3 Modelo Transiente Proposto

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1 3 Modelo raniente Propoto No iten a egir ão apreentada a eqaçõe do modelo implementado dada pela eqaçõe de conervação de maa para o ólido e para o líqido e a eqaçõe de conervação de qantidade de movimento para o leito e para a penão. ão apreentada também a eqaçõe contittiva tai como: relaçõe entre tenõe e força qe governam o problema com parâmetro do ecoamento como velocidade e concentraçõe. 3.. Hipótee do modelo egir ão apreentada a principai hipótee coniderada na contrção do modelo traniente. Flxo no interior do anlar coniderado iotérmico, traniente e nidimenional (da broca para a perfície); Modelo de da camada, onde a Região é formada pelo leito de cacalho e a Região, a porção do anlar acima do leito depoitado, formada pelo flido de perfração e cacalho tranportado; ólido e líqido ão incompreívei; Delizamento entre o ólido e o líqido na penão; Delizamento entre o ólido e o líqido no leito; ólido em penão no flido; Excentricidade variável no anlar; ólido caracterizado por m diâmetro médio e ma efericidade; Propriedade do flido coniderada niforme; Leito depoitado definido por ma concentração empacotada. Uma depoição contína de cacalho afeta a altra do leito depoitado, ma não a a concentração; o eja, neta região a concentração da fae ólida é fixa e contante.

2 Modelo raniente Propoto Eqaçõe Báica O eqema do modelo é apreentado na Figra 3. onde a Região é formada pela partícla ólida qe e depoitam devido ao efeito da gravidade, e a Região é formada pelo flido de perfração, mai a partícla ólida em penão. Figra 3. Eqema do ecoamento com da camada eqaçõe apreentada a egir relacionam a área de cada ma da regiõe em cada ma da fae. variávei apreentada a egir etão decrita na Lita de ímbolo (início da tee). Relaçõe de área + = + = l + = l + = l (3.) + = l l l + =

3 Modelo raniente Propoto 64 onde e repreentam a área para o leito e penão; l e a área de líqido e ólido; l e a área de líqido e ólido na Região e l e a área de líqido e ólido na Região. Relaçõe de oncentraçõe = = l l l = l = (3.) + = + = l l onde e repreentam a concentraçõe de ólido para o leito e penão e l e l a concentraçõe de líqido para o leito e penão. Relaçõe entre área e concentraçõe α = = ( ) l α = = ( ) l α + α = (3.3) 3... oncentração de ólido no Leito concentração repreenta a concentração de ólido no leito, o eja, a porcentagem de ólido depoitado em relação ao flido, no leito. Eta concentração é epecificada e não-nla, para qalqer circntância. Nete trabalho foi coniderado qe a partícla ólida etão em e gra máximo de compactação, o eja, a concentração volmétrica média de ólido é de 5%. Ete valor repreenta a relação entre o volme de ma efera de raio r e de m cbo de lado r.

4 Modelo raniente Propoto oncentração de ólido na penão Por hipótee, o ólido ditribem-e na região de penão de acordo com a eqação de difão trblenta, decrito no item.6.. Ito gera ma crva de ditribição com formato de ma exponencial, iniciando com ma concentração igal à do leito, tendendo para zero na parte perior do dto. expreão para a concentração média de ólido na região de penão é dada pela eqação (.4), o eja, onde, = I (3.4) f n D ( ζ ζ ) θ ζ ζ (3.5) π p e In = M exp in in co co d ε θ b onde M é m fator fnção da geometria do anlar M = o coeficiente de difão, ζ π β h = arcco, η = R =, β ( η ) M ext = k, ε é o, ζ é a relação entre o diâmetro interno e externo do dto, θ é o ânglo do dto com a horizontal e f é definido pela eginte relação, f D e = (3.6) Portanto, podemo também ecrever, α D = = = = (3.7) e α In com I n definido em (3.5). Oberve qe α é, de fato, ma fração volmétrica efetiva (real) de ólido na região de penão.

5 Modelo raniente Propoto Eqaçõe de onervação ão apreentada nete parágrafo, a eqaçõe de conervação para o modelo. Para ecrevermo a eqaçõe de conervação para a fae ólida admitiremo qe eta poa er repreentada por m itema contíno (não dicreto), de forma a repreentá-la, como no cao da fae líqida, por eqaçõe diferenciai. ão apreentada, então a eqaçõe de conervação de maa para cada ma da fae (ólido e líqido) e a eqaçõe de conervação da qantidade de movimento para cada ma da regiõe (leito e penão) Eqação de continidade para o ólido eqação de conervação de maa para o ólido, m ( + ) + ( + ) = = q (3.8) t z ρ o, + ( ) ( ) ( ) q t z + + = (3.9) t z Da expreão para, definida em (3..), temo qe = = α. Portanto, (3.9) pode er reecrita como, + ( ) ( ) q t z + + = (3.) t z Dividindo (3.) por (admitido contante ao longo de toda a linha), teme a eqação de conervação de maa para o ólido, α α q + ( α) ( α) t z + + = t z (3.)

6 Modelo raniente Propoto Eqação de continidade para o líqido eqação de conervação de maa para o líqido, t l+ l + ll+ ll = q l (3.) z ( ) ( ) omo l = = cte (leito) e l = (penão), definimo, l + ( l) + ( ) + ( ) = ql t z t z (3.3) o ainda, + t z + + t z ( ) ( ) l l ( ) = q t z l (3.4) Dividindo por, α α + t z + + t z ( α ) ( α ) l l l α q l ( α ) t z l = (3.5) im, tem-e a eqação de conervação de maa para o líqido, α q l l + ( lα) ( α α) l( α α) t z + + = t z ρ l (3.6) Para facilitar a dicretização da eqaçõe, omamo a eqaçõe (3.) e (3.5) e, apó peqena álgebra, obtém-e a eginte eqação qe repreenta a conervação de maa de ólido e líqido,

7 Modelo raniente Propoto 68 α( l) + ( lα+ lα) + z z α z ( ) l q l + q = (3.7) dmitindo delizamento entre a fae na Regiõe e, o eja, conidera-e qe o ólido e o líqido podem e mover com velocidade diferente. Ete delizamento é coniderado atravé da eginte relaçõe, qe ão decrita em detalhe no pêndice B. p l = f = z + (3.8) = K L l eqação (3.7) torna-e, + ( α ) + ( lα+ lα) + z z α z ( K ) l l q l + q = (3.9) olção dea eqaçõe incli a incógnita α, l, l e p. Lembrando qe + = l e = K L l. da eqaçõe para qantidade de movimento fornecem a expreõe adicionai para m itema completo de qatro eqaçõe e qatro incógnita. Lembramo qe a velocidade do ólido na da regiõe ão obtida diretamente da eqaçõe (3.8) Eqação de qantidade de movimento para o leito eqação de conervação de qantidade de movimento para o leito é dada pela oma da eqaçõe de conervação de qantidade de movimento

8 Modelo raniente Propoto 69 para a da fae, contitindo aim m balanço de força e qantidade de movimento para a mitra ólido e líqido, o eja, a) Eqação para ólido p t z z ( ρ ) + ( ρ ) = ρ g enθ + ( τ P F ) b i (3.) b) Eqação para líqido p t z z ( ρ ) + ( ρ ) = ρ g enθ + ( τ P τ P ) l l l l l l l l l i i wl wl (3.) onde τ b é a tenão cialhante aociada à força diperiva de Bagnold, F é a força de olomb, τ i a tenão cialhante na interface ólido-líqido, τ wl a tenão cialhante entre o líqido e a parede, P i é o perímetro da interface ólidolíqido e P wl o perímetro da Região. Definindo a denidade de mitra, ρ para a Região, l = + = + (3.) ρ ρ ρ l ρ ρ l l E a velocidade de mitra correpondente,, tal qe, ρ = ρ + ρ (3.3) l l l omando a eqaçõe (3.) e (3.), obtemo a eqação de qantidade de movimento para a mitra ólido-líqido na Região. pó peqena álgebra, t + = z ( ρ ) ( ρ ) p ρgen θ F τwlpwl+ ( τb + τi) Pi z (3.4)

9 Modelo raniente Propoto 7 Dividindo a eqação (3.4) por, obtemo a eginte forma, t + = z ( αρ ) ( αρ ) p α ρ α genθ + τ + τ P F τ P ( ) b i i wl wli z (3.5) O último termo deta eqação repreenta a qeda de preão devido ao efeito diipativo, devido ao atrito vicoo entre o flido, ólido e parede do tbo. Devemo detacar qe foi ignorado na expreão do termo convectivo da eqação (3.4) o termo contendo o qadrado da diferença da velocidade ólido-líqido, admitido peqeno qando comparado com ρ Eqação de qantidade de movimento para a penão O procedimento é análogo ao da Região. Lembrando, como na expreão para o leito de qe admitiremo qe poa ocorrer delizamento entre a fae neta região. O eja, a velocidade podem er ditinta l. im, temo, a) ólido t + = z ( ρ) ( ρ ) p ρ g enθ τ P + F z ( ) b i (3.6) b) Líqido t + = z ( ρlll) ( ρlll ) p ρ g enθ τ P + τ P z ( ) l l l i i wl wl (3.7)

10 Modelo raniente Propoto 7 Definimo a denidade de mitra, ρ, para a Região ρ = ρ + ρ = ρ + ρ (3.8) l l l l E a velocidade de mitra correpondente, tal qe, ρ = ρ + ρ (3.9) l l l omando a eqaçõe (3.6) e (3.7), fazendo o de (3.8) e dividindo pela área tranveral do tbo, obtém-e, a eqação de conervação da qantidade de movimento para a penão, p ( αρ ) + ( αρ ) = α αρ genθ t z z ( τ + τ ) P + τ P + F b i i wl wl (3.3) De novo, o último termo da eqação repreenta a qeda de preão devida ao efeito diipativo; o eja, devida ao atrito vicoo entre o flido, o ólido e a parede do tbo. omo no cao do leito, foi deprezado o termo convectivo devido à diferença de velocidade na penão. Uma vez apreentada a eqaçõe diferenciai qe governam o problema, torna-e neceário apreentar a eqaçõe qe relacionam a força e tenõe cialhante. Eta expreõe ão apreentada a egir enõe ialhante na Parede e Interface tenõe cialhante na parede e na interface entre a fae podem er exprea como fnção do coeficiente de atrito de Fanning e ão dada pela eginte relaçõe,

11 Modelo raniente Propoto 7 τ = f ρ wl l l l l τ = f ρ ( ) i i l l l l l (3.3) onde τ wl é o atrito entre a parede do dto e o cacalho e τ i é o atrito entre a da regiõe Força de olomb Força de olomb ocorre devido ao peo bmero da partícla ólida, e pode er calclada atravé da integração do perfil hidrotático de preõe ao longo do perímetro do leito. Vamo admitir inicialmente qe o leito etá retrito à região abaixo do dto interno, caracterizando o ao do pêndice. Da Figra. dete anexo β obtemo para o emi-ânglo, β co = h R (3.3) força normal por nidade de comprimento do dto (formando ânglo θ com a horizontal) reltante da ação do ólido atando obre m ânglo β (Figra.) é, β β β FN = ( ρ ρl) gr en co coθ (3.33) força de atrito entre o ólido qe e delocam e a parede é onde μ c é o coeficiente de olomb. Logo, F c = μ F, c N β β β F = μc ( ρ ρl) gr en co coθ (3.34)

12 Modelo raniente Propoto 73 o ainda, ( ) F = μ ρ ρ gr G( β)coθ (3.35) c l onde β β β G( β ) = en co (3.36) Nma itação mai geral, a altra do leito pode ocpar a itaçõe decrita como ao o ao 3 (pêndice ) ito é, no nível, acima o abaixo do dto interno. Nea da circntância, o atrito de olomb deve inclir também o atrito do ólido com a parede do dto interno. Logo, na forma geral temo a eginte expreõe: ao : ( h< h i ) ( ) F = μ ρ ρ gr G( β )coθ (3.37) c l ao : ( h h< h ) i ( ) F = μc ρ ρl gr G( β) + ζ G( β) coθ (3.38) ao 3 : ( h> h ) ( ) F = μc ρ ρl gr G( β) + ζ π coθ (3.39) onde β e β o ânglo definido no pêndice ondição de Delizamento (olomb) força de olomb ( F ) qe aparece na eqação de qantidade de movimento para o leito, eqação (3.5), etá definida no item odavia,

13 Modelo raniente Propoto 74 eta eqação é nla enqanto o leito ólido permanece imóvel. omente qando >, a força é não nla. força etática F é calclada a partir de m balanço de força no leito e comparada com o atrito máximo, F, qe correponde ao ponto de delizamento calclado pela eqaçõe (3.37), (3.38) e (3.39) para ma dada altra de leito. Ete permanece imóvel enqanto a condição a egir for atifeita, F < F (3.4) À medida qe a velocidade da penão crece, a força cialhante na interface penão leito também crecem, enqanto a altra do leito decrece. Um etado é atingido qando a força de atrito no perímetro do ólido com a parede do tbo, F, não é ficiente para evitar o movimento do leito. Nete ponto F = F e a tranição de leito etacionário para leito móvel acontece. partir dete ponto a força de atrito é fnção da altra do leito (área ), endo calclada atravé de ma da eqaçõe (3.37), (3.38) o (3.39). Portanto, drante a olção do problema, a condição de eqilíbrio etático entre F e deve er coniderada. Ito é feito comparando o omatório da força atando obre o ólido com a força de atrito de olomb, qe ata na direção opota ao movimento do leito. O eja, da eqação (3.5), F p ρ ginθ + ( τ + τ ) P > F z i b i (3.4) o, p Pi F ρg inθ + ( τi + τb) > z (3.4) F Logo, atifeita eta condição o leito encontra-e em movimento, e a força = F dada pela eqaçõe (3.37), (3.38) e (3.39). Por otro lado, e =, então F =.

14 Modelo raniente Propoto 75 Eta relação pode também er caracterizada dividindo a eqação (3.4) pelo lado direito, o eja, a condição de eqilíbrio etático pode er exprea atravé da razão, R D p b ρ g inθ + τ + τ ( ) i i b z = (3.43) F P E aim obtemo a da poibilidade para delizamento e nãodelizamento, R D > F = F Delizamento R F = Não delizamento D R D pode er calclado para cada célla. e a razão for perior à nidade então a força atante obre o leito ão periore à força de atrito elevada, e ete deve permanecer em movimento. Na medida em qe eta e aproxima da nidade o leito tende a parar, e aim permanecerá, até qe R >. D 3.4. Delizamento ólido Líqido Nete trabalho foi coniderado qe exite delizamento relativo entre a fae no leito e na penão, o eja, a fae podem e delocar com velocidade ditinta, tanto no leito como na penão. expreõe qe correlacionam eta velocidade ão apreentada a egir Delizamento no leito expreão para ao delizamento ólido-líqido no leito é dado pela eginte relaçõe, cjo deenvolvimento encontra-e detalhado no pêndice B. Para ecoamento laminar κ p l = + ρgenθ μ z (3.44)

15 Modelo raniente Propoto 76 onde ( ) 4,7 d κ = (3.45) 9 Qe pode er reconhecida como a eqação de Darcy para meio poroo, onde κ é a permeabilidade do meio. Para ecoamento trblento p l = kt + ρgenθ z (3.46) Onde, ( ) 4,7 4d κt = (3.47) 3ρ D Delizamento na penão O delizamento entre a fae na penão etá relacionado ao perfi de velocidade e concentração da mitra em ecoamento. De fato, não exitem ainda correlaçõe para previão dea ditribiçõe em tblaçõe tranportando ólido e líqido em geral, embora exitam algn procedimento de aplicação m tanto limitado, propoto para penõe de ólido como areia, cacalho e carvão em ága. Velocidade de delizamento (Holdp) Não exite m método geral para a determinação de holdp para todo o tipo de configração de arranjo de fae para ecoamento de ólido e líqido, aim como para líqido e gá. Na condiçõe de regime de ecoamento de penão imétrica, em ecoamento horizontai, é comm admitir qe o delizamento é deprezível, e qe a concentraçõe de entrada e in-it ejam idêntica. Embora eta hipótee não eja totalmente correta, é razoável para mita itaçõe, endo tilizada

16 Modelo raniente Propoto 77 para m grande número de aplicaçõe como detacada em Govier e ziz (97). eqação cláica para o modelo de delizamento drift para ecoamento bifáico tem a eginte forma, (para implificar a notação não tilizaremo aqi o índice- relativo à região da penão) = + (3.48) m d onde, m, d e repreentam a velocidade de ólido, de mitra, de delizamento e o coeficiente de ditribição de concentração, repectivamente. Para ecoamento horizontal ólido-líqido, Govier e ziz (97). gerem qe a velocidade eqação (3.48) redz-e a, d pode er coniderada nla. Nete cao, a = (3.49) m Para penõe imétrica em baixa velocidade, aim, como para ecoamento vertical, oda et al.(969), Newitt (96) et al., gerem ma concentração aproximadamente niforme, com tendendo para a nidade. Para velocidade mai elevada o ólido tendem a e localizar na região central e tende ao valor, o memo acima dio. De qalqer forma, pode-e motrar qe o holdp, o delizamento, pode er batante ignificativo na penõe aimétrica o em ecoamento com leito. endo em vita a definição de velocidade de mitra, m, temo, Q + Q + = = = + (3.5) l l l m l l Q ombinando (3.49) e (3.5) obtemo a expreão para a velocidade do ólido,, relativa à do líqido em fnção de e, agora com o índice, = K (3.5) l l onde,

17 Modelo raniente Propoto 78 K l = (3.5) Uma da tarefa difícei para o cálclo da qeda de preão no ecoamento bifáico (em regime permanente), conite na etimativa do holdp entre a fae; o eja, na determinação do coeficiente para o divero arranjo geométrico de fae. Para o cao particlar do ecoamento ólido-líqido, talvez m do etdo mai completo diponívei na literatra eja o trabalho propoto por Gaeler (967). O etdo incli análie detalhada de penão de ólido-ága em tbo horizontai. Baeia-e em exteno banco de dado obtido pela ociação de ranporte Hidrálico da lemanha em tbo de 46,5 e 6 mm de diâmetro interno. arvão foi tilizado como ólido, com diâmetro médio na faixa de a 3 mm e 3 a 5 mm. Uma parte importante do reltado de Gaeler (967) etá decrita em Govier e ziz (97). Dentre o divero reltado de interee para nó, detacamo a expreão analítica para previão da velocidade média do ólido relativa à velocidade de mitra. partir de ma análie de balanço de qantidade de movimento (para ecoamento permanente) Gaeler deenvolve a eginte expreão para a razão entre a velocidade ϕ = m, ( ) Fr Frm f fw ϕ = β + ϕ Frm ϕ ϕ (3.53) Onde ρ =, ρl f e f w ão coeficiente de atrito vicoo de Fanning e β é m parâmetro relativamente complexo, dependente de vário otro. O doi número de Frode ão aim definido, F = F = (3.54) gd gd m r ; rm h h

18 Modelo raniente Propoto 79 Onde é a velocidade de edimentação, m a velocidade de mitra e D h o diâmetro hidrálico da região. eqação (3.53) é implícita em ϕ, reqerendo ma olção iterativa. odavia, Gaeler motro atravé do reltado marizado na Figra 3. qe ϕ é fracamente dependente de, e do coeficiente de atrito endo dominantemente dependente do número de Frode F r e F rm. f e f, w m,,5,5,5 F = ro / o gd h = / o,8,6 4 6 F = rm / m gd h Figra 3. orrelação para a razão entre velocidade. Para evitar a complexidade da eqação de Gaeler, foi deenvolvida nete trabalho ma correlação para gerar a crva da Figra 3., cjo reltado etá indicado a egir. nova eqação reprodz a crva do gráfico com batante precião (com erro inferiore a %), endo razoável a tilização no problema aplicado, onde otra incerteza não ão geralmente deprezívei. Devemo detacar ainda qe a fnção ( F F ) coeficiente de concentração. im temo, ϕ nada mai é do qe o, r rm Frm = ϕ ( Fr, Frm) = Fr,5 + F r (3.55) =. Onde a eginte retrição deve er aplicada: e Fr >,5 + Fr então

19 Modelo raniente Propoto 8 Portanto, epecificado o doi número de Frode, o valor nmérico de é conhecido e, então, K l é determinado.