Função Indireta de Utilidade, Função Gasto e Demanda Hicksiana

Transcrição

1 Fnção Indreta de Utldade Fnção Gasto e Demanda Hcksana

2 Hóteses ncas Antes de ncar a eosção devem ser consderadas almas característcas mortantes das referêncas qe estamos tratando. Prmero: Preferêncas raconas comletas e transtvas arantem comarabldade entre as cestas e consstênca crvas de ndferença não se crzam Contndade arante qe estrá ma fnção tldade qe eressa essas referêncas Monotoncdade arante qe o consmdor tlzará toda a sa renda ode-se tlzar alma ótese alternatva de não-sacedade local atendendo ao Varan samos monotoncdade v Fnção tldade contína e erfetamente dferencável das vezes Devem estar centes dos resltados do roblema de mamzação da tldade do consmdor ala anteror ma >0. 0 3

3 Fnção Indreta de Utldade Denomnaremos fnção ndreta de tldade dentdade do resltado do rocesso de mamzação da tldade com a restrção orçamentára. ma 4.. Dervando-se a fnção ndreta de tldade com reseto ao reço do bem obtém-se: 5 çã 2 é :. : Sbsttndo 7 em 6 6 8

4 A artr da eqação 8 ode-se afrmar qe a tldade vara nversamente a varações do reço do bem tendo como ano de fndo as óteses levantadas. Na verdade ela é não decrescente no reço do bem os se a qantdade do bem for zero a varação da tldade a artr do amento de se reço também será zero. Ao asso qe se a qantdade consmda do bem for ostva m amento de se reço deverá redzr a tldade ndreta enqanto ma dmnção de se reço deverá amentar a tldade ndreta. Esse resltado ode ser eresso a artr da crva de Offer o crva reçoconsmo aresentada em vermelo no ráfco 1. 2 Crva reço consmo o de Offer Crescmento da tldade crvas de ndferença serores Crescmento do reço do bem 1 1 Gráfco 1 Crva de Offer o crva reço-consmo

5 Um otro resltado nteressante aarece qando dervamos a fnção ndreta de tldade com reseto à renda. 9 Ora mas a artr da eqação 2 tem-se: No entanto sabe-se qe 1 E ortanto 10 A artr de 10 ode-se conclr qe a tldade marnal da moeda é al a qe já era conecdo desde a ala assada. Sbsttndo-se a eqação 10 na eqação 8 cea-se à dentdade de Roy em qe:

6 O ráfco 2 aresenta a crva renda consmo qe mostra o crescmento da renda e o conseqente amento do nível de tldade. 2 Varação da tldade Varação da renda 1 Gráfco 2 Camno de Eansão da Renda o Crva Renda-Consmo

7 Homoenedade de ra zero Uma das característcas do roblema de mamzação da tldade é sa omoenedade de ra zero nos reços e na renda. Isso snfca qe se mltlcarmos a renda e todos os reços or m mesmo escalar >0 não averá alteração na cesta escolda.de manera qe * não se altera. Isso é faclmente comrovável observando-se a fra 3. A fra mostra ma restrção orçamentára defnda a artr da renda e dos reços e crvas de ndferença qe reresentam a tldade dos aentes defnndo-se a escola *. A mltlcação dos reços e da renda elo mesmo escalar não resltará em mdança da restrção orçamentára e não altera as referêncas mlcando a mesma escola. Como a fnção tldade também não sofre nenma modfcação * o nível de tldade será o mesmo. Assm ode-se afrmar qe o seja qe o valor da fnção ndreta de tldade não se altera. Fra 3

8 Fnção Gasto Até o momento resolvemos m roblema qe consst em mamzar a tldade dada ma restrção orçamentára. Esse roblema é aresentado no ráfco 4a qe mostra a restrção orçamentára e as dferentes crvas de ndferença qe reresentam os níves de tldade qe o consmdor retende mamzar. Podemos alternatvamente resolver m roblema dferente. Indaar-se qal a renda mínma necessára ara m consmdor atnr m determnado nível de tldade. Nesse caso o roblema ocorre como aresenta no ráfco 4b qeremos saber qal a renda mínma ara se obter o nível de tldade reresentado elo conjnto :. Gráfco 4a Problema de Mamzação da tldade Gráfco 4b Problema de Mnmzação do Gasto

9 O roblema de mnmzação do asto consste então em: mn A artr de 12 obtém-se 0 E a artr de 13: As eqações 15 e 14 aresentam resltados arecdos ao roblema de mamzação da tldade aenas em vez de a solção obratoramente ertencer à lna orçamentára deve ertencer à crva de ndferença. No entanto como 14 aonta ara a tanênca o resltado é na rátca o mesmo.

10 Essa qestão ode ser observada a artr da fra 5 qe mostra a concdênca do resltado. Com a fra 6 da ala assada. Nesse caso tem-se qe. Veremos o snfcado dsso a ser. Assm como tvemos a fnção ndreta de tldade como dêntca à tldade resltante do roblema de mamzação da tldade odemos defnr a fnção asto como dêntca ao asto qe resolve o roblema de mnmzação do asto Para efetos de notação a artr de aora denomnaremos de Fra 5 O roblema de Mnmzação do asto

11 Podemos então realzar os mesmos eercícos qe fzemos com a fnção ndreta mas com a fnção asto. Incalmente odemos ver como a fnção asto vara em relação à reço de m bem : E denomnemos a demanda de demanda cksana : ma vez qe a tldade não vara. + n k 1 + µ n k 1 k k k k 18 tem - se a eqação 10 conecda como LEMAde SHEPHARD. Isso snfca qe a fnção asto é crescente no reço do bem o seja toda vez qe amentamos o reço é necessáro m amento do asto ara se atnr o mesmo nível de tldade qe se tna anterormente.

12 Ao se dervar a fnção asto com reseto à tldade tem-se qe sando o teorema da envoltóra ver Smon e Blme tem-se qe: L µ µ 20 Pode-se afrmar ortanto qe a fnção asto é estrtamente crescente em. Prova Alar Sona qe ovesse m tal qe.. então nesse caso or monotoncdadee contndade avera m tal qe. < e ortanto a cesta não resolvera o roblema de mnmzação do asto.

13 Pensemos aora qe alteramos o vetor de reços or m escalar qalqer ψ. Nesse caso sabe-se qe a fnção objetvo se transforma de: ara ψ Como conseqênca sabe-se qe as eqações 12 e 13 se transformarão em: L ψ µ 1... n ψ 0 µ UM 12' UM UM j ψ ψ j j 14' Como a eqação 13 não se altera não á alteração no vetor de escola e a fnção asto é smlesmente ψ 13' Imlcando omoenedade de ra 1 em.

14 Demanda Hcksana A demanda cksanaé reresentada or em qe. O fnconamento da demanda cksanaode ser eemlfcado no ráfco 6a qe mostra a crva de ndferença qe delmta o conjnto de cestas qe atne elo menos o nível de tldade.pode-se afrmar qe a solção resolve o roblema de mnmzação do asto qando o nível de tldade é. Nesse caso a renda resltante será. em qe é o vetor de reços transosto. Por 2 e 3 e 12 e 13 sabe-se qe 21 e 22 Isso snfca qe o vetor de demanda qe resolve o roblema de mnmzação do asto qando os reços são reços são e a tldade é é al ao vetor de demanda qe resolve o roblema de mamzação da tldade qando os reços também são e a renda é al a. Da mesma manera o vetor de demanda qe resolve o roblema de mamzação da tldade qando os reços são e a renda é mé o mesmo vetor qe resolve o roblema de mnmzação do asto qando os reços são e o nível de tldade é. Isso é conecdo como daldade.

15 Demanda Hcksana ráfcos 3a e 3b ' 2 2 m 2 * 2 Fra 6a -Processos de mnmzação do asto e de mamzação da tldade Conjnto de cestas elo menos tão boas Crva de ndferença Lembrem-se: ma teora de reços relatvos Demanda marsallana 1 2 m m * 1 1 Fra 6b Crvas de demanda cksana e marsallana 1 Demanda cksana 1 Reare qe a cesta qe mnmza o asto qando o nível de tldade alcançado é al a m qe é a mesma qe mamza a tldade qando o consmdor tem renda m. Ao mesmo temo o valor da fnção ndreta de tldade dessa solção é al a. v v m m m v m 16

16 Eqação de Sltsky Assm entenderemos como demanda marsallana e como demanda cksana. Anda qe as aldades 21 e 22 se sstentem as resostas de cada ma dessas demandas não são as. Como ode ser ercebdo na fra 6a qando o reço do bem 1 vara a demanda cksanavara a enqanto a demanda marsallana se desloca a. A resosta a essa caracterzação ode ser obtda a artr da eqação 21. Dervando-se os dos lados da eqação com reseto ao reço do bem tem-se: 24 Pelo Lema de Seard : 23 Efeto renda Efeto sbsttção marsallana Demanda Efeto total

17 A eqação 24 dvde a varação da demanda marsallanaem dos efetos. O rmero é o efeto sbsttção qe se ala à varação da demanda marsallana o sendo é o efeto renda qe corresonde à correção feta ara o cálclo da demanda cksana eqação 23 como reseto ao amento da renda necessáro ara manter o mesmo nível de tldade qe se encontrava ncalmente. O efeto sbsttção defne a alteração do consmo se o consmdor não tvesse tdo mdança em se oder de comra enqanto o efeto renda mede jstamente a alteração do consmo decorrente da mdança no oder de comra. O efeto sbsttção semre varará nversamente ao reço no qe odemos denomnar de le da demanda comensada.

18 Le da Demanda Comensada A le da demanda comensada afrma qe d.d 0. Prova:sona dos vetores de reços e e dos vetores de demanda cksana e snfcando qe é resltante da escola com os reços e é resltante da escola com os reços. Deve-se rovar ortanto qe ara fns de notação.mlca a mltlcação do vetor lna elo vetor colna : ' ''. ' '' 0 26 '. ' '. '' + ''. '' ''. ' 0 27 Comecemos elo rmero arênteses da eqação 18. Note-se qe o consmdor tera mnmzado o asto em. Loo a escola não oderá mnmzar o asto a não ser qe seja al a o aja mas de ma solção ara o roblema de mnmzação do asto ense em sbstttos erfetos em razão 1 e reços relatvos 1. Se. < então não odera ser a solção ara o roblema de mnmzação do asto. Loo o valor tem de ser menor o al a 0. O mesmo racocíno se alca ao sendo comonente da eqação 18. Isto snfca qe se 1/2 amenta então a demanda or 1 tem de car e a demanda or 2 sbr.

19 O caso de dos bens Sabe-se qe se aos reços 1 2 o consmdor tem a cesta 1 2 qe mnmza o asto então a cesta y 1 y 2 ~ 1 2 atende a sente restrção: y1 2 y2 28 com estrta desaldade se a escola for únca. O mesmo ode ser dto a reseto dos reços q 1 q 2 qe são aqeles ara os qas a cesta y 1 y 2 é escolda. q + 1y1 + q2 y2 q11 q22 29 Somando-se as das eqações e reordenando-se tem-se a eqação 30: q y + q y Como 0 31 Isso snfca qe se o rmero termo for ostvo o sendo tem de ser neatvo e vce-versa o qe mostra qe as qantdades varam na dreção nversa aos reços.

20 Snfcado da Eqação de Sltskty Deve-se notar qe de acordo com a le da demanda comensada qando se tratar do róro bem o seja de frente a ma varação de o rmero termo semre terá snal neatvo. O sendo termo deenderá no entanto do valor de m se o bem for normal este termo assme m valor ostvo dando ao efeto renda m valor neatvo. Se o bem for nferor este termo assme m valor neatvo dando ao efeto renda m valor ostvo. Essa característca ajda a entender o aradoo reresentado elos bens de Gffen qe têm a crva de demanda ostvamente nclnada.

21 ' 2 * 2 m 2 m 2 Gráfco 4 No ráfco 4 o consmdor escole com a restrção ncal em nero a cesta *. Há m amento do reço do bem 1 e o consmdor assa a escoler a cesta m. A demanda cksananos ala a dvdr esse efeto em das artes. A rmera assocada à mdança nos reços relatvos reresentada or: 1 m 1 1 m 1 - * 1 - qe denomnamo s efeto sbsttç ão 1 qe denomnamo s efeto renda m 1 1 * 1 1 Rearem qe só á mdança do nível de tldade no efeto renda. Isso será mortante na róma ala. Ao mesmo temo o resltado mostra qe a fnção ndreta de tldade varo nversamente ao reço do bem 1 mas essa varação só se de or casa do efeto renda. Loo a varação da tldade ndreta é ma conseqêncado efeto renda.