Instituto Superior de Engenharia de Lisboa Licenciatura em Engenharia Informática e de Computadores

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Isadora Cordeiro Zagalo
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1 Instituto Superior de Engenharia de Lisoa Licenciatura em Engenharia Informática e de Computadores Processamento de Imagem e Biometria Apontamentos sore números complexos Artur Ferreira {aferreira@deetc.isel.ipl.pt} Índice 1 Números complexos Representação de números complexos Forma cartesiana (ou algérica Forma polar (ou trigonométrica Conversão entre os dois formatos Representação geométrica: o plano complexo Operações com números complexos Complexos que se relacionam entre si Propriedades que relacionam um complexo com o seu conjugado Fórmulas de Euler Funções envolvendo números complexos

2 1 Números complexos Os números complexos constituem uma das ferramentas matemáticas essenciais na análise e processamento de sinal. A sua utilização é necessária, essencialmente na análise de sinais no domínio da frequência, através da série e transformada de Fourier. Um número complexo z = (a, é constituído por um par de números reais a e. O valor a é a parte real a = Re{z} e o valor é a parte imaginária = Im{z}. O conjunto dos números complexos C define-se da seguinte forma: C = {z : z = a + j a, ɛ R j 2 = 1} em que j é o número imaginário puro Representação de números complexos Existem duas formas clássicas para a representação do número complexo: a forma cartesiana (ou algérica em que se representam separadamente as partes real e imaginária à custa do número imaginário puro j: z = a + j; a forma polar (ou trigonométrica que consiste na representação em termos de módulo z e argumento arg(z: z = z e jarg(z Forma cartesiana (ou algérica A forma cartesiana é a seguinte: z = a + j Parte real: Re{z} = a Parte imaginária: Im{z} = Módulo: z = a ( Argumento: arg(z = Θ = arccos a z ( = arcsin Forma polar (ou trigonométrica z = arctan ( a A forma polar é a seguinte: z = z e jarg(z = z e jθ. Tendo em conta a fórmula de Euler: e jθ = cos(θ + j sin(θ a forma polar é equivalente a: pelo que se conclui: z = z e jθ = z (cos(θ + j sin(θ = z cos(θ +j z sin(θ }{{}}{{} Re(z Im(z a = Re(z = z cos(θ = Im(z = z sin(θ permitindo assim a conversão entre formatos, resumida já de seguida Conversão entre os dois formatos Forma cartesiana para a polar: Considere o número complexo z 1 = a + j, escrito na forma cartesiana. A conversão deste número para a forma polar produz o seguinte resultado: z 1 = ( ( a e j arctan Im{z1 } Re{z 1 } = ( a e j arctan( a Exemplos: z 1 = 1 + j z 1 = 2e j π 4 z 2 = j4 z 2 = 4e j π 2 z 3 = 3 + j z 3 = 2e j π 6 1 Nas diversas áreas da Engenharia o número imaginário puro é representado pelo símolo j, uma vez que o símolo i representa corrente eléctrica.

3 Forma polar para a cartesiana: Seja agora z 2 = z 2 e jθ2, número complexo escrito na forma polar. A forma cartesiana é otida da seguinte maneira: z 2 = z 2 (cos(θ 2 + j sin(θ 2 = z 2 cos(θ 2 + j z 2 sin(θ 2 = a + j Exemplos: { z1 = 5e j π 2 z 1 = 5 cos ( ( π 2 + j5 sin π 2 = j5 z 2 = 3e j π 3 z 2 = 3 cos ( ( π 3 + j3 sin π 3 = j Representação geométrica: o plano complexo Os números complexos são representados graficamente no plano complexo (ou de Argand 2, que não é mais que um sistema de dois eixos ortogonais. Num eixo representa-se a parte real e no outro a parte imaginária. O Figura 1: O plano complexo (esquerda e representação de um número z = a + j sore o plano complexo (direita. módulo do número complexo corresponde à norma do vector que o representa no plano complexo. O argumento é o ângulo formado entre este vector e o eixo dos reais (a origem do referencial. 1.2 Operações com números complexos Sejam z 1 = a + j = z 1 e jarg(z1 e z 2 = c + jd = z 2 e jarg(z2. A representação cartesiana é adequada para realizar as operações de adição e sutracção, ao passo que a forma polar é mais vocacionada para operações tais como multiplicação, divisão e potenciação, através das fórmulas de Moivre. Na forma cartesiana: Adição: z 1 + z 2 = (a + c + j( + d Sutracção: z 1 z 2 = (a c + j( d Na forma polar (fórmulas de Moivre: Multiplicação: z 1 z 2 = z 1 z 2 e j(arg(z1+arg(z2 Divisão: z 1 z 2 = z1 z 2 ej(arg(z1 arg(z2 Potência: z n 1 = z 1 n e jnarg(z1 Radiciação: n z 1 = n Θ+2kπ z 1 e j( n 1.3 Complexos que se relacionam entre si Seja z 1 = a + j = z 1 e jθ. Conjugado: z 1 = a j = z 1 e jθ. Simétrico: z 1 = a j = z 1 e j(θ+π. 2 Em homenagem ao matemático com o mesmo nome.

4 1.3.1 Propriedades que relacionam um complexo com o seu conjugado 1.4 Fórmulas de Euler z = z z = z = z = z z z = z 2 z + z = 2Re{z} z z = j2im{z} A fórmula de Euler 3, vulgarmente conhecida por exponencial complexa é a seguinte: Aplicando o conjugado otém-se: Note que: e jα = e jα = arg(e jα = arctan arg(e jα = arctan e jα = cos(α + j sin(α e jα = cos(α j sin(α cos 2 (α + sin 2 (α = 1, pela fórmula fundamental da trigonometria; ( sin(α cos(α = arctan(tan(α = α ( sin( α cos( α = arctan ( sin(α cos(α = arctan( tan(α = α As funções trigonométricas coseno e seno constituem a parte real e imaginária da fórmula de Euler, respectivamente. Atendendo às propriedades que relacionam o número complexo com o seu conjugado temse: cos(α = ejα + e jα = ejα e jα sin(α = ejα e jα 2j 1.5 Funções envolvendo números complexos = j 2 ejα + j 2 e jα Para além das funções reais de variável real, as funções que utilizam números complexos como domínio e/ou contradomínio são frequentemente utilizadas. Os quatro tipos possíveis de função são os seguintes: 1- Função real de variável real: x : R R; 2- Função real de variável complexa: x : C R; 3- Função complexa de variável real: x : R C; 4- Função complexa de variável complexa: x : C C. As funções complexas (cujo contradomínio é o conjunto dos números complexos C podem ser analisadas separadamente em módulo e fase. Por exemplo, a função complexa de variável real x(t = 1 1+jt pode ser decomposta em duas: módulo: x(t = t 2 fase: arg{x(t} = arg(1 arg ( t 1 = 0 arctan(t = arctan(t. 3 Leonhard Euler( No URL history/mathematicians/euler.html pode consultar a iografia deste matemático.

5 Consequentemente a função x(t escrita na forma polar tem a seguinte expressão: x(t = 1 arctan(t e j 12 + t2 Seguem-se alguns exemplos de funções dos tipos apresentados acima: 1. Funções reais de variável real: x 1 (t = cos(t, x 2 (t = t 2 e x 3 (t = 1 + t; 2. Funções reais de variável complexa: x 1 (z = z, x 2 (z = 1 + z 2 e x 3 (z = z + z; 3. Funções complexas de variável real: x 1 (t = 1 + j cos(t, x 2 (t = t + j e x 3 (t = 1 jt 2 ; 4. Funções complexas de variável complexa: x 1 (z = z(2 + j, x 2 (z = z + 1 e x 3 (z = z 5.

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