Curso de Graduação. Inferência I N F ERÊNCI A ESTAT ÍSTICA

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1 Iferêca Estatístca I N F ERÊNCI A ESTAT ÍSTICA

2 CAPÍTULO N O Ç Õ ES PRELIMINAR ES SOBR E AMOSTRAGEM A elaboração de um projeto de pesqusa por amostragem, objetvado a vestgação sobre um certo feômeo, evolve a determação do úmero de observações que serão ecessáras para autorzar possíves geeralzações sobre tal feômeo, além da precsão e da cofaça depostadas em tas ferêcas. Para a referda determação é ecessáro o cohecmeto das téccas que se cumbem de ldar com essas udades observacoas e que são forecdas pela TEORIA DA AMOSTRAGEM. Ates, porém, são apresetados abaxo algumas regras, prcípos e cocetos geralmete baseados a TEORIA DAS PROBABILIDADES. Cosderemos, prmeramete, um cojuto omal fto, ou fto eumerável, do tpo. C {c, c,, c N } A esse cojuto damos o ome de POPULAÇÃO que é defda como o cojuto de udades, passíves de observação, e portadoras das determações umércas dos fatos que costtuem o objeto da vestgação (pessoas, veículos, resdêcas, etc). De acordo com o úmero de varáves do estudo, uma população pode ser UNIVARIADA, BIVARIADA, TRIVARIADA ou MULTIVARIADA. Cada udade populacoal pode ser SIMPLES ou COMPOSTA coforme sua atureza, ou seja, se cada udade possu apeas uma gradeza da(s) varável(es) de estudo ela é dta SIMPLES, caso possua mas de uma gradeza ela será COMPOSTA. Exemplo Deseja-se medr o tempo semaal de estudo de cada aluo deste curso. Trata-se, pos, de uma população uvarada, por estarmos levatado formações acerca de apeas uma varável (Y tempo de estudo), cujas udades da população (aluos deste curso) são smples, pos a cada elemeto podemos assocar apeas um valor da varável. Exemplo Deseja-se medr os tempos de acesso semaal à televsão e à teret das famílas de Curtba. Nesse caso teríamos uma população bvarada (Y tempo de acesso à televsão e Y tempo de acesso à teret) sedo que cada udade populacoal (famíla), c j, é costtuída por m membros (m > ) e cada membro k (k,,..., m) é portador de um par (Y k ; Y k ) de observações. Logo, trata-se de uma população bvarada, costtuída de udades compostas.

3 Pa (Y ; Y ) (famíla) Mãe (Y ; Y ) Flho (Y 3 ; Y 3 ) Flha (Y 4 ; Y 4 ) Podemos assocar a cada udade populacoal c j um úmero real por meo de uma fução do tpo j g (c j ), j,,, N. A essa fução chamamos CARACTERÍSTICA DA POPULAÇÃO, que defe o objeto de vestgação. Estedda à população como um todo, essa fução dará orgem a um vetor de valores da forma: P ( ; ; ; N ) Esse cojuto é cohecdo como POPULAÇÃO MATRIZ relatva à característca estudada. A estatístca dutva, ou ferecal, estabelece o ferrametal teórco que possblta uma tomada de decsão sobre uma população de tamaho N, levado em cota as formações de uma amostra de tamaho. 3

4 CAPÍTULO N O Ç Õ ES SOBR E AMOSTRA ALEATÓRIA Como sabemos, as dstrbuções de probabldades apresetadas depedem sempre de pelo meos um parâmetro para se caracterzar. Assm, a dstrbução de Beroull depede da probabldade de sucesso p, a Bomal de e p e a Normal fcava perfetamete especfcada com a determação da méda e da varâca. Cosderemos a experêca aleatóra que cosste a seleção de uma udade smples da população C. Se realzarmos essa experêca vezes de modo que a probabldade de selecoarmos c j seja costate para todo j,,, estaremos de posse de um cojuto omal do tpo: AAS { c, c,, c }. Este cojuto (que é um subcojuto da população C) é dto ser uma AMOSTRA ALEATÓRIA SIMPLES DE TAMANHO, ou smplesmete AAS, cujos compoetes são depedetes, têm mesma dstrbução de probabldade e são extraídos de modo aleatóro da população. Selecoada a amostra e defda(s) a(s) característca(s) a ser(em) estudada(s), a AAS se detfcará com o vetor umérco da forma ( ; ; ; ) defdo como AMOSTRA EFETIVA. Note que a POPULAÇÃO é costtuída pelos elemetos que poderão ser selecoados para compor a AMOSTRA, mas é com base a AMOSTRA EFETIVA que os parâmetros serão calculados. Os parâmetros da amostra aleatóra são, por extesão, os parâmetros calculados pela amostra efetva. Fxados os cocetos prcpas, teressa-os o mometo saber como podemos determar as característcas de uma população com base as formações de uma amostra. Duas amostras dferetes, de mesmo tamaho, extraídas de uma mesma população terão alta chace de gerar AMOSTRAS EFETIVAS dferetes. Logo, estatístcas calculadas com base as AMOSTRAS EFETIVAS dferetes deverão levar a estmatvas dferetes de um mesmo parâmetro. 4

5 CAPÍTULO 3 E S T IMADORES Defmos como ESTATÍSTICA qualquer fução real dos elemetos da amostra, sto é: ω g (Y ; Y ; ; Y ). Como as estatístcas são fuções de varáves aleatóras, elas serão, também, varáves aleatóras. As les de probabldades das estatístcas são cohecdas como DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGEM. Dada uma população C de tamaho N, estaremos teressados em cohecer algum parâmetro (méda e varâca, por exemplo) dessa população. Para sso podemos laçar mão de estatístcas que serão calculadas através das observações de uma amostra. A estatístca que rá calcular esse parâmetro da população recebe o ome de ESTIMADOR de θ, e é dcado por θˆ. O valor umérco de θˆ recebe o ome de ESTIMATIVA. Por exemplo, a méda da população pode ser estmada pela méda da amostra Y. Nesse caso, θ e θˆ Y. O quadro abaxo os apreseta algumas das estatístcas mas mportates. ESTATÍSTICA Notação (AAS ) Expressão da Estatístca Notação (Amostra Efetva) Expressão a Amostra Efetva Notação População Total da Amostra T Y +Y + + Y T δ Méda Artmétca da Amostra Varâca da amostra Y VAR Y + Y Σ (Y Y) Y Var Varâca Verdadera Σ (Y Y) Σ ( ) da Amostra S s - - Proporção da P T Y + Y Y amostra p Σ ( ) π Notamos acma que para um mesmo parâmetro θ, podemos defr dos ou mas estmadores, θˆ, dferetes (como o caso da varâca, o quadro acma). Porém apeas um deverá ser o estmador ótmo para um dado parâmetro. Para a obteção de um estmador podemos adotar métodos dferetes tas como o Método dos Mometos, Método da Máxma Verossmlhaça ou o Método dos Mímos Quadrados, obedecedo a crtéros específcos que os dferecam. Abaxo são apresetados os dos prmeros métodos, dexado o últmo para a parte fal do curso, quado trataremos de estmações de parâmetros para os modelos de Regressão. 5

6 CAPÍTULO 4 M É TODOS DE ESTIMAÇÃO Seja Y, Y,..., Y uma amostra aleatóra d, sto é, com udades Y (,,... ) extraídas depedetemete etre s e detcamete dstrbuídas, o setdo que todas as udades provêm de uma população a qual a dstrbução da característca estudada é comum a todas elas. Essa amostra é extraída de uma população C, a fm de possbltar a estmação de um parâmetro θ, dessa população, por θˆ, obtdo em fução dos valores observados a amostra efetva. Como exemplo, poderíamos estar teressados a estmação da méda populacoal (θ ) pela méda da amostra ( θˆ Y ). A segur são apresetados dos dos métodos de estmação dos parâmetros mas utlzados. 4. O MÉTODO DA MÁXIMA VEROSSI MILHANÇA DA AM O S T RA Seja f Y ( ; θ) a fução de probabldade da população da qual a amostra acma é extraída. Como a amostra é d, cada udade Y (,,... ) terá a mesma fução de probabldade f Y (; θ). Defe-se como fução de verossmlhaça ao produto das fuções de probabldades dos elemetos da amostra, sto é: L(θ) f Y ( ; θ ). A déa é se obter θˆ que maxmze a verossmlhaça da amostra, sto é, θˆ deverá ser tal que maxmze a semelhaça etre o perfl da amostra e o da população, a característca estudada. Note que, dada a depedêca das udades amostras, a fução de verossmlhaça, L(θ), é a fução cojuta de probabldade f(; θ), mas embora teham a mesma expressão devem ser terpretadas de modo dferete. Equato a prmera depede apeas do parâmetro θ, a seguda é fução das varáves aleatóras relatvas aos elemetos da amostra, além do parâmetro θ comum a eles. A obteção de θ que maxmza L(θ) pode ser feta de modo tradcoal, gualado a zero a dervada de L(θ). No etato, geralmete é mas fácl dervar o logartmo atural de L(θ), L(θ), fução mootôca de L(θ). Igualado-o a zero obtemos, como resultado, a expressão de θ que maxmza ambas, L(θ) e L( θ). Este resultado será, etão, o estmador θˆ de θ, de máxma verossmlhaça da amostra. Exemplo: Seja Y, Y,..., Y uma amostra aleatóra d, extraída de uma população com dstrbução ormal com parâmetros e, descohecdos. Para obtermos ˆ e ˆ, cosdere prmeramete a fução de verossmlhaça da amostra L(θ) f ( ; ; ), ode θ ( ; ) é o vetor dos parâmetros a serem estmados, e 6

7 f( ; ; ) ( ) π Y exp é a fução de desdade de probabldade da dstrbução Normal. Etão L(θ) L( ; ; ) ( ) ( ) ( ) π π exp exp. Logo, L(θ) l L (θ) ( ) π ) l ( ) l (. Dervado L(θ) em relação à e à, fcamos com ( ) ) ; ( L, e ( ) ) ; ( L. Igualado a 0, fcamos com ( ) 0, e ( ), resultado as expressões dos estmadores de máxma verossmlhaça da amostra para a méda e a varâca da população: ˆ, e ( ) ˆ. 7

8 4. O MÉTODO DOS MOMENTOS Este método, devdo a Karl Pearso, é dcado quado a fução de probabldade possu mas de um parâmetro. A déa subjacete é permtr a obteção de um estmador θˆ de θ, em fução dos prmeros k mometos ordáros da amostra. Para sso defmos como mometo ordáro de ordem r: R r f (; θ ) dy se Y for do caso cotíuo E(Y r ) (r,,..., k) r p(; θ ) se Y for do caso dscreto Como, geralmete, E(Y r ) E(Y s ), para r s, sto é: E(Y ) g (θ), E(Y ) g (θ),... E(Y k ) g k (θ), podemos expressar os parâmetros que desejamos cohecer, por meo das relações etre os dversos mometos um sstema de k equações smultâeas. Para r, E(Y ) E(Y ) Y Y Y, a méda da amostra. Quado r, o mometo de a. ordem é gual a e assm sucessvamete para os k prmeros mometos, caso exstam. A varâca da amostra é defda como ˆ S ( Y Y) Y Y E(Y ) [ E(Y) ]. Coseqüetemete, a méda da amostra é o mometo de ordem e a varâca da amostra uma fução dos mometos de ordem e. Exemplo: Seja Y, Y,..., Y uma amostra aleatóra d, extraída de uma população com dstrbução Expoecal com parâmetro θ, descohecdo. Para estmarmos a méda da amostra pelo método dos mometos, é ecessáro cohecermos a fução de desdade de probabldade Expoecal (θ) [ou Gama (; θ)]: (; f Y θ ) exp( θ ) θ Sabemos que a méda da amostra é o mometo ordáro de ordem, logo: E(Y) 0 θ e d. θ 0. 8

9 Resolvedo a tegral acma, por partes, chegamos a E(Y) Y Y θ ˆ (PROVE). Coseqüetemete, estmamos o parâmetro θ da de uma dstrbução expoecal pela méda da amostra de tamaho, extraída da população que gerou os dados. Como exercíco, determe o estmador da varâca desta amostra. 4.3 PROPRIEDADE DOS EST IMADORES A estmação de um parâmetro através de métodos dferetes ão leva, ecessaramete, a estatístcas (estmadores) guas. Por exemplo, o estmador de máxma verossmlhaça do parâmetro θ de uma população Uforme (0; θ) é defdo como a estatístca de ordem Y MAX, equato o mesmo Y parâmetro, quado estmado pelo método dos mometos é defdo como. Isto leva a uma perguta óbva: Qual deles deverá ser utlzado?. A resposta, ão meos óbva sera: O melhor!. Mas como podemos medr a qualdade de um estmador? A resposta a essa perguta já ão é tão óbva, pos va depeder de um cojuto de crcustâcas como: as propredades do estmador; a fução de probabldade da característca estudada a população; e os parâmetros a serem estmados. Vejamos, calmete, as propredades dos estmadores Não tedecosdade Um estmador, θˆ, é dto ão tedecoso de θ, se E ( θˆ ) θ. Exemplo: A estatístca méda da amostra, defda como tedecoso da méda da população. θˆ Y Y, é um estmador ão Prova: Na prova, é cosderado o fato que todos os elemetos da amostra são d, depedetemete da dstrbução da população, com méda e varâca, ambos descohecdos. Etão: E( θˆ ) E( Y ) E Y E Y E( ) Y. 9

10 4.3. Cosstêca Dzemos que um estmador, θˆ, de θ é cosstete se: lm P ( θˆ θ < ε ) ε > 0 A verfcação da cosstêca de um estmador pode ser feta pela observâca das segutes codções: a) lm E ( θˆ ) θ b) lm VAR ( θˆ ) 0 Exemplo: A estatístca méda da amostra é um estmador cosstete da méda da população. Prova: Podemos provar que a estatístca méda da amostra tem varâca, ode é a varâca da característca a população. Logo, tomado o lmte quado o tamaho da amostra cresce defdamete, verfcamos que: a) lm E(Y) lm b) lm VAR(Y) lm 0. Portato a méda da amostra é um estmador cosstete da méda da população Efcêca Dada uma famíla de estmadores ão tedecosos de θ, o estmador mas efcete será aquele que tver a meor varâca, sto é: VAR ( θˆ ) < VAR (θ*) Exemplo: A méda da amostra é mas efcete do que a medaa da amostra para a estmação da méda da população. Prova: Podemos provar que a varâca da estatístca medaa da amostra tem varâca Como a varâca da estatístca méda da amostra é gual a π., cocluímos que, como VAR( Y ) < Var(Md), etão a méda da amostra é mas efcete do que a medaa da amostra a estmação da méda da população. 0

11 CAPÍTULO 5 E S T IMAÇÃO Quado ão cohecemos o parâmetro θ da população podemos estmá-lo utlzado para sso a estatístca que deverá forecer a estmatva mas próxma possível desse verdadero, porém descohecdo, valor do parâmetro da população. Esse processo de estmação poderá ser feto segudo dos modos dsttos: a) potual Quado a estmação de um parâmetro é feta através de um úco valor umérco, obtemos uma estmatva potual que é calculada através do valor assumdo pelo estmador após a realzação da amostra. Por exemplo, se a amostra de dez lâmpadas extraída da produção de um da, foreceu lâmpadas defetuosas, etão podemos coclur que o processo de fabrcação produz 0% de lâmpadas defetuosas daramete. b) por tervalo Sabemos que ao trocarmos um elemeto da amostra a estrutura da amostra efetva fcará alterada de modo que os parâmetros calculados para ambas as amostras, com grade possbldade, serão dferetes. A estmatva por tervalo ão se resume a apeas um valor. Ela forece uma faxa de varação que deverá coter o verdadero parâmetro da população e cuja ampltude deverá ser fução do tamaho da amostra, do grau de homogeedade da amostra, da precsão desejada e do grau de cofaça que depostamos a acetação de que o tervalo coteha realmete o parâmetro a ser estmado θ. A esse grau de cofaça (probabldade) chamamos NÍVEL DE CONFIANÇA e seu valor é represetado por (-α). Ao tervalo de varação deomamos INTERVALO DE CONFIANÇA. Logo (-α) é a probabldade de que o tervalo de cofaça coteha o verdadero, mas sempre descohecdo, parâmetro da população, ou seja: θˆ θ ode: α P { θˆ θ < } P { < θˆ θ < } P P { z < Z }, α / < z α / ε θˆ < θˆ < ε θˆ z α / é o valor tabelado da dstrbução ormal padrão (0 ; ) que forece uma probabldade gual a α acma de seu valor absoluto. Logo: z ε α / ε z α / θˆ θˆ

12 Caso a população seja fta basta multplcarmos o valor acma pelo fator de correção para N populações ftas, fcado com N N ε z α / ˆ θ N O tervalo de cofaça estará etão defdo como: I C : (ˆ θ ε ; θˆ + ε ) Note que o erro ε está expresso a udade da varável e represeta o úmero (z α/ ) de desvos ( ˆ ), acma ou abaxo da estmatva, que deverá compreeder o verdadero parâmetro a população, com uma probabldade (-α). θ 5. E S T IMAÇ Ã O PONTUAL E DISTRIBUIÇÕES DE AMOST R AG EM 5.. Méda da População Seja P uma população matrz cujos valores seguem uma dstrbução de probabldade com méda e varâca. Cosdere Y a estatístca méda da amostra. Prova-se que se a população for fta ou se o esquema de seleção da amostra for com a reposção dos elemetos sorteados a população orgal, esta estatístca possu dstrbução Normal com méda e varâca, quado assume valores relatvamete grades ( > 30). Logo a estatístca. Y terá dstrbução Normal padrozada, sto é, com méda 0 e desvo padrão. No etato, se o tamaho da amostra for pequeo ( < 30) e além dsso ão cohecermos o valor de, devemos estmá-lo através da estatístca varâca verdadera da amostra (S ) de modo que a dstrbução de amostragem de Y ão será mas Normal. Wllam Gossett provou que as crcustâcas acma, Y S terá dstrbução de t de STUDENT (codome de Gossett), com () graus de lberdade.

13 Em ambos os casos, se a população for fta, ou se o esquema de seleção da amostra for sem a reposção da udade selecoada de volta à população, devemos etão corrgr o valor da varâca da N estatístca méda da amostra pelo fator, ode N é o tamaho da população e o tamaho da N amostra, sempre que /N > 0,05. Resumdo o exposto acma, cocluímos que para a estmação potual da méda da população realzamos uma amostra e através dos valores da amostra efetva calculamos sua méda e cocluímos smplesmete que esse resultado deverá ser o valor do parâmetro procurado a população. Para sso, utlzamos a estatístca méda da amostra que, por ser uma varável aleatóra deverá ter uma dstrbução de amostragem. Esta, por sua vez, depederá: a) Do cohecmeto, ou ão, da varâca da população; b) Da magtude do tamaho da amostra; c) Do tamaho N da população (fto ou fto); d) Do esquema de amostragem (com ou sem reposção); e e) Da fração amostral /N. O cohecmeto da varâca da população fará com que Y teha dstrbução Normal equato seu descohecmeto os levará a pesqusar o tamaho da amostra. Se este for grade ( > 30), a dstrbução será aproxmadamete Normal, caso cotráro será t de STUDENT com () graus de lberdade. O tamaho da população, o esquema de amostragem e a fração amostral são dcadores da ecessdade (ou ão) da correção da varâca da dstrbução de amostragem, pelo fator de correção N para população fta. N 5.. Proporção da População A estmação da proporção é feta através da estatístca P T Y + Y + + Y Σ Y Como podemos otar, essa estatístca é semelhate a Y. O que as dfereca, porém, é o ível da mesuração da característca estudada. Para o cálculo da méda, Y é uma varável quattatva, cujos valores podem pertecer ao cojuto dos úmeros reas. A varável Y que forecerá a proporção é uma varável qualtatva, geralmete bára, ou seja, Y assume valor 0 ou. A estatístca P, proporção da amostra, possu o mesmo tratameto dado a Y, porém, por Y ser uma varável aleatóra de Beroull para cada elemeto da amostra, e Σ Y ser Bomal para a amostra como um todo, pode-se provar que: 3

14 E(P) π, e VAR (P) π ( π ), ode π é a proporção de sucessos a população Geralmete a estmação de π é feta com a varâca da população descohecda, pos caso cotráro π ( π ) poderíamos calcular faclmete seu valor através de VAR (P) ode é cohecdo. Logo, a dstrbução da estatístca P depederá apeas dos tamahos da amostra e da população além do esquema de seleção da amostra. Será ormalmete dstrbuída, se a população for fta, se > 30 ou a seleção for com reposção e será t de STUDENT caso a população seja fta, com <30 e sem reposção. Na prátca, se ecesstamos estmar π, realzamos uma amostra e calculamos o valor da proporção. Esse resultado será, etão, a estmatva potual para a proporção da população Varâca da População Para estmarmos a varâca da população, ão devemos utlzar a varâca da amostra VAR(Y) (Y Y) por ser um estmador tedecoso quado o tamaho da amostra for pequeo, sto é, ( ) [ ] E Σ (Y Y) <. E VAR(Y) Para obtermos um estmador ão tedecoso devemos multplcar a estatístca acma por obtedo-se assm um estmador ão tedecoso de., Coseqüetemete, a estatístca que forecerá os resultados mas próxmos do verdadero mas descohecdo valor de é a estatístca varâca verdadera da amostra defda como: S Σ (Y Y). s A estmatva potual do coefcete de varação é dada por e a varâca relatva por S Σ (Y Y) e Σ Y Y. s, ode 4

15 5. E S TIMAÇÃO POR INTE RV AL O S 5.. PAR A A MÉ D I A DA POPUL A Ç Ã O Vmos que a estatístca Y forece o estmador ótmo para a méda da população. Vmos, ada, que sua dstrbução de amostragem é fução da varâca da população e do tamaho da amostra. Será, aqu, desevolvdo o racocío da costrução de um tervalo de varação para a méda de uma população fta com varâca cohecda. Logo, a estatístca Y será Normal com méda e varâca. Se, um caso extremo, todas udades da população fossem portadoras da mesma gradeza da varável estudada, sso sgfcara que essa população sera perfetamete homogêea em relação a essa varável, mplcado em uma varâca 0. Logo, a estmatva potual, obtda através da amostra, forecera o valor exato do parâmetro da população ão havedo, assm, ecessdade de um tervalo de varação para o parâmetro da população. Porém, tal fato dfclmete ocorre. Geralmete, seleções repetdas de amostras com mesmo tamaho ão levam ao mesmo valor da estmatva do parâmetro. Assm, devemos assumr que depedete do valor estmado, estaremos corredo em algum tpo de erro devdo a flutuações amostras. Por sso devemos estmar ão um úco valor, mas um tervalo de valores plausíves para o verdadero parâmetro a população. Esse tervalo, como já vmos, será fução de: a) grau de varação das gradezas das udades populacoas; b) ível de cofaça ( α) que depostaremos a afrmatva de que o tervalo estabelecdo coteha realmete a méda da população; c) erro máxmo admssível para a estmatva; e d) tamaho da amostra Quato mas heterogêea for a população, maor deverá ser o tervalo e quato maor for o ível de cofaça, meos precsa será a estmatva. Defmos como erro de amostragem cometdo a dfereça etre o valor do parâmetro a amostra e o seu verdadero valor a população, sto é, o caso da méda ε Y, que também pode ser expresso em valores absolutos, através de ε Y. Quato meor for o valor de ε mas próxma a estmatva estará do verdadero valor e mas precsa será a estmatva. Compreedese daí que o ível de cofaça, como defdo aterormete, é a probabldade que este erro ão ultrapasse a um dado valor ε, ou seja: α P ( Y < ε ) P (ε < Y < ε ). 5

16 Como Y N ( ; ), para a característca estudada a população cosderada, se dvdrmos os membros da desgualdade por uma quatdade postva a desgualdade ão se altera. Façamos, etão a dvsão por de modo que Y teha dstrbução Normal padrozada. Logo: ( ) / / z Z z P Y P α α < < ε < < ε α, ode Z N (0 ; ), / z α é o valor da abscssa sob a curva da dstrbução Normal padrozada que forece uma probabldade gual a α/ da varável Z assumr valores à sua esquerda ou à sua dreta. Este valor é obtdo a tabela da dstrbução N (0 ; ), para um dado valor de α (ou de α). Coseqüetemete, z lo go, z / / ε ε α α, de modo que o tervalo de cofaça para será dado por IC ; ( Y ε ; Y + ε) ou melhor + α α z Y ; z Y : IC / /. 6

17 A terpretação geométrca e a utlzação prátca desse tervalo podem ser fetas à luz dos segutes gráfcos: f () Y ~ N ( μ; /) α / - α ε α / ε +ε f(z) Z~N (0;) α / - α z α 0 α / z α z α Z Realzada a amostra de tamaho calculamos a sua méda. Como, por suposção, cohecemos o valor de, procuramos a tabela o valor de z α / para o ível de cofaça desejado que levará ao cálculo do valor de ε. Notamos, pelos gráfcos acma, que a semampltude ε da dstrbução de Y é equvalete a z α / da dstrbução de Z de modo que fazemos uma mudaça de escala, através da padrozação do erro, ou seja, da dvsão de ε por. Em outras palavras, o tervalo de cofaça de ( α) para sgfca que, se realzarmos todas as N amostras, sem reposção, de tamaho da população, esperamos que uma percetagem de ( α) dos tervalos coteha o valor de coforme o gráfco abaxo. 7

18 MÉDIAS º da Amostras Se ão cohecemos o valor de, devemos estmalo através da estatístca S obtedo como resultado o valor s. Nesse caso, se a população for fta e se a amostra de tamaho < 30 for Y selecoada sem reposção, a dstrbução de S será t de STUDENT com () graus de lberdade. Assm sedo, procededo como o caso ateror obteremos o segute tervalo de cofaça para : S S IC : Y t α / ; Y + t α / ode t α / é o valor da abscssa sob a curva da dstrbução de STUDENT com () graus de lberdade que garate uma probabldade gual a α da méda da população estar fora do tervalo costruído. Para populações ftas com /N > 0,05 o tervalo será N S IC : Y t α / ; Y + t α / N N N S 5.. Para a Proporção da População O melhor estmador potual da proporção da população é a estatístca Proporção da Amostra P. Sabedo que esse estmador goza das mesmas propredades da estatístca Méda da Amostra apresetada o tem ateror, torase fácl a costrução de um tervalo de cofaça para o valor desse parâmetro a população através do resultado da amostra. Cosderado uma amostra com tamaho elevado ( > 30) extraída de uma população fta (com ou sem reposção de seus elemetos), a estatístca P terá dstrbução Normal com méda π (proporção π ( π ) da população) e varâca. 8

19 Desevolvedose o mesmo racocío da costrução do tervalo de cofaça para a méda, a proporção da população terá uma probabldade de (α) de pertecer ao tervalo. Como ão cohecemos π, utlzamos P, de modo que: ode P estmador de π tamaho da amostra / P.( P) IC π : P z α ; P + z α / P.( P) /, z α valor da abscssa sob a curva da N(0;) que garate uma probabldade de (α) do tervalo coter o verdadero parâmetro da população, π. Para populações ftas, a estatístca P terá dstrbução t de STUDENT com () graus de lberdade, e o tervalo de (α) para π será: N - P( P) IC π : P t α ; P + t α / N - N - N - P.( P) /, ode t α / > valor da abscssa sob a curva da dstrbução t que forece uma probabldade (α), com () graus de lberdade, do tervalo coter o verdadero valor de π. Na prátca o problema cosste o segute: Se a população for fta (N ) a dstrbução de amostragem de P será sempre Normal. Caso cotráro rá depeder do tamaho da amostra. Caso < 30, a dstrbução será t e devemos utlzar o fator de correção para população fta para corrgr o valor da varâca P ( P), sempre que a população for fta e /N > 0,05. N N O esquema de amostragem servrá para verfcar o tpo de população com que estaremos ldado. Se a extração das udades da amostra for feta com a reposção delas à população orgal, ela é dta fta, depedetemete do valor de N, caso cotráro, será fta se N ão for muto elevado. Σ Falmete, de posse da amostra efetva, calculamos o valor de P através de p, que os permtrá calcular a varâca de P. Com base esses valores, calculamos o erro amostral ε. Estará, assm, costruído um tervalo de cofaça de ( α) para π. 9

20 5..3 Para a Varâca da população Para a costrução de um tervalo de cofaça de ( α) para a varâca da população, lembre da relação vsta o tem 4..3 evolvedo os valores de S e : ( ) S. Coseqüetemete ( ) S Σ ( Y Y) Dvddose ambos os membros por fcamos com ( )S Σ (Y Y) Podemos provar que o prmero membro da gualdade acma pode ser defdo como uma estatístca com dstrbução qu-quadrado com () graus de lberdade χ e sua forma aalítca depederá do úmero de graus de lberdade a amostra. Por exemplo: P ( ) A A L -α s L ode L e L são, respectvamete, os lmtes feror e superor sob a curva da dstrbução que garatem uma probabldade (α) do tervalo coter o valor de, e são trados da tabela de χ para os () graus de lberdade e o especfcado valor de α. χ ( ) A costrução do tervalo de cofaça para será obtda através: Σ (Y Y) α P L < < L P < L Σ (Y Y) < L Σ (Y Y) P L < < Σ (Y L Y) Como (α) é a probabldade de estar o tervalo tervalo de cofaça para a varâca da população. Σ (Y L Y) ; Σ (Y L Y), este será o 0

21 Logo, para a costrução de um tervalo de cofaça para da população pesqusada, especfcamos prmeramete o ível de cofaça com que remos estmálo. Realzada a amostra de tamaho, obtemos o úmero de graus de lberdade e calculamos a méda da amostra e o valor de Σ ( Y Y). Na tabela da dstrbução ququadrado, para os graus de lberdade cosderados, e com o valor de ( α), préfxado, obtemos os lmtes: L através de { χ < L } P ( ) L através de { χ > L } P ( ) α α Estaremos, assm, com uma estmatva por tervalo para a varâca da população,, obtda através dos valores de uma amostra extraída dessa população.

22 Udade 6: Teste da Hpóteses

23 CAPÍTULO I N TR O D UÇÃO Uma afrmatva pode se costtur em falsa ou verdadera. Portato, quado fazemos ferêcas a população através de resultados amostras, tas ferêcas, por estarem fudametadas em prcípos estatístcos, estão sujetas a erros dos mas varados tpos. Assm, quado realzamos uma amostra e calculamos o valor de um determado parâmetro dessa amostra, podemos ser levados a coclusões verídcas sobre a população, motvadas ão pelo processo de estmação, mas sm por cota do acaso que evolve os estudos baseados em amostras aleatóras. Coseqüetemete, como podemos estabelecer uma regra de decsão que os permta coclur sobre a veracdade, ou ão, de uma hpótese levatada sobre a população, com base os resultados de uma amostra? As respostas para essa questão estão cotdas a parte da estatístca dutva que remos agora abordar. CAPÍTULO CONCEITOS BÁSICOS HIPÓTESES Sempre que formularmos um teste estatístco, devemos prmeramete defr o objeto que será o alvo da avalação, sto é, devemos levatar as hpóteses que serão testadas e as respectvas coclusões a que seremos levados quado da acetação/rejeção de cada uma delas. Tas hpóteses devem ser mutuamete exclusvas e exaustvas, ou seja, a acetação de uma hpótese deverá acarretar a rejeção daquela que a ela rá se cotrapor (a alteratva). Para a realzação do teste, partremos sempre da premssa de que uma das hpóteses é verdadera. A esta hpótese chamamos HIPÓTESE NULA (H o ) e a que a ela se cotrapõe deomamos HIPÓTESE ALTERNATIVA (H ). O julgameto de um réu pode servr como exemplo. Defmos, esse caso, as hpóteses como: H o : o réu é ocete, cotra alteratva H : o réu é culpado. O estabelecmeto das hpóteses acma possbltará ao tomador da decsão de julgar o réu, coclur pela veracdade, ou ão, da hpótese cal (ula) de que o réu é ocete. Lembre-se que todo réu é 3

24 ocete até que se prove o cotráro. E R ROS DE ª E ª ESPÉCIES Seja qual for a decsão que possa ser tomada, face ao acaso evolvdo, esta decsão está passível de estar errada. Na verdade, dos tpos de erros podem ser cometdos: a) Erro do tpo I (ª espéce) cosste em rejetarmos H o quado ela for verdadera. b) Erro do tpo II (ª espéce) cosste em acetarmos H o quado ela for falsa. Cotuado com o exemplo do julgameto de um suposto réu, detfcamos dos tpos de erro: TIPO I Rejetar a hpótese de que o réu é ocete e culpá-lo, quado a realdade esta é a hpótese verdadera (ele é ocete); TIPO II Acetar a hpótese de que o réu é ocete, lbertado-o, quado a realdade ele é culpado. Pela caracterzação dos erros acma, otamos que o erro do TIPO I é mas mportate para ser cotrolado. A probabldade de cometermos um erro do TIPO I é desgada por α e é deomada NÍVEL DE SIGNIFICÂNCIA do teste. Ao eveto cotráro, de decdrmos acertadamete acetar H o quado ela for efetvamete verdadera, atrbuímos probabldade gual a (α) deomada NÍVEL DE CONFIANÇA do teste. A probabldade de cometermos um erro do TIPO II é desgada por β e a decsão correta de rejetarmos a hpótese ula quado ela for realmete falsa será gual a (β) e é deomada POTÊNCIA DO TESTE. Resumdo H o DECISÃO Acetar H o Rejetar H o Verdadera P { } Falsa P { } Correta (α) Erro Tpo II β Erro Tpo I α Correta (β) TIP O S D E TESTE S Exste uma fdade de testes estatístcos que podem ser formulados a fm de proporcoar codções para dferetes tomadas de decsão. Serão efatzados este curso apeas algus dos mas mportates testes paramétrcos. Estaremos teressados em especfcar um valor cal para um parâmetro da população, para, após realzada a amostra coclurmos pela veracdade, ou ão, do especfcado valor do parâmetro. Em outras palavras, se estvermos date de um processo de fabrcação de um determado 4

25 compoete, podemos querer saber se este processo de fabrcação está produzdo compoetes de boa qualdade. Uma possível especfcação umérca da referda qualdade podera ser uma percetagem π o de peças perfetas. Assm sedo poderíamos realzar três tpos dferetes de testes a) Teste blateral H o : π π o cotra H : π π o Regão de rejeção Regão de acetação Regão de rejeção A - α A L L π ou b) Teste ulateral feror H o : π π o cotra H : π < π o α Regão de rejeção Regão de acetação - α ou L π c) Teste ulateral superor H o : π π o cotra H : π > π o Regão de acetação Regão de rejeção - α α L π 5

26 CAPÍTULO 3 PRINCIPAIS TESTES 3. TEST E DA MÉDIA As hpóteses a serem testadas para a méda da população serão H o : o H : o (< ou >). A decsão estatístca que adotaremos será baseada em formações coletadas em uma amostra, sedo que o estmador ótmo que permtrá medr as dvergêcas etre as formações da amostra e o verdadero valor do parâmetro a população será a estatístca Y que tem, como se sabe, dstrbução N( ; / ). Partdo da premssa de que a população é fta, dos casos podem acotecer: a) cohecemos a varâca da população; b) ão cohecemos a varâca da população, devedo, portato, estmá-la. 3.. Teste da Méda com Varâca Cohecda Se a estatístca méda da amostra é Normal com méda e varâca Y / ~ N (0,) /, etão: Realzada a amostra podemos calcular o valor de Y e acetado H o como verdadera procedemos à realzação do teste do segute modo: Calculamos o valor de z cal Y o. / O valor acma calculado deve ser cofrotado com o valor de z tab obtdo a tabela da dstrbução N(0;). Esse valor z tab forece uma probabldade gual a α de que z cal seja feror a z tab, ou seja, z - tab separa a dstrbução Normal com área gual a α à esquerda de seu valor e área gual a α à dreta, caso o teste seja ulateral feror, do segute modo: α -α Z~ N (0;) z tab 6

27 Crtéro de decsão: a) teste ulateral feror Se z cal < z tab rejetamos H o ao ível de sgfcâca α. Se z cal > z tab ão rejetamos H o. b) teste ulateral superor Se z cal < z tab ão rejetamos H o. Se z cal > z tab rejetamos H o ao ível de sgfcâca α. c) teste blateral Nesse caso obtemos a tabela os valores para z tab que forecem probabldade α/ à esquerda e α / à dreta da dstrbução de modo que Se z cal ε (z tab ; z tab ) ão rejetamos H o. Se z cal ε/ (z tab ; z tab ) rejetamos H o a um ível de sgfcâca α. Devemos estar atetos que à decsão estatístca deve acompahar sempre a coclusão a que somos levados. Exemplo: A experêca de mutos aos de observação estabeleceu uma méda de 60 das para o tratameto de uma certa doeça com uma dspersão de 3 das. Em um hosptal, que garata possur um tratameto mas efcaz sem alteração da dspersão, fo retrada uma amostra de 00 pacetes portadores dessa doeça, quado se obteve um período médo de cura gual a 50 das.com um rsco de 0% que coclusão podemos trar? º Passo: Formulação do teste Tarefa das mas complexas, a escolha do melhor tpo de teste a ser formulado deve merecer do decsor, especal ateção. A hpótese ula está sempre bem defda: H o : 60 Devemos agora escolher uma das três alteratvas (ulateral feror ou superor, ou blateral). Se fzermos a escolha do teste ulateral feror, a ão rejeção de H o mplca que o hosptal coseguu resultados melhores em fução do acaso, ão se podedo coclur pela efcáca de seu tratameto, dado que a dfereça ão é sgfcatva. Caso rejetamos H o cocluímos, etão, que o tratameto daquele hosptal pode ser feto um período meor, com probabldade de 0% de estarmos errado a coclusão. Coseqüetemete o teste a ser realzado será: H o : 60 H : < 60 7

28 º Passo: Implemetação do teste O estmador ótmo, como fo vsto, é Y com dstrbução N( ; / ). Acetadose H 0 como verdadera ( o 60) a dstrbução será N (60;69/00 ) de modo que Y o / ~ N (0,) Realzada a amostra de tamaho 00 verfcouse uma méda 50, e como 3. z cal , º Passo: Decsão O valor de z tab para α 0% em um teste ulateral feror será gual a,8 coforme o gráfco abaxo: z tab α,8-0 π N (0;) Como o valor calculado da abcssa, z cal 7,69, é meor do que o tabelado (z tab,8) caímos a regão de rejeção de H o, optado etão pela acetação de H, com um rsco de 0%, cocludo que a afrmatva de que o tratameto do referdo hosptal é mas efcaz pode ser verdadera, com um rsco de 0%, baseado essa amostra. Notamos, através do exemplo, que já se coheca o desvo padrão da população, porém a prátca tal fato raramete acotece, sto é, geralmete devemos estmar o desvo padrão da população através de uma amostra. 3.. Teste da Méda com Varâca Descohecda Quado ão cohecemos o valor de devemos estmálo através de S, varâca verdadera da amostra e que pode afetar a dstrbução da estatístca Y. Se a amostra for grade ( > 30) a dstrbução de amostragem de Y será N( ;s /) e: Y o s / ~ N (0,). 8

29 Caso < 30, como já vmos, utlzamos a estatístca Y s /, que terá dstrbução t de STUDENT com () graus de lberdade. Para a realzação do teste, extraímos uma amostra de tamaho e calculamos os valores de Y e S a fm de cofrotarmos o valor de z cal (ou t cal, se a dstrbução for de STUDENT) com o respectvo z tab (ou t tab ). O crtéro de decsão é aálogo ao ateror (quado a varâca era cohecda). Quado o tamaho da população N for pequeo e /N > 0,05 devemos corrgr a varâca pelo fator N de correção para populações ftas, a exemplo do que fazíamos para costrur tervalo de N cofaça para a méda da população. 3. Teste da Proporção Para a realzação de um teste de hpóteses para a proporção de uma população, estaremos testado a hpótese ula H o : π π o cotra uma das três alteratvas: H : π π o ou H : π < π o ou H : π > π o Fo vsto que o estmador ótmo da proporção da população era a estatístca P cuja dstrbução de amostragem era π ( π ) N π ;, de modo que P π ~ N (0,) π ( π ), quado > 30. Realzada a amostra de tamaho calculamos o valor de p e, assumdo H o como verdadera, π π o, teremos P π o z cal π ( π ) o o 9

30 que deverá ser cofrotado com o valor de z tab extraído da tabela da dstrbução N (0;), sedo o crtéro de decsão dêtco aos aterores, ou seja, se z cal car as áreas sombreadas os gráfcos abaxo, rejetamos H o com um rsco α, os dferetes tpos de testes que podemos realzar. Blateral N(0;) A - α A z α/ 0 z α/ Z Ulateral Iferor - α z α 0 Ulateral Superor - α 0 z α Caso a amostra seja cosderada pequea ( < 30 ou p < 0) a dstrbução de amostragem de P será t de STUDENT através t cal π P π o o ( π o ) Também o teste para a proporção, se a população for cosderada pequea, corrgmos a varâca do N estmador pelo fator de correção. N 30

31 3.3 Teste de Varâca Desejamos testar: H o : 0 cotra H : (< ou >) 0 O estmador ótmo que os permtrá medr as dvergêcas etre as formações da amostra e da ( )S população é a estatístca, que tem dstrbução χ (). Realzada a amostra de tamaho, calculamos s valor observado de S e acetado H o como verdadera,, calculamos 0 χ cal ( )s o A tabela da dstrbução ququadrado forece, para o úmero de graus de lberdade e o ível de sgfcâca desejados o valor de χ a fm de delmtar as regões de acetação e rejeção de H o. tab Devemos estar atetos para a compatblzação do valor do ível de sgfcâca os testes blateras que forecerão os lmtes do ququadrado tabelado da segute forma: P A A A formulação e a execução de um teste de varâca são fudametas para procedermos a outros testes estatístcos tas como: gualdade de médas gualdade de proporções gualdade de duas varâcas 3

32 R E SUMINDO Na prátca todo teste estatístco está cosubstacado a determação das regões de acetação e rejeção da hpótese em que será baseado o teste, sto é, H o. Através do estmador do parâmetro que se deseja testar substtuímos os valores das estmatvas para obtermos os lmtes calculados que serão cofrotados com os tabelados. Como amostras dferetes, de mesmo tamaho, extraídas de uma mesma população podem levar a decsões dferetes, as coclusões são tradas levadose em cota o rsco de cometermos algum erro. Gostara de destacar que o mas mportate do teste de hpóteses, o etato, é formularmos de modo lógco o que desejamos testar e para sso devemos ter em mete que tpo de coclusão seremos levados quado da aplcação do crtéro de decsão. Falmete, a aplcação correta do estmador é fudametal para que possamos chegar a um resultado com meor rsco. Quado realzamos um teste e o cohecmeto prévo da população coloca em dúvda o resultado obtdo, dos procedmetos poderão ser executados. a) levatameto de uma ova amostra ou aumeto do tamaho da amostra com que estamos trabalhado; ou b) aumeto (ou dmução) do ível de sgfcâca α para dmurmos (ou aumetarmos) a área relatva à regão de ão rejeção de H o. Não podemos os esquecer que o ferrametal teórco aqu desevolvdo faz parte de um pequeo eleco de strumetos que o pesqusador poderá laçar mão para a execução do seu trabalho. Porém, o bom seso e a capacdade crítca são elemetos fudametas a codução de pesqusas em que a preseça do acaso é sempre um fator a ser cosderado. 3