Determinação de correspondência com precisão sub-pixel por interpolação polinomial 1

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1 Determação de correspodêca com precsão sub-pel por terpolação polomal BAZAN, W S; TOMMASELLI, A M G; GALO, M Determação de correspodêca com precsão subpel por terpolação polomal I: COBRAC 4 - Cogresso Braslero de Cadastro Técco Multfaltáro, 4, Floraópols Floraópols : Uversdade Federal de Sata Catara, 4 v p -6

2 Determação de correspodêca com precsão sub-pel por terpolação polomal Wmerso Saches Baza Prof Dr Atoo Mara Garca Tommasell Prof Dr Maurco Galo UNESP - Depto de Cartografa CEP 96-9 Presdete Prudete SP {tomasel, galo}@prudeteuespbr Bolssta CNPq/PIBIC, Graduado do curso de Eg Cartográfca wmersobaza@bolcombr Resumo: O processo de detfcação de áreas homólogas em dferetes mages pode ser realzado automatcamete a partr de mages dgtas, as quas oferecem grades possbldades de automatzação de algus processos fotogramétrcos A determação da correspodêca etre feções potuas pode ser realzada com qualdade pel ou subpel Uma possbldade de realzação do refameto com qualdade subpel é através do ajustameto, pelo Método dos Mímos Quadrados (MMQ), de uma superfíce em toro do poto de mámo ou mímo da matrz de correlação, depededo da fução de correlação utlzada a determação da correspodêca etre as mages A partr da determação dos coefcetes desta superfíce, o poto de maor smlardade pode etão ser estmado com qualdade subpel Neste trabalho serão apresetados os detalhes da metodologa empregada para a determação da posção com precsão subpel, bem como resultados obtdos com mages reas Palavras chaves: Correlação de mages dgtas, correspodêca com eatdão subpel, ajustameto polomal, ajustameto de superfíce Abstract: The process of detfcato of homologous areas dfferet mages ca be accomplshed automatcall whe dgtal mages are used, havg great mpact some photogrammetrc process The determato of features correspodece ca be performed wth pel or subpel accurac, usg dfferet methods Oe of these methods s based o the adjustmet b LSM Least Square Method, of a surface aroud of the mamum or mmum of a correlato matr, depedg o the fucto used to compute the correlatos Sce the coeffcets of ths surface are avalable, the most smlar posto, e, the crtcal pot, ca be computed wth subpel accurac I ths work, some detals of ths approach are show ad also some results obtaed wth real mages are preseted Kewords: Image matchg, correspodece wth sub-pel accurac, polomal fttg, surface fttg Itrodução e objetvos O processo de detfcação de áreas homólogas, ou de determação de correspodêca de feções, em dferetes mages, pode ser realzado maualmete em uma estação de trabalho (ANDRADE, 998) Etretato, o uso de mages dgtas oferece grades possbldades de automatzação deste processo A determação da correspodêca, de modo automátco, é um dos problemas mas mportates para a automação de algus processos Fotogramétrcos A possbldade de automação deste procedmeto tem refleos dretos em tarefas como: oretação relatva, fototragulação automátca, geração automátca de Modelos Dgtas de Terreo e a resttução sem-automátca, a qual o poscoameto da marca flutuate sobre o terreo pode ser feta por correlação, sob a supervsão do operador O prcípo da determação da correspodêca etre duas mages, cosste a detfcação de áreas equvaletes em mages dferetes, medate o deslocameto de uma sub-magem de referêca sobre

3 uma sub-magem de busca Para cada combação destas sub-mages, calcula-se um valor forecdo por uma fução de correlação, detre as quas pode-se ctar: fução quocete, fução erro, fução erro quadrátco e fução coefcete de correlação que, de acordo com um crtéro estabelecdo, permtem determar as jaelas que apresetam maor smlardade (STRAUCH, 99) Ao se cosderar a utlzação da fução erro, por eemplo, obtém-se para cada combação de jaelas, um resultado umérco que rá compor uma matrz de valores de erro ode o meor valor dessa matrz, dca o poto homólogo da jaela de pesqusa mas smlar à sub-magem de referêca Esse poto homólogo pode ser poscoado com relação ao sstema de coordeadas da matrz de busca e essa posção (, ) represeta a localzação do poto homólogo com precsão ao ível de pel, sedo possível a obteção dessa posção com precsão subpel Uma possbldade para esta determação com qualdade subpel é usar o procedmeto de matchg por mímos quadrados, apresetado em Agours et al (99) e Grü (996), ode o modelo matemátco cotém tato parâmetros de atureza geométrca quato radométrca Uma outra possbldade é obter a posção de maor smlardade a matrz de correlação pelo ajuste de uma superfíce em toro desta posção e determar o poto crítco com qualdade subpel, obtedo-se assm uma ova estmatva do poto homólogo Partdo desta possbldade, objetva-se, este trabalho, apresetar a metodologa, bem como os procedmetos requerdos o processo da determação da correspodêca com precsão ao ível de subpel, partdo da matrz dos valores de correlação, mas especfcamete os valores resultates da fução erro Serão apresetados algus epermetos com mages reas, ode é feta uma aálse da qualdade Relevâca da determação da correspodêca com precsão subpel No processo de determação da correspodêca etre mages, para que sejam alcaçados resultados comparáves com os strumetos utlzados a fotogrametra aalítca (moocomparadores, estereocomparadores e resttudores aalítcos), é ecessáro determar as posções dos potos homólogos com precsão subpel Tomado-se como eemplo o caso de uma marca fducal, quato meor for o tamaho do pel, maor será a precsão a determação de seu cetro, pos o úmero de pels que fará parte do agrupameto crcular cetral, que defe a marca, será maor Schek (999) apreseta um eemplo, dscutdo a seqüêca, que permte perceber a mportâca de meddas com qualdade subpel, sedo mostrados os efetos da amostragem e do uso de lmares para fazer a barzação Icalmete deve-se cosderar que uma marca fducal de formato quadrado, com tamaho de 6 µm, é dealmete mageada o flme Supodo que o flme passe por um processo de dgtalzação com resolução de µm, e a marca fducal ão se alhe eatamete com o cojuto de pels, tem-se a stuação dcada a Fgura (a) Cada um dos pels recebe uma quatdade de eerga e estes são preechdos com algum tom de cza (SCHENK, 999) Os úmeros a Fgura (b) epressam a área coberta pela marca fducal em cada pel Pode-se observar que aos quatro pels do cetro foram atrbuídos valores dez, o que sgfca que o pel recebeu % de eerga, e o pel o cato feror esquerdo da magem recebe apeas 8% da eerga do pels cetral, sedo atrbuído um valor de 8 Após a escolha de um lmar para fazer a barzação, o resultado é o mostrado a Fgura (c)

4 (a) (b) (c) BazaTGf - (a) Marca fducal orgal; (b) Tos de cza atrbuídos aos pels em fução da área coberta pela marca fducal; (c) Marca fducal dgtalzada e barzada; Fote: Schek, 999 Pode-se otar que a magem bára resultate da marca fducal dfere da orgal tato em tamaho quato em forma, além de dferr também em localzação, permtdo coclur que tas procedmetos causam deslocameto da marca fducal Dversas são as abordages que podem ser usadas para a determação do cetro da marca fducal Detre elas, pode-se cosderar a determação do cetróde e também o estabelecmeto da correspodêca etre uma magem deal da marca fducal (usada como modelo), que será correlacoada com a magem bára, usado uma das fuções de correlação estetes como, por eemplo, a fução erro, ou outra qualquer A posção desta marca fducal pode ser obtda com precsão de um pel a partr de tal correspodêca Para a determação com precsão sub-pel, o procedmeto apresetado as seções segutes, pode ser aplcado 3 Determação da correspodêca com precsão sub-pel A metodologa descrta e mplemetada para a determação da correspodêca com eatdão sub-pel é descrta esta seção Icalmete deve ser obtda a matrz de correlação usado a fução erro Uma vez que esta matrz é crada, deve-se fazer a busca do poto de mímo e fazer a etração de uma submatrz quadrada, a qual cotém o valor mímo em seu cetro Usado os valores de correlação desta matrz como dados, é feto o ajuste de uma superfíce quadrátca cujos parâmetros podem ser determados através do Método dos Mímos Quadrados (MMQ) A partr dos parâmetros desta superfíce pode-se obter aaltcamete o ovo poto de mímo A dfereça é que esta ova posção é obtda com precsão subpel 3 Determação da matrz de correlação usado a fução erro Supodo que se têm duas mages e que se pretede obter a magem da dreta, por eemplo, o poto homólogo a um dado poto a magem esquerda, algumas etapas devem ser segudas Icalmete deve-se selecoar uma sub-magem a magem esquerda que coteha o alvo de teresse Posterormete deve ser defda a magem da dreta uma sub-magem de busca (ou pesqusa), o qual se supõe que o alvo homólogo esteja presete Assume-se portato que estas sub-mages teham as segutes dmesões: - Lr Cr - Número de lhas e coluas da sub-magem de referêca; - Lp Cp - Número de lhas e coluas da sub-magem de pesqusa A partr destas dmesões pode-se determar a matrz de correlação, fazedo toda as combações possíves, assumdo que Lp Lr e Cp Cr Deste modo, o úmero de combações será gual ao produto (Lp-Lr+)( Cp-Cr+), sedo a dmesão da matrz de correlação gual a Lc Cc ode Lc=Lp-Lr+ e Cc=Cp-Cr+ Defdas estas dmesões, a matrz de correlação poderá ser motada, usado dferetes fuções, como,

5 por eemplo, as apresetadas em Yars (974) Na seqüêca é mostrada a fução erro: ode: e e d d D(, ) = ge (, ) gd( +, + ), () LcCc D - resposta da fução erro, ode a verdade é cosderado o erro absoluto; (, ) - deslocametos da matrz de referêca sobre a matrz de pesqusa, ou seja, ={,,, Cc-} e ={,,, Lc-}; g e ( e, e ) - tom de cza do pel ( e, e ) da sub-magem de referêca; g d ( d +, d + ) - tom de cza do pel ( d +, d + ) da sub-magem de pesqusa O crtéro a ser usado o caso desta fução é que D(, ) assuma valor mímo Esta fução ão apreseta problemas o caso das fuções aalsadas serem mootôcas No etato, ela é sesível a pequeas varações de ampltude etre as fuções de tos de cza aalsadas 3 Determação da posção com precsão subpel A partr do procedmeto descrto a seção ateror tem-se a matrz de correlação, usado a fução erro A partr desta matrz pode-se selecoar uma jaela com dmesão, sedo 3, que deve coter o poto com meor valor de erro em seu cetro Esta jaela deve ser recortada e pode ser utlzada para ajustar uma superfíce quadrátca, cujos parâmetros podem ser determados através do MMQA superfíce a ser ajustada, é dada pela Equação, ode D =,,, são os valores resultates da aplcação da Equação : D = a + b + c + d + e + f v () Cosderado que os 6 coefcetes (a, b, c, d, e, f) sejam cohecdos, por um processo de ajustameto, e que o poto procurado é um poto crítco, pode-se escrever o segute sstema de equações: Deste modo, a solução do sstema lear em e é dada por D = a + c + d = (3) D = b + c + e = bd + ce = 4ab c, (4) cd ae = 4ab c sedo esta justamete a posção do poto procurado, com qualdade subpel 33 Determação dos coefcetes da superfíce A determação dos coefcetes (a, b,, f) possblta a obteção da localzação com precsão subpel, como vsto a seção ateror Para a determação dos coefcetes desta superfíce, pode-se aplcar o método paramétrco ou método das observações dretas, cosderado como observações os valores presetes a matrz de erros a vzhaça do poto de mímo O modelo matemátco usado o ajustameto é a Equação, que é lear em relação aos parâmetros, podedo ser descrta como um modelo do tpo La = F( a ), ode L a represeta o vetor das observações ajustadas, de dmesão ; a é o vetor dos parâmetros ajustados a = [ a b c d e f] T, de dmesão 6 e F o modelo matemátco utlzado (Equação ) Assumdo que as observações possuem a mesma qualdade (P=I) e aplcado o crtéro de que a soma

6 dos quadrados dos resíduos seja míma, como pode ser vsto em Gemael (994) e Camargo (3), o vetor dos parâmetros ajustados pode ser obtdo por ( ) b T t a L A A A = (5) ode A é a matrz das dervadas parcas do modelo matemátco em fução dos parâmetros: = A, (6) e L b é formado por = b D D D L M, (7) sedo os valores de D obtdos a partr da Equação Obtdos os parâmetros ajustados, a matrz varâca-covarâca MVC destes parâmetros poderá ser estmada por a N ˆ = σ () ode a varâca de udade de peso a posteror pode ver calculada por gl V V ˆ T = σ (9) e o úmero de graus de lberdade gl, é dado por gl= -6 A partr do mometo que os coefcetes da superfíce são obtdos, as coordeadas procuradas podem ser calculadas pela Equação 4 A obteção da MVC destas coordeadas pode ser realzada pela propagação das covarâcas, através do modelo T a J J ), ( Σ Σ = () ode J é a matrz Jacobaa, obtda por = e d c b a e d c b a J Após a determação das dervadas parcas, a matrz J é motada:

7 8b d 4bce 8abd 4ace d e (bcd c e) b c (4ab c ) (4ab c ) 4ab c 4ab c (4ab c ) c 4ab 4ab c J = () 4bcd 8bae e 4acd 8a e c d 4ace d c a + (4ab c ) 4ab c (4ab c ) (4ab c ) 4ab c 4ab c 4ab c podedo a propagação ser efetuada pela Equação 4 Epermetos e aálse Os modelos apresetados foram mplemetados em Lguagem C ANSI, possbltado a realzação de epermetos e aálses Para a realzação dos epermetos foram usados segmetos de mages reas, em duas stuações dferetes: sem e com a preseça de varações radométrcas, tedo sdo aalsado o efeto do tamaho da jaela etraída da matrz de erros e usada o ajustameto da superfíce A magem de referêca é um recorte da magem de busca, o que devera garatr a perfeta correspodêca etre as mages No epermeto, a magem de referêca sofreu uma mudaça radométrca aleatóra, o que deve alterar a resposta da fução erro Em ambos os epermetos foram realzados três processametos: No epermeto : Utlzou-se um recorte de 33 observações da matrz dos valores de erro, em toro do mímo, para o prmero processameto; o segudo processameto fo realzado com um recorte de 55, e o tercero com o recorte mámo possível de 99; No epermeto : Fo realzado um prmero processameto com um recorte de 33, um segudo processameto com um recorte de 55, e um tercero com o recorte mámo possível de 77 4 Epermeto usado sub-mages sem dfereças radométrcas e geométrcas e sem ruído Neste epermeto fo eecutado o aplcatvo desevolvdo, sedo utlzadas as mages mostradas a Fgura (a) (b) BazaTGf Images de referêca (a) e pesqusa (b), sem dfereças radométrcas e geométrcas As fguras 3, 4 e 5 a segur,são referetes aos processametos utlzado recortes de observações com dmesão 33, 55 e 99 em toro do mímo, e permtem vsualzar lado a lado as superfíces geradas a partr dos valores dscretos forecdos pela fução erro, em fução da posção e de cada observação, e as geradas a partr de um ajuste de uma superfíce polomal É mportate saletar que, as mplemetações realzadas adotam o referecal colua-lha, ode as compoetes referem-se às coluas e são postvas, ao passo que as coordeadas são egatvas, porque o setdo adotado para o eo fo para cma

8 Superfíce gerada a partr dos valores de erro em toro do valor mímo Superfíce a forma f(,) gerada a partr dos parâmetros ajustados (Dados ldos em arquvo) Z(erro) f(,) Y - (a) (b) BazaTGf3 Superfíces de terpolação para uma jaela 33 (a) Matrz dos valores de erro e; (b) superfíce terpoladora Superfíce gerada a partr dos valores de erro em toro do valor mímo (Dados ldos em arquvo) Z(erro) Superfíce a forma f(,) gerada a partr dos parâmetros ajustados f(,) Y - - (a) (b) BazaTGf4 Superfíces de terpolação para uma jaela 55 (a) Matrz dos valores de erro e; (b) superfíce terpoladora Superfíce gerada a partr dos valores de erro em toro do valor mímo (Dados ldos em arquvo) Z(erro) Superfíce a forma f(,) gerada a partr dos parâmetros ajustados f(,) Y (a) (b) BazaTGf5 Superfíces de terpolação para uma jaela 99 (a) Matrz dos valores de erro e; (b) superfíce terpoladora

9 Tabela Processameto com mages sem varação radométrca para dferetes dmesões de jaela para o ajuste polomal ao ível de pel σ σ subpel subpel subpel (pel),,9,,,5,55 (pel) - -,8,3 -,,5-9,7,69 σ σˆ,677 3,368 6,47 Como se pode observar a Tabela, um recorte de 33 em toro do mímo, permtu um ajustameto de uma superfíce polomal de maera a proporcoar uma localzação subpel sufcetemete próma da posção ao ível de pel, que pode ser cosderada como referêca,uma vez que a matrz de referêca fo etraída da magem de busca Neste caso, os desvos padrão as coordeadas e, foram os meores, se comparados com as localzações obtdas para o ajustameto com recortes de 55 e 99, respectvamete Tal fato se cofrma ao se aalsar o desvo padrão a posteror ( ˆ σ ), observado-se que este valor aumeta à medda que se aumeta o úmero de observações o processo, dcado um resíduo maor etre as observações e a superfíce ajustada Resumdo, este caso, o melhor cojuto de dados fo o da jaela 33 Verfca-se, ada, que os desvos padrão em foram maores se comparados com os obtdos em, devdo à característca da jaela de referêca (Fgura a) que apreseta bordas a dreção, gerado uma ambgüdade este setdo, quato ao processo de correspodêca etre as duas mages 4 Epermeto usado sub-mages com dfereças radométrcas Neste epermeto fo ovamete usado o aplcatvo desevolvdo, sedo utlzadas as mages mostradas a Fgura Neste caso, a magem (a) correspode à da fgura (a), mas com alterações a radometra (a) (b) BazaTGf6 Images de referêca (a) e pesqusa (b), com dfereças radométrcas Segudo a mesma seqüêca de processametos realzados o epermeto, são apresetadas as fguras 7, 8 e 9, referetes aos processametos utlzado recortes de observações com dmesão 33, 55 e 77, em toro do erro mímo Estas fguras permtem vsualzar lado a lado as superfíces geradas a partr dos valores dscretos forecdos pela fução erro, em fução da posção e de cada observação, e aquelas geradas a partr de um ajuste de uma superfíce polomal

10 Superfíce gerada a partr dos valores de erro em toro do valor mímo (Dados ldos em arquvo) Z(erro) Superfíce a forma f(,) gerada a partr dos parâmetros ajustados f(,) Y - (a) (b) BazaTGf 7 Superfíces de terpolação para uma jaela 33 (a) Matrz dos valores de erro e; (b) superfíce terpoladora Superfíce gerada a partr dos valores de erro em toro do valor mímo (Dados ldos em arquvo) Z(erro) Superfíce a forma f(,) gerada a partr dos parâmetros ajustados f(,) Y (a) (b) BazaTGf8 Superfíces de terpolação para uma jaela 55 (a) Matrz dos valores de erro e; (b) superfíce terpoladora Superfíce gerada a partr dos valores de erro em toro do valor mímo (Dados ldos em arquvo) Z(erro) Superfíce a forma f(,) gerada a partr dos parâmetros ajustados f(,) Y (a) ` (b) BazaTGf9 Superfíces de terpolação para uma jaela 77 (a) Matrz dos valores de erro e; (b) superfíce terpoladora

11 Tabela Processameto com mages com dfereças radométrcas para dferetes dmesões de jaela para o ajuste polomal ao ível de pel σ σ subpel subpel subpel σ,98,7,,73,59,66-9,36,6-7,94, -7,8,37 σˆ,58,,497 A Tabela referete ao epermeto, permte verfcar que recortes de 33 ou 55 seram os mas coveetes, percebedo-se que, para um recorte de 33, o desvo padrão a posteror ( ˆ σ ) é meor Isto sgfca que a superfíce melhor se ajustou a este cojuto de dados Os desvos padrão estmados foram smlares em ambos os casos, varado em cetésmos do tamaho do pel, o que é rrelevate este tpo de processo De modo aálogo ao epermeto, verfca-se que os desvos padrão em, foram maores em relação a, devdo às característcas da jaela de referêca (Fgura a) 4 Coclusão Os procedmetos mostrados este trabalho permtram verfcar que os processos de correlação de mages podem ser efetuados de maera que a melhor correspodêca etre uma jaela de referêca e uma das jaelas caddatas da matrz de busca seja determada com precsão subpel Pode-se, ada, estmar a MVC dessas coordeadas, pela propagação de covarâcas a partr da MVC dos coefcetes da superfíce ajustados pelo método paramétrco A aálse sobre o úmero de observações a serem usadas o ajuste da superfíce mostrou que, para o caso estudado, basta uma jaela de 33 e que o aumeto desta jaela ão melhora sgfcatvamete a solução Para melhorar a solução sugere-se: Utlzar outras fuções de correlação mas cofáves, como a fução de covarâca cruzada modfcada; Estudar o tamaho da jaela para o ajuste da superfíce para város tpos de magem; Comparar com outros métodos de determação de correspodêca com precsão sub-pel, como o matchg por mímos quadrados 5 Agradecmetos Os autores agradecem ao programa PIBIC-Uesp/CNPq pela cocessão de bolsa de Icação Cetífca 6 Referêcas Bblográfcas Agours, P; Schek, T Multple Image Matchg I: Iteratoal Archves of Photogrammetr ad Remote Sesg Washgto: ISPRS, 99 v I, Part B3, Commsso III p 87 Adrade, J B Fotogrametra Curtba, 998, 58p Camargo, PO Ajustameto de Observações Presdete Prudete, 3 Notas de aulas do Curso de Graduação em Egehara Cartográfca - FCT/UNESP Costa, E R Predção de erros o processo de correlação de mages Aas do IV Fórum d Cêcas da FCT Presdete Prudete, 3, p 9-36 Gemael, C, Itrodução ao Ajustameto de Observação: aplcações geodéscas ª ed Curtba: Ed UPFR, 994

12 Grü, A Least square matchg: a fudametal measuremet algorthm ATKINSON, K B (Ed) Close Rage Photogrammetr ad Mache Vso Brstol: Whttle Publshg, 996 Chap 8, p 7-55 Schek, T Dgtal Photogrammetr Terra Scece, 999, 48p Strauch, J C M Correlação de Images Dgtas p Dssertação (Mestrado em Cêcas Geodéscas) - Curso de Pós-Graduação em Cêcas Geodéscas, Uversdade Federal do Paraá, Curtba, 99 Yars, Y Improvemets to the off-le eppolar correlato Tese de Doutorado; UNB, Caadá, 974