Centro de Ciências Agrárias e Ambientais da UFBA Departamento de Engenharia Agrícola

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1 Cetro de Cêcas Agráras e Ambetas da UFBA Departameto de Egehara Agrícola Dscpla: AGR116 Boestatístca Proessor: Celso Luz Borges de Olvera Assuto: Estatístca Descrtva Tema: Meddas de Posção e Meddas de Dspersão RESUMO E NOTAS DA AULA Nº 0 A Estatístca desempeha três grades uções: Descrtva, Idutva ou Ierecal e a de Plaejameto. a) Descrtva descreve um cojuto de dados varáves, reduzdo-os a um pequeo úmero de meddas que cotém toda a ormação relevate. Utlza úmero para descrever atos. Somete descreve e avala certo grupo (amostra), sem trar quasquer coclusões ou erêcas sobre um grupo maor (população). b) Idutva ou Ierecal dz respeto à aálse e terpretação de dados amostras. Cosste me obter e geeralzar coclusões sobre a população a partr de uma amostra. Utlza-se da estmação de parâmetros e vercação de hpóteses, esta por meo, da aplcação dos testes de sgcâca. c) Plaejameto aula o deleameto de epermetos e levatameto para, detro de uma precsão estpulada, obter-se a ormação desejada lvre da luêca de atores perturbadores. A Estatístca orece os precetos da casualzação, repetção, cotrole local, os deleametos epermetas e os métodos de amostragem, ou seja, ormas lógcas que garatam a valdez das comparações etre tratametos e aumetem a precsão dessas comparações. ESTATÍSTICA DESCRITIVA Os dados são descrtos por meo de meddas que os represetem de orma sumára, utlzado-se as meddas de posção ou de tedêca cetral e as meddas de dspersão ou de varação. 1. Meddas de Posção Méda Medaa Moda 1

2 1.1 Méda Méda Artmétca ( µ, ) A méda artmétca represeta o valor cetral em toro do qual os dados se dstrbuem. Forece-os uma sítese da gradeza, ou seja, da magtude dos dados de uma população. Seja o cojuto de N varates de uma varável X. Dee-se a méda artmétca para a população por: X ( N ) X / N Selecoado-se varates desta mesma população podera ser obtda a estmatva da méda da população, para tato, calcula-se: ( ) / / Eemplo 1: Calcular a méda artmétca para o cojuto de valores que a varável X (peso de cco aluos, em kg/aluo) pode assumr: X {50, 70, 45, 60,75} / 300/5 60kg/aluo Propredades da Méda Artmétca a) A soma dos desvos de um cojuto de dados em relação à sua méda é ula. ) + ( ) ( ) 0 ( ) 0 0 ( 1 Lembrado que, /, Logo; b) A méda é o valor que tora míma a soma do quadrado dos desvos (SQD) ( ) + ( ) ( míma 1 ) Façamos, ( m) + ( m) ( m) ( m 1 ) Z ( m) d z / d m 0 logo, ( m) 0 m 0 m (esta é a órmula da méda)

3 1.1. Méda Poderada ( p ) Se as varates de um cojuto de dados estverem assocadas às reqüêcas ou pesos, obtém-se a méda poderada da segute orma: p y y y p Eemplo : Produção de lete (kg/c) º de vacas (15)(10) + (10)(6) + (8)(4) p 1,1kg / c Medaa (Md) Colocados os valores de um cojuto de dados em ordem crescete, medaa é o elemeto que ocupa a posção cetral, ou seja, estem úmeros guas de elemetos ates e depos da medaa, ou seja, é o valor abao e acma do qual se tem a metade dos dados, ou ada, é o valor cetral desse cojuto de dados. Medaa para dados ão-agrupados em classes: 1º caso : O úmero de elemetos é ímpar. Seja uma varável aleatóra X assumdo os segutes valores: X{14,8,10,5,7}, Calcule a Medaa. A Medaa é o elemeto que ocupa a posção Md X, em que, Md , ou seja, º caso: O úmero de elemetos é par. X{14,8,10,5,7,15}, A Medaa é a meda artmétca dos valores cetras da ordem e + 1 Md + + 1, em que, Md 9 3

4 1.3 Moda (Mo) Em algumas stuações, a dstrbução das observações é tal que as reqüêcas são maores os etremos. Nesses casos, a utlzação da meda e da medaa é cotra dcada, pos são valores pouco represetatvos do cojuto e o uso da moda poderá etão ser cosderado. A moda é o valor de maor ocorrêca detro de um cojuto de observações. Um sere de dados, com relação à moda, pode ser classcada em: Amodal - ão possu moda; Umodal - possu apeas uma moda; Bmodal - possu duas modas; Multmodal - possu mas de duas modas. Moda para dados ão-agrupados em classes: Eemplo: 1) Idetcar a moda para os dados da Tabela 1 e Tabela, abao: Tabela 1 Tabela Bmodal Mo Mo 1 5 Mo 10 Relação etre méda, medaa e moda a) Dstrbução smétrca: Mo Md b) Dstrbução assmétrca: a méda e a medaa se deslocam.. Assmetra postva: > Md > Mo. Assmetra egatva: < Md < Mo 4

5 . Meddas de Dspersão Estas meddas avalam o grau de varação ou heterogeedade dos dados. Caracterzar um cojuto de dados por meddas de posção é adequado, pos cojutos com meddas de posção semelhates podem apresetar característcas muto deretes, p.e.; com relação à varabldade do cojuto de valores. As meddas de dspersão são estatístcas (estmadores) descrtvas, que quatcam de algum modo a varabldade dos dados, geralmete utlzado como reerêca uma medda de posção. Eemplo 3: Amostra A: {4, 8, 3, 9, 7, 5} Amostra B: {1, 5,, 14, 3, 11} Notamos que A 6 e B 6, porém, a dspersão dos valores a amostra B é maor, portato precsamos de alguma ormação a mas que permta derecá-las. AmpltudeTotal Varâca Desvo Padrão ou ErroPadrão Meddas de Dspersão Coecete devaração Varâca da Méda Desvoou Erro Padrão da Méda Coecete devaração da Méda.1. Ampltude Total (A t ) É a dereça etre o maor e meor valor de uma sére de dados. É uma medda de dspersão ão muto ormatva, pos levam em cota apeas os dados etremos de uma amostra. Tem mportâca para os estudos dos valores mámos e mímos. Para os dados do Eemplo1: X {50, 70, 45, 60,75} temos; A t kg/aluo.. Varâca (s ) Esta medda leva em cota todas as observações da amostra e mede a dspersão desses valores em toro da méda. É dada pela soma dos quadrados dos desvos (SQD) em relação a meda artmétca, dvdda pelo úmero de graus de lberdade (G.L)*. Por deção é a méda dos quadrados dos desvos. Para a população: SQD ( µ ) Para a amostra: σ s N SQD GL N ( ) 1 N ( ) N ( ) 1 5

6 Cosderado os dados do Eemplo 1: X {50, 70, 45, 60,75} e 5 temos; ( ) (300) s ,5( kg / aluo) (G.L)*: De uma maera geral, o úmero de graus de lberdade assocados a uma estatístca é o úmero de elemetos da amostra,, meos o úmero de parâmetros já estmado. Estem -1 desvos depedetes, e, é possível demostrar que, utlzado-se o deomador -1, obtém-se um estmador de melhor qualdade da varâca populacoal amostra s. Cosderações sobre a Varâca σ pela varâca da 1. O sal dos desvos é rrelevate, uma vez que a órmula os desvos são elevados ao quadrado.. A magtude da dereça é que va determar maor ou meor peso para a varâca. 3. A varâca de um úco dado é determada. Isso revela obvamete, de que ada podemos dzer da varação de dados sem repetção. 4. Somado-se ou subtrado-se uma mesma costate (k) a todas as observações de um cojuto de dados a varâca ão se altera. 5. Multplcado-se ou dvddo-se cada observação de um cojuto de dados por uma mesma costate (k 0), a varâca ca multplcada ou dvdda pelo quadrado dessa costate. Como medda de dspersão a varâca tem a desvatagem de apresetar udade de medda gual ao quadrado da udade dos dados observados, p.e.; se os dados são meddos em metros (m), a varâca é dada em metros ao quadrado (m). Para voltarmos à udade de medda orgal, precsamos de uma outra medda de dspersão, o Desvo Padrão..3. Desvo Padrão ou Erro Padrão (s) É a raz quadrada postva do valor da varâca, avala a varação dos dados e os permte dscutr os resultados a mesma udade de mesuração dos dados. O desvo padrão da população e da amostra é represetado, respectvamete por σ e s. σ σ e s s, Cosderado os dados do cálculo da varâca o eemplo ateror, tem-se; s s s 16,5( kg / aluo) 1,75 kg/aluo 6

7 .4. Coecete de Varação (CV) Frequetemete se tem o teresse em comparar varabldades de deretes cojutos de valores. A comparação se tora dícl em stuações ode as medas são mutos desguas ou as udades de meddas são deretes. O Desvo Padrão é uma medda absoluta da dspersão e o Coecete de Varação é uma medda de dspersão que epressa percetualmete o Desvo Padrão por udade de méda, ou seja, o CV represeta o Desvo Padrão que sera obtdo se a méda osse gual a 100. s CV.100 Utlzado-se o valor obtdo para a méda ( 60kg/aluo) e o desvo padrão (s 1,75kg/aluo), temos que; 1,75 CV.100 1% 60 Segudo város autores, os coecetes de varação os epermetos podem ser cosderados: Bao: quado o CV or meor do que 10%; Médo: etre 10%-0%; Alto: quado or superor a 0% e meor ou gual a 30%; Muto alto: superor a 30%. APLICAÇÃO: Utlzado para avalação da precsão de epermetos; Para aalsar qual amostra é mas homogêea (meor varabldade). Na stuação em que as amostras possuem a mesma meda, a coclusão pode ser eta a partr da comparação de suas varâcas. Para amostras com médas deretes, aquela que apresetar meor CV, é a mas homogêea..5. Varâca da Méda (s ( )) Se tvéssemos varas amostras proveetes de uma mesma população, obteríamos também dversas estmatvas da meda, e provavelmete, dsttas etre s. A partr dessas dversas estmatvas da méda, poderíamos estmar uma varâca; cosderado os desvos de cada méda, em relação a méda de todas elas, etão teríamos uma varâca da méda. Etretato, demostra-se que a partr de uma úca amostra podemos estmar essa varâca pela órmula: s V ˆ ( ) s ( ), o caso em que a população or ta ou se a amostragem or eta com reposção, ou ada em termos prátcos, quado a ração de amostragem < 0, 05. N 7

8 Quado a população or ta ou a amostragem or sem reposção, ou ada, quado 0, 05, etão a varâca da méda será: N s N V ˆ( ) s ( )., em que; s é a estmatva da varâca de N 1 dados, e N é o tamaho da população. Ao termo acrescdo à órmula da varâca, chamamos de Fator de N Correção. N 1.5. Desvo ou Erro Padrão da Méda (s( )) Dá-os uma déa da precsão com a méda o obtda, ou seja, o quato o valor da estmatva da méda ( ) se aproma ou se aasta da méda verdadera (µ). É calculada etrado-se a raz quadrada da varâca da méda. s s s ( ) Vˆ( ), para a méda de uma amostra retrada de uma população ta. s ( ) s. N, para a méda de amostra de população ta. N 1 Verca-se pela órmula, que quato maor or o tamaho da amostra meor será a varâca da méda, e cosequetemete o desvo ou erro padrão da méda, pos este é versamete proporcoal ao tamaho da amostra..5. Coecete de Varação da Méda (CV( )) Quado se tora ecessáro, para s comparatvos, epressar o desvo padrão da méda em termos de percetagem das suas respectvas médas, calcula-se o Coecete de Varação da Méda, pela equação: s( ) CV ( ).100 8

9 GLOSSÁRIO Casualzação Cotrole Local Erro Epermetal - para evtar que os tratametos sejam avorecdos por quasquer atores eteros, procede-se à casualzação, ou seja, as udades epermetas são desgadas de orma totalmete casual. Tem por aldade propcar a todos os tratametos a mesma probabldade de serem desgados a qualquer udade epermetal (a casualzação dá valdade ao teste de hpótese). - tem por aldade dvdr um ambete heterogêeo em subambetes homogêeos e torar o deleameto epermetal mas ecete pela redução do erro epermetal. - é a medda das varações estetes etre os dados ou observações que se apresetam as udades epermetas que recebem tratametos guas, ou seja, é a causa da varação que relete os eetos do acaso. Estatístcas (Estmador)- são meddas descrtvas das característcas das amostras. (, s, s ) Estmatva - são os valores assumdos pelos estmadores ou estatístcas. Ierêca (estmação) - processo pelo qual se obtém ormações sobre a população a partr de amostras. Parâmetro Repetção - são meddas descrtvas das característcas da população - este prcípo se reere ao uso de mas de uma parcela por tratameto. Tem por aldade propcar uma estmatva do erro epermetal, melhorar a precsão do epermeto e azer com que o teste de hpótese seja possível. Testes de Sgcâca - são regras ou ormas que os permtem decdr se acetamos ou rejetamos uma determada hpótese, ou se a amostra observada dere sgcatvamete dos valores esperados. Tratameto - são alteratvas de um ator a ser estudado, devedo seu eetos serem meddos e comparados, além de classcados em quattatvos e qualtatvos. 9

10 BIBLIOGRAFIA CONSULTADA Barbetta, P. A. Estatístca Aplcada às Cêcas Socas. Floraópols. 3ª ed. Edtora DA UFSC p. Costa, J. A. Notas e Resumos de aulas da dscpla AGR116-Boestatístca. DEA/AGRUFBA. Costa, S. F. Itrodução Ilustrada à Estatístca. São Paulo. 3ª ed. Edtora Harbra Ltda p. Costa Neto, P. L. de O. Estatístca. Ltda. São Paulo 17ª ed. Edtora Edgard Blücher p. Regazz, A. J. Curso de Icação Estatístca: Rotero de Aulas. Vçosa. DPI/UFV p. Satos, J. W. dos; Ghey, H. R. (Eds.) Estatístca Epermetal Aplcada. Campa grade: Edtora Gráca Marcoe Ltda, p. Tópcos de Egehara Agrícola e Agroômca. Woacott, R. J. e Woacott, T. H. Fudametos de Estatístca; tradução de Alredo Alves de Faras. Ro de Jaero. LTC Lvros Téccos e Cetícos Edtora S.A., p. 10

11 Cetro de Cêcas Agráras e Ambetas da UFBA Departameto de Egehara Agrícola Dscpla: AGR116 Boestatístca Proessor: Celso Luz Borges de Olvera Assuto: Estatístca Descrtva Tema: Estudo de População e Aplcação da Estatístca Descrtva EXERCÍCIO PRÁTICO DE CAMPO Nº 01 Selecoe uma população para ser estudada utlzado o plao de amostragem aleatóra smples, e: 1. Dea calmete: a) Objetvo da amostragem b) varável c) parcela d) udade de peso ou medda e) tamaho da população. Aalse a varável respodedo as segutes questões: a) Após o cálculo das estmatvas da méda, varâca, desvo padrão e o erro padrão da méda de uma amostra préva ou ploto, dmesoe o tamaho da amostra detva, com 5% de sgcâca, admtdo um grau de precsão de 10% para a méda. b) Obteha o tervalo de coaça para a méda da população ao ível de 10% de sgcâca. c) Estme o tervalo de coaça para o total da população, ao ível de 5% de sgcâca. Caso ão teha o tamaho da população, dealze um valor apromado. d) Caso osse requerda uma precsão de 5% ou 1% a estmatva da méda, quas seram os ovos tamahos das amostras? Dscuta os resultados. e) Pressupodo que a estmatva da varâca para a característca da sua população ossem 10%, 0% e 30% maor do que a ecotrada para a amostra detva, o quato esses dados luecaram o tamaho da amostra. ) Resumam em um quadro os resultados dos estmadores e estmatvas para a sua população e a de outra equpe e respoda:.1) Qual a população que apresetou a maor varabldade? Por quê?.) Caso os tamahos das amostras detvas etre as populações teham sdo deretes, a que se atrbu o resultado da questão ateror? Dscuta..3) Qual a méda mas precsa? g) Caso a amostra préva osse a detva, qual o grau de precsão estmado para a méda com 95% de coaça? A educação é a camhada do homem da gorâca ecessvamete coate para a certeza reletda Do Clark 11

12 Tabela de t Ampltude Total Estudetzada GL Dstrbução de t (Studet) α 10% 5% % 1% 0,1% 01 6,31 1,71 31,8 63,66 636,6 0,9 4,30 6,97 9,93 31,60 03,35 3,18 4,54 5,54 1,9 04,13,78 3,75 4,60 8,61 05,0,57 3,37 4,03 6, ,94,45 3,14 3,71 5, ,90,37,37 3,50 5, ,86,31,90 3,36 5, ,83,6,8 3,5 4, ,81,3,76 3,17 4, ,80,0,7 3,11 4,44 1 1,78,18,68 3,06 4,3 13 1,77,16,65 3,01 4, 14 1,76,15,6,98 4, ,75,13,60,95 4, ,75,1,58,9 4,0 17 1,74,11,57,90 3, ,73,10,55,88 3,9 19 1,73,09,54,86 3,88 0 1,73,09,53,85 3,85 1 1,7,08,5,83 3,8 1,7,07,51,8 3,79 3 1,71,07,50,81 3,77 4 1,71,06,49,80 3,75 5 1,71,06,49,79 3,73 6 1,71,06,48,78 3,71 7 1,70,05,47,77 3,69 8 1,70,05,47,76 3,67 9 1,70,05,46,76 3, ,70,04,46,75 3, ,68,0,4,70 3, ,67,00,39,66 3, ,66 1,98,36,6 3,37 1,65 1,96,33,58 3,9 α ível de sgcâca (10%, 5%, 1%) 1 α grau de coaça (90%, 95%, 99%) 1