PME Mecânica Geral B. Introdução à Mecânica Analítica Notas de Aula

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1 ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departameto e Egehara Mecâca PME 00 - Mecâca Geral B Itroução à Mecâca Aalítca Notas e Aula Prof Dr Clóvs e Arrua Marts 006

2 ÍNDICE INTRODUÇÃO GRAUS DE LIBERDADE COORDENADAS GENERALIZADAS 4 VÍNCULOS HOLÔNOMOS 5 DESLOCAMENTOS VIRTUAIS 4 6 TRABALHO VIRTUAL 5 7 FORÇAS VINCULARES 5 8 O PRINCÍPIO DO TRABALHO VIRTUAL 8 9 O PRINCÍPIO DE D ALEMBERT 0 FORÇAS GENERALIZADAS EQUAÇÕES DE LAGRANGE 4 FUNÇÃO DE DISSIPAÇÃO DE RAYLEIGH 7 PEQUENAS OSCILAÇÕES 4 BIBLIOGRAFIA 6

3 INTRODUÇÃO As les a mecâca foram formulaas por Newto para uma partícula solaa, mas poem ser esteas para um sstema e partículas coserao as forças vculares, ue resultam as relações cemátcas ue restrgem os movmetos as partículas Uma as aborages usaas para motar as euações o movmeto, ue é chamaa e mecâca vetoral, é baseaa retamete as les e Newto e trabalha com graezas vetoras, como força e uatae e movmeto Este camho cosera separaamete as forças atuao em caa partícula e ecessta o cálculo as forças vculares, embora tas forças possam ão ser e teresse Uma outra aboragem, ue é o obeto prcpal estas otas e aula, é atrbuía a Lebtz e Lagrage e é chamaa e mecâca aalítca Esta aboragem cosera o sstema como um too, formulao o problema a mecâca a partr e uas uataes escalares fuametas: a eerga cétca e a eerga potecal As restrções cemátcas o movmeto são levaas em cota, sem ue sea ecessáro o cálculo as forças ue as matêm A troução e cooreaas geeralzaas o lugar as cooreaas físcas tora a formulação mas versátl e as euações o movmeto são obtas e uma forma parozaa, epeete o partcular sstema e cooreaas utlzao GRAUS DE LIBERDADE A posção ocupaa o espaço por uma partícula em movmeto é perfetamete escrta pelo tero e cooreaas cartesaas (,y,z) Se o seu movmeto é lvre, as três cooreaas são fuções epeetes, pos a partícula poe ocupar ualuer poto o espaço Dz-se, esse caso, ue a partícula possu três graus e lberae, caa um correspoeo a uma as cooreaas epeetes Cosere, agora, o caso e uma partícula ue é obrgaa a se mover sobre uma esfera e cetro ( 0,y 0,z 0 ) e rao R Nesse caso as cooreaas a partícula ão são mas epeetes, pos estão vculaas pela coção ( R 0 ) ( y y0 ) ( z z0 ) Se, em vez e cooreaas cartesaas, for usao um sstema e cooreaas esfércas (r, θ,φ), a posção a partícula está perfetamete escrta pelo par e cooreaas epeetes (θ,φ), pos a coção e ue o movmeto estea cofao à superfíce a esfera obrga ue rr e, portato, r ão é uma varável Dz, esse caso, ue a partícula possu os graus e lberae O úmero e graus e lberae e um sstema e partículas é o úmero e cooreaas usaas para escrever a sua cofguração meos o úmero e coções epeetes e vículo Se a posção e um sstema é escrta usao um couto e cooreaas e há

4 m euações epeetes vculao essas cooreaas, etão o sstema possu -m graus e lberae Freüetemete é possível achar um couto e cooreaas epeetes ue escreve a cofguração e um sstema, poeo varar lvremete sem volar os vículos, como o caso as cooreaas (θ,φ) para a partícula moveo-se sobre a esfera Nesse caso o úmero e graus e lberae é gual ao úmero e cooreaas É mportate mecoar ue o úmero e graus e lberae é uma característca o sstema e ão epee e um partcular couto e cooreaas aotao para escrever sua cofguração Em outras palavras, euato a escolha as cooreaas flueca o e m, a fereça (-m) é fa para um ao sstema COORDENADAS GENERALIZADAS A cofguração e um sstema formao por N partículas poe ser epressa pelas cooreaas cartesaas e caa uma elas A posção o sstema, em caa state, está perfetamete etermaa por um couto e N úmeros (,y,z ) Por outro lao, se forem utlzaas cooreaas esfércas, será ecessáro cohecer um outro couto e N úmeros (r, θ,φ ), o mesmo state Cohecas as cooreaas esfércas e um poto, as suas cooreaas cartesaas são obtas pela trasformação e cooreaas: r seθ cosφ y r seθ seφ z r cosθ Além esses os coutos, este um úmero fto e outros ue poem ser usaos para represetar a cofguração o sstema Algus esses coutos poem ão ter um sgfcao geométrco aparete, mas, como represetam a posção o sstema, poem ser coseraos como cooreaas em um seto mas amplo Qualuer couto e úmeros ue é utlzao para represetar a posção e um sstema é um couto e cooreaas geeralzaas Em mutos casos, a aálse e um sstema mecâco fca bastate smplfcaa pela escolha aeuaa e um couto e cooreaas geeralzaas epeetes Nesse caso, o úmero e cooreaas geeralzaas é gual ao úmero e graus e lberae e, portato, ão estem euações vculares As euações e trasformação e um couto e cooreaas oráras para um couto e cooreaas geeralzaas têm a forma geral

5 f (, f (,, L, f (, L L L, L,, L,, t), t), t) () Assocao a caa couto e cooreaas poe estr um couto e euações e vículo Se essas euações são epeetes, o seu úmero é gual à fereça etre o úmero e cooreaas usaas para escrever o sstema e o seu úmero e graus e lberae Assm, se há l euações e vículo relacoao as cooreaas oráras e m euações e vículo relacoao as cooreaas geeralzaas, etão, como o úmero e graus e lberae é uma característca o sstema, l m () 4 VÍNCULOS HOLÔNOMOS Cosere um sstema cua cofguração é escrta por cooreaas geeralzaas,,, e supoha ue estem m euações vculares a forma φ,, K,, t) 0 (,, K, ) () ( m Vículos este tpo são cohecos como vículos holôomos Como este sstema possu (-m) graus e lberae, estem apeas (-m) cooreaas epeetes As relações () poem ser usaas para epressar m as cooreaas como fução as outras (-m) e, assm, elmá-las o couto e cooreaas geeralzaas, resultao, essa forma, (m) cooreaas geeralzaas epeetes, ue poem ser alteraas arbtraramete sem volar as coções e vículo Como eemplo e vículos holôomos, cosere o pêulo uplo a fgura As hastes e comprmetos l e l são coseraas rígas e sem massa O sstema é artculao em m e em O, e maera ue o movmeto é cofao a um plao vertcal Se forem escolhas as cooreaas (,y ) e (,y ) para represetar, respectvamete, as posções as massas m e m, etão as euações e vículo têm a forma y l ( ) ( y y) l, Este procemeto em sempre é possível ou eseável Nesse caso poe ser usao o métoo os Multplcaores e Lagrage, ue ão será obeto este curso

6 ue epressa o fato e ue os comprmetos as hastes são costates Note ue esses partculares vículos holôomos ão epeem eplctamete o tempo O θ l m (,y ) θ l y m (,y ) Fgura - Um pêulo uplo Neste eemplo o pêulo uplo, foram usaas uatro cooreaas para represetar a cofguração o sstema ue tem apeas os graus e lberae Mas como os vículos são holôomos em sua atureza, é possível achar um couto e cooreaas geeralzaas epeetes tas ue seam e mesmo úmero ue os graus e lberae Por eemplo, os âgulos θ e θ, ue represetam os âgulos ue as hastes formam com a vertcal, poeram ter so escolhos como cooreaas geeralzaas Outras escolhas poeram ter so fetas, como efr θ como o âgulo ue a haste l forma com a haste l Os vículos ão-holôomos ão poem ser epressos por epressões com a forma (), pos são epressos por relações e ferecas as cooreaas e o tempo ue ão poem ser tegraas Vículos este tpo ão serão estuaos o presete curso 5 DESLOCAMENTOS VIRTUAIS Um eslocameto vrtual e um sstema é uma muaça a sua cofguração ue resulta e uma varação arbtrára as suas cooreaas, cosstete com os seus vículos, em um ao state t Um eslocameto vrtual se processa e maera statâea, mateo as forças aplcaas e as coções e vículo costates Para represetar um eslocameto vrtual usa-se uma otação eva a Lagrage De acoro com esta otação, um eslocameto vrtual é represetao pelo símbolo δ colocao 4

7 à frete a cooreaa correspoete Por eemplo, para um sstema e N partículas, cua cofguração é epressa pelas cooreaas cartesaas,,, N, um couto e eslocametos vrtuas será cao por δ, δ,, δ N 6 TRABALHO VIRTUAL Cosere um sstema e N partículas, cua cofguração é especfcaa em termos as cooreaas cartesaas,,, N Supoha ue as forças F, F,, F N estão aplcaas a reção crescete a cooreaa correspoete Image, agora, ue, em um ao state, são aplcaos ao sstema os eslocametos vrtuas δ, δ,, δ N O trabalho realzao urate os eslocametos vrtuas pelas forças aplcaas é coheco como trabalho vrtual é e ao por N δ W F δ (4) Se F é a força aplcaa à partícula cuo vetor e posção é r, o trabalho vrtual as forças aplcaas poe ser escrto, também, a forma: N δ W F δ r (5) 7 FORÇAS VINCULARES Se um sstema está sueto a vículos, forças vculares evem ser aplcaas às suas partículas para garatr ue as coções e vículo seam respetaas Para uma ampla classe e problemas, o trabalho vrtual realzao pelas forças vculares é ulo Cosere, por eemplo, uas partículas coectaas por uma haste ríga sem massa, como está esuematzao a fgura Pelo prcípo a ação e reação, as forças trasmtas pela haste às partículas evem ser guas, opostas e coleares Se R é a força vcular em m e R é a força vcular em m, etão R R R e r, (6) oe e r é o vetor utáro recoao e m para m Na aplcação os eslocametos vrtuas δ r e δ r, o trabalho vrtual realzao pelas forças vculares, a forma a euação (5) é δ W R (7) δ r R δ r Mas as compoetes o eslocameto a reção a haste evem ser guas, para ue ela ão se eforme, resultao a coção e vículo: 5

8 e δ r δ r er r (8) Etão, as euações (6), (7) e (8), coclu-se ue δ W R R ) e δ r 0, ( r cao ue o trabalho vrtual as forças vculares é ulo m R δr e r R m δr Fgura - Duas partículas coectaas por haste ríga sem massa O eemplo a haste poe ser esteo para o caso e um corpo rígo ue poe ser coserao como formao por um grae úmero e partículas rgamete terlgaas Assm, o trabalho vrtual realzao pelas forças vculares ago etre uas partículas é ulo e a soma e toas as combações e pares e partículas permte coclur ue o trabalho vrtual total as forças vculares teras é ulo Um outro eemplo ue poe ser scuto é o caso e um corpo B ue escorrega sem atrto sobre uma superfíce fa S coforme está esuematzao a fgura Como ão há atrto, a força e cotato R BS é ormal à superfíce Nehum trabalho vrtual poe ser eecutao a superfíce S porue as suas partículas ão poem se mover Qualuer eslocameto vrtual o poto e aplcação e R BS eve ser tagete a S Segue a euação (5), ue o trabalho vrtual as forças vculares é ovamete ulo Note ue o trabalho vrtual sera ulo mesmo ue a superfíce se movesse e acoro com uma fução eplícta o tempo, á ue o tempo permaece cogelao urate um eslocameto vrtual e, portato, a superfíce é coseraa fa o state em ue se processa esse eslocameto vrtual 6

9 B R SB R BS S Fgura - Corpo escorregao sem atrto sobre uma superfíce fa Um últmo eemplo é o e um sco ue rola sem escorregar sobre uma superfíce fa em movmeto plao, coforme a fgura 4 Novamete, as forças ue atuam a superfíce fa ão poem realzar trabalho A força ue a superfíce aplca o sco é composta por uma compoete e atrto R t ago tagecalmete à superfíce e uma compoete ormal R Como ão há escorregameto, a partícula o sco ue se ecotra stataeamete em C está em repouso uao a força vcular é aplcaa sobre ela e, portato, ão há eslocameto o poto e aplcação essa força Assm, o trabalho vrtual as forças vculares é au também ulo Mas aa: embora teha so scuto o caso partcular e um sco rolao o plao, um argumeto smlar aplca-se aos outros casos e cotato rolate e um corpo sobre uma superfíce fa θ C R t R Fgura 4 - Dsco rolao sem escorregar em movmeto plao Os eemplos ue foram apresetaos lustram o fato e ue, para város tpos e vículos ue comumete ocorrem, o trabalho vrtual realzao pelas forças vculares é ulo Apeas este tpo e vículo será coserao a seüêca este curso 7

10 8 O PRINCÍPIO DO TRABALHO VIRTUAL Um sstema está em eulíbro estátco em relação a um referecal ercal se toas as suas partículas estão em repouso em relação a esse referecal e se a soma vetoral e toas as forças ue atuam sobre caa uma as partículas é ula A força total ue atua sobre uma partícula m poe ser separaa em uma força vcular R e uma força aplcaa F Se o sstema e N partículas está em eulíbro, etão para caa partícula: F R 0 (9) Portato, o trabalho vrtual e toas as forças, ue resulta e um eslocameto vrtual δ r é N ( F N R ) δ r F δ r R δ r 0 (0) N Se as forças vculares ão realzam trabalho, coforme fo scuto o tem ateror, etão N R δ 0 () r Das euações (0) e (), coclu-se ue N δ W F δ r 0, () ou sea, ue se um sstema e partículas cuas forças vculares ão realzam trabalho está em eulíbro, etão o trabalho vrtual as forças aplcaas é ulo, para uasuer eslocametos vrtuas Cosere, agora, um sstema e partículas com vículos ue ão realzam trabalho ue está calmete em repouso, porém ão está em eulíbro Etão uma ou mas e suas partículas possu uma força ão ula aplcaa sobre ela e, e acoro com a segua le e Newto, tee a se mover a reção essa força Como ualuer movmeto eve ser compatível com os vículos sempre se poe achar um eslocameto vrtual a reção a força em caa poto Nesse caso, o trabalho vrtual é postvo, ou sea, N N F δ r R δ r > 0 () Mas, mas uma vez, as forças vculares ão realzam trabalho e a euação () se aplca Etão, para esse sstema, o trabalho vrtual realzao pelas forças aplcaas esses eslocametos vrtuas é postvo, sto é, N δ W F δ r > 0 (4) 8

11 Em outras palavras, se o ao sstema ão está em eulíbro, sempre será possível achar um couto e eslocametos vrtuas, para os uas o trabalho vrtual as forças aplcaas é postvo Este resultao poe ser stetzao o Prcípo o Trabalho Vrtual: A coção ecessára e sufcete para o eulíbro estátco e um sstema calmete em repouso cuas forças vculares ão realzam trabalho é ue sea ulo o trabalho vrtual realzao pelas forças aplcaas urate eslocametos vrtuas arbtráros O Prcípo o Trabalho Vrtual é e mportâca fuametal o estuo a estátca e, se é utlzao o Prcípo e Alembert, poe ser esteo para sstemas âmcos Foreceo um crtéro relatvamete smples para o eulíbro e uma classe grae e mportate e sstemas e evtao a ecessae e calcular forças vculares em mutos casos, ele smplfca a aálse e uma vareae ampla e problemas em Mecâca Eemplo Duas massas guas são coectaas por uma barra ríga sem massa, coforme o esuema a fgura 5 (a) Coserao ue ão há atrto em ehum os cotatos, calcule a força F ecessára para mater o eulíbro estátco o sstema (b) Para o caso em ue F 0, ual é o mímo coefcete e atrto μ ue eve haver o cotato etre m e o solo, para ão haver escorregameto? Fgura 5 - Um sstema ue se move o plao Solução (a) Seo e os eslocametos as massas meos a partr a cofguração cal o sstema, como o comprmeto a barra ão se altera, eles estão lgaos pela coção e vículo: 9

12 ( a a ) ( a ), cua forma ferecal é ( a ) ( a ) e, portato, a cofguração cal 0 (5) As forças aplcaas ao sstema são a força F, os pesos e as forças ormas os cotatos O peso e m atua em uma reção perpecular ao eslocameto vrtual δ e, portato, ão realza trabalho em um eslocameto vrtual As forças ormas são perpeculares aos eslocametos vrtuas correspoetes e, portato, também ão realzam trabalho A aplcação o prcípo o trabalho vrtual resulta a coção para ue o sstema estea em eulíbro mgδ F δ 0 Mas como too eslocameto vrtual eve ser cosstete com a euação e vículo (5), etão δ δ (6) e, portato, F mg (b) Para calcular a força e atrto o cotato e m com o solo é ecessáro calcular, em prmero lugar, a força ormal N, ue é obta retamete o eulíbro o sstema a reção vertcal: N mg Etão, usao a le e Coulomb, a força e atrto a mêca o escorregameto será μ N μmg Aplcao, ovamete, o prcípo o trabalho vrtual, coserao a força e atrto como uma força aplcaa, resulta a coção para eulíbro estátco o sstema: mgδ μ mgδ 0 Mas uma vez a coção e vículo (6) eve ser satsfeta e, portato, o mímo coefcete e atrto, correspoete à stuação em ue o escorregameto é mete é μ 0

13 9 O PRINCÍPIO DE D ALEMBERT Em um referecal ercal, se uma partícula e massa m é submeta a uma força F, ela aure uma aceleração absoluta a ue é aa pela segua le e Newto F ma (7) Esta euação poe ser reescrta a forma F m a 0 (8) oe o termo -ma poe ser coserao como uma força acoal aplcaa sobre a partícula, uma força e érca Portato, o resultao ao pela euação (8) poe ser terpretao como zeo ue a soma as forças é ula, a mesma maera ue o eulíbro estátco Este é o Prcípo e Alembert a sua forma mas smples, ue permte ue se usem os métoos a estátca para obter as euações o movmeto Uma forma mas geral o Prcípo e Alembert usa um outro crtéro para eulíbro estátco, ou sea, o Prcípo o Trabalho Vrtual, para obter as euações e eulíbro o sstema Cosere, com essa falae, um sstema e N partículas e massa m, submetas às forças aplcaas F A uatae e movmeto a partícula é p m v (9) e a força e érca p poe ser acoaa à força aplcaa F a epressão () para obter o ovo eucao o Prcípo e Alembert: N ( F p ) δ r 0 (0) 0 FORÇAS GENERALIZADAS Cosere um sstema e partículas cuas posções são especfcaas pelas cooreaas cartesaas,,, Se as forças F, F,, F são aplcaas às cooreaas correspoetes e elas atuam a reção postva em caa caso, etão o trabalho vrtual essas forças em um eslocameto vrtual arbtráro é δ W F δ () em cocorâca com a euação (4) Supoha, agora, ue as cooreaas oráras,,, estão relacoaas com as cooreaas geeralzaas a forma a euação () Etão, poe-se epressar os eslocametos vrtuas os em termos os eslocametos vrtuas correspoetes aos Dferecao a euação ()

14 t (,, K, ), () substtuo os ferecas pelos correspoetes eslocametos vrtuas δ e lembrao ue δ t0, pos os eslocametos vrtuas se processam stataeamete, obtém-se δ δ (,, K, ) () oe os coefcetes em (), chega-se a / são fuções os e o tempo Substtuo esta epressão δ W F δ (4) Trocao a orem os somatóros, a euação (4) poe ser colocaa a forma δ W Q δ (5) oe aparece a força geeralzaa Q assocaa à cooreaa geeralzaa ue é efa por Q F (,, K, ) (6) Note ue as epressões para o trabalho vrtual aas pelas euações () e (5) têm a mesma forma matemátca A mesão e uma força geeralzaa epee a mesão a cooreaa geeralzaa correspoete, mas o prouto Q δ eve ter sempre a mesão e trabalho [FL] Assm, se correspoer a um eslocameto lear, a força geeralzaa terá a mesão e força e se for um âgulo, etão Q será um mometo As cooreaas cartesaas são um caso especal e cooreaas geeralzaas Da mesma maera uma força orára F é um caso especal e força geeralzaa Toos os resultaos ue se aplcam a forças e eslocametos geeralzaos são válos também para forças e eslocametos oráros Como eemplo o cálculo e forças geeralzaas, cosere o sstema a fgura 6 As partículas estão coectaas por uma cora elástca e são vculaas e maera ue apeas movmetos trasversas em um úco plao seam permtos As cooreaas oráras,, esgam os eslocametos trasversas as partículas Nehum vículo acoal é coserao, e maera ue o sstema tem três graus e lberae Supoha ue as três cooreaas geeralzaas epeetes,, seam usaas para escrever o mesmo sstema De acoro com a euação () as euações e trasformação ue relacoam os os coutos e cooreaas poem ser escrtas a forma

15 4 4 (7) F F F Fgura 6 - Cooreaas e forças assocaas aos movmetos plaos trasversas e uma cora elástca carregaa Note ue os coefcetes em (7) poem ser escolhos e forma arbtrára, garato apeas ue os seam epeetes As forças geeralzaas são calculaas retamete aplcao as relações e trasformação (7) a efção (6): Q F F 4 Q F F Q F F 4 F F (8) O sgfcao geométrco e caa cooreaa geeralzaa poe ser observao fazeo com ue ela vare separaamete as outras Por eemplo, se apeas é lberaa para varar, verfca-se a partr a euação (7) ue as cooreaas oráras assumem valores e acoro com a relação : : :: 4 4 Um procemeto smlar poe ser usao para obter as relações correspoetes a e Etão caa cooreaa geeralzaa poe ser assocaa a uma forma e efleão partcular como poe ser vsto a fgura 7 para este eemplo A superposção essas formas e efleão multplcaas pelos valores as cooreaas geeralzaas correspoetes tora possível ue ualuer cofguração possa ser escrta Cooreaas geeralzaas esse tpo ecotram uma aplcação ampla o estuo os problemas e vbrações leares e sstemas com múltplos graus e lberae O coceto e forças geeralzaas poe ser usao para epressar as coções reueras para o eulíbro estátco Para verfcar sto, ote a euação (5) ue, se δ W0 para um

16 eslocameto vrtual arbtráro e epeetes, etão toas as forças geeralzaas evem ser ulas Portato, poe-se usar o Prcípo o Trabalho Vrtual para mostrar ue a coção ecessára e sufcete para o eulíbro e um sstema calmete em repouso é ue toas as forças geeralzaas correspoetes às cooreaas geeralzaas seam ulas Forças vculares ão etram retamete este caso porue fo assumo ue os são epeetes e, portato, ão vculaos /4 / / - / 0 Fgura 7 - Formas e efleão correspoetes às cooreaas geeralzaas EQUAÇÕES DE LAGRANGE Cosere um sstema com N partículas cuas posções são especfcaas pelas cooreaas cartesaas,,, N, oe (,, ) são as cooreaas a prmera partícula, ( 4, 5, 6 ) as a segua e assm por ate A eerga cétca total esse sstema é T N m (9) 4

17 Cosere, agora, ue a cofguração esse mesmo sstema sea represetaa por um couto e cooreaas geeralzaas epeetes As cooreaas oráras e as cooreaas geeralzaas estão relacoaas pelas euações e trasformação (), cua ervação em fução o tempo permte coclur ue (0) t Caa couto e cooreaas permte o mesmo úmero e graus e lberae, ue é uma característca o sstema e partículas, embora as teham vículos a elas assocaos A epressão (0) permte verfcar ue as velocaes oráras são, o caso geral, fuções as cooreaas geeralzaas, as velocaes geeralzaas, e o tempo, sto é, g, K,,, K, ) () ( t Substtuo a euações (0) a epressão a eerga cétca (9), verfca-se ue ela poe ser colocaa a forma N T m () t oe as ervaas parcas / e / t são fuções as cooreaas geeralzaas e o tempo Verfca-se, etão, ue a eerga cétca é uma fução as cooreaas geeralzaas, as velocaes geeralzaas e o tempo A uatae e movmeto geeralzaa p assocaa à cooreaa geeralzaa é efa pela euação p T () Note ue p é uma uatae escalar Para o caso e sstema e cooreaas relatvamete smples, p é ustamete a compoete o vetor uatae e movmeto a reção a cooreaa Como eemplo, cosere uma partícula cua posção é epressa por cooreaas cartesaas Sua eerga cétca é T m( y z ) A uatae e movmeto assocaa à cooreaa é p T m ue é a compoete a uatae e movmeto a reção o eo 5

18 Smlarmete, para o caso em ue a posção a partícula é epressa em termos e cooreaas esfércas, a eerga cétca poe ser escrta a forma: e, portato, T m( r r θ r φ se θ ) p r T mr r ue é a compoete raal a uatae e movmeto Cosere, agora, T p φ mr θ φ se φ Esta epressão poe ser recoheca com a compoete vertcal (φ) o mometo agular Au o mometo agular aparece o lugar a uatae e movmeto Isto ocorre porue a cooreaa φ represeta eslocametos agulares No caso e um sstema e cooreaas ão ortogoas, verfca-se ue p em sempre é uma compoete a uatae e movmeto a forma covecoal, mas é proeção a uatae e movmeto o eo Para coutos e cooreaas mas geras, p em sempre têm um sgfcao físco ue possa ser faclmete epresso Retorao, agora, ao sstema com N partículas, as euações (9) e () permtem verfcar ue p (4) N m Mas, como as cooreaas geeralzaas são epeetes e as relações e trasformação () epeem as velocaes, a euação (0) obtém-se (5) e, portato, a epressão (4) se trasforma em p N m (6) Esta últma euação poe ser ervaa em relação ao tempo para se obter a taa e varação o tempo a uatae e movmeto geeralzaa: p N m N m 6

19 7 Mas, como as ervaas / são fução as cooreaas geeralzaas e o tempo, etão t e, portato, N t m m m p (7) Supoo ue a massa m e caa partícula sea costate, obtém-se a euação (9), N m T (8) A ervaa / poe ser obta ervao a euação (0) em relação a tomao-se a precaução e trocar o íce o somatóro e para t (9) Esta epressão poe ser aplcaa em (8) para se obter N t m T (40) Comparao as euações (7) e (40), coclu-se ue N T m p (4) Cosere, agora, as forças ue agem sobre uma partícula típca o sstema A compoete a resultate a reção é a soma e uma compoete f eva aos vículos e uma compoete F eva a toas as outras forças aplcaas Aplcao a segua le e Newto à partícula obtém-se f F m (4) Esta epressão poe ser colocaa a euação (4), e forma ue N N T f F p (4) Da efção (6) é aparete ue o prmero termo à reta a gualae é a força geeralzaa Q, correspoete às forças aplcaas

20 Q N F (44) e e uma maera smlar, o termo N f é uma força geeralzaa ue resulta as forças vculares O trabalho realzao pelas forças vculares f em um eslocameto vrtual arbtráro é N δ Wc f δ (45) De acoro com a euação () este trabalho eve ser ulo para ualuer couto e δ Como os δ são epeetes, etão os coefcetes e caa δ a euação (45) evem ser ulos Portato, N f δ 0 (46) As euações (44) e (46) poem ser usaas para smplfcar a euação (4) a forma p T Q (47) ou, usao a euação () T T Q (,, K, ) (48) Estas euações são cohecas como Euações e Lagrage e aparecem au em uma as suas formas prcpas O sgfcao físco as Euações e Lagrage poe ser mas bem vsto a euação (47) ue mostra ue a taa e varação em relação ao tempo a uatae e movmeto geeralzaa p é gual à força geeralzaa Q eva às forças aplcaas mas o termo T / ue é uma força e érca geeralzaa causaa pelo movmeto as outras cooreaas geeralzaas Para verfcar este últmo poto mas claramete, cosere ovamete o eemplo e uma partícula cua eerga cétca é epressa em termos e cooreaas esfércas Verfca-se ue T r mr θ mr se θ φ 8

21 O prmero termo à reta a gualae é a força cetrífuga causaa pelo movmeto em θ, euato o seguo termo é a compoete r a força cetrífuga ue resulta o movmeto em φ Uma outra forma as Euações e Lagrage poe ser obta para sstemas em ue toas as forças geeralzaas são erváves e uma fução potecal VV(,,,,t), ou sea, Q V (49) Au estão cluíos tato os sstemas para os uas as fuções potecas são fuções eplíctas o tempo, uato os sstemas coservatvos, os uas V é uma fução eclusva a posção Substtuo a epressão (49) para Q a euação (48), coclu-se ue T T V (,, K, ) (50) Defo-se, agora, a fução Lagragaa L como a fereça etre a eerga cétca e a fução potecal, ou sea, L T V (5) e como V ão é uma fução as velocaes geeralzaas, etão, L L 0 (,, K, ), (5) ue é a forma mas comum as euações e Lagrage Cosere, agora, um sstema em ue as forças ão são toas erváves e uma fução potecal A euação (48) é sempre aplcável, mas é mas coveete escrever as euações e Lagrage a forma L L Q (,, K, ), (5) oe os Q são auelas forças geeralzaas ue ão são erváves e uma fução potecal Como ates, as outras forças são obtas a fução Lagragaa L Eemplos típcos e Q são forças e atrto, forçates ue epeem o tempo e forças vculares ão-holôomas Neste tem foram obtas as euações e Lagrage a partr as Les e Newto, usao o coceto e trabalho vrtual e epressao os resultaos por meo e cooreaas geeralzaas e forças geeralzaas Para escrever um sstema com graus e lberae resultam euações ferecas e segua orem Estas euações são euvaletes às euações o movmeto ue teram so obtas pela aplcação reta as Les e Newto 9

22 e, portato, elas ão cotêm prcípos físcos ovos e epeetes Etretato, o métoo e Lagrage para obter as euações o movmeto é mas sstemátco e freüetemete mas fácl e ser aplcao ue as euações e Newto Apeas velocaes e eslocametos aparecem a fução Lagragaa Nehuma aceleração é ecessára e, portato, a ecessae e cálculos cemátcos trcaos é freüetemete evtaa Uma vez ue L é etermaa, o procemeto para obter as euações o movmeto é muto reto Mas aa, essas euações teem a apresetar uma forma coveete e, partcularmete o caso e sstemas leares, as euações apresetam uma smetra os coefcetes ue poe ão estar aparete a formulação e Newto É um fato a ser lembrao ue o efoue Lagrageao permte ue se obteham as euações o movmeto para uma larga classe e problemas a partr e uma úca fução escalar, a fução Lagragaa L A êfase em eergas em lugar e forças e acelerações permte ue se le com graezas escalares O efoue aalítco a Mecâca poe ser também formulao usao procemetos varacoas Em um tratameto mas avaçao a Mecâca, os prcípos varacoas ou e mmzação são usaos como o poto e íco para escreverem-se as euações e Lagrage o movmeto e, e fato, as euações e Lagrage poem ser ervaas essa maera Eemplo Escreva as euações ferecas o movmeto e uma partícula e massa m em um campo gravtacoal uforme usao cooreaas esfércas Solução A posção a partícula em relação à orgem O poe ser especfcaa pelo couto e cooreaas esfércas (r,θ,φ) coforme a fgura 8 g z θ r O y φ Fgura 8 - Cooreaas Esfércas 0

23 Usao essas cooreaas, o vetor e posção a partícula em relação ao poto fo O é r r seθ cosφ r seθ seφ r cosθ, a sua velocae é v ( r seθ cosφ r θ cosθ cosφ r φ seθ seφ) ( r seθ seφ r θ cosθ seφ r φ seθ cosφ) ( r cosθ r θ seθ ) e, portato a sua eerga cétca é T m( r r θ r φ se θ ) (54) Por outro lao, a eerga potecal assocaa à força gravtacoal ue atua sobre a partícula é V mgr cosθ, (55) se a referêca essa eerga for colocaa o plao Oy A Lagragaa o sstema é obta, etão subtrao a eerga potecal (55) a eerga cétca (54): L T V m( r r θ r se θ φ ) mgr cosθ As euações e Lagrage o movmeto são obtas usao a forma geral (5): ) euação para a varável r Etapas termeáras: L mr r L mr r L m( r θ r φ se θ ) mg cosθ r Forma fal: r r θ r φ se θ g cosθ 0 (56)

24 ) euação para a varável θ Etapas termeáras: L mr θ θ L m(rr θ r θ ) θ L m( r ϕ seθ cosθ gr seθ ) θ Forma fal: r θ rr θ r ϕ seθ cosθ gr seθ 0 (57) Fora a orgem ( r 0 ) essa euação poe ser smplfcaa: r θ r θ r ϕ seθ cosθ g seθ 0 ) euação para a varável φ Etapas termeáras: L mr φ se φ θ L ( φ se θ φ se θ φθ m rr r r seθ cosθ ) φ L 0 φ Forma fal: r φ se θ rr φ se θ r φθ seθ cosθ 0 (58) Fora a orgem e para seθ 0, esta euação poe ser smplfcaa: Eemplo r φ se θ r φ seθ r φθ cosθ 0 Uma partícula e massa m escorrega sem atrto etro e um tubo crcular e rao r O tubo gra em toro o eo vertcal com uma velocae agular ω costate coforme a fgura 9 Escreva a euação ferecal o movmeto

25 Solução Como r é costate e φ ω, o úco grau e lberae a partícula é θ e o movmeto é escrto apeas pela euação ferecal assocaa a essa cooreaa A eerga cétca a partícula poe ser obta retamete a epressão (54) o eemplo ateror: T m( r θ r ω se θ ) (59) e colocao a referêca a eerga potecal a altura o cetro o tubo, V mgr cosθ (60) Fgura 9 - Uma partícula em um tubo ue gra Assm, a Lagragaa a partícula é L T V m( r θ r ω se θ ) mgr cosθ (6) A partr e L é obta a euação ferecal o movmeto: Etapas termeáras: L mr θ θ L mr θ θ

26 L m( r ω seθ cosθ gr seθ ) θ Forma fal: Eemplo r θ r ω seθ cosθ gr seθ 0 O bloco e massa m poe escorregar sobre o bloco e massa m ue, por sua vez, poe eslzar sobre uma superfíce horzotal sem atrto, coforme está esuematzao a fgura 0 Pee-se calcular a aceleração o bloco e massa m, supoo ue o coefcete e atrto o cotato etre os os blocos sea μ < Fgura 0 - Um sstema formao por blocos eslzates O sstema possu os graus e lberae As cooreaas e poem varar lvremete sem volar os vículos o sstema e poem ser usaas para escrever o movmeto A força gravtacoal poe ser ervaa e um potecal, mas a força e atrto etre os os blocos ão, e moo ue evem ser usaas as euações e Lagrage a forma (5) A velocae o bloco e massa m é v e a velocae o bloco e massa m é, v e forma ue a eerga cétca total o sstema é 4

27 T ( ) m m Para a eerga potecal o sstema cotrbu apeas a força peso o bloco e massa m, á ue o movmeto o bloco e massa m ão tem compoete a reção vertcal Assm, colocao a referêca a eerga potecal a orgem e, V m g A Lagragaa o sstema é, etão, ( ) m g L T V m m O prómo passo é calcular as forças geeralzaas Q e Q ue levam em cota o efeto as forças e atrto correspoete, respectvamete, aos eslocametos vrtuas δ e δ Como um eslocameto vrtual e ão evolve escorregameto etre os blocos, a força e atrto ão realza trabalho e, portato, Q 0 Um eslocameto e, etretato, evolve trabalho vrtual a força e atrto Seguo a le e Coulomb, a força e atrto o escorregameto é proporcoal à força ormal ue aparece o cotato etre os blocos Esta força, felzmete, ão aparece e forma eplícta a formulação e Lagrage No etato, ela poe ser calculaa a partr o agrama e corpo lvre ue aparece a fgura, oe estão represetaas as forças ue atuam sobre m, cluo as forças e érca, pos os blocos se ecotram em movmeto o state os eslocametos vrtuas Fgura - Dagrama e corpo lvre e m 5

28 Assm, usao o prcípo e Alembert, o eulíbro as forças a reção ormal à superfíce e escorregameto resulta a euação: e, portato, N m ( g) 0 N m ( g ) O trabalho vrtual a força e atrto é Mas, δ W μ Nδ δ W Q δ e, portato, Q μ N μ m ( g) O prómo passo é motar as euações e Lagrage a forma (5): ) euação em Etapas termeáras: L ( m m ) m L ( m m ) m L 0 Forma fal: m ) m 0 (6) ( m 6

29 ) euação em Etapas termeáras: L m L m L Forma fal: ou m g m mg m ( g) μ ( μ) g( μ) (6) Para calcular a aceleração o bloco e massa m basta, agora, solar o valor e a euação (6) e substtuí-lo a euação (6): ( μ) m g m ( μ) m Note, au, o sgfcao a hpótese μ < estabeleca o eucao: ela garate ue a aceleração o bloco m é postva e, portato, a aceleração o bloco m também o é (ve (6) Assm, o bloco m tee a escer em relação ao bloco m e, essa forma, o seto a força e atrto cao a fgura (6) está correto FUNÇÃO DE DISSIPAÇÃO DE RAYLEIGH As forças geeralzaas Q ue aparecem a euação (5) cluem as forças ãocoservatvas ue ão poem ser ervaas a partr e um potecal Detre essas forças este uma classe ue eve receber uma ateção especal ue egloba as forças ue são proporcoas à velocae a partícula e resstem ao movmeto, sto é, agem a mesma reção a velocae, mas em seto oposto, e têm a forma: F c (64) 7

30 oe os coefcetes c epeem as cooreaas mas ão as velocaes Fuções este tpo são sspatvas, pos sua potêca é egatva e, por sso, o sstema pere eerga uao elas agem Essas forças merecem uma ateção especal pos, como será scuto este tem, elas também poem ser ervaas e uma fução escalar De fato, o trabalho realzao por elas em um eslocameto vrtual é N N δ W F δ c δ (65) Mas, e () e (5) δ δ δ (66) Etão a epressão (65) poe ser colocaa a forma δ W N N c δ ( c ) δ (67) Defo a fução R pela epressão R N c, (68) o trabalho vrtual as forças ão coservatvas proporcoas à velocae poe ser colocao a forma δw R δ (69) Mas este trabalho também poe ser escrto em termos as forças e cooreaas geeralzaas, δ W Q δ (70) Etão as forças geeralzaas correspoetes às forças ão coservatvas proporcoas à velocae poem ser obtas retamete a fução R, comparao-se as epressões (69) e (70), ou sea, R Q (7) Assm, se as úcas forças ão coservatvas estetes forem proporcoas à velocae, as euações e Lagrage (5) assumem a forma 8

31 9 ),,, ( 0 R L L K (7) Agora as euações ue goveram o movmeto são obtas a partr e uas fuções escalares, a Lagragaa L e a fução R ue é coheca como fução e sspação e Raylegh Eemplo Motar as euações o movmeto o sstema esuematzao a fgura Solução Este é um sstema e os graus e lberae cua posção é perfetamete escrta pelas cooreaas e ue meem os eslocametos as massas a partr e suas posções e eulíbro A eerga cétca o sstema é aa por m m T e a eerga potecal total correspoe à eerga armazeaa as três molas Fgura - Sstema composto por massas molas e amorteceores ( ) V, e forma ue a Lagragaa o sstema é ( ) m m V T L As forças os amorteceores são proporcoas às velocaes e para levá-las em cota basta motar a fução e Raylegh coforme a efção (68) ( ) c c c R

32 0 Para este problema evem ser motaas, etão, as euações e Lagrage a forma (7): ) euação para a cooreaa Etapas termeáras: m L m L ( ) L ( ) c c R Forma fal: 0 ) ( ) ( c c c m ) euação para a cooreaa Etapas termeáras: m L m L ) ( L ) ( c c R Forma fal: 0 ) ( ) ( c c c m

33 PEQUENAS OSCILAÇÕES Cosere ue o comportameto e um sstema sea escrto pela euação ferecal f () (7) e ue a orgem 0 sea uma posção e eulíbro, sto é, f ( 0) 0 (74) A fução f poe ser epaa a sére e Taylor oe f ) f R ( ), (75) ( f f (76) 0 e R ( ) é a orem e A euação ferecal f (77) é a euação learzaa assocaa à euação orgal (7) Se o movmeto o sstema permaece restrto a uma vzhaça a orgem, a euação learzaa represeta bem o seu comportameto Sea, agora, um sstema escrto pelas euações e Lagrage L L 0 (,, K, ) (78) Em cooreaas geeralzaas a eerga cétca poe ser escrta sob a forma geral T α ( (79), K, ) Defo a α ( 0, K,0), (80) etão a prmera parcela a epasão a eerga cétca em sére e Taylor em toro a orgem poe ser escrta a forma T a, (8)

34 oe o íce fo usao para car ue a epressão é uarátca as velocaes geeralzaas Cosere, agora, a epasão a eerga potecal V em sére e Taylor em toro a orgem as cooreaas geeralzaas: V V (8) 0 V V A prmera parcela, V 0, é um termo costate, ue é arbtráro, pos ão flu as euações o movmeto oe aparecem apeas ervaas a eerga potecal A segua parcela, V, é a parcela lear ue tem a forma geral V V (, K, ) (8) orgem e a últma parcela, V, é a parcela uarátca aa por V V (, K, ) (84) orgem Se a orgem é um poto e eulíbro, a eerga potecal é míma esse poto e toas as suas ervaas parcas prmeras se aulam a orgem V orgem 0 (85) e, portato, V (, K, ) 0 (86) Nesse caso, a parcela a eerga potecal e meor orem a ser coseraa é a parcela uarátca V Defo b V orgem (87) a eerga potecal poe ser colocaa a forma V (, K, ) b (88) A Lagragaa a ser coseraa o problema learzao será, etão, L T V (89)

35 Motem-se, agora, as euações e Lagrage De (89), (8) e (88) L T a (90) e, portato, L a (9) Das epressões (89), (8) e (88) segue também ue L V b (9) Substtuo-se as epressões (9) e (9) a epressão (78), obtêm-se as euações e Lagrage a forma lear a b 0 (,, K, ) (9) ue são válas para peueos movmetos em toro a posção e eulíbro Estas euações também poem ser apresetaas a forma matrcal, mas compacta Para sso efam-se as matrzes [A] e [B] tas ue e a K a [ A] M O M (94) a K a b K b [ B] M O M (95) b K b e colouem-se as cooreaas geeralzaas o vetor {}, efo por { } M (96) Com essas efções as euações e Lagrage learzaas poem ser escrtas a forma [ A]{} [B]{} {0} (97)

36 A matrz [A] é chamaa e matrz e massa o sstema e a matrz [B] é chamaa e matrz e rgez o sstema A relação (87) mostra ue a matrz e rgez é smétrca Poe-se mostrar ue a matrz e massa também é smétrca Eemplo Mote as euações e Lagrage para o sstema formao pelos os pêulos acoplaos, esuematzao a fgura, learzaas em toro a posção e eulíbro θ θ 0, sabeo ue essa posção a mola está eformaa Fgura - Dos pêulos acoplaos por uma mola Solução A eerga cétca o sstema é θ θ T T ml ( ) e a eerga potecal é a soma a eerga armazeaa a mola com a eerga potecal gravtacoal V a (seθ seθ ) mgl(cosθ cosθ ), com a referêca a eerga potecal faa a etremae superor os pêulos Lembrao as epasões em sére a fução seo θ 5 seθ θ O( θ ) 6 e a fução cosseo 4

37 θ 4 cosθ O( θ ), a parte uarátca a eerga potecal será V ( ) ( a θ θ mgl θ θ ) e a Lagragaa a ser coseraa o problema learzao será L T ( ) ( ) ( V ml θ θ a θ θ mgl θ ) θ A partr au é só motar as euações e Lagrage ) euação para a cooreaa θ Etapas termeáras: L ml θ θ L ml θ L a θ Forma fal: θ ( θ θ ) mglθ ml θ a mgl) θ a θ 0 (98) ( ) euação para a cooreaa θ Etapas termeáras: L ml θ θ L ml θ θ L θ a ( θ θ ) mglθ Forma fal: ml θ a θ a mgl) θ 0 (99) ( 5

38 Note ue as euações e Lagrage learzaas (98) e (99) poem ser agrupaas a forma matrcal ml 0 0 θ a mgl ml θ a a θ 0 a mgl θ 0 4 BIBLIOGRAFIA Fraça, L N F Mecâca Aalítca - ª parte Moografa o 87/9 Departameto e Egehara Mecâca - EPUSP Golste, H Classcal Mechacs Seco Eo, Aso-Wesley, 980 Greewoo, D T Prcples of Dyamcs Seco Eo, Pretce-Hall, 988 Laczos, C The Varatoal Prcples of Mechacs Dover Publcatos, 970 Merovtch, L Elemets of Vbrato Aalyss Seco Eo, McGraw Hll, 986 Merovtch, L Methos of Aalytcal Dyamcs McGraw-Hll, 970 6