SINTONIA DE CONTROLADORES P.I.D. João Lourenço Realizado em Janeiro de 96 e revisto em Janeiro de 97

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1 SINTONIA DE CONTROLADORES P.I.D. João Lourenço Realzado em Janero de 96 e revsto em Janero de 97 O resente texto retende, ncalmente, dar a conhecer quas as característcas rncas das váras acções de controlo, consttutvas, de um P.I.D., de seguda aresentar e exemlfcar alguns métodos rátcos de sntona e or fm é aresentado um método analítco de sntona baseado no Root-locus. Nos métodos rátcos de sntona o rmero asso na utlzação dos controladores standard P, PI, PD, PID tem como rncal decsão a escolha dos modos a utlzar (roorconal, dervatvo, ntegral, ou uma combnação destes). Uma vez aquela tomada, rocede-se ao ajustamento dos város arâmetros do controlador. O ajustamento ou calbração do controlador (sntonzação de controladores) consste em deduzr, artndo da resosta do sstema, quando este é sujeto a entradas esecífcas, determnados valores que vão ermtr o cálculo dos referdos arâmetros. A vantagem deste rocedmento é não exstr necessdade de conhecer o modelo do sstema (or vezes muto dfícl de determnar). Pode-se assm conclur que se deverá recorrer a este rocedmento somente quando o custo de calbração do controlador for nferor ao custo assocado à análse do sstema e rojecto do controlador adequado. O método analítco, consste em sntonzar os modos PID ara uma alcação esecífca de modo a que determnados crtéros de erformance sejam verfcados. Este é usado semre que a função de transferênca do sstema é conhecda. Fnalmente, é mortante realçar que não é obrgatóro que se utlze aenas um destes métodos, na medda em que, na maor arte das vezes, os rojectos resultam da sua combnação. Antes de roceder à aresentação roramente dta dos dos rocedmentos referdos anterormente, será convenente analsar algumas das acções báscas de controlo utlzadas na ndustra e a sua contrbução ara a resosta de um sstema. - Acção Proorconal Neste to de controlador a relação entre a sua saída e o snal de erro, e(t), é dada or: SP + - E(s) U(s) G O controlador PI é o mas corrente e o PD é muto raro or razões que se vão tornar óbvas ao longo do texto. Funções de transferênca de mutos sstemas electromecâncos são fáces de obter. SINTONIA DE CONTROLADORES P.I.D. Pag -

2 L ut () et () Us () Es () (-) em que é desgnado or ganho roorconal. Um controlador roorconal consste essencalmente num amlfcador com ganho ajustável. Uma característca mortante desta acção de controlo, é a exstênca de um erro resdual ermanente semre que ocorre uma alteração de carga 3, e o sstema que se retende controlar seja do to 0. O erro estaconáro que é deendente de e da carga, ode ser mnmzado or um aumento de. No entanto deve-se notar que o aumento deste arâmetro conduz a um aumento do temo de estabelecmento e eventualmente até à nstabldade. Conclu-se assm que este to de controlador só ode ser usado, quando o ganho roorconal é sufcentemente elevado ara reduzr o erro estaconáro a um nível acetável, ou quando não são revsíves alterações frequentes da carga. - Acção Proorconal - Integral Se consderarmos que a saída do controlador é agora função do erro e do ntegral do erro, estamos erante um controlador roorconal - ntegral : SP + - E(s) U(s) + G T s ut et T e d L U s () Ts Es (() + ( τ) τ () ( + ) () (-) t 0 em que T (temo ntegral), o temo necessáro ara que a contrbução da acção ntegral guale a da acção roorconal, é exresso em segundos ou mnutos. e(t) u(t) PI P T 3 Alteração de Carga deve ser nterretado neste texto como uma modfcação dos arâmetros do sstema a controlar, sto é, do comortamento dnâmco do sstema. SINTONIA DE CONTROLADORES P.I.D. Pag -

3 A comonente ntegral, ao adconar um olo na orgem da função de transferênca do controlador, elmna o erro estaconáro de osção, ndeendentemente do sstema que se retende controlar. Se, or um lado, como já referdo anterormente, a acção ntegral elmna o erro estaconáro, or outro, aumenta o temo de estabelecmento e ora a establdade relatva, o que usualmente é ndesejável. Como consequênca, o ganho da acção roorconal deve ser reduzdo, semre que esta esteja combnada com a acção ntegral. O PI é utlzado em sstemas com frequentes alterações de carga, semre que o controlador P, or s só, não seja caaz de reduzr o erro estaconáro a um nível acetável. Contudo o sstema deve ter alterações de carga relatvamente lentas, ara evtar osclações nduzdas ela acção ntegral. 3 - Acção Proorconal - Dervatva Neste controlador o snal de controlo (u(t)) é roorconal ao erro e à sua taxa de varação: SP + - E(s) (+T d s) U(s) G ut et T de () t L () () + d Us () ( + Td s) (-3) dt em que T d (temo dervatvo), o eríodo de temo antecado ela acção dervatva relatvamente à acção roorconal, é exresso em segundos ou mnutos. e(t) u(t) T d PD P O facto de o snal de controlo ser roorconal à taxa de varação do erro, mlca que o modo dervatvo nunca ossa ser usado soznho, uma vez que só resonde a regmes transentes. A adção do modo dervatvo ao modo roorconal resulta num controlador altamente sensível, uma vez que aquele rmero, ao resonder a uma taxa de varação do erro, ermte correcções antes deste ser elevado. Não obstante o modo dervatvo não afecte drectamente o erro estaconáro, adcona amortecmento ao sstema (melhora a establdade) e assm ermte o uso de valores de mas elevados, o que mlca um SINTONIA DE CONTROLADORES P.I.D. Pag - 3

4 menor erro estaconáro. Um nconvenente deste modo é o de acentuar o ruído de alta frequênca. 4 - Acção Proorconal - Integral - Dervatva Este modo resulta da combnação dos modos roorconal, ntegral e dervatvo. Podese afrmar que resulta num comromsso entre as vantagens e desvantagens de um PI e as vantagens de um PD. A saída do controlador é dada or : SP + - E(s) (+/(T s)+ T d s) U(s) G ut et T e d T de () t L () Us dt TS T s E s (() + ( τ) τ + d () ( + + d ) () (-4) t 0 Neste to de controlador, o modo ntegral é usado ara elmnar o erro estaconáro causado or grandes varações de carga. O modo dervatvo, com o seu efeto establzador, ermte um aumento do ganho e reduz a tendênca ara as osclações, o que conduz a uma velocdade de resosta sueror quando comarado com P e PI. No entanto, estas roredades assumem um carácter geral, elo que odem exstr exceções em determnados sstemas. Geralmente, ara uma função de transferênca em cadea aberta com a segunte forma: s + ξω s+ ω n n um elevado tem o efeto de reduzr o temo de subda e o erro estaconáro (sem nunca o elmnar). O controlo ntegral terá como efetos, or um lado, elmnar o erro estaconáro e or outro orar a resosta transtóra, sto é, torná-la mas osclatóra. Semre que se utlze controlo ntegral, deve-se semre testar ncalmente com um reduzdo. A utlzação do controlo dervatvo tem como rncal consequênca uma melhora da establdade do sstema, reduzndo a sobreelevação e melhorando a resosta transtóra. Os efetos na resosta, do sstema em cadea fechada, de adconar os modos roorconal, ntegral e dervatvo são lstados na róxma tabela. Resosta CF Temo de Subda Sobreelevação Temo de Estabelecmento Erro Estaconáro Proorconal Dmnução Aumento Sem alteração Dmnução Integral Dmnução Aumento Aumento Elmna Dervatvo Sem alteração Dmnução Dmnução Sem alteração Note que estas correlações não são exactas, uma vez que, se alterarmos um dos arâmetros do controlador odemos estar a alterar o efeto das outras acções. Por esta SINTONIA DE CONTROLADORES P.I.D. Pag - 4

5 razão, a tabela só deve ser usada como referênca quando se está a determnar os arâmetros do controlador. Quanto à decsão do to de controlador a usar numa determnada alcação, não é ossível obter uma resosta defntva. Idealmente, o controlador mas smles que satsfaça a resosta desejada é o que deve ser escolhdo, nfelzmente esta é uma escolha que geralmente só se ode fazer quando a alcação é smles ou quando exste alguma nformação relatva a alcações semelhantes. A selecção do controlador deve deender das condções oeratvas do sstema e de esecfcações de erformance tas como, o erro estaconáro máxmo, a sobreelevação máxma e temo de estabelecmento ermtdo. Se o erro estaconáro não é tolerado, então o modo ntegral deve ser ncluído no controlador, uma vez que esta é a únca acção que o ermte elmnar ou reduzr. A necessdade da acção dervatva ode ser dtada or uma sobreelevação máxma e/ou temo de estabelecmento. Se um reduzdo erro estaconáro não é crtco ara as condções oeratvas do sstema, então é ossível omtr o modo ntegral, e o uso do modo dervatvo deende entre outros factores da necessdade ou não de adconar ganho sulementar ao modo roorconal. Como regra geral, ode-se afrmar que se adcona o modo roorconal ara obter um determnado temo de subda, que se adcona o modo dervatvo ara obter uma determnada sobreelevação e que o modo ntegral só deve ser ntroduzdo ara elmnar o erro estaconáro. A questão que se coloca agora, é como selecconar os arâmetros dos controladores de modo a odermos obter uma resosta satsfatóra, quando se controla um determnado sstema, erante um quase comleto desconhecmento da sua dnâmca(º Procedmento). Assm, torna-se necessáro recorrer a métodos emírcos ara resolver este roblema. Segudamente serão exostos dos métodos ncalmente roostos or Zegler e Nchols e que resultam de testes exermentas realzados em város sstemas. étodos Prátcos de Sntona de Controladores P.I.D. étodo da Sensbldade Lmte Este método, baseado no ajuste de uma malha fechada até se obterem osclações com amltude constante, utlza um conjunto de fórmulas ara determnar os arâmetros do controlador, as quas requerem duas meddas do sstema: o Ganho crtco (G u :o ganho mínmo que torna o rocesso crtcamente estável), e o eríodo de osclação corresondente, P u. Procedmento ara a Calbração dos Parâmetros do Controlador. Reduzr as acções ntegral e dervatva ao seu efeto mínmo;. Incar o rocesso com ganho reduzdo; 3. Aumentar o ganho até que a varável controlada (saída do sstema) entre em osclações com amltude constante, enquanto se rovocam equenas SINTONIA DE CONTROLADORES P.I.D. Pag - 5

6 erturbações no sstema. Anotar o ganho, G u, e o eríodo de osclação P u (ver fgura segunte); P u Com a obtenção destes valores, odemos calcular os arâmetros do controlador com base nas seguntes fórmulas: Controlador Fórmulas P 0.5 G u PI 0.45 G u T P u /. PID 0.6 G u T P u /.0 T d P u /8 Aós uma análse da tabela verfca-se que : O ganho roorconal é reduzdo 0% quando o modo ntegral é ntroduzdo, uma vez que este torna o sstema menos estável. Quando o modo dervatvo é adconado, verfca-se um aumento de P e uma redução de T devdo ao efeto establzador do dervador. Os valores de 0.6 G u e 0.5 P u são muto conservadores quando não exste acção ntegral, uma vez que a ausênca desta ultma torna o sstema mas estável, ermtndo um aumento do ganho. No entanto, este método de calbração aresenta as seguntes desvantagens :. As fórmulas acma descrtas não garantem uma resosta ótma;. Nem todos os sstemas odem entrar em osclação, ou não é desejável. Fo assm desenvolvdo um outro método, ara fazer face ao rmero roblema referdo, desgnado or étodo da Sensbldade Lmte odfcado. Neste método o ganho é ajustado através de um rocedmento tentatva-erro até que uma determnada resosta desejada seja atngda. A resosta desejada mas comum é o Amortecmento do Quarto de Amltude, em que o ganho é ajustado ara que a amltude de cada co seja um quarto da do co anteror (ver róxma fgura). O método modfcado aenas necessta da medda do eríodo últmo, P u, que é utlzado ara o cálculo de T e T d. Uma vez estes arâmetros ajustados, o rocesso é erturbado com uma equena alteração na entrada de referênca (salto), sendo a saída observada e o SINTONIA DE CONTROLADORES P.I.D. Pag - 6

7 ganho ajustado, sequênca que será reetda até que a resosta verfque o crtéro do Amortecmento do Quarto de Amltude. Este método é bastante fável e ode ser alcado em város tos de rocessos.. A A/4 A m ltu d e Tme ( secs) Partndo do eríodo últmo, os ajustes dos arâmetros são fetos de acordo com a segunte tabela : Controlador P PI PID Ajustar o ganho até que o crtéro do quarto de amltude seja verfcado, quando o sstema é sujeto a uma alteração salto na sua entrada de referênca. Ajustar o ganho até que o crtéro do quarto de amltude seja verfcado, quando o sstema é sujeto a uma alteração salto na sua entrada de referênca. Ajustar o ganho até que o crtéro do quarto de amltude seja verfcado, quando o sstema é sujeto a uma alteração salto na sua entrada de referênca. T P u Fórmulas T P u /.5 T d P u /6 Na rátca, a exstênca de sobreelevação ode não ser tolerada, uma vez que a alteração da dnâmca do sstema ode conduzr o sstema à nstabldade. étodo da Curva de Reacção O rocedmento normal no ajustamento dos arâmetros or este método, consste na abertura da malha ara que não haja realmentação e na obtenção da sua resosta a uma varação salto(amltude ) na entrada de referênca(sp). A resosta deverá ter uma forma em S (em stuação contrára o método não é alcável) como lustrado na fgura segunte A curva em S 4 ode ser caracterzada or duas constantes, o atraso L e a constante de temo T, sendo estas determnadas se fzermos assar uma tangente elo onto de 4 Este to de resosta é tíco de grande arte dos rocessos ndustras. SINTONIA DE CONTROLADORES P.I.D. Pag - 7

8 nflexão da curva. Nos ontos onde a tangente nterceta o exo das abcssas e a lnha horzontal com ordenada k, obtemos L e T, resectvamente. L T Uma vez obtdos exermentalmente L, T e N 5 (declve máxmo /T), odemos recorrer à tabela segunte ara determnar os valores dos arâmetros dos controladores. Controlador Fórmulas P /(NL) PI 0.9/(NL) T 3.33L PID./(NL) T L T d L/ Como a resosta em S é característca de sstemas de ª ordem com atraso, sto é, com função de transferênca : LS CS ( ) e c US ( ) TS + (-5) Cohen e Coon recorreram a esta relação ara determnar os valores teórcos dos arâmetros dos controladores. Estes deendem das constantes da função de transferênca c, L e T, que odem ser meddas na curva de resosta. L é o temo de atraso, c é o ganho estaconáro, sto é, c /, e T, que é a constante de temo do sstema, é drectamente roorconal ao valor fnal da resosta e nversamente roorconal a N, sto é, T c /N. Para verfcar se a aroxmação a um sstema de rmera ordem com atraso é válda, deve ser determnado o ntervalo de temo que medea entre L e 0.63*, o qual deve ser aroxmadamente gual a T, com um erro máxmo de 5%. Se a aroxmação não se verfcar, é orque a tangente ao onto de nflexão não fo desenhada correctamente ou orque exstem não-lneardades no sstema. Nesta ultma stuação a aroxmação não será válda. O ajustamento dos arâmetros é feto com base na segunte tabela em que R, razão de atraso, é defnda como: 5 É usual a exstênca de ruído no snal de saída, o que torna dfícl a obtenção de curvas lmas como as aresentadas nas fguras anterores, o que mlca que os arâmetros das curvas resultem de uma méda dos valores obtdos em város ensaos. SINTONIA DE CONTROLADORES P.I.D. Pag - 8

9 R L NL (-6) T Controlador P PI PD PID R NL ( + 3 ) R NL ( ) R NL ( ) R NL ( ) T T Fórmulas d d 6 R L( ) + 3R L ( 4 + R ) T T R L( ) 9+ 0R 3 + 6R L( ) 3 + 8R A rncal vantagem deste método (Curva de Reacção), relatvamente ao anteror devese ao facto de, uma vez determnada a curva de reacção do método, os arâmetros oderem ser ajustados medatamente. Esta vantagem é artcularmente útl em rocessos muto lentos, em que ode assar muto temo até que o sstema atnja a establdade crtca. A sua rncal desvantagem decorre de grande arte dos sstemas serem mas comlexos do que um smles sstema de rmera ordem com atraso, o que sgnfca que é anda necessáro um últmo ajuste no ganho antes de se oder consderar que a resosta do sstema é acetável. Exstem dversas varações aos métodos acma exostos. Note-se como exemlo o facto de grande arte dos fabrcantes fornecerem nstruções relatvas à sntonzação dos seus controladores. É mortante realçar que não exstem conclusões geras relatvas à exactdão ou atdão destes métodos emírcos. A únca nferênca ossível é que estes métodos conduzem a rmeras aroxmações dos arâmetros dos controladores, que se odem consderar razoáves, e que os valores obtdos odem necesstar de osterores ajustamentos ara fazer face à esecfcdade de cada sstema, até que erformances ótmas sejam atngdas. Na secção que se segue va ser aresentado um dos város métodos exstentes ara o cálculo dos arâmetros dos controladores P.I.D., assumndo que a função de transferênca da cadea aberta é conhecda(º Procedmento). Sntona de Controladores P.I.D. com base no Root-Locus Partndo da função de transferênca dada or : SINTONIA DE CONTROLADORES P.I.D. Pag - 9

10 Gc() s + + d s) ; (-6) S em que, /T e d d, or comaração de (-6) com (-4), este método analítco ara o cálculo dos arâmetros dos controladores P.I.D. tem or objectvo a escolha de, e d, de modo que ara um dado s se verfque a equação : G ( s ) G ( s ) H( s ). c Dto de outra forma, estamos a rojectar um controlador que coloca uma das raízes da equação característca 6 em s s, sendo este, geralmente um valor comlexo 7. Se defnrmos: e s s e j β G ( s) Hs ( ) Gs ( ) Hs ( ) e j ψ (-7) (-8) os arâmetros do comensador são dados or: d sen( β+ ψ) cosβ G ( s ) H( s ) senβ s senψ + s G ( s ) H( s ) senβ s (-9) Demonstração : Consderando que: j Gs ( ) G ( s) Hs ( ) αe γ (-0) j α e γ G s G s H s e jθ c ( ) ( ) ( ) (-) em que : G s H s ( ) ( ) e θ γ ψ (-) α e gualando (-6) com (-) em que s é substtuído or s 6 Pretende-se que o olo, s s,seja o olo domnante da função de transferênca em cadea fechada. 7 Esta raz da equação característca corresonde a determnadas esecfcações de erformance, tas como sobreelevação, temo de estabelecmento, temo de subda. SINTONIA DE CONTROLADORES P.I.D. Pag - 0

11 jθ se s d + s + s d s (cos β+ jsenβ) + s (cos β+ jsenβ) + cos( β+ θ) + ( β+ θ) (-3) [ jsen ] exressão que na forma matrcal é dada or: s s s cosβ cosβ d cos( β θ) s sen s sen s β β + sen ( β+ θ). (-4) Resolvendo este sstema de equações ara e d em função de obtém-se: d sen( β θ) cosβ ; senβ s senθ + s senβ s. (-5) Uma vez que se deseja que o onto s faça arte do Root-Locus, deve-se verfcar a segunte relação: G ( s ) G ( s ) H( s ) (-6) c que, comarando com (-0), ermte conclur o segunte: α ; γ 80º; (-7) θ γ - ψ 80º - φ(g (s )). Por substtução destes valores em (-5) chega-se ao resultado desejado, cqd. Uma vez que temos duas equações ara três ncógntas, uma delas terá de ser determnada antes de se oder calcular as duas outras. O valor do arâmetro deve resultar da esecfcação do erro em estado estaconáro. Estas equações odem gualmente ser utlzadas no rojecto de controladores PI e PD, desde que o arâmetro adequado seja anulado. SINTONIA DE CONTROLADORES P.I.D. Pag -

12 BIBLIOGRAFIA. Bateson, Introducton to Control System Tecnology, acmllan Publshng Comany, 993. artns de Carvalho, Dynamcal Systems and Automatc Control, Prentce Hall, Consdne, Process Instruments and Controls Handbook, cgraw-hll, Johnson, Controlo de Processos: Tecnologa da Instrumentação, Fundação Calouste Gulbenkan, uo, Automatc Control Systems, Prentce Hall, Ogata, odern Control Engneerng, Prentce Hall, Phlls and R. D. Harbor, Feedback Control Systems, Prentce Hall, Pollard, Process Control, Henemann Educatonal Books, 98 SINTONIA DE CONTROLADORES P.I.D. Pag -