IV Seminário da Pós-Graduação em Engenharia Mecânica Unesp - Bauru

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1 ALGOITMO PAA COSTUÇÃO DE SUPEFÍCIES DE FALHA EM SÓLIDOS TIDIMESIOAIS PELO MÉTODO DE ELEMETOS FIITOS Gláca Kell Slvestre Claro Alna do Prograa de Pós-Gradação e Engenhara Mecânca Unesp Bar Prof. Dr. Osvaldo Ls Manol Orentador Depto de Engenhara Cvl Unesp Bar ESUMO Para representar dscretaente o srgento e a propagação de descontndades e eos ncalente contínos, se a necessdade de alteração geoétrca da alha de eleentos fntos, fa-se necessáro conhecer a posção da sperfíce potencal de falha no nteror de cada eleento fnto. O presente trabalho contrb para a generalação dos estdos nércos de probleas de foração e propagação de fratras, edante a forlação de eleentos fntos co descontndades ncorporadas, desenvolvda por Manol e Shng (26), para probleas bdensonas. os probleas planos as falhas corresponde a lnhas, qe pode ser constrídas de anera relatvaente sples, por eo de seqüencaento de segentos retos orentados de acordo co a dreção de falha, no nteror de cada eleento do sóldo. Já na análse trdensonal deve-se constrr sperfíces de falha consttídas por sperfíces planas no nteror de cada eleento fnto, e essas sperfíces deve ser contínas entre os eleentos. o presente trabalho apresenta-se a técnca para a constrção da sperfíce de falha e probleas trdensonas. Essa técnca é baseada na solção de problea térco eqvalente, estabelecdo através das dreções da sperfíce fornecda pelo crtéro de falha. Tas nforações provê do estado de tensões da solção do problea ecânco, qe, por sa ve, é afetado pelas sperfíces de falha constrídas pelo problea térco eqvalente. A solção do problea térco eqvalente por eleentos fntos é realada edante as esas dscretação e nterpolações do problea ecânco. A valdação ocorre através de slações trdensonas de probleas báscos e de ensaos eperentas de fratra estentes na lteratra, contrastando os resltados encontrados nercaente co os eperentas. PALAVAS-CHAVE: Eleentos fntos trdensonas, descontndades fortes, fratra.. ITODUÇÃO o decorrer dos últos anos fora desenvolvdas etodologas nércas para a representação dscreta de descontndade se a necessdade de dança geoétrca da alha de eleentos fntos. Apresentando, por lado, os eleentos fntos co descontndade ncorporada, qe se basea no enrqecento do capo de deforações de cada eleento para representar os efetos da descontndade qe o atravessa. Por otro lado os eleentos fntos generalados o estenddos (X-FEM), qe se basea no enrqecento das fnções nterpoladoras assocadas aos nós estentes. Abas as etodologas reqere o conhecento da posção da descontndade no nteror de cada eleento fnto. Coo a posção da sperfíce de falha e geral é a ncógnta do problea, fa-se necessáro a tlação de algortos qe constra a sperfíce de falha após o carregaento. A constrção deve basear-se nas dreções de propagação estabelecdas

2 pelo crtéro de falha na regão próa à descontndade. Tas sperfíces deve ser contínas e copatíves co as dreções de falha ndcadas pelo correspondente crtéro. Destaca-se qatro estratégas para a propagação da sperfíce de fssra trdensonal. A prera delas é o esqea de trajetóra de fssra fa, ass coo para a base coptaconal seelhante aos eleentos de nterface clásscos, o canho de fratra te qe ser a pror conhecdo. Este algorto é be sples para decdr se as tensões no eleento próo ao canho potencal de fratra eerce a tensão de fssra crítca e o eleento falha o peranece contíno. De ponto de vsta coptaconal, este algorto é partclarente robsto e estável. Ua técnca lgeraente as coplcada é o étodo de trajetóra de fssra local qe pode ser nterpretado coo a generalação trdensonal de fratra localada da análse de fratra bdensonal. esse caso, a fssra se estende essencalente de pontos da vnhança e sege a dreção noral a tensão prncpal áa. Coo este conceto podera render, eventalente, sperfíces não-reglares, Beltschko (2) sger ajstar o plano noral de falha baseado no ponto de ntersecção na vnhança da fssra. O sstea é sper deternado e a fssra dverge apenas de a sperfíce planar. Há tabé a estratéga de trajetóra de fssra não-local, esta calcla a éda do plano noral de falha ao longo de a certa vnhança. Gasser e Holapfel (26) assegra qe a sperfíce gerada é e éda reglar. Poré, coo para todas as técncas de édas não-locas, este conceto realente não é vável para eleentos de natrea odlar de análses de eleentos fntos. Ebora seja teorcaente elegante, é bastante ncôodo nclí-lo e códgos de eleentos fntos estentes, ele afeta não apenas o ponto de ntegração e o nível de eleento, as tabé a nível estrtral global. E por f, o étodo de trajetóra de fssra global ntroddo recenteente por Olver et.al. (24) epregada co êto e dversos probleas b e trdensonas, Manol et.al. (26), Blanco (27), Olver et.al. (28). Apresenta a solção de eleento fnto específco para o problea de fratra cneátca caracterada por valor escalar adconal desconhecdo qe defne a o últplas sperfíces de fratra coo so-srfaces. Contínas, planares o sperfíces crvas descontnas pode ser descrtas de a anera robsta e estável, poré, às cstas da solção de sstea global adconal de eqações dentro do pós-processo. A trajetóra de fssra global não é só, se dúvda, a as geral de todas as qatro estratégas, as tabé pode ser ncorporado e códgos de eleentos fntos estentes de odo efcente e dreto. 2. METODOLOGIA O presente trabalho tla coo base a técnca de constrção de trajetóra global para desenvolver e pleentar algorto para a constrção de trajetóras sperfcas de falha para a análse de sóldos trdensonas pelo Método de Eleentos Fntos, cjo coportaento não-lnear prové da foração de descontndades drante o processo de carregaento. O algorto destna-se à representação da foração e propagação de fssras de tração e ateras qase-fráges o sperfíces de deslaento e ateras dúctes, devendo ser desenvolvdo dentro do conteto da Aproação Contína de Descontndades Fortes. A partr do capo vetoral de dreções de falha, ndcado pelo crtéro de falha aplcado ao capo de tensões do problea ecânco, o algorto deve constrr sperfíces potencas de falha, qe alé de copatíves co esse capo vetoral, deve ser contínas entre os eleentos fntos trdensonas. O algorto deve ser capa de representar sperfíces de falha, se elevar deasadaente o tepo de processaento coptaconal, para qe sso seja possível, acrescenta-se ao algorto global o trataento localado da

3 fssra, o seja, apea-se toda a alha e a cada passo de carga dentfca-se o eleento qe atng o crtéro de falha be coo todos os eleentos qe fae parte da sa vnhança, os eleentos vnhos são os canddatos a fssrar, logo, apenas a regão e qestão será tratada, o qe restrnge o trataento a doíno enor de eleentos. 2.. Eleentos fntos co descontndade ncorporada o conteto de eleentos fntos, o elhor desepenho é fornecdo pelos eleentos fntos eqpado co odos de deforação qe possa captrar os saltos deslocaentos qe caractera as descontndades. Sendo esta a otvação para o desenvolvento do chaado eleento fnto co descontndade ncorporada. São constrídos co base no eleento fnto padrão, enrqecdos co odos de deslocaento adconal tornando-os copatíves co a cneátca descontndade forte. este conteto, te-se dos grpos dstntos: os eleentos co enrqecento eleentar qe ve a ser o enrqecento do capo de deforações de cada eleento para representar o salto de deslocaento o e os eleentos co enrqecento nodal, representando o enrqecento da fnção de fora dos nós estentes, representados na Fgra. Fgra : (a) Modo de enrqecento eleentar, (b) Modo de enrqecento nodal, Olver et.al. (26) Ao qe d respeto aos eleentos co enrqecento eleentar descreve-se a etensão a probleas trdensonas da técnca de ncorporação de descontndades no nteror de eleentos fntos, proposta por Manol et.al. (26). Seja o eleento fnto tetraédrco de qatro nós, de doíno trdensonal Ω contendo a sperfíce descontína, S, qe dvde o eleento e das e partes, solando o dos nós dos deas. Seja n = n n n T = sperfíce S, e T o vetor ntáro noral à o vetor ntáro, correspondente ao gradente da soa das fnções de fora dos nós solados, qe, no caso de haver soente nó solado, corresponde a vetor noral à face oposta ao nó solado, coo ostra a Fgra 2. A presença da descontndade proporcona deslocaento relatvo do nó solado co relação aos deas, qe pode ser vsto na Fgra 2, e epresso por: d d d d = = = = ()

4 sendo qe o vetor d =,2,3,4 reúne as coponentes dos deslocaentos de cada nó proddos pela descontndade e é o vetor das coponentes dos deslocaentos relatvos na sperfíce descontína, coo ostra a Fgra 2:. a) b) n c) d) Fgra 2: (a) Eleento fnto trdensonal, (b) Vetor deslocaento relatvo à descontndade, co deslocaento de nó, (c) Eleento fnto co sperfíce de descontndade, (d) Eleento fnto co deslocaento de dos nós. Os deslocaentos nodas proddos pela descontndade,, são orndos de ovento de corpo rígdo entre as das porções do eleento separadas pela descontndade. Logo, ao deternar as deforações, ε = ε ε ε T, a partr dos deslocaentos nodas do eleento, à descontndade, d d, deve ser sbtraída, o seja: ε = ε = d, a coponente dos deslocaentos nodas assocados 4 = 4 = B B d d d B ε = Bd ε sendo qe a atr B agrpa as atres B (deforação-deslocaento) convenconas do Método dos Eleentos Fntos, o vetor d agrpa os vetores de deslocaentos nodas de todos os nós, d, e ε = B corresponde à parte das deforações assocadas ao deslocaento de corpo rígdo, orgnadas pela descontndade: (2)

5 ε ε ε e l ε ε ε (3) onde é a fnção de fora convenconal do Método de Eleentos Fntos (M.E.F.), assocada ao nó solado. a (3), e l é o nverso da nora do vetor gradente da soa das fnções de fora dos nós solados, qe no caso lstrado co apenas nó solado, corresponde à dstânca entre o nó solado e a face oposta, denonada aq coprento característco do eleento. Portanto, na (3) teve-se e conta qe: e e e l l l,,,, (4) Consderando-se coportaento elástco lnear na parte contína do eleento, as tensões T σ σ σ = σ pode ser obtdas por: ε σ = E Bd σ = Eε (5) sendo E a atr constttva elástca lnear. a (5), observa-se qe as deforações ε desepenha o papel de deforações nelástcas copatíves co o deslocaento relatvo do nó solado provenentes da descontndade. Dado qe as tensões são constantes no eleento, o vetor de forças nternas do eleento pode ser epresso por: e nt e nt V Ω σ = B f σd B = f T T (6) sendo e V o vole do eleento fnto. Copleta-se a forlação do eleento fnto co descontndade ncorporada ntrodndo-se a le constttva dscreta da nterface, ]]) ([[ t, qe estabelece a relação entre as coponentes da descontndade e as forças de sperfíce, jntaente co a condção de contndade ente as forças de sperfíce da parte contína e da nterface: T σ = t (7) Pelas (5)e (3), as (6) e (7) pode ser reescrtas coo: e nt V l M Bd E = B f e T (8)

6 t T EBd = M l (9) e onde n n n T n n n ; n n n T T M leb () E procedento ncreental e teratvo, a (9 é sada para calclar os saltos de deslocaentos no eleento, para deternado valor dos deslocaentos nodas. Então, tla-se a (8 para o cálclo das forças nternas do eleento Forlação do algorto de constrção da trajetóra de fssra A partr da solção do problea ecânco adqre-se o capo de tensões do problea, qe co base no crtéro de falha, é possível estabelecer capo vetoral das dreções noras às sperfíces de falha estentes. Logo, para cada ponto do doíno analsado, Ω, o crtéro de falha gera vetor noral à sperfíce de falha n,t = n n n. Vetor este qe pode varar co o tepo t da análse, e fnção das T tensões locas, até qe essas alcance o crtéro de falha. Coo conseqüênca, a sperfíce de falha no ponto se consolda, antendo sa orentação fa drante o resto da análse. A partr da dreção de propagação n, t, é possível defnr, para cada ponto do doíno, dos vetores, s e t, ortogonas à n e entre s:, t, n T s () =,n 3 2, t n n T t (2) =,, 3 Por constrção, as sperfíces de descontndade potencas, S, são tangentes, e cada ponto, aos vetores s e t, coo ostra a Fgra 3. θ Fgra 3: Sperfíce de falha ncorporada no eleento, Ibane (27). O objetvo é encontrar capo escalar θ,t,t= θ,θ cjas sperfíces de so-valores seja as sperfíces potencas de falha. De odo qe o capo defndo pelos vetores noras às sperfíces de so-valores de θ, vetores noras a n. θ, concda co o capo de

7 Contdo, a dentdade doíno Ω : θ = n o, de anera as condensada coo: pode ser então colocada da segnte fora para todo s θ = (3) t θ = (4) sendo q vetor de flo e K tensor de condtvdade dado por: (5) A eqação dferencal (5) defne problea do tpo térco, co as segntes condções de contorno: (6) q ν = e Γ q (7) θ = θ e Γ θ (8) onde ν é o vetor noral ao contorno do sóldo, Γ = Γ q Γθ e θ representa valores prescrtos de θ no contorno. A Fgra 4 lstra o problea de valores de contorno do tpo térco, cja ncógnta é o capo escalar θ,t. A fora varaconal do problea é dada por: Ω δθ K θdω = (9) co θ pertencente ao espaço de fnções de solção, no qal θ = θ e Γ θ, e δθ pertencente ao espaço de varações adssíves (fnções peso), no qal δθ = e Γ θ. Fgra 4: Problea de valores de contorno tpo térco, Ibáñe (27). A solção nérca do capo aproado θh pode ser encontrada epregando-se a esa aproação de eleentos fntos do problea ecânco orgnal, coo lstra a Fgra 3. Conhecendo-se o capo escalar θ h, as sperfíces de falha são constrídas a partr dos eleentos qe alcança o crtéro de falha. θh Ua ve detectado o níco de falha e eleento, deterna-se o valor édo de no eleento, faendo-se a éda artétca de ses valores nodas. Esse valor édo,

8 θ, caractera então a sperfíce de so-valores de θ e toda a alha, qe corresponde a a sperfíce de falha potencal, S. Essa sperfíce de falha assocada ao valor θ pode ser constrída através de nterpolação dos valores nodas da alha, coo lstra a Fgra 5. Soente perte-se a foração de novas sperfíces a partr de eleentos qe alcança a condção de falha e qe não contenha a sperfíce pré-estente. Fgra 5: Eleento fnto co sperfíce de descontndade, Saanego (22) Trataento localado jnto ao algorto de trajetóra de fssra Drante o processaento do algorto verfca-se o eleento fnto qe atng o crtéro de falha, o seja, o eleento qe conte a descontndade ncorporada. A dreção da tensão prncpal áa deste servrá de parâetro para a constrção da sperfíce de fssra de dos eleentos qe copartlha do eso nó e/o vértce, o seja, de dos eleentos vnhos ao eleento ropdo. Os eleentos vnhos sofrerão a ação do carregaento até qe deles tabé atnja o crtéro e falhe. Então os dados do eleento fnto recé fssrado tabé são araenados, servndo coo parâetro para os novos eleentos vnhos. O processo se repete até a rptra total, o seja, o processo se repete até qe o seqüencaento dos eleentos qe atngra o crtéro de falha constra a sperfíce de fssra do odelo. Ebora seja necessáro apear todos os eleentos fntos do odelo para tornar possível a dentfcação da sa vnhança, a técnca de nr o trataento global e local de trajetóra de fssra na consderavelente o gasto coptaconal das slações. 3. ESULTADOS E DISCUSSÕES Os resltados apresentados abao são algns probleas típcos tlados na análse propagação de fssra, resolvdos pelo étodo dos eleentos fntos. as slações tlo-se etade da espessra dos odelos, trabalhando ass co a setra dos probleas. 3.. Bloco retanglar sbetdo à tração Incalente apresenta-se a slação realada por Jäger et. al (28). Trata-se de bloco retanglar sbetdo a tração, co seção transversal de 2 qadrados e a altra de 2. Ele é fado na parte nferor e carregado por a carga de lnha e se lado speror dreto, confore a Fgra 6A fssra te níco no lado de aplcação da carga no odelo ndndo a a sperfíce crva de rptra. Os parâetros tlados fora os descrtos na Tabela, sendo G F a energa de fratra, f t a resstênca à tração, E o Módlo de Elastcdade e o coefcente de Posson Os parâetros do ateral são:

9 G F (/) f t (/ 2 ) λ (/ 2 ) μ (/2 ) Tabela : Propredades ecâncas do concreto Fgra 6: Bloco retanglar sbetdo à tração, Jäger et.al. (28). Abao, na Fgra 7 é possível verfcar o bloco retanglar co a alha orgnal, be coo a deforação ocorrda após a aplcação da carga. Fgra 7: a) Malha orgnal e b) Malha deforada. Co a solção do algorto apresentado torno possível a constrção das possíves sperfíces de fssra, Fgra 8, ass coo a sperfíce qe conté os eleentos fntos qe posse a descontndade ncorporada a eles, descrevendo a trajetóra da fssra ostrada na Fgra 9 e das foras dferentes, o bloco co todos os ses eleentos nclsve a sperfíce de fssra, o bloco apenas co os eleentos fntos qe fae parte da sperfíce de fssra, co e se preenchento.

10 Fgra 8: Sperfíces potencas de fssra. Fgra 9: Sperfíce de fssra. O resltado obtdo pode ser coparado a fgra anteror pode ser coparado co o resltado encontrado na lteratra apresentado na Fgra. Fgra : esltado da lteratra, Jäger et.al. (28) Ensao braslero de fratra este ensao, clndro é coprdo por todo coprento de se dâetro, antendo o eo de revolção paralelo aos apoos qe transte a copressão. A Fgra ostra clndro de concreto co coprento B = 3, dâetro D = 5,

11 sbetdo a a copressão daetral P, cjas propredades do ateral estão especfcadas na Tabela 2, onde G F é a energa de fratra, f t a resstênca à tração, E o Módlo de Elastcdade e o coefcente de Posson. G F (/) f t (MPa) E (GPa) Tabela 2: Propredades ecâncas do concreto Fgra : Modelo do teste braslero de fratra, Ibáñe (27). a Fgra 2 é possível vsalar o odelo dscretado e eleentos fntos co alha tetraédrca. Fgra 2: Modelo orgnal dscretado e eleentos fntos. A resolção do problea ecânco pert a solção problea térco eqvalente, resltando nas sperfíces potencas de fssra, apresentadas na Fgra 3, sperfíces estas noras a dreção de tensão prncpal e cada nó.

12 Fgra 3: Sperfíces potencas de fssra. A Fgra 4 apresenta o odelo deforado. Este apresenta a sperfíce de fratra vertcal no centro do clndro, vsível qando coparado ao odelo orgnal, representado na fgra, pela lnha de al. Fgra 4: Modelo orgnal representado pela lnha al e odelo deforado. a Fgra 5 está representa a sperfíce de falha após o carregaento. Vê-se o corte nos eleentos qe atngra o crtéro de falha, o seja, θ. Fgra 5: Sperfíce de fssra. 3. Fleão de vga entalhada sbetda a forças e qatro pontos. Analso-se tabé a vga entalhada testada por Gálve et.al. (998), bscando fndaentar a aplcação do algorto proposto coo ganho na análse das descontndades.

13 Trata-se de a vga, co 5 de espessra, sbetda a forças e qatro pontos. Sa geoetra e condções de contorno estão epostas na Fgra 6. Os parâetros eperentas do ateral estão epostos na Tabela 3, onde G F é a energa de fratra, f t a resstênca à tração, E o Módlo de Elastcdade e o coefcente de Posson. G F (/) f t (MPa) E (GPa) Tabela 3: Propredades ecâncas do concreto Fgra 6: Ensao de vga co entalhe de geoetra co ndades e. Pedrn (28). A alha de eleentos fntos tetraédrcos epregada na análse é ostrada na a Fgra 7. Fgra 7: Modelo orgnal dscretado e eleentos fntos. A Fgra 8 apresenta a solção do problea térco eqvalente, o qe possblta vsalar as sperfíces potencas de falha.

14 Fgra 8: Sperfíces potencas de falha. a Fgra 9 vê-se representada a so-sperfíce qe satsfe o crtéro de falha, esta conte desvo na crva ocorrdo pela alta copressão estente na regão. Fgra 9: Sperfíce de falha. A Fgra 2 ostra a confgração deforada, no estágo fnal do processo de carregaento, na qal se pode observar a foração de a sperfíce de fratra nclnada e pratcaente plana, e confordade co a sperfíce descrta na Fgra 9, sendo esta copatível co o resltado eperental. a) b) ó ontorado Fgra 2: a) Modelo co fssra ncorporada atva obtdo co a técnca apresentada e b) Modelo co fssra atva, Pedrn (28).

15 a) b) Fgra 2: a) Gráfco de Deslocaento Carregaento obtdo co a técnca apresentada e b) Gráfco eperental do odelo e qestão retrado de Pedrn (28). a Fgra 2 é apresentado o gráfco de deslocaento verss carregaento no nó ontorado vsível na Fgra 2, jntaente co o gráfco do resltado eperental 4 COCLUSÕES Os resltados obtdos nas slações contrastados co os resltados bblográfcos, perte conclr qe: O algorto contrb para a generalação dos estdos nércos de probleas de foração e propagação de fssras, edante a forlação de eleentos fntos co descontndades ncorporadas para probleas trdensonas; efnar a alha de eleentos fntos apenas na regão próa a fssra e adconar o trataento local de trajetóra de fssra ao algorto global red consderavelente o tepo de processaento. O trabalho apresentado ndco pontos a sere aprofndados, o qe sgere os segntes tens para trabalhos ftros: Ipleentação da etodologa para a representação de últplas fssras; Análse as aprofndada do algorto ao qe d respeto às áreas de alta copressão. EFEÊCIAS BIBLIOGÁFICAS BELYTSCHKO T., MOËS M., USUI S., PAIMI C. Arbtrar dscontntes n fnte eleents. Internatonal Jornal for ercal Methods n Engneerng, 5(4):993 3, 2. CHAVES E.W.V., A three densonal settng for strong dscontntes odelng n falre echancs, Thess, Unversdad Poltécnca de Catalña, Barcelona, 23. GÁLVEZ J.C., ELICES M., GUIEA G.V, AD PLAAS J., Med ode fractre of

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