Etretato a lteratura ão regstra grades esforços a obteção de lmtates de qualdade para a aálse dessas soluções. O método apresetado este trabalho aborda téccas de partcoameto de grafo e relaação lagrageaa (LagClus) para o cálculo de lmtates. Dversas stâcas foram testadas com dferetes parâmetros cas de eecução. Palavras-chaves: Dversdade Máma, Relaação Lagrageaa, Lmtates

2 A tegração de cadeas produtvas com a abordagem da maufatura sustetável. Ro de Jaero, RJ, Brasl, 3 a 6 de outubro de Itrodução O Problema da Dversdade Máma (PDM) é um problema da área de otmzação combatóra, que cosste em selecoar um determado úmero de elemetos pertecetes a um dado couto, de modo que o subcouto costtuído pelos tes selecoados sea o mas dversfcado possível. Isto é, sea N um couto com elemetos e dada a matrz de dstâcas que represeta a dfereça etre os elemetos de N, desea-se selecoar um subcouto M N, com m elemetos, tal que m <, de modo que M possua a maor dversdade possível (a matrz de dversdade é cosderada smétrca este trabalho). O PDM é o problema oposto ao de clusterzação, cuo obetvo é agrupar elemetos com característcas semelhates. A fgura. é apresetada a fm de represetar um eemplo de PDM ode os elemetos são potos o plao e a medda de dversdade é a dstâca eucldaa etre os potos. Para esse eemplo, com =9, o obetvo é ecotrar m=4 potos, sedo estes, o mas dstate possível um do outro. Fgura. Eemplo de um PDM com =9 e m=4 (Slva et al., 2003) Uma abordagem teressate do PDM, cocebda por Glover et al. (995), tem como obetvo otmzar a aplcação de recursos a preservação de espéces de modo a garatr a maor dversdade bológca possível respetado um lmte de recursos dspoíves. Mas aplcações á ctadas a lteratura são o gerecameto de recursos humaos e meração de dados em Argher e Cordoe (2006), VLSI desg e tratameto médco em Argher et al. (2006) detre outras. Város métodos heurístcos á foram eplorados para resolver o PDM, a maora baseada em estratégas sofstcadas de busca. Essas propostas têm, em geral, apresetado bos resultados. Equato que os métodos eatos têm se mostrado efcetes apeas para stâcas de pequeo porte (problemas com até 40 elemetos). Uma abordagem dferete é focada a obteção de lmtates, ão a solução dreta do problema. A escolha de um bom lmtate é mportate para a avalação de soluções ecotradas a partr de métodos ode ão há garata de obteção de um ótmo global. 2

3 A tegração de cadeas produtvas com a abordagem da maufatura sustetável. Ro de Jaero, RJ, Brasl, 3 a 6 de outubro de 2008 O PDM pode ser formulado como um problema de programação quadrátca bára com a restrção de úmero de elemetos selecoados. Outra técca comumete utlzada cosste a learzação do PDM em um problema lear tero msto, acrescetado varáves de decsão e gerado um couto de restrções (Glover et al. 993). Essa formulação permte a relaação lear de suas varáves de decsão e será o modelo utlzado este trabalho. O PDM pode ada ser represetado por um grafo completo e ão-drecoado, ode o peso de cada aresta correspode à medada de dversdade etre os pares de vértces lgados por essa aresta. Uma forma trval de cálculo de lmtates é a relaação lear das varáves de decsão. Outra estratéga teressate que tem apresetado bos resultados em problemas semelhates é a dvsão do problema em subproblemas através do partcoameto do grafo em clusters, relaado as arestas que lgam os vértces de clusters dferetes o setdo lagrageao LagClus (Lorea e Rbero, 2005; Lorea e Rbero, 2007; Lorea e Rbero, 2008). A lteratura do PDM ão apreseta regstros de utlzação da LagClus, que é o obeto de estudo deste trabalho. O restate deste trabalho se ecotra dvddo da segute forma. A seção 2 apreseta uma breve revsão da lteratura do PDM, ode podem ser ecotradas as prcpas cotrbuções. A seção 3 apreseta os modelos matemátcos do PDM. Na seção 4, ecotra-se a descrção das ferrametas e algortmos utlzados. A seção 5 descreve os testes computacoas e a seção 6 ecotram-se as cosderações fas do trabalho. 2. Revsão Bblográfca O Problema da Dversdade Máma fo troduzdo por Glover et al. (977), quado o autor apreseta uma formulação matemátca tera para o problema. Cotudo, essa formulação fo utlzada somete para resolução de pequeas stâcas. Os mesmos autores demostraram que o PDM pertece à classe de problemas NP-Hard através da redução do problema K- Clques (Ghosh 996), o que eplca a dfculdade de utlzação de métodos eatos para ecotrar a solução de stâcas de grade porte e ustfca a eploração de métodos heurístcos para o cálculo de lmtates de boa qualdade. Em 993, Glover et al. (993) sugerem a learzação da formulação quadrátca do PDM. A utlzação de heurístcas GRASP (Greed Radomzed Adptatve Search Procedure) em PDM s fo largamete estudada em Slva et al. (2003) e Slva et al. (2004a). Esses trabalhos comparam dferetes algortmos baseados em heurístcas GRASP com aálses detalhadas de resultados umércos, covergêca e tempo de processameto. Uma aposta em algortmos Tabu Search (TS) é bem sucedda em 2005 (Argher et al. 2005). Sua proposta atge resultados melhores que os á obtdos com a utlzação de algortmos GRASP. Em 2006, os mesmos autores atgem ovos resultados com uma proposta que eplora um algortmo TS com um mecasmo de memóra e duas metaheurístcas deomadas Varable Neghbohood Search (VNS) e Scatter Search (SS) (Argher e Cordoe 2006). Ada em 2006, Argher et. al (2006) apresetam um estudo de cálculo de lmtates semdefdos para PDM s. Duarte e Martí (2007) cotrbuem com o estudo comparatvo de TS com e sem memóra e outros algortmos estetes a lteratura do PDM. Cotuado o vestmeto em algortmos de busca, Duarte et al. (2007b) atgem melhores tempos utlzado as heurístcas Greed Radomzed Adptatve Search Procedure (GRASP) e TS. 3

4 A tegração de cadeas produtvas com a abordagem da maufatura sustetável. Ro de Jaero, RJ, Brasl, 3 a 6 de outubro de 2008 Mas um vestmeto em heurístcas GRASP fo apresetada por Slva et al. (2007), quado os autores estudam algortmos com dferetes modfcações. As heurístcas se mostram efcetes para soluções de boa qualdade em um tempo computacoal razoável. Duarte et al. (2007a) apresetam uma solução eata para o PDM que possblta uma aumeto a gradeza das stâcas com solução ótma em tempo vável, agora algus casos com até 00 elemetos podem ser resolvdos utlzado-se métodos eatos. 3. Modelos Dada a matrz de dversdade D = [ d ] smétrca, ode d correspode à dversdade etre os elemetos e, a formulação quadrátca do PDM é: v( PDM ) = ma sueto a = = m { 0, }, = K = =.. d Como D é smétrca, o problema pode ser reformulado da segute forma: v( PDM ) = ma sueto a = = m { 0, }, = K = = +.. d Esse trabalho se basea a learzação da seguda formulação, uma vez que esta trabalha com um úmero meor de varáves, garatdo um cosumo meor de memóra. No processo de learzação a segur, as varáves restrções que garatem que = : são substtuídas pelos termos e 4

5 A tegração de cadeas produtvas com a abordagem da maufatura sustetável. Ro de Jaero, RJ, Brasl, 3 a 6 de outubro de 2008 v( PDM ) = ma sueto a = + = m,, Q 0,, Q 0,, Q { 0, },, Q { 0, }, = K {(,, N, < } Q = 3.. LagClus Relaação Lagrageaa com dvsão em Clusters d = = + Embora recete e sem regstro de aplcação em PDM s, a LagClus tem sdo utlzada em problemas semelhates e apresetado bos resultados (Lorea e Rbero, 2005; Lorea e Rbero, 2007; Lorea e Rbero, 2008). A proposta deste trabalho aborda a utlzação da LagClus, tedo em vsta que até o mometo o cálculo de lmtates do PDM ão fo abordado com a relaação lagrageaa ou teve sua represetação em grafo eplorada. Com base a represetação em grafo do PDM, a déa prcpal do método se ecotra o partcoameto do grafo prcpal em p subgrafos. Após defda a quatdade de partções e realzada a clusterzação, é possível dvdr o problema prcpal em p subproblemas. Com essa dvsão espera-se reduzr o tempo de processameto a patamares compettvos. Para cada um dos p clusters formados será crado um subproblema, cua formulação clu a relaação lagrageaa das arestas cortadas que coectam os elemetos do própro cluster aos demas fora deste. Assm, dada a matrz de dstâcas D=[d ], cra-se o grafo G=(V,A), sedo V=N e A=D (matrz de adacecas com pesos). Do partcoameto de G em p clusters obtém-se: a) p clusters G, =,..p; b) V = V V2 K V p, ode V é o couto de vértces do cluster c) X = V V ; d) p subproblemas LagPDM, =...p. Para cada LagPDM detfca-se as segutes restrções de lgação: r) r2) r3) + ode R =., (, R 0, (, R 0, (, R {(, V, X } G ; 5

6 A tegração de cadeas produtvas com a abordagem da maufatura sustetável. Ro de Jaero, RJ, Brasl, 3 a 6 de outubro de 2008 A restrção prcpal, = m, cotua fazedo parte dos subproblemas, porém com uma alteração: = m p V = Para esse trabalho, o úmero de clusters p de cada stâca fo escolhdo coveetemete ao valor de m, de modo que p dvde m. Para cada subproblema LagPDM, os multplcadores de lagrage serào trabalhados da segute forma: a) α 0, para as restrções do tpo r; b) β 0, para as restrções do tpo r2; c) λ 0, para as restrções do tpo r3. Assm, cada LagPDM será escrto de modo a segur: v( LagPDM α (, R (, R ( d + ) = ma (, R α β β ) + λ (, R (, R ( d λ (, R + λ ) + d (, V + sueto a : + 0,, V { 0, }, V { 0, }, V,, V 0,, V, X Após a otmzação de cada LagPDM, a solução do problema será: p v( Lag PDM) = LagPDM + λ = (, Q, cl( ) cl( Ode cl()=cluster do elemeto, E seu dual lagrageao: p v( DLCPDM ) = m p p { Lag PDM } 4. Testes Computacoas A mplemetação fo desevolvda sobre a lguagem C++ e o solver XPRESS (Dash Optmzato, 2006) fo utlzado para resolver de forma eata os subproblemas da LagClus e a relaação lear das stâcas. 6

7 A tegração de cadeas produtvas com a abordagem da maufatura sustetável. Ro de Jaero, RJ, Brasl, 3 a 6 de outubro de 2008 Para a clusterzação, fo utlzada a bbloteca METIS (Karps e Kumar, 998a; Karps e Kumar, 998b; Karps e Kumar, 998c) desevolvda especfcamete para o partcoameto otmzado de grafos. Com essa bbloteca, é possível partcoar um grafo prcpal em um determado úmero p de partções mmzado o úmero de cortes ou peso total das arestas cortadas a dvsão (caso do PDM, ode cada aresta tem um peso dferete). A relaação das restrções de lgação pode comprometer a precsão da solução em relação a métodos eatos, por essa razão o obetvo da METIS é partcularmete mportate a aplcação proposta este documeto. Como os grafos de PDM s possuem pesos em suas arestas, o obetvo de mmzação de cortes METIS também é eplorado esse setdo. Com ela, é possível mmzar a soma dos pesos das arestas cortadas. No etato, a atureza do PDM é a dspersão. Assm, o partcoameto fo feto com o obetvo de mamzar a soma dos pesos das arestas. A otmzação do dual lagrageao do modelo e obteção dos lmtates fo calculada utlzadose o algortmo de subgradetes (Wolse 998; Narcso e Lorea 999), que também é abordado com bos resultados em Lorea et al. (999). Até o mometo as pesqusas têm eplorado a obteção de soluções váves de qualdade. Esses trabalhos apresetam resultados cada vez melhores, porém o estudo de téccas para aálse dessas soluções com o cálculo de lmtates de qualdade é uma ovdade para os PDM s. Os epermetos realzados têm como obetvo aalsar as soluções estetes a lteratura e compará-los com a aálse a partr da relaação lear. Foram realzados dversos epermetos, todos em ambete Wdows Vsta 32 bts, Processador Itel Core 2,,66 GB, com 2 GB de memóra RAM. Os resultados foram fetos com varações o úmero de partções, valores cas dos multplcadores de lagrage e valor do peso do passo do método dos subgradetes (Narcso e Lorea 999), porém as tabelas foram cosoldadas com os melhores resultados. Os testes foram dvddos as segutes categoras: a) AA- Aálse dos melhores resultados apresetados em Argher et al. (2005) para stâcas geradas por Adrade, com = 00, 50, 200 e 250; b) AS- Aálse dos melhores resultados apresetados em Argher et al. (2005) para stâcas geradas por Slva, com = 300, 400 e 500; c) SS- Aálse dos melhores resultados apresetados em Slva et al. (2004b) para stâcas geradas por Slva, com = 0, 20, 30, 40 e 50. A maor parte desses resultados é ótma e fo obtda através de métodos eatos. As tabelas 4., 4.2 e 4.3 estão estruturadas da segute forma: Istâca- Nome, sem etesão, do arquvo que cotém a stâca; - Valor de, úmero de elemetos de N; m- Valor de m, úmero de elemetos a serem selecoados; p- Número de clusters da LagClus que apresetou o melhor resultado; T - Tempo médo de processameto, em segudos; GAP (%)- Valor do gap, de acordo com a segute equação: GAP ( ) = ( sol) v z % 00 z. Ode z é o valor da melhos solução cohecda para a stâca utlzada e v(sol) é o valor do lmtate obtdo através da relaação lear covecoal das varáves de decsão o caso v(pdml), ou o valor obtdo através da LagClus o caso v(dlcpdm p ). O melhor 7

8 A tegração de cadeas produtvas com a abordagem da maufatura sustetável. Ro de Jaero, RJ, Brasl, 3 a 6 de outubro de 2008 lmtate de cada stâca está detfcado em egrto. A Tabela 4. apreseta os resultados obtdos a aálse da categora AA de epermetos. Os GAP s obtdos com a LagClus são semelhates, porém ada melhores do que os obtdos com a relaação lear. Durate a eecução dos testes, observou-se que o úmero de partções eerce uma forte fluêca tato o tempo de processameto quato a qualdade do lmtate. Istâca m p v(pdml) v(dlcpdm p ) GAP (%) 09a250m ,8 306, b200m ,98 23, b250m ,27 302, b250m ,5 25, c00m ,4 58, d50m ,76 62, d200m ,86 08, d250m ,00 07,84 89 Tabela 4. Aálse de soluções da categora AA As aálses do tpo AS estão cosoldadas a Tabela 4.2, ode pode ser verfcado, mas uma vez, que os lmtates calculados com a LagClus são lgeramete melhores do que os lmtates da relaação lear. Cotudo, devdo ao tamaho das stâcas, há uma dfereça mportate a estragéga dos subgradetes para esta categora. O peso do passo de atualzação (Narcso e Lorea, 999) ão é costate, ele decresce a cada prmera ão atualzação do lmtate até o mímo de 0,05, ou sea, ele pode ser atualzado equato seu valor correte for maor ou gual a 0,. A partr desse mometo seu valor permaece costate. Essa modfcação fo feta a tetatva de cosegur uma covergêca cal mas rápda, melhorado o tempo de processameto sem perder sgfcatvamete a qualdade do lmtate. T Istâca m p v(pdml) v(dlcpdm p ) GAP (%) matrz300m ,97 299, matrz300m ,62 8, matrz300m ,68 9, matrz400m ,94 90, matrz400m ,92 26, matrz500m ,76 83, matrz500m ,54 27, Tabela 4.2 Aálse de soluções da categora AS Na Tabela 4.3 são apresetadas as aálses do tpo SS. O couto de stâcas dessa categora é cosderada de pequeo porte. É possível observar que a dfereça etre os lmtates é cosderável, sedo sempre os lmtates da LagClus sgfcatvamete melhores. A facldade de trabalar com poucos clusters (2 a 5 partções) em pequeas stâcas é o motvo aparete para essa dfereça a qualdade dos lmtates esses casos. Os * marcam T 8

9 A tegração de cadeas produtvas com a abordagem da maufatura sustetável. Ro de Jaero, RJ, Brasl, 3 a 6 de outubro de 2008 as stâcas cuo valor de z utlzado fo o valor ótmo obtdo através de método eato em Slva et al. (2004b). Para as stâcas com o ome sublhado, o valor do peso passo do algortmo dos subgradetes (Narcso e Lorea, 999) fo atualzado damcamete, coforme descrto a o parágrafo de aálse da Tabela 4.2, a fm de gahar velocdade o tempo de processameto dos cálculos. Istâca m p v(pdml) v(dlcpdm p ) GAP (%) matrz0m4* ,78 79,05 0 matrz0m4* ,00 77,83 9 matrz0m4* ,98 2,90 9 matrz20m4* ,33 393,9 9 matrz20m4* ,00 08,56 4 matrz20m4* ,9 57,82 6 matrz20m4* ,64 34,72 39 matrz30m3* ,63 42,39 0 matrz30m3* ,69 02,96 50 matrz30m3* ,30 85,56 48 matrz30m3* ,02 37,9 254 matrz40m4* ,00 30,40 37 matrz40m4* ,69 34, matrz40m ,57 8,9 537 matrz40m ,45 54,9 72 matrz50m ,33 427,32 25 matrz50m ,7 63,88 40 matrz50m ,2 02,09 47 matrz50m , 74,4 5 Tabela 4.3 Aálse de soluções da categora SS 5. Cosderações Fas Este trabalho apreseta uma ova abordagem para o cálculo de lmtates de PDM s, a LagClus. Foram realzados dversos epermetos e depededo do úmero de clusters trabalhados e dos parâmetros do algortmo dos subgradetes a LagClus pode apresetar lmtates melhores do que a relaação lear das varáves de decsão da formulação learzada do problema. Cotudo o PDM possu característcas que dfcultam a aplcação da LagClus: d) A matrz de adacêcas possu uma desdade de 00%; e) A restrção prcpal ão é trabalhada com a mesma facldade que as demas os subproblemas; f) Os subproblemas, se muto grades, ada são dfíces de serem resolvdos por algum método eato. Nesses casos fo mposto um lmte de tempo de 20 segudos após a prmera solução tera ecotrada e a solução cosderada fo a melhor solução tera detro desse lmte de tempo. Por esse motvo, a qualdade dos lmtates apresetou um comportameto verso ao esperado em grades stâcas, melhorado o resultado para T 9

10 A tegração de cadeas produtvas com a abordagem da maufatura sustetável. Ro de Jaero, RJ, Brasl, 3 a 6 de outubro de 2008 um úmero maor de partções, uma vez que subproblemas pequeos foram resolvdos até sua otmldade, equato os grades podem ão atgr o poto ótmo. Os resultados sugerem o vestmeto em esforços para o aprmorameto de métodos baseados a dvsão em clusters, a fm de ecotrar lmtates melhores e em tempos meores. Agradecmetos Os autores agradecem ao professor Geraldo Regs Maur (Uversdade Federal do Espírto Sato UFES) pela colaboração documetal de grade auda para este trabalho. Referêcas Argher, R.; Cordoe, R. & Melza, Y., Tabu Search vs. GRASP for the Mamum Dverst Problem. DTI - Uverst of Mlao, Note del Polo 89, Argher, R.; Brugler, M. & Cordoe, R., Semdefte Bouds for the Mamum Dverst Problem. DTI - Uverst of Mlao, Note del Polo 95, Argher, R. & Cordoe, R., Better ad Faster Solutos for the Mamum Dverst Problem. DTI - Uverst of Mlao, Note del Polo 93, Dash Optmzato, XPRESS-MP 2006B: Xpress-Optmzer Referece Maual, 37 p, Duarte, A. & Martí, R., Tabu Search for the Mamum Dverst Problem. Europea Joural of Operatoal Research, Vol. 78, ssue, p. 7-84, Duarte A.; Gallego M. & Martí R., A eact method for the mamum dverst problem. Uverstat de Valèca, 2007a, Dspoível em: acesso em 28 ov Duarte A.; Gallego, M.; Lagua, M. & Martí R., Hbrd Heurstcs for the Mamum Dverst Problem. Computatoal Optmzato ad Applcatos, 2007b, dspoível em: acesso em 26 ov Ghosh, J. B., Computatoal aspects of the mamum dverst problem. Operatos Research Letters, Vol. 9, p. 75 8, 996. Glover, F.; Hersh G. & Mcmla, C., Selectg subset of mamum dverst. MS/IS 77-9, Uverst of Colorado at Boulder, 977. Glover, F.; Kuo C.C. & Dhr, K.S., Aalzg ad Modelg the Mamum Dverst Problem b Zero-Oe Programmg. Decso Sceces, Vol. 24, Issue 6, p. 7-85, 993. Glover, F.; Kuo, C.C. & Dhr, K.S., A dscrete optmzato problem model for preservg bologcal dverst. Appled Mathematcal Modelg, Vol. 9,., p , 995. Karps, G. & Kumar, V., A fast ad hgh qualt multlevel scheme for parttog rregular graphs. SIAM Joural o Scetfc Computg, Vol. 20, p , 998a. Karps, G. & Kumar, V., Multlevel algorthms for mult-costrat graph parttog. Arm HPC Research Ceter, Dep. of Computer Scece: Uverst of Mesota, Techcal Report 98-09, 998b. 0

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