Relação entre níveis de significância Bayesiano e freqüentista: e-value e p-value em tabelas de contingência

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1 Relação etre íves de sgfcâca Bayesao e freqüetsta: e-value e p-value em tabelas de cotgêca Cáta Petr DISSERTAÇÃO APRESENTADA AO INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO PARA OBTENÇÃO DO TÍTULO DE MESTRE EM CIÊNCIAS Área de cocetração: Estatístca Oretador: Prof. Dr. Carlos Alberto de Bragaça Perera São Paulo, feverero de 007.

2 Relação etre íves de sgfcâca Bayesao e freqüetsta: e-value e p-value em tabelas de cotgêca Este eemplar correspode à redação fal da dssertação devdamete corrgda e defda por Cáta Petr e aprovada pela Comssão Julgadora. São Paulo, 0 de Abrl de 005. Baca Eamadora: Prof. Dr. Carlos Alberto de Bragaça Perera (oretador) - IME/USP Prof. Dr. José Afoso Mazzo - FEA/USP Prof. Dr. Sergo Wechsler - IME/USP

3 À memóra de Elzabeth, mha mãe querda 3

4 Agradecmetos Em prmero lugar, agradeço ao grade mestre e amgo, o Professor Carlhos, pela oretação esta dssertação e por todos os esametos que valerão para a vda tera. Agradeço ao meu pa, João, por todos os coselhos perfetos que me guaram até aqu. Aos meus rmãos, João e Macel, e meu sobrho Marquhos, pelo carho e apoo sempre. Ao Dallo Nakao e aos amgos do IME, que ão me dearam desstr dos estudos date das dfculdades da vda. Ao grade amgo Paulo Olvera, da Pol, que com seu cohecmeto e dedcação torou possível a otmzação dos programas aqu utlzados. À Uversdade de São Paulo e ao Isttuto de Matemátca e Estatístca pela oportudade cocedda de aperfeçoar meus estudos. 4

5 Resumo O FBST (Full Bayesa Sgfcace Test) é um procedmeto para testar hpóteses precsas, apresetado por Perera e Ster (999), e baseado o cálculo da probabldade posteror do cojuto tagete ao cojuto que defe a hpótese ula. Este procedmeto é uma alteratva Bayesaa aos testes de sgfcâca usuas. Neste trabalho, estudamos a relação etre os resultados do FBST e de um teste freqüetsta, o TRVG (Teste da Razão de Verossmlhaças Geeralzado), através de algus problemas clásscos de testes de hpóteses. Apresetamos, também, todos os procedmetos computacoas utlzados para a resolução automátca dos dos testes para grades amostras, ecessára ao estudo da relação etre os testes. 5

6 Abstract FBST (Full Bayesa Sgfcace Test) s a procedure to test precse hypotheses, preseted by Perera ad Ster (999), whch s based o the calculus of the posteror probablty of the set taget to the set that defes the ull hypothess. Ths procedure s a Bayesa alteratve to the usual sgfcace tests. I the preset work we study the relato betwee the FBST's results ad those of a frequetst test, GLRT (Geeralsed Lkelhood Rato Test) through some classcal problems hypotess testg. We also preset all computer procedures that compose the automatc solutos for applyg FBST ad GLRT o bg samples what was ecessary for studyg the relato betwee both tests. 6

7 Sumáro. Itrodução...9. Dstrbução de Drchlet.... Defção.... Uma Propredade....3 Uma Cojectura....4 Famíla Cojugada de Dstrbuções Testes Bayesao e Clássco (Freqüetsta) O FBST (Full Bayesa Sgfcace Test) O TRVG (Teste da Razão de Verossmlhaças Geeralzado) Aplcações Teste para Proporção Hpótese Nula FBST TRVG Resultados e Comparação Teste para Homogeedade de Proporções Hpótese Nula FBST TRVG Resultados e Comparação Teste de Homogeedade de Margas (O Problema de McNemar) Hpótese Nula FBST TRVG Resultados e Comparação Teste do Equlíbro Populacoal de Hardy-Weberg Hpótese Nula FBST TRVG Resultados e Comparação Teste de Idepêca Hpótese Nula

8 4.5. FBST TRVG Resultados e Comparação Cosderações Fas Referêcas Bblográfcas...67 A. Aeo - Programação o MatLab...68 A.0 O Ajuste da fução Beta Acumulada...68 A. Teste para Proporção...70 A.. FBST...70 A.. TRVG...7 A..3 O programa para calcular as duas estatístcas para grades amostras...7 A. Teste para Homogeedade de Proporções...74 A.. FBST...74 A.. TRVG...75 A..3 O programa para calcular as duas estatístcas para grades amostras...76 A.3 Teste de Homogeedade de Margas (O Problema de McNemar)...79 A.3. FBST...79 A.3. TRVG...80 A.3.3 O programa para calcular as duas estatístcas para grades amostras...8 A.4 Teste do Equlíbro Populacoal de Hardy-Weberg...83 A.4. FBST...83 A.4. TRVG...85 A.4.3 O programa para calcular as duas estatístcas para grades amostras...86 A.5 Teste de Idepêca...88 A.5. FBST...88 A.5. TRVG...90 A.5.3 O programa para calcular as duas estatístcas para grades amostras...9 8

9 . Itrodução A lteratura estatístca está repleta de procedmetos que vsam testar hpóteses estatístcas. Este trabalho se restrge aos testes de sgfcâca. Por teste de sgfcâca eta-se um procedmeto crado para medr a cosstêca dos dados com a hpótese so testada, deomada hpótese ula. Na lteratura estatístca freqüetsta, o cálculo do valor p (o p-value) é o eemplo mas cohecdo de tas procedmetos. Dversos métodos estão dspoíves para calcular o valor p. Recetemete, uma alteratva Bayesaa fo crada, e o valor e (e-value) passa a ser a alteratva Bayesaa do valor p. Esta dssertação rá focar a resolução de 5 problemas estatístcos amplamete dvulgados a lteratura através da utlzação de dos testes estatístcos de sgfcâca: ) Um teste Bayesao: o Full Bayesa Sgfcace Test (FBST) ou Teste de Sgfcâca Geuamete Bayesao, baseado a dstrbução a posteror, através do qual será calculado o e-value; ) Um teste Clássco: o Teste da Razão de Verossmlhaças Geeralzado (TRVG), baseado a razão etre os mámos - geral e sob a hpótese ula - através da qual será calculado o p-value. Os problemas aqu estudados serão baseados em hpóteses precsas. Ete-se por hpótese precsa aquela defda em um subespaço do espaço paramétrco cuja dmesão é meor do que a dmesão do espaço paramétrco orgal. Os problemas estudados são: ) Teste para a Proporção; ) Teste para Homogeedade de Proporções; 3) Teste de Homogeedade de Margas (o problema de McNemar); 4) Teste do Equlíbro Populacoal de Hardy-Weberg; e 5) Teste de Idepêca. O objetvo desta dssertação é apresetar ambos os cálculos, e-value e p- value, para os dferetes problemas, apresetar os programas utlzados para a aplcação dos testes para amostras cosderadas grades e, falmete, determar o tpo de relação estete etre p-value e e-value para cada problema. Na verdade 9

10 mostraremos que algumas fuções Beta acumuladas realzam bem o papel de relacoar o e-value ao p-value. O Capítulo apreseta a dstrbução de Drchlet e os prcpas resultados ecessáros para a aplcação do FBST. O Capítulo 3 apreseta de forma sucta o FBST e o TRVG. O Capítulo 4 apreseta os problemas com as defções das hpóteses de teresse, a resolução pelos dos métodos, a comparação etre os resultados e o melhor ajuste etre eles. Toda a programação fo feta o software MatLab, versão a release 3, e ecotra-se cometada o Aeo e dspoível em CD. Também estão dspoíves o CD todos os dados obtdos os eercícos aqu resolvdos e mostrados os gráfcos. 0

11 . Dstrbução de Drchlet. Defção Um vetor aleatóro θ (θ, θ,..., θ k ), com θ > 0 e θ, tem dstrbução de Drchlet de ordem k com parâmetros a (a, a,..., a k ), a > 0, se a desdade de θ é a fução k k a θ g( θ ) Γ a, Γ( a ) ode Γ(a ) é a fução Gama avalada o poto a. Em símbolos, escreve-se: θ a ~ D k (a).. Uma Propredade Cosderado as compoetes do vetor aleatóro z (z, z..., z k ) como varáves possudo dstrbução Gama, mutuamete depetes, com parâmetros (a, b), com a (a, a..., a k ), um vetor de compoetes reas postvas, e mesmo parâmetro escala b > 0, ou seja: z (a, b) ~ G(a, b) e a a b z f( z a,b), bz e Γ(a ) se t z + z z k, etão são váldas as segutes propredades: ) t (a, b) ~ G( a, b); ) se z θ, etão θ a ~ D k (a); t

12 ) v) z e t são depetes, fado a; t a méda e a matrz de covarâcas para θ são, respectvamete: µ µµ ' a µµ ' µ E( θ a) e Σ t t + M µµ ' µ µµ ' µµ ' M µµ ' K K O K µµ ' µµ ' M µ k µµ ' ode cada µ é uma compoete do vetor µ. A demostração das propredades acma pode ser verfcada em Perera & Basu (98). Dversos autores já mecoaram que o logartmo de uma varável Gama é bem apromado por uma varável Normal, ou seja, se um vetor z tem dstrbução Gama, etão este uma varável y com dstrbução Log-ormal equvalete a z. Para maores detalhes, veja Atchso & She (980). No trabalho de Rodrgues (005) é feta uma loga dscussão a respeto deste resultado, clusve grafcamete mostrado a qualdade da apromação etre as dstrbuções Gama(a,b) e Log-ormal de acordo com as possíves varações de a e b. Ada o mesmo trabalho estão dspoíves outros resultados mportates, como sobre a partção do vetor θ que possu dstrbução Drchlet resultar em vetores depetes também com dstrbução de Drchlet ou ada a defção da Drchlet de segudo tpo obtda através de uma reparametrzação do vetor θ. Com todos os resultados já apresetados, pode-se trabalhar com a apromação ormal para a reparametrzação do vetor θ com dstrbução Drchlet, coforme segue:.3 Uma Cojectura Seja θ a ~ D k (a), ao aplcar o vetor θ (θ, θ,..., θ k ) a reparametrzação w (w ( ),w,...,w k ) l θ,θ,..., θk-, θk

13 pode-se dzer que w tem dstrbução apromadamete ormal k-dmesoal com vetor de médas dado por: e matrz de covarâcas dada por: µ w Ψ(a) -Ψ(ak ) Ψ(a ) -Ψ(ak ) E( w ), M Ψ(ak-) -Ψ(ak ) Σ w Ψ' (a) + Ψ' (ak ) Ψ' (ak ) M Ψ' (ak ) Ψ' (a Ψ' (a ) + Ψ' (a ) M Ψ' (a k k ) ) k L L O L Ψ' (a Ψ' (a Ψ' (a k- M k k ) ) ) + Ψ' (a k, ) ode Ψ (a k ) e Ψ' (a k ) são respectvamete as fuções dgama e trgama avaladas o poto a k e defdas como: Γ'(ak ) Ψ(ak ) l Γ(ak ) eψ' (ak ) Ψ(ak ). a Γ(a ) a k k k.4 Famíla Cojugada de Dstrbuções Segudo Berger e Casella (00), a metodologa Bayesaa, o parâmetro θ (ou vetor de parâmetros θ) é tdo como uma quatdade descohecda, porém fa, cuja varação pode ser descrta por uma dstrbução de probabldade, chamada de dstrbução a pror. Esta dstrbução é subjetva, baseada apeas o cohecmeto do pesqusador e é defda ates que os dados sejam observados. Após se retrar uma amostra da população, a dstrbução a pror pode ser atualzada com a formação observada de modo a se obter a dstrbução a posteror. Esta atualzação é feta utlzado-se o fator de Bayes. Ao deotar a dstrbução a pror por π(θ) e a dstrbução amostral por f( θ), a dstrbução a posteror é dada por 3

14 ( ) ( ) f( θ)πθ πθ ( ), f( θ)πθ dθ ote que a dstrbução a posteror é uma dstrbução codcoal aos dados observados a amostra. Esta dstrbução agora é utlzada para se fazer ferêcas a respeto do parâmetro θ. Os problemas que serão estudados este trabalho estão restrtos aos vetores de dados observados (,, 3, 4 ), com, assocados ao vetor de parâmetros θ (θ, θ, θ 3, θ 4 ), com θ. A dstrbução codcoal de dado θ chama-se Dstrbução Multomal e é dada por 4 θ P( X θ)!,! em símbolos, escreve-se θ ~ M 4 (; θ). Para os problemas em que e θ possuem dmesão, a dstrbução de θ chama-se tromal e, o caso de dmesão, a dstrbução de θ cocde com a dstrbução bomal. Perera e Vaa (98) demostram que a dstrbução Drchlet está aturalmete cojugada com a dstrbução Multomal, por sso, a dstrbução Drchlet tora-se uma escolha atural como dstrbução a pror para os parâmetros aqu estudados. Desta maera, se θ a ~ D 4 (a), coforme defdo em. e se θ ~ M 4 (; θ), coforme defdo acma, etão θ ~ D 4 (a+). Demostração: pelo fator de Bayes, tem-se f ( θ ) P( θ)π P( θ)π ( θ) ( θ) dθ!! 4 4 θ Γ! θ Γ! 4 4 a a 4 4 θ Γ θ Γ a ( a ) a ( a ) j dθ 4

15 5 ( ) ( ) + + θ θ d θ θ d θ θ a! a! θ θ a! a! a 4 j k 4 a 4 j k a a Γ Γ Γ Γ. Perera e Vaa (98) demostram que ( ) k k 4 a a d θ Γ Γ θ a e, desta forma, segue que θ ~ D 4 (a+). As prors utlzadas este trabalho serão de dmesão 4 ou meor com vetor de parâmetros a.

16 3. Testes Bayesao e Clássco (Freqüetsta) 3. O FBST (Full Bayesa Sgfcace Test) O FBST (Full Bayesa Sgfcace Test ou Teste de Sgfcâca Geuamete Bayesao) fo prmero apresetado por Perera & Ster (999) como um teste Bayesao coerete e tutvo. Trata-se de um teste de sgfcâca estatístco baseado apeas a dstrbução a posteror, com o objetvo de determar a evdêca que os dados carregam a favor de uma hpótese precsa. Este teste pode ser mplemetado utlzado metódos de otmzação umérca e téccas de tegração. Como dto aterormete, por hpótese precsa ete-se H : θ Θ, Θ H Θ e dm( Θ H ) < dm( Θ). Neste trabalho será utlzada uma versão geeralzada do FBST, descrta por Madruga et al (003) que utlza uma desdade referêca o espaço paramétrco. A desdade referêca é escolhda o espaço das desdades sobre o espaço paramétrco orgal, ode a desdade a pror é defda. Em geral, a escolha da referêca reca sobre a desdade que descreve a meor formação sobre θ. Para este trabalho, a escolha da classe de dstrbuções a pror está restrta à classe de dstrbuções de Drchlet de ordem k. Uma escolha tutva e atural para a desdade referêca é a própra Drchlet com vetor de parâmetros formado por em todas as posções, que é, a realdade, a própra desdade Uforme. Sejam uma hpótese precsa H: θ Θ, f(θ) e r(θ) as desdades a posteror e referêca para θ, respectvamete, defe-se: H H θ * * f( θ) * f( θ) f( θ ) arg ma e s ma. θ Θ * H r( θ) θ Θ H r( θ) r( θ ) f( θ) A fução s( θ ) é chamada surpresa relatva. Defe-se também o r( θ) espaço paramétrco Θ o cojuto de maor surpresa relatva (em glês, hghest 6

17 relatve surprse set - HRSS), que em qualquer poto de * Θ de potos Θ H, ou seja: θ Θ com surpresa relatva s(θ) maor do f( θ) * Θ * θ Θ s. r( θ) Note que o cojuto * Θ é tagete ao cojuto Θ H em * Θ. A evdêca cotra H, de acordo com os dados amostras é dada pela probabldade a posteror do cojuto tagete * Θ : ev f( θ)dθ. * Θ O valor da evdêca a favor de H é o complemetar de ev, ou seja, e-value - ev. O FBST rejeta a hpótese ula quado o e-value resultar em um valor pequeo. O cálculo do FBST é feto em duas etapas: ) Otmzação umérca: cosste em ecotrar o argumeto que mamza a surpresa relatva sob a hpótese H: θ * arg ma f( θ) ; r( θ θ ΘH ) ) Itegração umérca: cosste em tegrar a desdade a posteror sobre a regão tagete: ev f( θ)dθ. * Θ Esta defção da evdêca cotra H é varate quato a uma possível reparametrzação de θ. Voltado aos problemas que serão aalsados este trabalho, ao aplcar em θ (θ, θ, θ, θ ) a reparametrzação vsta a cojectura.3, obtém-se: 7

18 w (w, w, w 3 ) l ( θ, θ, θ), θ e, de acordo com a cojectura, o vetor w tem dstrbução apromadamete ormal com matrz de médas µ w e de covarâcas Σ w, respectvamete, ou seja, g(w) ~ N(µ w, Σ w ). Da mesma forma, a desdade referêca também será apromada por uma ormal com matrz de médas µ r e de covarâcas Σ r, respectvamete, ou seja, q(w) ~ N(µ r, Σ r ). Deste modo, a fução surpresa relatva passa a ser: f( w) s( w) r( w) πσ w πσ r ( w µ ep Σw w ( w µ r ) ep Σr ) [( )' Σ ( ) - ( )' Σ ( )] Σ w Σr ep w µ r r w µ r w µ w w w µ w. As partculardades para cada tpo de problema e hpóteses serão apresetadas o prómo capítulo juto da resolução dos testes. 3. O TRVG (Teste da Razão de Verossmlhaças Geeralzado) Defção Seja,,..., uma amostra aleatóra da varável aleatóra X, com fução de desdade ou probabldade f( θ), com θ Θ. A fução de verossmlhaça de θ assocada a esta amostra é dada por: L( θ; ) f( θ). 8

19 Defção O estmador de máma verossmlhaça de θ, chamado de θˆ, é o valor de Θ que mamza a fução de verossmlhaça defda acma. Sejam as hpóteses: H: θ Θ Η A : θ Θ A ode Θ ΘH Θ A, ΘH Θ A, ΘH, Θ. A O Teste da Razão de Verossmlhaças Geeralzado pode ser defdo como o teste que utlza como estatístca a razão λ( ) de duas mamzações: ) o mámo restrto ao subespaço defdo por H; ) o mámo da verossmlhaça. supθ Θ L( θ; ) H A razãoλ( ), ou seja, a razão das verossmlhaças calculadas sup L( θ; ) θ Θ em seus mámos, deve varar etre 0 e. É tutvo otar que quado H é verdadera, espera-se que λ( ) esteja prómo de e, quado H for falsa, esperase que λ() esteja prómo de 0. Wlks (935, 938) mostrou que, quado, a dstrbução ula (dstrbução sob H) de -λ() é apromadamete Qu-Quadrado, com úmero de graus de lberdade determado pela dfereça etre as dmesões do espaço paramétrco orgal e do subespaço defdo por H. 9

20 4. Aplcações Para o Cálculo do FBST, a etapa de otmzação umérca pode ser realzada de duas maeras: ) utlzado o estmador de máma verossmlhaça θˆ de θ como o mámo da fução surpresa relatva; ) embora o uso do EMV de θ seja correto, pode-se calcular o poto de mámo da fução utlzado algum método de otmzação própro do software utlzado. Apesar de os dos cálculos apresetarem resultados dêtcos, ambos serão apresetados os programas do aeo. Quado o poto de mámo θˆ for de fácl cálculo, basta substtuí-lo a fução surpresa relatva para ecotrar seu mámo, dessa forma ecoomzado tempo de processameto. Quado o poto de mámo ão for cohecdo, o mámo da fução surpresa relatva pode ser ecotrado com téccas de otmzação própras do software. A obteção do poto de mámo pelos dos métodos é apresetada o aeo. Quado o úmero de potos amostras cujas fuções devem ser otmzadas é muto grade, como em algus eemplos mostrados a segur, o fato de cohecer o poto de mámo através de θˆ é muto vatajoso pos ajudará a reduzr sesvelmete o tempo de processameto computacoal. Ada para o FBST, a etapa de tegração umérca é feta através do cálculo da fução surpresa relatva em 0 ml amostras apresetado dstrbução ormal com méda e varâca defda em cada problema, estes potos amostras são aleatorzados pelo software. A proporção de potos que apresetarem valor da fução surpresa relatva feror ao valor obtdo o poto de mámo é o própro e- value. Todos os cálculos do TRVG produzdo os p-values também foram programados e serão apresetados o aeo. Para elucdar a relação etre p-value e e-value, em todos os eemplos, os potos (p-value, e-value) foram apresetados em forma de gráfco. Será possível otar que este uma forte correlação etre os mesmos. Um dos objetvos deste trabalho é eplctar esta relação através de fuções Beta acumuladas, sto é, 0

21 mostrar que a relação etre p-value e e-value é apromada por uma fução de dstrbução Beta: ( a,b) B a,b ( ) ( t) a b f t dt, 0 a com ( a,b) t ( t) 0 b B dt. Para a obteção dos parâmetros a e b da fução Beta acumulada, o prmero passo fo cosderar, para os potos do gráfco dos e-values em fução dos p- values, uma dscretzação o eo dos p-values, calculado-se para cada tervalo o valor médo dos e-values. Após este cálculo, gerou-se uma sple de ordem cúbca para terpolar os valores obtdos a dscretzação. Esta sple é utlzada como base para obter-se os coefcetes da fução Beta acumulada. Para sso foram calculados os valores de referêca para a sple através de uma ova dscretzação, maor que a utlzada para sua costrução. Os parâmetros da fução Beta acumulada foram varados em um dado tervalo e, com um passo cohecdo, fo utlzado o método dos mímos quadrados para mmzar o erro etre as duas curvas testadas (o erro mmzado é a soma dos quadrados das dfereças etre os valores de referêca calculados para as duas curvas cosderadas), so os valores da fução Beta acumulada obtdos a mesma dscretzação utlzada para o cálculo dos valores de referêca da sple. A precsão dos parâmetros calculados para as Betas chegou à ordem de Teste para Proporção O teste para a Proporção é um eemplo padrão que tem por objetvo determar se a taa de ocorrêca de uma determada característca em uma população X pode ser represetada por um valor cohecdo p. O espaço paramétrco é o tervalo utáro Θ {0 θ }. Uma amostra de dvíduos é retrada da população. Seja o úmero de dvíduos a amostra que apresetam a característca em estudo, se a proporção

22 de dvíduos com a característca a população for represetada por θ, ( 0 θ ), etão X ~ B(, θ ). Como eemplos de aplcação deste teste, podemos ctar as pesqusas fetas ates e após as propagadas eletoras para verfcar se a preferêca por um determado caddato aumetou; se o tempo de cura para determada doeça dmuu após a utlzação de um certo medcameto ou se as vas de um produto de cosumo aumetaram após a veculação de uma propagada a televsão. 4.. Hpótese Nula Para este teste, as hpóteses de teresse são: H: p, 0 p θ A: θ P, ode P é um cojuto própro de [0, ] 4.. FBST Cosdere o vetor de parâmetros θ (θ, θ ) que, para este teste, pode ser reescrto a forma θ (θ, - θ ), assocado ao vetor de dados observados (, ). A pror adotada para θ será D (), θ, como já fo mecoado, possu dstrbução Bomal com parâmetros e θ e, portato, de acordo com a dscussão feta em.4, θ ~ D (+). Ao aplcar em θ a reparametrzação testar H fca equvalete a testar: θ w (w) l θ, θ H: w l v -θ Com esta reparametrzação e de acordo com a cojectura.3, a desdade a posteror f(w) e a desdade de referêca r(w) podem ser apromadas pela ormal com médas µ w e µ r, e varâcas σ w e σ r, respectvamete, dadas por:

23 e µ r w E(w) Ψ(+ ) - Ψ(+ ) eµ E(r) 0 σ Ψ'(+ ) + Ψ'(+ ) e σ Ψ'(). w r Com as desdades a posteror e referêca defdas, pode-se calcular a surpresa relatva: ( w -µ ) f(w) σ r w w s(w) ep. r(w) σ w σ r σ w O teste é aplcado coforme descrto em TRVG Seja (, ) o vetor de dados observados a amostra. Sob H, A, a estmatva para θ é dada pelo estmador de máma verossmlhaça Deste modo, as fuções de verossmlhaça sob H e sob H A são: θ p. Sob θ. L(θ - - H; ) p (- p) e L(θH A; ) -. por: De modo que a estatístca qu-quadrado da razão de verossmlhaças é dada Q - * lλ() - * l - p (- p) - -. Smplfcado λ(), obtém-se: - p (- p) Q - *, 3

24 e, aplcado o l, chega-se a: Q ( l p + l (- p) + l - l l ) - *. Para o caso geral (sob H A ), o espaço paramétrco é determado pela proporção θ sujeta à restrção ( 0 θ ), portato a dmesão é. Sob H, θ é fo, portato a dmesão é 0. A dfereça etre as duas dmesões é - 0. Portato, para amostras grades, Q ~ χ e p - P( χ > Q ) value Resultados e Comparação As tabelas a segur apresetam algus resultados do e-value e do p-value para dferetes valores do vetor (, ) com dferetes tamahos de amostra e valores da proporção p: Tabela Aplcação do teste da Proporção em amostras de tamaho 00 com dferetes valores de p p 0,3 p 0,5 p 0,9 e-value p-value e-value p-value e-value p-value ,00 0, ,000 0, ,000 0, ,008 0, ,003 0, ,000 0, ,03 0, ,009 0, ,06 0, ,4 0, ,09 0, ,05 0, ,4 0, ,068 0, ,076 0, ,76 0, , 0, ,06 0, ,374 0, ,3 0, ,0 0, ,54 0, ,684 0, ,344 0, ,650 0, ,833 0, ,796 0, ,99, ,000, ,933,000 Tabela Aplcação do teste da Proporção em amostras de tamaho.000 com dferetes valores de p 4

25 p 0,3 p 0,5 p 0,9 e-value p-value e-value p-value e-value p-value ,000 0, ,000 0, ,000 0, ,0 0, ,05 0, ,000 0, ,0 0, ,07 0, ,07 0, ,78 0, ,055 0, ,033 0, ,548 0, ,4 0, ,300 0, ,733 0, ,63 0, ,499 0, ,78 0, ,306 0, ,77 0, ,783 0, ,536 0, ,778 0, ,835 0, ,803 0, ,809 0, ,997, ,000, ,978,000 Tabela Aplcação do teste da Proporção em amostras de tamaho com dferetes valores de p p 0,3 p 0,5 p 0,9 e-value p-value e-value p-value e-value p-value ,038 0, ,053 0, ,00 0, ,57 0, ,34 0, ,75 0, ,87 0, ,35 0, ,34 0, ,370 0, ,36 0, ,7 0, ,4 0, ,40 0, ,38 0, ,540 0, ,506 0, ,40 0, ,660 0, ,685 0, ,564 0, ,786 0, ,79 0, ,74 0, ,84 0, ,869 0, ,837 0, ,966 0, ,950 0, ,94 0,947 Com o tuto de verfcar se a relação etre p-value e e-value ão se modfca de acordo com o tamaho da amostra observada e com o valor de p testado, foram realzadas dversas smulações com dferetes tamahos de amostras e valores de p, varro todo o espaço amostral, ou seja, utlzado todas as combações possíves de elemetos as duas posções do vetor (, ) de modo a se obter soma + e, também, de forma que ehum < 5. Os resultados podem ser observados os gráfcos do e-value em fução do p-value dspoblzados a segur: 5

26 Teste de Proporçao p 0.3 Teste de Proporçao p 0.5 Teste de Proporçao p 0.9 e-value p-value p-value p-value Fgura Relação etre e-value e p-value para 00 com dferetes valores de p Teste de Proporçao p 0.3 Teste de Proporçao p 0.5 Teste de Proporçao p 0.9 e-value p-value p-value p-value Fgura Relação etre e-value e p-value para.000 com dferetes valores de p Teste de Proporçao p 0.3 Teste de Proporçao p 0.5 Teste de Proporçao p 0.9 e-value p-value p-value p-value Fgura Relação etre e-value e p-value para com dferetes valores de p 6

27 Em todos os gráfcos, pode-se verfcar que, depetemete dos valores de e p, a curva que melhor represeta os potos é sempre gual. A lha vermelha represeta a curva da fução Beta acumulada com parâmetros a 0,9957 e b 0,9956. Estes valores foram ajustados com base os potos amostras obtdos para e p 0,5, coforme descrto o íco do capítulo. Para a obteção desta curva, o prmero passo é a dscretzação dos potos (p-value, e-value) para obteção dos potos médos ecessáros para garatr a ucdade o mapeameto dos pares (p-value, e-value) e, dessa forma possbltar o ajuste da curva sple: Obteçao dos potos medos com dscretzacao 0.0 e a beta epermetal 0.8 e-value data medas p-value Fgura Dscretzação dos potos (p-value, e-value) Neste gráfco, os potos amarelos com rótulo data represetam os potos (p-value, e-value) obtdos com os dos métodos de resolução do teste e os potos verdes com rótulo medas represetam as médas dos e-values o tervalo dscretzado dos p-values. Com base os potos médos, a sple é ajustada e, após mas algus passos, a curva da Beta acumulada é obtda: 7

28 Obteçao das sple cubca com dscretzacao 0.0 e a beta epermetal 0.8 e-value data sple beta p-value Fgura Ajuste da Beta acumulada pela sple Neste gráfco, os potos amarelos com rótulo data represetam os potos (p-value, e-value) obtdos com os dos métodos de resolução do teste, a lha azul com rótulo sple represeta a curva sple ajustada após a dscretzação dos dados e, falmete, a lha vermelha com rótulo beta represeta a curva da Beta acumulada melhor ajustada aos potos deste teste. 4. Teste para Homogeedade de Proporções O teste de Homogeedade tem por objetvo determar se a taa de ocorrêca de uma determada característca é a mesma para duas populações dsttas (X e X ). Uma amostra de dvíduos é retrada da prmera população e uma amostra de m dvíduos é retrada da seguda. Supoha que e sejam o úmero de dvíduos de cada uma das amostras que apresetam a característca em estudo, se a proporção de dvíduos com a característca a população X for represetada por θ, ( 0 θ ) e a proporção a população X for represetada por θ, ( 0 θ ), etão pode-se afrmar que X ~ B(, θ ) e X ~ B(m, θ ), com X e X depetes. A tabela de freqüêcas observadas para as duas amostras ecotra-se a segur: 8

29 Tabela Freqüêcas observadas Ocorrêca Sm Não Total População X População Y m Total + + m m Para este caso, vale a relação - e m -. Dados os vetores de parâmetros θ () (θ, θ ) e θ () (θ, θ ), sujetos às restrções θ - θ e θ - θ, a fução de verossmlhaça para e é dada pelo produto das Bomas: m m L( θ, ) θ ( θ) θ ( θ). O espaço paramétrco para este caso é dado por Θ {0 θ j θ + θ ^ θ + θ }. Como eemplos de aplcação deste teste, podemos ctar a comparação de duas populações com relação à cdêca de uma determada doeça, comportameto de cosumo ou preferêca eletoral. 4.. Hpótese Nula Para este teste, as hpóteses de teresse são: H: θ θ (as probabldades de ocorrêca da característca são guas para as duas populações) A: θ θ (as probabldades de ocorrêca da característca são dferetes) 4.. FBST Cosdere os vetores de parâmetros θ () (θ, θ ) e θ () (θ, θ ) que, para este teste, podem ser reescrtos a forma θ () (θ, - θ ) e θ () (θ, - θ ), 9

30 assocados aos vetores de dados observados (, ) e (, ). As prors adotadas para θ () e θ () serão D (), θ e θ, como já fo mecoado, possuem dstrbução Bomal com parâmetros (, θ () ) e (m, θ () ) respectvamete e, portato, de acordo com a dscussão feta em.4, θ () ~ D (+ ) e θ () ~ D (+ ). Ao aplcar em θ a reparametrzação w (w, w θ ) l θ θ, θ θ θ l,, -θ -θ testar H fca equvalete a testar: θ θ H: w w l l -θ -θ Com esta reparametrzação e de acordo com a cojectura.3, as desdades a posteror f(w ) e f(w ) e a desdade de referêca r(w) podem ser apromadas pela ormal, com médas µ w, µ w e µ r, e varâcas respectvamete, dadas por: e σ, w µ w Ψ(+ ) - Ψ(+ ),µ w Ψ(+ ) - Ψ(+ ),µ r σ e w 0 σ, r σ w Ψ'(+ ) + Ψ'(+ ), σ Ψ'(+ ) + Ψ'(+ ), σ w r Ψ'(). Com as desdades a posteror e referêca defdas, pode-se calcular a surpresa relatva: f(w) f(w) s(w). r(w) r(w) w ep σ ( ) w -µ ( w -µ ) σ r w r w σ w r σ w w r σ w σ. σ w ep σ 30

31 3 ( ) ( ) + w w r w w r w w r σ -µ w σ w σ -µ w σ w ep σ σ σ. O teste é aplcado coforme descrto em TRVG Utlzado a fução de verossmlhaça defda em 4., o estmador de máma verossmlhaça para θ sob H: θ θ é dado por m θˆ + +. Sob A, a estmatva para θ e θ é dada pelos respectvos estmadores de máma verossmlhaça θˆ e m θˆ. Deste modo, as fuções de verossmlhaça sob H e sob A H são: m H m m m m m ) L( ,y θ e m A H m m m ), ; L( y θ. De modo que a estatístca qu-quadrado da razão de verossmlhaças é dada por: * lλ() - Q m m m m m m m m m m l * -. Smplfcado λ(), obtém-se:

32 Q + - * l + m + + m m m m + m, + m m - e, aplcado o l, chega-se a: - * { m ( + ) l( + ) + ( + ) l( + ) ( + m) l( + ) Q l l l l } + l + m l m. Para o caso geral (sob H A ), o espaço paramétrco é determado pelas proporções θ j sujetas às restrções leares θ, para,, portato a dmesão é +. Sob H, θ θ, portato a dmesão é. A dfereça etre as duas dmesões é -. Portato, para amostras grades, 4..4 Resultados e Comparação j j value. Q ~ χ e p - P( χ > Q ) As tabelas que seguem apresetam algus resultados do e-value e do p- value para dferetes valores do vetor (,,, ) com dferetes tamahos de amostras e m: Tabela Aplcação do teste de Homogeedade o caso m 3

33 m 30 m 50 e-value p-value e-value p-value ,00 0, ,08 0, ,003 0, ,09 0, ,03 0, ,055 0, ,76 0, ,57 0, ,9 0, ,70 0, ,55 0, ,478 0, ,88 0, ,609 0, ,958 0, ,76 0, ,965 0, ,906 0, ,994, ,988,000 m 00 e-value p-value ,00 0, ,08 0, , 0, ,89 0, ,39 0, ,4 0, ,785 0, ,95 0, ,958 0, ,967,000 Tabela Aplcação do teste de Homogeedade o caso < m 33

34 30, m 60 50, m 00 e-value p-value e-value p-value ,0 0, ,04 0, ,7 0, , 0, ,48 0, ,79 0, ,475 0, ,37 0, ,585 0, ,69 0, ,65 0, ,438 0, ,750 0, ,488 0, ,857 0, ,503 0, ,90 0, ,93 0, ,999, ,993 0,908 Tabela Aplcação do teste de Homogeedade o caso > m 50, m 5 80, m 40 e-value p-value e-value p-value ,04 0, ,085 0, ,80 0, ,9 0, ,94 0, ,9 0, ,70 0, ,30 0, ,366 0, ,487 0, ,403 0, ,576 0, ,475 0, ,67 0, ,540 0, ,798 0, ,984 0, ,965 0, ,984 0, ,993 0,897 Com o tuto de verfcar se a relação etre p-value e e-value ão se modfca de acordo com o tamaho da amostra observada, foram realzadas smulações com dferetes tamahos de amostras e m, varro todo o espaço amostral, ou seja, utlzado todas as combações possíves de elemetos as quatro posções do vetor (,,, ) de modo a se obter soma + e + m e, também, de forma que ehum j < 5. Os gráfcos do e-value em fução do p-value para dferetes valores de e m, com m ecotram-se a segur: 34

35 Teste de Homogeedade 30 m 30 Teste de Homogeedade 50 m e-value e-value p-value p-value Teste de Homogeedade 00 m e-value p-value Fgura Relação etre e-value e p-value para m Os gráfcos do e-value em fução do p-value para dferetes valores de e m, com m ecotram-se a segur: 35

36 Teste de Homogeedade 30 m 60 Teste de Homogeedade 50 m e-value e-value p-value p-value Teste de Homogeedade 50 m 5 Teste de Homogeedade 80 m e-value e-value p-value p-value Fgura Relação etre e-value e p-value para m Em todos os gráfcos, pode-se verfcar que, depetemete dos valores de e m e da relação etre eles (guas ou dferetes), a curva que melhor represeta os potos é sempre gual. A lha vermelha represeta a curva da fução Beta acumulada com parâmetros a 0,899 e b,9586. Estes valores foram ajustados com base os potos amostras obtdos para m 00, coforme descrto o íco do capítulo. Para a obteção desta curva, o prmero passo é a dscretzação dos potos (p-value, e-value) para obteção dos potos médos ecessáros para garatr a ucdade o mapeameto dos pares (p-value, e-value) e, dessa forma possbltar o ajuste da curva sple: 36

37 Obteçao dos potos medos com dscretzacao 0.0 e a beta epermetal 0.8 e-value data medas p-value Fgura Dscretzação dos potos (p-value, e-value) Neste gráfco, os potos amarelos com rótulo data represetam os potos (p-value, e-value) obtdos com os dos métodos de resolução do teste e os potos verdes com rótulo medas represetam as médas dos e-values o tervalo dscretzado dos p-values. Com base os potos médos, a sple é ajustada e, após mas algus passos, a curva da Beta acumulada é obtda: Obteçao das sple cubca com dscretzacao 0.0 e a beta epermetal 0.8 e-value data sple beta p-value Fgura Ajuste da Beta acumulada pela sple 37

38 Neste gráfco, os potos amarelos com rótulo data represetam os potos (p-value, e-value) obtdos com os dos métodos de resolução do teste, a lha azul com rótulo sple represeta a curva sple ajustada após a dscretzação dos dados e, falmete, a lha vermelha com rótulo beta represeta a curva da Beta acumulada melhor ajustada aos potos deste teste. 4.3 Teste de Homogeedade de Margas (O Problema de McNemar) Dados dos evetos A e B, cada um com categoras, ao classfcar dvíduos de uma população segudo cada uma das categoras de A e B, obtém-se a tabela de cotgêca X: Tabela Freqüêcas observadas Eveto B Eveto A Categora Categora Total Categora. Categora N. Total.. ode. j e.j j j. Cada dvíduo é classfcado em apeas uma combação de categoras de A e B, em outras palavras, as combações são eaustvas e mutuamete eclusvas. Pode-se dzer que esta população apreseta homogeedade margal quato à dstrbução dos dos evetos quado:..j, para j. 38

39 Cosderado o vetor de parâmetros θ (θ, θ, θ, θ ) assocado a cada uma das caselas da tabela acma, a fução de verossmlhaça para os dados é dada pelo modelo Multomal com parâmetro θ: θ! θ L( )!!!! θ θ θ O espaço paramétrco para este caso é dado por Θ {0 θ j θ + θ + θ + θ }. Este teste pode ser aplcado, por eemplo, para verfcar se dos professores de uma mesma matéra são gualmete egetes a avalação da mesma turma de aluos Hpótese Nula Para este teste, as hpóteses de teresse são: H: θ θ A: θ θ 4.3. FBST Cosdere o vetor de parâmetros θ (θ, θ, θ, θ ) assocado ao vetor de dados observados (,,, ). A pror adotada para θ será D 4 (), θ, como já fo mecoado, possu dstrbução Multomal com parâmetros e θ e, portato, de acordo com a dscussão feta em.4, θ ~ D 4 (+). Ao aplcar em θ a θ reparametrzação (w, w, w ) l (, ) testar: w 3 θ,θ θ, testar H fca equvalete a θ θ H: w w 3 l l θ θ 39

40 Com esta reparametrzação e de acordo com a cojectura.3, a desdade a posteror f(w) e a desdade de referêca r(w) podem ser apromadas pela ormal com matrzes de médas µ w e µ r, e de covarâcas Σ w e Σ r, respectvamete, dadas por: e Σ w Ψ(+ ) - Ψ(+ ) µ w E( w) Ψ(+ ) - Ψ(+ ) eµ r Ψ(+ ) - Ψ(+ ) Ψ'(+ ) + Ψ'(+ Ψ'(+ ) Ψ'(+ ) ) Ψ'(+ Ψ'(+ ) + Ψ'(+ Ψ'(+ ) ) ) 0 E( r) 0 0 Ψ'(+ Ψ'(+ Ψ'(+ ) ) ) + Ψ'(+ e ) Ψ'() Ψ'() Ψ'() Σ r Ψ'() Ψ'() Ψ'(). Ψ'() Ψ'() Ψ'() Com as desdades a posteror e referêca defdas, pode-se calcular a surpresa relatva: f( w) s( w) Σw Σ r ep r( w) O teste é aplcado coforme descrto em 3.. [ w'σ w - (w -µ )'Σ (w -µ )] r w w w TRVG Utlzado a fução de verossmlhaça defda em 4.3, o estmador de máma verossmlhaça para θ sob H: θ θ é dado por +. Sob A, a θˆ estmatva para o vetor de parâmetros θ é dada pelo estmador de máma verossmlhaça H A são: θˆ. Deste modo, as fuções de verossmlhaça sob H e sob 40

41 e por: L( θ H ; )!!!!! + +! L( θ H A; )!!!!. De modo que a estatístca qu-quadrado da razão de verossmlhaças é dada Q - * lλ()!!!! - * l!!!!!! + +. Smplfcado λ(), obtém-se: Q + - * l + e, aplcado o l, chega-se a: Q - * [( + ) l( + ) ( + ) l l l ]. Para o caso geral (sob H A ), o espaço paramétrco é determado pelas proporções p j sujetas à restrção lear p j, portato a dmesão é X - j 3. Sob H: θ θ, a dmesão do espaço é. A dfereça etre as duas dmesões é 3 -. Portato, para amostras grades, Q ~ χ e p - P( χ > Q ) value Resultados e Comparação 4

42 A tabela a segur apreseta algus resultados do e-value e do p-value para dferetes valores do vetor (,,, ) com dferetes tamahos de amostra: Tabela Aplcação do teste de Homogeedade de Margas em amostras de tamahos dferetes e-value p-value ,38 0, ,554 0, ,779 0, ,994 0, ,58 0, ,08 0, ,67 0, ,94 0, ,09 0, ,79 0, ,88 0, ,988 0,75 Com o tuto de verfcar se a relação etre p-value e e-value ão se modfca de acordo com o tamaho da amostra observada, foram realzadas smulações com dferetes tamahos de amostra, varro todo o espaço amostral, ou seja, utlzado todas as combações possíves de elemetos as quatro posções do vetor (,,, ) de modo a se obter soma e, também, de forma que ehum j < 5. Os resultados podem ser observados os gráfcos do e-value em fução do p-value dspoblzados a segur: 4

43 Teste de McNemar 0.8 e-value p-value Fgura Relação etre e-value e p-value para 30 Teste de McNemar 0.8 e-value p-value Fgura Relação etre e-value e p-value para 50 43

44 Fgura Relação etre e-value e p-value para 00 Em todos os gráfcos, pode-se verfcar que, depetemete dos valores de, a curva que melhor represeta os potos é sempre gual. A lha vermelha represeta a curva da fução Beta acumulada com parâmetros a 0,687 e b 3,089. Estes valores foram ajustados com base os potos amostras obtdos para 00, coforme descrto o íco do capítulo. Para a obteção desta curva, o prmero passo é a dscretzação dos potos (p-value, e-value) para obteção dos potos médos ecessáros para garatr a ucdade o mapeameto dos pares (p-value, e-value) e, dessa forma possbltar o ajuste da curva sple: 44

45 Fgura Dscretzação dos potos (p-value, e-value) Neste gráfco, os potos amarelos com rótulo data represetam os potos (p-value, e-value) obtdos com os dos métodos de resolução do teste e os potos verdes com rótulo medas represetam as médas dos e-values o tervalo dscretzado dos p-values. Com base os potos médos, a sple é ajustada e, após mas algus passos, a curva da Beta acumulada é obtda: 45

46 Fgura Ajuste da Beta acumulada pela sple Neste gráfco, os potos amarelos com rótulo data represetam os potos (p-value, e-value) obtdos com os dos métodos de resolução do teste, a lha azul com rótulo sple represeta a curva sple ajustada após a dscretzação dos dados e, falmete, a lha vermelha com rótulo beta represeta a curva da Beta acumulada melhor ajustada aos potos deste teste. 4.4 Teste do Equlíbro Populacoal de Hardy-Weberg Cosdere que em uma população uma característca atrbuída a um determado par de gees apresete 3 geótpos: AA, Aa ou aa. As proporções de cada um dos geótpos a população são represetadas o vetor θ (θ, θ, θ 3 ), Weberg estabelece que esta população está em equlíbro gêco se a proporção de cada um dos geótpos puder ser escrta sob a forma 3 com θ > 0 e sujetas à restrção lear θ. A Le do Equlíbro de Hardy- θ θ, θ θ(-θ) eθ (-θ) 3, para algum θ 0. 46

47 A fm de se testar a hpótese de equlíbro, observa-se uma amostra de dvíduos desta população. O vetor (,, 3 ) represeta as freqüêcas observadas de dvíduos classfcados sob cada um dos geótpos, e o vetor de parâmetros θ (θ, θ, θ 3 ) represeta a probabldade de ocorrêca de cada geótpo. A fução de verossmlhaça para os dados é dada pelo modelo Tromal com parâmetro θ:! 3 L( θ ) θθ θ3!!3!. O espaço paramétrco para este caso é dado por Θ {0 θ θ + θ + θ 3 }. Como eemplos de aplcação deste teste, podemos ctar a comparação de duas populações com relação à cdêca de uma determada doeça, comportameto de cosumo ou preferêca eletoral Hpótese Nula Para este teste, as hpóteses de teresse são: H: equlíbro gêco) A: as 3 proporções acma ão se aplcam smultaeamete (a população ão está em equlíbro gêco) 4.4. FBST p [0,] p p,p p(- p) e p3 (- p) (a população está em Cosdere o vetor de parâmetros θ (θ, θ, θ 3 ) que, para este teste, pode ser reescrto a forma θ (θ, θ(-θ), (-θ) ), assocado ao vetor de dados observados (,, 3 ). A pror adotada para θ será D 3 (), θ, como já fo mecoado, possu dstrbução Tromal com parâmetros e θ e, portato, de 47

48 acordo com a dscussão feta em.4, θ ~ D 3 (+). Ao aplcar em θ a reparametrzação (w, w ) l θ3 w ( ) θ, θ, testar H fca equvalete a testar: θ θ(-θ) H: w (w, w ) l, (-θ) (-θ) Com esta reparametrzação e de acordo com a cojectura.3, a desdade a posteror f(w) e a desdade de referêca r(w) podem ser apromadas pela ormal com matrzes de médas µ w e µ r, e de covarâcas Σ w e Σ r, respectvamete, dadas por: Ψ(+ E( w) Ψ(+ ) - Ψ(+ ) eµ ) 3 µ w r ) - Ψ(+ 3 0 E( r) 0 e Σ w Ψ '(+ ) + Ψ'(+ ) Ψ'(+ ) 3 3 Ψ'(+ Ψ'(+ ) 3 ) + Ψ'(+ 3 e ) Σ r Ψ'() Ψ'() Ψ'() Ψ'(). Com as desdades a posteror e referêca defdas, pode-se calcular a surpresa relatva: f( w) s( w) Σw Σ r ep r( w) [ w'σ w - (w -µ )'Σ (w -µ )] r w w w. O teste é aplcado coforme descrto em TRVG Utlzado a fução de verossmlhaça defda em 4.4, o estmador de máma verossmlhaça para θ sob H é dado por θˆ. Sob A, a estmatva + 48

49 para o vetor de parâmetros θ é dada pelo estmador de máma verossmlhaça θˆ. Deste modo, as fuções de verossmlhaça sob H e sob H A são: e por: L( θ H! + ; )!! 3! 3 + 3! 3 L( H A; )!!3! θ De modo que a estatístca qu-quadrado da razão de verossmlhaças é dada Q - * lλ() 3! !! 3! - * l. 3! 3!! 3! Smplfcado λ(), obtém-se: Q ( + )( ) * l e, aplcado o l, chega-se a: {(- + ) l + ( + ) l( + ) + ( + ) l( + ) l Q - * 3 3 l l 3 l 3}. 49

50 Para o caso geral (sob H A ), o espaço paramétrco é determado pelas 3 proporções θ sujetas à restrção lear θ, portato a dmesão é 3 -. Sob H, é determado por θ e - θ, portato a dmesão é -. A dfereça etre as duas dmesões é -. Portato, para amostras grades, value P(χ. Q ~ χ e p - > Q ) Resultados e Comparação A tabela a segur apreseta algus resultados do e-value e do p-value para dferetes valores do vetor (,, 3 ) com dferetes tamahos de amostra: Tabela Aplcação do teste do Equlíbro de Hardy-Weberg em amostras de tamahos dferetes e-value p-value 3 e-value p-value 3 e-value p-value ,0 0, ,000 0, ,000 0, ,8 0, ,03 0, ,05 0, ,34 0, ,077 0, ,038 0,00 7 0,40 0, ,098 0, ,48 0, ,584 0, ,63 0, ,9 0,07 7 0,584 0, ,467 0, ,306 0, ,704 0,46 8 0,600 0, ,383 0, ,839 0, ,938 0, ,53 0, ,907 0, ,988 0, ,738 0, ,978 0, ,997 0, ,936 0,75 Com o tuto de verfcar se a relação etre p-value e e-value ão se modfca de acordo com o tamaho da amostra observada, foram realzadas smulações com dferetes tamahos de amostra, varro todo o espaço amostral, ou seja, utlzado todas as combações possíves de elemetos as três posções do vetor (,, 3 ) de modo a se obter soma e, também, de forma que ehum < 5. Os resultados podem ser observados os gráfcos do e-value em fução do p-value dspoblzados a segur: 50

51 Fgura Relação etre e-value e p-value para 30 Fgura Relação etre e-value e p-value para 50 5

52 Teste de Hardy-Weberg 0.8 e-value p-value Fgura Relação etre e-value e p-value para 00 Em todos os gráfcos, pode-se verfcar que, depetemete do valor de, a curva que melhor represeta os potos é sempre gual. A lha vermelha represeta a curva da fução Beta acumulada com parâmetros a 0,878 e b,975. Estes valores foram ajustados com base os potos amostras obtdos para 00, coforme descrto o íco do capítulo. Para a obteção desta curva, o prmero passo é a dscretzação dos potos (p-value, e-value) para obteção dos potos médos ecessáros para garatr a ucdade o mapeameto dos pares (p-value, e-value) e, dessa forma possbltar o ajuste da curva sple: 5

53 Obteçao dos potos medos com dscretzacao 0.0 e a beta epermetal 0.8 e-value data medas p-value Fgura Dscretzação dos potos (p-value, e-value) Neste gráfco, os potos amarelos com rótulo data represetam os potos (p-value, e-value) obtdos com os dos métodos de resolução do teste e os potos verdes com rótulo medas represetam as médas dos e-values o tervalo dscretzado dos p-values. Com base os potos médos, a sple é ajustada e, após mas algus passos, a curva da Beta acumulada é obtda: 53

54 Obteçao das sple cubca com dscretzacao 0.0 e a beta epermetal 0.8 e-value data sple beta p-value Fgura Ajuste da Beta acumulada pela sple Neste gráfco, os potos amarelos com rótulo data represetam os potos (p-value, e-value) obtdos com os dos métodos de resolução do teste, a lha azul com rótulo sple represeta a curva sple ajustada após a dscretzação dos dados e, falmete, a lha vermelha com rótulo beta represeta a curva da Beta acumulada melhor ajustada aos potos deste teste. A tabela a segur mostra os parâmetros a e b obtdos através do modelo de ajuste da Beta acumulada para os testes de Hardy-Weberg e de Homogeedade: Tabela Comparação etre os parâmetros a e b Teste a b Hardy-Weberg 0,878,975 Homogeedade 0,899,9586 Estes resultados mostram que as duas curvas são etremamete prómas. A dfereça a curva causada por estas varações etre os parâmetros é muto sutl e, também, pode-se atrbur esta dfereça ao fato de, o caso do FBST, ser feta uma aleatorzação para se calcular o e-value mas, como já fo dto, esta dfereça é muto sutl e te a covergr caso os testes sejam repetdos um úmero grade de 54

55 vezes. Para estes dos testes, a dmesão do espaço paramétrco orgal é dos, equato que sob a hpótese H a dmesão é um. 4.5 Teste de Idepêca Depêca e assocação são dos cocetos tmamete lgados. Dzer que dos evetos são assocados sgfca que um flueca a ocorrêca do outro, ou seja, a ocorrêca de um deles pode aumetar ou dmur a chace do outro ocorrer e, assm, a assocação (ou depêca) pode ser chamada de postva ou egatva. Dos evetos são depetes quado, ao saber que um deles ocorreu, a probabldade de o outro ocorrer ão se altera. Dados dos evetos A e B, cada um com categoras, ao classfcar dvíduos de uma população segudo cada uma das categoras de A e B, obtém-se a tabela de cotgêca X: Tabela Freqüêcas observadas Eveto B Eveto A Categora Categora Total Categora. Categora. Total.. N ode. j e.j j j. Cada dvíduo é classfcado em apeas uma combação de categoras de A e B, em outras palavras, as combações são eaustvas e mutuamete eclusvas. Se a e b são ão assocadas ou depetes, etão: ou, ada,..,, 55

56 j..j,, de ode se deduz que:..j j. Ao dvdr as freqüêcas observadas em cada combação das categoras de a e b pelo tamaho da amostra, obtém-se a matrz de proporções observadas: Tabela Proporções observadas Eveto B Eveto A Categora Categora Total Categora θ θ θ. Categora Θ θ θ. Total θ. θ. ode. θj eθ.j θj j θ. e, para a e b depetes: θ θ j. θ.j A fm de se testar a hpótese de depêca, observa-se uma amostra de dvíduos da população. O vetor (,,, ) represeta a freqüêca observada de dvíduos classfcados a -ésma categora do eveto A e a j-ésma categora do eveto B, e o vetor de parâmetros θ (θ, θ, θ, θ ) represeta a probabldade de ocorrêca de cada uma das caselas. A fução de verossmlhaça para os dados é dada pelo modelo Multomal com parâmetro θ:! θ L( θ )!!!! θ θ θ 56

57 O espaço paramétrco para este caso é dado por Θ {0 θ j θ + θ + θ + θ }. Como eemplos de aplcação deste teste, podemos ctar pesqusas para verfcar se o hábto de fumar flueca ou ão a ocorrêca de determadas doeças ou se a durabldade de uma peça automotva depe do tpo de materal utlzado ou mesmo do fabrcate Hpótese Nula Para este teste, as hpóteses de teresse são:..j H: θ j (os evetos a e b são depetes)..j A: θj (os evetos a e b ão são depetes) 4.5. FBST Cosderado a tabela 4.5., testar a hpótese H é equvalete a testar: H: θ θ θ θ θ θ θ. θ... θ θ θ θ.... θ. ) (-θ (-θ (-θ. ( θ. )θ. ).. ) portato, o vetor de parâmetros θ (θ, θ, θ, θ ) assocado ao vetor de dados observados (,,, ), para este teste, pode ser reescrto a forma [ θ, θ (-θ ),(-θ ) θ,( θ ) (-θ )] θ. (θ A pror adotada para θ será D 4 (), θ, como já fo mecoado, possu dstrbução Multomal com parâmetros e θ e, portato, de acordo com a dscussão feta em.4, θ ~ D 4 (+). 57