Gráficos de ligação energética (Bond Graphs)

Transcrição

1 Insttuto Superor de Engenhara do Porto Departamento de Engenhara Electrotécnca cencatura em Engenhara Electrotécnca e de Computadores Exercícos de (ond Graphs) 26

2 . Consdere o crcuto eléctrco representado na gura e o correspondente gráco de lgação energétca (bond graph) onde os símbolos α, β e γ representam elementos do sstema. Então, vem: + R 2.a) A) α = R 2 ) β = R 2 C) γ = R 2 D) Outro resultado V C C 2 C 2.b) A) α = ) β = C) γ = D) Outro resultado : V α β γ 2. Consdere o crcuto eléctrco representado na gura e o correspondente gráco de lgação energétca onde os símbolos α, β e γ representam elementos do sstema. Então, vem: R 2 R 2 + C : V V + V 2 α β γ A) α = V 2 ) β = V 2 C) γ = V 2 D) Outro resultado 3. Consdere o crcuto eléctrco representado na gura e o correspondente gráco de lgação energétca (bond graph) onde os símbolos {α, β, γ} representam elementos do sstema. Então, vem: A) α = R 2, β = C, γ = C 2 ) α = C, β = R 2, γ = C 2 C) α = C 2, β = R 2, γ = C D) α = C 2, β = C, γ = R 2 I C R 2 C 2 I α β γ

3 4. Consdere o sstema mecânco e o correspondente gráco de lgação energétca representados nas guras. Então, vem: Α) α representa uma junção tpo Β) α representa uma junção tpo C) α representa um transormador D) α representa um grador GY (t) v v 3 v v α v 3 5. Consdere o sstema mecânco e o correspondente gráco de lgação energétca representados nas guras. Então, vem: Α) α representa uma junção tpo Β) α representa uma junção tpo C) α representa um transormador D) α representa um grador GY (t) v v v 2 2 v α β 2 6. Consdere o sstema mecânco representado na gura segunte, onde (t) é a orça aplcada, x (t) e (t) são deslocamentos e e as constantes de rgdez das molas e de atrto vscoso. Este sstema o proposto para compensação de sstemas mecâncos. O gráco de lgação energétca (bond graph) do sstema vem: 2 (t) 2 A) α = 2 ) β = 2 C) γ = 2 D) Outro resultado v v v 2 α x (t) (t) Causaldade derencal orçada 2 β γ 7. Consdere o sstema mecânco e o respectvo gráco de lgação energétca (bond graph) representados nas guras. Então, vem: (t) x v v v 2 A) α = ) α = C) α = 2 D) Outro resultado α β 2 2

4 8. Consdere o sstema mecânco envolvendo uma engrenagem com razão de transormação n = N /N 2 e o respectvo gráco de lgação energétca (ond Graph) representados nas guras. Então: 2 N J T, ω 2 T 2, ω 2 T ω T ω n ω 2 N 2 T 2 A) O elemento T é uma onte de esorço ) O elemento T é uma onte de luxo C) O elemento T é um elemento dsspador D) Outro resultado 9. Consdere o sstema mecânco da gura e o correspondente gráco de lgação energétca (bond graph) onde os símbolos {α, β, γ} representam elementos do sstema. Então, vem: A) α =, β =, γ = 2 ) α =, β =, γ = 2 C) α =, β = 2, γ = D) α =, β = 2, γ =, x 2 2 α Κ 2 β γ. Consdere o sstema mecânco representado na gura, com uma carga, consttuída por uma massa, uma mola e um atrto, acconada através de um motor, com nérca J m e atrto m. O motor desenvolve um bnáro T m, um deslocamento angular θ e encontra-se acoplado a um parauso com passo h. A massa da carga desloca-se da dstânca (lnear) x. Consdere o gráco de lgação energétca (bond graph) onde os símbolos α, β e γ representam elementos do sstema. Então, vem: m motor J m T m, θ h x x carga A) α = ) α = C) α = D) Outro resultado T m θ & h/(2π) x& x& α β J m m γ 3

5 (t). Consdere o sstema mecânco da gura onde v e v 2 e l e l 2 representam, respectvamente, as velocdades de deslocamento e os comprmentos dos braços dos dos lados da alavanca. Então, sendo m = l 2 /l, o respectvo gráco de lgação energétca (ond Graph) vem: v l l 2 v 2 A) ) v v m v 2 v v m v 2 Μ Μ C) D) Outro resultado v v m v 2 Μ 2. Consdere o sstema mecânco representado na gura, de uma carga (consttuída por uma massa, um atrto e uma orça resstente F ) acconada através de um motor (com atrto m ) e um parauso com passo h. O motor desenvolve um bnáro T m a velocdade angular ω e a carga desloca-se da dstânca (lnear) x. O respectvo gráco de lgação energétca (com n = h/(2π)) está também representado. Então, vem: A) β = ) α = C) Outro resultado motor h carga x, F m T m, ω T m ω n x& T Β m α β 4

6 3. Consdere a transmssão mecânca representada na gura onde: e são os coecentes de atrto e de rgdez da transmssão, J m e J são as nércas do motor e da carga, motor m e são os coecentes de atrto do motor e da carga, T m é o bnáro motor, θ m e θ são os deslocamentos angulares do motor e da carga, ω m e ω são as velocdades angulares do motor e da carga; e o correspondente gráco de lgação energétca, onde os T m símbolos α, β e γ representam elementos do sstema. Então, vem: J m m θ m transmssão θ carga J J A) α = ) α = C) α = m D) Outro resultado T m m J m 4. Consdere o sstema mecânco e o correspondente gráco de lgação energétca (bond graph). x (t) x 3 (t) (t) α β γ (t) 2 F F (t) a) Indque a que tpos de junções correspondem os parâmetros α, β, γ. 4.b) Dscuta e atrbua as causaldades ao gráco de lgação energétca apresentado. 5. Consdere o sstema mecânco da gura e o correspondente gráco de lgação energétca (bond graph) onde os símbolos α, β, χ, δ e γ representam elementos do sstema. Então, vem: T, θ θ 2 2 T χ J 2 δ γ A) γ = ) γ = C) γ = 2 D) γ = J α β 5

7 6. Consdere o agtador electromecânco representado na gura. Consdere, para smplcar o tratamento matemátco, que a orça (t) produzda pelo solenóde e a orça contraelectromotrz e b (t) nduzda pelo núcleo + erro-magnétco têm relações aproxmadamente lneares, respectvamente com as expressões (t) = (t) e eb () t = x& ( t), onde é uma constante de proporconaldade, (t) a corrente eléctrca no enrolamento e x& () t a velocdade de deslocamento do núcleo com massa. O gráco de lgação energétca (bond graph) do sstema vem: R v (t) (t) + e b (t) x(t) R núcleo erro-magnétco solenóde A) : v v e b / x& R ) v e b / x& R C) v e b GY x& D) Outro resultado 6

8 7. Consdere o sstema mecânco da gura e o correspondente gráco de lgação energétca (bond graph) onde os símbolos α, β, η, δ, χ e γ representam elementos do sstema. Então, vem: T, θ J 3 θ T δ χ γ η A) γ = ) γ = 2 C) γ = 3 D) γ = 2 α β 8. Consdere o sstema mecânco (onde T m e T são, respectvamente, os bnáros aplcado pelo motor e solctados pela carga) e o correspondente gráco de lgação energétca (bond graph) onde os símbolos α, β e γ representam elementos do sstema. Então, vem: A) α = J ) α = C) α = J 3 D) Outro resultado T m, θ 2 J T θ θ 2, T 2 N A T, θ 3 T m T N J 3 3 β γ 3 α 2 9. Consdere o sstema mecânco representado na gura e o correspondente gráco de lgação energétca (bond graph) onde os símbolos α, β e γ representam elementos do sstema. Então, vem: A) α = ) α = C) α = J 3 D) Outro resultado T m, θ J T θ 2 2 θ 2, T 2 N A T, θ 3 J 3 T m T N 3 J γ 3 α β 2 2 7

9 2. Consdere o crcuto eléctrco representado na gura. Esboce o correspondente gráco de lgação energétca (bond graph) sem esquecer de ndcar a causaldade nos elementos. R 2 C + V C 2 2. Construa o gráco de lgação energétca ( ond Graph ) (nclundo a causaldade) do segunte sstema eléctrco: N N 2 R 2 + E - C C 2 C 3 I n=n 2 /N 22. Consdere um sstema electromecânco representado pelo segunte ond Graph : R J J 2 w S e 2 :/n :w :U :n a) Atrbua a causaldade e complete o gráco colocando as varáves de esorço e luxo em cada uma das lgações (bonds). 22.b) Retre as equações consttutvas relatvas aos elementos e à junção tpo. 23. Consdere o crcuto em ponte de Wheatstone representado na gura segunte, onde, R 2, R 3 e R 4 são as resstêncas de cada um dos braços da ponte e V a tensão aplcada. Desenhe o gráco de lgação energétca (bond graph) do crcuto e atrbua-lhe a respectva causaldade. R 3 V + - A R2 R 4 V A 8

10 24. Desenhe um sstema eléctrco que possa ser modelzado pelo segunte gráco de lgação energétca ( ond Graph ): C R 2 C 2 S R Consdere o sstema mecânco representado na gura, onde (t) é a orça aplcada, x (t) e (t) são deslocamentos e e ( =,2) são, respectvamente, as constantes de rgdez das molas e de atrto vscoso. Esboce o gráco de lgação energétca (bond graph) do sstema. (t) x (t) 2 2 (t) 26. Consdere o sstema mecânco representado na gura, de uma carga (consttuída por uma mola e um atrto ) acconada através de um motor (com nérca J m ) e um parauso com passo h. O motor desenvolve um bnáro T m, uma velocdade angular ω e a carga desloca-se da dstânca (lnear) x. Esboce o gráco de lgação energétca (bond graph) do sstema (aça n = h/(2π)). motor J m T m, ω h carga x (t) 27. Consdere o sstema mecânco da gura onde x e e l e l 2 representam, respectvamente, os deslocamentos e os comprmentos dos braços dos dos lados da alavanca. Esboce o gráco de lgação energétca para o sstema mecânco do problema. x l l Consdere o sstema mecânco da gura onde {x, } e {l, l 2 } representam, respectvamente, os deslocamentos e os comprmentos dos braços dos dos lados da alavanca e é a orça aplcada. Esboce o gráco de lgação energétca (bond graph) do sstema (aça n = l 2 /l ). x (t) l l Consdere o sstema mecânco representado na gura, de uma carga (consttuída por uma massa, um atrto e uma orça resstente F ) acconada através de um motor (com atrto m ) e um parauso com passo h. O motor desenvolve um bnáro T m a velocdade angular ω e a carga desloca-se da dstânca (lnear) x. Esboce o respectvo gráco de lgação energétca com n = h/(2π). m motor h T m, ω carga x, F 9

11 3. Consdere o sstema mecânco representado na gura. Esboce o gráco de lgação energétca do sstema ndcando as causaldades. Para evtar conltos de causaldade seleccone na entrada ou uma onte de esorço ou uma onte de luxo, conorme achar mas adequado. (t) x (t) (t) 2 x 3 (t) 3. Consdere o sstema mecânco representado na gura. Esboce o gráco de lgação energétca do sstema ndcando as causaldades. Para evtar conltos de causaldade seleccone na entrada ou uma onte de esorço ou uma onte de luxo, conorme achar mas adequado. (t) x (t) (t) 2 x 3 (t) 32. Consdere o sstema mecânco da gura onde {x, }, {, 2 } e {l, l 2 } representam, respectvamente, os deslocamentos, as orças e os comprmentos dos braços dos dos lados da alavanca. Se n = l 2 /l, esboçe o gráco de lgação energétca do sstema mecânco e dscuta a causaldade. x (t) l l 2 2 (t) Consdere o sstema mecânco representado na gura consttudo por uma carga com massa e uma mola de rgdez acconada através de um motor e um parauso com passo h. Exste um atrto angular no parauso conorme ndcado. O motor desenvolve um bnáro T para um deslocamento angular θ e a carga desloca-se da dstânca lnear x. Esboçe o gráco de lgação energétca do sstema mecânco e dscuta a causaldade. otor T, θ h x(t) 34. Consdere o sstema mecânco representado na gura. Esboce o correspondente gráco de lgação energétca. (t) x x Consdere o sstema da gura onde x e e l e l 2 representam, respectvamente, os deslocamentos e os comprmentos dos braços dos dos lados da alavanca. Esboce o correspondente gráco de lgação energétca. x (t) l l 2

12 2 (t) 36. Consdere o sstema mecânco representado na gura, onde x, e x 3 são deslocamentos e l e l 2 representam os comprmentos dos braços dos dos lados da alavanca. Esboce o respectvo gráco de lgação energétca consderando as causaldades. x (t) l l 2 x A gura representa um sstema de posconamento de peças a maqunar. A peça é posconada através de um sstema de parauso, de passo h, actuado por um motor DC. Seja o atrto lnear entre a carga e o solo e 2 e 3 os atrtos rotaconas entre o parauso e os suportes. Construa o gráco de lgação energétca do sstema e ndque a causaldade dos elementos. V 2 3 otor DC 38. Consdere o sstema mecânco representado na gura, consttuído por uma carga (com nérca J e atrto ) acconada através de um motor DC (com nductânca a, resstênca R a,.c.e.m e b = b ω m, nérca J m e atrto m ) controlado pela armadura (tensão e corrente da armadura u a e a, respectvamente). A transmssão é eectuada por um parauso (com passo h). O parauso é não-deal apresentando, respectvamente, coecentes de atrto e de rgdez rotaconas e. O motor DC desenvolve um bnáro T m = T a, (consdere T = b ) para um deslocamento angular θ m e a carga desloca-se da dstânca lnear x. Esboce o respectvo gráco de lgação energétca ndcando as causaldades. + u a a R a + e b a T m, θ m motor DC J m m h transmssão T, θ, x carga

13 39. A gura A representa um sstema de tracção de um letor de tas magnétcas utlzando um motor DC de íman permanente controlado pela armadura. O modelo do sstema é apresentado na gura. A constante representa a constante de elastcdade da ta magnétca e o coecente de atrto resultante da passagem da ta pelo mecansmo de tracção. Os valores dos parâmetros do sstema são os seguntes: =,7 Nm/A b =,7 Vs/rad a H R a =,25 Ω U n = 3V =,7 Ns/rad = 2 N/rad J =,4 Ns 2 /rad J m =,4 Ns 2 /rad m =,2 Ns/rad, b, R a, a, b, R a, a Fgura A transmssão E a otor J m J T m Fgura O motor é almentado por um conversor DC-DC com operação num únco quadrante (U, I) e com tensão de saída e a controlável. Apresente o bond graph do sstema. m θ m θ 4. A gura representa um agtador electromecânco. Consdere, para smplcar o tratamento matemátco, que a orça produzda pelo solenóde e a orça contra-electromotrz e b nduzda pelo núcleo erro-magnétco têm relações aproxmadamente lneares, respectvamente com as expressões = e e b = dx /dt, onde é uma constante de proporconaldade, a corrente eléctrca no enrolamento e dx /dt a velocdade de deslocamento do núcleo com massa. Seja o deslocamento de uma carga com massa 2. Determne o gráco de lgação energétca (bond graph) do sstema. e b + +, x 2 v R solenóde núcleo erro-magnétco 2 2

14 4. Na gura segunte é apresentado o modelo lnearzado de um braço de um robô, actuado por um motor DC controlado pela armadura por ntermédo de uma engrenagem com razão de transormação n = N /N 2. T 2, J 2 raço do robô ω 2, T 2 N N 2 ω, T R v + e -, J otor DC 4.a) Construa o gráco de lgação energétca (bond graph) do sstema, consderando que: T m - bnáro motor - constante de bnáro do motor t - constante da.c.e.m. do motor } = t = V - tensão de almentação da armadura do motor DC - corrente na armadura do motor DC J - nérca do motor - coecente de atrto vscoso do motor ω - velocdade angular do veo do motor e - orça contra-electromotrz (.c.e.m.) do motor R - resstênca da armadura do motor - nductânca da armadura do motor J 2 - nérca do braço do robô 4.b) Analse a causaldade e justque os resultados. T - bnáro resstente a actuar sobre o braço do robô ω 2 - velocdade angular do braço do robô 2 - coecente de atrto vscoso do braço do robô N - número de dentes da roda da engrenagem do lado do motor N 2 - número de dentes da roda da engrenagem do lado do braço T bnáro aplcado à engrenagem do lado do motor T 2 bnáro transmtdo à engrenagem do lado do braço 42. A gura segunte representa um veículo (tractor) puxando um reboque através de um mecansmo de engate modelzado por um sstema mola-amortecedor. Os parâmetros e varáves dendos são: é a massa do reboque, e é o coecente, respectvamente, da constante da mola e do amortecedor do mecansmo de engate. 2 representa o coecente de atrto do reboque, x (t) e (t) é o deslocamento, respectvamente, do veículo e do reboque e (t) é a orça do veículo (tractor). Determne o gráco de lgação energétca do sstema mecânco e dscuta a causaldade. (t), x (t) (t) Reboque 2 3

15 43. A gura apresenta o esquema de um automóvel eléctrco actuado através de um motor DC controlado através da tensão da armadura U a. A tensão de almentação do motor é ornecda por um conversor DC-DC que permte converter a tensão das bateras numa tensão varável de a 24V, controlada através do acelerador. O motor DC está acoplado por uma engrenagem n =:3,8 à caxa de velocdades que, por sua vez, apresenta uma relação varável n 2 {:4; :2,4; :.7; :}. O veículo tem massa =4kg e o rao das rodas é r=,25m. Consdere que a orça devdo à resstênca do ar F a pode ser modelzada como um atrto vscoso com coecente =25 Ns/m. Os dados do motor DC são os seguntes: =,35 Nm/A b =,35 V/rad/s a H R a =,22 Ω m =,27 N/rad/s J m =,25 N/rad/s 2 P n = 4 kw T n = 75 Nm T max = 35 Nm U a otor DC Caxa de Velocdades n 2 m J m velocdade v ω m, T n =:3,8 ω 2, T 2 ateras Acelerador -% Conversor DC-DC F a ω 3, T 3 r Apresente o gráco de lgação energétca deste sstema (consdere Ua como a entrada do sstema). 44. O sstema representa uma suspensão de automóvel onde x (varável de saída) representa o deslocamento vercado pelos passageros e x 3 (varável de entrada) o deslocamento da parte do pneu em contacto com a estrada. A orça (t) representa a perturbação ntroduzda pelos eetos aerodnâmcos. Determne o gráco de lgação energétca do sstema mecânco representado na gura e dscuta a causaldade. 45. Determne o gráco de lgação energétca do sstema mecânco representado na gura e dscuta a causaldade. P pressão de almentação, q caudal, R resstênca hdráulca, P c pressão na câmara do clndro, A área k rgdez da mola, m massa, x deslocamento 4

16 46. Determne o gráco de lgação energétca do sstema mecânco representado na gura e dscuta a causaldade. Consdere que a haste do clndro é: 46.a) Peretamente rígda. 46.b) Flexível ao longo do seu exo longtudnal com parâmetros de rgdez e atrto vscoso e, respectvamente. P pressão de almentação q e q 2 caudal R resstênca hdráulca C capacdade hdráulca nertãnca hdráulca A área do embolo do clndro massa da carga atrto da carga x deslocamento da carga 5

17 (soluções)..a) C) γ = R 2.b) ) β = : V Soluções C β C 2 γ R 2 2. C) γ = V 2 3. ) α = C, β = R 2, γ = C 2 4. Β) α representa uma junção tpo 5. Β) α representa uma junção tpo 6. A) α = 2 γ = β = 7. A) α = β = Κ 8. ) O elemento T é uma onte de luxo 9. D) α =, β = 2, γ =. C) α =. ) 2. ) α = 3. C) α = m m J T m m T m m J m

18 (soluções) 4. α β γ F F A) γ = 6. A) 7. D) γ = 2 8. ) α = 9. A) α = 2. C 2 V R 2 C 2. C C 2 S e :E S :I :n C 3 R 2 2

19 (soluções) a) R J J 2 Causaldade derencal 22.b) u T I u R w w 2 T w I2 u u w w w 2 w 2 S e :/n :w :U : T T 2 :n 2 T 3 T 2 T 2 u = nw T = n w2 T2 = n2w = n T 2 3 junção u = u ( u R + u ) R 3 2 R 3 V + - A V + - V A A R 2 R 4 V A R 2 R 4 R 2 V 2 V V V A 3 V A R 3 R 4 3

20 (soluções) 24. C R 2 C 2 S : v : : v 2 R 3 v R 2 v 2 I C C 2 R x T m θ & n x& J m 27. x x n=l 2 /l 2 2 4

21 (soluções) 28. x x n=l 2 /l T m ω n x F m 3. 2 x : x x x x 3 : x 5

22 (soluções) 32. Problema de causaldade 2 x x n Uma solução: (t) x l l 2 x (t) x x x 3 x 2 n & θ :T T m m & θ x& n 6

23 (soluções) x :x x n n=l 2 /l 36. x n x 3 2 n=l 2 /l 37. a 2 h/2.p R a 3 7

24 (soluções) 38. a m u a u e a b a T / m b a m m T h/2.p x R a J m J 39. a J m e a e b e : / T m a J R a m 4. 2 v v e b x x / R 2 8

25 (soluções) 4. J 2 V e : / T m ω ω ω 2 T : n T 2 T R Causaldade derencal orçada >>> J a J m Causaldade derencal orçada >>> e w U / T a n n 2 r R a m m x

26 (soluções) 45. F = Pc A Ax& = q P P q P c GY x& q m=/a F R a) R F C F Problema de causaldade (haste rígda) P q q 2 GY x& F 46.b) R F C F P q q 2 GY x& F haste não rígda