de uma variável em função da outra, por exemplo: Quantas vendas da Marca Philips na região Norte? Quantos homens são fumantes?
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- Judite Peres Martins
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1 Estatístca descrtva bdmesoal (Tabelas, Gráfcos e Estatístcas) Aálse bvarada (ou bdmesoal): avala o comportameto de uma varável em fução da outra, por exemplo: Quatas vedas da Marca Phlps a regão Norte? Quatos homes são fumates? 1
2 Estatístca bdmesoal Até agora vmos como orgazar formações pertetes a uma úca varável (ou a um cojuto de dados) Estatístca uvarada. Mas frequetemete estamos teressados em aalsar o comportameto cojuto de duas (2) ou mas varáves aleatóras. Os dados aparecem a forma de matrz usualmete: A tabulação Varáves Idvíduo (elemeto) dvduo X Y A B C D E F Aqu os deteremos o caso de apeas 2 varáves avaladas em udades amostras. 2
3 Com o objetvo de ecotrar as possíves relações (ou assocações) etre as DUAS varáves, podemos ter as segutes stuações: a) Uma varável é qualtatva e a uma quattatva. b) As duas varáves são quattatvas. As téccas de aálse de dados são dferetes. c) As duas varáves são qualtatvas. 3
4 a) Uma varável qualtatva e uma varável quattatva Nesta stuação aalsa-se o que acotece com a varável quattatva detro de cada ível da varável qualtatva. 4
5 Exemplo Tabela 1: Meddas-resumo para a varável saláro (Y), segudo o grau de strução (X), a compaha MB. X x s s 2 x (1) Q 1 Q 2 Q 3 x () Fudametal 12 7,84 2,79 7,77 4,00 6,01 7,13 9,16 13,65 Médo 18 11,54 3,62 13,10 5,73 8,84 10,91 14,48 19,40 Superor 6 16,48 4,11 16,89 10,53 13,65 16,54 18,38 23,30 Todos 36 11,12 4,52 20,46 4,00 7,55 10,17 14,06 23,30 Y O Saláro aumeta coforme aumeta o ível de educação do dvíduo. 5
6 b) Duas varáves qualtatvas 6
7 b) Duas varáves qualtatvas Tabelas Os dados podem ser resumdos em tabelas de dupla etrada (cotgêca, dupla classfcação, ou tabulação cruzada), ode aparecerão as frequêcas absolutas ou cotages de dvíduos que pertecem smultaeamete a categoras de uma e outra varável. Em outras palavras: Cosste em fazer o cruzameto etre duas varáves qualtatvas, regstrado as ocorrêcas que atedem aos valores de ambas. 7
8 Tabela de cotgêca (Represetação geral) A dstrbução cojuta das frequêcas será um strumeto poderoso para a compreesão do comportameto dos dados. X Cada elemeto kq do corpo da tabela forma a frequêca observada das realzações smultâeas da -ésma categora da varável X e da j-ésma categora de Y Y Y 1 Y 2... Y q Total X q 1. X q 2. X q X k k1 k2... kq k. Total q A lha dos totas forece a dstrbução margal da varável Y Dstrbução cojuta de X e Y A colua dos totas forece a dstrbução margal da varável X 8
9 Exemplo: Regão (X)\Marca (Y) Gradete Paasoc Phlps Samsug Toshba Total Cetro Sul Leste Norte Sudeste Total O cohecmeto de uma varável ajuda a eteder uma outra varável? Teorcamete: Explorar relações (smlardade) etre as coluas e as lhas. Como os totas margas são dferetes, tora-se dfícl fazer alguma terpretação sobre a assocação. Para facltar, podemos utlzar as frequêcas relatvas, em porcetagem. 9
10 Como calcular a frequêca relatva? Regão\Marca Gradete Paasoc Phlps Samsug Toshba Total Cetro Sul Leste Norte Sudeste Total Trabalhado com as proporções (ou frequêcas relatvas), aqu temos 3 possbldade de expressarmos a porcetagem de cada casela (ou célula): Em relação ao total geral; Em relação ao total de cada lha; Em relação ao total de cada colua. De acordo com o objetvo do problema em estudo, uma delas será a mas coveete. 10
11 Perfl geral Tabela 1: Dstrbução cojuta das frequêcas das varáves Regão (X) e Marca (Y) X \ Y Gradete Paasoc Phlps Samsug Toshba Total Cetro Sul Leste Norte Sudeste Total Tabela 2: Dstrbução cojuta das proporções (em %) em relação ao total geral das varáves X e Y. X \ Y Gradete Paasoc Phlps Samsug Toshba Total Cetro 1,00 5,84 2,08 3,28 2,40 14,60 Sul 1,68 3,16 2,60 8,72 2,08 18,24 Leste 1,92 7,32 3,64 5,68 2,88 21,44 Norte 0,96 5,92 1,36 1,72 2,12 12,08 Sudeste 3,04 8,72 6,36 10,76 4,76 33,64 Total 8,6 30,96 16,04 30,16 14, Note que os totas margas ada estão dferetes, torado-se dfícl fazer alguma terpretação sobre a assocação. 11
12 Iremos eteder a exstêca de assocação como uma mudaça de opão sobre o comportameto de uma varável a preseça ou ão de formação sobre a seguda varável. Exemplo: Exste a relação etre altura de pessoas e o sexo em uma dada comudade? Se as respostas forem guas (Valores esperados guas aos valores observados) ão há assocação etre as varáves altura e sexo; Se as respostas forem dferetes (Valores esperados guas aos valores observados) provável assocação. 12
13 Perfl lha Porcetages (ou frequêca) observadas Porcetages (ou frequêca) esperadas Tabela 1: Dstrbução cojuta das frequêcas das varáves Regão (X) e Marca (Y) X \ Y Gradete Paasoc Phlps Samsug Toshba Total X Cetro Sul Leste Norte Sudeste Total Tabela 3: Dstrbução cojuta das proporções (em %) em relação aos totas de cada lha das varáves X e Y. Regão\Marca Gradete Paasoc Phlps Samsug Toshba Total Cetro 6,85 40,00 14,25 22,46 16, Sul 9,21 17,33 14,25 47,81 11, Leste 8,96 34,14 16,98 26,49 13, Norte 7,95 49,01 11,26 14,24 17, Sudeste 9,04 25,92 18,91 31,98 14, Total 8,60 30,96 16,04 29,80 14, Note que parece haver alguma assocação, pos as frequêcas esperadas ão são guas as observadas!!! 13
14 Perfl colua Tabela 1: Dstrbução cojuta das frequêcas das varáves Regão (X) e Marca (Y) Regão\Marca Gradete Paasoc Phlps Samsug Toshba Total Cetro Sul Leste Norte Sudeste Total Y Tabela 4: Dstrbução cojuta das proporções (em %) em relação aos totas de cada colua das varáves X e Y. Regão\Marca Gradete Paasoc Phlps Samsug Toshba Total Cetro 11,63 18,86 12,97 10,88 16,85 14,60 Sul 19,53 10,21 16,21 28,91 14,61 18,24 Leste 22,33 23,64 22,69 18,83 20,22 21,44 Norte 11,16 19,12 8,48 5,70 14,89 12,08 Sudeste 35,35 28,17 39,65 35,68 33,43 33,64 Total Porcetages (ou frequêca) observadas Porcetages (ou frequêca) esperadas Note que parece haver alguma assocação, pos as frequêcas esperadas ão são guas as observadas!!! 14
15 b) Duas varáves qualtatvas Gráfcos Os dados podem ser resumdos em gráfcos dcados para varáves qualtatvas, cotudo separados por categoras de uma e de outra varável. 15
16 a) Gráfco de barras múltplo 300 Marcas por Regão Cetro Sul Leste Norte Sudeste 50 0 Gradete Paasoc Phlps Samsug Toshba Para efetuar uma aálse comparatva de váras dstrbuções, podemos costrur um gráfco de barras múltplo. 16
17 100% Marcas por Regão 90% 80% 70% 60% 50% 40% Sudeste Norte Leste Sul Cetro 30% 20% 10% 0% Gradete Paasoc Phlps Samsug Toshba 17
18 Com as facldades de uso de programas computacoas, esse mesmo gráfco, gráfco de barras múltplo, pode ter represetação trdmesoal: 18
19 b) Gráfco de pzza b.1) Marcas por regão Norte Gradete 8% Sul Gradete 9% Sudeste Gradete 9% Samsug 14% Toshba 18% Phlps 11% Paasoc 49% Samsug 48% Toshba 12% Paasoc 17% Phlps 14%... Samsug 32% Toshba 14% Phlps 19% Paasoc 26% Toshba Phlps b.2) Regão por Marcas Paasoc Sudeste ; 33,43 Cetro ; 16,85 Sul ; 14,61 Sudeste ; 39,65 Cetro ; 12,97 Sul ; 16,21... Sudeste ; 28,17 Cetro ; 18,86 Sul ; 10,21 Norte ; 14,89 Leste ; 20,22 Leste ; 22,69 Norte ; 19,12 Leste ; 23,64 Norte ; 8,48 19
20 b) Duas varáves qualtatvas Valor Numérco Exstem váras meddas de assocação (ou correlação) e seu uso depede do tpo e faldade do estudo. Coefcete de correlação é uma medda que descreve, por meo de um úco úmero, a assocação (ou depedêca) etre duas varáves. Estes usualmete varam etre 0 e 1, ou etre -1 e +1, e a proxmdade de zero dca falta de assocação. Algus coefcetes de correlação: ) Coefcete de cotgêca de Pearso ) Coefcete de correlação de Spearma ) Coefcete de correlação de Kedall 20
21 Coefcete de cotgêca de Pearso É uma medda de correlação etre 2 cojutos arbtráros. É útl quado se dspõem apeas de dados apresetados em escala omal em um ou os dos cojutos de atrbutos. T 2 ( r 1)( s 1), sedo r s 2 ( oj ej) 1 j1 e e j 2 0 T 1 2 é a estatístca qu-quadrado de Pearso; r é o úmero de classes da varável X; s é o úmero de classes da varável Y; o j são as frequêcas observadas da -ésma categora de X e j-ésma categora de Y, e j são as frequêcas esperadas. A terpretações é aáloga ao coefcete de correlação. OBS: Não mporta quem seja lha e quem seja colua, o valor obtdo será o mesmo 21
22 Exemplo: b) Duas varáves qualtatvas Deseja-se determar se a cração de cooperatvas está assocada a algum fator regoal Tabela 1: Cooperatvas autorzadas a fucoar por tpo (Y) e estado (X). X \ Y Cosumdor Produtor Escola Outras Total SP 214 (33%) 237 (37%) 78 (12%) 119 (18%) 648 (100%) PR 51 (17%) 102 (34%) 126 (42%) 22 (7%) 301 (100%) RS 111 (18%) 304 (51%) 139 (23%) 48 (8%) 602 (100%) Total 376 (24%) 643 (42%) 343 (22%) 189 (12%) 1551 OBS: Note que a tabela mostra a exstêca de certa depedêca etre as varáves, pos as porcetages verfcadas a margem da tabela para os dferetes tpos de cooperatva, ão são as mesmas observadas a margem da tabela para os dferetes estados. 22
23 Tabela 1: Valores observados de cooperatvas autorzadas a fucoar por tpo (Y) e estado (X). X \ Y Cosumdor Produtor Escola Outras Total SP 214 (33%) 237 (37%) 78 (12%) 119 (18%) 648 (100%) PR 51 (17%) 102 (34%) 126 (42%) 22 (7%) 301 (100%) RS 111 (18%) 304 (51%) 139 (23%) 48 (8%) 602 (100%) Total 376 (24%) 643 (42%) 343 (22%) 189 (12%) 1551 OBS: Se ão tvesse depedêca, esperaríamos que em cada estado tvesse 24%, 42%, 22% e 12% dos tpos de cooperatvas, respectvamete Tabela 2: Valores esperados a tabela 1 assumdo a depedêca etre as 2 varáves. X \ Y Cosumdor Produtor Escola Outras Total SP 156 (24%) 272 (42%) 142 (22%) 78 (12%) 648 (100%) PR 72 (24%) 127 (42%) 66 (22%) 36 (12%) 301 (100%) RS 144 (24%) 254 (42%) 132 (22%) 72 (12%) 602 (100%) Total 376 (24%) 643 (42%) 343 (22%) 189 (12%) r s 1 j 1 ( o j e j e j ) 2 ( ) ( ) (48 72) ,56 6, ,00 173,24 23
24 b) Duas varáves qualtatvas Tabela 1: Valores observados de cooperatvas autorzadas a fucoar por tpo (Y) e estado (X). X \ Y Cosumdor Produtor Escola Outras Total SP 214 (33%) 237 (37%) 78 (12%) 119 (18%) 648 (100%) PR 51 (17%) 102 (34%) 126 (42%) 22 (7%) 301 (100%) RS 111 (18%) 304 (51%) 139 (23%) 48 (8%) 602 (100%) Total 376 (24%) 643 (42%) 343 (22%) 189 (12%) ,24 Logo, T ( r 2 1)( s 1) 173, (31)(4 1) 0,1364 Coclusão: O estado está pouco assocado com o tpo de cooperatva. Iterpretação para T: Quato mas próxmo de 1, maor é a assocação etre as varáves Quato mas próxmo de 0, meor é a assocação etre as varáves 24
25 Tarefa 1 No exemplo cal de veda de televsores, verfcamos a exstêca de alguma assocação etre as varáves Regão e Marca. Quatfque a assocação etre elas e terprete essa medda. Regão (X)\Marca (Y) Gradete Paasoc Phlps Samsug Toshba Total Cetro Sul Leste Norte Sudeste Total Resposta: 25
26 Tarefa 2 Deseja-se verfcar se exste ou ão assocação etre o sexo e a carrera escolhda por 200 aluos de Físca e Cêcas Socas: Tabela 2: Dstrbução cojuta das frequêcas e proporções (em %), segudo o sexo (X) e o curso escolhdo (Y) Y \ X M F Total Físca 100 (83,33%) 20 (16,67%) 120 Cêcas Socas 40 (50,00%) 40 (50,00%) 80 Total 140 (70,00%) 60(30,00%) 200 a) Aparetemete exste alguma assocação etre essas varáves? Justfque sua resposta. b) Quatfque essa assocação e coclua. Resposta: T 0,36 26
27 c) Duas varáves quattatvas 27
28 c) Duas varáves quattatvas Tabelas De modo aálogo, a dstrbução cojuta pode ser resumda em tabelas de dupla etrada e, por meo das dstrbuções margas, é possível estudar a assocação das varáves. Cotudo, para evtar um grade úmero de etradas, agrupamos os dados margas em tervalos de classes, de modo semelhate ao resumo feto o caso udmesoal. 28
29 c) Duas varáves quattatvas Gráfcos Um dspostvo bastate útl para se verfcar a assocação etre duas varáves quattatvas, ou etre dos cojutos de dados, é o gráfco de dspersão bvarado. 29
30 Exemplo a) Deseja-se verfcar se exste relação etre o úmero de cletes e o tempo de servço de agetes de uma compaha de seguros. Tabela 1: Número de aos de servço (X) por úmero de cletes (Y) de agetes de uma compaha de seguros. agete aos_servco.cletes A 2 48 B 3 50 C 4 56 D 5 52 E 4 43 F 6 60 G 7 62 H 8 58 I 8 64 J Parece haver uma assocação etre as varáves, porque o cojuto, à medda que aumeta o tempo de servço, aumeta o úmero de cletes Número de cle tes Aos de servço 30
31 Exemplo b) Numa pesqusa feta com 10 famílas com reda bruta mesal etre 10 e 60 saláros mímos, medram-se a reda bruta mesal (expressa em. de saláros mímos) e a % da reda bruta aual gasta com assstêca médca. Tabela 2: Reda bruta mesal (X) e % da reda gasta em saúde (Y) para um cojuto de famílas. famla X Y A 12 7,2 B 16 7,4 C 18 7,0 D 20 6,5 E 28 6,6 F 30 6,7 G 40 6,0 H 48 5,6 I 50 6,0 J 54 5,5 Parece haver uma assocação versa, sto é, aumetado a reda bruta, dmu a % sobre ela gasta em assstêca médca. % gasta em saúde Reda mesal bruta 31
32 Exemplo c) Oto dvíduos foram submetdos a um teste sobre cohecmeto de lígua estragera e, em seguda, medu-se o tempo gasto para cada um apreder a operar uma determada máqua. Tabela 3: Resultado de um teste (X) e tempo de operação de máqua (Y) para oto dvíduos. dvduo X Y A B C D E F G H Parece ão haver uma assocação etre as duas varáves, pos cohecer o resultado do teste ão ajuda a prever o tempo gasto para apreder a operar a máqua. Tempo Resultado do teste 32
33 Tpos de relações possíves 33
34 c) Duas varáves quattatvas Numérco: Coefcete de correlação lear de Pearso Exstem mutos tpos de assocações possíves, remos apresetar o tpo de relação mas smples, que é a relação lear. Esta medda avala o quato a uvem de potos do gráfco de dspersão se aproxma de uma reta. 34
35 Covarâca (populacoal: XY e amostral: s XY ) É uma medda que mede a assocação etre duas varáves quattatvas. Dados pares de valores (x 1, y 1 ),, (x, y ), chama-se covarâca etre as duas varáves X e Y a: s XY 1 cov( X, Y ) ( x x)( y 1 y) < cov(x,y) < ou seja, É a méda da soma do produto dos desvos em relação a méda das varáves. Problema: Como avalar o que é maor ou meor? 35
36 Dados pares de valores (x 1, y 1 ),, (x, y ), chama-se coefcete de correlação lear de Pearso etre as duas varáves X e Y a: 1 r 1, ), cov( 1) ( ) )( ( ), ( 1 y x y x XY s s Y X s s y y x x Y X corr r r Correlação Correlação (populacoal: e amostral: r) Mede o grau de assocação lear etre duas varáves (meddas em ível tervalar) e também mede a proxmdade dos dados a uma reta. 1) ( y x y x s s s s XY y y x x y x y x r r Fórmula alteratva 36 ou seja, a méda dos produtos dos valores padrozados das varáves.
37 Classfcação da correlação Não exste correlação, se r = cor(x, Y) 0 A correlação é forte egatva se r = cor(x, Y) 1 A correlação é forte postva se r = cor(x, Y) Correlação egatva Correlação postva 37
38 Exemplo Para os dados abaxo, referete a produção de matéra seca (Y) e a quatdade de radação fotosstétca (X), obteha o coefcete de correlação lear de Pearso e classfque o tpo de assocação exstete etre as varáves. x y x 2 y 2 x y
39 XY y y x x y x y x r r x y x 2 y 2 x y = 0,9953 Exste uma assocação 39 lear postva muto forte etre as duas varáves, sto é, se aumeta (ou dmu) a produção de matéra seca (Y) etão aumetará (ou dmu) a quatdade de radação fotosstétca (X) e vce e versa. No software R: X<- c(18,55,190,300,410,460,570,770,815,965) Y<- c(10,60,110,160,220,280,340,400,460,520) cbd(x,y) # gráfco de dspersão plot(x,y, cex=1, pch=19, col= purple ) # Para obter a correlação o R: r<- cor(x,y); r roud(r,4)
40 Tarefa 1 Quatfque a assocação das varáves para os exemplos a), b) e c). Iterprete o coefcete para cada stuação. No software R: # 1) servco<- c(2, 3, 4, 5, 4, 6, 7, 8, 8, 10).cletes<- c(48, 50, 56, 52, 43, 60, 62, 58, 64, 72) plot(servco,.cletes, pch=19) cor(servco,.cletes) # 2) reda.bruta<- c(12, 16, 18, 20, 28, 30, 40, 48, 50, 54) reda.saude<- c(7.2, 7.4, 7.0, 6.5, 6.6, 6.7, 6.0, 5.6, 6.0, 5.5) plot(reda.bruta, reda.saude, pch=19) cor(reda.bruta, reda.saude) # 3) teste<- c(45, 52, 61, 70, 74, 76, 80, 90) tempo<- c(343, 368, 355, 334, 337, 381, 345, 375) plot(teste, tempo, pch=19) cor(teste, tempo) 40
41 Como obter a calculadora: Modelo Casso fx-82ms Méda e desvo padrão 1) Lmpar a memóra: SHIFT CLR 3 = = 2) Mudar para o módulo estatístco (SD): MODE 3) Etrar com os dados úmero M+ úmero M+ 4) Pedr a fução: SHIFT 1... SHIFT 2 41
42 Como obter a calculadora: Regressão lear: y = A + Bx Modelo Casso fx-82ms 1) Lmpar a memóra: SHIFT Scl = = 2) Mudar para o módulo regressão (Reg) Lear (L): MODE 3 1 3) Etrar com os dados coord x, coord y M+... coord x, coord y M+ 4) Pedr a fução: SHIFT 1 = SHIFT 2 = Somatóros Coefcete de correlação lear 42
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