3 Análise Envoltória de Dados

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1 3 Anále Envoltóra de Dado 3.. Introdção A prodção de qalqer be o ervço é realzada edante a tecnologa qe tranfora connto de no (npt) e connto de prodto (otpt). A dvera anera de efetar eta tranforação fora o Connto de Pobldade de Prodção (CPP), confore ltrado na Fgra 6, para o cao de ndade de tpo de no er tlzado na prodção de ndade de tpo de prodto. prodto (Y) =f() C Contração do no B Epanão do prodto A no (X) Fgra 6: Connto de Pobldade de Prodção e frontera de prodção a Fgra 6, qalqer ponto (,) CPP ndca a anera tecnologcaente vável de tranforar a qantdade de no e a qantdade de prodto. o entanto, devdo à retrçõe de natreza tecnológca, o CPP é ltado pela fnção frontera de prodção ( =f() ), qe ndca a áa qantdade de prodto qe pode er obtda a partr de a qantdade fa de no, o anda, o íno vole de no neceáro para deternado nível de prodção. Portanto, para a tecnologa dada, a frontera de prodção caracterza o íno connto de npt neceáro para prodzr qantdade fa de otpt

2 3 Anále Envoltóra de Dado 54 (orentação egndo a ótca do no o orentação à npt), o de fora análoga, a frontera de prodção caracterza a áa prodção poível dada a qantdade fa de no (orentação egndo a ótca do prodto o orentação à otpt). a defnção de Pareto-Koopan (n & eza, ), proceo de prodção é tecncaente efcente e ncreento na qantdade de qalqer prodto, reqer ncreento na qantdade de alg no o a redção da qantdade de otro prodto. De fora análoga, proceo de prodção é tecncaente efcente e a redção na qantdade de qalqer no reqer o ncreento na qantdade de otro no, para anter o eo nível de prodção, o a redção na qantdade de alg prodto. A, todo prodtor localzado na frontera é clafcado coo tecncaente efcente, enqanto o prodtore no nteror do CPP ão conderado tecncaente nefcente. Por eeplo, na Fgra 6, o prodtor A é tecncaente nefcente, enqanto o prodtore B e C ão tecncaente efcente. O prodtor A é nefcente, po co a ea qantdade de no pode-e obter a prodção gal a do prodtor B, peror a prodzda e A. De fora análoga, o nível de prodção e A pode er obtdo co a qantdade de no gal a do prodtor C, enor qe a ada e A. A frontera de prodção fncona coo a referênca, e otra palavra, benchar contra o qal copara-e o deepenho de dferente prodtore o DU (Decon ang Unt) qe ata no eo egento da ndútra. Coparando-e a DU co a fnção frontera pode-e dcrná-la e da categora: efcente e nefcente. O devo e relação à fnção frontera reflete falha na otzação da prodção. Ito gere qe a efcênca relatva de prodtor pode er avalada pela dtânca dele e relação a frontera, confore a étrca radal propota por Debre (95). Eta étrca é núero no ntervalo [,] e o prodtor é conderado efcente e a étrca ae valor ntáro, cao contráro ele é conderado nefcente. a prátca não e conhece plenaente o CPP, portanto, a frontera é deconhecda e a efcênca de cada prodtor não pode er avalada dretaente (Cherche & Pot, ). De fato, o poco dado dponíve lta-e à

3 3 Anále Envoltóra de Dado 55 obervaçõe acerca da qantdade e preço de no e prodto de a aotra de prodtore qe ata no eo egento da ndútra. Condere a tecnologa de prodção qe tranfora vetor co tpo de npt X={,..., } R S + e vetor co tpo de otpt Y ={,..., } R +. Eta tecnologa pode er repreentada pelo connto de pobldade de prodção, defndo coo : T(X,Y) = { (X,Y) é vável tranforar X e Y } (3.) Sob o enfoqe de conervação de recro (orentação ao no), defne-e a edda de efcênca técnca (θ) de a DU (X,Y) coo endo a áa contração radal do vetor de no qe perte prodzr a ea qantdade de prodto,.e.: Efcênca = n { θ (θ X,Y) T(X,Y) } (3.) E 3., θ pode ar valor enor o gal a ndade. U valor ntáro ndca qe não é poível redzr a qantdade de no e anter a ea prodção. ete cao a DU ta-e na frontera efcente. Cao contráro, qando θ <, há eceo de no qe deve er redzdo e, portanto, condera-e a DU tecncaente nefcente. o enfoqe co orentação ao prodto, a edda de efcênca eprea a áa epanão radal da prodção para a qantdade fa de no, endo defnda coo: Efcênca = a { θ (X, θ Y) T(X,Y) } (3.3) ete cao, θ é aor o gal à ndade. U valor ntáro para θ ndca qe a DU localza-e na frontera efcente e qe o aento da prodção ó é poível edante aento na qantdade de no. Qando θ é aor qe a ndade, a DU é nefcente, po a prodção ta-e abao do nível defndo pela frontera efcente, podendo er epandda até ete nível.

4 3 Anále Envoltóra de Dado 56 Co bae no reltado anterore e adtndo a hpótee de rendento contante de ecala e tecnologa convea Charne et al. (978) propera o prero odelo DEA, conhecdo coo CCR o CRS (Contant Retrn of Scale). ete odelo a efcênca é forlada coo Problea de Prograação near (PP), onde a fnção obetvo é a áa contração do no (orentação ao no) o a áa epanão da prodção (orentação ao prodto) e a retrçõe do problea repreenta o CPP. Poterorente, Baner et al. (984) adconara a cobnação convea coo retrção no odelo CRS, crando odelo qe contepla a hpótee de rendento varáve de ecala, conhecdo coo BCC o VRS (Varable Retrn of Scale). Ua caracterítca do odelo BCC é qe a DU qe tlza a enor qantdade de alg no, o prodze a aor qantdade de alg prodto, ão conderada efcente. 3.. odelo DEA na verão envelope A egr, na Tabela 8 apreenta-e o do odelo na forlação envelope egndo a orentação ao no, onde é o total de DU analada e o par (X,Y) repreenta o vetore de no e prodto da -éa DU, =,. Tabela 8: odelo co orentação ao no na forlação envelope odelo DEA/CRS odelo DEA/VRS efcênca DU = n θ (3.4) efcênca DU = n θ (3.5).a..a. λ = λ = θ X X Y Y λ =,...,,..., + retrçõe + varáve λ = λ = θ X X Y Y = λ = λ =,...,,..., ++ retrçõe + varáve Denotando a olção óta do odelo 3.4 e 3.5 por (θ*,λ*,..., λ* ), a DU é efcente, e e oente e, θ*= e toda a folga na retrçõe ão

5 3 Anále Envoltóra de Dado 57 nla na olção óta. Cao contráro, qando θ*< o θ*=, poré co folga potva, a DU é nefcente. Se a DU é nefcente, alga da DU analada ão tecncaente efcente. Eta DU etão aocada ao coefcente λ* > =, e fora o connto de referênca (peer et) da DU, o ea, ão o benchar da DU avalada. Para eeplfcar a dentfcação do benchar, condere a frontera de efcênca VRS na Fgra 7, onde a DU nefcente A é proetada na frontera forada pela cobnação lnear da DU efcente B e C ( λ + λ, λ + λ ), defnda coo o do benchar para a DU A. B B C C B B C C Otpt Proeção na frontera Inpt Fgra 7: Proeção na frontera de efcênca Coparando-e a edda de efcênca do odelo CRS e VRS, repectvaente, * CRS θ e θ VRS *, prova-e qe θvrs * θ CRS *. Coo otra Cooper et al. (), a edda de efcênca do odelo CRS ede a efcênca técnca global e pode er eprea coo o prodto de da coponente: a efcênca técnca pra ( θ VRS * ) e a efcênca de ecala. Efcênca Efcênca = técnca global técnca pra ( θ ) ( θ ) * CRS * VRS Efcênca de ecala (3.6) θ θ * CRS * VRS Da eqação 3.6 te-e qe a efcênca de ecala é dada pela razão * / θ VRS. Ua DU erá efcente e ecala oente qando θ CRS * = e =, nete cao, a DU etá operando na ecala óta.

6 3 Anále Envoltóra de Dado 58 * Qando θ CRS * / θ VRS < a DU é nefcente e ecala e etá operando fora da ecala óta. Ua DU qe eceda a ecala óta va apreentar rendento decrecente e ecala, enqanto qe a DU enor qe a ecala óta opera co rendento crecente e ecala odelo DEA na verão do ltplcadore Qando a DU tranfora ndade de tpo de no e ndade de tpo de prodto, a a efcênca pode er avalada pelo qocente de prodtvdade total /. A generalzação, para o cao co últplo no e últplo prodto, conte e calclar o egnte qocente: + + K+ efcênca = v + v + K+ v U Y = V X = prodto vrtal no vrtal (3.7) onde o vetore V=( v, v,..., v ) e U=(,,..., ) denota, repectvaente, o peo atrbído à qantdade de no e prodto. A ecolha da ponderaçõe do no e do prodto pode er efetada co o aílo de epecalta, entretanto, ete procedento ntrodz alga arbtraredade na deternação da efcênca. Para evtá-la, Charne et al. (978) gere qe o vetore U e V ea obtdo por eo do egnte problea de prograação ateátca, onde a fnção obetvo é a efcênca da DU avalada (DU ): θ = a, v, (3.8).a. v =,...,,..., =, v =, A forlação aca é ntereante, po perte nterpretar faclente a efcênca de a DU coo endo a razão entre o prodto vrtal e o no

7 3 Anále Envoltóra de Dado 59 vrtal. Entretanto, o problea de prograação ateátca e 3.8 é problea de otzação fraconára co nfnta olçõe poíve. Eta tação é contornada adconando-e a retrção v no, = problea 3.8. O reltado é o PP e 3.9, conhecdo coo odelo CRS na forlação do ltplcadore. Tabela 9: odelo orentado ao no na forlação do ltplcadore odelo DEA/CRS θ = a, (3.9).a. v, = v =,...,,..., =, v =, + retrçõe + varáve odelo DEA/VRS θ = a, + (3.).a. v, = + v =,...,,..., =, v =, + retrçõe ++ varáve o PP 3. a varável é rretrta e nal e ndca e o rendento é decrecente ( >), contante ( =) o crecente ( <) e ecala. Denotando a olção óta de 3.9 e 3. por (θ*, *,v*), a DU é conderada efcente, e e oente e, θ*= e todo o eleento de * e v* ão potvo. Cao contráro, qando θ*< o qando θ*=, poré co eleento nlo e * e v*, a DU é conderada nefcente. O peer et de a DU nefcente é forado pela DU aocada à retrçõe de degaldade, atva na olção óta: v = = v (3.) E Cooper et al. () otra-e qe o PP 3.9 é o dal do PP 3.4, enqanto o PP 3. é o dal do PP 3.5, portanto, o odelo na forlação do ltplcadore é o dal da forlação envelope.

8 3 Anále Envoltóra de Dado 6 Recoenda-e qe o núero de DU ea pelo eno o trplo do núero de varáve no e prodto (Cooper et al., ). Portanto, é coptaconalente a atraente reolver a verão envelope, ao nvé da verão do ltplcadore. Otra vantage da verão envelope é o fato dela dentfcar faclente o connto de referênca da DU nefcente, o eceo no no e a ecaez no prodto odelo DEA co orentação ao prodto o odelo co orentação ao no a edda de efcênca (θ) é enor o gal a ndade, ndcando a áa redção na tlzação do no, antendo fa a qantdade do prodto. De anera análoga, e odelo co orentação ao prodto, a edda de efcênca é aor o gal a ndade, ndcando a áa epanão da prodção, antendo fa a qantdade do no. Da ea fora qe na orentação ao no, no odelo co orentação ao prodto θ ae valor ntáro apena qando a DU é efcente, ndcando qe nete cao não há pobldade de epanão do prodto, antendo-e fa a qantdade de no. A egr, na Tabela apreenta-e o odelo CRS e VRS co orentação ao prodto, abo na verão envelope. Tabela : odelo co orentação ao prodto na verão envelope odelo DEA/CRS efcênca DU = a θ (3.).a. λ = X X λ = θ Y Y λ =,...,,..., + retrçõe + varáve odelo DEA/VRS efcênca DU = a θ (3.3).a. λ = X X λ = θ Y Y = λ = λ =,...,,..., ++ retrçõe + varáve

9 3 Anále Envoltóra de Dado 6 Denotando a olção óta do odelo 3. e 3.3 por (θ*,λ*,..., λ* ), a DU é efcente, e e oente e, θ*= co toda a folga nla. Cao contráro, qando θ*> o θ*=, poré co folga potva, a DU é nefcente. O connto de referênca (peer et) é forado pela DU aocada ao coefcente λ* > =,. A egr, na Tabela apreenta-e o odelo CRS e VRS co orentação ao prodto, na verão do ltplcadore. Tabela : odelo co orentação ao prodto na verão do ltplcadore odelo DEA/CRS θ = n v, (3.4).a., = v =, =, v =, + retrçõe + varáve odelo DEA/VRS θ = nv, + v (3.5).a, = v v =, =, v =, + retrçõe ++ varáve o PP 3.5 a varável v é rretrta e nal e ndca e o rendento é decrecente (v >), contante (v =) o crecente (v <) e ecala. Denotando a olção óta de 3.4 e 3.5 por (θ*, *,v*), a DU é conderada efcente, e e oente e, θ*= e todo o eleento de * e v* ão potvo. Cao contráro, qando θ*> o qando θ*=, poré co eleento nlo e * e v*, condera-e a DU nefcente. O peer et é forado pela DU aocada co a retrçõe qe atfaze a galdade Retrçõe ao peo a verão do ltplcadore, o odelo DEA atrb connto de peo à varáve no e prodto dtnto para cada DU analada. a forlação orgnal, o odelo DEA bca connto de peo qe aze a edda de efcênca da DU analada e qe tabé ea vável ob a ótca de toda a

10 3 Anále Envoltóra de Dado 6 DU, o ea, para toda a DU o connto de peo defne índce de efcênca enore o ga à ndade na orentação ao no e aore o ga à ndade na orentação ao prodto. a forlação orgnal o odelo DEA perte total flebldade na eleção do peo, endo pota apena retrçõe de não negatvdade e de vabldade ob a ótca da DU. O odelo não ncorpora nenha nforação adconal obre a portânca do no e prodto, e obre a relaçõe entre eta varáve. Coo coneqüênca, o odelo pode atrbr ponderaçõe aore para varáve de enor portânca o gnorar varáve relevante co a atrbção de peo nlo para eta varáve, deta fora, a DU conderada a pror coo nefcente, pode er clafcada coo efcente pelo odelo DEA. o entanto, há taçõe na qa e te alga nforação adconal, por eeplo, a percepção a pror obre a DU efcente e nefcente, o anda, a portânca relatva da varáve. Eta nforaçõe pode er nclída no odelo DEA por eo da poção de lte entre o qa o peo pode varar. n & eza () e Cooper et al. () apreenta váro enfoqe para nclão da retrçõe ao peo. Realta-e qe o índce de efcênca obtdo pelo odelo co retrçõe ao peo (odelo aentado) ão enore o ga ao obtdo pela forlação e eta retrçõe. A egr, apreenta-e a dferente abordagen para a ntrodção da retrçõe ao peo: retrçõe dreta no peo, étodo da regão de egrança, étodo cone rato e retrçõe no no e prodto vrta Retrçõe dreta ao peo Ete é o enfoqe a óbvo para a nclão da retrçõe ao ltplcadore (v, ) (n & eza, ) e caracterza-e por nclr a egnte retrçõe ao odelo orgnal: para o peo do no: npt v U (3.6) npt para o peo do prodto: otpt U (3.7) otpt

11 3 Anále Envoltóra de Dado 63 onde e U ão contante qe repreenta o lte poto ao ltplcadore da varáve no e prodto. U nconvenente deta retrçõe é qe ela pode reltar e problea de prograação lnear nvável. ete cao, o lte deve er relaado até qe a vabldade ea atngda. A dependênca do peo co a ndade de edda da varáve no/prodto dfclta a atrbção de gnfcado à retrção (Sollero & n, 4) Regão de egrança Conhecda coo arance regon ethod, eta abordage conte e adconar a egnte retrçõe ao odelo orgnal: v (3.8) npt npt, U, v (3.9) otpt otpt, U, onde e U ão o lte para o valore qe a razõe v /v e / pode ar. De cada retrção aca derva-e da retrçõe, confore a egr: npt v, v (3.) npt v vu, (3.) otpt, (3.) otpt U, (3.3) Tabela : odelo DEA co a retrçõe da regão de egrança odelo DEA/CRS ltplcador a T (3.4),v odelo DEA/CRS envelope n θ (3.5) θ, λ, π, τ.a. v T =.a. θ Xλ Pπ T T X + Y Yλ + Qτ v v T P λ T Q ; v ; π ; τ

12 3 Anále Envoltóra de Dado 64 A nclão da retrçõe 3. a 3.3 aenta o odelo DEA orgnal, confore ltrado na Tabela para o cao de odelo DEA/CRS, co orentação ao no, na verõe do ltplcadore e envelope, ecrta egndo a notação atrcal. o PP 3.4 e 3.5, v T =(v,...,v ) é o vetor co o peo do no; T =(,..., ) é o vetor co o peo do prodto; T =(,,...,, ) e T =(,,...,, ) ão, repectvaente, o vetore co a qantdade do no e do prodto da DU avalada; X é a atrz de denão ( é o total de DU), ca colna ão o vetore de no da DU, e Y é a atrz de denão, ca colna ão o vetore de prodto da DU. A retrçõe qe copõe a regão de egrança etão na atrze P e Q, ecrta e fnção do lte da retrçõe 3.8 e 3.9 repectvaente: npt npt npt npt npt npt, U,,3 U,3,4 U,4 P = (3.6) otpt, Q = U otpt, otpt,3 U otpt,3 otpt,4 U otpt,4 (3.7) Para ltrar a nflênca do étodo da regão de egrança na frontera de efcênca, condere o eeplo apreentado e Cooper et al. (), onde copara-e a DU apreentada na Tabela 3, caracterzada por do tpo de no e únco tpo de prodto.

13 3 Anále Envoltóra de Dado 65 Tabela 3: Dado do eeplo (Cooper et al., ) DU A B C D E F Ino X X Prodto Y A egr, apreenta-e a retrçõe a de odelo DEA/CRS e a repectva DU aocada, ecrta e fnção da razõe v / e v /: (DU A ) v + 3v 4 (DU B ) v + 3v 7 (DU C ) v + v 8 (DU D ) v + v 4 (DU E ) v + 4v (DU F ) v + v 4v + 3v 7v + 3v 8v + v 4v + v v + 4v v + v v v (3.8) v v (3.9) v v 8 + (3.3) v v 4 + (3.3) v v + 4 (3.3) v v + (3.33) Dpondo a retrçõe aca e dagraa, pode-e valzar a regão vável (P) no epaço defndo pela razõe v / e v /, confore ltrado na Fgra 8. Fgra 8: Regão vável P A poção de a retrção do tpo,5 v v plca na adção de da retrçõe ao odelo DEA/CRS:, v e v. Eta v 5 v

14 3 Anále Envoltóra de Dado 66 retrçõe adcona redze a regão vável, confore ltrado pelo cone na Fgra 9, forando a regão de egrança. Fgra 9: Regão de egrança étodo do Cone Rato Trata-e de a generalzação da regão de egrança. O peo do no ão retrto por cone conveo defndo por vetore a (=,...,), confore ltrado pela Fgra para o cao de da denõe. Fgra : Cone conveo (V) gerado pelo vetore a e a A, o connto de peo pode er epreo pela cobnação lnear do vetore qe defne o cone conveo: V = a = A = T co ( ) (3.34) T T onde é o núero de no, A = ( a,..., a ) R e (,..., ) =.

15 3 Anále Envoltóra de Dado 67 De fora eelhante, o peo dado ao prodto pode er retrto por cone conveo defndo por l vetore b (=,...,l): l U = b = B = T co ( ) (3.35) T T onde é o núero de prodto, B = ( b,..., bl ) R e (,..., l ) =. A regão de egrança é cao partclar do étodo cone rato. Oberve qe a retrção do tpo, v v U, correponde a eleção do egnte vetore a e a qe fora a atrz A: a T = (, ) ( U ) K a T =, K A T = [ a a ] (3.36) A ecolha do vetore qe fora o cone (a e b ) pode er efetada a partr de alg conhecento a pror da razõe entre o peo. Otra anera, batante al, conte e reolver odelo DEA e a verão orgnal, ecolher a DU entre a efcente e defnr o vetore a e b coo endo o vetore de peo e v da DU eleconada. a forlação orgnal do odelo DEA, o peo do no e do prodto etão retrto ao ortante potvo, repectvaente, + = R V e + U = R. o étodo cone rato, a nclão da retrçõe conte e retrngr o peo ao cone conveo V = A T e U = B T, defndo e 3.34 e A nclão deta retrçõe é efetada por eo de a tranforação do odelo DEA orgnal, confore ltrado na Tabela 4 para o cao de odelo DEA/CRS co orentação ao no. Tabela 4: odelo DEA orgnal e aentado pela retrçõe tpo cone-rato odelo DEA/CRS orgnal a T (3.37),v.a. =, odelo DEA/CRS aentado T B (3.38) a ( ) v T.a. T ( ) A = v T X + Y T AX + v V = R + U = R T T ( ) ( BY ) +

16 3 Anále Envoltóra de Dado 68 o odelo apreentado na Tabela 4, v T =(v,...,v ) é o vetor co o peo do no; T =(,..., ) é o vetor co o peo do prodto; T =(,,...,, ) e T =(,,...,, ) ão, repectvaente, o vetore co a qantdade do no e do prodto da DU avalada; X é a atrz de denão ( é o total de DU), ca colna ão o vetore de no da DU, e Y é a atrz de denão, ca colna ão o vetore de prodto da DU. Oberve qe o odelo 3.37 e 3.38 eqvale à aplcação de odelo DEA obre o valore tranforado do no (AX) e do prodto (BY), co peo a ere deternado ão e repectvaente Retrçõe no no e prodto vrta O prodto entre, a qantdade de no e a DU, e e repectvo peo v,.e. v, defne a grandeza denonada no vrtal. Da ea fora, defne-e o prodto vrtal coo endo gal ao prodto, onde denota o nível de prodção do prodto na DU e o e repectvo peo. Eta grandeza avala a contrbção de no o de prodto na fnção obetvo de odelo DEA (Avellar et al., ). Defne-e o no total vrtal tlzado por a DU coo a oa de todo o e no vrta: Ino total vrtal da DU = v (3.39) Da ea fora, o prodto vrtal total prodzdo por a DU é a oa do e prodto vrta: Prodto total vrtal da DU = = (3.4) Confore ltrado a egr, a retrçõe no no e prodto vrta retrnge a proporção de cada no vrtal (,) o prodto vrtal (=,) no tota vrta da DU.

17 3 Anále Envoltóra de Dado 69 Retrção ao no vrtal v φ δ v φ v = v δ v v (3.4) Retrção ao prodto vrtal = = = (3.4) a retrçõe aca φ, δ, e ão contante ecolhda prevaente e repreenta o lte da proporção do no e do prodto vrta no total vrtal da DU. Oberve qe para cada retrção ao vrta ão dervada da retrçõe a ere adconada ao odelo DEA. n & eza () apreenta vára alternatva para a plantação da retrçõe ao vrta: Adconar retrçõe ao vrta oente para a DU avalada Adconar retrçõe ao vrta e toda a DU Adconar retrçõe ao vrta, conderando o valore édo do no e do prodto na DU: v = φ δ v = = (3.43) onde = e = = = = (3.44) ão, repectvaente, a éda do no e do prodto na DU analada.

18 3 Anále Envoltóra de Dado 7 Da ea fora qe na regão de egrança, a nclão da retrçõe ao vrta aenta o odelo DEA orgnal, confore o odelo apreentado na Tabela 5. Tabela 5: odelo DEA co retrçõe ao no e prodto vrta odelo DEA/CRS ltplcador odelo DEA/CRS envelope,v a T (3.45) τ π λ θ,,, n θ (3.46).a. = v T.a. π λ θ P X + Y X v T T τ Yλ Q + vp λ Q ; v ; π ; τ A dferença entre a da fora de nclão da retrçõe rede na contrção da atrze P e Q. o cao da retrçõe ao vrta, eta atrze paa a nclr tabé o níve da varáve no e prodto, confore ltrado abao para o cao de retrçõe qe condera o níve édo deta varáve, denotado por S,...,,,...,. ( ) ( ) ( ) ( ) = S S S S P δ φ δ φ δ φ δ φ δ φ δ φ δ φ δ φ δ φ δ φ (3.47) ( ) ( ) ( ) ( ) = Q (3.48)

19 3 Anále Envoltóra de Dado Alocação de recro baeada e DEA eta eção apreenta-e o odelo, baeado e DEA, propoto por Korhonen & Sränen () para reolver o problea de alocação de recro, caracterzado por a ndade central qe deea otzar a alocação de recro e a dtnta ndade prodtva vando azar a prodção. A ntrodção da DEA na alocação de recro é ntereante, po perte conderar o CPP e o trade-off entre o no e o prodto. o entanto, eta ntrodção não é edata e alga odfcaçõe ão neceára, po e a forlação orgnal o odelo DEA não ncorpora da caracterítca do problea de alocação de recro: a preferênca do decor e a anále ltânea de toda a DU. Qando há a de obetvo, a alocação de recro é problea ltcrtéro. Ete problea não te olção únca, e Korhonen & Sränen () ncorpora a preferênca do decor por eo de odelo de prograação lnear ltobetvo e de odelo coptaconal (Pareto Race) qe perte ao decor localzar a alocação a convenente. Realta-e qe qando há apena obetvo, o problea pode er reolvdo por prograação lnear. A avalação ltânea da DU é ntrodzda por eo da nclão, e únco problea, da retrçõe do odelo DEA de cada a da DU analada. A alocação de recro baea-e na prátca corrente e por o tlzae o valore ata do no e do prodto na caracterzação do CPP. Ae-e qe a ndade prodtva pode odfcar e plano de prodção de acordo co certa regra qe repreenta retrçõe operacona e abenta. Se perda de generaldade, ae-e qe o no ão o recro a ere alocado e o prodto ão o obetvo a ere azado. atralente, o problea pode er forlado de otra fora, onde o no ão a varáve a ere nzada. A egr, te-e o odelo para alocação de recro, onde a ndade central deve decdr a alocação de ontante adconal de no (R) entre

20 3 Anále Envoltóra de Dado 7 a ndade prodtva qe tlza no (X) na prodção de prodto (Y), co o obetvo de azar a prodção total. a,, λ.a. DU DU DU DU, n =, n n +, λ n n para, (3.49) n= +, λ para =,... n= DU λ n= n n (3.5) +, λ n para, (3.5) +, λ n para =, (3.5) n=... n = n= (3.53) DU λ n = (3.54) n= λ n, para n=, (3.55)... λ n, para n=, (3.56) (3.57) DU,,, para =, DU,,, para =,... DU,,, para =, DU,,, para =, Onde, , R para =,,n é o ontante do -éo no adconado na n-éa DU,n é o ncreento do -éo prodto na n-éa DU (3.58) (3.59) (3.6) (3.6),n e,n ão parâetro fado pelo decor co a fnaldade de deltar ntervalo váve para a alocação de,n ndade adcona do -éo no na n-éa DU. R é ontante do -éo no a er alocado entre a DU

21 3 Anále Envoltóra de Dado 73 A retrçõe 3.49 até 3.56 ão a a de odelo DEA/VRS na verão envelope, a dferença é qe no odelo para alocação de recro há connto de retrçõe para cada DU, co dtnto coefcente λ, toda nclída ltaneaente e únco odelo. A retrçõe 3.57 até 3.6 controla o ncreento no no. Eta retrçõe eprea a preferênca e valore do decor. A retrção 3.6 controla o ncreento total, galando-o ao total de recro dponíve a ere alocado entre a DU. a alocação de recro é portante conderar a etênca de ltaçõe à dança na qantdade de no e prodto da DU. Ta ltaçõe plca e retrçõe adcona ao CPP. Ao gnorar eta retrçõe, decondera-e a poíve ltaçõe ao proceo de alocação de recro e adte-e qe a DU pode atngr qalqer ponto na frontera efcente. Por eo de eeplo ple, co apena no e prodto (problea co obetvo), Korhonen & Sränen () decreve da hpótee dtnta para a pobldade de dança na qantdade do no e prodto da DU: dança proporconal e todo o no e prodto. A dança não elhora a efcênca da DU. a prera hpótee, dança proporconal, adcona-e a egnte retrçõe ao CPP: δ,, (3.6) δ,, (3.63) onde δ = n =, ; =, ; + ; (3.64)

22 3 Anále Envoltóra de Dado 74 Eta retrçõe orenta a alocação de recro, de anera qe prero aloca-e a no na DU co aor prodtvdade argnal, até qe o repectvo lte peror ea atngdo o qe alga ltação pota pelo CPP ea alcançada (e o CPP ae a hpótee de rendento varáve de ecala - VRS). O retante do no é alocado na próa DU co aor prodtvdade argnal e a cevaente. a egnda hpótee, a dança na efcênca da DU é ltada pela egnte retrção: ( + ) θ λ,, (3.65) n= n, n onde θ (θ ) é o índce de efcênca da -éa DU, deternado por odelo DEA convenconal co orentação ao prodto. A retrção 3.65 btt a retrçõe 3.49 e 3.5 no odelo de alocação de recro. Co eta retrção a alocação de recro paa a depender da prodtvdade argnal na frontera, coo no cao anteror, e da nefcênca da DU.