Revisão/Resumo de Análise Estatística I e Introdução à Tecnologia da Amostragem I

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1 Dscpla: Tecologa da Amostragem I Professor: Marcelo Rubes Revsão/Resumo de Aálse Estatístca I e Itrodução à Tecologa da Amostragem I 1 - Modelos Estatístcos/Probablístcos São modelos que se aplcam quado este claramete a preseça de uma compoete aleatóra ou estocástca o eveto ou feômeo que se deseja modelar. A aleatoredade estará presete em ossos modelos toda vez que ão pudermos determar com eatdão o resultado do eveto que desejamos modelar provocado por cosegute a observação de erros de modelagem. Etre as possíves causas para a preseça desses erros, podemos ctar: mprecsões do strumeto de mesuração ( equpametos, processo de medção, etc...); mprecsão da teora acerca do modelo; preseça de úmeros outros fatores (em geral dspoíves, dfíces de detfcar e mesurar, julgados rrelevates ou de elevado custo/beefíco) que afetam o feômeo em estudo. Apesar de ão observáves pelo modelo, esses erros apresetam, em geral, característcas probablístcas que os permtem estmar e ferr pequeos tervalos ode eles estarão dspersos com elevado ível de cofaça. o processo de aálse e estudo dos erros de modelagem e estmatva de parâmetros do modelo, utlzamos o strumetal da ferêca estatístca: Estatístca: cêca que lda com a orgazação, descrção, aálse e terpretação de dados epermetas sujetos às les do acaso. PROCESSOS DEDUTIVOS PROCESSOS IDUTIVOS OU IFERECIAIS PROCESSO DEDUTIVO AMOSTRA POPULAÇÃO PROCESSO IDUTIVO ESTATÍSTICA IFERECIAL OU IDUTIVA Amostragem e Estmação Estatístca descrtva Cálculo de Probabldades Estatístca Iferecal 1

2 - Amostragem O processo de plaejameto ou de tomada de decsões sob codções de certeza ege o cohecmeto de certas característcas quattatvas ou qualtatvas de uma determada população. Esse cohecmeto pode ser adqurdo através de estudos ou levatametos ode são realzadas medções de característcas quattatvas ou cotages de característcas qualtatvas a partr de todos os elemetos dessa população - levatameto cestáro - ou de uma subcojuto ou amostra dela - levatameto amostral. os levatametos sobre característcas qualtatvas, em geral o alvo das aálses são as proporções ou freqüêcas relatvas de cada característca a população total. Quado o estudo refere-se a característcas quattatvas mesuráves em escala de valores umércas (e.: peso, reda,...), usualmete o teresse repousa sobre uma medda de tedêca cetral dos valores como a méda e uma medda de varabldade ou dspersão como a varâca e o desvo padrão. O cohecmeto de formações atualzadas e precsas é fudametal para um bom plaejameto e tomada de decsões, etretato, levado-se em cosderação que em pratcamete todo tpo de plaejameto este a preseça de certeza e cotgêcas futuras deve-se levar em cosderação uma margem de erro permssível. Em prcípo, a déa que se tem de um levatameto cestáro é que ele é mas precso que um levatameto amostral, etretato a eperêca tem costatado que podem ocorrer erros devdos à: 1) mperfeção dos questoáros; ) treameto da equpe de coleta; 3) coleta de dados; 4) crítca dos dados. Esses erros, cohecdos como erros ão amostras. tedem a ser mas freqüetes quato maor for a população alvo da pesqusa, especalmete os casos em que um ceso evolve meddas ou cocetos mas compleos tato para o etrevstador quato para o etrevstado. Alteratvamete, uma pesqusa por amostra eecutada em cocordâca com certos prcípos estatístcos permte ão só estmar o valor ou a proporção da característca para a população como um todo, como também obter-se uma estmatva válda através de métodos probablístcos do erro de amostragem erete, permtdo ada, um maor cotrole sobre os erros ão amostras. Quado comparado com o levatameto cestáro, além dessas característcas, esse tpo de levatameto apreseta como vatages meores custo e tempo de processameto e é a úca alteratva vável para cotrole de qualdade que evolve testes destrutvos e os casos ode a população é cosderada fta. De um modo geral, o comportameto do erro amostral é oposto ao do erro ão amostral, ou seja, ele dmu a medda que o tamaho da amostra aumeta. Covém ressaltar, que a redução o erro de amostragem é substacal para aumetos cas o tamaho da amostra, porém, após um certo estágo toram-se margas ou desprezíves. Talvez a grade maora das stuações, a soma dos erros amostras e ão amostras de uma pesqusa por amostra é feror aos erros ão amostras de um ceso.

3 .1 - Teora da Amostragem A teora da amostragem é um dos compoetes mportates de um estudo de ferêca estatístca, que cosste a formulação de certos julgametos e coclusões sobre um todo (população) após eamar-se apeas uma parte (amostra) dele, tedo-se por base resultados da estatístca descrtva e do cálculo de probabldades. Desta defção cocluímos que uma ferêca estatístca ege a adoção de um método probablístco ou aleatóro de seleção da amostra. Os processos probablístcos de seleção de uma amostra são mportates porque evtam a trodução de tedêcas os resultados da amostragem. Uma amostra é dta probablístca se a sua seleção é feta de maera que cada elemeto da população tem probabldade cohecda de ser selecoado. A segur resummos os prcpas métodos probablístcos de seleção de amostras: 1) Amostragem aleatóra smples: refere-se a uma amostra selecoada de uma população de tal maera que cada combação dos elemetos da população tem probabldade gual de ser selecoado podedo ser realzada com reposção e sem reposção; ) Amostragem estratfcada: cosste em dvdr a população em grupos (chamados estratos) por um processo deomado estratfcação e de cada grupo selecoar uma amostra aleatóra smples ou outra espéce de amostra aleatóra. A dvsão da população em grupos tem por faldade jutar um mesmo grupo elemetos da população mas homogêeos etre s quato à característca em estudo do que a população como um todo, e de estrato para estrato um comportameto substacalmete dverso; 3) Amostragem por coglomerados: cosste em dvdr a população em grupos e uma amostra de grupos é selecoada aleatoramete para represetar a população. Os grupos servem como udade de amostragem; 4) Amostragem sstemátca: quado os elemetos da população se apresetam ordeados e a retrada dos elemetos da amostra é feta perodcamete, sedo o prmero elemeto sorteado aleatoramete. Trata-se de um tpo de amostragem por coglomerados. Estem também os chamados métodos ão probablístcos de seleção de amostras cuja utlzação ão permte que se coheça a precsão dos resultados obtdos, sedo esta precsão codcoada a suposções ou julgametos que ão podem ser meddos objetvamete. Detre esses métodos ctamos: 1) Amostragem acdetal; ) Amostragem tecoal; 3) Amostragem por quotas.. - Dstrbuções Amostras..1 - Defções e otação Supoha-se uma população fta cosstdo de udades e seja X o valor da varável X para a característca em estudo para a -ésma udade. Também supoha que uma amostra aleatóra smples de tamaho teha sdo etraída desta população, teremos: 3

4 População={X 1, X,..., X } Amostra={ 1,,..., } Como percebe-se, serão usadas letras maúsculas para desgar os valores da população e letras músculas para as observações da amostra. Defe-se como parâmetro de uma população a alguma fução de todas as udades da população (=f(x 1,...,X )). Abao algus parâmetros usuas da estatístca descrtva: Se a característca é mesurável quattatvamete: E( X) X 1 X (méda populacoal) ( X X) 1 VAR( X) E[( X ) ] (varâca populacoal) VAR( X) (desvo padrão populacoal) Se a característca é qualtatva represetado algum atrbuto de uma população, etão a varável dcadora X receberá o valor 1 quado a característca é observada e 0 quado o atrbuto ão é observado. Etão X 1 é o úmero total de elemetos da população que apresetam o atrbuto, e a fórmula da méda represeta a proporção ou freqüêca relatva (P) dos elemetos da população ode a característca é observada a população total: X P 1 Uma fução dos valores de uma amostra probablístca f( 1,,..., ) é deomada de uma estatístca. Eemplo: 1 (méda amostral) Um estmador é uma estatístca obtda por um procedmeto específco para estmar um parâmetro da população. Como eemplo podemos utlzar a méda amostral para estmar a méda populacoal. Como a amostra utlzada é aleatóra, etão um estmador será uma varável aleatóra, já que seu valor dfere de amostra para amostra. Estmatva é um valor partcular que o estmador assume para uma dada amostra. Um estmador de um parâmetro ( ˆ f (1,..., ) ) é dto ão tedecoso se o seu valor esperado é gual ao referdo parâmetro da população, ou seja, E(ˆ ). Pode-se calcular também a varâca e o desvo padrão do estmador: ˆ VAR(ˆ) E[(ˆ ) ] (varâca ou precsão do estmador) ˆ ˆ VAR(ˆ) ˆ (desvo padrão ou erro padrão do estmador) 4

5 .. - Estmadores Amostras ão Tedecosos 1) Estmador ão tedecoso para a méda populacoal ( ): 1 ˆ, portato, E( )=, (obs.: o chapéu sobre o dca seu estmador) e alem dsso, se a amostra for aleatóra smples (AAS) com reposção: VAR( ), e se a amostra for aleatóra smples (AAS) sem reposção: VAR() 1 Obs.: essa varâca dfere da ateror pelo fator de correção para populações ftas, que tede à udade quado a população () tede para o fto, e 1 portato, quado a população é sufcetemete grade podemos cosderar o resultado da varâca da méda amostral gual ao resultado obtdo para amostragem com reposção. Por sso de agora em date somete cosderaremos esse tpo de amostragem aleatóra. ) Estmador ão tedecoso para a varâca populacoal ( ): ( ) ˆ 1 s 1, portato, E( s )=..3 - Dstrbuções de Probabldade dos Estmadores Amostras ão Tedecosos Para amostras sufcetemete grades (geralmete de tamaho maor que 50 de acordo com a Le dos Grades úmeros) podemos cosderar que o Teorema do Lmte Cetral é váldo, portato: a) a dstrbução de probabldade da méda amostral será ormal: ~ ormal( ; / ) ~ ormal (0,1) b) Decorrete do teorema ( da apostla de prob.) pode-se demostrar: ( 1)s ~ 1 c) Decorrete do resultado ateror e do teorema (1.14. da apostla de prob.) pode-se demostrar: ~ t 1 s 5

6 d) Dstrbução amostral da proporção: uma amostra de tamaho ( 1,,..., ) de uma varável dcadora X a soma amostral 1 y tem dstrbução bomal com méda E(y)=P e varâca VAR(y)=PQ, ode Q=1-P. Portato o estmador da proporção populacoal Pˆ p terá dstrbução também bomal com méda E(p)=P e varâca 1 VAR(p)=PQ/. Para sufcetemete grade, a dstrbução amostral da proporção p será: p ~ ormal(p; PQ / ) 3 - Resumo sobre Teora da Estmação Métodos de Estmação Potual a ferêca estatístca clássca, em geral, temos um modelo probablístco que supõe-se gerador dos valores de característcas mesuráves de uma população. Esses modelos probablístcos são geralmete formulados em termos de parâmetros que os caracterzam (Eemplo: a dstrbução ormal é formulada em termos dos parâmetros e ). a prátca, devdo a mpossbldade de se avalar todos os elemetos de uma população, decorrete das lmtações de custo e de tempo, os parâmetros dos modelos probablístcos são descohecdos, restado somete a possbldade de estmá-los com base em subcojutos, ou amostra, da população. Podemos admtr dos tpos báscos de estmação: estmação potual e estmação tervalar. a estmação potual, dado um estmador (fução dos valores da amostra) ecotramos um valor (uma estmatva) que se acredta estar próma do verdadero valor umérco do parâmetro. Algus crtéros aulam a seleção dos estmadores potuas, sedo eles: Seja o estmador ˆ g(,..., ) para o parâmetro Tedêca ou víco (VIÉS): É quato o estmador dfere em méda do verdadero parâmetro populacoal: VIÉS( ˆ ) = E [( ˆ ) - ] Covecoa-se que um bom estmador deva ter tedêca ula, ou, pelo meos asstotcamete ulo VIÉS ˆ 0, lm VIÉS ˆ 0 6

7 . Cosstêca ˆ (X 1,...,X ) é cosstete se lm ˆ 0, 0. Ou seja ˆ coverge em probabldade para Quado um estmador cosstete é ão tedecoso também, etão este caso, mostra-se que lm VAR 0 ˆ Estes estmadores são chamados de estmadores coeretes (Meyer). 3. Efcêca Dados dos estmadores ˆ 1 e ˆ para um parâmetro, etão ˆ 1 será mas efcete que ˆ se: VAR( ˆ 1 ) < VAR( ˆ ) 4. Erro Quadrátco Médo EQM teo. ˆ Eˆ VARˆ VIÉS ˆ Sob esse crtéro, o melhor estmador é aquele que possu o meor EQM. Referêcas Bblográfcas: Meyer, P.L., Probabldade: Aplcações à Estatístca, a. Ed., 1983 Costa eto, P. L. O., Estatístca, 1977 Larso, H. J., Itroducto to Probablty Theory ad Statstcal Iferece, 3ª Ed. Hoffma, R., Estatístca para Ecoomstas, 3 ª Ed. da Slva, E. M., da Slva, E.M., Goçalves, V., Murolo, A. C., Estatístca para os Cursos de Ecooma, Admstração e Cêcas Cotábes, vol., a.ed.,