ÌNDICE APÊNDICE A - PRINCÍPIOS BÁSICOS DA ESTATÍSTICA

Transcrição

1

2 ÌNDICE APÊNDICE A - PRINCÍPIOS BÁSICOS DA ESTATÍSTICA A.- Itrodução A.- Apresetação de resultados A.3- Aálse das médas A.3.- A medaa A.3.- O modo A.3.3- A méda harmôca A.3.4- A méda geométrca A.3.5- A méda artmétca A.4- Aálse da dspersão A.4.- O desvo médo A.4. - O desvo padrão A.5- Curvas teórcas de dstrução estatístca APÊNDICE B - A DISTRIBUIÇÃO NORMAL OU GAUSSIANA B.- Itrodução B.- A dspersão e a dstrução ormal B.3- Itervalos de Cofaça APÊNDICE C - DISTRIBUIÇÃO ESTATÍSTICA DE STUDENT APÊNDICE D - MEDIDAS E ERROS D - Gradezas Físcas e Padrões de Medda D- Classfcação dos Erros D3- Algarsmos Sgfcatvos D4- Propagação de Erros APÊNDICE E - CONSTRUÇÃO DE ESCALAS E GRÁFICOS E.- Itrodução E.- Escala Lear E.- Escala Logarítmca E.3- Papes moo- log e log log E.4- Gráfcos E.4.- Itrodução E.4.- Gráfcos de Fuções Leares E.4..- Método Gráfco E.4..- Método dos Mímos Quadrados E.4.3- Gráfcos de Fuções Não- Leares E Fuções Polomas E Fuções Epoecas REFERÊNCIAS

3 APÊNDICE A - PRINCÍPIOS BÁSICOS DA ESTATÍSTICA A.- Itrodução Um pesqusador socal procura oter coclusões sore um grade úmero de sujetos. Por eemplo, os de dvíduos que compõem a população Braslera, os hatates da cdade de Juz de Fora, ou os 8000 estudates da Uversdade Federal de Juz de Fora. Cada um desse grupos, vestgados pelo pesqusador socal, é deomado teccamete de população ou uverso. A população cosste de um cojuto de dados com alguma característca comum, seja ela, acoaldade, cdadaa ou matrícula a Uversdade Federal de Juz de Fora. Como, em geral, a população é composta de um úmero muto grade de dvíduos, dados ou oservações, o pesqusador socal raramete aalsa esse grupo. Em lugar dsso, é aalsado somete uma amostra, que costtu-se de um úmero meor de dados retrados da população. O pesqusador procura trar coclusões de sua amostra e estede-las para toda a população. O processo de amostragem faz parte do da-a-da de todas as pessoas. Por qual outro processo sera possível oter formações sore alguma medda, se ão amostrado-se aquelas que se é capaz? Por eemplo, pode-se coclur que vale a pea vestr a olsa de valores depos de saer que algumas pessoas gaharam dhero com essas aplcações. Os métodos de amostragem utlzados por um pesqusador são, em geral, mas elaorados e sstemátcos do que aqueles que se poderam utlzar o da-a-da. Sstematcamete, o pesqusador procura oter uma amostra mas represetatva possível de toda a população. Se todos os dados puderem partcpar da amostra, dz-se que o método utlzado é o de amostragem aleatóra e, se este ão for o caso, dz-se que o método é o de amostragem ão aleatóra. Propõe-se aqu fazer uma reve dscussão sore as téccas dspoíves para o tratameto estatístco de meddas, erros e dsposções gráfcas em processos de oservações epermetas. Estem duas propredades estatístcas áscas assocadas a um cojuto de dados de uma amostra: Tedêca da maora dos dados mater-se em toro de uma valor cetral e tedêca destes dspersar em toro desse valor cetral. A dspersão de dados em toro de um valor cetral pode referr-se a uma medda precsa ou eata. A precsão refere-se a uma apromação de um grupo de meddas de um valor que ão é, ecessaramete, o valor verdadero e, eatdão refere-se a uma apromação de um grupo de meddas do valor verdadero. A dfereça etre precsão e eatdão pode ser melhor compreedda oservado-se a Fg. A.. Precso e eato Precso e eato Imprecso e eato Imprecso eato Fg. A.- Possíves potos atgdos em um alvo lustrado a dfereça etre precsão e eatdão O aspecto mportate que se deve efatzar aqu é que se pode ter uma amostra de grade precsão mas ão ecessaramete de grade eatdão. Essa codção pecular pode ocorrer, por eemplo, quado um om epermetador utlza strumetos que estejam descalrados. A.- Apresetação de resultados É possível perceer que amostras retradas de uma determada população devem segur uma determada dstrução. Seja, por eemplo, uma amostra cotedo um cojuto de dados represetados pelas dades de 3 pessoas de uma determada cdade, orgazadas em ordem crescete de magtude como mostra a Ta. A.(a). Nota-se que algumas pessoas podem ter a mesma dade e o que se usca é a méda de dades que compõe essa amostra. Pode-se costrur uma dstrução de freqüêca com os dados dessa amostra separado-os em sete dferetes sugrupos. As freqüêcas de dados em cada sugrupo podem ser dstruídas como mostra a Ta. A.(). 3

4 (a) Sugrupos Freqüêca Total II IIII IIIIIII IIIIIIII IIIIII III II () Ta. A.- (a) Taela de dades das pessoas cosultadas, e () Dstrução de freqüêcas de dades em sete sugrupos. A vatagem da dstrução de freqüêca sore a taela de dados é a eposção de uma tedêca clara a um certo valor cetral. Essa tedêca pode ser melhor apresetada uma forma gráfca deomada de hstograma como mostra a Fg. A. (a). As formações apresetadas o hstograma, jutamete com a taela de dstrução de freqüêcas, podem ser trascrtas uma outra forma gráfca deomada de polígoo de freqüêcas como mostra a Fg. A. (). Em amos os gráfcos ota-se claramete uma tedêca cetral para determados valores da taela de dados Freqüêca 6 4 Freqüêca Idades (a) Idades Fg. A.- (a) Hstograma das dades das pessoas e, () Polígoo de freqüêcas. () Os dados podem ser ada plotados a forma de um dagrama de freqüêcas relatvas. Nesse caso, as freqüêcas que aparecem as ascssas do hstograma, ou o polígoo de freqüêcas, devem ser dvddos pelo úmero total de dados, que o caso é 3. A escala vertcal passa a ser a ocorrêca relatva, ou percetual do total. A.3- Aálse das médas Estem váras formas de se escrever um valor médo de um grupo de dados que compõe uma amostra, sedo que, as mas mportates [0] são: A medaa, o modo, a méda harmôca, a méda geométrca e a méda artmétca. A teção, de qualquer uma dessas defções, é gerar um valor represetatvo assocado a todos os dados de uma determada amostra. 4

5 A.3.- A medaa, é um valor cetral etre os dados que compõe a amostra. Metade dos dados está acma desse valor e a outra aao, ão sedo ecessaramete, o meo camho etre o maor e o meor valor. Seja, por eemplo, os saláros auas em dólares, de cco professores de uma determada Uversdade Braslera, mostrados a Ta. A.. Professor Saláro (US$) 0000,00 000,00 000,00 500, ,00 Ta. A.- Saláros auas de professores de uma determada Uversdade Braslera. O saláro médo, otdo somado-se os saláros e dvddo-se por cco, é US$ 400,00. Essa ão é uma oa estmatva para o saláro médo dos professores, por estar muto dstate da maora dos valores que compõe a amostra. A medaa, dada por US$ 000,00, é um valor mas represetatvo desses saláros. A.3.- O modo, está assocado ao valor mas freqüete dos dados que compõe a amostra. O valor do modo deve ser otdo da méda etre os dados do tervalo que defem o pco do hstograma. A.3.3- A méda harmôca, é utlzada freqüetemete para se fazer estmatvas de valores típcos de taas de varação. Essas estmatvas são represetatvas quado seguem a segute relação: H g (A.) ode são os valores de cada um dos dados da amostra e é o úmero total desses dados. A.3.4- A méda geométrca, é utlzada para meddas que crescem como uma progressão geométrca, ou crescem proporcoalmete a um determado valor. Essas estmatvas são represetatvas quado seguem a segute equação: G... (A.) Seja, por eemplo, o crescmeto aual da população de uma pequea cdade do teror do Estado de Mas Geras, como mostra a Ta. A.3. ao população crescmeto Taa de crescmeto em relação ao ao ateror , , , ,0399 Ta.A.3- Dados de crescmeto populacoal de uma pequea cdade do teror do Estado de Mas Geras. De acordo com a eq. (A.), a taa méda de crescmeto da pequea cdade, será 3, 78% 4 4 G, 05, 035, 053, ,, 0378 ou,, que é um valor represetatvo para o crescmeto populacoal aual dessa pequea cdade. A.3.5- A méda artmétca, é a mas utlzada para a determação de valores médos e, é otda smplesmete da razão etre a soma dos valores e o úmero total de todos os dados de uma amostra, sto é 5

6 (A.3) Sempre que o úmero de dados da amostra tver um tamaho relatvamete grade, a utlzação da méda artmétca será mas dcada para oteção de médas represetatvas. A.4- Aálse da dspersão O grau de cofaldade, ou precsão, de uma amostra, pode ser estmado utlzado-se a defção de dspersão. A dspersão é uma medda das flutuações de todos os dados de uma amostra em toro do valor médo. As formas mas mportates de se represetar a dspersão de uma amostra são fetas por meo das 06defções de desvo médo e desvo padrão [0]. A.4.- O desvo médo δ, é a méda artmétca dos desvos de cada dado da amostra em toro do valor médo, sto é É mportate que o valor asoluto δ seja utlzado, pos, se assm ão fosse, tera-se (A.4) g 0 (A.5) Por se pouco represetatvo das verdaderas flutuações que, em geral, ocorrem as amostras típcas, o desvo médo é raramete utlzado para a estmatva de um resultado estatístco. A.4. - O desvo padrão δ *, é a raz méda quadrátca, ou RMS (Root Mea Square), das flutuações de cada dado da amostra em relação ao valor médo, sto é δ * g (A.6) O desvo padrão tem uma melhor represetatvdade das verdaderas flutuações que, em geral, ocorrem as amostras típcas e, por causa dsso, é mas freqüetemete utlzado em cálculos estatístcos. É mportate otar, que g c h + + uma vez que, e. Assm, a eq. (A.6) pode ser rescrta, como 6

7 δ * d (A.7) uma vez que, F H G I K J. A.5- Curvas teórcas de dstrução estatístca No vocauláro ásco da estatístca, clu-se o termo população pa, para represetar todas as meddas possíves de uma determada gradeza G. É otável, a Fg. A.3, que o úmero N de sugrupos de um hstograma cresce proporcoalmete ao úmero de dados de uma amostra. Como esse processo os lmtes feror e superor dos dados da amostra ão devem ser alterados sgfcatvamete, os tervalos dos sugrupos devem se estretar progressvamete tededo a zero, quado o úmero de dados tede ao fto ( ). Nessas codções etremas, o hstograma trasforma-se uma curva suave de uma fução de dstrução teórca como mostra a últma seqüêca da Fg. A.3.,0,0 0,8 N Itervalo 0,8 N0 Itervalo0,5 Freqüêca 0,6 0,4 Freqüêca 0,6 0,4 0, 0, 0, , ,0,0 Freqüêca 0,8 0,6 0,4 N00 Itervalo0, Freqüêca 0,8 0,6 0,4 N Itervalo0,0 0, 0, 0, , Fg. A.3- Efeto do aumeto do úmero de dados de uma amostra sore a morfologa do hstograma correspodete. 7

8 A fução de dstrução teórca tem a vatagem de poder ser tratada aaltcamete. Essa fução detfca a população de todos os dados possíves (mas ão os valores verdaderos) e, a partr do cohecmeto de suas propredades, otém-se formações sore a credldade de todo o processo de medda. Na verdade, uma amostra fta, assocada a uma determada população é, em geral, sufcete para se chegar as propredades da fução de dstrução correspodete. Não estem mutas fuções matemátcas que se comportam morfologcamete como a fução de dstrução mostrada a últma seqüêca da Fg. A.3. Detre as poucas fuções cosderáves, podem ser destacadas as dstruções, Bomal, Posso e Gaussaa ou ormal [0]. A dstrução Bomal, é utlzada em stuações em que se dspoha somete de evetos áros. Por eemplo, determação do úmero de moedas que dão cara ou coroa, quado algumas delas são jogadas para cma um certo úmero de vezes. A dstrução de Posso, é utlzada em stuações em que os evetos são depedetes e que cada um deles ão flueca os outros. Por eemplo, determação do úmero de automóves que passam por um determado poto de uma aveda por udade de tempo em dferetes mometos do da. A dstrução Gaussaa ou Normal, é a dstrução que sprou os resultados de dspersão dscutdos a seção.4, váldos para sstemas geércos de uma úca população e que, por sso, vale a pea cosdera-la com mas detalhes, como se faz o Apêdce B. 8

9 APÊNDICE B - A DISTRIBUIÇÃO NORMAL OU GAUSSIANA B.- Itrodução A dstrução ormal ou Gaussaa, é uma represetação matemátca utlzada para sstemas geércos de uma úca população. A epressão geral para essa dstrução [0], é ( µ ) z σ z e e má e (B.) σ π σ π ode, má σ π, z µ g, é a σ freqüêca relatva da varável de medda, µ é má o valor médo de para a população e σ é o desvo padrão de, tamém para a população. O desvo padrão σ dá uma estmatva das flutuações ou erros aleatóros de em toro do σ valor médo µ. Como µ e σ se referem a um máe úmero fto de dados (população), seus valores ão são ecessaramete, os mesmos que e δ *, uma vez que estes se referem a um úmero fto de dados aalsados (amostra). µ O valor de σ tem uma correlação dreta com a precsão do strumeto utlzado o processo de medda. A Fg. B., mostra as formas da dstrução ormal como fução das varáves e z respectvamete. Note a Fg. B. (a), que a fução de dstrução ormal determa valores úcos para os parâmetros µ e σ, emora estes ão sejam sufcetes para determar a morfologa dessa fução. Na Fg. B. () mostrase algumas frações percetuas da área total aao da curva defda pela dstrução ormal. má máe µ σ (a) σ µ + σ Vale a pea relatar que, quado a dstrução ormal fo crada em 773, ela era cohecda como a le dos erros por causa da sua utlzação a represetação de erros em oservações astroômcas e de outras cêcas aturas. A Ta. B. mostra a percetagem da área total aao da curva ormal para dferetes valores de z, postvos ou egatvos, a partr da orgem ( z 0 ) ,7% 95,45% 99,73% 4 z () Fg. B.- Morfologa da dstrução ormal ou Gaussaa. 9

10 z 00, ±05, ±0, ±5, ±0, ±5, ±30, ±35, 000%, 9, 5% 34, 3% 43, 3% 47, 7% 49, 38% 49, 86% 49, 98% Fração Percetual de Área Ta. B.- Percetagem da área total aao da curva ormal para dferetes valores +z ou z a partr da orgem. z 0 A utlzação da Ta. B. pode ser lustrado com um eemplo de uma população ormal de méda µ50 ud. e desvo padrão σ 0 ud.. Para se determar a proporção de oservações etre 35 ud. e 75 ud., otém-se prmero, os valores correspodetes da varável z, como e z µ 5, σ z 5, 0 0 De acordo com a Ta. B., etre z 5, e z 0, tem-se uma fração percetual da área total aao da curva ormal de 43, 3% e, etre z 0 e z +5,, tem-se uma fração de 49,38% dessa mesma área. Assm, a fração total o tervalo etre z 5, e z +5, é 43, 3% + 49, 38% 9, 70%. Em outras palavras, 9, 70% da área da dstrução ormal ca detro do tervalo etre 35 ud. e 75 ud.. B.- A dspersão e a dstrução ormal A aálse das propredades de uma população requer, como se sae, estmatvas de µ e σ. É razoável assumr que as melhores estmatvas para esses parâmetros são o valor médo e o desvo médo δ *, dados pelas eqs. A.3 e A.6 respectvamete. De fato, é a melhor estmatva para µ, o etato, δ * ão é a melhor estmatva para σ. Na verdade, a melhor estmatva de σ, é A quatdade valores oservados δ * * com o valor médo µ para a população [0]. g (B.) é deomado de fator de correção de Bessel que pode ser otdo comparado-se Uma justfcatva da represetatvdade da correção de Bessel para a população, pode ser verfcada quado se utlza uma amostra composta apeas por uma úca medda, por eemplo, 50, ud.. Nesse caso, o valor médo é 50, ud. e o desvo padrão δ *, é g g * 50, 50, δ 0 0

11 sto é, o desvo é ulo. Isso é correto para a amostra, etretato correto para a população. Por outro lado, δ * * sto é, o desvo é determado. Isso é correto para a população pos, matematcamete, sso quer dzer que ão se tem ehuma formação sore o desvo da população quado se tem uma amostra de apeas um úco dado. 0 0 µ σ População Pa Amostra * Uma escolha de δ ou * para aálse da dspersão é dferete para valores grades de, uma vez que, de acordo Amostra com a eq. (B.), δ * * para esses casos. Sae-se que, para qualquer procedmeto de medda para uma determada etdade, o valor médo para a amostra é dferete do valor médo µ para a população. Na verdade, sso ão se refere a erro aleatóro, mas sm reflete à preseça das flutuações estatístcas eretes a uma amostra com o úmero lmtado de dados. As flutuações das meddas em toro do valor médo µ para a população, tem melhor represetatvdade quado se utlza o coceto de dstrução de amostrages ou méda de amostras. Como lustra a Fg. B., a dstrução de amostrages pode ser costruída a partr dos valores médos,, 3,... otdos de um cojuto fto de amostras com oservações cada uma, retradas da população, cohecda aqu como população pa. µ σ Amostra 3 Dstrução das amostrages Fg. B.- Ilustração da costrução de uma dstrução de amostrages Essas médas, deomada de amostra estatístca, devem ter uma flutuação em toro de uma méda µ. De acordo com a teora estatístca, tal flutuação, cohecda como erro padrão σ, é otda em termos do desvo assocado à população, por σ σ σ (B.3) O coceto de dstrução de amostrages é correto para grade ou pequeas amostras, desde que a população pa seja do tpo Gaussaa. O erro padrão σ de uma dstrução de amostrages pode ser utlzado para se ecotrar o úmero de oservações ecessáras para gerar uma méda com determado grau de cofaça.

12 O gráfco da Fg. B.3 mostra o comportameto do erro padrão σ de uma dstrução de amostrages em fução do tamaho das amostras de acordo com a eq. (B.3). 6 Erro Padrão Fg. B.3- Comportameto do erro padrão σ como fução do tamaho de cada amostra. Nota-se que o erro padrão ca letamete com o aumeto de. Assm, aumetar o valor de ão é uma forma aproprada de melhorar o grau de cofaça de um resultado epermetal. Para se alcaçar esse ojetvo, é mas coveete optar pelo uso de strumetos de maor precsão. No processo de eecução de um grade úmero de meddas com um determado strumeto, oservações repetdas podem ocorrer com maor freqüêca. Nesse caso, os erros aleatóros serão meores do que a escala mas fa de letura do strumeto de medda. A repetção de uma medda é uma coseqüêca da lmtação da precsão do strumeto de medda, assocada a sua sesldade. B.3- Itervalos de Cofaça A credldade de um determado processo de medda está vculada a um deomado tervalo de cofaça que pode ser estmado por téccas padrões de estatístca [0]. Um tervalo de cofaça, para uma determada amostra estatístca, pode ser estmado calculado-se a proaldade de que, um certo tervalo ± sore a méda da amostra, clua a méda µ da população, como lustra a Fg. B.4. µ + Fg. B.4- Ilustração do coceto de tervalo de cofaça. O parâmetro, presete o tervalo de cofaça ±, é deomado de lmte de cofaça. Deve-se recohecer que o tervalo de cofaça está dretamete assocado à precsão de um strumeto de medda. No etato, ão este, ecessaramete, uma relação etre o tervalo de cofaça e a eatdão do processo de medda. Na seção ateror, vu-se que as médas de amostras, são dstruídos ormalmete e que, essa dstrução de amostrages tem um valor médo gual a méda µ da população e um erro padrão gual a

13 σ σ. Para uma medda partcular, ão se sae os valores dos parâmetros µ e σ. O que se procura, a verdade, é ecotrar uma estmatva das magtudes desses parâmetros a partr de formações etraídas de uma dstrução de amostrages. Como a dstrução de amostrages tem uma morfologa Gaussaa, como a Fg. B.(), pode-se afrmar que a méda µ para a população tem uma proaldade de 99,73% de estar detro do tervalo de cofaça ± 3σ ± 3σ. Em geral, o parâmetro pode ser calculado, por z σ (B.4) ode z pode ser otdo de taelas costruídas a partr de forma padrão da dstrução ormal para dferetes íves de proaldade ou, íves de cofaça como são cohecdos. Utlza-se tamém o termo íves de sgfcâca, para a dfereça percetual etre 00% e o ível de cofaça. A Ta. B. mostra algus valores típcos de z jutamete com os respectvos íves de cofaça e sgfcâca. z 3,30 3,00,00,96,65,00 Nível de Cofaça (%) 99,90 99,73 95,45 95,00 90,00 68,7 Nível de Sgfcâca(%) 0,0 0,7 4,55 5,00 0,00 3,73 Ta. B.- Valores típcos de z jutamete com os respectvos íves de cofaça e sgfcâca. Para se perceer o efeto do ível de cofaça, ou sgfcâca, cosdere o eemplo de uma amostra que represeta um cojuto de meddas, com as segutes característcas: 36 ; 345 ud. ; e σ ud. Nesse caso, o erro padrão da dstrução de amostrages é σ B. e a eq. (B.4), pode-se costrur a Ta. B ud., e, de acordo com a Ta. Nível de Cofaça Nível de Sgfcâca Gradeza G 68,7% 3,73% 345 ± ud. 95,45% 4,55% 345 ± 4 ud. 99,73% 0,7% 345 ± 6 ud. Ta. B.3- Níves de cofaça e sgfcâca para uma amostra com 36 ; 345 ud. ; e σ ud.. A eq. (B.4) pode ser utlzada para estmar o tamaho ecessáro de uma amostra para gerar uma méda de credldade especfcada. Por eemplo, supoha que se deseja estaelecer um tervalo de cofaça 5 ud., de cada lado em toro da méda, com ível de sgfcâca de 5% para a méda µ da σ ud. z 96 população, quado se utlza um strumeto de precsão correspodete a tamaho da amostra ecessáro para que sso ocorra, deve-se otar da Ta. B. que, de sgfcâca de 5%. Assm, da eq. (B.4), tem-se 5 96, 47, Para se oter o, para o ível Em outras palavras, para uma amostra cotedo, pelo meos, udades tem-se 95% de chace de que a méda µ da população caa detro de um tervalo de 5 udades de cada um dos lados, em toro da méda, da referda amostra. 3

14 APÊNDICE C - DISTRIBUIÇÃO ESTATÍSTICA DE STUDENT Quado se dspõe de uma amostra com um úmero pequeo de compoetes ( 0 ), o desvo padrão δ * dea de ser uma estmatva segura para o desvo padrão σ da população. O prolema de pequeas amostras fo tratado, o íco do século XX, por um químco rladês que assava com o ome de Studet. Em vez de calcular o erro padrão da dstrução de amostrages das médas das amostras por σ e, etão, utlzálo para estmar o tervalo de cofaça por meo do parâmetro zσ, Studet sugere que o seu lugar [0], utlze-se t * g t t ode represeta um fator que corrge as dstorções promovdas pelas amostras de poucas meddas. Se essas amostras são otdas de uma população de dstrução ormal, cujo valor médo é µ, o fator t deve ser tal que µ caa, pelo meos, os etremos do tervalo ±, como lustra a Fg. C.(a). Segudo essa Fgura, tal codção fca satsfeta quado µ que, susttuída a eq. (C.), forece g (C.) t µ * (C.) De acordo com Studet, a dstrução de amostrages de fator estatístco t é dada [0], por g f t F HG I F HG t t Y0 + Y0 + KJ ν I KJ g ν+ (C.3) g seja ode Y 0 é uma costate que tem uma depedêca com de modo que a área aao da curva f t t utára, e ν é deomado grau de lerdade da dstrução estatístca. A Fg. C.() mostra o perfl da dstrução de Studet, ou dstrução t como tamém é chamada, para város valores de ν. Nota-se que a dstrução t de Studet aproma-se da dstrução ormal, sto é da fução parametrzada por z, a medda que ν aumeta. Seja o eemplo de meddas de uma certa etdade com as segutes característcas: 6 ; 345 ud. ; * e 5 ud. Para um ível de cofaça de 90%, de acordo com a Ta. C., t 7, para ν 5, assm 7, 5 503, ud. 6 Com esse eemplo, pode-se dzer que este uma proaldade de 90% de que a méda µ da população assocada a etdade caa detro do tervalo 345± 5, 03 ud. 4

15 0,5 0,4 ν (Dst. Normal) 0,3 f(t) 0, ν5 ν 0, µ µ (a) 0, t () Fg. C.- (a) Codção lmar para determação do fator t e, () Dstruções t para város valores de ν. A Ta. C. mostra valores de t para dferetes valores de graus de lerdade ν e de íves de cofaça [0]. ν t 099, t 095, t 090, t 060, t 050, t 040, 63,66,7 6,3,376,000 0,77 9,9 4,30,9,06 0,86 0,67 3 5,84 3,8,35 0,978 0,765 0, ,60,78,3 0,94 0,74 0, ,03,57,0 0,90 0,77 0, ,7,3,8 0,879 0,700 0,54 5,95,3,75 0,866 0,69 0,536 0,84,09,7 0,860 0,687 0,533 5,79,06,7 0,856 0,684 0,53 30,75,04,70 0,854 0,683 0,530 60,66,00,67 0,848 0,679 0,57 0,6,98,66 0,845 0,677 0,56,58,96,65 0,84 0,674 0,54 Ta. C.- Dstrução t de Studet para dferetes graus de lerdade ν. A eq.(c.) pode ser utlzada tamém para estmar o tamaho da amostra ecessáro para gerar uma méda * com uma credldade especfcada. No eemplo ateror ode 5 ud., pode-se pergutar, por eemplo, qual sera o úmero mímo de dados, para que a méda µ da população caa detro de um tervalo ±, para ud., com um ível de cofaça de 99%. Nesse caso, a eq. (C.), forece t 08,. * 5 5

16 A Ta. C. mostra valores de t para algus valores de, calculados por essa equação e otdos dretamete da dstrução de Studet, como da Ta. C., para um ível de cofaça de 99%. t taelado para um ível de cofaça de 99% t calculado 0 3,70,530 3,0,653 3,060,77 3 3,00,884 4,980,993 Ta. C.- Valores de ud.. * t taelados para um ível de cofaça de 99% e calculados para 5 ud. e Em outras palavras, são ecessáros pelo meos 4 meddas para que um strumeto de medda, de precsão * estmado de 5 ud., gere um ível de cofaça de 99%. 6

17 APÊNDICE D - MEDIDAS E ERROS D. - Gradezas Físcas e Padrões de Medda As gradezas físcas podem ser epressas em termos de um determado úmero de udades fudametas. Realzar medda sgfca fazer uma comparação etre uma quatdade e outra, defda como udade padrão. Em Partcular a mecâca, utlza-se três gradezas fudametas, deomadas comprmetos, massa e tempo. Nesse caso, as dmesões, udades e símolos, utlzadas o Sstema Iteracoal de medda (SI), estão especfcadas a Ta. D.. gradezas Fudametas gradezas Dervadas Nome dmesão udade símolo comprmeto L m m massa M kg kg tempo T s s Velocdade LT ms ms Aceleração LT ms ms Força M L T kg m s Newto N Traalho M L T N m Joule J g g g Potêca M L T 3 J s Watt W Ta. D.- Gradezas fudametas e dervadas com suas dmesões, udades e símolos o Sstema Iteracoal de meddas (SI). Por motvos evdetes, esse sstema é freqüetemete deomado de sstema MKS. Quado se dz, por eemplo, que um certo comprmeto vale 00 m, estar-se dzedo que tal comprmeto correspode a cem vezes o comprmeto da udade padrão. As udades de outras gradezas, tas como velocdade, aceleração, traalho, força, etc., são dervadas das três gradezas fudametas. Algus eemplos de gradezas dervadas estão lstados tamém a Ta. D.. Para gradezas muto grades ou muto pequeas é comum utlzar prefos múltplos ou sumúltplos de potêcas de 0. Por eemplo, 3 0 m mlímetro mm, ou 0 W megawatt MW. Na Ta. D. estão lstados os prefos mas comus utlzados para as gradezas físcas. As meddas de gradezas físcas podem ser dretas ou dretas. A medda dreta é o resultado da letura de um strumeto de medda, como por eemplo, um comprmeto com uma régua graduada, ou ada a de um tervalo de tempo com um croômetro. Uma medda dreta é a que resulta da aplcação de uma equação matemátca que relacoa a gradeza a ser medda com outras dretamete mesuráves. Múltplo Prefío Símolo ato a feto f pco p 0 ao 0 mcro µ 0 ml m 0 cet c 0 dec d 0 deca da 0 hecto h 0 3 klo k 0 6 mega M 0 9 gga G 0 tera T 0 5 peta P 0 8 ea E Ta. D.- Prefos múltplos e sumúltplos de potêca de 0 7

18 Por eemplo, pode-se medr a velocdade v de um carro por meo das meddas dretas da dstâca percorrda e do tervalo de tempo t, uma vez que v t. D.- Classfcação dos Erros Por mas crterosa que seja uma medção e por mas precso que seja o strumeto, ão é possível realzar uma medda eata. Em outras palavras, este sempre uma certeza quado se compara uma medda de uma dada gradeza físca com sua udade. De acordo com sua atureza, os erros são classfcados [03, 04], como: sstemátco, grosseros, e acdetas. Os Erros Sstemátcos são provocados por fotes assocadas a strumetação ou ao método de medda utlzado, e, em prcípo, podem ser elmados ou compesados. Esses erros fazem com que as meddas estejam sstematcamete acma ou aao do valor verdadero. Como eemplo de erros sstemátcos, pode-se ctar a utlzação de uma régua graduada uma temperatura de 30 0 C, mas que fo calrada a 0 0 C. A dlatação de sua escala resultará um erro sstemátco em todas as meddas. Os Erros Grosseros ocorrem devdo a mperíca ou dstração do operador. Como eemplos pode ser ctados, uma escolha errada de escalas, erros de cálculo, etc.. Esses erros podem ser reduzdos por meo da repetção cudadosa das medções. Os Erros acdetas ocorrem devdo a causas dversas e mprevsíves dfíces de serem elmadas. Esses erros podem ter váras orges, tas como em relação aos própros strumetos de medda, ode pequeas flutuações das codções ametas (temperatura, pressão, umdade, etc) afetam os resultados epermetas. Em fatores assocados ao operador sujetos a varações, como por eemplo a vsão e a audção. Pode-se dzer que uma medda terá eatdão quado os erros sstemátcos forem desprezíves e uma medda terá precsão quado esse for o caso para os erros acdetas. D.3- Algarsmos Sgfcatvos A medda de uma gradeza físca é sempre apromada, por mas eperete que seja o operador e por mas precso que seja o aparelho utlzado. Esta lmtação reflete-se o úmero de algarsmos que se pode utlzar para represetar uma medda. O procedmeto padrão é a utlzação de algarsmos que se tem certeza de estarem corretos, admtdo-se geralmete o uso de apeas um algarsmo duvdoso. Esses algarsmos são deomados de algarsmos sgfcatvos e a sua quatdade estará dretamete relacoada à precsão da medda. Por eemplo, pode-se dzer que o comprmeto assalado a escala graduada em cetímetros da Fg. D. é de 48, cm. O algarsmo 4 é correto, porem o algarsmo 8 é duvdoso. Poda-se ter ldo tamém 47, cm ou 49, cm. O erro que se comete é de ± 0, cm e o valor da medda deve ser apresetado como. Note que o erro deve afetar somete o algarsmo duvdoso da medda. 48, ± 0, cm Posção da medda Fg. D.- Medda de um comprmeto utlzado-se uma escala graduada em cetímetros. O erro estmado de uma medda deve coter somete o seu algarsmo mas sgfcatvo. Os algarsmos meos sgfcatvos devem ser smplesmete desprezados ou o mámo utlzados para efetuar arredodametos. Por eemplo, supoha que se faça um cálculo da méda e do erro de meddas de um comprmeto de uma peça, e o que se ecotrou fo 9, 543 cm e 043, cm. Como o erro da medda ecotra-se os 8

19 décmos de cetímetros, ão tem setdo apreseta-lo com algarsmos que se referem aos cetésmos e mlésmos de cetímetros. Nesse caso, a maera correta de apresetar o erro sera smplesmete 04, cm. No caso da méda, o algarsmo 9 é eato, o etato, o algarsmo 5 é duvdoso pos este é afetado pelo erro, e, cosequetemete, os algarsmos 4, e 3 tamém são duvdosos. Esses algarsmos, resultate de um cálculo, podem ser utlzados para fazer o devdo arredodameto. Com esse procedmeto, a forma recomedada de apresetar a medda referda, é 95, ± 0,4 cm. Durate um processo de medda epermetal, deve-se fcar ateto as segutes regras relacoadas a algarsmos sgfcatvos: - Zeros à esquerda do prmero algarsmo sgfcatvo dferete de zero ão são algarsmos sgfcatvo. Por eemplo, tato 5, 3 cm como 0, 53m tem a mesma medda e tem 3 algarsmos sgfcatvos. Smlarmete, pode-se dzer que 0, 0 0, 0 0 todos têm algarsmo sgfcatvo, 3 3, 0 0, 3 0 todos têm algarsmos sgfcatvos, e ,, 5, 3 0 todos têm 3 algarsmos sgfcatvos. 5, 3 cm - Zeros à dreta de um algarsmo sgfcatvo é tamém sgfcatvo. Por eemplo, e 5, 30 cm são meddas dferetes. A prmera tem 3 algarsmos sgfcatvos e a seguda, de maor precsão, tem 4 algarsmos sgfcatvos. 5, 3 cm 3- Zero stuado etre algarsmos sgfcatvos é tamém sgfcatvos. Por eemplo, tem 3 algarsmos sgfcatvos e tem 4 algarsmos sgfcatvos., 053 m Para que uma medda seja apresetada com um úmero de algarsmos sgfcatvos aproprado, mutas vezes é ecessáro se fazer um arredodameto do resultado. Quado for esse o caso, utlza-se a segute regra: Quado o últmo algarsmo for meor ou gual a 5 este deve ser smplesmete aadoado. Por outro lado, quado esse algarsmo for maor que 5, aadoa-o e soma-se uma udade ao algarsmo ateror. Por eemplo, 93, 65cm pode ser arredodado para 93, 6cm ou ada 94, cm. Para eecutar operações matemátcas com algarsmos sgfcatvos, deve-se prmero trasformar todas as parcelas para a mesma udade e segur as regras aao: - No caso de soma ou sutração, o resultado deve ser apresetado somete com um algarsmo duvdoso e o úmero de algarsmos sgfcatvos va depeder do tamaho dos algarsmos duvdosos de cada parcela da operação. Por eemplo, a adção etre as meddas 43, cm com 33, 7cm, realzadas com uma escala graduada em cetímetros e outra em mlímetro, deve ser eecutada como segue: 43, cm + 337, cm 77, cm O procedmeto adotado a operação acma, utlzado após o últmo algarsmo sgfcatvo, é um artfíco para represetar algarsmos descohecdos, e a adção de um algarsmo cohecdo com um descohecdo dará um algarsmo descohecdo. A adção de com 7 será um algarsmo descohecdo que poderá ser maor do que 0, portato, haverá a possldade de um va um e o segudo algarsmo do resultado deverá ser acrescdo de uma udade e será duvdoso. 43, c m+ 337, cm 767, cm Um resultado, estara correto do poto de vsta de algarsmos sgfcatvos, uma vez que, sso relatara a utlzação de strumetos de precsão de mlímetros quado, a verdade, um dos strumetos tha precsão apeas de cetímetros. Deve-se fcar claro que uma operação matemátca ão 9

20 pode alterar a precsão de uma medda, uma vez que sso ão alterara a precsão do strumeto com o qual ela fo efetuada. Outros eemplos teressates de soma e sutração com algarsmos sgfcatvos são os que se seguem: 4, , , 00 0,09 0, 00 0, 9, 9 5, 4 0, ,4 - No caso de multplcação e dvsão, o resultado deve ser apresetado com um úmero de algarsmos sgfcatvos gual ao da parcela que tver o meor úmero de algarsmos sgfcatvos. Essas operações podem ser efetuadas utlzado-se o mesmo artfíco adotado a soma e sutração, como se pode otar com os eemplos que se seguem: 8, 348 3, ,8 09, , 3, 6 D.4 Propagação de Erros Normalmete deve-se utlzar valores meddos e afetados por erros para se fazer cálculos e ecotrar os valores de outras gradezas dretas. Nesses casos, é mportate cohecer como o erro as meddas dretas afetam a gradeza fal [03, 04]. Supoha que uma quatdade V seja calculada como fução de outras quatdades,, de forma que V V,. Supoha que, teham sdo determados vezes, de modo, que g g g g g V V,, V V,,...,V V,,..., V V, Por outro lado, pode-se ecotrar as médas g V, seja V, g etão, cada valor va dferr de V,, e, fazedo-se a suposção de que o valor mas provável de g, por, g g V V V, (D.) Esse desvo de V pode ser determado por meo do cálculo dferecal, como V V V + (D.) 0

21 ode,. Como V 0, etão o valor médo de V será ulo, uma vez que, V V. Assm, da eq.(d.), otém-se V g g V V V, V, V 0 ou, V V, g (D.3) Em outras palavras, o valor médo V é o valor de V calculado utlzado-se os valores médos de,. V O desvo padrão V de pode ser otdo a partr da eq. (D.), elevado-a ao quadrado, dvddo-se o resultado por e, em seguda, etrado-se a raz quadrada, sto é V g g g F I HG K J g g F HG I KJ V V V V V g F I HG K JF I g HG KJ g ou ada F I HG K J F + HG I + KJ V V V V V g g ρ (D.4) F HG I K JF HG I KJ ode ρ g (D.5) é deomado de coefcete de correlação [04], cujo valor depede do tpo de erro que se comete. Quado os desvos em e em são depedetes, a somatóra presete a eq. (D.5) aula-se resultado em ρ 0. Isso pode ocorrer, por eemplo, a determação da velocdade de um corpo por meo de meddas de tempos e dstâcas. Se a medda da dstâca for meor que a verdadera, sso ão mplca, ecessaramete, que a medda do tempo tamém o seja, uma vez que elas foram fetas com strumetos dferetes. Nesses casos, a eq. (D.4), tora-se V F F HG I KJ VI V HG K J + g g (D.6) Os erros depedetes são mas freqüetes do que os correlacoados, quado uma correlação é cohecda, ou suspetada, etretato, deve-se calcular ρ utlzado-se a eq.(d.5).

22 A geeralzação da eq. (D.6) à fuções de mas de duas varáves é medata. Se a quatdade V for calculada como fução de quatdades,, z,..., de forma que V V,, z,... g, etão V V V V + z z F I HG K J F I + HG F I g KJ g HG K J g +... (D.7) V, g, quado se sae as quatdades Do poto de vsta prátco, para os casos em que a quatdade V ± e ±, pode-se calcular o valor de V medatamete em termos de e, utlzado-se as relações mostradas a Ta. D.3 [03]. Operação Relação ± g + ± g + g ± + g Adção Sutração ± ± ± + Multplcação Dvsão g g g g ± g ± g g ± + g ± ± + ± g g V, g. Ta. D.3- Operações prátcas para os casos em que a quatdade V Nessas relações todos os termos posterores ao sal ± devem ser tomados em módulo. Quado o erro aleatóro calculado for ulo, o erro adotado deve ser o erro do própro aparelho, que será o meor erro possível cometdo a medda.

23 APÊNDICE E - CONSTRUÇÃO DE ESCALAS E GRÁFICOS E.- Itrodução Os resultados de meddas podem ser apresetados com smplcdade e clareza por meo de um gráfco. Os resultados epostos um gráfco podem ser faclmete aalsados e, mutas vezes, permtem descorr a epressão algérca que relacoa as gradezas correspodetes. A curva apromada que se otém, cujo traçado é oretado pelos potos epermetas marcados o papel gráfco, é uma magem tutva da relação fucoal vestgada. Para se eteder como se costró corretamete um gráfco, é ecessáro ates, formular as segutes defções e coveções [04] : A Escala é qualquer trecho de curva, em geral uma reta, marcada por traços, os quas estão em correspodêca com valores ordeados de uma gradeza. O Passo ( L ) é a dstâca, em cetímetro, mlímetro, etc, etre dos traços umerados cosecutvos uma escala. O Degrau ( ) é a varação da gradeza em um passo. g f O Módulo ( M ) é a costate de proporção que este etre o passo e o degrau, sto é M L a f g 0 (E.) E.- Escala Lear A escala lear possu o passo e o degrau costates, a qual se estaelece uma correspodêca etre a udade de comprmeto a escala e o valor da gradeza aalsada. Por eemplo, cm a escala correspode m a 0 ud. m a,, 5,, ou 5 de acordo as ormas a da gradeza aalsada, ode é um tero e de desehos téccos (NB-8) [04]. Assm, de acordo com a eq. (E.), F cm I m m M cm ud cm ud m a ud HG a K J 0., 0,5, 0,4, ou, 0,g ou, escrevedo-se a a e 0., com m, otém-se M a cm ud a a, 5, 4, ou (E.) ode os fatores de escala meores que foram multplcados por 0 que, por sua vez, fo asorvda pela potêca de dez 0. A Fg. E. mostra o eemplo de uma escala lear, ode Passo Cost. cm, Degrau Cost. Joule, M cm Joule Na escolha do módulo é mportate levar em cota, o comprmeto dspoível para o eo, a varação da gradeza aalsada e o teresse ou ão de cocdr o zero da gradeza com a orgem da escala. 3

24 cm 0 3 Eerga (J) Fg. E.- Eemplo de escala lear de passo cm, degrau J e Módulo cm/j. O papel mlmetrado é o tpo de escala mas freqüetemete utlzada para represetar a relação fucoal etre duas gradezas. Nesse tpo de escala pode-se utlzar mlímetro como passo mímo. E.- Escala Logarítmca A costrução de uma escala logarítmca está relacoada à dvsão de um certo segumeto de reta em partes proporcoas aos valores dos logartmos dos úmeros uma determada ase a [04]. Nessas escalas, adotase a defção de década logarítmca como as varações de udades de potêca de 0 ( 0 a 0 os valores da gradeza aalsada. L + ), sore Seja um segumeto de reta de comprmeto, como mostra a Fg. E.. Supoha que se deseja dvdr esse segumeto de reta em partes proporcoas aos logartmos dos úmeros L 3,,,..., L L Fg. E- Segmeto de reta utlzado para costrur uma escala logarítmca sore uma década logarítmca. Aplcado-se a defção de módulo a ase a, otém-se M a L L L L L fg loga loga loga g (E.3) Aplcado-se essa relação a ase 0 e, tomado-se a varação de a gual a 0, otém-se M 0 L log L 0 L + L 0 0 L0 L0 + 0 log0 0 log0 0 L 0 (E.4) 4

25 o que mostra que o módulo M a ase 0 é gual a dstâca de a 0, ou, 0 a 0, etc. Por outro lado, pode-se ecotrar tamém uma relação de escala para qualquer segumeto de reta meddo a partr da orgem gual a, como represetado a Fg. E.3. L g L L g 0 g L Fg. E.3- Escala que permte determar o logartmo de a ase 0. Nesse caso, L 0 em e L L em g M 0, portato L L L 0 L log log log g g g ou, como M L 0 0, etão log 0 ( ) L( ) L( 0) L L (E.5) 0 pos, log 0 L( 0) L tal que, L L( ) 0 0. A eq. (E.5) permte determar o logartmo de qualquer 0 0 úmero a ase 0 a partr da escala costruída. Smlarmete, uma ase atural e 78,..., ou mesmo, uma ase N qualquer tem-se, respectvamete: ( ) ( ) L l ; L e ( ) ( ) L log N (E.6) L N É mportate relatar que a orgem de uma escala logarítmca ão precsa car em e sm uma potêca de 0 coveete. Além dsso, como ão este logartmo de úmeros egatvos ou ulos, esses ão podem ser utlzados para costrur uma escala logarítmca. E.3- Papes moo- log e log log Os papes moo log, ou sem log, e log log, ou d log, mostrados a Fg. E.4, são costruídos a partr da escala logarítmca, e são utlzados para learzação de fuções epoecas e polomas, respectvamete. Uma ou mas décadas da escala logarítmca podem ser utlzadas para represetar potos epermetas assocados às gradezas aalsadas. Por eemplo, se as gradezas tverem varações de 0, a 0, a prmera década coloca-se os valores etre 0, e, e a seguda os valores etre e 0. 5

26 00 00 P a p e l M o o L o g P a p e l Log L o g 3 a déc 3 a déc 0 0 a déc e,78 60, mm 8, mm 9mm a déc a déc a déc 0, , 0, 0 00 Escala Lear a déc a déc 3 a déc Fg. E.4- Aspecto de papes moo log e log log. Todas as décadas têm mesmos comprmetos e sudvsões proporcoas, sto é, o segudo traço a prmera década vale 0,, o segudo traço a seguda década vale, e assm por date. Cada década apreseta 0 sudvsões, que podem tamém estar sudvddas em, 5, ou 0 partes. Algus papes logarítmcos comercas apresetam suas décadas gualmete umeradas e, esse caso, é o epermetador que deve defr as faas de potêca de 0 que melhor lhe covém. Pode-se utlzar as eq. (E.5) ou a eq. (E.6) e o papel moo log da Fg. E.4, para calcular, por eemplo, os logartmos dos algarsmos e 0,048 as ases 0 ou atural e. Para sso, deve-se otar que qualquer L 0 9 mm e o comprmeto correspodete a ase atural década do eo logarítmco tem comprmeto ( ) é Le ( ) L(,78) 8, mm, tal que ( ) ( ) 6,0 log L mm 0,30 L 0 9,0 mm ( ) ( ) L, 48,9 mm log 0, 048 log (, 48 0 ),9 L 0 9,0 mm ( ) ( ) ( ) ( ) L L 6,0 mm l 0,70 L e L,78 8, mm ( ) ( ) ( ) ( ) L,48 L 0,9 mm 9,0 mm l 0,048 l (, 48 0 ) l, 48 l0 4, 4 L e L e 8, mm 8, mm Outros papes podem apresetar tamahos dferetes, mas como se espera uma mesma correspodêca etre logartmos e comprmetos, deve-se chegar sempre aos mesmos resultados ecotrados acma. 6

27 E.4- Gráfcos E.4.- Itrodução A utlzação de gráfcos é uma das formas mas claras de apresetar o comportameto de duas gradezas correlacoadas. Potos epermetas, resultates de meddas, podem ser dstruídos sore uma escala gráfca e, a partr destes, é possível traçar uma lha (reta ou curva) que melhor se ajusta sore esses potos. A partr da forma da lha traçada a escala gráfca, é possível oter formações sore a le que correlacoa as gradezas. Para se costrur um om gráfco, deve-se adotar as regras que se seguem: Escolhe-se prmero escalas coveetes tas que torem facltada a costrução e a letura dos gráfcos. Não é ecessáro que as escalas dos eos sejam as mesmas. Essas escalas devem ser tas que a precsão dos potos geométrcos sore o gráfco sejam da ordem da precsão dos dados ecotrados as meddas. Não é coveete assalar as escalas as coordeadas dos potos epermetas. Em seguda, escreve-se um título que especfca o feômeo aalsado e os omes das gradezas, com respectvas udades, sore os eos que represetam. No eo horzotal deve ser laçada a varável depedete e o eo vertcal as varáves depedete, otda em fução da prmera. Não é ecessáro que a lha traçada o gráfco passe por todos os potos. A Fg. E.5 mostra um eemplo de costrução de um om gráfco, cujo comportameto é caracterzado por uma fução lear. As pequeas arras, horzotal e vertcal, marcados sore cada poto epermetal, são deomadas de arras de erro. Essas arras forecem um estmatva dos erros aleatóros emutdos em cada poto epermetal, resultate do processo de medda de cada uma das gradezas. Os erros aleatóros de cada poto epermetal podem ser estmados, costrudo-se amostras estatístcas, com determado úmero de dados, para cada gradeza evolvda a eperêca. As coordeadas do poto epermetal sore o gráfco, cocde com os valores médos meddos das gradezas, calculados das amostras estatístcas, e o tamaho das arras de erro detfca-se com tervalos de cofaça, assocados a uma determada fução de dstrução estatístca. E.4.- Gráfcos de Fuções Leares As fuções leares são aquelas cujas gradezas evolvdas relacoam-se, por a+ (E.7) ode, a é o coefcete agular, otdo pela clação da reta, e é o coefcete lear, otdo pela terseção da reta com o eo, como lustrado a Fg. E.5. Os métodos freqüetemete utlzados para a determação dos coefcetes agular e lear são: o método gráfco e o método dos mímos quadrados, sore os quas se faz uma reve dscussão as seções que se seguem. E.4..- Método Gráfco Esse método é aproprado quado se tem um úmero razoável de potos epermetas ( > 0), e sua utlzação requer uma oa dose de om seso. O método se asea uma estmatva dos parâmetros de uma reta que melhor se ajusta sore os potos epermetas, a partr do cetro de gravdade, g desses potos dstruídos sore o gráfco, ode ; (E.8) Uma reta horzotal e uma vertcal que passa por este poto o gráfco, defem quatro quadrates como se vê o eemplo da Fg. E.6. Neste eemplo, apromadamete, metade dos potos epermetas está o tercero 7

28 quadrate e metade o segudo. Para se estmar a reta que melhor se ajusta sore os potos epermetas, coloca-se a pota de um láps sore o poto (, ) toro do poto (, ) até que, apromadamete, quadrate e a mesma quatdade acma o segudo quadrate. e apóa-se a uma régua trasparete. Gra-se a régua em 84% dos potos fquem aao da régua o tercero Título 0 8 Potos Epermetas Reta Ajustada a+ Eo Y (Udade) a Eo X (Udade) Fg.E.5- Apresetação geral de um om gráfco. Agora, gra-se a régua em toro do poto (, ) até que, apromadamete, dos potos fquem acma da régua o tercero quadrate e a mesma quatdade aao o segudo quadrate. A reta traçada essas codções, tem uma clação máma com um certo erro padrão. Prologado-se essa reta até a má terceptar o eo, determa-se o coefcete lear. Pode-se otar que, a regão delmtada pelas retas de clação máma e míma, tem-se, apromadamete, 68% dos potos epermetas, o que é cosstete com o coceto de erro padrão σ σ, otdo do ( µ ) m 84% parâmetro zσ para z da dstrução ormal, defda a eq. (B.). σ Com essas cosderções, a reta que melhor se ajusta sore os potos epermetas, é a reta méda que fca a regão termedára etre as retas de clação míma e máma, como dcado a Fg. E.6. Os coefcetes lear e agular da reta méda, em como seus desvos padrões, são otdos por a amá a ( + ), ( + ) m a amá am, má m má m (E.9) 8

29 Caso os potos epermetas teham dferetes poderações de erros, pode-se segur o mesmo procedmeto porém, leva-se em cosderação os pesos relatvo de cada poto. Esses pesos são apromadamete guas às versas das arras de erro de cada poto Quadrate, g Quadrate a má a a m má m 0 Quadrate 3 Quadrate Fg. E.6- Determação dos coefcetes a e pelo método gráfco E.4..- Método dos Mímos Quadrados Esse método asea-se a mmzação da fução f a a calculado (, ) ( ) ( ) g a Nesse caso, procura-se ajustar os dados, da amostragem com a eq.(e.7), tal que, os coefcetes e calculado mmzem a dfereça etre os valores meddos e os valores ( ) calculados por essa equação [6][7]. Em outras palavras, o que se quer é, ecotrar valores a e que satsfaçam as codções f ( a, ) f ( a, ) 0, ou a f ( a, ) ( a ) ( a ) 0 a a e f ( a, ) ( a ) ( a ) 0 ou ada + a + 0 e + a + 0 9