Fundamentos da Matemática II

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1 MATEMÁTICA Graduação Fudametos da Matemátca II Ider Jeet Taeja Aldrovado L A Araújo

2 Fudametos da Matemátca II Ider Jeet Taeja Aldrovado L A Araújo ª Edção Floraópols, 00

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4 Govero Federal Presdete da Repúblca: Luz Iáco Lula da Slva Mstro de Educação: Ferado Haddad Secretáro de Eso a Dstâca: Carlos Eduardo Belschowky Coordeador Nacoal da Uversdade Aberta do Brasl: Celso Costa Uversdade Federal de Sata Catara Retor: Alvaro Toubes Prata Vce-Retor: Carlos Alberto Justo da Slva Secretáro de Educação a Dstâca: Cícero Barbosa Pró-Retora de Eso de Graduação: Yara Mara Rauh Müller Pró-Retora de Pesqusa e Extesão: Débora Peres Meezes Pró-Retor de Pós-Graduação: Mara Lúca de Barros Camargo Pró-Retor de Desevolvmeto Humao e Socal: Luz Herque Vera Slva Pró-Retor de Ifra-Estrutura: João Batsta Furtuoso Pró-Retor de Assutos Estudats: Cláudo José Amate Cetro de Cêcas da Educação: Wlso Schmdt Cetro de Cêcas Físcas e Matemátcas: Tarcso Atôo Grad Cetro de Flosofa e Cêcas Humaas: Roselae Neckel Curso de Lcecatura em Matemátca a Modaldade à Dstâca Coordeação de Curso: Ner Terezha Both Carvalho Coordeação de Tutora: Jae Crppa Coordeação Pedagógca/CED: Rosel Ze Cery Coordeação de Ambetes Vrtuas/CFM: Nereu Estaslau Bur Comssão Edtoral Atôo Carlos Gardel Letão Alberta Zatell Elsa Zuko Toma Igor Mozolevsk Luz Augusto Saeger Roberto Corrêa da Slva Ruy Combra Charão

5 Laboratóro de Novas Tecologas - LANTEC/CED Coordeação Pedagógca Coordeação Geral: Adrea Lapa, Rosel Ze Cery Núcleo de Formação: Nlza Godoy Gomes Núcleo de Pesqusa e Avalação: Clauda Rega Flores Núcleo de Cração e Desevolvmeto de Materas Desg Gráfco Coordeação: Laura Marts Rodrgues, Thago Rocha Olvera Projeto Gráfco Orgal: Dogo Herque Ropelato, Marta Crsta Goulart Braga, Natal Aacleto Chcca Juor Redeseho do Projeto Gráfco: Laura Marts Rodrgues, Dagramação: Natála de Gouvêa Slva Ilustrações: Ata de Fretas Btecourt Capa: Thago Felpe Vctoro Desg Istrucoal Coordeação: Julaa Machado Thago Rocha Olvera Desg Istrucoal: Alessadra Zago Dahmer, Elera Olvera Vlela Revsão do Desg Istrucoal: Márca Mara Beral Revsão Gramatcal: Mara Tereza de Queroz Pacet Copyrght 00, Uversdade Federal de Sata Catara/CFM/CED/UFSC Nehuma parte deste materal poderá ser reproduzda, trasmtda e gravada, por qualquer meo eletrôco, por fotocópa e outros, sem a préva autorzação, por escrto, da Coordeação Acadêmca do Curso de Lcecatura em Matemátca a Modaldade à Dstâca Fcha Catalográfca T64f Taeja, Ider Jeet Fudametos de Matemátca II / Ider Jeet Taeja, Aldrovado L A Araújo ed Floraópols : UFSC/EAD/CED/CFM, 009 3p ISBN Matemátca II Araújo, Aldrovado L A III Título CDU 5 Elaborada pela Bblotecára Eleoora M F Vera CRB 4/786

6 Sumáro Fudametos da Matemátca II 7 Iformações Hstórcas 9 Noções Báscas 5 Fatoral de um Número Natural 7 Somatóro e Produtóro Somatóro Produtóro 4 3 Prcípo de Idução 7 Números Bomas 35 Coefcetes Bomas 37 Coefcetes Bomas Complemetares 38 Igualdade Etre Dos Bomas 39 Relação de Stfel 4 3 Trâgulo de Pascal 43 3 Propredades do Trâgulo de Pascal 45 4 Bômo de Newto 54 4 Termo Geral do Bômo 57 4 Propredades 6 3 Aálse Combatóra: Permutações e Combações 67 3 Prcípo Fudametal de Cotagem 70 3 Arrajos 76 3 Arrajos Smples 76 3 Arrajo com Repetção Permutações Permutação Smples Permutações com Elemetos Repetdos Permutações Crculares Combações Combações Smples Combações Completas Combações Completas e Equações Leares com Coefcetes Utáros 94

7 4 Elemetos de Probabldade 0 4 Noções de Probabldade 04 4 Evetos Idepedetes e Probabldade Codcoal4 Resposta dos exercícos 8 Referêca 3

8 Fudametos da Matemátca II Neste trabalho dscutmos um úmero de resultados e métodos, especalmete da área de combatóra e teora elemetar de probabldade A apresetação ão omte provas de resultados mportates, ada que ão seja cetrada elas No etato, meramete expor os fatos sem algum argumeto que os justfque, sera terrvelmete dstate do espírto de um curso superor em matemátca Assm, sempre que possível, damos provas dos resultados mportates desde que seus argumetos ão estejam demasadamete além do escopo da dscpla para a qual foram escrtas estas otas Outro gredete que cosderamos essecal é a resolução de problemas, e este poto é ode ossas otas se cocetram Todos os cocetos e teoremas são exaustvamete explorados os exercícos De fato, dada a tpcdade do assuto, acredtamos que a sua melhor exposção possa ser realzada a forma de resolução de exercícos que exemplfquem argumetos fudametas e outros, os quas o estudate deve explorar os cohecmetos adqurdos o texto e os exercícos resolvdos Mutos detalhes de argumetos ou seus refametos se ecotram os exercícos É mprescdível que o estudate tete fazer todos os exercícos das otas De preferêca, tete resolver os já resolvdos, sem cohecmeto prévo da solução proposta, e em caso de fracasso sm, verfque a resolução Todo o trabalho está dvdo em quatro capítulos Os coteúdos das otas compreedem: regras báscas de cotagem, úmeros fatoras e prcípo de dução, combações, permutações e arrajos smples e com repetção, problemas combatóros com restrções, prcípo da clusão e exclusão, bômo de Newto e trâgulo de Pascal, espaços de probabldade ftos, probabldade codcoal e evetos depedetes Ider Jeet Taeja Aldrovado L A Araújo

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10 9 Iformações Hstórcas O surgmeto e o desevolvmeto da aálse combatóra tem se dado paralelamete ao desevolvmeto de outros ramos da matemátca, tas como a álgebra, a teora dos úmeros e a probabldade Desde a atgudade, Problemas de Combatóra têm atraído a ateção dos matemátcos Por exemplo, o problema dos quadrados mágcos que são matrzes quadradas de úmeros com a propredade de que a soma dos elemetos de qualquer colua, lha ou dagoal é o mesmo valor, aparece em um lvro chês datado de 00 a C Os quadrados mágcos de ordem 3 foram estudados com fs místcos Os coefcetes bomas, que são os coefcetes teros da expasão de (a+b), eram cohecdos o século XII O trâgulo de Pascal, que é uma dsposção tragular dos coefcetes bomas, fo desevolvdo o século XIII Pode-se cosderar que o ocdete a combatóra surgu o século XVII com os trabalhos de Blase Pascal e de Perre Fermat sobre a teora de jogos de azar Estes trabalhos, que formaram os fudametos da teora da probabldade, cotham os prcípos para determar o úmero de combações de elemetos de um cojuto fto, e assm se estabeleceu a tradcoal coexão etre combatóra e probabldade O termo combatóra, tal e qual o usamos atualmete, fo troduzdo por Wlhem Lebz em sua Dssertato de Arte Combatóra De grade mportâca para a cosoldação da combatóra fo o artgo Ars Cojectad (a arte de cojeturar), escrto por J Beroull Este trabalho estava dedcado a estabelecer as oções báscas de probabldade Para sto, fo ecessáro troduzr também um bom úmero de oções báscas de combatóra, que foram usadas fortemete as aplcações ao cálculo de probabldades Pode-se dzer que com os trabalhos de Lebz e Beroull se cam com o estabelecmeto da combatóra como uma ova e depedete área da matemátca O matemátco suíço Leoard Euler fo quem desevolveu, em prcípos do século XVIII, uma autêtca escola de matemátca combatóra Em seus artgos sobre partção e decomposção de teros postvos em somas, estabeleceu as bases de um dos métodos fu-

11 0 dametas para o cálculo de cofgurações combatóras, o método das fuções geradoras Também é cosderado o pa da teora dos grafos pela colocação e solução dos problemas das Potes de Kögsberg, usado pela prmera vez cocetos e métodos da teora dos grafos Dos prmeros problemas de teora dos grafos surgram as tetatvas de solução de algus problemas cotdaos e também da colocação de algus jogos matemátcos, tas como o problema das Potes de Kögsberg, o problema da dsposção de rahas em um tabulero de xadrez com certas restrções, problemas de trasporte, o problema do agete de vagem, etc O problema das quatro cores, formulado os meados do século XIX, (quatro cores são sufcetes para colorr as regões de um mapa de tal maera que regões com frotera teham cores dsttas) dexou de ser um mero jogo matemátco para ser uma fote de mportates problemas e resultados em teora dos grafos, de teresse tato teórco como prátco Este fo um dos problemas teórcos mas desafadores a hstóra da combatóra devdo à smplcdade de seu eucado Na Iglaterra, os fas do século XIX, Arthur Cayley fez mportates cotrbuções à teora de eumeração de grafos Por esta época, o matemátco George Boole usou métodos de combatóra em coexão com o desevolvmeto da lógca smbólca e com as déas e métodos que Her Pocaré desevolveu em relação aos problemas de topologa Um dos fatores mas mportates que cotrbuíram para o grade desevolvmeto que teve a combatóra desde 90 fo a teora dos grafos A mportâca dessa dscpla se apóa o fato de que os grafos podem servr como modelos abstratos para modelar uma grade varedade de relações etre objetos de um cojuto Suas aplcações se estedem a campos tão dversos como a vestgação de operações, químca, mecâca estatístca, físca teórca e problemas sóco-ecoômcos A teora de redes de trasporte pode ser vsta como um capítulo da teora dos grafos A teora da probabldade teve sua cração por Blase Pascal e Perre de Fermat motvada por uma dsputa relatva a jogos de azar em 654 Um obre fracês, Atoe Gombaud, com teresse em jogos de azar, colocou um problema relatvo a um jogo de dados para Pascal, que coduzu a uma extesa correspodêca etre Pascal e Fermat a qual eles estabeleceram pela prmera vez os prcípos

12 fudametas da teora O cetsta Chrsta Huyges, um professor de Lebtz, tomou cohecmeto desta correspodêca e, pouco depos, publcou o prmero lvro em probabldade, ttulado De Ratocs Ludo Alea Em sítese, era um tratado fudado em problemas assocados à teora dos jogos de azar Em fução do forte apelo de tas jogos, a teora da probabldade logo se torou popular, e se desevolveu rapdamete durate o século XVIII As maores cotrbuções, durate este período foram de Jakob Beroull ( ) e Abraham de Movre ( ) Em 8 Perre de Laplace (749-87) troduzu um cojuto ovo de déas e téccas em seu lvro, Théore Aalytque des Probabltés Ates dele, a probabldade estava cocetrada o desevolvmeto de uma teora matemátca dos jogos de azar Laplace, o etato, aplcou as déas da probabldade a mutos outros problemas cetífcos e prátcos Teora de erros, matemátca atural e mecâca estatístca são algus exemplos das aplcações da teora da probabldade desevolvdos o século XIX Etre os matemátcos que cotrbuíram para a teora da probabldade, depos de Laplace, destacam-se Chebyshev, Markov, vo Mses, e Kolmogorov No etato, a axomatzação da teora só se deu o século XX Em 933, o matemátco russo Kolmogorov em uma moografa, desevolveu uma abordagem axomátca que se costtuu a base para a modera teora da probabldade (O trabalho de Kolmogorov está dspoível em glês com o título de Foudatos of Probablty Theory, Chelsea, New York, 950) Desde etão, estas déas tem sdo refadas e a teora da probabldade é hoje parte de uma dscpla mas geral cohecda como Teora da Medda

13 Blase Pascal Flósofo e matemátco fracês (63 66) Aos dezoto aos vetou a prmera máqua dgtal, chamada Pascale, para levar a cabo o processo de adção e subtração Fote: wwwsomatematcacombr/bograf/pascalphp Perre Fermat Advogado e ofcal do govero fracês (60 665) A matemátca era o seu passatempo Em 636, Fermat propôs um sstema de geometra aalítca semelhate àquele que Descartes propora um ao depos Em uma correspodêca com Pascal, fudou a teora matemátca da probabldade Fote: wwwsomatematcacombr/bograf/fermatphp Wlhem Lebz Matemátco e flósofo alemão Gottfred Wlhelm vo Lebz (646 76) J Beroull Jea Beroull ( ) fo dscípulo de Lebz

14 3 Leoard Euler Leohard Euler ( ) fo o matemátco mas prolífco a hstóra Seus 866 lvros e artgos represetam aproxmadamete um terço do corpo tero de pesqusas em matemátca, teoras físcas e egehara mecâca publcadas etre 76 e 800 Fote: wwwsomatematcacombr/bograf/eulerphp Arthur Cayley Matemátco glês (8-895) que fo motvado pelo problema de calcular o úmero de sômeros de hdrocarboetos saturados George Boole O trabalho de Boole (84 864) fo fudametal para a evolução dos computadores A Álgebra Booleaa tem aplcações a estrutura dos computadores moderos e as lgações telefôcas Fote: wwwmeuspbr/~leo/matca/hstora/boole html Her Pocaré Matemátco, físco e flósofo (854 9) No âmbto das matemátcas aplcadas, estudou umerosos problemas de óptca, eletrcdade, telegrafa, caplardade, elastcdade, termodâmca, mecâca quâtca, teora da relatvdade e cosmologa

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16 Capítulo Noções Báscas

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18 7 Capítulo Noções Báscas Neste capítulo apresetaremos algumas oções báscas de matemátca já vstas aterormete o eso médo Apresetaremos cohecmetos de fatoras, somatóros, produtóros, etc Também apresetaremos a oção de prcípo de dução Estes assutos serão utlzados freqüetemete os capítulos posterores Fatoral de um Número Natural Ao produto 3 dcamos 3! e lemos três fatoral ou fatoral de três Assm: 5! = 543 4! = 43 Por coveção: 0! =! = Estas coveções podem parecer estrahas calmete, mas veremos o decorrer do capítulo que são as úcas que oferecem compatbldade com o coceto de fatoral de um úmero atural Defção Seja um úmero atural qualquer Dzemos que se = 0! = ( )! se > 0

19 8 De fato, adotamos 0! = Etão: Se =, ( ) Se! =! = 0! = =, ( ) Se 3! =! =! = = =, ( ) 3! = 3 3! = 3! = 3 = 6 E assm por date: ( )( )! = 3 Observação Algumas vezes adota-se o símbolo para dcar! Desse modo, 3 = 3, =, etc Exemplo 5! = 543 = 0 Exemplo 8! = = 4030 Exemplo 3 3! 3 5! + = 5! + = 5! + = 0 + = 3! 3 Exemplo 4 Smplfque as expressões a) b) c)! ;! ( ) ( ) ( )! ; 3! ( )! +! ;! d) ( + ) ( )! ( )!!! a) b) Solução ( )( ) ( ) ( )! ( )( 3 )! = ( 3 )! ( 3 )!!! ( )! =! ( ) = = É possível smplfcar porque o fatoral é sempre dferete de zero

20 9 c) ( + ) ( + )!!!!! = =!! d) ( ) ( ) ( ) ( )! ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +!! +!! =!!!! = ( ) ( )! + ( )!( ) + = = Ecotrar o valor da varável (letra, cógta, etc) Equações Igualdade etre duas expressões matemátcas que se verfca para determados valores das varáves Fote: Dcoáro Houass Exemplo 5 Resolva as segutes equações: = ( ) a)! 5! ; b) ( )! = 0 ; c) ( ) ( ) ( ) d) ( x ) e) + 5! + + 4! = !; x! = 30 ;! ( x + ) ( x )! = 56 ;! ( + )!! f) = 8 ; ( )! ( + ) + ( ) g)! ( )!!! = 3 Solução Para resolver equações com fatoral é coveete prmero smplfcar os fatoras, fazer as operações a forma smplfcada e depos buscar as soluções das equações Veja as soluções abaxo: a) ( )! = ( ) 5 = b) ( )! = 5! ( ) = 5 = 6 5! c) ( + 5)( + 4)( + 3 )! + ( + 4)( + 3 )! = ( + ) 35 3!

21 0 ( )( ) ( ) = 35 ( )( ) = = = 0 ' = e '' = Agora, '' = ão é váldo, pos ão é atural, etão a úca solução da equação dada é = d) x( x ) ( x )! = ( x ) 30! Retome a defção e você otará que fatoral é uma operação defda apeas para úmeros aturas x x = 30 x x 30 = 0 ( x )( x ) = 0 x ' = 6 ou x ' = 5 Aqu também, x ' = 5 ão é váldo, pos ão é atural, etão a úca solução da equação dada é x = 6 e) ( x+ ) x( x ) ( x )!! = 56 x + x= 56 x + x 56 = 0 ( x )( x ) = 0 x ' = 8 ou x ' = 7 Da mesma forma, x ' = 8 ão é váldo, pos ão é atural, etão a úca solução da equação dada é x = 7 f) ( + ) ( )! ( )! = 8 ( )! [ + ]( ) ( )!! = 8

22 g) Após a smplfcação obtemos ( ) + = 8 = 8 ( + ) ( ) + ( ) ( )! ( )!! ( ) + + = 3! + + = = 0 7 ' = ou ' = =3 Como é atural, etão ' = é a úca solução da equação Lsta de Exercícos ) Calcule: a) 7! + 5! b) 7! 5! 3!4! ) Smplfque: a)! + ( + )! b) ( + )!!! ( + )! 3) Obteha, tal que: ( + )! a) = 0 b) ( ) ( )! ) Calcule x as equações abaxo: ( ) ( ) x! + ( x )! x! + x+! + x! a) = 7 b) ( x ) ( x+ ) 0!! = 0 x!! +! = 6!

23 Somatóro e Produtóro Nesta seção explcaremos a otação de somatóro e produtóro Daremos algus exemplos para você eteder melhor o assuto Somatóro A otação somatóra ( ) é utlzada para represetar uma forma reduzda a soma de um determado úmero de expressões, fuções, úmeros, etc Por exemplo, ) = ; ; ) ( + ) = ( + ) ) = ; O que é mas smples, escrever ou 5? Escrever ou 3 4? Os símbolos de somatóro e produtóro também smplfcam a otação de expressões como = e = 3579 = ( + ) O símbolo usado é um sgma maúsculo, letra grega Note que o ídce feror deota o íco e o superor, o fal 5 v) 6 5= = 55= 5; 7 ; v) 3 = = 3( ) v) 4 5 = = 45 = 60 ; 4 v) 3 j 3 4 = ( ) j= ( ) ( ) ( ) = = 4 j 3 ; j= v) ( + 3) = ( + 3 ) + ( + 3) 3 3 = ; = + 3

24 3 x) x) 5 + = a = a + a + a + a = a0 + a+ a + a = ; 0 3 = a 0 A oção do somatóro explcada acma possu algumas propredades, dadas a segur: Propredade Propredade é sômo de atrbuto; codção é o mesmo que requsto Fote: LIMA et all (003, p -3) ) Seja k uma costate arbtrára, etão: a) ka = k a ; ) b) k = k ; a b = a b m m ; j j j= j= a + b = a + b ; ) ( ) v) v) p a + a = a ; p+ a = p p 0 p a Exemplo 6 Chamamos expadr como represetação da expressão, 8 por exemplo = + + = a) Expada a expressão b) Escreva a expressão usado a otação de somatóro:

25 4 c) Avale ( a a ) cosderado a 0 = 0 Solução a) Podemos escrever 3 = = = b) Podemos escrever = ( + ) c) Podemos escrever ( a ) a = ( a a0) + ( a a) + ( a3 a) + + ( a a ) = ( a a0) + ( a a) + ( a3 a) + + ( a a ) = a + a 0 = a, pos a 0 = 0 Produtóro A otação produtóro ( ) é utlzada para represetar uma forma reduzda uma expressão, úmeros, fuções, etc, colocados em certa ordem e separados por sal de produto ( ) Por exemplo, O símbolo usado é um p maúsculo, letra grega ) 34 = =! ; ) 3 x x x x x = ; ; ) ( ) = 35 ( )

26 5 s v) x = xr xr+ xs r s; r = v) ( ) ( )( )( ) 4 ( ) = ( ) =! ; v) ( + ) = ( )( 3)( 34)( 45) 5 = ( 34)( 345) 4 4 ( ) ; = + v) 4 = ( 4)( 4)( 43)( 44)( 45) 5 = = 4 ; v) = 4444 = 4 ; x) ( + ) = 3 4 = ( 34) 3 = ( + ) 3 3 A defção do produtóro explcada acma satsfaz algumas propredades, dadas a segur: ) a b = a b ; ) Seja k um úmero atural fxo arbtráro, usualmete chamado de costate, etão: a) k = k ; b) k a = k a ;

27 6 c) k k a = a Exemplo 7 Expada e smplfque a expressão j= 0 Solução Podemos escrever j= 0 ( j + ) ( j + ) 3 ( + ) = 3 3 ( + ) = 3 = + Lsta de Exercícos ) 3) Expada as segutes somas: 6 a) ; 6 b) 0 x Escreva as expressões abaxo, usado a otação de somatóro: a) ; b) ) Expada os segutes produtos: j= ( 3j + 7) a) ; b) 4 3 ( 7+ 3)

28 7 4) Escreva as expressões abaxo usado a otação de produtóro: a) 3579 ; O axoma da dução é o últmo dos axomas de Peao (que defe os úmeros aturas) Ele está presete (pelo meos de forma mplícta) sempre que, ao afrmarmos a veracdade de uma preposção referete aos úmeros aturas, verfcamos que ela é verdadera ( =, =, =3) e dzemos e assm por date ( + )( + )( + ) b) p p p p 3 Prcípo de Idução Vamos aalsar a segute soma: S ( ) 3 5 S = = = + 3= 4= = 9= = 6 = = 5 = 5 Deduzr Coclur (algo) pelo racocío; ferr Fote: Dcoáro Houass Matematcamete, o racocío dedutvo é um poderoso strumeto de se chegar a coclusões a partr de fatos cohecdos e de uma estrutura lógca que os artcule Cosderado os próxmos valores de, podemos deduzr que: ) S = S + ; ) S = A perguta que surge aqu é se realmete sso é verdade para qualquer úmero atural Os cálculos acma ão provaram sso Etão, em vez de fazer deduções arbtráras, podemos apresetar um prcípo cohecdo como prcípo de dução, que garate as afrmações estabelecdas Proposção Seja a um úmero tero Uma proposção ( ) verdadera para todo a se: P é

29 8 ) P( a) é verdadera; ) para todo r a é verdadera, se P( r ) é verdadera, etão ( ) P r+ também Para aplcarmos este prcípo de dução matemátca, devemos segur os segutes passos: Passo (Base de dução): Verfcar se ( ) = a P é verdadera para Passo (Hpótese de dução): Assumr P( k ) verdadera, hpótese da dução, com k fxado arbtraramete 3 Passo (Tese de dução): Provar que P( k+ ) é verdadero Teste se a propredade que está sedo estudada vale para o seu valor cal Descreva o que sgfca esta propredade valer para um valor k qualquer Mostre que utlzado o fato da propredade valer para k sgfca que ela vale para seu sucessor (k + ) Coclusão: Sedo verfcados os três passos, podemos coclur que P é válda para qualquer valor de a ( ) Vamos aplcar este prcípo de dução para resolver algus exemplos Exemplo 8 Prove por dução que Solução Para = tem-se ( + ) =, ( + ) = = (vale) Supomos que o resultado vale para = r, ou seja, ( + ) r r r = Vamos mostrar que vale para = r+, ou seja, precsamos mostrar que Agora, ( r ) ( r+ )( r+ ) r+ + = ( + ) r r r+ ( r+ ) = + r+

30 9 r r = ( + ) + ( r+ ) ( r+ )( r+ ) = Logo, o resultado vale para r + Assm, cocluímos que o resultado vale para todo é um quatfcador uversal que sgfca que qualquer úmero satsfaz esta propredade Exemplo 9 Prove por dução matemátca que 0 x x x x = = ode é o cojuto dos úmeros reas x +, x, x, x Solução Passo: (Base de dução) Para = e 0 x = + x ( x )( x+ ) ( x ) x = = x + x Portato a afrmação é verdadera para = Passo: (Hpótese de dução) Vamos supor que a fórmula é válda para = k, sto é, k k + x x = (hpótese) x 0 3 Passo: (Tese de dução) Devemos mostrar que a afrmação é válda para = k+ Temos k + 0 x = + x+ + x + x k k+ k k x x + (hpótese) 0 = + k+ x = + x x = k+ k+ k+ x + x x ( ) x

31 30 Isso dz que = k x ( k ) + x k x x = (vale para = k+ ) x Logo, se a fórmula vale para k etão também vale para k + Portato, cocluímos pelo prcípo de dução, para qualquer tero, que + x = + x+ x + + x =, 0 x x x, x Exemplo 0 Usado prcípo de dução, prove que 3 =, Solução Vmos o exemplo 8 que ( + ) = Portato, precsamos provar que Passo: = = (verdadera) 3 = ( ) ( + ) = = = 4 4 Passo: Vamos supor que a afrmação vale para = k, sto é, k 3 k = ( k+ ) 4 3 Passo: Vamos provar que a mesma afrmação também vale para = k+, ou seja, Agora, k+ k 3 3 k + 3 = ( ) = + k+ 3 ( k+ ) ( k+ ) 4

32 3 ( k+ ) k = ( k ) ( + ) + 4( + ) k k k 3 = 4 ( k+ ) k + 4( k+ ) = 4 ( k+ ) ( k+ ) = 4 3 Assm, a fórmula vale para k + se for válda para k Logo, pelo prcípo de dução ela é válda para qualquer, sto é, ou seja, 3 = ( + ) 4 ( ) + =, Exemplo Utlzado o prcípo de dução, mostre que a soma dos cubos de três teros cosecutvos é um múltplo de 9, Solução Vamos cosderar ( ) ( ) , Devemos mostrar que a expressão acma é um múltplo de 9 Passo: Para = que é múltplo de = = 36 = 94, Passo: Para = k, supoha que a expressão ( ) ( ) 3 k + k+ 3 + k+ 3 é um múltplo de 9, ou seja, exste um t tal que ( ) ( ) k k k 9t = 3 Passo: Vamos mostrar que = k+, ou seja, ( k ) ( k ) ( k 3) é múltplo de 9

33 3 Podemos escrever ( k+ ) + ( k+ ) + ( k+ 3) ( k ) 3 ( k ) 3 k k( k 3) = ( ) ( ) = k + k + + k k + 7k = 9t k + 7k ( ) = 9 t+ 3+ k + 3k = 9p, ode p = t+ 3+ k + 3k Logo, podemos coclur que a expressão é um múltplo de 9 ( k+ ) + ( k+ ) + ( k+ 3) Coseqüetemete, a afrmação é verdadera Aalogamete, também podemos provar que o resultado é váldo para, pos este caso escrevemos = Exemplo Utlzado o prcípo de dução, prove que Solução m m a = a Passo: Para = m m m a = a = a Passo: Vamos supor que o resultado vale para = k, sto é: k k m m a = a 3 Passo: Vamos provar que o resultado é váldo para = k+, ou seja, Agora, k+ k+ m m a = a k+ k m m m a = a a k+

34 33 k m m a a k + (usado Passo) = k m = aa k + k + m = a (vale) Portato, usado o prcípo de dução cocluímos que a afrmação é verdadera Lsta de Exercícos 3 Prove, utlzado o prcípo da dução: ( + )( + ) ) =, 6 Você otou que este exercíco abru a seção 6? Agora você va resolvê-lo j =, ) ( ) j=

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36 Capítulo Números Bomas

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38 37 Capítulo Números Bomas Neste capítulo apresetaremos o Bômo de Newto e o trâgulo de Pascal Estes dos assutos são mportates as aplcações em aálse combatóra, apresetada o capítulo a segur Coefcetes Coefcetes são úmeros reas, em geral teros, que multplcam as cógtas ou varáves de uma expressão Na seção 4 você perceberá porque chamamos a expressão defda a segur de coefcetes bomas Coefcetes Bomas Defremos como se calculam os coefcetes bomas As fórmulas a segur permtem calcular todos os elemetos do Trâgulo de Pascal sem a ecessdade de calcular os elemetos aterores e permtem o cálculo dos bômos de Newto, que serão estudados a segur Defção Dados dos úmeros aturas, e p, sedo p, chamamos de coefcete bomal ou úmero bomal ou úmero combatóro a expressão defda por, se p = 0 = ( )( p+ ) () p, se p 0 p! ou! =, p,, p () p ( p)! p! Podemos verfcar faclmete que as expressões () e () são equvaletes De fato, multplcado e dvddo () por ( p)!, temos ( )( p+ )( p)! = p ( p)! p!! = p!( p)!

39 38 Notação Há váras formas de deotar a expressão p : por C p,, por por, etc Neste trabalho sempre utlzaremos C, p cp Veja a segur algus exemplos de smplfcação da expressão C, p Exemplo 5! 5! 54 3! 0 a) C 5, = = = = = 0!(5 )!! 3!! 3! 5! 5! 54! b) C 5, = = = = 5!(5 )! 4!!! 4! p C, Às vezes chamamos C,p por coefcete bomal de por p, e este caso é cohecdo como umerador do coefcete bomal e p como deomador do coefcete bomal, mas de qualquer maera C,p ão tem ada ver com úmero racoal, ou seja, p ( Cp, = p ( p c) 7! 7! 76 5! 4 C 7,5 = = = 5!(7 5)! 5!! 5!! = = p! p! d) C = p, p 5 Cp,5 ( p 5)!( p p+ 5)! = ( p 5)! 5! = Observação As segutes relações são mportates e serão utlzadas posterormete:! ( )! ) C, = = = ( )!! ( )!! ( + )! ( + ) ( )! ( + ) ) C+, = = = ( + )!! ( )!!! ( + )! ( + )( + ) ( )! ( + )( + ) ) C+,3 = = = ( + 3)! 3! ( )! 3! 3! Coefcetes Bomas Complemetares Os coefcetes bomas C 7,e C 7,5 têm o mesmo umerador, e a soma de seus deomadores é gual ao umerador O mesmo ocorre com C 6,4e C 6, Coefcetes bomas desse tpo são cohecdos como complemetares Veja defção a segur Defção Coefcetes bomas complemetares são aqueles que têm o mesmo umerador e cuja soma dos deomadores é gual ao ume-

40 39 rador, sto é, dos coefcetes bomas C, p e C, q são complemetares se p+ q= Exemplo a) C 8,3 e C 8,5 são complemetares, pos 3+ 5= 8 b) C 5,3 e C 5, são complemetares, pos 3+ = 5 Igualdade Etre Dos Bomas Os coefcetes bomas complemetares são sempre guas Dos bomas, C, p e C, q, são guas se, e somete se, p = q ou p+ q=, sto é, C = C p= q ou p + q=, p, q Exemplo 3 a) C, x = C,5 x= 5 ou x+ 5 = x= 6 x = 5 ou x = 6 b) C8,4 = C8, x= 4, pos ou x+ 4= 8 x= 4 x Esta coclusão se euca geercamete da segute forma: Proposção É válda a relação C, p= C, p,, p e p, ode é o cojuto de úmeros aturas postvos A demostração segue dreto da propredade de gualdade etre dos bomas e do fato de que p+ p = Observe os exemplos abaxo em que equações cotém cógtas os bômos de Newto Exemplo 4 Obteha tal que C 3, C =,3 4

41 40 Solução Temos C C,,3! 3 ( )!! 3 = = 4! 4 ( 3)! 3! ( 3)! 3! 3 = ( )!! 4 ( 3)! 3! ( ) ( 3)!! 3 3 = 4 3 = 4 = 4 = 6 Exemplo 5 Obteha tal que C,= 5 Solução Podemos escrever! ( )( )! 5 = C, = = ( )!! ( )!! 3 0 = ( ) = 30 0 ( 6)( + 5) = 0 = 6 ou = 5 Como é postvo, etão 5, ou seja, = 6 Lsta de Exercícos ) Efetue as expressões: a) C + C + C ; 3,0 3, 3, b) C + C + C 5,0 5, 5,4

42 4 ) Determe o valor de x em cada uma das segutes expressões: a) C = C ; 6, x+ 6,3x b) C C + = 0, x 5 0, 5x 3) Obteha tal que: Esta otação será dscutda o capítulo segute Por equato, utlze esta fórmula apeas para trear sua habldade de calcular com fatoras e comparar combações a) C,3 = b) C = ;, 36 4) Cosdere A p, x, x, 0! = Obteha x tal que: p! ( ) a) A C = x; b) A x+, Cx, = 4 Relação de Stfel A relação de Stfel é bem cohecda em aálse combatóra e tem suas aplcações em desevolvmeto do Bômo de Newto É dada por C + C = C, p, p+ +, p+ De fato Ateção: estude esta demostração tetado compreeder as déas que estão sedo utlzadas e também aalsado, de cada lha para a segute, a valdade de cada operação C!! + C = + p!( p)! ( p+ )!( p )!, p, p+!! = + p!( p)( p )! ( p+ ) p!( p )!! = + p!( p )! p p+ = =! p + + p p!( p )! ( p)( p+ )!( + ) p!( p )!( p)( p+ )

43 4 ( + )! = ( p)!( p+ )! ( + )! = ( p+ )! + ( p+ )! ( ) = C + +, p Exemplo 6 Calcule a) C + C ; 9,6 9,7 b) C + C 8,5 8,6 Solução a) Aplcado a relação de Stfel, podemos escrever 0! 098 C9,6 + C9,7 = C0,7 = = = 0 7! 3! 3 b) Aplcado a relação de Stfel, podemos escrever 9! 987 C8,5 + C8,6 = C9,6 = = = 84 6!3! 3 Exemplo 7 Resolva a equação Cx+, = Cx, + C4, Solução Comparado-a com a relação de Stfel, C + C = C, temos, p, p+ +, p+ C + C = C + x, 4, x, C4, + C4, = C5, x = 4 Lsta de Exercícos Ao resolver os exercícos, atete para o fato de que matematcamete um problema está resolvdo se for mostrado que ão há solução possível

44 43 ) Complete: C5, + C5, = C, Note que aqu o é tratado como uma costate e a resposta ecotrada será em fução de ) Resolva em x a equação 3) Obteha x tal que C = xc,3,4 C,x = C, x + 9 4) Obteha x e y tal que C0, x + C0,x 5 = C, y 3 Trâgulo de Pascal A segute dsposção de úmeros em termos de coefcetes bomas é cohecda como Trâgulo de Pascal L :0 0 C0, L : C, 0 C, L : C,0 C, C, L :3 3 C3,0 C3, C3, C3,3 L :4 4 C4,0 C4, C4, C4,3 C4,4 L :5 5 C5,0 C5, C5, C5,3 C5,4 C5,5 Tabela

45 44 A tabela acma pode ser represetada equvaletemete como: Tabela A dsposção de úmeros dadas a tabela ou tabela é chamada Trâgulo de Pascal Aplcado a relação de Stfel, podemos observar que a cada dos termos cosecutvos de uma lha, obtemos a lha segute Por exemplo, C3, + C3, = C4,, ou 3+ 3= 6 Para costrur o Trâgulo de Pascal devemos observar os segutes passos: A prmera colua é formada exclusvamete pelo úmero, pos C,0 = A seguda colua é formada pela seqüêca,,3, cado o prmero elemeto da colua a partr da seguda lha da tabela O últmo elemeto de cada lha é sempre, pos C, = Os peúltmos elemetos das lhas formam a seqüêca,, 3, Os outros elemetos da tabela são obtdos aplcado a relação de Stfel

46 45 3 Propredades do Trâgulo de Pascal A segur damos algumas propredades do trâgulo de Pascal Propredade Dos coefcetes eqüdstates dos extremos são guas, ou seja, em uma mesma lha do trâgulo de Pascal, elemetos eqüdstates dos extremos são guas Demostração Cosdere uma lha geérca de umerador de trâgulo de Pascal dada por C,0 C,, C C, p C, p C, C, Podemos observar que C, p e C, p são eqüdstates dos extremos, pos p elemetos procedem C, p e p elemetos sucedem C, p Além dsso, C, p e C, p são complemetares, pos p+ p= Sabemos que elemetos complemetares são guas Portato, C, p = C, p Propredade (Teorema das lhas) A soma dos coefcetes bomas stuados uma mesma lha (de umerador ) de um trâgulo de Pascal é sempre Isto é, Aálse: C, C,0 + C, + + C, = 0 Lha Soma ( L ) = 0 : ou = 0 0 ( L) = : +== ( L ) = : ++=4= ( L ) = 3 : =8= 3 3 ( L ) = 4 : =6= 4 4 e sucessvamete Tabela 3

47 46 Por exemplo, ) 5 C5, 5 = ; 0 ) 3 C3, 3 = 0 ) C C C C C 4 4,0 + 4, + 4, + 4,3 + 4,4 = Demostração Vamos demostrar a propredade usado o prcípo da dução ou dução matemátca Passo: = 0 Lembre-se que vmos este método de demostração o tem 3 Prcípo de Idução desta dscpla 0 C 0,0 = = (vale) Passo: Vamos supor que a afrmação é válda para =, ou seja, C + C + + C =, 0,, 3 Passo: Vamos provar que = +, ou seja, precsamos provar que C C C,0,, = Aplcado a relação de Stfel podemos escrever C + = C + C,, 0, C + = C + C,,, C = C + C +,,, Também sabemos que e Logo, podemos escrever C +,0 = C,0 C =, C + +, C+,0 + C+, + + C+, + = C+,0 + C+, + + C+, + C+, + = C + C + C + C + + C + C,0,0,,,,

48 47 = C + C + + C, 0,, = (utlzado passo hpótese) = + Logo, o resultado vale 0 Exemplo 8 Qual é o valor da soma S = C?, Solução Temos S = C = =,!!( )!! ( )!( )! = ( )! ( )!( ( ))! = C, = C + C + + C =,0,, Propredade 3 (Teorema das coluas) A soma dos elemetos de uma colua do trâgulo de Pascal (começado o prmero elemeto da colua) é gual ao elemeto que está avaçado uma lha e uma colua sobre a últma parcela de soma, sto é, a soma dos prmeros termos da colua p é gual ao termo + da colua p +, ou seja, C + C + + C = C,, +, + p, + p+, + ou p C+, = C, + p+, + 0 0

49 48 Aálse: C0 C C C3 C Etão, a soma dos prmeros três termos da colua C é dada por + + 3= 6, que é o valor do tercero termo da colua C Por exemplo, ) C + C + C = C 4,4 5,4 6,4 7,5 ) C + C + C + C = C 7,7 7,8 7,9 7,0 8, Demostração Vamos demostrar a propredade usado a dução matemátca sobre p Seja um úmero tero fxo Passo: p = 0 C, = C +, + = (vale) Passo: Vamos supor que a afrmação é válda para p =, ou seja, C + C + + C = C, +, +, + +, + 3 Passo: Vamos provar que p = +, ou seja, precsamos provar que C + C + + C = C, +, + +, + +, + Vamos cosderar o lado esquerdo da expressão acma Podemos escrever C + C + + C, +, + +, = C+ +, + + C+ +, (por hpótese, o passo) ( + + )! ( + + )! = + ( + )!!!( + )! ( + + )! =!! + + +

50 49 ( + + )!( + + ) =!!( + )( + ) ( + + )! = ( + )! ( + )! =, C + +, + o que é o lado dreto da expressão Logo, o resultado vale p 0 Vamos aplcar a propredade acma para resolver algus exemplos Exemplo 9 Qual é o valor da soma 30 S = ( + ) ( + )? Solução Utlzado a observação podemos escrever 30 S = ( + ) ( + ) 30 = 3! C +,3 = 6 C + C + + C 3,3 4,3 3,3 = 6 C 33,4 (pela propredade 3) 33! = 6 4!(33 4)! = = 4550 Exemplo 0 Calcule a soma S = Solução Pelo prcípo de dução, sabemos que S ( + )( + ) 6 = = Mas demostraremos o mesmo resultado aplcado a propredade 3

51 50 Pela observação vmos que temos valores de C, do tpo, ( + ), ( + ) ( + ), etc Etão queremos escrever vamos cosderar em termos de, ( + ), A( ) B C = etc Para tal, Após comparação dos coefcetes dos dos lados e smplfcado, obtemos A =, B = e C = 0 Etão podemos escrever = ( + ) Logo S = = + = ( + ) [ ( ) ] = C +,, C (aplcado a observação ) = (pela propredade 3) C +,3 C +, ( + )( + ) ( + ) = 3 + = ( + ) 3 ( + ) ( + ) = 6 Exempo Calcule o valor da soma Solução Temos ( 3 ) S = ( 3 ) 5 83 ( 3 ) S = = Vamos escrever 3 ( 3 ) = 3 em termos de, ( + ), ( + ) ( + ) etc Temos 3 3 ( )( ) ( ) = A B + + C + D

52 5 3 = A + (3 A+ B) + ( A+ B+ C) + Comparado os coefcetes e smplfcado, obtemos Isto mplca em A = 3, B = 0, C = 4 e D = 0 Logo ( )( ) 0 ( ) 4 = S = ( 3 ) = 3 ( + )( + ) 0 ( + ) + 4 = 3 3! C 0! C + 4 C (pela observação ) +,3 +,, = 8 C+ 3,4 0 C+,3 + 4 C+, (pela propredade 3) ( + 3)( + )( + ) ( + )( + ) ( + ) = ( + )( + 3) 0( + ) = ( + ) ( + )(9 + 5 ) = Portato, ( + )(9 + 5 ) S = (3 ) = Propredade 4 (Teorema das Dagoas) A soma dos elemetos de uma dagoal (sto é, de uma paralela à hpoteusa) do Trâgulo de Pascal (começado o prmero elemeto da dagoal) é gual ao elemeto que está medatamete abaxo da ultma parcela Em outras palavras, podemos dzer que a soma dos p termos da dagoal de ordem é gual ao termo p da colua de ordem +, sto é, p C+, C,0 + C+, + + C+ p, p C + p +, p 0 =

53 5 Aálse: C0 C C C3 C4 C5 C Por exemplo, ) C + C + C = C ; 4,0 5, 6, 7, ) C + C + C + C = C 0,0,, 3,3 4,3 Demostração Utlzado as propredades de combação complemetares, sto é, C, p = C, p, p, podemos escrever p 0 C = C + C + C + + C +,,0 +, +, + p, p = C + C + C + + C, +, +, + p, = (aplcado propredade 3) C + p +, + = C + p +, p Propredade 5 Valem as segutes desgualdades: a) C, p < C, p+ se p< ; b) C, p > C, p+ se p > Iterpretação: Os resultados (a) e (b) afrmam que a prmera metade de cada lha os elemetos estão em ordem crescete (cada termo é meor que o segute, C, p < C, p + ) e que a seguda metade os elemetos estão em ordem decrescete (cada termo é maor que o ateror, C, p > C, p + )

54 53 Demostração Smplfcado, obtemos C!! C = + ( p+ )!( p )! p!( p)!, p, p!( p)!( p+ )!( p ) = = ( p+ )!( p)! ( p+ )!( p)! Como!, ( p + )! e ( p)! são postvos, etão o sal de C C é o mesmo de p, p+, p Logo C > 0, p > 0 C, < 0, p < 0, p+, p ou seja, C C, p+, p > 0, p < < 0, p > Resumdo, até o mometo estudamos os segutes assutos: Relação de Stfel C, p + C, p+ = C+, p+ Teorema das Dagoas C,0 + C+, + + C+ p, p = C+ p+, p Teorema das Lhas C + C + + C =, 0,, Teorema das Coluas C, + C+, + + C+ p, = C+ p+, + Bomas Complemetares C, p = C, p, 0, p 0

55 54 Lsta de Exercícos 3 ) Prove, fazedo as cotas, que C+, p+ = C, p + C, p+ + C, p+ ) Calcule ( + ) C, 0 3) Calcule o valor da soma 75 a) S = ( + ) 5 b) S = ( + ) 4 Bômo de Newto Vamos aalsar o desevolvmeto da expressão para cada valor de : para = 0 : para = : para = : para = 3 : para = 4 : 0 ( a b) + = ; ( a+ b), ( ) a+ b = a+ b= a+ b; ( a b) a ab b + = + + ; ( a b) a 3a b 3ab b = ; ( a b) a 4a b 6a b 4ab b = ; para = 5 : ( a+ b) = a + 5a b+ 0 a b + 0 a b + 5ab + b e assm por date Uma smples aálse as detdades acma verfca que: à medda que o expoete aumeta, o úmero de termos de desevolvmeto também aumeta; o úmero de termos do desevolvmeto da expressão ( a+ b) 3 5 é + Assm, ( a+ b) tem quatro termos, ( a+ b) tem ses termos, etc;

56 55 Você se lembra de que falamos em coefcetes bomas desde o íco? É devdo ao seu uso a expasão da potêca de uma soma que ele recebe este ome as seqüêcas dos coefcetes da expressão ( a+ b) formam o Trâgulo de Pascal Assm, através da relação de Stfel é possível determar qualquer termo da expressão de ( a+ b) Novamete escrevedo o desevolvmeto da expressão ( a+ b em termos de úmeros bomas, temos: ) ( ) 0 a+ b = C0,0 ( ) a+ b = C,0 a+ C, b ( a+ b) = C a + C ab+ C b,0,, ( a+ b) = C a + C a b+ C ab + C b ,0 3, 3, 3,3 ( a+ b) = C a + C a b+ C a b + C ab + C b ,0 4, 4, 4,3 4,4 ( a+ b) = C,0,, a + C a b+ C a b + + C, ab + C, b Podemos, etão, verfcar que: o coefcete de cada termo é da forma C,, ode vara de 0 a ; em qualquer termo o elemeto a é elevado a um expoete ; em qualquer termo o elemeto b é elevado a um expoete De modo geral,, 0 ( a+ b) = C a b (3)

57 56 A expressão (3) é chamada de Bômo de Newto A segur demostraremos a valdade da expressão do Bômo de Newto, dada por (3), pelo prcípo de dução Passo: Para =, ( a b) ( a b) + = +, e C,0 a+ C, b= a+ b= a+ b Logo ( a+ b) = C a+ C b,0, Passo: Vamos supor que a afrmação (3) é válda para = k, ou seja, k k k k, 0 ( a b) C a b k + =, 3 Passo: Vamos provar a afrmação (3) para = k+, ou seja, precsamos verfcar que Podemos escrever k+ ( a+ b) = ( a+ b)( a+ b) k + k+ k+ k+, 0 ( a+ b) = C a b k k k = ( a+ b) Ck, a b ( o passo hpótese de dução) 0 = ( a+ b) C a + C a b+ C a b k k k k,0 k, k, C ab C b k k + + k, k + k, k = C a + ( C + C ) a b+ ( C + C ) a b k + k k k,0 k, k,0 k, k, k k + + ( Ck, k + Ck, k ) ab Ck, k b + + (4) Aplcado a relação de Stfel e utlzado as detdades Ck,0 = C k +,0 e Ck, k = C k +, k +,

58 57 obtemos, da expressão (4), ( a+ b) k = C a k + C a k b + + k+,0 k+, + + C ab + C b + k k+, k k+, k+ k k+ k+ = Ck+, a b, 0 o que prova o resultado para = k+ Logo, pelo prcípo de dução, podemos coclur a valdade da afrmação (3) para qualquer Observação Às vezes, a expressão ( a+ b) é chamada de Bômo, e seu desevolvmeto (3) é cohecdo como Bômo de Newto 4 Termo Geral do Bômo Vamos escrever ode, + 0 0, ( a+ b) = C a b = T T = C, a b, 0 + (5) A expressão (5) é chamada de termo geral do bômo, e o coefcete + - ésmo termo Por exemplo, C é o coefcete bomal do ( ), ) O coefcete de 8 termo da expressão ( a ) C ; 0 + b é 0,7 ) O coefcete de 4 termo da expressão ( a ) C 3 + b é 3,3 Note que essa forma de represetar uma subtração por uma soma com um termo egatvo faclta os cálculos e permte o uso padrão do termo geral do bômo Aqu está sedo utlzada a dstrbutvdade da potêca em relação à multplcação Por que você acha que esta mudaça fo feta? Exemplo Escreva a represetação por somatóro do segute bômo: ( a b) Solução Podemos escrever Como b ( a b) = [ a+ ( b) ] = C, a ( b) 0 ( ) = ( ) b, etão, ( ) 0 ( a b) = C a b ( ) C, a b 0 =

59 58 Exemplo 3 Determe o termo geral do desevolvmeto de ( a b) Solução Sabemos que ode, + 0 0, ( a b) = ( ) C a b = T T = ( + ) C, a b, 0 é o termo geral da expressão ( a b) Exemplo 4 Desevolva o bômo ( x ) 4 + y Solução Aplcado o desevolvmeto do Bômo de Newto, podemos escrever ( ) x+ y = C x + C x y+ C x y + C xy + C y 4,0 4, 4, 4,3 4, = x + 4x y+ 6x y + 4xy + y Exemplo 5 Desevolva o bômo ( x ) 5 y Solução Temos 5 5 5, 5 0 ( x y) = ( ) C x y = ( ) C x + ( ) C x y+ ( ) C x y ,0 5, 5, ( ) C5,3 x y ( ) C5,4 xy ( ) C5,5 y = x 5 x y+ 0 x y 0 x y + 5 x y y Exemplo 6 Calcule o 7 termo do desevolvmeto de ( ) 8 + y Solução Podemos escrever ode 8 8 ( y) T =, 8 T = 8, + C y

60 59 Agora, para = 6, temos T C y 8 7 = 4 y 6 = y = ,6 Exemplo 7 Calcule o 6 termo do desevolvmeto de Solução Temos T 6 = T C ( ) x 3 5+ = 7, = 3 ( ) x 5 = 83( )x = 638 x 7 ( x 3) termo depedete É comum em matemátca fazer referêca em uma equação ao termo em que a cógta ão aparece A este termo chamamos de termo depedete da cógta ou smplesmete termo depedete Exemplo 8 Verfque se exste termo depedete de a o desevolvmeto de Solução Sabemos que 7 a + a 7 + = 7, T C a = a 7 C7, a a = C 7 7, a Para que T + seja depedete de a, é ecessáro que 7 = 0, 7 ou seja, = 7 Como, logo = Portato, ão exste o termo depedete de a Exemplo 9 Calcule o termo depedete de x o desevolvmeto de x x

61 60 Solução Sabemos que 8 T+ = C8, x x = C x x 8, = C8, x + 3 ( ) Para o termo depedete de x, devemos ter o expoete gual a zero, ou seja, 8+ 4 = 0 =, sto é, T = C x + 3 8, 8 8 = C 8, 8 7 = = 8 Exemplo 0 Desevolva ( x 3 ) 4 y Solução Temos a = x, b= 3y e = 4 Logo ( x 3y) = C x ( 3y) 0 4, ( 3 ) ( 3 ) = C x + C x y + C x y 4 3 4,0 4, 4, ( 3 ) ( 3 ) 4,3 4, C x y + C y = x xy+ 54xy 08 xy+ 8y Portato ( ) x 3y x xy 54xy 08 xy 8y = + + Exemplo Determe o 6º termo do desevolvmeto de 9 x + x

62 6 Solução Temos Agora, Assm, temos T C, a b + = a = x, b=, = 9 e = 5 x = 9,5 T C x x = 3 4 x x 4 5/ = 6x 3/ = 6x 4 5/ Exemplo Um dos termos do desevolvmeto de ão depede de x Qual é? x x Solução Sabemos que + =, T C x x ( ) C x x =, 3 ( ) C x =, Para que T + seja depedete de x, devemos ter 3 = 0 ou = 4 Logo ( ) 4 T = C x 5,4 = C =,4! 8! 4! 0 9 = = = 495

63 6 Exemplo 3 Escreva o termo em 6 b da expressão ( ) 9 + b Solução Temos Para obter o termo em T C b ( ) = 9 + 9, 9 = C9, b 6 b, devemos fazer = 6, sto é, = 3 Logo, T C b = , = b = 84 b Exemplo 4 Dê o coefcete do termo em de ( x 3) 0 8 x o desevolvmeto Solução Temos T C x ( ) = 0 0, ( ) C 0, x = 3 Para obter o coefcete do termo em sto é, = 8 x, devemos fazer 0 8 =, Logo ( ) 8 3 T = C x 3 0, 0 9 = 9 x 8 = 405 x Portato, o coefcete do termo em 4 Propredades 8 8 x é 405 A segur apresetaremos duas propredades teressates do bômo de Newto

64 63 Ordem Na fórmula do termo geral do bômo chamamos de ordem ao termo Propredade 6 No desevolvmeto de ( a+ b), a soma dos coefcetes de ordem par é gual a soma dos coefcetes de ordem ímpar Demostração Sabemos que 0 ( ), a+ b = C a b Vamos cosderar a = e b = Obtemos 0, ( ) 0= C ( ) = C C + C C + + C,0,,,3, C, + C,3 + = C,0 + C, +, Por que você acha que o que fo feto demostra a gualdade etre a soma dos termos de ordem par e a soma dos de ordem mpar? o que demostra a propredade Propredade 7 No desevolvmeto de ( a+ b), a soma dos coefcetes é gual a, ou seja, C, = 0 Demostração Sabemos que 0 ( ), Vamos cosderar a = b= Logo a+ b = C a b ou = C, C + C + + C =, 0,, Observe que este resultado já fo demostrado aterormete de uma outra maera, quado foram estudadas as propredades do trâgulo de Pascal Esta propredade é equvalete ao Teorema das lhas, dscutdo o tem Exemplo 5 Determe as somas dos coefcetes do desevolvmeto de ( x + x) 0

65 64 Solução Podemos escrever ( ) 0, ( ) = x x C x x 0 Para obter soma dos coefcetes, devemos cosderar x =, sto é, 0 0 C0, 0 = Observação 3 Cosdere um polômo etão ( ) P x a a x a x a x = , ( ) 0 P = a + a + a + + a A soma dos coefcetes de um polômo em x é o valor umérco do polômo para x = Exemplo 6 Determe o termo máxmo o desevolvmeto de + Solução O termo geral é dado por T + = C, C =, Sabemos que cada termo é maor que o ateror (até certo valor de ), ou seja, T T > + C, > C, Você se lembra em que local demostramos este fato? Se ão, retome o texto e procure o teorema, propredade ou proposção que garate esta afrmação!! >!!! ( ) ( ) ( ) ( )!! ( ) ( ) >!! > > 3 < 3

66 65 Assm, temos Aalogamete, Logo { } T > T + 0,,,,7 { } T < T + 8,, T < T < T < < T < T > T > > T Portato, o termo máxmo é T 8, sto é, T8 = C,7 Alteratvamete, se fzermos o cálculo de cada um desses úmeros veremos que T7 < T8 e, por outro lado, T9 < T8 Logo, o termo máxmo é T 8 Exemplo 7 Calcule a) C, x ; 0 b) C, x ; 0 c) C 0, 7 Solução a) Sabemos que 0 ( ), a+ b = C a b Cosderado a = e b= x, obtemos b) Podemos escrever + x = C x 0 ( ), C, x = C, x 0 pos, para = 0, o valor da expressão é zero

67 66 Portato,! C x x!!, = = ( ) ( ) ( ) ( )! xx!! ( ) ( ) = x ( )! ( ) ( ) ( ) ( ) = x + x x!( )! c) Fazedo x = em (b) obtemos C, = 0 Observação 4 O desevolvmeto do bômo de Newto 0 ( ), a b C a b + = é váldo ada que ão seja um tero postvo Mas este estudo ão faz parte deste trabalho Lsta de Exercíco 4 ) Determe o termo depedete de x o desevolvmeto de 6 a) x + x ; b) x 3x 8 ) Calcule a soma dos coefcetes dos termos do desevolvmeto de ( x+ y) 0 a) ; b) ( x ) 8 3) Calcule o termo cetral o desevolvmeto de x + x

68 Capítulo 3 Aálse Combatóra: Permutações e Combações

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70 Capítulo 3 Aálse Combatóra: Permutações e Combações 69 A aálse combatóra vsa desevolver métodos que permtam cotar o úmero de elemetos de um cojuto Por exemplo: mage que você é admstrador do órgão de trâsto e precsa emplacar os veículos, que códgo você crara? Quatas placas dferetes posso fazer com, por exemplo, letras e 4 algarsmos, como era atgamete? Por que quado fo alterado o códgo de emplacamaeto, a decsão fo por aumetar uma letra e ão um algarsmo? A aálse combatóra se ocupa de problemas do da-ada como este Na aálse combatóra cosderamos cojutos cujos elemetos são agrupados sob certas codções Tas codções serão estabelecdas e estudadas o decorrer do curso Por exemplo, A é o cojuto de úmeros de dos algarsmos dsttos formados a partr dos dígtos e, ou seja, A = {,,, }, # A = 4, ode o símbolo # represeta o úmero de elemetos Neste caso, temos 4 elemetos o cojuto A e escrevemos que # 4 A = (cardal de A é quatro) B é o cojuto das seqüêcas de letras que se obtêm mudado-se a ordem das letras da palavra sol, ou seja, { sol, slo, osl, ols, lso, los} B =, # B = 6 Neste caso, o cojuto B tem 6 elemetos C é o cojuto de úmeros de três algarsmos, todos dsttos, formados a partr dos dígtos 0,,, 3 e 4 Etão temos

71 70 C = { 0, 0, 03, 03, 04, 04, } Observe que esse caso há um úmero grade de possbldades Desse modo, é trabalhoso obter todos os elemetos agrupados deste cojuto A segur apresetaremos algumas téccas de agrupameto de determados elemetos Estas téccas são cohecdas como Prcípo Fudametal de Cotagem ou regras geras de Aálse Combatóra 3 Prcípo Fudametal de Cotagem Ates de apresetarmos este prcípo, daremos dos resultados, cohecdos como regra da soma e regra do produto Regra da Soma A regra da soma os dz que se um elemeto pode ser escolhdo de m formas e um outro elemeto pode ser escolhdo de formas, etão a escolha de um ou outro elemeto se realzará de m+ formas, desde que tas escolhas sejam depedetes, sto é, ehuma das escolhas de um elemeto pode cocdr com uma escolha do outro Matematcamete, se A e B são dos cojutos dsjutos com m e elemetos respectvamete, etão A B possu m+ elemetos Regra do Produto A regra do produto dz que se um elemeto a pode ser escolhdo de m formas dferetes, e se depos de cada umas dessas escolhas um outro elemeto b pode ser escolhdo de formas dferetes, a escolha do par ( a, b ), esta ordem, poderá ser realzada de m formas Mas precsamete, se cosderarmos os cojutos A= { a, a,, am} e B= { b, b,, b}, poderemos formar m pares ordeados ( a, b) ode a A e bj B, =,,, m; j =,,, A verfcação deste resultado é bem smples, veja o dagrama a segur:

72 7 b ¹ a ¹ b ² b (a,b ) (a,b ) (a,b ) b ¹ (a,b ) a b ² (a,b ) m pares b (a,b ) b ¹ (a,b ) m a m b ² (a,b ) m b (a,b ) m Fgura 3 Exemplo 3 Temos três cdades X, Y e Z Exstem duas rodovas que lgam X com Y, e quatro que lgam Y com Z Partdo de X e passado por Y, de quatas formas podemos chegar até Z? X b a ¹ ¹ b ² Y b ³ Z a ² b4 Fgura 3 Solução Seja A o cojuto das rodovas que lgam X com Y, etão A= { a, a} Seja B o cojuto das rodovas que lgam Y B= b, b, b, b com Z, etão { } 3 4 Coforme a regra acma, temos 4 = 8 formas de chegar de X até Z Exemplo 3 Uma moça possu 5 blusas e 6 saas dsttas De quatas formas ela pode vestr uma blusa e uma saa? Solução 5 6 = 30 Exemplo 33 Numa festa exstem 40 homes e 50 mulheres Quatos casas dferetes podem ser formados? Solução = 000

73 7 Exemplo 34 Para fazer uma vagem de da e volta de Floraópols a Jovlle, podemos r ou voltar de carro, ôbus ou avão De quatos modos podemos escolher os trasportes? Carro Carro Floraópols Ôbus Jovlle Ôbus Floraópols Avão Avão Fgura 33 Temos três possbldades de da e três de volta Coforme a regra acma, podemos fazer essa vagem de 33 = 9 formas Observação 3 No exemplo 34, se ão desejamos usar a volta o mesmo meo de trasporte usado a da, o úmero de possbldades de volta se reduz de 3 para, etão temos 3 = 6 formas de realzação dessa vagem Veja a segur a regra mas geral desses tpos de stuações Lema 3 O úmero de pares ordeados ( a, a j) tas que a, aj A= { a, a,, am} e a aj ( j), = j =,,, m é m( m ) A demostração do lema acma é óbva Isso pode ser aalsado através da fgura abaxo: ( a a ) ( a a ) ( a a ) ( m ),,,,,, pares 3 ( a a ) ( a a ) ( a a ) ( m ) 3 m,,,,,, pares ( a a ) ( a a ) ( a a ) ( m ) m m m m m,,,,,, pares O úmero de pares é ( m ) + ( m ) + + ( m ) = m( m ) m vezes Exemplo 35 Quatos úmeros com dos algarsmos dsttos podemos formar com os dígtos a 9?

74 73 Solução Seja A = {,,,9} Cosdere dos úmeros a e b tas que a, b A, a b, etão cada úmero pode ser cosderado um par de dígtos ( a, b ), a b, ode temos 98 = 7 formas dferetes de dos algarsmos dsttos Exemplo 36 Um edfíco tem 5 portas De quatas formas uma pessoa poderá etrar o edfíco e sar por uma porta dferete da que usou para etrar? r-uplas Esta otação é comum em matemátca para geeralzar a forma do português que fala de dupla, trpla, quádrupla, quítupla, para seqüêcas ordeadas com, 3, 4 e 5 elemetos Para uma seqüêca ordeada com qualquer úmero r de elemetos, dzemos uma r-upla Esta demostração fca como exercíco para você: sga os passos do prcípo de dução e coverse com seu tutor sobre a demostração que você fez Solução 5 4 = 0 A segur daremos um resultado mas geral Proposção 3 Cosderemos r cojutos de elemetos cada: A = { a, a,, a }, =,,, r Etão, o úmero de r uplas ordeadas (seqüêca de r elemetos) do tpo ( x, x,, x r ) é r, r, ode x A, =,,, r A demostração da proposção 3 pode ser feta aplcado o prcípo de dução A segur veremos outros exemplos: Exemplo 37 Uma moeda é laçada 5 vezes Qual é o úmero de seqüêcas possíves de caras e/ou coroas? Solução Sabemos que cada laçameto tem duas possbldades: cara ou coroa Como temos 5 laçametos, etão o resultado procurado é 5 = = 3 seqüêcas possíves de cara e/ou coroa Exemplo 38 De quatas formas podemos respoder um questoáro com 0 pergutas cuja resposta para cada perguta pode ser sm, ão ou ão se? Solução Vamos represetar as pergutas do questoáro por um cojuto A= { a, a,, a0}, ode cada (,,,0) seja a = tem três possbldades de respostas, ou