Análise Envoltória de Dados. João Carlos Soares de Mello - UFF Lidia Angulo Meza - UFF Eliane Gonçalves Gomes - Embrapa Luiz Biondi Neto - UERJ
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- Catarina Pacheco Fernandes
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1 nálse Enoltóra de Dados João Carlos Soares de Mello - UFF Lda nglo Meza - UFF Elane Gonçales Gomes - Embrapa Lz Bond Neto - UERJ XXXVII Smpóso Braslero de Pesqsa Operaconal Gramado - 7 a 3 de setembro de 5
2 Meddas de desempenho alação de desempenho de ndades prodtas qe transformam recrsos em prodtos Meddas de desempenho Efcáca capacdade de a ndade prodta atngr a prodção qe tnha como meta Prodtdade qocente entre o qe fo prodzdo (otpt) e o qe fo gasto para prodzr (npt) saída Prodtd ade entrada
3 Meddas de desempenho Prodtdade Qando há múltplas aráes, há necessdade de agregá-las em índces úncos a e b são coefcentes de escala Como calclá-los? r r s s x b x b x b y a y a y a P......
4 Meddas de desempenho Efcênca Conceto relato Comparação entre o qe fo realzado (prodzdo/gasto) e o qe podera ter sdo realzado por ma ndade de referênca Métodos paramétrcos e não paramétrcos Métodos de medocrdade e de excelênca
5 Meddas de desempenho Regressão: método paramétrco de medocrdade Otlers são descartados Otpt Reta de regressão Inpt
6 Medda de excelênca Prodto C B S OS frontera de prodção; máxma prodção para cada níel de recrso Undades na frontera são tecncamente efcentes O Recrso B e C efcentes; nefcente Connto áel de prodção
7 Tpos de fronteras Otpt Inpt
8 Prodtdade X Efcênca Prodtdade Y/X Y C D B S nefcente C tecncamente efcente e de maor prodtdade Prodtdade dy/dx B efcente, mas não é mas prodta O X D mas prodta qe B, mas não é efcente
9 Orentação a recrsos Y B D P fx) (x) Em qanto os recrsos podem ser redzdos sem alterar a prodção C X Efcênca técnca B/P P (X P,Y P ) B (X B,Y B ) X B hx P h X B /X P B/P (,Y P )
10 Orentação a prodtos Y B D P f(x) Em qanto os prodtos podem ser amentados sem alterar os recrsos Efcênca técnca CP/CD C X Eqalente à anteror somente sob certas condções
11 Otras orentações y B D P f (x) Não sabemos calclar a efcênca C x efcênca é m etor?
12 npt, otpt y O (,Y O ) O (hx O,Y O ) α (X ef,y ef ) O (X O,Y O ) Y ef a X ef a Y ef /X ef a prodtdade da ndade efcente tg α Efcênca prodtdade de ma ndade comparada a de com ma ndade efcente Modelo CCR do enelope orentado a npt x O ' O " X X ef O O Ef O " O O Y / a X O Y X O a P P O ef
13 Mltdmensonal PPL Max ν o o Y X, ν o o Y X seto a ν o o o o ν Y X, o o Y X o o ν ν... r,... s,... n Fnção obeto sege o conceto de Farrell Restrções garantem qe é ma efcênca Será a mesma efcênca anteror? o o Y X o o Y X o o
14 Interpretação do modelo Charnes, Cooper e Rhodes, 978 Efcênca relata é o qocente entre soma ponderada dos otpts e soma ponderada dos npts Efcênca DMU Pesos são dados por m PPL de forma mas beneolente para cada DMU Modelo com proporconaldade alteração em ma aráel prodz alteração proporconal em otra aráel y x otpt rtal npt rtal
15 Caso partclar: npt, otpt PPL Max seto a Y X Y X O O Para calclar Y X Ef ef ef ν Y ef P P O ef / X ef P ef Neste caso partclar as das efcêncas concdem Demonstração geral sa daldade
16 Exemplo: npt, otpt DMU Inpt Otpt 3 4 B 4 C 6 nalsando a DMU B Só a últma restrção é ata (folga nla) Valor ótmo / /6 Efcênca de B 4/ /3 4 Max seto a ,
17 Modelo DE CCR Max s r, Eff seto y x a,, s r, y x,..., n Problema de programação fraconára Calcla os pesos para os npts e otpts ( e ) Undade ndade em análse Problema tem múltplas solções ótmas lnearzação
18 Modelo DE CCR Max r s, x Eff seto a y r s,, x y, Problema de Programação Lnear Modelo dos mltplcadores (determna connto de pesos e efcênca) DMU é CCR efcente se Eff* e exste ma solção ótma com * e * >
19 Exemplo DMU Inpt Inpt Otpt 4 3 B 6 5 C 3 4 D E 5 8 F 5 8
20 Exemplo,, seto a Max Eff,, seto a 5 Max Eff B
21 Exemplo Pesos DMU Inpt Inpt Otpt Efcênca (%),45,73,7 45,45 B,,33,, C,5,3,5, D,49,86,49 4,85 E,5,5,5, F,,,5,
22 Exemplo: narânca com escala DMU In p t In p t Otpt 4 3 B 6 5 C 3 4 D E 5 8 F 5 8 Pesos DMU In p t In p t Otpt E fcê n c a (% ),45,73,7 45,45 B,,33,, C,5,3,5, D,49,86,49 4,85 E,5,5,5, F,,,5,
23 Representação gráfca,5 D Inpt/Otpt,5,5 B C E F,5,5,5 Inpt/Otpút e D nefcentes; B, C e E efcentes; F parece efcente, mas menos efcente qe E; só consege efcênca com m peso zero
24 nálse de resltados B, C e E Pareto efcentes F fracamente efcente o não Pareto efcente Qalqer DMU em regão da frontera paralela aos exos tem a mesma desgnação B e E admtem otro esqema de pesos DMU E: para o npt e, para o npt Propredade é álda para todos os értces da frontera, chamados de DMUs extremo efcentes
25 Identfcação de DMUs fracamente efcentes DMU F fo dentfcada grafcamente Necessta-se de m método algébrco para problemas de maor dmensão Solção mpedr pesos zero Colocar restrção de qe e deem ser maores o gas a ε (número não arqmedano) Na prátca, número mto peqeno qe o software sado consga dstngr de zero
26 PPL não arqmedano para F,,, seto a 8 Max Eff F DMU Efcênca (%) Efcênca noa (%) 45,45 45,45 B,, C,, D 4,85 4,85 E,, F, 98,
27 Exemplo npts, otpt 4,5 4, E 3,5 3, B Inpt/Otpt,5,,5 D,,5 C F,,, 4, 6, 8,,, Inpt/Otpt
28 Modelo do Enelope Baseado na redção do npt, como sto anterormente Caso haa mas de m npt, aplca-se a redção de Debre, o sea, redção eqproporconal dmte-se qe se é possíel prodzr de forma efcente também é possíel prodzr de forma nefcente (amento de npts o redção de otpts) dmte-se qe não há restrção qanto à escala de operação (rao lmtado)
29 Modelo do Enelope Se é possíel prodzr de forma efcente m etor Y de otpts com m etor X de npts, então é possíel prodzr de forma efcente m etor Y de otpts com m etor X de npts Se é possíel prodzr de forma efcente m etor Y e Y de otpts com, respectamente, etores X e X de npts, é possíel prodzr de forma efcente Y Y Y otpts com X X X npts combnação lnear de m connto de DMUs áes é ma DMU áel
30 Modelo do Enelope Qalqer DMU efcente pode ser descrta como combnação lnear de m connto de DMUs efcentes qe contenha ma base (r s DMUs L.I.) Não sabemos qas são as efcentes todas as DMUs deem, à partda, entrar na combnação lnear
31 Modelo do Enelope Constrção de ma DMU áel a partr de DMUs exstentes por combnação lnear Pela nefcênca, DMUs maor npt e menor otp também são áes n n N n n N Y Y Y Y Y X X X X X n n N n n N Y Y Y Y Y X X X X X
32 Modelo do Enelope: redção de npts Noa DMU dee manter o mesmo otpt e redzr os npts eqproporconalmente por m coefcente h h X o X X... X... n X n Y o Y Y... Y... Y n n Desea-se qe a noa DMU tenha o menor npt possíel contnando áel, o sea, qe estea na frontera dee-se mnmzar h, mantendo-se as restrções de abldade DMU obtda dessa forma é chamada de alo da DMU anteror e é efcente
33 Modelo do Enelope: redção de npts Mn h seto a h X Y o o Y X Y X Y X Y h é a efcênca - Será a mesma do modelo dos mltplcadores? Qanto menor h, mas dstante a DMU está da frontera /h é m ndcato da dstânca da DMU da frontera, chamada dstânca de Shephard (apesar de não ser ma métrca) n n n X n
34 Exemplo DMU Inpt Inpt Otpt 4 3 B 6 5 C 3 4 D E 5 8 F 5 8
35 Exemplo seto a Mn F E D C B F E D C B F E D C B h h h seto a Mn F E D C B F E D C B F F E D C B F F h h h
36 Exemplo DMUs Efcênca h B C D E F Folga,4545,73,364 S F DMU é nefcente; alo é ma combnação lnear das DMUs C e E qe são os ses benchmars DMU F é efcente, mas não é o se própro alo é fracamente efcente fracamente efcente Soma dos lambdas pode não ser gal a
37 Daldade,, seto a Max Eff seto a Mn F E D C B F E D C B F E D C B h h h
38 Modelo DE CCR Modelo prmal Modelo dos Mltplcadores Determna connto ótmo de pesos (tradeoffs) nº de restrções nº de DMUs nº de aráes nº de npts nº de otpts Modelo dal Modelo do Enelope Menor nº de restrções - mplementação comptaconal mas fácl nº de restrções nº de npts nº de otpts nº de aráes nº de DMUs Determna qas ndades efcentes qe serem de referênca para as nefcentes (mx) e a efcênca
39 Modelos DE CCR/Inpts Otpt Frontera efcente B y Connto de possbldades de prodção x x Inpt
40 Resltados do modelo DE CCR Efcênca Pesos/mltplcadores Undades de referênca/benchmars Intensdade da contrbção de cada ndade de referênca na formação do alo los para npts/otpts Folgas para npts/otpts É mportante não só aalar, mas também promoer a efcênca, estabelecendo metas (amentar otpts, redzr npts o ambos)
41 Modelo DE BCC Modelo CCR Retornos constantes de escala Váldo para ndades operando em escala ótma Modelo BCC o VRS (Baner, Charnes e Cooper, 984) Sbstt o axoma da proporconaldade pelo axoma da conexdade, soma dos lambdas gal a Frontera côncaa e lnear por partes (pecewse lnear) mpropramente chamado retornos aráes de escala
42 Modelo DE BCC Otpt Frontera efcente C B y Connto de possbldades de prodção Inpt x x
43 Modelo DE BCC 6 Vendas q r s B C D E F G Modelo CCR Efcênca qr/qc Modelo BCC Efcênca qs/qc Empregados
44 Modelo DE BCC/I Modelo CCR/I Modelo BCC/I,, y y, x x h h n o n o o o seto a Mn y y x x h h n n o n o o o,,, a seto Mn
45 Exemplo DMU Inpt Inpt Otpt 4 3 B 6 5 C 3 4 D E 5 8 F 5 8
46 Exemplo seto a Mn F E D C B F E D C B F E D C B F E D C B h h h seto a Mn F E D C B F E D C B F E D C B F F E D C B F F h h h
47 Exemplo DMUs Efcênca BCC B C D E F Folga,7778,3333,6667 S,777 F S Efcêncas BCC são maores o gas qe as efcêncas CCR Obserar somatóro dos lambdas gal
48 Modelo DE BCC/I Enelope Mltplcadores y y x x h h o o o o,,, a seto Mn R * * *,,,, a seto Max y x x y Eff o o o
49 Exemplo R * * * * * * * *,, seto a Max Eff DMU,7778,,3333, *,5556
50 Modelo DE BCC/I Max seto a * R Eff y x, o * y,,, x Não há garanta de postdade dedo a * o o *
51 Modelo DE BCC/I otpt Hperplanos sporte x y * B C D * < * * > npt B tem mas de m hperplano sporte: qal escolher?
52 Orentação a otpts É possíel atngr a efcênca mantendo os npts constantes e mltplcando os otpts por m número h maor o gal a Neste caso, a efcênca é dada por /h dedção é feta no Modelo do Enelope Obtém-se o Modelo dos Mltplcadores por Daldade No modelo CCR as efcêncas ndependem da orentação; os otros resltados de DE dependem da orentação No modelo BCC todos os resltados de DE dependem da orentação
53 Orentação a otpts Otpt CCR y C y B BCC y x Inpt
54 Modelo DE CCR/O Enelope Mltplcadores y x y x Eff o o o,,,, a seto Mn y y h x x h o o o o,,, a seto Max
55 Modelo DE BCC/O Enelope Mltplcadores R * * *,,,, a seto Mn y x y x Eff o o o y y h x x h o o o o,,, a seto Max
56 Modelagem em DE Escolha do modelo Comparação de tamanho das DMUs Geometra da sperfíce de enelopamento dos dados, qe tem relação com as meddas de efcênca Proeções de efcênca, o sea, o camnho das DMUs nefcentes até a frontera de efcênca CCR, BCC etc. Orentação a npts, a otpts, não orentado etc.
57 Modelagem em DE Escolha do modelo: propredades dos modelos Inarânca com a escala de medda Melhor relação otpt e npt é efcente Maor otpt o menor npt: efcente no BCC BCC é narante a translações a otpt qando é orentado a npt e ce-ersa Escolha das DMUs Pré escolha das aráes
58 Software SID Sstema Integrado de poo à Decsão ( EMS ( DEP ( Fronter nalyst ( IDEL (
59 SID Sstema Integrado de poo à Decsão
60 SID Sstema Integrado de poo à Decsão
61 SID Sstema Integrado de poo à Decsão
62 SID Sstema Integrado de poo à Decsão
63 Modelos DE aançados Frontera Inertda Inersão dos npts com os otpts Representa ma são pessmsta em oposção a ma são otmsta do DE clássco Índce geral é a méda entre efcênca clássca e o complemento da efcênca nertda Bom índce sgnfca qe a DMU é bem aalada no qe é melhor e não é mal aalada no qe é por
64 Modelos DE aançados Restrções aos pesos DE é extremamente beneolente e pode ter pesos rreas Incorporação das preferêncas do decsor e/o opnão de especalstas Tpos Restrções dretas Razões de pesos Restrções à mportânca relata
65 Restrções dretas Max r s I O, x Eff seto a y Is r s Os,, x y, É dfícl saber o sgnfcado dos lmtes mpostos aos pesos Exste grande probabldade de o modelo fcar náel No modelo do enelope, cada restrção eqüale a ma aráel extra (mltplcador de Lagrange) Restrção dreta aos pesos eqüale a colocar folgas e excessos na fnção obeto do modelo do enelope
66 Razões dos pesos Max r s I O, x Eff seto a y r Is s Os,, x y, Restrções adconas ndcam qal peso dee ser maor e por qanto Menor problema de nabldade Faz comparação entre pesos em ez de lgamentos absoltos Em algns casos, a correta nterpretação das restrções exge préa normalzação das aráes
67 Restrções à mportânca relata Max φ α, x Eff seto a r s y r s x y o x r o y o s o,, x β y ρ, Restrções à mportânca relata de cada otpt e de cada npt na formação do otpt e npt rtal Exge mta nformação do decsor Pode ser sado nto com métodos mltcrtéro, por exemplo, MCBETH Inabldade: decdr a qem se aplcam as restrções
68 SID Sstema Integrado de poo à Decsão
69 plcações Descrção do problema Escolha do modelo, aráes, DMUs etc. Técncas sadas para contornar as defcêncas de DMU (restrções aos pesos, frontera nertda etc.)
70 Exemplo de aplcação I Companhas éreas (Soares de Mello et al., 3) Problemas Tpo de efcênca a ser medda Uso do modelo BCC colocaa a Varg efcente sem nenhma aalação Solções Três modelos dstntos: Vendas, Operaconal e Global mentar o número de DMUs grpos e anos dferentes Resltados aalação temporal e alos
71 Exemplo de aplcação I Combstíel Capacdade da frota com efcênca M, a DMU transforma em Passagero.Km oferecdo Pessoal de ôo com efcênca M3, a DMU transforma em Pessoal total Pessoal de endas com efcênca M, a DMU transforma em Passagero.Km pago
72 Exemplo de aplcação II alação edcaconal (Soares de Mello et al., 3) Programas da COPPE: DMUs Enfoqe de qaldade Varáes Inpts: Teses de Mestrado e Teses de Dotorado Otpts: Peródcos Naconas, Peródcos Internaconas, Congressos Naconas, Congressos Internaconas, Lros, Otros Restrções do tpo Razão dos pesos
73 Lros de DE COOPER, W.; SEIFORD, L.M.; ZHU, J. Handboo on Data Enelopment nalyss (Internatonal Seres n Operatons Research & Management Scence). Boston: Sprnger, 4. COOPER, W.W.; SEIFORD, L.M.; TONE, K. Data Enelopment nalyss: a comprehense text wth models, applcatons, references and DE-Soler Software. Boston: Klwer cademc Pblshers,. LINS, M.P.E.; NGULO MEZ, L. nálse Enoltóra de Dados e perspectas de ntegração no ambente de poo à Decsão. Ro de Janero: Edtora da COPPE/UFRJ,. COELLI, T.J.; RO, D.S.P.; BTTESE, G.E. n Introdcton to Effcency and Prodctty nalyss. Boston: Klwer cademc Pblshers, 998. CHRNES,.; COOPER, W.W.; LEWIN,.Y.; SEIFORD,
74 Referêncas ctadas BNKER, R.D.; CHRNES,.; COOPER, W.W. Some models for estmatng techncal scale neffcences n data enelopment analyss. Management Scence,. 3, n. 9, p. 78-9, 984. CHRNES,.; COOPER, W.W.; RHODES, E. Measrng the effcency of decson-mang nts. Eropean Jornal of Operatonal Research,., p , 978. SORES DE MELLO, J.C.C.B.; NGULO MEZ, L.; GOMES, E.G.; SERPIÃO, B.P.; LINS, M.P.E. nálse de Enoltóra de Dados no estdo da efcênca e dos benchmars para companhas aéreas brasleras. Pesqsa Operaconal,. 3, n., p , 3. SORES DE MELLO, J.C.C.B.; GOMES, E.G.; NGULO MEZ, L.; SORES DE MELLO, M.H.C.. Uma análse da qaldade e da prodtdade de Programas de Pós-Gradação em Engenhara. Ensao - alação e Polítcas Públcas em Edcação,., n. 39, p , 3.
75 Obrgado!
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