Formulação para Polinômio Interpolador de Ordem Elevada aplicado a Inomogeneidades - Método dos Elementos Analíticos

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1 Formulação para Polômo Iterpolador de Ordem Elevada aplcado a Iomogeedades - Método dos Elemetos Aalítcos Marao da Fraca Alecar Neto Isttuto Federal de Educação, Cêca e Tecologa do Ceará IFCE 64-53, Av. Treze de Mao, 8 Befca, Fortaleza - CE E-mal: marao@fce.edu.r Edso Cesar Wedlad Escola de Egehara de São Carlos - Uversdade de São Paulo , Av. Traalhador São-carlese, 4, São Carlos - São Paulo E-mal: ew@usp.r Resumo: O traalho ampla a formulação desevolvda por Strac (989) para elemetos de prmera e seguda ordem, apresetado uma formulação geral que permte oter elemetos de qualquer ordem. É apresetado um exemplo cocetual de omogeedade. Foram otdos os resultados para elemetos de terpolação polomal até ordem 7, etretato para ordes mas elevadas oserva-se uma explosão comatóra que valza a aplcação.. Exposção do Prolema O Método de Elemetos Aalítcos (Aalytc Elemet Method AEM) proposto por Strac (989) asea-se a soreposção de fuções aalítcas para compor a solução fal de um prolema de escoameto suterrâeo em meo poroso. As soluções são otdas a partr de stuações cocetuas: poto de eção/extração, lha de perda ou gaho, lha dupla e lha dpolo. Essas soluções são comadas para modelar os elemetos reas que fluecam o escoameto suterrâeo [5]. Uma omogeedade é um polígoo fechado cua área tera possu codutvdade hdráulca costate e dferete da codutvdade do meo em que está serda. No AEM as soluções geralmete são dadas em termos do potecal complexo, que stetza em uma úca expressão o potecal de descarga e as fuções de fluxo. As codções de cotoro são reudas em potos de cotrole em termos do potecal de descarga. A descarga é a taxa total do escoameto por udade da espessura saturada h, em uma dada dreção. A descarga pode ser defda como a tegral da velocdade de Darcy q a dreção ao logo da espessura molhada h do escoameto []: h Q q dz. ( ) Para escoameto cofado ode a espessura molhada é a espessura do aqüífero, h = H, tem-se: Qx Hq x Q y Hq y. ( ) Para escoameto lvre, a espessura da camada saturada defe a regão do escoameto, assm a altura h será dada pela carga hdráulca. Pela equação de Darcy [5]: Qx q x Q y q y. ( 3 ) Desevolvedo fluxo q em termos da equação de Darcy otém-se para escoameto cofado Qy H y Qx H y x ( 4 ) x e para escoameto lvre Qy y Qx y x. ( 5 ) x 736

2 As formulações podem ser ufcadas pela trodução do potecal de descarga [5]. H H, para H ; ( 6 ), para H. O que leva a: Q x Q y. ( 7 ) x y Aplcado a equação da cotudade em relação à descarga para o caso dmesoal e ão havedo fotes ou sorvedouros o volume de cotrole otém-se a equação ( 8 ) e para N L TL tem-se a equação ( 9 ) []. exstêca de recarga superfcal Q Q x y ( 8 ) x y Q Q x y N ( 9 ) x y A partr das equações ( 7 ),( 8 ) e ( 9 ) otém-se, em relação ao potecal de descarga, as equações de Laplace ( ) e de Posso( ), respectvamete [5]. ( ) x y N ( ) x y No espaço dmesoal é coveete tratar o prolema so o poto de vsta da aálse complexa o plao complexo. O coceto de aaltcdade de uma fução estaelece a codção de satsfazer as equações de Cauchy-Rema. Neste caso as soluções para a equação de Laplace aparecem em pares cougados, cohecdas como fuções harmôcas e podem ser acomodadas em uma úca expressão, defda como potecal complexo[]: ( z ) ( z ) ( z ); z x y ;. ( ) Sedo defda a fução ( z ) pelas equações ( 7 ) otém-se: Q y Q x ( 3 ) x y y x A fução cougada (deomada fução de correte) e utamete com determam o domío dmesoal uma rede de fluxo com lhas equpotecas ( cos ta te ) e lhas de fluxo ( cos ta te ), defdo o escoameto. A maora dos elemetos aalítcos serão postos a forma de seu potecal complexo, como é o caso da omogeedade polgoal, que tem seus lados modelados por meo de lhas duplas cuo potecal complexo é dado por ( ) ( ) l q( ), ( 4 ) ode as fuções ( ) e q ( ) são polômos, aqu chamados de polômo terpolador e de correção, respectvamete. Esse traalho apreseta uma formulação que posslte usar um polômo terpolador de maor grau possível oetvado um melhor auste da solução modelada a casos reas, para sso compara-se os resultados otdos com um prolema evolvedo uma omogeedade polgoal de 8 lados.. Desevolvmeto da Formulação Strac (989) apreseta formulação para elemetos omogeedades de prmera e seguda ordem [5]. 737

3 O presete traalho geeralzada a formulação apresetada por Strac (989) para polômos terpoladores de qualquer ordem. A codção de exstêca de uma omogeedade é a dfereça de codutvdade hdráulca o teror de uma dada regão em relação ao meo em que ela está serda. Neste caso, a cotudade da carga hdráulca e do fluxo perpedcular ao cotoro da regão omogêea é preservada, Fgura, cosequetemete Q Q, ( 5 ) ode é a carga hdráulca e Q a descarga a dreção perpedcular ao cotoro da omogeedade. Os ídces + e dcam potos medatamete teror e exteror ao cotoro da regão D. D - D Fgura Coveção de sas da regão de homogeedades. Como o teror da omogeedade a codutvdade hdráulca é dferete da codutvdade do meo extero, o potecal de descarga sofre descotudade, ou sea, salta ao logo do cotoro coforme as equações ( 6 ) e ( 7 ), otdas a partr da codção ( 5 ) e equações ( 6 ). ( 6 ) O salto o potecal de descarga pode ser dado por. ( 7 ) O salto acotece ao logo da orda da omogeedade, e caso sea um polígoo cada um de seus lados pode ser modelado por uma lha dupla (le doulet). A equação geral do potecal complexo de uma lha dupla, em termos da coordeadas locas, é dada por ( ) ( ) l q( ), ( 8 ) cosderado as coordeada locas determadas por, ( 9 ) ode o termo ( ) é o polômo terpolador em termos da coordeada local, q() é um polômo de correção que faz com que o potecal complexo o fto teha comportameto de - [5]. é um poto qualquer o plao complexo, o qual o potecal está sedo calculado, é o poto cal do segmeto de reta que determa um lado (lha dupla) da omogeedade polgoal e o poto fal. A formulação é dada em termos das coordeadas locas ao logo de cada lado da homogeedade polgoal. Por sua vez, cada lado é dvddo em segmetos guas determado os potos de cotrole. O polômo ( ) pode ser escrto em termos dos valores 738

4 de e fuções de fluêca ( ) defda ao logo de potos de cotrole gualmete espaçados tal que ( ) (. ( ) ) É troduzda a fução ( ) ( )l ( ). ( ) Os polômos ( ) são determados pela codção que o fto o potecal complexo tem ordem -. Para tal, é ecessáro expadr segudo a sére de Taylor o termo logartmo de ( ) o fto. Saedo que, segudo [4], l l ( ) e que ( ) ( ).... ( 3 ) Desprezado os termos de ordem feror a - de ( ) a sére pode ser trucada coforme a ordem do polômo, desde que se garata que ( ) sea de ordem uma vez feror a de. Assm, para de prmera ou seguda ordem a sére pode ser trucada o prmero termo, equato que para polômos de ordem três ou quatro a sére terá que ser trucada o segudo termo, e assm sucessvamete. O potecal complexo poderá ser represetado etão por ( ) ( ). ( 4 ) Oserva-se que sore o segmeto, o valor de X Y é real, vsto que Y =. Assm,, para,,...,, são cohecdos a pror, pos os extremos do como os valores de trecho tem valor e e os tervalos de dscretzação são guas, os valores dos mesmos em coordeadas locas (9) tamém são cohecdos e dados por ( ) ( ), para. ( 5 ) Seam etão, os polômos de Lagrage []: l ( ) ( 6 ) Cosderado o polômo l ( ) so sua forma caôca l ( ) cuos coefcetes são postos em termos das raízes (relação de Grard [3]). Otém-se * l ( ) l ( )... ( 7 ) sedo ( ( ( ) )... ) ( 8 ) 739

5 ( ) ( soma _ dos _ C, _ produtos _ de raízes _ do _ Polomo )... ( ) (... ), ode C, represeta a comação smples de elemetos tomados a. Pode-se, etão, compor a equação de parte do potecal complexo da lha dupla com os polômos de Lagrage usado o desevolvmeto de Grard, fazedo ) l ( ), e * ( ) l ( ), =,,.... Otém-se ( * ( ) l ( )l l ( ).... ( 9 ) Lemrado que o resultado da multplcação do segudo termo os valores de ordem aaxo de - são desprezados, coforme o valor da ordem do polômo adotado trucado a sére... Sgulardades os extremos das lhas duplas (vértces da omogeedade polgoal) As sgulardades acotecem os extremos do segmeto, quado = ou =, pos o termo logartmo ão é defdo estes potos. Estudado as fuções o lmte, quado os aproxmamos os potos extremos da le doulet, são detfcadas duas stuações: a prmera para os potos termedáros de cada lado do polígoo; e a seguda para os potos extremos do polígoo (vea a Fgura ) Fgura a) trecho de polígoo umeração gloal tera (lado esquerdo ao percorrer o polígoo o setdo at-horáro) e umeração local do lado extero. ) Aálse de sgulardade o vértce de um elemeto homogeedade polgoal. Fuções de fluêca termedáras As fuções de fluêca dos termos termedáros ( ), para,,...( ) rão se aular devdo a preseça da multplcação ( )( + ) em todas as fuções l ( ). Como l ( ) l * ( ), o termo de correção do potecal o fto será ulo. O termo l ( )l tamém se aulará, pos lmx l x, x coforme [4]. Fuções de fluêca extremas Resta aalsar o comportameto das fuções ( ) e ( ) os extremos da le doulet. Como as le doulets compõe um polígoo fechado, verfcamos que cada vértce pertece a duas le doulets cosecutvas (vea a Fgura ). As fuções de fluêca são as mesmas para qualquer lado do polígoo, vsto que o polômo terpolador tem mesmo grau. Etretato, o valor da coordeada local rá varar de le doulet para le doulet, vsto que o polígoo pode ser rregular, com lados de tamahos dferetes. Por sso, troduzmos a omeclatura m que detfca a coordeada local do lado 74

6 m do polígoo. Levado-se em cosderação que ( ) para =,...(-), o lmte quado, etão o potecal complexo o poto pode ser escrto como m m ( ) ( ) ( ). ( 3 ) O potecal complexo apresetará descotudade o poto, etretato a descotudade se dá em sua parte complexa (fução de correte), sua parte real (potecal de descarga) é cotíua, sedo, portato, defdo este poto. Na composção da matrz fal de resolução do método é motada em termos do potecal de descarga, por sso é ecessáro def-lo. Oserve que o vértce, l ( ) e l ( ). m m ( ) lm ( ) lm ( ) lm ( ). ( 3 ) m m Em termos das coordeadas gloas, o potecal complexo o vértce pode ser escrto como ( ) lm l l. ( 3 ) O mportate é a parte real de ) pos esta comporá a matrz dos coefcetes dos ( esforços que a serem determados. Oserve que os termos logartmos podem ser resumdos a um só logartmo e que amos são dvddos pelo magáro, assm ( ) arg ( 33 ). Note que o polígoo é percorrdo o setdo at-horáro. Coforme a Fgura y x Fgura 3 dcação do âgulo tero para retrar sgulardades os vértces do polígoo. Polígoo percorrdo o setdo at-horáro. 3. Resultados Para testar as duas formulações, sea uma omogeedade clídrca em campo de escoameto uforme de descarga Q x cetrada a orgem e com valor R de rao. A espessura o aqüífero gual a H. Codutvdade hdráulca do meo dez vezes maor que a codutvdade hdráulca da omogeedade, a orgem o valor de Q x H e H. O prolema fo modelado varado o grau do polômo terpolador sore os ladosdo polgoo. Foram computados polômos de graus, 3, 4, 5, 6 e 7. Os resultados foram comparados com os valores otdos a partr da aproxmação lear sore o refo de potos sore cada lado. Como ão há mudaças a geometra do cotoro omogeedade, optou-se por ão usar os valores otdos para homogeedade clídrca crcular, preferdo-se os resultados, coforme descrto, para homogeedade clídrca polgoal de 8 lados. 74

7 (a) Fgura 4 Lhas pezométrca para polômo lear em potos de cotrole e ) com polômo de grau 7. Lhas pezométrca espaçadas de.5h As cargas pezométrcas foram avaladas em 4=49x49 potos gualmete espaçados sore uma área quadrada de lado gual a 6H e cetrada a orgem (vea a Fgura 4). Fo avalado o erro cartesao sore a malha de potos. O erro é elevado ao quadrado em cada poto e depos somado, resultado para os polômos de grau 7 a os erros (E 7, E 6, E 5, E 4, E 3, E ) = (.;.6;.7;.49;.38; 7.6), respectvamete. 4. Coclusão Com o aumeto do grau do polômo terpolador o erro otdo decresce cotuamete até o grau 7, etretato a partr deste poto a traetóra é terrompda. O excessvo úmero de operações para processar os coefcetes dos polômos terpoladores e de correção fluecam esses resultados. É mportate verfcar que além do algortmo de comação, váras dvsões e multplcações estão evolvdas e crescem sgfcatvamete coforme a ordem do polômo. O termo logartmo tamém desempeha papel relevate esse processo. A possldade de ocorrêca do Feômeo de Ruge tamém deve ser cosderada. A explosão comatóra oservada a partr do uso de polômos de graus elevados dfculta a aplcação da formulação, etretato seu desevolvmeto permte compreesão apurada do uso de polômos o AEM, ardo camho promssor para uso de polômos seccoados de segudo e terceros graus (sples), com o coseqüete aumeto do úmero de potos de cotrole. Um grade úmero de potos de cotrole é sgfcatvo para melhora da aproxmação, pos determarão gual úmero de cargas hdráulcas sesíves às característcas hdráulcas do prolema aalsado. 5. Blografa [] Boor, C A Practcal Gude to Sples. s.l. : Sprger - Verlag, 978. p. 39. [] Hatema, H. M Aalytcal Elemet Modelg of Groudwater Flow. Lodo : Academc Press, 995. p [3] Iezz, G. Números Complexos, Polômos e Equações Vol. 6. Coleção Fudametos de Matemátca Elemetar. 4 ed. São Paulo: Atual, 985. [4] Murray, R.Spegel. 97. Varáves Complexa. Ro de Jaero : McGraw-Hll, 97. [5] Strac, O. D. L Groudwater Mechacs. North Oas : SC Ic, 989. p. 73. () 74