UNIVERSIDADE EDUARDO MONDLANE Faculdade de Engenharia. 3º ano

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1 UNIVERSIDADE EDUARDO MONDLANE Faculdade de Engenharia Tranmião de calor 3º ano

2 8. Ecoamento Interno Velocidade e Temperatura Média; Região de Entrada; Análie Térmica no Geral; Fluxo Laminare em Tubo; Fluxo Turbulento em Tubo. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 2

3 8.1 Introdução O líquido e o gae fluindo por tubulaçõe ou ducto ão uado geralmente em itema de aquecimento ou de refrigeração. O fluido em tai aplicaçõe ão forçado a fluir por um ventilador ou por uma bomba atravé de um tubo uficientemente longo e a realizar tranferência de calor deejada. Nete capítulo depende-e particular atenção à determinação do coeficiente de fricção e do coeficiente de tranferência de calor por convecção por ele etarem directamente relacionado com a queda de preão e com a taxa a de tranferência do calor, repectivamente. Eta grandeza ão uada para determinar a potência de bombagem e o comprimento requerido do tubo. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 3

4 8.1 Introdução A maioria do fluido, epecialmente o líquido, ão tranportado em tubulaçõe circulare. Ito acontece porque a tubulaçõe com uma ecção tranveral circular podem uportar grande diferença de preão entre o interior e o exterior em nenhuma ditorção. A tubulaçõe não circulare ão uada geralmente em itema de refrigeração de edifício onde a diferença de preão é relativamente pequena e o cuto de contrução e de intalação ão mai baixo. Para uma determinada uperfície, o tubo circular garante maior tranferência de calor com menor queda de preão, o que explica a popularidade do tubo circulare no equipamento de tranferência de calor. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 4

5 8.1 Introdução Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 5

6 8.1 Introdução O tubo circulare uportam grande df diferença de preão entre o interior e o exterior em nenhuma ditorção, ma a tubulaçõe não circulare não o fazem. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 6

7 7.3 Ecoamento Tranverai Sobre cilindro e efera Na maioria da aplicaçõe prática, o fluxo de um fluído atravé de uma tubulação ou ducto pode er aproximado a unidimenional, e aim upõe-e que a propriedade variam ó num entido (entido do fluxo). Em conequência, toda a propriedade ão uniforme em toda a ecção tranveral normal ao entido do fluxo, e upõe-e que a propriedade tenham valore médio maiore na ecção tranveral. Ma o valore da propriedade numa ecção tranveral podem variar com o tempo a meno que o fluxo eja contante. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 7

8 7.3 Ecoamento Tranverai Sobre cilindro e efera No fluxo externo, a velocidade do ecoamento livre erviu como velocidade de referência para o uo no cálculo do número de Reynold e do coeficiente de fricção. No fluxo interno, não há nenhum ecoamento livre e aim neceita-e de uma alternativa. A velocidade do fluído num tubo varia de zero na uperfície, por não haver delizamento, até um máximo no centro do tubo. Conequentemente, é conveniente trabalhar-e com uma velocidade média V m, que e mantém contante no fluxo incompreível quando a área da ecção tranveral do tubo é contante. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 8

9 8.2 Temperatura e Velocidade Média O valor da velocidade média V m num tubo é determinado com bae no princípio de conervação de maa. Ito é, & ρ m c ρ (, ) A c (8.1) m V A V r x da c onde m é o fluxo máico, ρ é a maa epecifica, A c é a área ecção tranveral, e V(r, x) o perfil da velocidade. Então a velocidade média para o fluxo incompreível em um tubo circular de raio R pode er exprea como: V m A c R ( r x) dac ρv ( r, x) ρ V, 2πrdr R 0 2 V ( r, x) (8.2) rdr 2 2 ρa A c ρπr R 0 Conequentemente, quando e conhece o fluxo máico ou o perfil da velocidade, a velocidade média pode er facilmente determinada. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 9

10 8.2 Temperatura e Velocidade Média Perfi real e ideal de velocidade para o fluxo em um tubo (o fluxo máico do fluído é o memo para ambo o cao). Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 10

11 8.2 Temperatura e Velocidade Média O valor da temperatura média T m é determinado do princípio de conervação de energia. Ito é, a energia tranportada pelo fluído atravé de uma ecção tranveral ao fluxo deve er igual à energia que eria tranportada atravé da mema ecção tranveral e o fluído etivee a uma temperatura contante T m. Ito pode er expreo matematicamente como E & & fluido mcpt ρ m CPTVdA (8.3) & c m Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 11

12 8.2 Temperatura e Velocidade Média onde o C P é o calor epecífico do fluído. O produto mc p T m ao longo de toda a ecção tranveral do tubo, repreenta o fluxo de energia do fluído nea ecção tranveral. A temperatura média de um fluído com maa e calor epecífico contante que ecoa por uma tubulação circular de raio R pode er exprea como: T m R ( ρv 2πrdr) CPTδ m& C PT m& 0 2 mc & ρv ( πr ) C P m P V m 2 R 2 0 R T ( r, x) V ( r, x) rdr (8.4) Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 12

13 8.2 Temperatura e Velocidade Média Perfi de temperatura real e ideal para o fluxo num tubo (a taxa de tranporte de energia pelo fluído é a mema para ambo o cao). Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 13

14 8.2.1Fluxo Laminar e Turbulento em tubo O fluxo em um tubo pode er laminar ou turbulento, dependendo da condiçõe do ecoamento. O fluxo do fluido é laminar a baixa velocidade, ma torna-e turbulento com o aumento da velocidade para além de um valor crítico. Para o fluxo em um tubo circular, o número de Reynold é definido como: ρvm D VmD Re (8.5) μ ν Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 14

15 8.2.1Fluxo Laminar e Turbulento em tubo onde o V m é a velocidade d média do fluido, D é o diâmetro do tubo, e a relação vµ/ρ é a vicoidade cinemática do fluído. Para o fluxo atravé de tubo não circulare, o número de Reynold o número de Nuelt e o coeficiente de fricção ão baeado no D h diâmetro hidráulico. D h 4A p c Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 15

16 8.2.1Fluxo Laminar e Turbulento em tubo Onde a A c é a área da ecção tranveral do tubo e do p o eu perímetro. O diâmetro hidráulico é definido tal que e reduza ao diâmetro ordinário D para o tubo circulare aim: D 4A 2 4π D 4 π D c h p D (8.6) Seria deejável ter valore precio de número de Reynold para fluxo laminar, traniente e turbulento, ma na prática é impoível devido ao facto da tranição do fluxo laminar para turbulento depender também do grau de ditúrbio do fluxo, da apereza da uperfície, da vibraçõe da tubulação e da flutuaçõe no fluxo. Em condiçõe prática tem-e: Re< Re laminar traniente Re>10000 turbulento t Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 16

17 8.2.1Fluxo Laminar e Turbulento em tubo O diâmetro hidráulico D h 4A c /p é definido de tl tal modo que ele reduza qualquer diâmetro para o de tubo circulare. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 17

18 8.2.1Fluxo Laminar e Turbulento em tubo Na região traniente do fluxo, ocorrem intervalo aleatório de fluxo, entre laminar e turbulento. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 18

19 7.3 Ecoamento Tranverai Sobre cilindro e efera A região do fluxo na qual a camada limite térmica e deenvolve até atingir o centro do tubo é chamada região de entrada térmica, e o comprimento deta região é chamado comprimento de entrada térmica. O Fluxo na região de entrada térmica é chamado fluxo em deenvolvimento térmico poi eta é a região onde o perfil de temperatura e deenvolve. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 19

20 8.3 Região de entrada Deenvolvimento da camada limite fluidodinâmica num tubo. (o perfil médio deenvolvido da velocidade é parabólico no fluxo laminar, ma obtuo no fluxo turbulento). Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 20

21 8.3 Região de entrada A região em que o fluxo etá hidrodinamicamente e térmicamente plenamente deenvolvido e aim a o perfi adimenionai de velocidade e de temperatura permanecem contante é chamada de fluxo plenamente deenvolvido. Ito é: Hidrodinamicamente plenamente deenvolvido V V x ( r, x ) 0 V V ( r) Termicamente plenamente deenvolvido (8.7) x T T ( x) T( r, x) ( x ) T m ( x ) 0 (8.8) Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 21

22 8.3 Região de entrada Deenvolvimento da camada limite térmica num tubo (o fluído no tubo encontra-e em arrefecimento). Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 22

23 8.3 Região de entrada Numa região térmica plenamente deenvolvida, a derivada de (T -T)/(T -T m ) em relação a x é zero pela definição, e aim (T -T)/(T -T m ) é independente de x. Então a derivada de (T -T)/(T -T m ) em relação a r deve também er independente de x. Ito é, T T ( T r) r R f ( x ) (8.9) r T T m r R T T O fluxo de calor na uperfície pode er expreo por: m ( T r) (8.10) T k r R q& hx ( T Tm ) k hx r r R T Tm Aim conclui-e que na região térmica plenamente deenvolvida de um tubo, o coeficiente local de convecção é contante (não varia com x). Conequentemente, o coeficiente de fricção e de convecção permanecem contante na região plenamente deenvolvida de um tubo. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 23

24 8.3.1 Comprimento de Entrada Variação do factor de fricção e do coeficiente de tranferência de calor por convecção no entido do fluxo para o ecoamento num tubo (Pr > 1). Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 24

25 8.3.1 Comprimento de Entrada O comprimento de entrada hidrodinâmico é geralmente ecolhido para etar a uma ditância da entrada do tubo onde o coeficiente da fricção alcança aproximadamente 2 por cento do valor plenamente deenvolvido. No fluxo laminar, o comprimento de entrada hidrodinâmico e térmico ão dado aproximadamente como: L h,laminar 0, 05Re D (8.11) L 0, 05Re Pr D Pr L t, laminar Pr h,laminar (8.12) Para Re 20, o comprimento hidrodinâmico de entrada tem aproximadamente o valor do diâmetro, ma aumenta linearmente com o aumento da velocidade. No cao limite onde Re 2300, o comprimento hidrodinâmico de entrada é115d. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 25

26 8.3.1 Comprimento de Entrada O coeficiente de fricção e de tranferência de calor permanecem contante no fluxo laminar ou turbulento plenamente deenvolvido, dede que o perfi de velocidade d e de temperatura normalizado não variem no entido do fluxo. O comprimento hidrodinâmico de entrada para o fluxo turbulento pode er determinado de : L (8.13) 1 4 h, turbulento 1,359Re Na prática, geralmente acredita-e que o efeito de entrada fazem-e entir num comprimento do tubo de 10 diâmetro e o comprimento hidrodinâmico e térmico de entrada ão aproximadamente: L h, turbulento Lt,turbulento 10D (8.14) Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 26

27 8.3.1 Comprimento de Entrada Variação do número de Nuelt local ao longo de um tubo no fluxo turbulento, para ambo o cao: temperatura da uperfície uniforme e fluxo de calor contante na uperfície. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 27

28 8.4 Análie Térmica no Geral A tranferência de calor para um fluído que ecoa por um tubo é igual ao aumento da energia dee fluído. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 28

29 8.4 Análie Térmica no Geral Na auência de qualquer interacção de trabalho (tai como reitência eléctrica), a equação da conervação de energia para o fluxo contante de um fluído em um tubo pode er exprea como: Q& mc & P ( T T ) ( W) e i (8.15) onde T i e T e ão a a temperatura média do fluído na entrada e aída do tubo, repectivamente, e Q é a taxa de tranferência de calor de ou para o fluído. A condição de fluxo de calor contante t na uperfície,conegue-e quando o tubo é ujeito ao aquecimento por radiação ou por uma reitência eléctrica uniforme em todo o entido. O fluxo de calor na uperfície é expreo por: x ( ) ( 2 T T W m ) q& h (8.16) m onde o h x é o coeficiente local de tranferência de calor e T e T m ão a temperatura média da uperfície e do fluido nea poição. iã Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 29

30 8.4.1 Fluxo Contante na Superfície Interacçõe de energia para um volume de controle diferencial num tubo. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 30

31 8.4.1 Fluxo Contante na Superfície No cao em que q é contante, a taxa de tranferência de calor pode também er exprea como Q& q& A mc & P ( T T ) ( W) e i (8.17) Então a temperatura média do fluido na aída do tubo torna-e T e T i + q& A mc & P (8.18) É de notar que a temperatura média do fluído aumenta linearmente no entido do fluxo, no cao do fluxo de calor contante na uperfície, dede que a área da uperfície aumente linearmente no entido do fluxo. A temperatura da uperfície, no cao de fluxo de calor q& contante na uperfície q & pode q er h( determinada T Tm ) de T Tm + h (8.19) Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 31

32 8.4.1 Fluxo Contante na Superfície A curva da temperatura média do fluido T m num gráfico de T-x pode er exprea aplicando-e o balanço de energia em ecoamento em regime permanente num elemento do tubo de epeura dx. Daí: mc & P dt m q & dt dx q & p mc & m ( pdx ) contante P (8.19) onde p é o perímetro do tubo. Anotando que o q e h ão contante, a diferenciação da Equação 8.18 em relação a x dá: dt m dt (8.20) dx dx Também, a exigência de que o perfil de temperatura adimenional permaneça inalterado na região inteiramente i t deenvolvida dá: T x T T T m 1 T T x T x 0 0 T x (8.21) m T T x Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 32

33 8.4.1 Fluxo Contante na Superfície Variação da temperatura da uperfície do tubo e da temperatura média do fluído ao longo do tubo para o cao do fluxo de calor contante na uperfície. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 33

34 8.4.1 Fluxo Contante na Superfície dede T -T m contante. Combinando a Equaçõe 8.19, 8.20, e 8.21 chega-e a: T x dt dx dt dx m q& p mc & P contante (8.22) Para um tubo circular, p2πr e m ρv m A c ρv m (πr 2 ), e a Equação 8.22Vpaa a er: T x dt dx dt dx m 2q& ρ V C m P R contante (8.23) Onde V m é a velocidade média do fluído Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 34

35 8.4.1 Fluxo Contante na Superfície A forma do perfil de temperatura permanece inalterada na região plenamente deenvolvida de um tubo, ujeito ao fluxo de calor contante na uperfície. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 35

36 8.4.2 Temperatura Contante na Superfície Da lei do refriamento de Newton, a taxa de tranferência de calor de ou para um fluído que ecoa por um tubo pode er exprea como Q& ha ΔT med ha ( T T ) ( W) m med (8.24) No cao da temperatura a da uperfície contante a T med pode er exprea ea aproximadamente pela diferença média aritmética de temperatura como: ΔT med ΔT mar ΔTi + ΔT 2 e ( T T ) + ( T T ) i 2 e T T i + T 2 e T O balanço de energia num volume de controle diferencial dá: T b (8.25) m& C dt P m h( T T )da ( m ) (8.26) Ito é, o aumento na energia do fluído (repreentado pelo aumento da ua temperatura média dt m m) ) é igual ao calor tranferido ao fluído pela uperfície do tubo por convecção. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 36

37 8.4.2 Temperatura Contante na Superfície É de notar que a área diferencial da uperfície é o da pdx, onde p é o perímetro do tubo, e dt m -d(t -T m ), dede que T eja contante, a relação anterior pode er re-arranjada: d ( T Tm ) hp (8.27) T T m mc & Integrando de x0 (entrada do tubo onde T m T i ) até L (aída do tubo onde T m T e ) T T ha P dx e ln (8.28) T Ti mc & P Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 37

38 8.4.2 Temperatura Contante na Superfície onde A pl é a área da uperfície do tubo e h é o coeficiente médio contante de tranferência de calor por convecção. Logaritmizando ambo o lado e reolvendo em função de T e obtém-e a eguinte relação, muito útil, para a determinação da temperatura média do fluído na aída do tubo: T e ( T T ) ( ha mc & ) T exp (8.29) i P Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 38

39 8.4.2 Temperatura Contante na Superfície Variação da temperatura média do fluído ao longo de um tubo, para o cao de temperatura contante. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 39

40 8.4.2 Temperatura Contante na Superfície É de notar que a diferença de temperatura entre o fluído e a uperfície decai exponencialmente no entido do fluxo, e a taxa da queda depende do valor do expoente ha x /mc p. Ete parâmetro adimenional é chamado o número de unidade d de tranferência, denominado d NUT, e é uma dimenão que caracteriza a eficácia do itema de tranferência do calor. Reolvendo a Equação 8.29 para mc P obtém-e: Onde: mc & P ln Q& [( T T ) ( T T )] ha ha Subtituindo na Equação 8.17 obtém-e ΔT ln e Δ T ln [( T T ) ( T T )] ln( ΔT ΔT ) T i T Que é a temperatura média logarítmica ln e e i ΔT i e ΔT e i i (8.30) (8.31) (8.32) Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 40

41 8.4.2 Temperatura Contante na Superfície Um NUT maior que 5 indica que o fluído que ecoa por um tubo alcançará a temperatura da uperfície na aída, independentemente da temperatura de entrada. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 41

42 8.5 Ecoamento Laminare em Tubo Diagrama livre de um elemento fluido de um corpo cilíndrico de raio r, epeura dr e de comprimento dx orientado axialmente, num tubo horizontal num fluxo contante plenamente deenvolvido. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 42

43 8.5 Ecoamento Laminare em O Tubo elemento do volume envolve omente a preão e o efeito vicoo, aim a força da preão e de corte devem balançar-e. O balanço da força no elemento do volume no entido de fluxo dá: ( 2 πrdrp) ( 2πrdrP) + ( 2πrdxτ ) ( 2πrdxτ ) 0 x x+ dx r r+ dr (8.33) que indica que no fluxo plenamente deenvolvido num tubo, a força vicoa e de preão balançam-e. Dividindo por 2πdrdx e organizando, r P x+ dx dx Px + + dp r dx ( rτ ) x dx ( rτ ) r (8.34) ( τ ) d r + dr dr calculando o limite quando dr e dx 0 Subtituindo τ -μ(dv/dr) e organizando o termo tem-e: μ d r dr dv r dr 0 dp dx 0 (8.35) (8.36) Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 43

44 8.5 Ecoamento Laminare em Tubo Reolvendo a equação anterior e organizando o termo conegue-e: 1 dp V r + C1 ln r + C 4 dx ( ) 2 μ (8.37) Aplicando a condiçõe de contorno V/ r 0em r 0 e V 0 em r R obtém-e: 2 () 2 R dp r V r dx R μ (8.38) A velocidade média obtém-e da ua definição, ubtituindo a Equação 8.39 na 8.2 e fazendo a integração o que reulta em: V m 2 R 2 Vrdr 2 2 R 0 R 0 R R dp r R 1 rdr 2 4 μ dx R 8 μ dp dx (8.39) Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 44

45 8.5 Ecoamento Laminare em Tubo Combinando a dua última expreõe o perfil de velocidade paa a er: 2 r V ( r) 2 V (8.40) 1 m 2 R A velocidade máxima ocorre na linha de imetria e é determinada pela Equação 840ubtituindo 8.40 r0 Vmax 2V (8.41) m Uma da grandeza de interee na análie do ecoamento no interior de tubo ão a perda de preão que etão directamente ligada a potência de bombeamento. É de notar que dp/dx contante ao longo do tubo e integrando dede x0onde a preão é P 1 até xlonde a preão é P 2 obtém-e: dp dx P L P ΔP L 2 1 (8.42) Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 45

46 8.5.1 Perda de Preão Subtituindo a Equação 8.41 na equação da Velocidade média , a perda de preão pode ecrever-e como: Fluxo laminar 8μ LV 32 m μlv (8.43) m ΔP 2 2 R D Na prática torna-e conveniente exprear a perda de preão para todo o tipo de fluxo como: 2 L μv Δ P f m D 2 (8.44) Onde f é o coeficiente de fricção adimenional Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 46

47 8.5.1 Perda de Preão A relação da perda de preão é uma da mai conhecida da mecânica do fluido, e é válida para fluxo laminare e turbulento, em tubulaçõe circulare e não circulare e para uperfície lia ou rugoa. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 47

48 8.5.1 Perda de Preão Igualando a Equaçõe 8.42 e 8.43 obtém-e o coeficiente de fricção f para um ecoamento laminar plenamente deenvolvido num tubo de ecção circular Tubo circular, laminar f 64μ ρdv m 64 Re (8.45) Conhecida a perda de carga, a potência de bombeamento é determinada de: & V & bomb ΔP (846) (8.46) W bomb Onde V é o fluxo volumétrico do ecoamento e exprea-e pela eguinte fórmula: PR R P D P V& Δ 2 π Δ π Δ V A R L L L (8.47) med c π 8μ 8μ 128μ Eta equação é conhecida como a Lei de Poieuille Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 48

49 8.5.1 Perda de Preão A potência de bombeamento para um itema com fluxo laminar, pode er reduzida em 16 veze duplicando o diâmetro da tbl tubulação. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 49

50 8.5.2 Perfil de Temperatura e Número de Nuelt Elemento diferencial do volume de controle uado na derivação da equação de balanço de energia. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 50

51 8.5.2 Perfil de Temperatura e Número de Nuelt O balanço de energia em regime etacionário para um elemento cilíndrico de epeura dr e comprimento dx pode er expreo por: m & C P T x mc & PTx dx + Qr Qr+ + dr 0 (8.48) Onde m ρva c ρv(2πrdr). Subtituindo e dividindo por 2πrdrdx depoi de organizar o termo obtém-e: ρc P V T dx T 1 2πrdx Q& x+ dx x r+ dr ou T 1 Q& V x 2ρC πrdx r Onde uou-e e a definição da derivada P dr Q& r (8.49) (8.50) Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 51

52 8.5.2 Perfil de Temperatura e Número de Nuelt Se ecrever-e: r T r r kdx r T rdx k r r Q 2π 2π & (8.51) T T α ubtituir-e e uar-e α k/ρc P obtém-e: r T r r r x T V α (8.52) Que ignifica que a taxa de energia tranferida ao volume de Que ignifica que a taxa de energia tranferida ao volume de controle pelo fluxo máico é igual a taxa de calor conduzido na direcção radial Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 52

53 8.5.3 Fluxo Contante na Superfície Para um fluxo plenamente deenvolvido num tubo circular ujeito a um fluxo de calor contante na uperfície da Equação 8.25 obtém-e: T dt x dx dt m dx ρv 2q& m C P contante R (8.53) Subtituindo a Equação 8.52 e a relação para o perfil de velocidade, Equação 8.39, na Equação 8.51 obtém-e: 2 4q& r 1 1 R r d r dr dt dr kr 1 2 (8.54) Que é uma equação diferencial ordinária de egunda ordem. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 53

54 8.5.3 Fluxo Contante na Superfície A olução geral obtém-e eparando a variávei e integrando dua veze: T 2 q 2 r & r C 2 1r + C (8.55) 2 kr 4R A olução particular do problema obtém-e aplicando a condiçõe de contorno T/ x 0em r 0 e T T em r R aim: q& R 3 r r T T 2 k 4 R 4R 4 T (8.56) A temperatura média T m é determinada ubtituindo a relaçõe para o perfi de velocidade e de temperatura, Equaçõe 8.40 e 11 q& R T (8.58) 24 k m 8.55 na 8.4 e fazendo a repectiva integraçõe, o que dá: Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 54

55 8.5.3 Fluxo Contante na Superfície Combinando a relação anterior com q h(t -T m ) obtém-e: 24 k 48 k h 4, R 11 D k D (8.57) ou hd Tubo circular, laminar (q contante) Nu 4,36 k (8.58) No fluxo laminar, numa região plenamente deenvolvida de um tubo circular ujeito a um fluxo de calor contante o número de Nuelt é contante. Não depende do número de Prandtl ou de Reynold Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 55

56 8.5.4 Superfície com Temperatura Contante Análie imilar pode-e fazer para o fluxo laminar plenamente deenvolvido num tubo circular para o cao de temperatura contante da uperfície T. O procedimento da olução nete cao é mai complexo porque requer iteraçõe, ma a relação do número de Nuelt obtida é igualmente imple hd Nu 3,66 (8.59) k O coeficiente de condutibilidade térmica k para o uo na relação de Nu acima, deve er avaliado a temperatura média do ecoamento no volume, que é a média aritmética da temperatura média do fluído na entrada e na aída do tubo. Para o fluxo laminar, o efeito da apereza da uperfície no factor da fi fricção e no coeficiente fii de tranferência de calor ão deprezívei. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 56

57 8.5.5 Superfície com Temperatura Contante No fluxo laminar num tubo com temperatura da uperfície contante, o coeficiente de fricção e de tranferência de calor permanecem contante na região plenamente deenvolvida. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 57

58 8.5.5 Fluxo Laminar em Tubo Não Circulare O coeficiente de fricção f e o número de Nuelt ão dado tabelado para o fluxo laminar inteiramente deenvolvido em tubo de diferente ecçõe tranverai. O número de Reynold e de Nuelt para o fluxo nete tubo, baeiam-e no diâmetro hidráulico D h 4A c /p, onde a A c é a área ecção tranveral do tubo e p é o eu perímetro. Uma vez que o número de Nuelt eja conhecido, o coeficiente de tranferência de calor por convecção é determinado de h knu/d h. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 58

59 Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 59 Número de Nuelt e coeficien nte de fricção para o fluxo laminar plenamente deenvo olvido em tubo de diferente ecçõe tranverai

60 8.5.6 Fluxo laminar plenamente deenvolvido Para um tubo circular comprimento na Região L ujeito a temperatura de entrada contante na uperfície, o número médio de Nuelt na região de entrada térmica pode er determinado de: ( D L) Re Pr [( D L) Re Pr] 2 3 0,065 Região de entrada laminar Nu 3,66 + (8.60) 1+ 0,04 Quando a diferença entre a temperatura t da uperfície e do fluído é grande, é neceário tomar em conta a variação da vicoidade com a temperatura. O número médio de Nuelt para o fluxo laminar plenamente deenvolvido num tubo circular pode er determinado de: 1 3 0,14 μ b (8.61) Re Pr D Nu 1,86 L μ O número médio de Nuelt para a região térmica de entrada do fluxo entre placa paralela iotérmica de comprimento L é expreo por: Nu 0,03, , L ( Dh L) Re Pr Re [ ( D h L ) Re Pr ] (8.62) 7 3 Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 60

61 8.6 Fluxo Turbulento em Tubo Para tubo lio, o coeficiente de fricção em ecoamento turbulento pode er determinado da primeira equação explícita de Petukhov f ( 0, 790 ln Re 1 64 ) 10 < Re < 10, (8.63) O número de Nuelt em fluxo turbulento é relacionado ao coeficiente de fricção pela analogia de Chilton-Coburn Nu 0,125 f 1 Re Pr 3 (8.64) Para o fluxo turbulento plenamente deenvolvido em tubo lio, uma relação imple para o número de Nuelt pode er obtida ubtituindo a relação imple exponencial f Re -0.2 do coeficiente de fricção na Equação Nu 0,023Re 0,8 Pr 1 3 chamada equação de Colburn 0,7 Pr 160 Re > (8.65) Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 61

62 8.6 Fluxo Turbulento em Tubo A precião da equação de Colburn pode er melhorada modificando-a para a forma: Nu 0,8 n 0,023Re Pr (8.66) onde n 0,4 para o aquecimento e 0,3 para o arrefecimento do fluído que ecoa pelo tubo. Eta equação é conhecida como a equação de Dittu- Boelter [ Dittu e Boelter (1930)] e é mai uual que a equação de Colburn. A propriedade do fluído ão avaliada na temperatura média do fluido T b (T i + T e )/2. Quando a diferença da temperatura entre o fluído e a parede é muito grande, pode er neceário uar um factor da correcção para ter em conta a diferença da vicoidade perto da parede e no centro do tubo. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 62

63 8.6 Fluxo Turbulento em Tubo A relaçõe do número de Nuelt acima apreentada ão razoavelmente imple, ma podem dar erro de até 25 por cento. Ete erro pode er reduzido d conideravelmente a meno de 10 por cento uando relaçõe mai complexa ma mai exacta tai como a egunda equação de Petukhov expreada como Nu ( f 8) 0,5 Pr 2000 Re Pr, ( f ) ( ) Pr 1 10 < Re < , ,7 f (8.67) A precião deta relação em número baixo de Reynold é melhorada modificando-a a para [ Gnielinki (1976)] Nu ( f 8)( Re 1000) Pr 0,5 Pr 2000,5 3 + ( ) ( ) 0 3, 12,7 f 8 Pr < Re < 5 10 (8.68) 6 1,07 ( ) ( ) Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 63

64 8.6 Fluxo Turbulento em Tubo A relaçõe apreentada não e aplicam ao metai fluído por caua de eu número de Prandtl muito baixo. Para metai fluído (0.004 < Pr < 0.01), ão recomendada a eguinte relaçõe por Sleicher e por Roue para 10 4 < Re < 10 6 : Metai líquido T contante Nu + 0,85 0,93 4,8 0,0156 Re Pr (8.69) Nu + 0,85 0,93 6,3 0,0167 Re Pr Metai líquido q contante (8.70) onde o ubcrito indica que o número de Prandtl deve er avaliado a temperatura da uperfície. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 64

65 8.6.1 Superfície Rugoa Toda a irregularidade ou apereza na uperfície perturbam a ubcamada laminar, e afectam o fluxo. Conequentemente, ao contrário do fluxo laminar, o factor de fricção e o coeficiente i de convecção no fluxo turbulento ão grande funçõe da apereza de uperfície. O coeficiente de fricção no fluxo turbulento plenamente deenvolvido depende do número de Reynold e da apereza relativa ε/d. Em 1939, C. F. Colebrook combinou todo o dado do factor de fricção para o fluxo traniente e turbulento tubulaçõe lia como também ápera na eguinte relação implícita abida como a equação de Colebrook. 1 ε D 2,0 log f 3,7 + 2,51 Re f (fluxo turbulento) (8.71) Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 65

66 8.6.1 Superfície Rugoa A equação de Colebrook é implícita para f, aim a determinação do coeficiente i de fricção requer tedioa iteraçõe, a meno que eja uado um olver. Uma relação explícita aproximada para f foi dada por S. E. Haaland em 1983 : 1 6,9 ε D 1,8log + f Re 3,7 1,11 (8.72) Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 66

67 8.6.1 Superfície Rugoa O coeficiente de fricção é mínimo para a tubulaçõe lia e aumenta com o grau de rugoidade da mema. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 67

68 8.6.2 Fluxo Turbulento Plenamente Deenvolvido na Região de Entrada O comprimento de entrada para o fluxo turbulento ão tipicamente curto, frequentemente ão apena 10 diâmetro do tubo, e aim o número de Nuelt determinado para o fluxo turbulento plenamente deenvolvido, pode er uado por aproximação para todo o tubo. Eta aproximação imple dá reultado razoávei para a perda de preão e tranferência de calor em tubo longo e reultado conervadore para o curto. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 68

69 8.6.2 Fluxo Turbulento Plenamente Deenvolvido na Região de Entrada No fluxo turbulento, o perfil de velocidade é quae uma linha recta na região central, e todo o gradiente ignificativo da velocidade ocorrem na ubcamada vicoa. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 69

70 8.6.3 Fluxo atravé do Anulo de um Tubo Algun equipamento imple de tranferência de calor conitem em doi tubo concêntrico, e ão chamado de trocadore de calor de tubo duplo. Em tai dipoitivo, um fluído corre atravé do tubo quando o outro atravé do epaço anular. Conidere-e um anulo concêntrico de diâmetro interno D i e externo D e. O diâmetro hidráulico do anulo é: Dh 4Ac p 4π π 2 2 ( D D ) o o i ( D + D ) o i i D D (8.73) Quando o número de Nuelt é conhecido o coeficiente de tranferência de calor por convecção determina-e de: hi Dh Nu i e Nu o k h o D k h (8.74) Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 70

71 8.6.3 Fluxo atravé do Anulo de um Tubo Trocador de calor de tubo duplo que conite em doi tubo concêntrico. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 71

72 8.6.3 Fluxo atravé do Anulo de um Tubo O fluxo anular etá aociado a D doi número de Nuelt:Nu i /D o Nu i Nu o i para a uperfície interior do tubo 0,00 3,66 enu o para a uperfície exterior, 0,05 17,46 4,06 uma vez que pode envolver a tranferência de calor em amba 0,10 11,56 4,11 a uperfície. O número de 0,25 7,37 4,23 Nuelt para o fluxo laminar plenamente deenvolvido, com 0,50 5,74 4,43 uma uperfície iotérmica e adiabática encontram-e apreentado na tabela. 1,00 4,86 4,86 Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 72

73 8.6.3 Fluxo atravé do Anulo de um Tubo Para melhorar a precião do número de Nuelt obtido da relaçõe para o fluxo anular, Petukhov eoroi Roizen recomendam multiplicá-lo pelo eguinte factore de correcção, quando uma da parede do tubo é adiabatica ea tranferência de calor faz-e atravé da outra parede: 0,16 i Fi Parede externa adiabática (8.75) o D 0,86 D 0,16 Di F 0,86 Parede interna adiabática o (8.76) Do Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 73

74 8.6.4 Aumento Da Tranferência De Calor O tubo com uperfície ápera têm coeficiente de tranferência de calor muito mai elevado que o tubo com uperfície lia. Conequentemente, a uperfície do tubo ão frequentemente intencionalmente tornada ápera, por meio de etria ou alheta a fim de aumentar o coeficiente de tranferência de calor por convecção e aim a taxa de tranferência de calor por convecção. Conegue-e um aumento de até de 400 por cento na tranferência de calor, num fluxo turbulento, em um tubo tornando ápera a ua uperfície. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 74

75 8.6.4 Aumento Da Tranferência De Calor Tornar ápera a uperfície, naturalmente, aumenta também o coeficiente de fricção e aim a potência da bomba ou o ventilador. O coeficiente de tranferência de calor por convecção pode também er aumentado introduzindo: um fluxo pulante por meio de geradore de impulo, ou um redemoinho introduzindo uma fita adeiva torcida no tubo Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 75

76 8.6.4 Aumento Da Tranferência De Calor A uperfície do tubo ão frequentemente tornada rugoa ou alhetada a fim de aumentar a tranferência de calor por convecção. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 76