Universidade Federal do Paraná. Setor de Ciências Exatas. Pós-Graduação em Matemática Aplicada. Patrícia Aparecida Manholi

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1 versdade Federal do Paraá Setor de Cêcas Eatas Pós-Graduação em Matemátca Aplcada Patríca Aparecda Mahol COMPACIDADE GENERALIZADA E CONCEIOS RELACIONADOS Curtba Março de

2 Patríca Aparecda Mahol COMPACIDADE GENERALIZADA E CONCEIOS RELACIONADOS ese de Mestrado apresetada como requsto parcal para obteção do tulo de Mestre em Matemátca Aplcada, Curso de Pós-Graduação em Matemátca Aplcada, Setor de Cêcas Eatas, versdade Federal do Paraá. Oretadora: Prof ª Dr ª Soraya Rosaa orres Kudr Curtba Março de

3 à mha famíla e meu querdo esposo Âgelo.

4 AGRADECIMENOS Agradeço a Deus por colocar em mha vda pessoas que me ajudaram de forma telectual e moral, que me cetvaram e me acredtaram. Ao meu querdo esposo Âgelo, pelo seu amor e apoo. Aos querdos professores do PPGMA\FPR, pelos seus cohecmetos compartlhados. À getl professora Dr ª Soraya Rosaa orres Kudr, pela ecelete oretação. Aos meus pas José e Ge. À Capes, pela grade ajuda facera e à FPR, pela oportudade.

5 LISA DE SÍMBOLO t A Iteror do cojuto A A Fecho do cojuto A t δ A δ-teror do cojuto A t A δ-teror do cojuto A o espaço δ cl δ A δ-fecho do cojuto A clδ A δ-fecho do cojuto A o espaço t B Iteror do cojuto B em A A cl A B Fecho do cojuto B em A (,τ ) Espaço opológco (,τ *) Sem-regularzação do espaço topológco (,τ ) gcl (A) g-fecho de A g-t(s) AB { V J} A = g-teror de A cojuto vazo Produto cartesao etre A e B \ Famíla deada de cojutos Produto cartesao dos elemetos da famíla fta de cojutos { A \ =,, L, } { \ I} Produto cartesao da famíla de cojutos { \ I} = { \ I} Elemeto do produto cartesao { \ I} I A ão dos elemetos da famíla fta { \ I} A = { A \ J} ão dos elemetos da famíla { A \ J} J A A

6 I V = I V J Iterseção dos elemetos da famíla fta { V \ =,, L, } Iterseção dos elemetos da famíla { V J } f : Y Fução qualquer de em Y \

7 RESMO Neste trabalho,usamos os cojutos g-fechados (defdos por N. Leve) e uma varação destes, os chamados cojutos δg-fechados (defdos por Dotchev), para defr três ovas classes de espaços relacoados com a GO-compacdade: Espaços Weakly GOcompactos, Almost GO-compactos e Espaços Nearly GO-compactos. Estudamos mutas de suas propredades e aalsamos a relação etre eles e etre espaços topológcos já cohecdos: Espaços GO-compactos, compactos, Nearly-compactos, Almost-compactos e Weakly-compactos. ambém defmos e vestgamos um ovo aoma da separação chamada de almost g- regulardade a qual é mas fa que a g-regulardade. Defmos e desevolvemos a classe dos cojutos gn-fechados, g-regulares e g-hausdorff. ambém desevolvemos ovos resultados relacoados com espaços 3 Palavras-chave: GO-compacdade, Weakly GO-compacdade, Almost GO-compacdade, Nearly GO-compacdade, espaços Almost g-regulares, g-regulares, g-hausdorff, 3, cojutos gn-fechados e δg-covergêca.,

8 ABSRAC By usg g-closed sets (as defed by N. Leve) ad a varato of those, the so called δgclosed sets (defed by Dotchev) we defe three ew classes of spaces related to GOcompactess: Weakly GO-compact spaces, Almost GO-compact spaces Nearly GOcompact. We study may of ther propertes ad aalyze the relatoshp betwee them ad betwee well kow topologcal spaces: GO-compact spaces, compact spaces, Nearlycompact spaces, Almost-compact spaces ad Weakly-compact spaces. We also defe ad vestgate a ew separato aom called almost g-regularty, whch s weaker tha the g-regularty. We defe ad develop gn-closed class, g-regular ad g- Hausdorff sets. We also obta ew results related to 3 spaces Keywords: GO-compactess, Weakly GO-compactess, Almost GO-compactess, Nearly GO-compactess, Almost g-regulares, g-regulares, g-hausdorff, 3 spaces, gn- closed sets ad δg-covergece.,

9 ÍNDICE INRODÇÃO... CAPÍLO...6 EORIA BÁSICA...6. eora Básca...6 CAPÍLO... CONJNOS g-fechados E CONJNOS δg-fechados.... Cojuto g-fechados.... Cojutos δg-fechados...5 CAPÍLO AIOMAS DA SEPARAÇÃO E ALGNS RESLADOS Espaços Almost Weakly Hausdorff, espaços, espaços e espaços Espaço g-regular, Espaço g-ormal e espaço Almost g-regular...38 CAPÍLO...6 EORIA DE g-convergência...6. eora de g-covergêca...6 CAPÍLO ESPAÇOS GO-COMPACOS Espaços GO-compactos...66 CAPÍLO ESPAÇOS WEAKLY GO-COMPACOS Espaços Weakly GO-compactos...77 CAPÍLO ESPAÇOS ALMOS GO-COMPACOS Espaços Almost GO-compactos Caracterzação de espaços Almost GO-compactos va g-covergêca...8 CAPÍLO 8... ESPAÇOS NEARLY GO-COMPACOS Espaços Nearly GO-compactos Espaços Nearly GO-compactos va δg-covergêca... CAPÍLO CONJNOS gn-fechados Cojutos gn-fechados...7 CAPÍLO...5 FNÇÕES CONÍNAS ASSOCIADAS ÀS EORIAS ANERIORES.5. Fuções cotíuas assocadas às teoras aterores....5 BIBLIOGRAFIA:...6 3

10 INRODÇÃO Em 969, M. K. Sgal e Asha Mathur [3] defram os espaços Nearly Compactos e desevolveram mutas de suas propredades. Cammaroto e Lo Faro [9], troduzram e caracterzaram a oção de espaços Weakly Compactos, que são estrtamete mas fracos que os espaços Nearly-compactos. Por Sgal & Sgal [3] fo troduzda à oção de espaços Almost Compactos que, por Poter e homas [3], são chamados de espaços quas H-closed. Os espaços de Hausdorff Almost-compacto são chamados espaços H-closed que têm sdo estudados por mutos matemátcos emetes e têm gerado grade mportâca o estudo dos espaços mmal de Hausdorff. Os espaços Almost-compactos estão etre os espaços Nearly-Compactos e Weakly- Compactos. Ou melhor: Compacdade Nearly-Compacdade Almost-compacdade Weakly-compacdade. Nehuma das mplcações versas acma é verdadera. Doald Caraha [] defu os cojutos N-fechados relatvos a um espaço topológco (,τ ), e estudou mutas de suas propredades. Mutas vezes os cojutos N-fechados são chamados de -Nearly Compactos. A classe dos cojutos N-fechados é mportate o estudo das fuções com gráfcos fortemete fechados. Em 97, Leve [] troduzu a oção de cojutos fechados geeralzados (cojutos g-fechados). Os complemetares dos cojutos g-fechados são chamados cojutos abertos geeralzados (cojutos g-abertos). A teora de cojutos g-fechados vem sedo vestgada por mutos topólogos os últmos aos, ão somete por serem uma geeralzação atural dos cojutos fechados, mas também pelos ovos cocetos troduzdos, por eemplo, ovas propredades de revestmeto e ovos aomas da separação mas fracos que, etre outros.

11 Leve também defu a classe dos chamados espaços Leve [] desevolveram váras propredades dos espaço fechados gerou ovos aomas da separação etre e, tas como 3.. Mas tarde, Duha [5] e. O estudo com cojutos g- [5] []e Outros aomas evolvedo cojutos g-fechados são os espaços sem-pré- [3] e P [37]. Algus desses espaços são usados a cêca da computação e topologa dgtal 3 []: ([7-8][-] para eemplos). Outras ovas propredades são defdas pela varação das propredades de submamaldade. Além dsso, o estudo dos cojutos g-fechados também forece uma ova caracterzação de algumas classes de espaços já cohecdos, como por eemplo, a classe dos espaços etremamete descoeos. O estudo dos cojutos g- fechados dão possíves aplcações em computação gráfca [8][-] e em físca quâtca[8]. Em 986, B. M. Mush [7] geeralzou a oção usual de regulardade e ormaldade, trocado cojutos fechados por cojutos g-fechados as defções, obtedo etão a oção de g-regulardade e g-ormaldade. Boopok [3] troduzu em 3, o coceto de espaços g-hausdorff. Boopok também vestgou a preservação dos teoremas a respeto de espaços g-hausdorff. Balachadra et al. [] troduzram a oção de fuções cotíuas geeralzadas (ctadas como fuções g- cotíuas) e algumas de suas propredades. Mas tarde buscou o coceto de fuções g- rresolutes, fuções strogly g-cotíuas e fuções perfectly g-cotíuas. Balachadra [] troduzu a oção de GO-compacdade evolvedo cojutos g-abertos. Caldas et al [7-8] desevolveram esta ova classe de compacdade e obtveram mutas de suas propredades. Recetemete, Caldas e Jafar [5], troduzram e desevolveram o coceto de g-s, g- covergêca, GO-compacdade seqüecal, g-cotudade seqüecal e g-subcotudade seqüecal.

12 Dotchev e Gaster [] defram uma ova classe de cojutos fechados geeralzados chamados δg-fechados. Os complemetares dos cojutos δg-fechados são chamados cojutos δg-abertos. A partr dessa ova classe, cosderamos os espaços 3 como o espaço ode todos os cojutos δg-fechados são δ-fechados. Dotchev e Gaster também defem e pesqusam sobre fuções δg-cotíuas e δg-rresolutes. Em 968, Saudararaja [35] troduz a classe dos espaço Weakly Hausdorff como o espaço cuja sem-regularzação é um espaço. Em 989, Fukutak [6] defe e vestga a geeralzação dos espaços Weakly Hausdorff. Recetemete Dotchev e Gater [] cosderaram a relação etre espaços 3 e cojutos δg-fechados, os espaços cuja semregularzação é : o chamado espaço Almost Weakly Hausdorff. Neste trabalho, usamos os cojutos g-fechados e δg-fechados para defrmos três ovas classes de espaços relacoados com a GO-compacdade: O prmero espaço chamamos de Nearly Compacto Geeralzado (ctado como Nearly GOcompacto. ambém caracterzamos este espaço va fltro base. Para tal caracterzação, defmos o que chamamos δg-covergêca; também defmos potos de δg-acumulação. Verfcamos a preservação de város teoremas relacoados a Nearly-compacdade, compacdade, etre outros. Mostramos a mplcação: Nearly GO-compacdade Nearlycompacdade. Com um cotra-eemplo mostramos que a recíproca ão é verdadera. O segudo espaço chamamos de Almost compacto geeralzado (ctado como Almost GOcompacto). ambém caracterzamos os espaços Almost GO-compacto va fltro bases (abertos), pela g-covergêca. Mostramos a mplcação: Almost GO-compacto Almost-compacto, mas a recíproca ão é verdadera(verfcamos sto com um cotraeemplo). ambém vestgamos varas de suas propredades. O tercero espaço chamado espaço Weakly-compacto geeralzado (ctado como Weakly GO-compacto). Verfcamos a mplcação Weakly GO-compacto Weakly compacto. Estudamos também mutas de suas propredades. 3

13 A partr dessas defções chegamos à segute coclusão: GO-compacdade Nearly GO-compacdade Weakly GO-compacdade Almost GO-compacdade Nearly GO-compacdade + Nehuma dessas mplcações tem recíproca verdadera, como veremos com cotraeemplos. ambém, defmos e vestgamos a classe dos cojutos N-fechados geeralzados (ctados como gn-fechados) e dos espaços almost g-regular. No prmero captulo, apresetamos algumas defções e resultados báscos, usados durate todo o trabalho. No segudo captulo apresetamos um estudo dos cojutos g-fechados e dos cojutos δgfechados. No tercero captulo trabalhamos com os espaços Almost Weakly Hausdorff, espaços e espaços. Defmos também os espaços 3 e desevolvemos de forma própra algus resultados. Ada este capítulo, caracterzamos os espaço g-regulares, g-ormas e sugermos uma defção de espaços almost g-regulares. No quarto captulo abordamos a tera de g-covergêca, apresetado defções e resultados que serão útes os prómos capítulos. No quto captulo defmos e caracterzamos os espaços GO-compactos.

14 No seto captulo sugermos a defção de espaços Weakly GO-compactos. Neste captulo ecotramos a mplcação: GO-compacto Weakly GO-compacto (pága 8- eorema 6..3) No sétmo captulo sugermos a defção de espaços Almost GO-compactos. Neste captulo ecotramos as mplcações: GO-compacto Almost GO-compacto (pága 98- eorema 7..) e Almost GO-compacto Weakly GO-compacto (pága 99- eorema 7..). Ada este captulo, usado a defção fltro g-covergete e resultados, caracterzamos os espaços Almost GO-compactos va g-covergêca. No otavo captulo sugermos a defção de espaços Nearly GO-compacto. Neste captulo ecotramos as mplcações: GO-compacto Nearly GO-compacto (pága - eorema 8..), Nearly GO-compacto Weakly GO-compacto (pága 3- eorema 8..3) e Nearly GO-compacto + Almost GO-compacto (pága - eorema 8..5). Ada este captulo sugermos a defção fltro δg-covergete e defmos espaços Nearly GO-compactos va δg-covergêca. No oo captulo propomos a defção de cojutos gn-fechados. E falmete o décmo captulo defmos as fuções g-cotíuas, g-rresolutes, δgcotíuas e δg-rresolutes. Ecotramos algumas relações etre elas, bem como relações etre os espaços compactos, GO-compactos, Nearly-compactos, Nearly GO-compactos, Almost-compactos, Almost GO-compactos, Weakly-compactos, Weakly GO-compactos e espaços 3 por estas fuções. Em todo o trabalho, todos os resultados e defções sem atrbução de autora são ossas cotrbuções. A maora dos resultados com atrbução de autora forma demostrado de maera própra. Como pré-requsto para letura deste trabalho, sugermos oções báscas de opologa Geral. 5

15 CAPÍLO EORIA BÁSICA Neste capítulo apresetamos algumas defções e resultados báscos, os quas usaremos durate todo o trabalho.. eora Básca Defção.. [] : Seja (,τ ) um espaço topológco e S um subcojuto de.. Dzemos que S é regularmete aberto se S= t S.. Dzemos que S é regularmete fechado se S= t S. Defção.. []: Seja (,τ ) um espaço topológco e S um subcojuto de. O δ-teror de S (deotado por t δ S ) é defdo como sedo a uão de todos os cojutos regularmete abertos cotdos em S. Quado aberto em (,τ ). S = tδ S, dzemos que S é um cojuto δ- Defção..3 []:Seja (,τ ) um espaço topológco e S um subcojuto de. Quado S = tδ S, o subcojuto S = R é dto um cojuto δ-fechado em (,τ ). 6

16 eorema.. []: Sejam (,τ ) um espaço topológco e S tal que S é um subcojuto δ-fechado em (,τ ). Etão { \ t I S, com } S = τ Demostração: Sejam A = { t S, τ com } \ I e S é um subcojuto δ-fechado em (,τ ).Claro que S A. Agora, supoha que A. Se S, etão S que é um cojuto δ-aberto em (,τ ). Etão este um regularmete aberto V em ( ),τ tal que V S, ou seja, V I S =. Por outro lado, como V = tv, pela defção do cojuto A, = V I S = t V I s, absurdo. Portato S = A. eorema..: Sejam (,τ ) um espaço topológco e S tal que S é um subcojuto δ- fechado em (,τ ). Etão S é gual à uão de todos os subcojutos regularmete fechados que cotém S. Demostração: Sejam (,τ ) um espaço topológco, S tal que S é um subcojuto δ- fechado em ( ),τ e A = I A ode A, (,τ ) cotedo S. Queremos mostrar que A A. Se S, etão S regularmete aberto V em ( ),τ e, é um subcojuto regularmete fechado em S =. Claro que S A. Agora, supoha que que é um cojuto δ-aberto em (,τ ). Etão este um tal que V S e V I S =, ou seja, V S V. Logo este um cojuto regularmete fechado V cotedo S tal que V. Pela defção de A, segue que A. Cotradção. Logo S = A, sto é, S é gual à uão de todos os subcojutos regularmete fechados que cotém S. 7

17 Observação..: O cojuto A = { t S, τ com } chamado δ-fecho do cojuto S, e deotado por fechado em (,τ ), etão { \ t I S com } S = cl S =, δ. \ I é cl δ S. Portato, se S é um cojuto δ- Defção.. []: Seja (,τ ) um espaço topológco. A topologa gerada pelos subcojutos regularmete abertos em (,τ ) é deotado por τ *. O espaço (,τ *) sem-regularzação do espaço ( ),τ. Se τ * τ = etão (,τ ) é dto sem-regular. é dto Observação..: Os cojutos abertos do espaço (,τ *) espaço (,τ ). De fato, dado um cojuto aberto em (,τ *) são os cojutos δ-abertos do, etão é gual à uão dos elemetos da base de τ * cotdos em. Como os elemetos da base da topologa τ * são cojutos regularmete abertos em (,τ ), pela defção de cojutos δ-abertos, segue que é um cojuto δ-aberto em (,τ ). Observação..3: A topologa τ sobre é mas fa que a topologa τ *. De fato, para cada e cada elemeto B da base de τ * cotedo, B é um cojuto regularmete aberto em (,τ ) e portato B é um aberto em (,τ ) de τ tal que B C. Daí segue que τ* τ.. Logo este um elemeto C da base Defção..5 [6]: m espaço é dto ter uma base cotável em quado este uma coleção β de vzhaças de tal que cada vzhaça de cotém pelo meos um dos elemetos de β. m espaço que tem uma base cotável em cada poto de é dto satsfazer o prmero aoma da cotabldade. 8

18 Defção..6: A topologa τ p do poto ecluído sobre é defdo por: Dado um poto p, τ se e somete se p ou =. p Defção..7[3]: ma fução e fechado em, para todo subcojuto f : Y é strogly-cotíua quado f - (V) é aberta V. 9

19 CAPÍLO CONJNOS g-fechados E CONJNOS δg-fechados Neste capítulo defremos dos cojutos mportatíssmos para este trabalho. São eles: os cojutos g-fechados e cojutos δg-fechados. Este capítulo está dvddo em duas seções: a prmera temos a defção de cojutos g-fechados e outras defções e resultados mas usados este trabalho, relacoados aos cojutos g-fechados. Na seguda postamos defções e resultados relacoados aos cojutos δg-fechados também muto usados.. Cojuto g-fechados Defção.. [3]: Seja (,τ) um espaço topológco. m subcojuto A de é chamado g-fechado se e somete se A quado A e é aberto em. Defção.. []: m cojuto A de um espaço topológco (,τ) é chamado g-aberto quado A for g-fechado. Defção..3 []: Seja (,τ) um espaço topológco e. m subcojuto A de (,τ) é chamado g-vzhaça de quado A é um cojuto g-aberto tal que A.

20 eorema.. []: Seja (,τ) um espaço topológco e Φ a coleção de todos os fechados de (,τ). m subcojuto A de é g-aberto se e somete se F t A sempre que F A e F Φ. Demostração: Supoha que o subcojuto A de é g-aberto, etão pela defção ateror A é g-fechado. Assm, para todo F Φ tal que F A, temos que A F = com aberto em. Como A é g-fechado etão A F =, ou seja, t A F =. Logo F t A. Recprocamete, supoha que para todo F Φ temos que F t A sempre que F A. Vamos mostrar que A é g-aberto. Para sso, devemos mostrar que A é g-fechado. Seja aberto qualquer em tal que A. Etão A, ode Φ. Assm, usado a hpótese, t A, ou seja, A. Logo A é g- fechado, e portato A é g-aberto. eorema.. []: Sejam (,τ) um espaço topológco e A,B g-abertos, etão AI B é g-aberto. Demostração: Seja F um subcojuto fechado em (,τ) tal que F A I B,ode A e B são g-abertos em (,τ). Etão F F t A e F t B. Logo ( A I B ) t A I t B t. Portato AI B é g-aberto. Observação..: De acordo com o teorema ateror, temos que a uão de dos cojutos g-fechados é um cojuto g-fechado. Observação..: Nem sempre a uão de g-abertos é um g-aberto. De fato, seja = { a, b c} e τ = {, { a }, }. Etão (,τ ) é um espaço topológco. Os subcojutos { b },

21 e { c } são g-abertos em (,τ ) pos o úco fechado cotdo em ambos é o cojuto vazo. Mas { b } { c} = { b, c} é fechado em (,τ ), portato ão é g-aberto em (,τ ). Desta observação também segue que a terseção de dos cojutos g-fechados em sempre é um cojuto g-fechado. eorema..3 []: Sejam (,τ ) um espaço topológco e A um subcojuto de (,τ ) O subcojuto A é g-fechado em (,τ ) se e somete se A A ão cotém cojuto fechado ão vazo. Demostração: Supoha prmeramete, que A seja g-fechado em (,τ ) subcojuto fechado em (,τ) tal que Como A é g-fechado em (,τ ) F, segue que A A. Etão F c A c A F, ou seja, ( ) c F A. Seja F um, portato. Portato. c A F. F c c ( A ) ( A A ) ( A) I ( A ) = I e assm F =. Recprocamete supoha que mostrar que A é um cojuto g-fechado em (,τ ) em (,τ ) tal que A c AI é fechado em (,τ ) cojuto g-fechado em (,τ ). A A ão cotém cojuto fechado ão vazo. Vamos. Para sso, tome um cojuto aberto c c c c, etão A. Assm AI AI A = A A. Como c, pela hpótese, AI =. Portato c A e A é um eorema.. []: Sejam um espaço topológco e A B, ode A é g-aberto relatvo a B e B g-aberto relatvo a,etão A é g-aberto relatvo a. Demostração: Seja F um subcojuto fechado em tal que B é g-aberto relatvo a (,τ), temos que relatvo a B, logo F F A. Como A B e t B. Mas por hpótese A é g-aberto F = F I B t A (pos F I B é fechado em B). Etão este um B

22 aberto em tal que F F t A, e A é g-aberto em. I B A. Assm F I ( t B) I B A. Logo eorema..5: Sejam (,τ) um espaço topológco e Y um subespaço fechado em. Se A Y é g-aberto em, etão A é g-aberto em Y. Demostração: Seja F um cojuto fechado em Y tal que F A. Como Y é fechado em, segue que F é fechado em. Sedo A g-aberto em segue que F t A. Logo, este um aberto em tal que F A. Como A Y, etão F = F I Y = I Y AI Y = A. Assm V = I Y é um aberto em Y tal que F V A. Portato F t A Portato A é g-aberto em Y. Y Defção.. [6]: Seja (,τ) e S um subcojuto de.. O teror geeralzado (escrto como g-teror) de S deotado por g-t(s) é a uão de todos g-abertos cotdos em S.. O fecho geeralzado (escrto como g-fecho) de S deotado por gcl(s) ou terseção de todos os g-fechados que cotém S. S g é a eorema..6: Seja A um subcojuto de um espaço topológco. a. gcl(a) se e somete se todo g-aberto que cotém tersecta A. b. Supoha que a topologa τ de é dada por uma base etão, se gcl(a), todo elemeto da base de τ que cotém tersecta A. Demostração: 3

23 a). Seja e supoha que este um g-aberto cotedo e ão tersecta A, etão é um g-fechado que ão cotém, mas cotém A Pela defção de g-fecho, temos que gcl( A). Portato gcl( A) Recprocamete se gcl( A)., pela defção de g-fecho, este um g-fechado que ão cotem tal que A, logo este V = g-aberto cotedo tal que AI V =. b). Se gcl(a), pela parte a., todo g-aberto que cotém tersecta A. Como todo aberto é g-aberto, se gcl(a), todo aberto que cotém tersecta A. Como todo elemeto de uma base é aberto, etão todo elemeto da base de τ é g-aberto. Logo, todo elemeto da base de que cotém tersecta A. Observação..3: A recíproca do teorema ateror tem b. ão é verdadera. De fato, seja = { a, b c} e τ = {, { a }, }. Etão (,τ ) é um espaço topológco. ome A = { b}, aberto que cotém c tersecta A. Mas gcl ( A) = A pos A é g-fechado em. Assm,. odo tomado = c, todo aberto em, cotedo c tersecta A, mas c gcl( A). eorema..7: Sejam A e B subcojutos os espaços e Y respectvamete. Etão A B é g-aberto em Y se e somete se A e B são g-abertos os espaços e Y, respectvamete. Demostração: Supoha que A e B são subcojutos g-abertos os espaços e Y respectvamete, vamos mostrar que sso, seja A B é um subcojuto g-aberto em Y. Para F G um cojuto em Y fechado tal que F G A B. Etão F A e G B ode F é fechado em e G é fechado em Y. Portato F t A e G t B, e portato F G ( A) ( t B) = t( A B) Recprocamete, se t. A B é g-aberto em Y, vamos mostrar que A e B são g-abertos os espaços e Y, respectvamete. Sejam F e G cojutos fechado em cotdos A e B respectvamete. Etão F G é fechado em Y tal que F G A B. Como A B é

24 g-aberto em Y, temos que F G t ( A B) = t A t B, e etão, F t A e G t B. Logo, A é g-aberto em e B é g-aberto em Y.. Cojutos δg-fechados Defção.. []: m subcojuto A de um espaço (,τ ) é chamado δg-fechado quado cl ( A) δ sempre que A e é aberto em (,τ ). Defção.. []: m subcojuto A de um espaço (,τ ) é chamado δg-aberto quado B = A for δg-fechado. eorema..: m subcojuto A de um espaço (,τ ) é δg-aberto se somete se ( A) F t sempre que A δ. F e F é fechado em (,τ ) Demostração: Seja A um subcojuto δg-aberto em ( ),τ. Etão B = A é δgfechado em (,τ ). Assm, para todo fechado F em (,τ ) A = B ode F tal que F A, temos que F é aberto em (,τ ). Como B = A é um subcojuto δg-fechado em (,τ ) etão clδ ( A) = clδ ( B) F. Logo ( A) F ( A) F t. δ t, sto é, δ 5

25 Recprocamete, supoha que A é um subcojuto de (,τ ) tal que F t ( A) que F A e F é fechado em (,τ ) δg-fechado em (,τ ). Seja aberto de (,τ ) A, e sempre. Vamos mostrar que B = A é um subcojuto, tal que A = B. Etão é fechado em (,τ ). Pela hpótese, temos que t ( A) δ t δ, ou seja, B A Logo, cl ( A) = ( A) portato A é δg-aberto em (,τ ). δ. = é δg-fechado em (,τ ) δ, e eorema.. []: Seja A um subcojuto do espaço (,τ ). Etão A é um subcojuto δg-fechado do espaço (,τ ) se e somete se cl ( A) A ão vazo. δ ão cotém cojuto fechado Demostração: Seja A um subcojuto δg-fechado o espaço (,τ ). Supoha por absurdo que esta um subcojuto fechado Logo, cl F F em (,τ ) tal que F cl ( A) A A F, e como A é um subcojuto δg-fechado o espaço (,τ ), δ ( A) F. Portato F clδ ( A) cl ( A) A cl ( A). δ Logo cl ( A) A δ δ ão cotém cojuto fechado ão vazo.. Absurdo pos por hpótese Recprocamete, supoha que A é um subcojuto de (,τ ) tal que cl ( A) A δ. δ ão cotém cojuto fechado ão vazo. Vamos mostrar que A é um subcojuto δg-fechado o espaço (,τ ). Para sso, tomemos um cojuto aberto em (,τ ) c c c c etão A. Assm cl A cl AI A = cl A A c em (,τ ), pela hpótese, ( cl A) I = fechado em (,τ ). δ δ δ δ tal que A, clδ A é fechado c I. Como ( ) I. Portato cl A c δ e a é um cojuto g- 6

26 eorema..3: O produto de uma famíla fta de cojutos arbtráros é δg-aberto se e somete se cada fator for δg-aberto. Demostração: Seja A = = A e supoha que { A,..., } A é uma famíla de cojutos δgabertos. Vamos mostrar que A é um cojuto δg-aberto. Para sso, tome F = F = um cojuto fechado qualquer tal que F A. Etão F A, ou seja, F A, para = = todos =,, L,. Como cada F é fechado e cada A é δg-aberto para todos =,, L,, segue que F tδ A, para todos,, L, =. Logo ( ) = F = tδ A = tδ A. = Vamos provar esta últma gualdade. Se (,,, ) = tδ ( A ) A este um regularmete aberto tal que L etão, para cada = A, para todos =,, L,.. Como = = t = t = t = t. emos que, este um = = = = cojuto regularmete aberto tal que ( ) = t ( A ) tδ A δ. = = A. Portato, t δ A e = Agora, se t δ, este um regularmete aberto tal que ( ) = A = A. Como = = = =, ode cada é aberto, temos que = = ( ) = t = t = t. Portato = t, =,, L,. Logo, este um regularmete aberto tal que A, =,, L,, e assm 7

27 = t δ ( ) e tδ ( A ) tδ A. Cotudo, segue que t ( A ) tδ A A = = = = = δ. Logo A = = A é δg-aberto. Recprocamete, supoha que A = A = é um cojuto δg-aberto. Cosdere cojutos fechados F, para =,...,, tas que F A. Etão F A = = ode F = F = é um cojuto fechado. Como A = A = é um cojuto δg-aberto, = seja, F tδ A = tδ ( A ) (esta últma gualdade mostramos o tem ateror). Ou = = F tδ A para cada =,...,.Portato cada A é um cojuto δg-aberto. eorema.. []: Seja (,τ ) um espaço topológco:. odo cojuto δ-fechado é um cojuto δg-fechado.. odo cojuto δg-fechado em (,τ ) é um cojuto g-fechado em (,τ *). 3. odo cojuto δg-fechado em (,τ ) é um cojuto g-fechado em (,τ ).. A terseção de um cojuto δg-fechado com um cojuto δ-fechado é sempre um cojuto δg-fechado. Demostração: () Seja A um cojuto δ-fechado tal que CL δ ( A) = A. Logo A é um cojuto δg-fechado. A ode é aberto em (,τ ) () Seja A um δg-fechado em (,τ ) tal que A ode é aberto em (,τ *) τ* τ, τ, temos que clδ ( A). Portato A é g-aberto em (,τ *).. Como. Como 8

28 (3) Seja A um cojuto δg-fechado em (,τ ), etão para todo aberto em (,τ ) que A temos que cl ( A) sempre que, tal δ. Como cl( A) clδ ( A), segue que cl( A) A e τ. Logo E é g-fechado em (,τ ). () Seja A um subcojuto δg-fechado e B um subcojuto δ-fechado em (,τ ), e AI B. Queremos mostrar que C é um subcojuto δg-fechado em. Para sso, seja aberto em ( ),τ cl tal que A B I.Etão A ( B) logo δ ( A) ( B). Agora, cl ( AI B) ( clδ ( A) ) I B δ. Portato AI B é δgfechado em (,τ ). Observação..: A recíproca do teorema ateror ão é verdadera. Por eemplo:. Seja = { a, b, c} e τ = {, { a }, { b, c}, }. emos etão que (,τ ) topológco. Seja A = { b}. A é um subcojuto δg-fechado em (,τ ) cl δ ( A) = { b, c} para todo aberto em (,τ ) é um espaço pos. Mas A ão é um subcojuto δ- aberto em pos, se fosse, A sera regularmete aberto em (,τ ).. Seja = { a, b, c} e τ = {, { a, b}, }. emos etão que (,τ ) é um espaço topológco. A sem-regularzação de é (,τ *) ode τ * = {, }. Seja A = { b} um subcojuto g-fechado em (,τ *) pos cl ( A) =. A é τ * para todo aberto em (,τ *). Mas A ão é um subcojuto δg-aberto em (,τ ). De fato, { b, c} aberto em (,τ ) tal que A. Mas cl ( A) = 3. Seja = [,] δ. = é. Vamos defr uma base para uma topologa τ sobre da segute forma: para cada poto de (,] cosdere o sstema de vzhaças duzda pela topologa usual sobre o sstema de úmeros reas e seja o sstema de vzhaças do poto = pelos cojutos k, ode =,,,...,,... k k. emos que é k um subcojuto g-aberto em, mas ão é δg-fechado em. De fato, [ ] = { } é um 9

29 subcojuto fechado em tal que [ ] aberto cotdo em k e que coteha [ ].. Mas ão este cojuto regularmete k Observação..: Seja A é um subcojuto regularmete fechado A é um subcojuto δ-fechado A é um subcojuto δg-fechado A é um subcojuto g-fechado. Nehuma das mplcações cotrara acma é verdadera. De fato, tome como o cojuto dos úmeros reas e τ a topologa usual sobre. O subcojuto Y = { } é δ-fechado em pos τ tal que pos t Y = ty = t{ } =, t I { }. Mas { } mplcações, basta ver a observação ateror, tes e 3. Y = ão é regularmete fechado em. Para os demas cotra-eemplos para as outras eorema..5 []:. A uão fta de cojutos δg-fechados é sempre um cojuto δg-fechado.. A uão cotável de cojutos δg-fechados ão precsa ser um cojuto δg-fechado. 3. A terseção de cojutos δg-fechados pode ão ser um cojuto δg-fechado. Demostração: () Seja A = ode, cada =,,...,, A é δg-fechado. Seja aberto tal que A = A. Logo, para cada =,,..., temos que A. Como cada A é δgfechado, temos que cl ( A ) δ para todo =,,...,. Logo t δ = ( A ) = t ( A ) = δ. Portato A é um cojuto δg-fechado. () Seja o cojuto dos úmeros reas com a topologa usual. Como é sem-regular, etão todo cojuto com um úco elemeto e δg-fechado em. Seja N o cojuto de

30 todos os teros postvos. Seja A = N que é uma uão cotável de cojutos δgfechados, mas ão é um cojuto δg-fechado pos (,) A e cl δ A. (3) Sejam = { a, b, c, d, e} e τ = {, { a, b},{ c},{ a, b, c}, }. Seja A { a, c, d} { b, c e} = e B =,. Ambos A e B são δg-fechados am pos o úco aberto que cotem A e B é o própro. Mas A I B = { c} ão é δg-fechado pos { c} C { c} ({ c} ) = ( C) = { c, d, e} { c} cl δ t δ. = e

31 CAPÍLO 3. AIOMAS DA SEPARAÇÃO E ALGNS RESLADOS Este capítulo está dvddo em duas seções. Na prmera seção, defmos e estudamos algumas propredades dos espaços, dos espaços e dos espaços Almost Weakly Hausdorff. ambém estabelecemos algumas relações etre eles. Defmos também os espaços 3, estudamos algumas de suas propredades e desevolvemos de forma própra algus resultados. Na seguda seção, defmos e caracterzamos os espaços g-regulares e g-ormas. Sugermos a defção de espaços Almost g-regulares e desevolvemos algumas de suas propredades. 3. Espaços Almost Weakly Hausdorff, espaços, espaços espaços e 3 Defção 3.. []: m espaço topológco (,τ ) é chamado espaço quado todo subcojuto utáro é fechado.

32 Defção 3.. [5]: m espaço topológco (,τ ) é chamado espaço subcojuto g-fechado em (,τ ) é fechado. quado todo eorema 3.. [5]: é um espaço utáro { } é aberto ou fechado. se e somete se para cada, o subcojuto Demostração: Supoha que é um espaço. Supoha que para cada, o subcojuto utáro { } ão seja fechado em.. Como é a úca vzhaça de { } c, temos que { } c g-fechado e portato fechado. Logo { } é aberto em. Recprocamete, seja A um subcojuto g-fechado em, com utáro { } é aberto, temos que { } I A e portato A. fechado, como A é g-fechado, o úco fechado cotdo em eorema..3). Como { } cojuto fechado em e é um espaço A. Se o cojuto é Por outro lado, se { } A A é cojuto vazo (pelo A segue que A. Portato, A = A, ou seja, A é um. Coroláro 3.. []: Se (,τ ) é um espaço, etão (,τ ) é um espaço. Demostração: Segue dreto da Defção 3.. de espaços e do teorema ateror. 3

33 eorema 3.. [5]: Seja (,τ ) um espaço bjetora tal que para cada. ( ) y Y, f { y} e seja f : Y uma fução aberta e é um cojuto fto. Etão ( Y,σ ) é um espaço Demostração: Seja y Y, Por hpótese f { y} = L, ( ) { }. Se para algum, { } τ c etão { y } { f { } σ pos f é uma fução aberta. Caso cotráro, { } τ,, L, = ( ) σ c c c = e portato { y} = f { } ILI { }. Portato (,σ ), para todo Y é um espaço. Coroláro 3.. [5]: A magem homeomórfa de um espaço é um espaço. eorema 3..3 [5]: Seja = { \ J}. O espaço (,τ ) somete se é um espaço. um espaço se e Demostração: O espaço cotém um subespaço que é homeomorfo a usar o teorema e coroláro ateror.. Basta etão eorema 3.. []: Seja A um subcojuto de um espaço sem-regular (,τ ).. A é um cojuto δg-fechado se e somete se A é g-fechado.. Se (,τ ) também for um espaço fechado., etão A é δg-fechado se e somete se A é

34 Demostração:. Supoha, calmete que A seja um cojuto δg-fechado em (,τ ). Pelo eorema..3, segue que A é g-fechado em (,τ *). Como τ * espaço sem-regular, segue que A é g-fechado em (,τ ). é um τ = pos (,τ ) Recprocamete, supoha que A é g-fechado em (,τ ). Como (,τ ) etão, para todo = δ. Portato A é δgfechado em (,τ ). τ tal que. Se (,τ ) é um espaço A temos que cl( A) cl ( A) é sem-regular,, etão todo subcojuto g-fechado em (,τ ) é um subcojuto fechado em (,τ ). Pelo tem ateror se A é δg-fechado em (,τ ) etão A é g-fechado e portato A é fechado em (,τ ). Recprocamete, se A é um subcojuto fechado em (,τ ), A é um subcojuto g-fechado em (,τ ). Como (,τ ) é um espaço sem-regular, pelo tem ), segue que A é um subcojuto δg-fechado em (,τ ). Defção 3..3 []:m espaço topológco (,τ ) é chamado Almost Weakly Hausdorff quado a sem-regularzação de (,τ ) é. eorema 3..5 []: Para um espaço topológco (,τ ) as segutes codções são equvaletes:. (,τ ) é um espaço Almost Weakly Hausdorff.. Para todo, { } é um cojuto δ-fechado ou δ-aberto. 3. Para todo, { } é um cojuto δ-fechado ou regularmete aberto. Demostração: 5

35 ( ) ( ) Cosdere (,τ ) um espaço Almost Weakly Hausdorff. Etão a semregularzação (,τ *) (,τ *) Portato { } ( ) ( 3) Imedato. é um espaço Logo, é δ-fechado ou δ-aberto. { } é aberto ou fechado em ( 3) ( ) Se para todo, { } é δ-fechado ou regularmete aberto em (,τ ) para todo, { } é fechado ou aberto em (,τ *). Portato (,τ *) e (,τ ) é um espaço Almost Weakly Hausdorff. etão, é um espaço eorema 3..6 []: Em um espaço Almost Weakly Hausdorff (,τ ), cojutos g- fechados em (,τ *) são δ-fechado em (,τ ) e portato δg-fechado em (,τ ). Demostração: Seja A um subcojuto g-fechado em (,τ *) Weakly Hausdorff, temos que (,τ *) é um espaço. Como (,τ ) é Almost. Etão A é um subcojuto fechado em (,τ *). Portato A é um subcojuto regularmete fechado em (,τ ) e etão, A é um subcojuto δ-fechado em (,τ ), segudo daí que A é um subcojuto δg-fechado em (,τ ). Defção 3.. []: m espaço topológco ( ),τ subcojuto δg-fechado de (,τ ) é δ-fechado. é chamado espaço quado todo 3 Lema 3.. []: Em qualquer espaço (,τ ), um subcojuto utáro { } é δ-aberto se e somete se ele é regularmete aberto. 6

36 Demostração: Sejam (,τ ) um espaço topológco e. Supoha que { } é um subcojuto δ-aberto. Etão { } é a uão de cojutos regularmete abertos cotdos em { }. Se { } ão fosse regularmete aberto, o úco regularmete aberto cotdo em { } sera o cojuto vazo. Assm { } =. Absurdo. A recíproca segue da defção de cojuto δ-aberto. eorema 3..7 []: Para um espaço topológco (,τ ), as segutes codções são equvaletes:. é um espaço 3.. odo subcojuto utáro { }, é δ-aberto ou fechado. 3. odo subcojuto utáro { }, é regularmete aberto ou fechado. Demostração: () () Seja que é um espaço e 3. Supoha que { } ão seja um subcojuto fechado de (,τ ). Vamos mostrar que { } é δg-aberto. Para sso, tome um subcojuto F fechado em (,τ ) tal que F { }. Como o úco cojuto cotdo em { } é ele mesmo e o cojuto vazo, e como supomos que { } ão é fechado, segue que F =. Logo F t { }. Portato { } é um subcojuto δg-aberto em (,τ ) δ. Agora, como por hpótese (,τ ) é um espaço 3, segue que { } é um subcojuto δ-aberto em (,τ ). () (3) Por hpótese, todo subcojuto utáro { }, é δ-aberto ou fechado. Pelo Lema 3.., segue que subcojuto utáro { }, é regularmete aberto ou fechado. (3) () Seja A um subcojuto δg-aberto de (,τ ). Vamos mostrar que A é um subcojuto δ-aberto em (,τ ). Seja A, pela hpótese, { } é regularmete aberto ou fechado em (,τ ). Se { } for regularmete aberto, para todos A, etão A é δ-aberto 7

37 em (,τ ) (pelo Lema 3..). Agora, se { } fechado, para algum (ou todos) é δg-aberto de (,τ ), { } t A. Assm A = { } A δ A A, como A t δ. Como t A A sempre, δ segue que t δ A = A, e portato A é um subcojuto δ-aberto em (,τ ). eorema 3..8: O espaço é um espaço 3 se e somete se todo subcojuto B de é gual a terseção de todos regularmete fechados e todos abertos cotedo B. Demostração: Supoha que é um espaço 3 com B arbtráro. Etão c I { } B}. Como todo { } é regularmete aberto ou fechado em, etão { } c B = \ regularmete fechado ou aberto em, segudo daí o resultado. é Recprocamete, supoha que todo subcojuto de é gual a terseção de todos abertos e regularmete fechados cotedo B. Se, pela hpótese, { } c é a terseção de todos regularmete fechados e de todos abertos cotedo { } c. Vamos mostrar que { } c é regularmete fechado ou aberto em, ou seja, { } é regularmete aberto ou fechado em. Como { } c = { }, segue que cl { } c δ = ou cl { } c = { } c δ. Se cl { } c = { } c todo, etão { } é δ-aberto e portato é um espaço tvermos cl { } c { } c c = δ, etão clδ { } δ para 3. Agora, se para algum.mas { } c é gual a terseção de todos regularmete fechado e todo todos aberto cotedo { } c. Como o úco regularmete fechado cotedo { } c é, segue { } c é um cojuto aberto em. Portato { } é fechado. Cocluímos etão que { } é regularmete aberto ou fechado em para qualquer Portato é um espaço 3.. 8

38 eorema 3..9: Sejam é um espaço um espaço 3. 3 e Y um subcojuto aberto em.etão Y é Demostração: De fato, como é um espaço 3, y Y, etão { y } é um subcojuto regularmete aberto ou fechado em. Se { y } é um subcojuto regularmete aberto, como Y é aberto em, segue que{ y} Y I { y} = é aberto em Y. Vamos mostrar que t ( cl { y} ) = t ( cl { y} ). Para cada k ( cl { y} ) Y Y Y t Y Y, este um aberto em Y tal que cl { y}. Como Y é aberto em, segue que é aberto em e k ( cl { y} ) Y Assm t ( cl { y} ) t ( cl { y} ). Agora, se k ( cl { y} ) Y que k V ( cl { y} ) k t Y Y Y t. Como k V I Y e V I Y é aberto em Y com V I Y V ( cl { y} ), segue que ( cl { y} ) t ( cl { y} ) Y t =. Portato, Y Y Y Y t Y., este um aberto V em tal ( cl { y} ) = t ( cl { y} ) = t ( cl { y} I Y ) = t ( cl { y} ) I Y = { y} I Y { y} Y Y Y = { y } é um subcojuto regularmete aberto em Y. Mas, se { y } é um subcojuto fechado em, { y} Y I { y} um espaço 3., ou seja = é fechado em Y. Portato, Y é eorema 3.. []: odo espaço é um espaço. 3 Demostração: Sejam um espaço e ( A) cl, como é δ, temos que { } A um subcojuto δg-fechado em. ome é um cojuto fechado de. Se A { } cl δ ( A) A, como A é δg-fechado segue pelo eorema.. que cl ( A) A cotém cojuto fechado ão vazo. Portato cl ( A) = A logo é um espaço. 3, etão δ ão δ e assm A é δ-fechado em. 9

39 Eemplo 3..: m eemplo de um espaço espaço topológco ode {, y, z} um espaço 3 mas ão é um espaço fechado em (,τ ). Agora, (,τ ) que ão é um espaço 3 =, e seja = {, { }, { y},{, y}, } : Seja (,τ ) um τ. Etão (,τ ). De fato, (,τ ) é um espaço ão é um espaço 3, pos t { } = t{, z} = { } etão { } é regularmete aberto em (,τ ) ; t { y } = t{ y, z} = { y} etão { y } é regularmete aberto em (,τ ) { z } é fechado em (,τ ). ; pos { } é ão é Pela defção de espaço, segue que (,τ ) 3 é um espaço 3. eorema 3.. []: odo espaço é um espaço. 3 Demostração: Sejam um espaço é um Espaço 3 e 3 A um subcojuto g-fechado de. Como, ou { } é um subcojuto δ-aberto ou fechado. Logo, ou { } fechado. Pelo eorema 3..6, temos que é um Espaço. 3 é aberto ou Eemplo 3..3: m eemplo de espaço Seja = { a, b} e τ = {, { a }, }. Etão (,τ ) (,τ ) é um espaço. Mas (,τ ) que ão é um espaço ão é um espaço 3. é um espaço topológco. Observe que { b} ão é aberto. { a } também ão δ-aberto pos { a} = { a} 3. De fato, { a } ão é fechado pos t. 3

40 eorema 3.. [] : Para um espaço topológco (,τ ) as segutes codções são equvaletes:. é Almost Weakly Hausdorff.. é um espaço 3 e cada cojuto { } é δ-fechado ou δ-aberto em (,τ ). Demostração: () () Supoha que (,τ ) é um espaço Almost Weakly Hausdorff, etão (,τ *) espaço é um. Seja A um subcojuto δg-fechado em (,τ ), etão A é g-fechado em (,τ *) e portato A é fechado em (,τ *). Assm A é regularmete fechado em (,τ ) A é δ-fechado em (,τ ). Logo (,τ ) em (,τ ). é um espaço () ()Supoha que (,τ ) é um espaço 3, e portato 3. Etão { } é δ-fechado ou δ-aberto e que,{ } fechado ou δ-aberto em (,τ ). Portato { } é fechado ou aberto é um subcojuto δ- em (,τ *). Logo, pelo eorema 3.., (,τ *) é um espaço e assm (,τ ) é um espaço Almost Weakly Hausdorff. eorema 3..3: Seja = { \ J}. Se (,τ ) espaço 3. um espaço 3 etão é um Demostração: Seja = { \ J} tal que (,τ ) qualquer, vamos mostrar que é um espaço 3. Seja um espaço 3. Escolha qualquer, etão para J 3

41 qualquer = ( ) J = β, β (,τ ). β ode β β é um elemeto qualquer de β se β =, temos que { } = ( ) { } β J β mas se β é regularmete aberto ou fechado em Cosderemos τ como a topologa produto sobre. Etão { } ão é aberto em (,τ ) todo aberto em possu ftas parcelas guas a pos β, com β varado em J. Assm { } ão é regularmete aberto em (,τ ). Etão { } é fechado em (,τ ) e portato { } fechado em. Logo é um espaço 3. Cosderado τ como a topologa da caa sobre. Se { } é fechado em (,τ ) { } é fechado em. Agora, se { } é regularmete aberto em (,τ ) { β } = { } = { } = t ( { β }) = t { β } = t { β } β J é um espaço β J β J β J, é, etão t. Portato, { } t{ } 3 Em qualquer caso, se = { \ J}. Se (,τ ) espaço 3. um espaço 3 etão = e é um Coroláro 3..3: Seja = { \ {,, L, }. O espaço (,τ ) etão é um espaço 3. é um espaço 3 Demostração: Supoha que seja um espaço espaço correspodete. Queremos mostrar que um elemeto qualquer. Como é um espaço. Seja {,, L,} 3 é um espaço qualquer e o 3 3. Para sso, tome, e seja = (,, ) L o 3

42 qual = β a -ésma posção e se β, β β é um elemeto qualquer. Etão { } é regularmete aberto ou fechado em. Logo { } é regularmete aberto ou fechado em. Eemplo 3..: Recíproca do teorema ateror ão é verdadera. O produto de dos espaços τ = {, { a }, { b},{ a, b}, }. Seja Q {( c, b) } úco aberto em 3 ão é geralmete um espaço. Por eemplo { a, b, c} 3 = e =, etão Q é δg-fechado em. De fato, o é cotedo Q é o própro Observe que Q ão é δ-fechado em pos Q ão é aberto em. Lema 3..: Seja = { J} \ ode J é fto. Etão é (A topologa cosderada sobre é a topologa produto). 3 se e somete se Demostração: Supoha que é um espaço 3. Seja, { } ão é aberto a topologa produto, portato { } ão é regularmete aberto a topologa produto. Como é fechado. Daí segue é um espaço. A recíproca já fo provada o eorema , { } é eorema 3..: Seja = { J} somete se cada produto). \ ode J é fto. Etão é um espaço é um espaço (A topologa cosderada sobre é a topologa 3 se e 33

43 Demostração: De fato se é um espaço é um espaço para todo J. 3, pelo lema ateror, é um espaço, etão Recprocamete, se é um espaço para todo J, etão é um espaço. Portato é um espaço 3 (pelo eorema 3..). eorema 3..5 [5]: Seja (, τ ) = {(, τ ) \, } =,..., somete se uma das segutes codções é satsfeta: a. ( τ ) ou, é um espaço b. para algum k, ( τ ) todo k. k k para todo, é um espaço =,,..., mas ão. Etão é um espaço ode ( τ ), é dscreto para se e Demostração: Supoha prmeramete que é um espaço satsfeto. Supoha também que, para algum k, ( τ ) espaço um. Fe tal que { } τ e que o tem a. ão seja k, k ão é um espaço, mas é um k. Afrmamos que (, τ ) é um espaço dscreto. Caso cotraro, este. odava, para algum k k ão é fechado em ( τ ), k k,. k Defa * por ( j) j ( k) k * = ( ) * = * arbtraramete para k, Se { *} τ, etão a -ésma projeção P [{ *}] = { } τ, uma cotradção. Se { *} fechado em (,τ ) etão { } é fechado em ( τ ) eorema 3.. segue que ( τ ) k, é dscreto para todo k. k k é, também uma cotradção. Pelo 3

44 Recprocamete, se o tem a. é verdadero (,τ ) é um espaço e portato eorema 3..). Se o tem b. for verdadero etão para algum k, ( τ ) mas ão ode ( τ ) { j } = j τ, é dscreto para todo k. Seja \. Por outro lado se { } k. Se { k } τ k É fechado em (, τ ) etão { } é fechado em (,τ ). Portato (,τ ) k k k k (pelo, é um espaço, etão é um espaço. eorema 3..6: Seja (, τ ) = {(, τ ) \, } =,..., somete se uma das segutes codções é satsfeta: a. ( τ ) ou, é um espaço b. para algum k, ( τ ) todo k k k para todo, é um espaço =,,..., 3 mas ão. Etão é um espaço ode ( τ ) 3 se e, é dscreto para Demostração: Supoha prmeramete que é um espaço pelo eorema 3... Pelo eorema ateror, a) ou b) é satsfetas. Recprocamete, se a) é satsfeta, (,τ ) é um espaço. Logo (,τ ) Agora, se a codção b) for satsfeta, etão para algum k, é um espaço equato ( τ ), é dscreto para todo k. Seja = etão { } = { j j,,..., } k ). Por outro lado, se { } ( τ ), se { } / é regularmete aberto (pos ( τ ), é dscreto para todo k é fechado, { } = { j j,,..., } k ). Logo (,τ ) 3. Etão é um espaço k é um espaço 3., 3 mas ão, é regularmete aberto,, é dscreto para todo / = é fechado em (pos é um espaço 3. 35

45 eorema 3..7: Seja (,τ ) um espaço 3, J, ode { τ \ J} é uma famíla totalmete ordeada em relação à clusão. Etão ( { τ \ J} ),I é um espaço 3. Demostração: Seja (,I{ τ \ J} ). Etão { } Como, por hpótese, (,τ β ) é fechado em ( τ ), J e supoha que { } ão seja regularmete aberto em ão é regularmete aberto em (,τ β ) é fechado em ( ) 3, { },.Se J é tal que β τ Agora, se J é tal que τ β,τ β para algum β J. é. Vamos mostrar que { } τ, etão { } é fechado em ( ) τ, e se { } ão é fechado em ( ), etão { } ser fechado em (,τ β ), cotradção. Logo { } é regularmete aberto ou fechado em (,I{ τ \ J} ), e portato ( { τ \ J} ),I é um espaço 3.,τ,τ. ão pode Lema 3..5(Lema de Zor): Seja um cojuto parcalmete ordeado tal que toda cadea teha pelo meos uma cota superor, etão tem um elemeto mamal Coroláro 3..: Para qualquer topologa τ sobre um espaço, este uma topologa υ sobre tal que : a. τ υ b. (,υ) é um espaço 3 c. Se (,σ ) é um espaço 3 para Demostração: Seja = { J} τ σ υ, etão σ = υ. τ \ uma famíla deada de todas as topologas mas fas que τ sobre um espaço. tal que (,τ ) é um espaço com a topologa dscreta é um espaço 3 3. Note que. odava, se { \ J *} pos τ é um subcojuto de 36

46 totalmete ordeado como respeto a clusão, etão pelo teorema ateror, (, σ ) = (, { τ \ J *}) I é um espaço 3 tal que τ σ. Etão σ e pelo Lema de Zor, possu um elemeto mmal υ que satsfaz as propredades acma. 37

47 3. Espaço g-regular, Espaço g-ormal e espaço Almost g- regular Defção 3.. [6]: m espaço é dto regular quado para cada par (,B) tal que e B é um subcojuto fechado em com B, estrem abertos e V dsjutos tas que e B V. Defção 3.. [3]: m espaço é dto regular geeralzado (escrto como g-regular) quado para cada par (,B) tal que e B é um subcojuto g-fechado em com B, estrem abertos e V dsjutos tas que e B V. Defção 3..3 [6]: m espaço é dto ormal quado para cada par (A,B) de subcojutos fechados em com AI B=, estrem abertos e V dsjutos tas que A e B V. Defção 3.. [3]: m espaço é dto ormal geeralzado (escrto como g-ormal) quado para cada par (A,B) de subcojutos g-fechados em com AI B=, estrem abertos e V dsjutos tas que A B e B V. Defção 3..5 [3]: m espaço é dto Hausdorff quado para cada par (,y) de elemetos de com y, estrem abertos e V dsjutos tas que e y V. 38

48 eorema 3.. []: Seja (,τ ) um espaço topológco. O espaço (,τ ) Hausdorff, se e somete se (,τ *) Demostração: Sejam ( ),τ é um espaço de Hausdorff. é um espaço de um espaço Hausdorff e, y tas que y. Etão estem e V abertos dsjutos em (,τ ) tas que e y V. Etão t = e y tv = V com V e subcojutos regularmete abertos em (,τ ) cotedo y e, respectvamete. Falta mostrar que V e são dsjutos. Como I V =, etão IV = t IV =. Mas, desde que e V são abertos, IV =. Portato IV = I t V IV = Como τ* τ, a recíproca é medata. Defção 3..6 [3]: m espaço é chamado g-hausdorff quado para cada par (,y) de elemetos de com y, estrem g-abertos e V dsjutos tas que e y V. Observação 3..:. Se é um espaço g-regular etão é regular.de fato, sejam e B é um subcojuto fechado em (e portato g-fechado) tal que B. Como é g- regular, estem e V abertos dsjutos tas que e B V. Portato é regular.. Se é um espaço g-ormal, etão será ormal.de fato, sejam A e B subcojutos fechados em (e portato g-fechados de ) tal que Como é g-ormal, estem e V abertos dsjutos tas que Portato é ormal. AI B =. A e B V. eorema 3.. [3]: Se é um espaço de Hausdorff, etão é um espaço g-hausdorff. 39

49 Demostração: Se é Hausdorff etão para cada par de (,y) de elemetos de com y, estem abertos e V dsjutos tas que e y V. Como todo cojuto aberto é g-aberto, segue que é g-hausdorff. eorema 3..3: Seja (,τ ) um espaço topológco g-regular. Se (,τ ) Hausdorff, etão (,τ ) é um espaço de Hausdorff. for um espaço g- Demostração: Seja (,τ ) um espaço topológco g-regular. Supoha que (,τ ) espaço g-hausdorff. ome, y quasquer tas que y estem g-abertos dsjutos e V tas que e V. Como (,τ ) y. Como (,τ ) seja um é g-hausdorff, é um espaço g- regular, estem abertos Z e W tas que Z Z, y W W V, e Z I W IV =. Portato, estem abertos Z e W dsjutos tas que Z e y W. Daí segue que (,τ ) é um espaço de Hausdorff. Coroláro 3..: Seja (,τ ) um espaço topológco g-regular. Se (,τ ) Hausdorff se e somete se (,τ ) é um espaço de Hausdorff. for um espaço g- Eemplo 3..: Vejamos um eemplo de espaço g-hausdorff que ão é Hausdorff. Cosdere = { a, b, c} e τ = {, { a }, }. emos que (,τ ) é um espaço topológco. Observe que (,τ ) ão é um espaço de Hausdorff pos { a } ão é fechado em (,τ ) (,τ ) é g-hausdorff. De fato, como { a } é aberto em (,τ ) etão é g-aberto em (,τ ) Agora, { b} e { c } são g-abertos em (,τ ) cojuto vazo. pos o úco fechado cotdo em ambos é o. Mas.

50 Coroláro 3..: Se ( ),τ for Hausdorff etão (,τ *) é g-hausdorff. Demostração: Sejam ( ),τ um espaço Hausdorff e, y tas que y (,τ *) é Hausdorff. Logo, pelo eorema ateror, (,τ *). Etão, pelo eorema 3.., é g-hausdorff. Lema 3..: Seja ( ),τ um espaço Almost Weakly Hausdorff. Se (,τ *) Hausdorff etão (,τ ) é g-hausdorff. for g- Demostração: Sejam ( ),τ um espaço Almost Weakly Hausdorff e, y tas que y. Se (,τ *) é um espaço g-hausdorff, estem e V g-abertos dsjuto de (,τ *) e V y. Como (,τ ) tas que um espaço Almost Weakly Hausdorff etão cojutos g- abertos em (,τ *) são δ-abertos em (,τ ) e portato g-abertos em (,τ ) e V g-abertos dsjuto de (,τ ) tas que e y V e (,τ ) é g-hausdorff.. Portato eorema 3.. [6]: Se todo cojuto utáro for fechado em, etão se é um espaço regular temos que é um espaço Hausdorff. Demostração: Sejam, y tas que y é um espaço regular, estem abertos dsjutos e V tas que é um espaço de Hausdorff.. Desde que { } é fechado em, { } y e e y V. Portato Coroláro 3..3: Supoha que todo cojuto utáro de seja fechado. Se é um espaço g-regular, etão é um espaço Hausdorff.

51 Demostração: Desde que todo espaço g-regular é um espaço regular, e todo espaço regular é Hausdorff; temos que todo espaço g-regular é um espaço Hausdorff. Coroláro 3..: Supoha que todo cojuto utáro de seja fechado. Se é g-regular, etão é g-hausdorff. Demostração: Se é um espaço g-regular etão, pelo Coroláro 3..3 é um espaço de Hausdorff. Por sua vez, pelo eorema 3.., é um espaço g-hausdorff. eorema 3..5: Supoha que todo cojuto utáro de seja g-fechado. Etão g- ormal mplca g-regular. Demostração: Sejam um subcojuto g-fechado em e tal que. Como todo cojuto utáro é g-fechado, seque que { } é g-fechado em. Como é um espaço g-ormal, estem abertos dsjutos V e W tas que espaço g-regular. V e W. Portato é um Coroláro 3..5: Supoha que todo cojuto utáro de seja fechado. Etão g-ormal mplca g-hausdorff. Demostração: De acordo com o eorema 3..5, se é um espaço g-ormal, etão é um espaço g-regular e portato, pelo Coroláro 3.., é um espaço g-hausdorff. eorema 3..6: Para um espaço, são equvaletes:. é um espaço g-regular.. Para cada e uma g-vzhaça de, este uma vzhaça V de tal que V.