MATEMÁTICA MÓDULO 8 COMPLEXOS NA FORMA TRIGONOMÉTRICA 1. FORMA TRIGONOMÉTRICA DE COMPLEXOS PROBIZU

Transcrição

1 COMPLEXOS NA FORMA TRIGONOMÉTRICA. FORMA TRIGONOMÉTRICA DE COMPLEXOS Seja z = (a, b) = a + b r a b módulo do complexo z. a b cos = ; sen = a rcos e b = rsen r r z r (cos sen ) r cs. Com [0, ], é o argumento prncpal. Isto é, a forma trgonométrca do número complexo z é: z = r (cosθ +. senθ), que se abreva z = rcsθ. PROBIZU Se b = 0, z é um número real. Se b 0 e a = 0, z é um magnáro puro.. MULTIPLICAÇÃO DE COMPLEXOS NA FORMA TRIGONOMÉTRICA Consdere dos complexos de módulos r e r com argumentações e. r.cs. r.cs r cos sen.r cos sen

2 r r cos cos sen sen cos sen sen cos r r cos cos sen sen cos sen sen cos r r cos sen CONCLUSÃO: Multplcam-se os módulos e somam-se os argumentos. r.cs. r.cs r r.cs 3. CONJUGADO NA FORMA TRIGONOMÉTRICA Seja z r cs r (cos sen ), o conjugado de z, na forma trgonométrca, é z r (cos sen ) r (cos( ) sen( )) r cs( ). 4. DIVISÃO NA FORMA TRIGONOMÉTRICA Sejam z r.cs e z r.cs com z 0. z z.z r.cs r r cs r cs z z.z r r cs r cs0 r CONCLUSÃO: Dvdem-se os módulos e subtraem-se os argumentos. r.csq r.csq r.cs r 5. PRIMEIRA FÓRMULA DE MOIVRE Consderemos o complexo z r (cos sen ) r cs e seja dado o número natural n, temos: n n n z r (cosnsenn ) r csn

3 EXEMPLO: z = 3 => z = [cos (/6) +.sen (/6)] z 4 = 4 [cos (4/6) +.sen (4/6)] = 6[cos (/3) +.sen (/3)] = 6[-/ + 3 /] = SEGUNDA FÓRMULA DE MOIVRE Nos Números reas sabemos que 4 6 =. No corpo dos números complexos temos que 4 = 6; ( ) 4 = 6, () 4 = 6; ( ) 4 = 6. Então o número 6 em C tem 4 raízes quartas. Dados complexo z r (cos sen ) r cs e o número natural n (n ), então exstem n raízes enésmas de z que são da forma: k k n n n n n n wk z r. cos.sen com k varando de 0 até n- Como n r é constante e os argumentos dferem de /n (para valores consecutvos de n), conclu-se que as magens das n raízes de um número complexo são vértces de um polígono regular de n lados, nscrto numa crcunferênca de centro na orgem e rao n r, tendo uma das raízes o argumento /n. EXEMPLO: Determnar as raízes cúbcas de z = 8 z = 8 0 = 8 cos = sen = 0 => = 0 z = 8(cos 0 +.sen 0) 0 k 0 k k k wk 8 cos.sen cos.sen O número k deve varar entre 0 e k = 0 => w 0 = (cos 0 +.sen 0) = ( + 0) = 3

4 k = => w = (cos /3 +.sen /3) = ( / + 3 /3) = + 3 k = => w = (cos 4/3 +.sen 4/3) = ( / 3 /) = 3 7. RAÍZES ENÉSIMAS DA UNIDADE As raízes da equação z n = 0 são chamadas as raízes da undade. As raízes da undade são: k k k cos sen, k {0,,,...,n-}. n n 4

5 EXERCÍCIOS DE COMBATE. Dados z =.cs50 e w = 3.cs40, calcule: a) zw b) w 3 c) 6 z. (UFRJ-89) Dados os números complexos a =.(cos 30 o +.sen 30 o ) e b = 3.(cos +.sen ), determne o menor valor postvo de, de modo que o produto a.b seja um número real. 3. Determne a forma trgonométrca do número complexo dado: a) z = + b) z = + 3 c) z = - + d) z = e) z = (UFRJ 005) Um jantar secreto é marcado para a hora em que as extremdades dos ponteros do relógo forem representadas pelos números complexos z e w a segur: z cos sen, w z, sendo um número real fxo, 0 <<. exo magnáro exo real Determne a hora do jantar. 5

6 5. (EFOMM-00) Escrevendo-se na forma trgonométrca o complexo a) 3 cos sen 6 6 b) c) d) e) cos sen cos sen cos sen cos sen 3 3 z 3 3, encontra-se: 6. (AFA-99) A representação trgonométrca do conjugado do número complexo z = ( + 3 ) 5, sendo a undade magnára e k Z, é: a) 3cos (/3 + k) 3sen (/3 + k). b) 3cos (5/4 + 0k) 3sen (5/4 + 0k). c) 3cos (5/6 + 0k) 3sen (5/6 + 0k). d) 3cos (5/3 + 0k) 3sen (5/3 + 0k). 7. (IME) Consdere os números complexos z = sen cos e z = cos-sen, onde é um número real. Mostre que, se z = z z, então -R z e -l z, onde R I m (z) ndcam, respectvamente, as partes real e magnára de Z. e m e z e 8. (FUVEST) Seja z um número complexo de módulo e argumento prncpal 0. O conjugado de z é: a) - 3 b) + 3 c) 3 d) + 3 e) + 3 6

7 9. (IME)Seja z um número complexo onde e são, respectvamente, o módulo e o argumento de z e e é a undade magnára. Sabe-se que representação de z no plano complexo é a cos, onde a é uma constante real postva. A 0. (EEAr-008) Dado x, para que o número z xx seja real, o valor de x pode ser a) 4. b) 0. c). d).. (EFOMM 0) A solução da equação z z 3 é um número complexo de módulo: 5 a) 4 b) 5 c) 5 d) e) 5 5. Sendo w um número complexo e z (cos0 sen0 ) a sua raz otava de menor argumento, a soma dos argumentos prncpas de todas as raízes otavas de w é: a) 56 b) 600 c) 80 d) 340 e) (AFA 04)- Consdere os números complexos z x, z y e e as relações: * I. Rez z Imz z II. z3z4 5 7, z3 e z4 x y em que x,

8 O menor argumento de todos os complexos z 4 que satsfazem, smultaneamente, as relações I e II é a) 6 b) 0 c) d) 3 4. (IME 0) As raízes cúbcas da undade, no conjunto dos números complexos, são representadas por, w e w, onde w é um número complexo. O ntervalo que contém o valor de w 6 é: a), 30 b) 30, 0 c).. d) 0,30 e) 30, 5. Os números complexos z e w têm argumentos que varam de 0 a radanos e satsfazem as relações w z ; z z ; z z e 5 arg z arg w. Calcule Imz ew Os pontos que representam os números complexos z e z encontram-se sobre uma crcunferênca no plano complexo, cujo centro é o ponto assocado ao número complexo e o rao é. A parte real de z z é 0 e o argumento de z é. O valor de z é: 6 a) b) c) d) e)

9 z n cos45 sen45 7. (ITA 0) Seja e tal que n é real. Então, z w é gual a w n cos5 sen5, em que n é o menor ntero postvo a) 3. b) 3. c). d). e) (IME 0) Sejam z 0 6 e z 4 6, onde é a undade magnára, e z um número complexo tal que z z arg z z 4, determne o módulo do número complexo z 7 9. OBS.: argw é o argumento do número complexo w. 9. (IME) Sabendo que x x x x.cos x, mostre que é real a segunte expressão, e a calcule, em função de θ: 0. (ITA) O número complexo z a segur possu argumento gual a 45. Determne o valor de a. cosa cosa sena z. ; a 0. sena.cosa sena. (ITA) Sendo.cs 0 uma raz quíntupla de w. Determne as raízes da equação: 4 w 6 z.z

10 GABARITO. 0 a) zw 6cs b) w 7cs c) z 64cs a = cs 30 b = 3 cs a. b = 6 cs (30 + ) = 6 cos (30 + ) + [6 sen (30 + )] a. b real 6 sen (30 + ) = = 80 k k =, temos = 50 RESPOSTA: = a) z cos sen 4 4 b) z cos sen 3 3 c) 3 3 z cos sen 4 4 d) z cos sen e) z 3cos sen 4. z cs cos sen z, com Pos 0 << 0

11 Como <, < Portanto o pontero das horas aponta para o 9 e o dos mnutos para o. A hora do jantar secreto é às 9h da note ou h z cs 6 RESPOSTA: C z (cs ) 3cs z 3(cos sen ) RESPOSTA: D 7. z sencos cos sen z z z sen cos cos sen z sen cos Re z sen, Im z cos, 8. z = z = cs 0 = (cos 0 + sen 0 ) = z 3. RESPOSTA:C Como z, e z (cos sen ) e (cos sen ) z acos asencos

12 cos z a asen z (a acos ) (asen ) Sendo x a parte real e y a parte magnára de z, (x a) a cos y a sen (x a) y a (cos sen ) (x a) + y = a : crcunferênca de centro (a,0) e rao a. 0. z x x x 4 x x x 4 x x 4x 4 x z 4 x 0 x RESPOSTA: D. Seja z x y, com x,y, então z x y. z z 3 x y x y 3 y 3 x y x x 9 x x 9 x x 9 x x x x 4 z 4 3 z RESPOSTA: D. 8 w z cos0 sen0 cs K w cs cs0 45 K, K 0,,,3,4,5,6,7 8 Logo, a soma dos argumentos prncpas é a soma de uma P.A. de oto termos com prmero termo 0 e razão 45, ou seja, RESPOSTA: D 3. (O enuncado dessa questão fo adaptado para fcar mas coerente) Re z z Re z z Re z Re z x 0 x

13 Im z z Im x Imx Rez z Imz z x (*) z z z z x y 5 x y (**) Representando as condções (*) e (**) no plano de Argand-Gauss e consderando que x e y *, obtémse, para o lugar geométrco dos números complexos z4 x y, um arco de crcunferênca com extremdades em A e B. Dentre esses números complexos, o de menor argumento é o com extremdade em A, cujo argumento é tal que cos rad. 3 RESPOSTA: D 4. Como w é uma raz cúbca da undade 3 w. 3 Como w w w w w 0w w 0 w w Aplcando a fórmula do bnômo de Newton, temos: e w 6w 5w 0w 5w 6w w 6w 5w 0 5w 6w RESPOSTA: B 8 9 w w , 0 5. z ab z a b z z a a z z ab ab b a ab a b b z cos sen cs z e arg z

14 7 5 arg w e w w cs Im z e w cos 4 4 RESPOSTA: No plano complexo seja O a orgem e C o ponto assocado ao complexo, então a crcunferênca ctada no enuncado tem centro em C e passa por O. argz OZ 6 ˆ ˆ ˆ z z OCZ COZ CZ O o trângulo COZ é equlátero OZ 3 3 y z x y Rez z x 0 y 3x Se z x y está na crcunferênca de centro e rao, temos: y z x y x y y RESPOSTA: D 4y 6y 0 y 0 ou y z 0 ou z 7. n n cs45 cs 45 n n 4 n n z n cos45 sen45 3 n cos30 sen w n cos5 sen5 RESPOSTA: B 8. 4 z z x y 0 6 x 0 y 6 x 0 y 6 x 4 y 6 z x y z z x y 4 6 x 4 y 6 x 4 y 6 x 0 x 4 y 6 6 y 6 x 4 y 6 x 4 y 6

15 z z z z z z arg e tg Re Im z z 4 4 z z z z x 0 x 4 y 6 6 y 6 x 7 y 9 8 z 79 x 7 y RESPOSTA: 3 9. x x x.cos.cos x x cos x 0 cos 4 cos cos. sen x cos.sen cs Com sso: cs 008. cs 008..cos x x cs cs x x.cos O número complexo z possu argumento gual a 45 quando sua parte magnára for gual sua parte real. Vejamos a condção para que sso ocorra: cosa cosa.sena sena.cosa sena cosa cosa.sena sena.cosa.sena.cosa cosa cosa sena sena a 6. 5 w.cs 3.cs

16 w z.z 0 z.z 0 z z.cs 4.cs 4 /4.cs k. 8 z k 0, /4.cs k /4 /4 /4 /4 z.cs,.cs,.cs,.cs 6