Revisão/Resumo de Inferência Estatística

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1 Dscpla: Boestatístca Professor: Marcelo Rubes Revsão/Resumo de Iferêca Estatístca - Modelos Estatístcos/Probablístcos São modelos que se aplcam quado este claramete a preseça de uma compoete aleatóra ou estocástca o eveto ou feômeo que se deseja modelar. A aleatoredade estará presete em ossos modelos toda vez que ão pudermos determar com eatdão o resultado do eveto que desejamos modelar provocado por cosegute a observação de erros de modelagem. Etre as possíves causas para a preseça desses erros, podemos ctar: mprecsões do strumeto de mesuração ( equpametos, processo de medção, etc...); mprecsão da teora acerca do modelo; preseça de úmeros outros fatores (em geral dspoíves, dfíces de detfcar e mesurar, julgados rrelevates ou de elevado custo/beefíco) que afetam o feômeo em estudo. Apesar de ão observáves pelo modelo, esses erros apresetam, em geral, característcas probablístcas que os permtem estmar e ferr pequeos tervalos ode eles estarão dspersos com elevado ível de cofaça. No processo de aálse e estudo dos erros de modelagem e estmatva de parâmetros do modelo, utlzamos o strumetal da ferêca estatístca: Estatístca: cêca que lda com a orgazação, descrção, aálse e terpretação de dados epermetas sujetos às les do acaso. PROCESSOS DEDUTIVOS PROCESSOS INDUTIVOS OU INFERENCIAIS PROCESSO DEDUTIVO AMOSTRA POPULAÇÃO PROCESSO INDUTIVO ESTATÍSTICA INFERENCIAL OU INDUTIVA Amostragem e Estmação Estatístca descrtva Cálculo de Probabldades Estatístca Iferecal

2 - Amostragem O processo de plaejameto ou de tomada de decsões sob codções de certeza ege o cohecmeto de certas característcas quattatvas ou qualtatvas de uma determada população. Esse cohecmeto pode ser adqurdo através de estudos ou levatametos ode são realzadas medções de característcas quattatvas ou cotages de característcas qualtatvas a partr de todos os elemetos dessa população - levatameto cestáro - ou de uma subcojuto ou amostra dela - levatameto amostral. Nos levatametos sobre característcas qualtatvas, em geral o alvo das aálses são as proporções ou freqüêcas relatvas de cada característca a população total. Quado o estudo refere-se a característcas quattatvas mesuráves em escala de valores umércas (e.: peso, reda,...), usualmete o teresse repousa sobre uma medda de tedêca cetral dos valores como a méda e uma medda de varabldade ou dspersão como a varâca e o desvo padrão. O cohecmeto de formações atualzadas e precsas é fudametal para um bom plaejameto e tomada de decsões, etretato, levado-se em cosderação que em pratcamete todo tpo de plaejameto este a preseça de certeza e cotgêcas futuras deve-se levar em cosderação uma margem de erro permssível. Em prcípo, a déa que se tem de um levatameto cestáro é que ele é mas precso que um levatameto amostral, etretato a eperêca tem costatado que podem ocorrer erros devdos à: ) mperfeção dos questoáros; ) treameto da equpe de coleta; 3) coleta de dados; 4) crítca dos dados. Esses erros, cohecdos como erros ão amostras. tedem a ser mas freqüetes quato maor for a população alvo da pesqusa, especalmete os casos em que um ceso evolve meddas ou cocetos mas compleos tato para o etrevstador quato para o etrevstado. Alteratvamete, uma pesqusa por amostra eecutada em cocordâca com certos prcípos estatístcos permte ão só estmar o valor ou a proporção da característca para a população como um todo, como também obter-se uma estmatva válda através de métodos probablístcos do erro de amostragem erete, permtdo ada, um maor cotrole sobre os erros ão amostras. Quado comparado com o levatameto cestáro, além dessas característcas, esse tpo de levatameto apreseta como vatages meores custo e tempo de processameto e é a úca alteratva vável para cotrole de qualdade que evolve testes destrutvos e os casos ode a população é cosderada fta. De um modo geral, o comportameto do erro amostral é oposto ao do erro ão amostral, ou seja, ele dmu a medda que o tamaho da amostra aumeta. Covém ressaltar, que a redução o erro de amostragem é substacal para aumetos cas o tamaho da amostra, porém, após um certo estágo toram-se margas ou desprezíves. Talvez a grade maora das stuações, a soma dos erros amostras e ão amostras de uma pesqusa por amostra é feror aos erros ão amostras de um ceso.

3 . - Teora da Amostragem A teora da amostragem é um dos compoetes mportates de um estudo de ferêca estatístca, que cosste a formulação de certos julgametos e coclusões sobre um todo (população) após eamar-se apeas uma parte (amostra) dele, tedo-se por base resultados da estatístca descrtva e do cálculo de probabldades. Desta defção cocluímos que uma ferêca estatístca ege a adoção de um método probablístco ou aleatóro de seleção da amostra. Os processos probablístcos de seleção de uma amostra são mportates porque evtam a trodução de tedêcas os resultados da amostragem. Uma amostra é dta probablístca se a sua seleção é feta de maera que cada elemeto da população tem probabldade cohecda de ser selecoado. A segur resummos os prcpas métodos probablístcos de seleção de amostras: ) Amostragem aleatóra smples: refere-se a uma amostra selecoada de uma população de tal maera que cada combação dos elemetos da população tem probabldade gual de ser selecoado podedo ser realzada com reposção e sem reposção; ) Amostragem estratfcada: cosste em dvdr a população em grupos (chamados estratos) por um processo deomado estratfcação e de cada grupo selecoar uma amostra aleatóra smples ou outra espéce de amostra aleatóra. A dvsão da população em grupos tem por faldade jutar um mesmo grupo elemetos da população mas homogêeos etre s quato à característca em estudo do que a população como um todo, e de estrato para estrato um comportameto substacalmete dverso; 3) Amostragem por coglomerados: cosste em dvdr a população em grupos e uma amostra de grupos é selecoada aleatoramete para represetar a população. Os grupos servem como udade de amostragem; 4) Amostragem sstemátca: quado os elemetos da população se apresetam ordeados e a retrada dos elemetos da amostra é feta perodcamete, sedo o prmero elemeto sorteado aleatoramete. Estem também os chamados métodos ão probablístcos de seleção de amostras cuja utlzação ão permte que se coheça a precsão dos resultados obtdos, sedo esta precsão codcoada a suposções ou julgametos que ão podem ser meddos objetvamete. Detre esses métodos ctamos: ) Amostragem acdetal; ) Amostragem tecoal; 3) Amostragem por quotas.. - Dstrbuções Amostras.. - Defções e Notação Supoha-se uma população fta cosstdo de N udades e seja X o valor da varável X para a característca em estudo para a -ésma udade. Também supoha que uma amostra aleatóra smples de tamaho teha sdo etraída desta população, teremos: 3

4 População={X, X,..., X N } Amostra={,,..., } Como percebe-se, serão usadas letras maúsculas para desgar os valores da população e letras músculas para as observações da amostra. Defe-se como parâmetro de uma população a alguma fução de todas as udades da população (θ=f(x,...,x N )). Abao algus parâmetros usuas da estatístca descrtva: Se a característca é mesurável quattatvamete: µ EX ( ) X N X = = = = N (méda populacoal) N ( X X) = σ = VAR( X) = E[( X µ ) ] = (varâca populacoal) N = VAR( X) (desvo padrão populacoal) σ Se a característca é qualtatva represetado algum atrbuto de uma população, etão a varável dcadora X receberá o valor quado a característca é observada e quado o atrbuto ão é observado. Etão N X = é o úmero total de elemetos da população que apresetam o atrbuto, e a fórmula da méda represeta a proporção ou freqüêca relatva (P) dos elemetos da população ode a característca é observada a população total: N X P = = N Uma fução dos valores de uma amostra probablístca f(,,..., ) é deomada de uma estatístca. Eemplo: = = (méda amostral) Um estmador é uma estatístca obtda por um procedmeto específco para estmar um parâmetro da população. Como eemplo podemos utlzar a méda amostral para estmar a méda populacoal. Como a amostra utlzada é aleatóra, etão um estmador será uma varável aleatóra, já que seu valor dfere de amostra para amostra. Estmatva é um valor partcular que o estmador assume para uma dada amostra. Um estmador de um parâmetro θ ( θ ˆ = f (,..., ) ) é dto ão tedecoso se o seu valor esperado é gual ao referdo parâmetro da população, ou seja, µ θ = E(ˆ θ) = θ. Pode-se calcular também a varâca e o desvo padrão do estmador: ˆ σ = VAR(ˆ) θ = E[(ˆ θ µ ) ] (varâca ou precsão do estmador) θˆ σ θ ˆ = VAR(ˆ) θ θˆ (desvo padrão ou erro padrão do estmador) 4

5 .. - Estmadores Amostras ão Tedecosos ) Estmador ão tedecoso para a méda populacoal (µ ): = µ ˆ = =, portato, E( )=µ, (obs.: o chapéu sobre o µ dca seu estmador) e alem dsso, se a amostra for aleatóra smples (AAS) com reposção: VAR( ) = σ = σ, e se a amostra for aleatóra smples (AAS) sem reposção: σ N VAR() = σ = N Obs.: essa varâca dfere da ateror pelo fator de correção para populações ftas N, que tede à udade quado a população (N) tede para o fto, e N portato, quado a população é sufcetemete grade podemos cosderar o resultado da varâca da méda amostral gual ao resultado obtdo para amostragem com reposção. Por sso de agora em date somete cosderaremos esse tpo de amostragem aleatóra. ) Estmador ão tedecoso para a varâca populacoal (σ ): ( ) ˆ = σ = s =, portato, E( s )=σ..3 - Dstrbuções de Probabldade dos Estmadores Amostras ão Tedecosos Para amostras sufcetemete grades (geralmete de tamaho maor que 5 de acordo com a Le dos Grades Números) podemos cosderar que o Teorema do Lmte Cetral é váldo, portato: a) a dstrbução de probabldade da méda amostral será ormal: µ ~ Normal( µ ; σ / ) ~ Normal (,) σ b) Decorrete do teorema (.4. da apostla de prob.) pode-se demostrar: ( )s σ ~ c) Decorrete do resultado ateror e do teorema (.4. da apostla de prob.) pode-se demostrar: µ ~ t s 5

6 d) Dstrbução amostral da proporção: Numa amostra de tamaho (,,..., ) de uma varável dcadora X a soma amostral = y = tem dstrbução bomal com méda E(y)=P e varâca VAR(y)=PQ, ode Q=-P. Portato o estmador da proporção populacoal Pˆ = p = terá dstrbução também bomal com méda E(p)=P e varâca = VAR(p)=PQ/. Para sufcetemete grade, a dstrbução amostral da proporção p será: p ~ Normal(P; PQ / ) 3 - Resumo sobre Teora da Estmação 3. - Métodos de Estmação Potual Na ferêca estatístca clássca, em geral, temos um modelo probablístco que supõe-se gerador dos valores de característcas mesuráves de uma população. Esses modelos probablístcos são geralmete formulados em termos de parâmetros que os caracterzam (Eemplo: a dstrbução ormal é formulada em termos dos parâmetros µ e σ). Na prátca, devdo a mpossbldade de se avalar todos os elemetos de uma população, decorrete das lmtações de custo e de tempo, os parâmetros dos modelos probablístcos são descohecdos, restado somete a possbldade de estmá-los com base em subcojutos, ou amostra, da população. Podemos admtr dos tpos báscos de estmação: estmação potual e estmação tervalar. Na estmação potual, dado um estmador (fução dos valores da amostra) ecotramos um valor (uma estmatva) que se acredta estar próma do verdadero valor umérco do parâmetro. Algus crtéros aulam a seleção dos estmadores potuas, sedo eles: Seja o estmador θ ˆ = g(,..., ) para o parâmetro θ.. Tedêca ou víco (VIÉS): É quato o estmador dfere em méda do verdadero parâmetro populacoal: VIÉS( θˆ ) = E [( θˆ ) - θ] Covecoa-se que um bom estmador deva ter tedêca ula, ou, pelo meos VIÉS θˆ, lm VIÉS θˆ = asstotcamete ulo () () 6

7 . Cosstêca θˆ (X,...,X ) é cosstete se lm Ρ ( θˆ θ ε) =, ε >. Ou seja θˆ coverge em probabldade para θ Quado um estmador cosstete é ão tedecoso também, etão este caso, mostra-se que lm VAR( θ) = ˆ Estes estmadores são chamados de estmadores coeretes (Meyer). 3. Efcêca Dados dos estmadores ˆθ e ˆθ para um parâmetro θ, etão ˆθ será mas efcete que ˆθ se: VAR( ˆθ ) < VAR( ˆθ ) 4. Erro Quadrátco Médo teo. () ˆ = E( θˆ θ) VAR() θˆ + VIÉS() θˆ EQM θ = Sob esse crtéro, o melhor estmador é aquele que possu o meor EQM Estmação Itervalar Na estmação tervalar, o lugar de somete um valor, ecotramos uma faa de valores (Itervalo de Cofaça) cuja probabldade (codcoal ou ão) de coter o verdadero parâmetro é cohecda e elevada. Cohecdos o estmador e sua respectva dstrbução de probabldade, pode-se costrur, a partr de suas estmatvas, tervalos de cofaça com uma determada probabldade de clur o verdadero parâmetro populacoal. Essa probaldade é chamada de ível de cofaça = (-α). Os íves de cofaça usuas são acma de 9% (9%, 95%, 99%,...). Itervalo de cofaça de (-α) para um parâmetro θ é o tervalo [ l ; l s ] tal que P(l ode, l lmte feror do tervalo de cofaça l s lmte superor do tervao de cofaça θ l ) = α A otação covecoada aqu para deotar um tervalo de cofaça é a segute: IC (-α) (θ): [ l ; l s ] s 7

8 Eemplo: se afrmamos que IC 95% (µ): [ 47,4 ; 5,3 ] sso mplca que P(47,4 µ 5,3) = 95% Itervalo de Cofaça para a Méda Populacoal PARA σ CONHECIDO Sabemos que: µ σ ~ Normal (,) Sedo z α/ o valor tabelado da dstrbução Normal padrozada de modo que P(Z>z α/ )= P(Z<-z α/ )=α/, etão: µ P σ σ z α z α = -α P z α µ + z α = -α σ IC (-α) (µ ): l σ = z α ;ls = + z α σ, PARA σ DESCONHECIDO Estma-se o σ através de seu estmador ão tedecoso: µ Sabemos que: ~ t s ( ) = s = Sedo t (-,α/) o valor tabelado da dstrbução t-studet com - graus de lberdade tal que P(t - >t (-,α/))= P(t - <-t (-,α/))=α/, etão: 8

9 µ P t (, α ) t (, α ) =-α s s s P t (, α ) µ + t (, α ) = -α s s IC (-α) (µ ): l = t (, α ) ;ls = + t (, α ) Itervalo de Cofaça para a Varâca Populacoal Sabemos que: ( ) σ s ~ - Sedo (-,α/) o valor tabelado da dstrbução Qu-quadrado com - graus de lberdade tal que P( - > (-,α/) )=α/ ; e o valor tal que (-,-α/) P( - > )=-α/, etão: (-,-α/) P (, α ) ( ) σ s (, α ) =-α P ( ) s ( ) σ s (, α ) (, α ) =-α IC (-α) (σ ): l = ( ) s ( ) (, α ) ;l s = s (, α ) Itervalo de Cofaça para a Proporções p P Sabemos que: ~ Normal(; ) p( p) P p P p( p) p( p) z α zα = -α P p( p) p zα P p + zα = -α 9

10 IC (-α) (P): p( p) = p zα ;ls = p + zα p( p) l, 4 - Teste de Hpótese Hpótese estatístca: é uma afrmação a respeto de um parâmetro de uma varável aleatóra. Teste de hpótese: é uma regra que os dz se acetamos ou rejetamos uma hpótese estatístca para uma amostra observada. A hpótese a ser testada é chamada de hpótese ula (H ). Uma hpótese alteratva (H ) é cosderada verdadera quado (H ) é falsa. α - ível de sgfcâca do teste (probabldade de rejetar H sedo ela verdadera) β - prob. rejetar H sedo ela verdadera DECISÕES E RESULTADOS QUADRO DAS DECISÕES POSSÍVEIS H É VERDADEIRA ESTADO DA NATUREZA H É VERDADEIRA DECISÃO ACEITAR H Decsão correta - P=(-α) Erro tpo II P=(β) REJEITAR H Erro tpo I - P=(α) Decsão correta P=(-β) Supoha que a lustração segute tehamos: H : µ =5 H : µ =8

11 Da fgura acma percebemos que quado aumetamos α etão β dmu e vce-versa. A postura estatístca clássca sugere que trabalhemos somete com α e deemos o β de lado, já que ão há como mmzar ambas as probabldades de erros. Portato quado acetamos H para um α pequeo (pequea probabldade do erro de tpo I) ão sabemos a probabldade β de estarmos errado caso a hpótese alteratva seja de fato verdadera (probabldade do erro de tpo II deve ser grade). 4. Testes Clásscos ou Paramétrcos O procedmeto estatístco clássco para testar hpóteses basea-se a defção de um pequeo ível de sgfcâca (α) fado a pror do procedmeto de teste. No lvro do Ermes, Elo, Valter, Afrâo (este lvro o procedmeto clássco é chamado de teste de sgfcâca, porém o lvro do Larso esta deomação tem um sgfcado dferete que adotaremos e abordaremos a seção segute) temos uma boa argumetação para justfcar a mportâca do erro de tpo I frete ao erro do tpo II através dos eemplos do julgameto de um réu e da decsão de um médco sobre uma crurga, vsto que ormalmete é preferível dear um culpado solto (erro tpo II) do que codear um ocete (erro tpo I), assm como é também preferível ão operar um pacete que ecessta (erro tpo II) do que operá-lo quado ão há ecessdade (erro tpo I), por razões aálogas é melhor acetar H quado ela é falsa (erro do tpo II) do que rejetá-la quado ela é verdadera (erro do tpo I), sedo este o tpo de erro que mmzamos pos é o meos desejado. No teste de sgfcâca são defdas duas regões que permtem decdr se acetamos (regão de acetação - RA) ou rejetamos a hpótese ula (regão crítca - RC) e o que se faz é observar a qual regão pertecerá a estmatva amostral do estmador do parâmetro em teste. Como o ível de sgfcâca é especfcado a pror, podemos estabelecer a regão crtca com base a dstrbução de probabldade do estmador amostral e da probabldade P(θˆ RC H ) = α, equvalete a P(θˆ RA H ) = -α. Quado uma estmatva pertece a uma regão de acetação é melhor afrmar que ão há evdêcas empírcas para se rejetar H por uma questão semâtca. Coforme dscussão ateror, a eplcação para sto é que o rsco ao se acetar H, ou seja, a probabldade de se cometer o erro de tpo II, β, é descohecdo a regra de decsão clássca. Por essa regra só se cohece o rsco de se rejetar H, α, por sso faz mas setdo fazer afrmações sobre a rejeção ou ão de H. Estem três tpos padrões para a formulação das hpóteses que proporcoam tpos de testes de hpóteses dferetes, assm como procedmetos de decsão com base em regões crítcas dsttas: o. Tpo: H : θ = θ H : θ θ

12 o. Tpo: H : θ = θ H : θ < θ 3 o. Tpo: H : θ = θ H : θ > θ A segur apresetamos eemplos de regões crítcas dos testes de hpóteses clásscos para a méda populacoal. As regões de decsão foram costruídas para que a coclusão do teste seja baseada a estmatva de. PARA σ CONHECIDO o. Tpo: H : µ = µ H : µ µ µ P σ σ z α z α = -α Pµ z α µ + zα = -α σ σ σ RC=(-, µ zα ) ( µ + z α, + ) σ σ RA=[ µ zα, µ + z α ] o. Tpo: H : µ = µ H : µ < µ

13 µ P σ σ z σ α = -α P µ zα = -α P < µ zα = α σ RC=(-, µ z α ) σ RA=[ µ z α,+ ) 3 o. Tpo: H : µ = µ H : µ > µ µ P σ σ RC=( µ + zα,+ ) σ RA=(-, µ + zα ] > z α σ = α P > µ + z α = α PARA σ DESCONHECIDO o. Tpo: H : µ = µ H : µ µ µ P t (, α ) t (, α ) =-α s s s Pµ t (, α ) µ + t (, α ) =-α s s RC=(-, µ t (, α ) ) ( µ + t (, α ), + ) s s RA=[ µ t (, α ), µ + t (, α ) ] o. Tpo: H : µ = µ H : µ < µ P s µ t (, α) s = -α... P < µ t (, α) = α 3

14 s RC=(-, µ t (, α) ) s RA=[ µ t (, α),+ ) 3 o. Tpo: H : µ = µ H : µ > µ µ P > t s s RC=( µ + t (, α),+ ) s RA=(-, µ + t (, α) ] (, α) s = α P > µ + t (, α) = α A segur apresetamos eemplos de regões crítcas dos testes de hpóteses clásscos para a varâca populacoal. As regões de decsão foram costruídas para que a coclusão do teste seja baseada a estmatva de s. o. Tpo: H : σ = σ H : σ σ RC=[, RA=[ o. Tpo: H : σ = σ H : σ < σ RC=[, RA=[ P P ( (, α ) ( ) σ s (, α ) =-α σ σ s (, α ) σ ) (, α ) ( ), σ (, α ) ( ) σ ( ) (, α) ) (, α) σ,+ ) ( ) ( ) ( ) (, α ) σ (, α ) ( ) P σ, + ) (, α ) ( ) ] σ (, α) s ( ) =-α =-α 4

15 3 o. Tpo: H : σ = σ H : σ > σ RC=( RA=[, (, α) σ,+ ) ( ) (, α) ] σ ( ) P s σ ( ) (, α) =-α A segur apresetamos eemplos de regões crítcas dos testes de hpóteses clásscos para proporções. As regões de decsão foram costruídas para que a coclusão do teste seja baseada a estmatva de p. o. Tpo: H : P = P H : P P P p P p( p) p( p) z α zα = -α P p( p) P zα p P + zα = -α p( p) p( p) RC=(-, P z α ) ( P + z α, + ) p( p) p( p) RA=[ P z α, P + z α ] o. Tpo: H : P = P H : P < P RC=(-, RA=[ P P P p P p( p) z α = -α P p( p) p P zα = -α p( p) P p < P zα = α p( p) z α ) p ( p ) z α,+ ) 5

16 3 o. Tpo: H : P = P H : P > P P p P p( p) > z α = α P p( p) p > P + zα = α p( p) RC=( P + z α,+ ) p( p) RA=(-, P + z α ] 4. Teste de Sgfcâca (p-valor) Os procedmetos clásscos descrtos a seção ateror, por serem testes do tpo rejeta/ão-rejeta para cada ível de sgfcâca α pré-estabelecdo, apresetam o coveete de serem fleíves para dferetes íves α, ou seja, se precsarmos adotar uma regra de decsão para íves de sgfcâcas dferetes daquele calmete estabelecdo, o procedmeto de cálculo deverá ser todo refeto para cada ovo α. Para cotorar tal problema defe-se o p-valor que cosste a probabldade de ocorrerem valores da estatístca de teste mas etremos (o setdo da regão crítca) que o observado a suposção de que H seja verdadero. Este tpo de procedmeto é usualmete adotado quado se trabalha com pacotes computacoas estatístcos que forecem o cálculo dos p-valores. De posse do p- valor pode-se coclur o teste de hpótese para qualquer ível α com base a segute regra de decsão: Regra de decsão: p-valor > α ão-rejete H p-valor α rejete H 4.3 Teste Qu-quadrado Os testes clásscos são também cohecdos como testes paramétrcos porque checam afrmações sobre parâmetros de uma dstrbução de probabldade que se supõe possur a estatístca de teste a pror. Porém esta suposção pode ser alvo de cotrovérsas teórcas ou empírcas. O teste qu-quadrado é um procedmeto de teste de hpótese que serve para checar estatstcamete a aderêca de um cojuto de dados a uma determada dstrbução de probabldade. Ao testar aderêca a uma dstrbução, ou seja, ão assumdo ehuma dstrbução a pror, e por ão testar afrmações sobre parâmetros, trata-se de um teste classfcado como ão-paramétrco. Supoha um epermeto, cujo espaço amostral apresete uma determada partção (coleção mutuamete eclusva e eaustva) de evetos, partção para a qual seja observada a segute coleção de freqüêcas O, O,..., O k. Supoha por hpótese (H ) adcoalmete que esta partção apresete uma dstrbução de 6

17 probabldades com freqüêcas esperadas respectvamete de e, e,..., e k. Provase que, sob H, a estatístca, com fórmula apresetada a segur, tem dstrbução obs asstótca qu-quadrado com k- ( k ) graus de lberdade: obs = k = ( O e ) e Com base a dstrbução desta estatístca de teste pode-se motar um teste de sgfcâca a partr de pacotes computacoas. Esta mesma estatístca permte ser adaptada para testes de depedêca a partr de tabelas de cotgêca. Nestes casos as freqüêcas esperadas correspodem àquelas decorretes da hpótese de depedêca etre os crtéros de partção que defem as lhas e as coluas de uma tabela de cotgêca. Referêcas Bblográfcas: Meyer, P.L., Probabldade: Aplcações à Estatístca, a. Ed., 983 Costa Neto, P. L. O., Estatístca, 977 Larso, H. J., Itroducto to Probablty Theory ad Statstcal Iferece, 3ª Ed. Hoffma, R., Estatístca para Ecoomstas, 3 ª Ed. da Slva, E. M., da Slva, E.M., Goçalves, V., Murolo, A. C., Estatístca para os Cursos de Ecooma, Admstração e Cêcas Cotábes, vol., a.ed., 997 7