EXPERIMENTOS EM LÁTICE: PLANEJAMENTO E ANÁLISE POR MEIO DE PACOTES ESTATÍSTICOS

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1 Sére Técnca IPEF, Praccaba, 7(3): -69, dez.99. ISSN EXPERIMENTOS EM LÁTICE: PLANEJAMENTO E ANÁLISE POR MEIO DE PACOTES ESTATÍSTICOS FREDERICO PIMENTEL GOMES CARLOS HENRIQUE GARCIA

2 Sére Técnca IPEF é pblcada trestralente pelo Insttto de Pesqsas e Estdos Florestas e convêno co a Unversdade de São Palo, Escola Speror de Agrcltra Lz de Qeroz, Departaento de Cêncas Florestas. Sére Técnca IPEF pblca todas as contrbções orgnas qe, analsadas pelo Conselho Edtoral, se enqadra coo anas de encontros o onografas, co o objetvo de atalzar o conhecento sobre teas florestas de grande nteresse prátco. Cotê Edtoral Lz E. G. Barrchelo ESALQ, USP Walter de Pala La ESALQ, USP Maralce M. Poggan IPEF Endereço IPEF Bbloteca ESALQ/USP Caxa Postal Praccaba, SP Brasl TELEX IPEF BR FAX (094)

3 SUMÁRIO. INTRODUÇÃO. CARACTERÍSTICAS DOS LÁTICES QUADRADOS 3. AS TRÊS ANÁLISES DO LÁTICE 4. A ANÁLISE COMO BLOCOS CASUALIZADOS 5. A ANÁLISE INTRABLOCOS 5.. Análse pelo SAS 5.. Análse pelo SAEG 5.3. Análse pelo SANEST 5.4. Análse pelo SOC 5.5. Coparação de Médas 6. A EFICIÊNCIA DO LÁTICE 7. O PROBLEMA DAS PARCELAS PERDIDAS 8. ANÁLISE DE EXPERIMENTOS EM LÁTICES QUADRADOS COM RECUPERAÇÃO DA INFORMAÇÃO INTERBLOCOS 8.. O Método de Cochran & Cox 8.. O Método de Bose 8.3. Exeplo de Análse co Recperação 8.4. A Efcênca do Látce na Análse co Recperação da Inforação Interblocos 9. A REPETIÇÃO DO DELINEAMENTO EM LÁTICE 9.. Exeplo de Análse Interblocos 0. ANÁLISE COM RECUPERAÇÃO DA INFORMAÇÃO INTERBLOCOS PARA LÁTICES REPETIDOS 0.. Exeplo de Análse co Recperação da Inforação Interblocos de Látce Repetdo

4 . TIPOS MAIS MODERNOS DE RETICULADOS QUADRADOS. O CASO DE DUAS TESTEMUNHAS EM CADA BLOCO 3. VANTAGENS DOS LÁTICES COM UMA OU MAIS TESTEMUNHAS EM CADA BLOCO 4. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ANEXOS

5 EXPERIMENTOS EM LÁTICE: PLANEJAMENTO E ANÁLISE POR MEIO DE PACOTES ESTATÍSTICOS. INTRODUÇÃO Frederco Pentel Goes Carlos Henrqe Garca Os delneaentos retclados (o látces) pode ser de qatro tpos báscos: a. Látces qadrados ("sqare latlces") b. Látces retanglares c. Látces cúbcos d. Qadrados látces ("Iatlce sqares") Nos látces qadrados o núero de trataentos (v) deve ser qadrado perfeto, por exeplo v = 6 = 4, o v = 00 = 0, o seja, no caso geral, V = k. Nos látces retanglares deveos ter v = k (k + ). Por exeplo, para k = 4, o látce retanglar deve ter v = 4 (4 + ) = 0 trataentos. Já no látce cúbco o núero de trataentos deve ser cbo perfeto: v = k 3. Por exeplo, para k = 4, o núero de trataentos é v = 4 3 = 64. Os qadrados látces o qadrados retclados são delneaentos qe se caracterza por ser qadrado perfeto o núero v = k de trataentos, dspostos e lnhas e colnas de k parcelas cada, à seelhança do qe ocorre co os qadrados latnos. Os látces retanglares, os látces cúbcos e os qadrados látces são delneaentos raraente sados na ataldade. Este trabalho estda apenas os látces qadrados (o retclados qadrados), de so relatvaente co.. CARACTERÍSTICAS DOS LÁTICES QUADRADOS O núero de trataentos (v) deve ser qadrado v = k, e eles são dstrbídos e repetções, cada a co k blocos de k parcelas. Por exeplo, no caso de v = 6 = 4 podeos ter = 3 repetções, cada a co 4 blocos de 4 parcelas coo se vê a segr. º bloco º bloco º bloco º bloco ª repetção ª repetção 3ª repetção Ass, o º bloco da ª repetção encerra os trataentos,, 3, 4, já o 3º bloco da ª repetção ncl os trataentos 3, 7,, 5. Prof. Catedrátco aposentado da ESALQ/USP e Consltor do IPEF Engenhero Florestal Pesqsador do IPEF

6 Note-se qe os trataentos de qalqer bloco da ª repetção se dstrbe por todos os blocos da ª repetção o da 3ª. Por exeplo, o º bloco da ª repetção ncl os trataentos 5, 6, 7, 8; na ª repetção o trataento 5 está no º bloco, o 6, no º, o 7 no 3º e o 8 no 4º bloco. Por sa vez, na 3ª repetção, o trataento 5 está no º bloco, o 6, no º, o 7, no 4º, e o 8, no 3º. Fato seelhante ocorre co qalqer bloco de qalqer daqelas três repetções, sto é, os trataentos de bloco qalqer de a repetção qalqer se dstrbe pelos blocos de qalqer otra repetção: este é o prncípo fndaental do delneaento e látce (o retíclado) qadrado. Repetções co esta propredade se dze ortogonas. Teos, pos, nesse exeplo, 3 repetções ortogonas do látce de v = 4 = 6 trataentos. No látce de v = k trataentos, co k, podeos obter sepre pelo enos 3 repetções ortogonas. Mas no caso de k ser núero pro, tal coo k =, 3, 5, 7, o 3, o a potênca de núero pro, tal coo k = 4 =, o k = 8 = 3, o k = 9 = 3, pode-se obter sepre k + repetções ortogonas. Fora desses casos, sto é, para k = 6, k = 0 o k =, não há possbldade de obter k + repetções ortogonas, as se pode consegr três para k = 6 o 0, e qatro, para k =. Qando, n retclado qadrado co v = k trataentos, saos k + repetções ortogonas, teos o qe se chaa, látce balanceado o eqlbrado. Neste caso, qalqer trataento ocorre jntaente co qalqer otro j a e a só vez no eso bloco. Qando, ao contráro, o núero() de repetções ortogonas é nferor a k +, há pares de trataentos qe ocorre no eso bloco (a só vez): são os preros assocados, e há otros e qe sso não ocorre: são os segndos assocados. Ass, no látce de três repetções ortogonas de nosso exeplo, os trataentos 3 e 4 são preros assocados, pos aparece jntos no bloco da ª repetção. O eso acontece co os trataentos 7 e 5, qe aparece jntos no 3º bloco da ª repetção. Já os trataentos e 7 são segndos assocados, pos jaas aparece no eso bloco, nesse experento. Tas látces, e qe teos k, se dze parcalente eqlbrados o parcalente balanceados. Nos látces correspondentes a k =, 3, 4, 5, 7, 9, e 3 pode-se sepre sar k + repetções ortogonas e obter, ass, látce balanceado. Já para k = 6, 0 e, tal possbldade não exste, e o látce será sepre parcalente eqlbrado. U delneaento e látce co das repetções ortogonas ( = ) constt o retclado dplo ("doble lattce"), tabé chaado sples ("sple lattce"). No caso de = 3, teos o látce trplo ("trple lattce"). O látce eqlbrado (o balanceado), co = k +, pode ser analsado coo delneaento e blocos ncopletos eqlbrados (o balanceados), de análse to as fácl. Já os látces parcalente eqlbrados, sepre co preros e segndos assocados, tê análse to as dfícl. 3. AS TRÊS ANÁLISES DO LÁTICE Para qalqer delneaento e látce, há três tpos de análse be dferentes: I) A análse co blocos casalzados, a as sples, as só convenente qando os efetos de blocos são peqenos o nlos. II) A análse ntrablocos, qe é exata e leva e conta as dferenças entre blocos, geralente portantes.

7 III) A análse co recperação da nforação ntrablocos, as sofstcada, qe condz a resltados apenas aproxados, as qe é, tas vezes, a as efcente. Para cada experento, convé pesqsar qal das três análses é preferível. 4. ANÁLISE COMO BLOCOS CASUALIZADOS Toareos coo exeplo látce qadrado trplo de 4 x 4 qe consta do lvro de PIMENTEL-GOMES (990), cjos dados são reprodzdos na Tabela, e cjas repetções (ortogonas) sege o esqea ndcado na seção. Tabela Dados de látce qadrado trplo de 4 x 4. (),0 (5),3 (9),6 (3),3 (), () 3, (3) 3, (4) 4,0 () 3,0 (),8 (3),7 (4) 4,4 ª Repetção Totas de blocos (),9 (3), (4) 3,9,0 (6),5 (7),4 (8),7 7,9 (0) 3,0 (),5 (), 8, (4) 3,4 (5),0 (6),8 0,5 37,6 ª Repetção Totas de blocos (5),3 (9),7 (3),4 8,6 (6),8 (0),6 (4),7,3 (7),9 (),5 (5), 0,9 (8),8 (),7 (6) 4,5,0 4,7 3ª Repetção Totas de blocos (5),9 (),6 (6) 3,,6 (6),9 (),9 (5),5 9, (7),0 (9),4 (4),3 7,4 (8) 3,7 (0) 3,3 (3), 3,6 4,7 A análse coo blocos casalzados se faz consderando qe cada a das três repetções é bloco copleto casalzado. Os cálclos são fetos pelas fórlas conhecdas para esse tpo de delneaento (PIMENTEL-GOMES, 990, capítlo 5). Para efetá-los, podeos lançar ão de qalqer pacote estatíttco, coo por exeplo, o SAEG, o SANEST, o SOC o o SAS. Os resltados obtdos são os segntes (Lstage n o ). C. de Varação G.L. S.Q. Q.M. F Repetções Trataentos 5 0,779,038 0,3590 0,805,0,9 Resídos 30 0,588 0,350 =,59 CV = 3,48%

8 Esta análse não leva e conta a provável heterogenedade dos blocos e, pos, fornece, e geral, QM Resído nflaconado, prncpalente no caso de experentos co árvores, e qe as parcelas e os blocos são necessaraente be aores do qe nos ensaos co plantas peqenas. As édas dos trataentos, calcladas da fora sal para os experentos e blocos casalzados, são dadas na tabela. Tabela Médas dos trataentos (não ajstadas) do ensao e látce trplo cjos dados consta da Tabela. Trataento Méda (não aj.) Trataento Méda (não aj.) ,40,60,33 4,0,7,73,67, ,90,97,0,57,97,83,30,47 Vereos adante e qe condções este tpo de análse pode ser recoendada. 5. A ANÁLISE INTRABLOCOS A análse ntrablocos dos látces se basea no tradconal étodo dos qadrados ínos, tal coo o qe é feta para os delneaentos nteraente casalzados o e blocos copletos casalzados. Toareos coo exeplo látce trplo qe consta de lvro de PIMENTEL- GOMES (990), cjos dados são reprodzdos na Tabela, e cjas repetções (ortogonas) sege o esqea ndcado na seção. 5.. Análse pelo SAS A análse ntrablocos de látces qadrados parcalente eqlbrados pode ser feta pelo prograa GLM do SAS. Co os dados da Tabela esse prograa de os resltados segntes para a análse da varânca do tpo I (Lstage n o ). C. de Varação G.L. S.Q. Q.M. F Prob. Repetções Blocos (Repetções)(não aj.) Trataentos (aj.) 9 5 0,779 8,694 9,495 0,3590 0,9577 0,6330,69 4,5,99 0,08 0,00 0,008 Resído 4,453 0,0 =,59 CV = 8,5%

9 É portante salentar qe nessa análse (de tpo I), só é valdo o teste F aplcado às Repetções e aos Trataentos. Co efeto, nos látces o teste F para Blocos dentro de Repetções, ndcados coo Blocos (Repetções) só pode ser aplcado se o QM respectvo tver sdo ajstado para efetos de Trataentos. Por sa vez o teste só pode ser aplcado para Trataentos se o QM respectvo tver sdo ajstado para Blocos. Na análse de tpo I do SAS, feta na orde ndcada, o QM Trataentos está ajstado, as o QM Blocos (Repetções) não está. Logo é váldo o F para Trataentos, as não é váldo o F para Blocos (Repetções). O as correto nesse caso, sera ndcar a análse da varânca da anera segnte, se calclar o F para Blocos (Repetções). C. de Varação G.L. S.Q. Q.M. F Prob. Repetções Blocos (Repetções)(não aj.) Trataentos (aj.) Resído 9 5 0,779 8,694 9,495 4,453 0, ,6330 0,0,69...,99 0, ,008 As retcêncas (...) ndca qe o valor correspondente não fo calclado. Se qseros aplcar o teste F tanto a Trataentos coo a blocos, é preferível sar a análse de tpo III do SAS, dada a segr, e qe os Trataentos estão ajstados e tabé os Blocos. C. de Varação G.L. S.Q. Q.M. F Prob. Repetções Blocos (Repetções)(não aj.) Trataentos (aj.) Resído 9 5 0,779 6,0765 9,495 4,453 0,3590 0,675 0,6330 0,0,69 3,8,99 0,08 0,038 0,008 Neste caso, é váldo o teste F tanto para Repetções, coo para Blocos (Repetções) e tabé para Trataentos. E se verfca qe há dferença sgnfcatvas tanto para Blocos coo para Trataentos. 5.. Análse pelo SAEG A análse ntrablocos de látces qadrados tabé pode ser feto pelo prograa ANOVAG do SAEG. Para sso consderaos, no caso dos dados da Tabela, qe teos blocos ncopletos co 6 trataentos, sto é, não se leva e conta as Repetções. A análse da varânca obtda é a segnte (Lstage n o 3). C. de Varação G.L. S.Q. Q.M. F Prob. Blocos (aj.) Trataentos (aj.) 5 6,7944 9,495 0,677 0,6330,9,99 0,069 0,008 Resído 4,453 0,0 =,59 CV = 8,5%

10 Nesta análse o QMTrataentos é ajstado para efetos de Blocos, logo o teste F para trataentos é váldo. Por otro lado, a SQBlocos é ajstada para efetos de trataentos, de sorte qe tabé é váldo o teste F =,9 respectvo. Convé salentar, poré, qe teos aí: SQBlocos(aj.) = SQRepetções + SQB(Repetções)(aj.). Se qseros testar o efeto de Blocos dentro de Repetções, é fácl calclar SQRepetções e obter onde SQB(Repetções)(aj.) = SQBlocos(aj.) SQRepetções, (,) SQRepetções = [(37,6) + (4,8) + (4,7) ] - = 0, Nota-se qe G =, = 37,6 + 4,8 + 4,7 é o total de todas as parcelas do experento e qe C = (/48)(,) é a correção. No presente caso teos, pos: SQB(Rep.)(aj.) = 6,7944 0,779 = 6,0765, 6,0765 QMB(Rep.)(aj.) = = 0,675, 9 0,779 QMRepetções = = 0,3590, Ua vez qe há G.L. para Repetções e 9 para Blocos dentro de Repetções. Podeos aplcar o teste F para Blocos dentro de Repetções (aj.), ass: 0,675 F = = 3,8 0,0 Mas, e geral, não há nteresse e fazer este teste. O prograa dá tabé as édas de trataentos ajstadas, qe são as esas da Tabela Análse pelo SANEST

11 Tabé para o SANEST.consderaos, no caso dos dados da Tabela, qe teos blocos ncopletos, co 6 trataentos, sto é, não se leva e contas as Repetções. A análse da varânca obtda é a segnte (Lstage n o 4). C. de Varação G.L. S.Q. Q.M. F Prob. Blocos (aj.) Trataentos (aj.) 5 6,7944 9,495 0,6330,99 0,008 Resído 4,453 0,0 =,59 CV = 8,5% Coo teos SQBlocos(aj.), pode-se copletar o qadro da análse de varânca para fazer o teste de blocos, ass: 6,7944 QMBlocos (aj.) = = 0,677, 0,677 F = =,9 0,0 Por otro lado, podeos tabé, coo no caso do SAEG, obter: SQB(Rep.)(aj.) = SQBlocos(aj.) - SQRepetções = 6,7944 0,779 = 6,0765, 6,0765 QMB(Rep.)(aj.) = = 0,675, 9 0,675 F = =,9 0,0 Mas, e gera, não há nteresse e fazer este teste Análse pelo SOC Tabé para o SOC, consderaos, no caso dos dados da Tabela, qe teos blocos ncopletos, co 6 trataentos, sto é, não se leva e conta as repetções. A análse da varânca obtda é a segnte (Lstage n o 5):

12 C. de Varação G.L. S.Q.(seq.) Q.M. F Prob. Blocos (aj.) Trataentos (aj.) 5 9,3373 9,495 0,8488 0,6330 4,00,99 0,003 0,0 Resído 4,453 0,0 Total 47 3,848 Nesse caso, a SQBlocos não é ajstada, logo o teste F para Blocos não é váldo. Mas loco a segr o prograa da nova análse co a Soa de Qadrados ajstada. Ela é a segnte: C. de Varação G.L. S.Q.(par.) Q.M. F Prob. Blocos 6,7944 0,677,9 0,07 Trataentos 5 9,495 0,6330,99 0,0 Agora, abas as Soas de Qadrados são ajstadas, logo são váldos os valores de F obtdos nos dos casos. No entanto, o qe aí aparece coo SQBlocos (aj.) na verdade ncl a SQRepetções, sendo: SQBlocos(aj.) = SQRepetções + SQB(Rep.)(aj.), Co as conseqüêncas já vstas para análse pelo SANEST Coparação de Médas O prograa GLM do SAS nos dá tabé as édas de trataentos (se ajste) (Tabela ) e as copara pelo teste de Tkey. Usa então a dferença ína sgnfcatva. = q = 5,46 =,45 QMResído 0,0 3 Mas essa aplcação do teste de Tkey à coparação entre as édas não ajstadas não é correta. O fato de haver ponderáves dferenças entre blocos (coo ostra o teste F = 3,8 para Blocos (Repetções)(ajstados) exge, evdenteente qe se copare as édas ajstadas, sto é, as édas qe fora corrgdas para as dferenças entre blocos. Tas édas são dadas pelo GLM coo o noe de least sqare eans, e costa da Tabela 3. Elas dfere bastante das édas não ajstadas, coo se vê pela esa Tabela. Para copará-las entre s precsaos conhecer a varânca da dferença entre das delas. Qando elas são édas de preros assocados, sto é, de trataentos qe ocorre e eso bloco, a estatva dessa varânca é:

13 Vr V ( ) = (+ onde Vr = QMResído, é o núero de repetções e k é o taanho de cada bloco. Tabela 3 Médas dos trataentos do ensao e látce trplo cjos dados consta da Tabela. Trat. Méda não aj. Méda aj ,40,60,33 4,0,7,73,7,90,97,0,57,97,83,30,47,,70,44 3,95,44,7,66,9,89,98,85,59,9,08,6 Para segndos assocados, sto é, para trataentos e qe não ocorra e eso bloco, a estatva é: V( Vr ) = [ + ) k ] ( -)k No caso presente obteos, para preros assocados: x 0,0 V( ) = [+ 3 Consderando os trataentos e 4, qe são preros assocados, teríaos a dferença ína sgnfcatva ao nível de 5% de probabldade, pelo teste de Tkey: = q = 5,46 =,63 0,50 V ( 0,50 x 0,767 ) ] 4

14 Este é o valor correto, e não o =,45 antes enconado. Coo a dferença 4 = 3,95, =,74, verfca-se qe é sgnfcatva ao nível de 5% de probabldade, pelo teste de Tkey. É bastante co fazer tabé a coparação pelo teste t, qe nos dara a dferença ína sgnfcatva (ds), ao nível de 5% de probabldade, de: ds = t s ( =,08 = 0,874, 0,767 ) = t V ( ) onde t =,08 é trado das tabelas co G.L. Sendo 4 = 3,95, =,74, contna sgnfcatva a dferença observada. O teste de Dncan se aplca tal coo o de Tkey, as sbsttndo q por z e tendo e ra ordenação das édas ajstadas (PIMENTEL-GOMES, 990, capítlo 3). No caso de segndos assocados, tas coo os trataentos e 0, teos: = q = 5,46 =,70 Vr V( ) = [+ V( Neste caso o teste de Tkey nos dá: 0,50 V ( e, para o teste t: ds = t =,08 = 0,97 0,50 x 0,943 V ( 0,943 ) ) ], ( -)k x 0,0 3 ) = (+ ), 3 x 4 = 0,943 Coo a dferença observada 0 =,89, = 0,68, verfca-se não ser sgnfcatva ao nível de 5% de probabldade pelo teste t. É sal, poré, não dstngr trataentos preros o segndos assocados, coparando das édas qasqer por eo de a varânca, cja estatva é dada pela fórla:

15 V( Vr ) = [+ ( -)(k ], + ) x 0,0 3 = (+ ), 3 x 5 = 0,837, Neste caso teos = q = 5,46 =,655, ds = t =,08 0,50 V ( = 0,89 0,50 x 0,837 V( 0,837 ) ) A coparação das édas ajstadas ( least sqare eans ) pelo teste t é feta pelo GLMdo SAS. Mas, coo é realzada para todos os 0 pares qe se pode obter co os 6 trataentos, tal coparação é nacetável, por levar a níves excessvos de erro de tpo I. O SAEG e o SANEST não faze as coparações entre édas ajstadas. O pesqsador poderá, poré, copletar o trabalho, co aplcação do teste de Tkey, do de Dncan o do t da anera ndcada. Nocaso do teste de Tkey, ao nível de 5% de probabldade, teos =,70 para segndos assocados, o =,655 e éda, para qalqer caso. Por sa vez, o teste t se aplcara co ds = 0,974 para preros assocados, ds = 0,97 para segndos assocados, e ds = 0,89 e éda, para qalqer caso Estdo de contrastes as coplexos Consdereos constraste y = c + c c v v, a estatva de varânca de sa estvatva é dada pela fórla (PIMENTEL-GOMES, 987): V(Y) Vr + ( -)k + ( -)k C C = C j co j, onde se refere apenas aos valores de e de j tas qe os trataentos correspondentes seja preros assocados.

16 Teos: Por exeplo, para o contraste Y = , C = (-) + (-) + () x 6, ' CC j = CC3 + CC 4 + C3 C 4 = (-)(-) + ()() + (-)() = - 3 Aparece todos os prodtos C C 3, C C 4 e C 3 C 4 porqe todos eles se refere a preros assocados, a vez qe os trataentos, 3 e 4 ocorre, todos eles, no º bloco da ª repetção. Teos, pos: V (Y ) = 0, (-3) = 0, x 4 3 x x 4 A dferença ína sgnfcatva, pelo teste t, ao nível de 5% de probabldade, sera, pos: A estatva do contraste é: ds = t V(Y ) =,08 0,5300 =,5 Y = -,,44 + x 3,95 = 3,5. Coo teos 3,5 >,5, verfca-se qe o contraste é sgnfcatvo ao nível de 5%. Otro odo (aproxado) de estar V(Y ) se basea na Varânca Efetva Méda calclada pela fórla: VEf(éda) = Vr + = 0,0 + = 0,756 ( -)(k 3 x 5 + ) A segr se aplca a fórla sal da varânca de contraste, co o so da Varânca Efetva no lgar do QMRes. = s.

17 Obteos, pos: V(Y ) = (/) C x VEf = (6/3) x 0,756 = 0,55 Este valor, as fácl de calclar, no caso presente speresta a varânca. E otros casos, pode sbestá-la. U exeplo as coplexo sera dado pelo contraste Y = Pertence a preros assocados os pares: (,5), (5,7) e (7,). Os deas, sto é: (,7), (,) e (5,) se refere a segndos assocados. Teos, pos: A varânca é, pos: C ' C C = () j + () (Y ) = 0,0 + 3 =,483. V + () + (-3) =, = ()() + ()() + ()(-3) = - x 4 + Pela fórla da Varânca Efetva obteríaos: 3 x x 4 (-) V (Y ) = C VEf = x 0,7567 =,04 3 Neste caso, pos, a fórla da Varânca Efetva nos dá valor sbestado. Co qalqer desses valores podeos aplcar o teste de Scheffé, qe nos dá o valor crítco: S = (v -) V(Y)F, onde v é o núero de trataentos e F é o valor das tabelas, relatvo ao teste de trataentos na análse de varânca. Ao nível de 5% de probabldade, co 5 G.L. para trataentos e para o resído, teos F =,8. Coo V = 6 trataentos e V(Y) =,483, teos: A estatva de contraste é: S = 5 x,483 x,8 = 6,3 Y =,70 +,44 +,48 3 x,98 =,68

18 Não atnge, pos, o nível de 5% de sgnfcânca. Se tvésseos toado o valor aproxado para a varânca (,04), o valor tera sdo S = 6,00, e vez de 6,3. 6. A EFICIÊNCIA DO LÁTICE Para calclar a efcênca, convé, antes de as nada, fazer a análse do experento coo blocos ao acaso. No exeplo a qe refere a Tabela, tal análse dá os segntes resltados. C. de Varação G.L. S.Q. Q.M. F Repetções Trataentos Resído ,779,038 0,588 0,3590 0,805 0,350,0,9 Para calclar a efcênca (Ef) saos a fórla: QMRes(Blocos Casalzados) Ef = Var. Efetva Acontece, poré, qe há três Varâncas Efetvas: A. Varânca efetva para preros assocados VEf() = Vr + = 0,0 (+ /4) = 0,650 k B. Varânca efetva para segndos assocados VEf() = Vr + = 0,0 (+ 3/ x 4) = 0,95 ( -)k C. Varânca efetva éda, qe se denona splesente Varânca efetva, e geral. VEf(éda) = Vr + = 0,0 (+ 3/ x 5) = 0,756 ( -)(k + ) Concl-se, pos qe teos três dstntas efcêncas para o látce: A. Para preros assocados: 0,350 Ef() = =,353 = 3,5% 0,650

19 B. Para segndos assocados: C. E éda: 0,350 Ef() = =,04 = 0,4% 0,95 0,350 Ef(éda) = =,74 = 7,4% 0,756 Para qe o látce tenha efcênca elevada é necessáro qe seja grande o efeto dos blocos. No caso de áreas experentas nfores o de blocos al localzados, o látce pode ter efcênca da orde de 00% e sera eqvalente a ensao e blocos copletos casalzados. 7. O PROBLEMA DAS PARCELAS PERDIDAS Na prátca agronôca o florestal os látces são geralente sados para copetção de cltvares nerosos, não raro e núero speror a 00. Nestas condções, são relatvaente cons as parcelas perddas. Havendo a parcela perdda, há dos étodos para obter a análse da varânca: A. Calclar valor, qe sbstt o qe se perde, fazer cálclos todos da fora sal, as descontar gra de lberdade no Resído. B. Utlzar prograa de coptador qe trabalhe dretaente co os dados dsponíves. Caso A Estação da Parcela Perdda Essa estação pode ser feta pela fórla segnte, cada por COCHRAN & COX (957): ( -)k T R + G kc + kc' X =, ( -)(k -)(k - k -) one: é o núero de repetções ortogonas; k é o taanho do bloco; T é o total das parcelas dsponíves para o trataento e qe se perde a parcela, R é o total das parcelas restantes na repetção e qe fgra a parcela perdda e G é o total de todas as parcelas dsponíves no experento. Resta defnr C e C. Teos: C = Total (para todas as repetções) de todos os trataentos do bloco relatvo ao trataento co parcela perdda B, onde B é o total do bloco e consderação. C = Total dos valores de C calclados para todos os blocos qe contenha o trataento co parcela perdda. Exeplo; Sponhaos qe se perdesse a parcela relatva ao trataento, no º bloco da ª repetção, cjo valor na tabela é,0. Obteos:

20 T =, + 3,0 = 5,, R =,9 +, + 3,9 +, ,8 = 35,6, G = 35,6 + 4,7 + 4,7 = 9,. Os totas dos trataentos,, 3 e 4, qe ocorre no º bloco da ª repetção são: e o total do bloco é: T = 5,; T = 7,8; T3 = 7,0; T4 =,3, B =,9 +, + 3,9 = 9,0. O valor de C para o º bloco da ª repetção é, pos, C = 5, + 7,8 + 7,0 +,3 = 3 x 9,0 = 5,3 O valor de C para o º bloco da ª repetção, onde tabé ocorre o trataento, é: C = T + T 5 + T 9 + T 3 3 x B = 5, + 6,5 + 5,7 + 5,9 3 x 8,6 = -,5. Já para o º bloco da 3ª repetção, onde galente ocorre o trataento, obté-se: Logo: C = T + T 6 + T + T 6 3 x,6 = 5, + 8, + 6,6 + 7,4 3 x,6 = -7,4. C = 5,3 + (-,5) + (-7,4) = -4,6. Ass sendo, o valor x, estado para a parcela perdda, é: x 6 x 5, - 3 x 35,6 + 9,- 3 x 4 x 5,3 + 4 (-4,6) X = x 3 x (3 x 4-4 -) =,30 Este valor é sbsttído no lgar da parcela perdda (cjo valor real era,00) para o trataento no º bloco da ª repetção e se faz, no coptador, a análse ntrablocos coo se não hovesse nenh dado perddo. Os resltados, obtdos pelo SAS, são os segntes, co os dados do tpo I (Lstage n o 6).

21 C. de Varação G.L. S.Q. Q.M. F Blocos Trataentos Resído 5 9,494 9,57 4,44 0,863 0,60 0,0 4,,90 Essa análse, ebora não esteja correta, nos perte calclar os valores corretos. E prero lgar, o núero de gras de lberdade do Resído deve ser 0 (e não ), a vez qe hove perda de a parcela. A SQResído = 4,43 está certa, as o qadrado édo correspondente é: 4,44 QMResído = = 0,06 0 Por otro lado, não está correta a Soa de Qadrados de trataentos, qe deve estar sobrestada. Para obter o valor correto, clacla-se nova estatva para a parcela perdda, pela fórla: B X =, k - onde B é o total das parcelas restantes no bloco co parcela perdda, e k é o taanho orgnal do bloco. No nosso caso, teos B =,9 +, + 3,9 = 9,0 e k = 4, logo: 9,0 X = = 3, Co este lado sbsttído no lgar do valor perddo (,00), fazeos a análse da varânca e qe otos a contrbção dos trataentos, sto é, soente co Blocos e Resído. Este Resído, qe ncl Trataentos, se chaa Resído Condconal. Os resltados obtdos são os segntes: C. de Varação G.L. S.Q. Blocos Resído Condconal 35 0,006 3,975 Total 46 3,8 O valor correto da Soa de Qadrados de Trataentos (ajstada) se obté ass: SQT = SQRes. Condconal SQResído = 3, = 8,785 Obteos, pos, a segnte análse da varânca:

22 C. de Varação G.L. S.Q. Q.M. F Blocos Trataentos(aj.) Resído 5 0 9,494 8,785 4,43 0,5857 0,06,66* Esta é a análse correta para o ensao co parcela perdda. As édas ajstadas são obtdas da anera sal, co o axílo do valor estado x =,30. Caso B. Análse pelo Coptador co os Dados Dsponíves A análse pode ser feta co axílo do SAS (prograa GLM) o do SAEG (prograa ANOVAG). A análse pelo SAS dá os resltados segntes para o tpo I (Lstage n o 7). C. de Varação G.L. S.Q.(seq.) Q.M. F Prob. Blocos (não aj.) Trataentos (aj.) Resído 5 0 9,8080 8,785 4,43 0,896 0,5857 0,06 4,04,65 0,0033 0,05 O teste F para Blocos não é correto, e não devera ser calclado, as são certos os resltados para Trataentos e para Resído. As édas ajstadas, co o noe de LSMeans, sto é, édas obtdas pelo étodo dos qadrados ínos, são as segntes: Trataento Méda (aj.) Trataento Méda (aj.) ,3,67,4 3,93,45,73,48, ,30,89,99,85,60,9,08,8 Os resltados obtdos pelo SAEG são os esos. Podeos dar agora exeplo co das parcelas perddas, o valor referente ao trataento no º bloco da ª repetção (qe era,00) e o relatvo ao trataento, no 3º bloco da ª repetção (qe era,50). Tanto o SAS coo o SAEG dão os resltados segntes (Lstage n o 8). C. de Varação G.L. S.Q.(seq.) Q.M. F Prob. Blocos (não aj.) Trataentos (aj.) Resído ,79 4,409 0,8977 0,583 0,3 3,87,50 0,0048 0,0306

23 Anda neste caso, o teste para Blocos não é váldo, as o teste para Trataentos é correto, pos são váldas as estatvas para SQT(aj.) e para SQRes. As édas ajstadas são as segntes: Trataento Méda (aj.) Trataento Méda (aj.) ,30,68,4 3,93,45,73,49, ,30,89,97,85,60,9,08,7 Co as de das parcelas perddas, o procedento é o eso. 8. ANÁLISE DE EXPERIMENTOS EM LÁTICES QUADRADOS COM RECUPERAÇÃO DA INFORMAÇÃO INTERBLOCOS E todos os experentos e blocos casalzados, copletos o ncopletos, o odelo ateátco, relatvo à parcela qe recebe o trataento no bloco j é: Onde: é a éda geral, t é o efeto do trataento, b j é o efeto do bloco j, e j é o erro aleatóro relatvo à parcela. Y j = + t + b j + e j Adte-se, na análse dos experentos e blocos copletos e tabé na análse ntrablocos dos experentos e blocos ncopletos (tas coo os látces qadrados), qe os efetos de blocos são fxos e qe o erro e j te varânca, gal para todas as parcelas. Mas há, no caso de blocos ncopletos, otro tpo de análse, be dferente, a análse co recperação da nforação nterblocos, e qe o efeto de blocos bj se consdera tabé aleatóro, co varânca σ, gal para todos os blocos. Nessa análse é b essencal conhecer o qocente / σ. Coo dele só se te a estatva, os testes nela b aplcados não são exatos. Há dos étodos para a recperação da nforação nterblocos. Abos tlza as estatístcas: V b = QMBlocos dentro de Repetções (ajstado), V r = QMResído. Tas étodos são o de COCHRAN & COX (957) e o de BOSE (954), exposto e copletado por PIMENTEL-GOMES (954 e 990).

24 Qalqer desses dos étodos, aplcados aos dados da Tabela, nos leva à segnte análse da varânca: C. de Varação G.L. S.Q. Q.M. F Blocos (Rep.)(aj.) Trataentos (aj.) Resído 9 5 6,0765 9,605 4,453 V b = 0,675 0,640 V r = 0,0 3,0 Note-se qe o novoqmt(aj.) spera o valor obtdo pela análse ntrablocos (se recperação da nforação nterblocos), qe era 0,6330, e vez de 0,640. Neste caso o acrésco é to peqeno, as, e casos favoráves, pode ser portante. Coo conseqüênca, aenta tabé o valor de F para trataentos (ajstados), qe é agora F = 3,0, e vez de F =,99. Isto é a vantage. Mas, por otro lado, o teste F aplcado a esta nova análse não é exato, as apenas aproxado. Tabé são apenas aproxados os testes de coparação de édas aplcados às novas édas ajstadas de trataentos. Coo regra geral, consdera-se qe a aproxação é razoável desde qe tenhaos pelo enos 0 gras de lberdade para Blocos dentro de Repetções e tabé para o Resído (COCHRAN & COX, 957). 8.. O Método de Cochran & Cox Os ajstes a sere fetos na análse da varânca ntrablocos tlza a estatístca M, cja estatva é dada pela fórla: Vb - Vr M = k( -)V onde k é o núero de parcelas por bloco e é o núero de repetções ortogonas (PIMENTEL-GOMES & GARCIA, 990). Note-se qe COCHRAN & COX (957) sa a letra grega, e lgar de M, para representar essa estatístca. A teora deonstra qe: onde E ndca esperança ateátca. k( -) E(Vb ) = σ + σ b E(V ) = σ, r Coo teos σ b 0, é o de se esperar qe se obtenha V b V r. Mas, eventalente, devdo à varação do acaso, podeos ter V b V r. Neste caso, toa-se M = 0, adte-se qe não haja efeto de blocos e se analsa o látce coo experento e blocos copletos casalzados, co repetções (COCHRAN & COX, 957). Por otro lado, teos sepre b,

25 M < k( -) 8.. O Método de Base Neste étodo, os ajstes a sere fetos na análse da varânca nterblocos tlza a estatístca a, cja estatva é dada pela fórla ( -) Vr a =, Vb - Vr Coo vos, é de se esperar, pela teora, qe se obtenha V b V r. Mas, eventalente, devdo à varação do acaso, podeos ter V b V r. Neste caso, toa-se a =. Por otro lado, para V b >V r obteos sepre 0 < a. Ass, sendo, o valor a satsfaz às desgladades. 0 < a < Co a = 0, nenh ajste é feto, e voltaos à análse ntrablocos, se nenha alteração. Co a =, a análse co recperação se torna dêntca à de blocos casalzados. Mas para 0 < a <, a análse co recperação da nforação nterblocos dfere das otras das. Coo regras prátcas sgere-se as segntes: A. para a > 0,8, analsar coo blocos casalzados, B. para a < 0,, sar a análse ntrablocos, C. para 0, a 0,8, sar a análse co recperação da nforação nterblocos. É nteressante salentar qe o valor de a pode ser obtdo da estatístca M sada no étodo de Cochran & Cox, pos teos: - k( -) M a = + km A varânca estada para contraste entre as édas de dos trataentos preros assocados é dada pela fórla: V( ) * V = r Vb - Vr +, kvb onde o asterístco ndca e se fez a recperação da nforação nterblocos.

26 Para segndos assocados, a fórla é: V( ) * V = r + ( -) k Vb - Vr, V b O as co, poré, é sar a varânca éda, a ser aplcada ndscrnadaente. Ela é dada pela fórla: V( ) * Vr = + ( -)(k + ) Vb - Vr, V b 8.3. Exeplo de Análse co Recperação Usareos otra vez os esos dados da Tabela. O prograa LATICE do CIAGRI dá os resltados segntes (Lstage n o 9). C. de Varação G.L. S.Q. Q.M. F Repetções Blocos (Rep.)(aj.) Trataentos (aj.) Resído 9 5 0,779 6,0765 9,605 4,453 0,3590 V b = 0,675 0,640 V r = 0,0,69 3,0 O valor de M é 0,086, e nos dá: - k( -) M - 4 x x 0,086 a = = = 0,3. _ km + 4 x 0,086 Este valor, relatvaente baxo, já nos faz prever qe a recperação da nforação nterblocos não tratá grandes vantagens. O prograa nos dá tabé varânca da dferença entre as édas de dos trataentos: para preros assocados, V( ) * = 0,656, V( ) * = 0,777, para segndos assocados e, e éda para qalqer caso: V( ) * = 0,704, Esses valores, dados pelo coptados, pode ser calclados pelas fórlas segntes:

27 Para preros assocados: V( ) * V = r Vb - Vr +, kvb Para segndos assocados: Estatva éda: V( ) * V = r + ( -) k Vb - Vr, V b V( ) * Vr = + ( -)(k + ) Vb - Vr, V b E todos os casos, toa-se V b V r = 0 qando se obté V b < V r. Note-se qe o prograa da tabé a Varânca Efetva Méda, calclada pela fórla: V(éda) * = V r + ( -)(k + ) V b - V V b r = 0,5565 As novas édas ajstadas são apresentadas, e consta da Tabela 4 (Lstage n o 9). Tabela 4 Médas ajstadas obtdas na análse co recperação da nforação nterblocos. Trataento Méda (aj.) Trataento Méda (aj.) ,7,67,4 4,00,36,7,54, ,7,9,05,76,7,90,5,6 Calcleos, co a varânca éda para a dferença entre as édas de dos trataentos, o valor de referente ao teste de Tkey. Teos:

28 = q = 5,46 =,594 (0,50) V( (0,50) 0,704 Já o ds, relatvo ao teste t, nos dara: ds = t =,08 = 0,859 V( 0,704 ) * ) * A dferença 4 3 =,90,7 =,9 é, pos, sgnfcatva pelo teste t, as não pelo teste de Tkey. Cálclos seelhantes pode ser fetos, se qser, para trataentos preros assocados o segndos assocados, separadaente. O prograa LATICE do SAEG (Lstage n o 0) calcla as édas ajstadas e o valor M = 0,086, as não dá o QMTrataentos (ajstados) e não aplca o teste F. E lgar dos valores de V( ) ele dá a varânca efetva éda VEf = 0,556. Co ela calclaos a varânca éda para a dferença entre das édas qasqer pela fórla: V( * ) = VEf(éda) = 0,556 3 = 0,704 Co este valor podeos aplcar os testes t e de Tkey do odo já conhecdo. O prograa PROC LATTICE do SAS (Lstage n o ), tabé não dá o QMTrataentos (ajstados) e não aplca o teste F, as apresenta os valores de V( ) para preros assocados, para segndos assocados e para o valor édo, de so geral. Co eles se pode calclar a dferença ína sgnfcatva pelo teste de Tkey () e a dferença ína sgnfcatva pelo teste t (ds) A Efcênca do Látce na Análse co Recperação da Inforação Interblocos. Para calclar a efcênca (Ef * ) saos a fórla: * Ef = QMResído (Bloco Casalzados) * Varânca Efetva Tal coo no caso da análse ntrablocos, aq há três Varâncas Efetvas e, pos, três efcêncas.

29 A. Varânca Efetva para preros assocados e a efcênca é: logo VEf() * = Vr + k = 0,0 + = 0,484 Vb - V V 4 b r 0,675-0,0 0,675 0,350 Ef() * = =,43 = 4,3% 0,484 B. Varânca Efetva para segndos assocados VEf() * = Vr + = 0,0 + = 0,665 ( -)k 3 x 4 Vb - V V b r 0,675 0,675-0,0 0,350 Ef() * = =,37 = 3,7% 0,665 C. Varânca Efetva éda, qe, e geral, se denona splesente Varânca Efetva logo VEf(éda) * = Vr + = 0,0 + = 0,556 ( -)(k 3 x 5 Vb - V + ) V 0,675-0,0 0,675 0,350 Ef(éda) * = =,373 = 37,3% 0,556 b r

30 Esta últa Efcênca é dada tanto pelo prograa do CIAGRI coo pelo prograa LÁTICE do SAEG, e anda pelo prograa PROC LATTICE do SAS. 9. A REPETIÇÃO DO DELINEAMENTO EM LÁTICE Coo vos no capítlo, para os látces de 6 x 6 o de 0 x 0 só exste 3 repetções ortogonas, e para o de x, apenas 4. Nestas condções, coo podeos, por exeplo, nstalar látce de 0 x 0, para 00 cltvares de ecalpto, co 6 repetções? A solção é toar as 3 repetções ortogonas dadas por COCHRAN & COX (957), as tlzando cada a das das vezes: é o qe se chaa látce trplo dplcado. Alternatvaente, poderíaos toar das repetções ortogonas e tlzar cada a delas 3 vezes: sera látce dplo (o sples) trplcado. E lnhas geras, a análse sege os étodos já vstos anterorente. Teos, pos, 3 tpos de análse: I. A análse coo blocos casalzados. II. A análse ntrablocos. III. A análse co recperação da nforação nterblocos. As condções para so dessas análses são as esas já vstas no capítlo Exeplo de Análse Intrablocos Toareos coo exeplo látce dplo de 6 x 6, dplcado, cjos dados consta da Tabela 5. Tabela 5 Valores édos de Altra () de experento de E. grands e látce dplo de 6 x 6 dplcado. (),9 (7) 3,3 (3),3 (9), (5),5 (3) 3,6 ª repetção ortogonal () 7,7 (8),8 (4), (0) 8,9 (6),7 (3) 3, (3) 9,0 (9) 0, (5),6 (),9 (7) 0,4 (33),7 (4), (0) 4,4 (6),5 () 4,8 (8) 3,9 (34),5 (5),7 () 6,4 (7),3 (3),3 (9) 8,5 (35) 4,8 (6) 0,4 () 3, (8) 4,3 (4) 4,4 (30) 5,0 (36) 5,0 (),9 () 9,7 (3),8 (4),5 (5) 9,9 (6) 4, ª repetção ortogonal (7) 3,4 (8) 7,8 (9) 9,4 (0) 3,9 () 4,6 () 4,7 (3),9 (4) 9,9 (5) 3,8 (6) 3,4 (7) 3,6 (8) 4,8 (5) 0,0 (6) 6,4 (7),3 (8),8 (9) 3,6 (30),7 (3) 0,4 (3) 3, (33) 4,3 (34),8 (35),8 (36) 5,5

31 () 9,5 (7) 3,5 (3) 0,0 (9),9 (5) 9,4 (3) 6,3 () 6,0 (8) 3,8 (4),6 (0) 0, (6),6 (3) 8, ª repetção ortogonal dplcada (3),7 (9),7 (5), () 6,3 (7) 3,5 (33), (5) 6, (),9 (7) 3,5 (3), (9),9 (35) 9,4 (6) 9,9 () 4,9 (8) 0,4 (4) 0,3 (30) 0, (36),6 (), () 9,5 (3),9 (4) 3, (5),7 (6),3 (7) 0, (8),0 (9) 6, (0),6 () 4,5 () 0,7 ª repetção ortogonal dplcada (3), (4),0 (5) 0, (6),7 (7),8 (8) 3,5 (5),8 (6),4 (7) 9, (8) 3, (9) 9, (30) 0,5 (3) 0,4 (3), (33) 3, (34),7 (35) 9, (36),0 A análse pelo prograa GLM do SAS (tpo III) dá os resltados segntes (Lstage n o ) C. de Varação G.L. S.Q. Q.M. F Prob. Blocos (Rep.)(aj.) Trataentos (aj.) ,4007 5,09 V b = 6,8435 4,3435,53,6 0,00 0,040 Resído 95 9,548 V r =,700 Total 43 Coo se trata de valores ajstados, o teste F é váldo tanto para Blocos (ajstados) coo para Trataentos (ajstados). As édas estadas, dadas pelo prograa, consta da Tabela 6. Coo, poré, podeos realzar a coparação de édas? É necessáro, antes de as nada, calclar as estatvas das varâncas dos dversos contrastes.

32 Tabela 6 Médas estadas para a varável Altra () de experento de E. grands e látce dplo de 6 x 6 dplcado. Trataento Méda (aj.) Trataento Méda (aj.) ,68 9,00,00,8 0,89,0,98 0,3 8,56,83 3,48,8,3,8,8,98,56, ,,59 0,36,7, 3,38,0,68,08,97 0,99 0,73 9,44,48,0,43,4 3,04 Para preros assocados, coo os trataentos e, teos: V( V ) = r n +, k onde é o núero de repetções ortogonas e n é o núero de vezes qe se so cada a delas. No caso presente teos = repetções ortogonas, correspondentes ao esqea segnte, cada a delas aplcada n = vezes Por otro lado, teos V b = 6,8435; V r =,700. Obteos, pos, para preros assocados: V( x,700 ) = +, x 6 =,567

33 Para segndos assocados a fórla é: V( Vr ) = n + = x,700 x =,800. k( -) + 6( -) Pode-se sar tabé a estatva éda, a ser aplcada ndscrnadaente, para preros o segndos assocados. Se valor é: V( Vr ) = n + (k )( -) + x,700 = x + (6 )( -) + =,7358. O teste de Tkey se aplca, coo sepre, pela fórla: = q 0,50 V( ) onde q é trado das tabelas de apltde total estdentzada co v = 36 trataentos e n = 85 G.L. do Resído. Para o caso de preros assocados (trataentos e por exeplo) teos, ao nível de 5% de probabldade: = 5,65 0,50 x,567 = 4,9 O contraste entre as édas dos dos trataentos nos dá: Y = =,68 9,00 = 3,68 Coo Y = 3,68 < 4,9 =, concl-se qe a dferença não é sgnfcatva. Para segndos assocados, a dferença ína pelo teste de Tkey, ao nível de 5% de probabldade, sera: = q = 5,65 = 5,36 0,50 V( ) 0,50 x,800

34 e o valor édo, de so geral, sera: = 5,65 0,50 x,6358 = 5, Por sa vez, o ds, pelo teste t, para preros assocados e ao nível de 5% de probabldade, nos dara: ds = t =,99 =,45 V(,567 Para contrastes as coplcados, o as fácl é sar a Varânca Efetva Méda: VEf(éda) = Vr + Por exeplo, para contraste Teos, aproxadaente: =,700 + = 3,476 ) ( -)(k ( -)(6 + ) Y = c + c c v v, + ) V(Y) = c n VEf (éda) No caso partclar de Y = = 3 9, Obteos: A estatva do contraste é: c = (-3) =, V(Y) = 3,476 = 0,448 x ds =,99 0,448 = 6,4

35 Y,68 +,00 +,8 3 x 8,56 =,8 Teos Y =,85 > 6,4 = ds, logo o contraste é sgnfcatvo pelo teste t. 0. ANÁLISE DE RECUPERAÇÃO DA INFORMAÇÃO INTERBLOCOS PARA LÁTICES REPETIDOS Neste caso, o valor de M (o ) do étodo de COCHRAN & COX é dado pela fórla: M = k n(v b - V ) [ n( -) V + ( n -) V ] onde é o núero de repetções ortogonas, n é o núero de vezes qe cada a delas fo sada, V b é o QMBlocos (Rep.)(aj.) e V r é o QMResído da análse ntrablocos. No caso de V b V r < 0 b, toa-se M = 0. Salenta-se qe são satfetas as desgaldades: 0 M < b r k( -) O valor de a do étodo de Bose é dado pela fórla: r ( n -) Vr a = n V - V b r e para ele vale as desgaldades Por otro lado, contna a fórla e dá o eso resltado. 0 < a. - k ( -) M a =, + km

36 A análse da varânca geralente acopanha o esqea segnte. Repetções Trataentos (aj.) Blocos (Rep.)(aj.) Resído G.L. M n- K - M n(k-) (k-)( n k k-) QMT(aj.) * V b V r Q.M. A estatva da varânca para a dferença entre as éda ajstadas de dos trataentos preros assocados é dada pela fórla: * Vr V( ) = + n Para segndos assocados, essa estatva é: a estatva éda, de so geral, é: * Vr V( ) = + n V( ) * = Vr n [ (n -) M] [ n M] + n k M k + Co essas varâncas, é fácl obter a dferença ína sgnfcatva pelo teste de Tkey: = q 0,50 V( ) o pelo teste t: ds = t V( ) Por otro lado, a Varânca Efetva Méda é dada pela fórla: VEf(éda) = Vr + k n M k + 0. Exeplo de Análse co Recperação da Inforação Interblocos de Látce Repetdo Toareos coo exeplo os dados de látce de 5 x 5 dplo dplcado estraídos do lvro de COCHRAN & COX (957) e reprodzdos na Tabela 7.

37 A análse ntrablocos pelo GLM do SAS dá os restlados segntes (tpo III) (Lstage n o 3). C. de Varação G.L. S.Q. Q.M. F Repetções Blocos (Rep.)(aj.) Trataentos (aj.) Resído ,9 786,00.03,4 76,56 V b = 49, 45,97 V r = 3,60 3,38 O valor de M é: M = k [ n ( -) V + (n -) V ] (49, -3,60) = 5 () [ 49, + ()3,60] = 0,7 n(v b - V ) Tabela 7 Prodções de soja de experento de copetção de cltvares e látce dplo dplcado de 5 x 5. Totas de blocos () 6 (6) 6 () 7 (6) 8 () 4 () 7 (7) () 7 (7) 6 () 5 (3) 5 (8) (3) 7 (8) 3 (3) (4) 8 (9) 3 (4) 9 (9) 3 (4) 4 (5) 6 (0) 8 (5) 4 (0) 4 (5) ª repetção ortogonal 89 () 4 () (3) 6 (4) 7 (5) 5 (6) 3 (7) (8) 4 (9) 0 (0) 5 () 4 () 4 (3) (4) 30 (5) (6) (7) (8) (9) 9 (0) 6 () 8 () 3 (3) (4) 3 (5) ª repetção ortogonal 39 () 3 (6) 5 () 9 (6) () 5 () 6 (7) 8 () 0 (7) 6 () (3) 9 (8) (3) 0 (8) 7 (3) 3 (4) 3 (9) (4) 0 (9) 4 (4) 0 (5) (0) 5 (5) 6 (0) 7 (5) ª repetção ortogonal dplcada 36 b r r,,

38 () 6 () 5 (3) 7 (4) 9 (5) 7 (6) 7 (7) 0 (8) (9) 4 (0) 8 () 0 () (3) 5 (4) 0 (5) 0 (6) 3 (7) 7 (8) 5 (9) 6 (0) 5 () () 4 (3) 6 (4) 6 (5) ª repetção ortogonal dplcada 357 Por otro lado, teos: ( n -) Vr a = n V - V b r = ( x -)3,60 x x 49, -3,60 = 0,3 Tabé se pode calclar ass: - k( -) - 5 x x 0,7 a = = = 0,3 + km + 5 x 0,7 Coo teos 0,0 < a < 0,80, convé fazer a recperação da nforação nterblocos. O prograa LATTICE do SAS dá os resltados segntes (Lstage n o 4). C. de Varação G.L. S.Q. Q.M. Repetções Blocos (Rep.)(aj.) Trataentos (não aj.) Resído ,9 786,00 79,4 76,56 V b = 49, V r = 3,60 Crosaente, os resltados expostos não perte qe se faça teste F para Trataentos, pos não é calclado o QMTrataentos ajstado co recperação da nforação nterblocos QMT(aj.) *. Mas são dadas as édas ajstadas por esse étodo, qe são as segntes.

39 Trataento Méda (aj.) Trataento Méda (aj.) ,66 9,3, 4,69,73,73,89,30 9,5,55,0, ,6 7,89 8,67 4,57,48 3,4 5,36,90 5,36 7,0 3,9 7,65 3,8 Co o axílo dessas édas ajstadas podeos calclar teste F aproxado para a análse da varânca. Co efeto teos, aproxadaente: No caso presente obteos: SQT(aj.) QMT(aj.) * SQT(aj.) = n - * QMT(aj.) SQT(aj.) k - * 04,38 = = 50,8 4 ( ) (349,76) = x 594, * * k, n k M VEf(éda) = Vr + k + 5 x x 0,7 = 3, = 6,48 50,8 F = = 3,69 3,60 = 04,38

40 Mas o prograa dá tabé: V( ) = 7,66 para preros assocados, V( ) = 8,53 para segndos assocados, V( ) = 8,4 para so geral A dferença ína sgnfcatva pelo teste de Tkey, ao nível de 5% de probabldade para preros assocados é, pos: = q = 5,44 = 0,65 Para segndos assocados obteos: 0,50 V( (0,50) 7,66 = 5,44 (0,50) 8,53 =,3 O as co, poré, é sar valor édo para, aplcável tnato a preros coo a segndos assocados. Ele é: = 5,44 (0,50) 8,4 =,04 Já pelo teste t obteos, para preros assocados, ao nível de 5% de probabldade: e analogaente para otros casos. ds = t =,99 = 5,5 V( Crosaente, o ds ao nível de 5% dado pelo prograa parece ter sdo calclado erradaente, ass: 7,66 x QMRes x 3,60 ds = t =,96 = 5, n x O ds = 6,77, para o nível de % de probabldade, fo calclado do eso odo, e tabé não é correto. Está claro qe esse cálclo não sera váldo, a vez e não é cabível sar o t co nfntos gras de lberdade, ne dexar de lado a covarânca entre édas ajstadas, qe se sabe exstr. Para contraste as coplexo ) )

41 Y = c + c c v v, teríaos aproxadaente: V(Y) = (/ n) ( c ) VEf(éda) Ass, no caso de Y = , teríaos V(Y) = 6,48 = 49,44, x Y = 3 x 9,3, 4,69,73 = 9,9, 9,9-0 t = =,74 49,44 ** O teste de Scheffé se aplcara co S = (k -) F V(Y) = 4 (,66) 49,44 = 44,38. O contraste não é sgnfcatvo por este teste, a vez qe teos y = 9,9 < 44,38 = S. O prograa dá tabé o QMRes(Blocos Casalzados) =,49. Logo a Efcênca Méda do experento é:,49 EF(éda) = = 30,4%. 6,48. TIPOS MAIS MODERNOS DE RETICULADOS QUADRADOS E anos as recentes, srg a déa de nclr e cada bloco de delneaento retclado (o látce) a testenha (A). Ass, por exeplo, no látce de 4 x 4, co k = 6 trataentos, a prera repetção tera os segntes blocos: Bloco : 3 4 A Bloco : A Bloco 3: 9 0 A Bloco 4: A

42 A letra A aí ndcada a testenha, a ser casalzada jntaente co os deas trataentos (chaados reglares) de cada bloco. A análse ntrablocos do delneaento ass obtdo fo pblcada por PIMENTEL-GOMES & VIÉGAS (978). Posterorente, OLIVEIRA & BARBIN (988) e OLIVEIRA (990) propsera delneaento seelhante co as de a testenha e cada bloco. No caso de a só testenha por bloco, há três tpos de assocação entre trataentos: preros, segndos e terceros. Preros assocados São Trataentos reglares (, ) qe ocorre no eso bloco, por exeplo, os trataentos e da repetção exposta. Teos, neste caso, V( ) = σ - +, k - k + onde é o núero de repetções ortogonas. Segndos assocados São trataentos reglares qe não ocorre no eso bloco. Neste caso teo: V( ) = σ +, k - k + Terceros assocados É o caso do contraste entre trataento reglar qalqer e a testenha. Teos então: Exeplo V( A ) = + k k - + k (k - k + ) Toareos coo exeplo dados de PIMENTEL-GOMES & VIEGAS (978), reprodzdos na Tabela 8, qe se refere a retclado qadrado de 5 x 5 = 5 trataentos, co a testenha (A) e cada bloco. O núero de trataentos é, pos, k + = 6. Usaos aq apenas três das qatro repetções ortogonas enconadas no artgo ctado. A análse ntrablocos pode ser feta pelo GLM do SAS, o por prograas seelhantes de otros aplcatvos, e de os resltados segntes (Lstage n o 5). C. de Varação G.L. S.Q. Q.M. F Prob. Repetções Blocos (Repet.) Trataentos (aj.) ,83,,0 0,0683 0,0335 0,0087 Resído Total

43 As édas ajstadas são as segntes: Trataento Méda Trataento Méda A Para contraste entre os trataentos e teríaos: V( ) = x = 509, , 3 x A dferença ína sgnfcatva pelo teste de Tkey, ao nível de 5%, sera, pos: = 5,50 0,50 x =.775,5, onde o valor de q = 5,50 corresponde a 6 édas e 50 G.L. para o Resído. Mas a dferença entre as édas é = 9, de sorte qe não atnge a sgnfcânca ao nível de 5%. O ds (pelo teste t) sera: ds = t =,0 x 73,66 = 44,6. Tabé neste caso a dferença não é sgnfcatva. Para dos segndos assocados (por exeplo, os trataentos e 4), teríaos: V( ) = x = , 3 x A dferença ína sgnfcatva, ao nível de 5% de probabldade, pelo teste de Tkey, sera:

44 = 5,50 0,50 x =.866,5. A dferença entre as édas dos trataentos e 4 é = 69 e não alcança, pos, a sgnfcânca. Tabela 8 Prodção de lho, e kg/ha, de retclado qadrado trplo de 5 x 5, co a testenha (A) e cada bloco. ª repetção Totas de blocos º bloco º bloco 3º bloco 4º bloco 5º bloco 66(05) 6809(0) 3670(04) 660() 675(4) 6497() 664(0) 6899(07) 766(0) 743(03) 6309(08) 5(3) 5770() 595(3) 5768(06) 67(9) 4646(4) 467(8) 533(0) 6059(7) 5743() 540(6) 495(5) 5509(09) 5704(5) 660(A) 673(A) 6430(A) 4608(A) 70(A) º bloco 7º bloco 8º bloco 9º bloco 0º bloco 68(0) 5580(0) 699(5) 5960() 6986(7) 669(8) 5586(5) 3844(04) 509(4) 59(09) 66(0) 468(3) 5549() 6300(07) 704(05) 63(4) 655(9) 5550(6) 6993(0) 6999(3) 638() 837(06) 6480(08) 5996(03) 6394(3) 5787(A) 5487(A) 4844(A) 680(A) 600(A) º bloco º bloco 3º bloco 4º bloco 5º bloco 605(07) 45(0) 435(3) 599(6) 59() 6439(06) 58(0) 4867() 3985(0) 5080(5) 6600(0) 956(04) 4734(5) 509(9) 3609(4) 5855(08) 70(05) 634(4) 4998(8) 578(3) 760(09) 7804(03) 769() 63(7) 5538() 6687(A) 573(A) 5744(A) 483(A) 6044(A) Já os trataentos A e 3 são terceros assocados e para eles teos: V( 3 A ) = = , 3 x (5 x 3-5, + 3 logo: = 5,50 0,50 x =.49,9. Poder-se-a pensar, neste caso, e aplcar o teste de Dnnett, específco para a coparação co a testenha, as, ao qe parece, só há tabelas pblcadas para o áxo de 0 trataentos.

45 . O CASO DE DUAS OU MAIS TESTEMUNHAS EM CADA BLOCO No caso de das o as testenhas e cada bloco (OLIVEIRA & BARBIN, 988) a análse ntrablocos tabé é feta se dfcldade pelo prograa GLM do SAS, pelo ANOVAG do SAEG, pelo SANEST o pelo SOC. Mas há, agora, qatro tpos de assocação, os três já enconados e as qarto: o referente a dos trataentos cons (os qe ocorre e todos os blocos). Para expor as fórlas relatvas aos contrastes respectvos, precsaos defnr novos parâetros, qe são k, A, B e D. Teos: K = k + c, onde c é o núero de trataento cons. Qanto aos parâetros A, B, D, ses valores são dados pela Tabela 9, e fnção de c. Tabela 9 Valores dos parâetros A, B e D para algns tpos de retclados co núero de trataentos reglares varável e trataentos cons. No exeplo qe estaos dsctndo, sto é, de retclado trplo não repetdo, teos: A = 3 c + 6, B = -6, D = 9c + 75 c + 50 No caso de c =, sto é, de dos trataentos cons, teos, pos: A = 3 x + 6 = B = -6 D = 9 x x + 50 = 336 As fórlas para as varâncas são as segntes:

46 Preros assocados V = V( k' Vr A ) = - r(k'-) D Segndos assocados V = V( k' Vr B ) = - r(k'-) D Terceros assocados V 3 k' V = = r kk' - (k -) V( ) + - r k(k'-) k' D B Qartos assocados V4 = V( ) = V b r onde b é o núero de blocos. Exeplo As letras e, neste caso, ser refere a trataentos cons qasqer. Toareos coo exeplo, os dados da Tabela 0, qe são os esos da Tabela 8 co adção de as a testenha (B) e cada bloco, sto é, co c =. Tabela 0 Prodção de lho, e kg/ha, de retclado qadrado trplo de 5 x 5, co das testenhas (A e B) e cada bloco. º bloco º bloco 3º bloco 4º bloco 5º bloco 66(05) 6809(0) 3670(04) 660() 675(4) 6497() 664(0) 6899(07) 766(0) 743(03) 6309(08) 5(3) 5770() 595(3) 5768(06) 67(9) 4646(4) 467(8) 533(0) 6059(7) 5743() 540(6) 495(5) 5509(09) 5704(5) 660(A) 673(A) 6430(A) 4608(A) 70(A) 6700(B) 6373(B) 6600(B) 4808(B) 70(B) º bloco 7º bloco 8º bloco 9º bloco 0º bloco 68(0) 6809(0) 699(5) 5960() 6986(7) 669(8) 5586(5) 3844(04) 509(4) 59(09) 66(0) 468(3) 5549() 6300(07) 704(05) 63(4) 655(9) 5550(6) 6993(0) 6999() 638() 837(06) 6480(08) 5996(03) 6394(3) 5787(A) 5487(A) 4844(A) 680(A) 600(A) 5987(B) 5387(B) 544(B) 6480(B) 60(B)