Análise de Regressão e Correlação

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1 Aálse e Regressão e Correlação Fo já estuao a forma e escrever um cojuto e oservações e uma só varável. Quao se coseram oservações e uas ou mas varáves surge um ovo poto. O estuo as relações porvetura estetes etre as varáves. A Aálse e regressão e correlação compreee a aálse e aos amostras para saer se e como as uas ou mas varáves estão relacoaas uma com a outra uma população. A aálse e regressão estua o relacoameto etre uma varável chamaa a varável epeete e outras varáves chamaas varáves epeetes. Este relacoameto é represetao por um moelo matemátco.e. por uma equação que assoca a varável epeete com as varáves epeetes. Este moelo é esgao por moelo e regressão lear smples se efe uma relação lear etre a varável epeete e uma varável epeete. Se em vez e uma forem corporaas váras varáves epeetes o moelo passa a eomar-se moelo e regressão lear múltpla. A aálse e correlação eca-se a ferêcas estatístcas as meas e assocação lear que se seguem: - coefcete e correlação smples: mee a força ou grau e relacoameto lear etre uas varáves - coefcete e correlação múltplo: mee a força ou grau e relacoameto etre uma varável epeete e um cojuto e outras varáves. As téccas e aálse e correlação e regressão estão tmamete lgaas. Correlação e Regressão Smples Só vamos falar e correlação e regressão lear smples.e. o caso e uma varável epeete Y e uma varável epeete. Eemplos:. Relação etre o peso e a altura e um homem aulto. A varável epeete é o peso e a varável epeete a altura.. A relação etre o preço o vho e o motate a colheta em caa ao. Aqu a varável epeete é o preço o vho e a varável epeete o motate a colheta.

2 Para estuar estas relações recorre-se a uma amostra e utlza-se a aálse e correlação e regressão smples. Note que para os eemplos aterores poe suceer que os homes aultos teham a mesma altura e pesos feretes e vce-versa o etato em méa quato maor for a altura maor será o peso; o mesmo moo a colhetas guas poem correspoer preços feretes e vce-versa o etato em méa quato maor for a colheta meor será o preço o vho. É essa varação em méa que va ser estuaa. A correlação etre e Y é postva quao os feómeos varam o mesmo seto prmero caso apresetao o eemplo a correlação etre e Y é egatva quao os feómeos varam em seto verso seguo caso apresetao o eemplo. agramas e spersão Os aos para a aálse e regressão e correlação provém e oservações e varáves emparelhaas sto sgfca que caa oservação orga os valores um para caa varável com estes valores costró-se o grama e spersão. varável Y varável A regressão lear smples costtu uma tetatva e estaelecer uma equação matemátca lear lha recta que escreva o relacoameto etre uas varáves. Note-se que em toas as stuações são em apromaas por uma equação lear. Através os agramas e spersão poe-se ver se uma relação lear parece razoável ou ão. Recorreo à aálse o agrama e spersão poe-se tamém coclur se o grau e correlação é forte ou fraca coforme o moo com se stuem os potos em reor e uma lha recta magára que passa

3 através e um eame potos. A correlação é tato maor quato mas os potos se cocetram com pequeos esvos em relação a essa recta. etermação a Recta e Regressão Coseremos uma recta artrára + esehaa o agrama. A chamamos valor a varável eplcatva ou epeete e à magem e pela recta + chamamos valor preto que eotamos por ŷ é o valor a varável resposta ou epeete. A fereça etre e ŷ.e. ˆ é a stâca vertcal o poto à lha recta. Se coseramos a soma os quaraos os esvos aterores.e. otemos uma mea o esvo total os potos oservaos à recta estmaa. A mea ateror epee a recta coseraa ou seja epee e e. Assm poemos escrever ˆ ou aa +. Preteemos etão os valores e e que mmzem.e. preteemos o valor mímo e. Um moo e estmar os coefcetes e é etermar o mímo a fução em relação a e e resolver as equações ormas. Temos etão que: oe

4 Os valores e e para os quas a fução apreseta um valor mímo são otos gualao as equações aterores a zero.e. resolveo as equações ormas. Assm ~ 5. + Temos etão que e ou e são as soluções os sstema cal seo além sso os valores e e que mmzam. Este métoo é coheco pelo métoo os mímos quaraos uma vez que estamos a mmzar uma fução quarátca.

5 A melhor recta o seto os mímos quaraos que melhor se ajusta aos aos o agrama e spersão é aa por: +. Qualae o ajustameto Uma mea útl assocaa à recta e regressão é o grau com que as preções aseaas a equação e regressão superam as preções aseaas em. Isto é se as preções aseaas a recta ão são melhores que as aseaas o valor méo e Y etão ão aata spormos e uma equação e regressão. Para a oservação a fereça em relação ao valor méo é coheca por esvo total e poe ecompor-se uma soma e parcelas: ˆ + ˆ 443 esvo Total 443 esvo ep lcao pelo moelo 443 esvo ão ep lcao ou resíuo Coserao toas as oservações... otemos a varação total: ˆ + ˆ 443 Varação Total 443 Varação ep lcao pelo moelo Varação ão ep lcao O coefcete e etermação R é uma mea o poer eplcatvo o moelo utlzao. á a proporção a varação a varável epeete Y que é eplcaa em termos leares pela varável epeete.e. a proporção a varação e Y eplcaa pelo moelo. Na prátca R varação eplcaa varação total ˆ R a + Tem-se que R a proporção a varação e Y eplcaa pelo moelo é o mámo e o mímo. Se R sgfca que grae parte a varação e Y é eplcaa learmete por moelo aequao.

6 Se R o moelo ão é aequao aos aos. - R é a proporção e varação e Y ão eplcaa pela varável resultate e factores ão cluíos o moelo. O coefcete e etermação poe ser utlzao como uma mea a qualae o ajustameto ou como mea a qualae e cofaça epostaa a equação e regressão como strumeto e precsão. A R R á-se o ome e coefcete e correlação smples. É uma mea o grau e assocação lear etre as varáves e Y. Teo-se que - R Se R> etão as uas varáves teem a varar o mesmo seto; em méa uma aumeto a varável provoca um aumeto a varável Y; Se R< etão as uas varáves teem a varar em seto egatvo; em méa um aumeto a varável provoca uma mução a varável Y; R ou R- cam a estêca e uma relação lear perfeta etre e Y postva ou egatva respectvamete; R ca a estêca e uma relação lear etre e Y poeo o etato estr uma relação ão lear etre elas. Oservações:. Um moelo e regressão lear ão á respostas eactas; assm para um etermao valor e a varável espera-se em méa que ˆ + ;. A estmação ou prevsão e uma varável com ase em valores cohecos a outra eve ser cautelosa! Não eve ser feta qualquer etrapolação essa recta para valores fora o âmto aos. O pergo e etrapolar para fora o âmto os aos amostras é que a mesma relação possa ão mas se verfcar. 3. A estêca e correlação aa z sore a atureza a relação causal que porvetura esta etre as varáves. Ao terpretar um coefcete e correlação eve ter-se presete que uma valor elevao e R ão sgfca que seja causa e Y ou Y seja causa e. A aálse e regressão apeas ca qual o relacoameto matemátco poe estr se estr algum; a lógca e uma relação causal eve provr e teoras eteras ao âmto a Estatístca.

7 Note-se que a potos oservaos é teorcamete possível ajustar uma fae e curvas. No estuo feto apeas fo possível aorar o moelo e regressão lear smples. No etato como já vmos o moelo o moelo lear em sempre é o mas aequao; a represetação gráfca os aos por vezes sugere que estes são melhor ajustaos por outras curvas o que por uma recta. É portato ecessáro em prmero lugar far o moelo que melhor se aapta às oservações. Outros eemplos possíves além o moelo ao Y + : Y + + Y a... Além o tpo e curva outro factor mportate a aálse e regressão é o úmero e varáves evolvas. Em mutos prolemas prátcos em vez e ser coseraa apeas uma varável epeete é o teresse estuar a relação etre uma varável e um cojuto e varáves Aálse e Regressão Múltpla. Y p 3 3 Trata-se e uma aálse mas complea e que caí fora o programa a scpla.