INTERPOLAÇÃO DE EFEMÉRIDES GPS

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1 INTERPOLAÇÃO DE EFEMÉRIDES GPS GPS ephemerdes terpolato ANGELA CRISTINA CARARO LUIZ DANILO DAMASCENO FERREIRA 2 Potfíca Uversdade Católca do Paraá PUCPR Cetro de Cêcas Eatas e de Tecologa CCET Rua Imaculada Coceção 55 - Prado Velho CEP: Curtba - PR Brasl Emal: agela.cararo@pucpr.br 2 Uversdade Federal do Paraá UFPR Departameto de Geomátca Curtba Curso de Pós-Graduação em Cêcas Geodéscas Jardm das Amércas Cetro Poltécco CEP Curtba PR Brasl luzdalo@ufpr.br RESUMO Neste trabalho é aplcado o procedmeto de terpolação ao caso das efemérdes GPS que são ormalmete dspoblzadas em formato de tabelas em tervalos de 5 ou 5 mutos. Algumas aplcações GPS ecesstam de dados de efemérdes a tervalos meores do que sto. Dversos métodos de terpolação têm sdo usados para gerar posções e velocdades dos satéltes GPS os potos termedáros das tabelas. Os métodos de terpolação abordados serão o polomal e trgoométrco e serão aplcados sobre as efemérdes rápdas IGS com 24 horas de dados em tervalos de 5 mutos cotedo a posção (coordeadas e z dos satéltes GPS em dos sstemas de coordeadas: geocêtrco rotacoal (ou terrestre e geocêtrco ercal. Testes para determar o úmero ótmo de termos as terpolações foram coduzdos. Os dos tpos de fuções utlzadas se mostraram adequadas mas a terpolação através de fuções trgoométrcas mostrou-se o método mas adequado a ser aplcado as efemérdes GPS dspoblzadas pelo IGS o formato SP3. Nesse caso o melhor desempeho do terpolador se deu com 7 termos com as efemérdes-fote o sstema ercal. O melhor resultado para terpolação polomal acoteceu o caso da fução apresetar etre 9 e termos. Palavras-chave: GPS; Iterpolação; Efemérdes. Bol. Cêc. Geod. sec. Artgos Curtba v. 7 o 2 p abr-u 2.

2 Cararo A. C. e Ferrera L.D.D. 29 ABSTRACT I ths paper the terpolato procedure s appled the case of GPS ephemerdes usuall avalable tables where the data s provded 5 or 5 mutes terval. Some GPS applcatos eed ephemerdes data less spaced tervals. Ma terpolatos methods have bee used to geerate GPS satelltes posto ad veloct termedate pots of the tables. The terpolato methods used ths work are the polomal ad trgoometrc oes ad the wll be appled o the IGS rapd ephemerdes wth 24 hour total data spaced each 5 mutes cotag GPS satellte postos ( ad z coordates two coordate frames: Earth-cetered fed (ECF ad ertal frame. Tests for determg the optmum umber of terpolato terms were made. Both fucto tpes appled terpolato tests worked well but trgoometrc terpolato was the most approprate whe appled o GPS ephemerdes avalable the SP3 fles from IGS. I ths case 7 terms the terpolatg fucto was the most accurate result wth source ephemerdes the ertal frame. The most accurate result foud for polomal terpolato occurred wth 9 ad terms the terpolatg fucto. Kewords: GPS; Iterpolato; Ephemeredes.. INTRODUÇÃO Iterpolação é um tema vasto e mportate. Se uma fução umérca f é cohecda apeas em um couto de potos k pode-se apromar f por uma fução smples P (geralmete um polômo que apresete os mesmos valores estes potos. Para todos os potos de abcssa k em um tervalo ab substtuse o valor descohecdo f( pelo valor cohecdo P(: é o prcípo da terpolação. Um polômo terpola uma fução f( se P( k = f( k para k = Segudo RALSTON e RABINOWITZ (2 a terpolação repousa o cetro da aálse umérca clássca. Há duas razões prcpas para sto: a prmera é que em cálculos mauas há sempre a ecessdade de ecotrar-se o valor de uma fução em uma tabela. No caso de se precsar de valores da fução em potos ãotabulados é ecessáro terpolar. Etretato as tabelas altamete acuradas com pequeos cremetos do argumeto que são comus atualmete são comparatvamete de orgem recete. Por sto a aálse umérca clássca desevolveu um grupo de métodos altamete sofstcados para terpolação. Atualmete com computadores dgtas obtêm-se dretamete os valores das fuções sem a ecessdade de terpolar valores de uma tabela. Etão a maora das vezes a ecessdade de terpolar surge de stuações epermetas ode se cohece uma tabela de potos obtdos através de observações ou epermetos e desea-se obter uma epressão aalítca de uma dada curva ( que melhor se adapte a este couto de potos. A computação das posções dos satéltes GPS (Global Postog Sstem é de mportâca fudametal em todos os softwares de poscoameto GPS Bol. Cêc. Geod. sec. Artgos Curtba v. 7 o 2 p abr-u 2.

3 22 Iterpolação de efemérdos - GPS. (HOREMUZ e ANDERSSON 26. Os dados ecessáros para esta computação podem ser forecdos a forma das efemérdes trasmtdas ou precsas. As efemérdes trasmtdas são evadas ao usuáro como um couto de parâmetros trasmtdos a mesagem de avegação dos satéltes GPS. Estes parâmetros são atualzados apromadamete a cada duas horas e a acuráca das coordeadas trasmtdas é em toro de metro. Há város tpos de efemérdes precsas (pósprocessadas produzdas por váras agêcas globalmete dstrbuídas baseadas os dados das estações permaetes de motorameto GPS. Sua acuráca pode varar desde 5 m para as predtas até 25 m para as fas pós-processadas. As efemérdes precsas são dstrbuídas o formato SP3 e estão dspoíves em ode ecotra-se uma tabela com todos os produtos IGS (Iteratoal GNSS Servce e suas respectvas acuráca latêca tervalos de dados e outras formações. Neste trabalho será aplcado o procedmeto de terpolação ao caso das efemérdes GPS que são ormalmete dspoblzadas em formato de tabelas em tervalos de 5 ou 5 mutos. Etretato algumas aplcações GPS ecesstam de dados de efemérdes a tervalos meores do que sto. Dversos métodos de terpolação têm sdo usados para gerar posções e velocdades dos satéltes GPS os potos termedáros das tabelas. Num prmero mometo o método de Lagrage fo usado pelo US Natoal Geodetc Surve (REMONDI 99. Iterpolação polomal e trgoométrca foram utlzadas por SCHENEWERK (23. Os métodos de Lagrage Chebshev e trgoométrco foram realzados por FENG e ZHENG (25. Iterpolação sobre efemérdes trasmtdas para aplcação em tempo real fo mplemetada por HOREMUZ e ANDRESSON (26. Para gerar tabelas terpoladas de efemérdes com alta desdade de dados YOUSIF e EL-RABBANY (27 utlzaram os métodos de Lagrage dfereças dvddas de Newto cubc sple e trgoométrco. Os métodos de terpolação abordados este trabalho serão o polomal e trgoométrco e serão aplcados sobre as efemérdes rápdas com 24 horas de dados em tervalos de 5 mutos cotedo a posção (coordeadas e z dos satéltes GPS em dos sstemas de coordeadas: geocêtrco rotacoal (ou terrestre e geocêtrco ercal. O programa utlzado para gerar a terpolação é aquele desevolvdo por SCHENEWERK (23 e dspoblzado em Testes para determar o úmero ótmo de termos as terpolações foram coduzdos. No capítulo 2 serão revstos brevemete algus métodos mas comus de terpolação. No capítulo 3 são apresetados o IGS e seus servços. No capítulo 4 é mostrada a metodologa utlzada o trabalho. Os resultados ecotrados são apresetados a forma de gráfcos e tabelas o capítulo 5. As coclusões obtdas estão o capítulo 6 e por fm apresetam-se as referêcas. Bol. Cêc. Geod. sec. Artgos Curtba v. 7 o 2 p abr-u 2.

4 Cararo A. C. e Ferrera L.D.D ALGUNS MÉTODOS COMUNS DE INTERPOLAÇÃO Neste capítulo serão revsados brevemete algus dos métodos mas utlzados para terpolação. Para maores detalhes e apresetação de métodos mas sofstcados cosultar RALSTON e RABINOWITZ (2 YOUNG e GREGORY (972 KREYSZIG ( Polômo Iterpolador de N Potos Cosdere-se uma famíla F = A... A de duplas ( k k os k dsttos. Detro do caso freqüete ode os coefcetes k e k são reas as duplas A... A N formam uma uvem de potos um plao ( todos com abscssas dsttas. Este um polômo úco P(F de grau - tal que para todo k de {... } P( k = k. P(F é chamado de polômo terpolador da famíla F. Há umerosas maeras de se ecotrar P(F. Esse couto de potos ( k k pode advr de uma tabela de meddas físcas ou como potos calculados de uma fução f( ormalmete mas complcada de calcular tegrar ou dferecar do que um polômo. Neste caso pode-se comparar a fução orgal f( com a terpolada p( e fazer uma estmatva dos erros de terpolação da forma f( - p( = ε. Esse couto de potos ( k k pode advr de uma tabela de meddas físcas ou como potos calculados de uma fução f( ormalmete mas complcada de calcular tegrar ou dferecar do que um polômo. Neste caso pode-se comparar a fução orgal f( com a terpolada p( e fazer uma estmatva dos erros de terpolação da forma f( - p( = ε. 2.2 Fórmula de Lagrage O prmero método coduz à chamada fórmula de Lagrage. Para todo k tero compreeddo etre e defe-se o polômo L k da segute forma (COSTA 993: Lk ( =. ( = k k Por eemplo se = 4 ( ( 3( 4 L2 ( = (2 ( ( ( Cada polômo L k possu grau Pode-se verfcar as segutes gualdades: se = k k {... } Lk ( = δ k = (3 se k Bol. Cêc. Geod. sec. Artgos Curtba v. 7 o 2 p abr-u 2.

5 222 Costata-se agora que o polômo P( = k Lk ( k= Iterpolação de efemérdos - GPS. cohecdo como Fórmula de Lagrage para obteção do polômo de terpolação satsfaz o problema ode os valores k = f( k são cohecdos. De fato P é de grau feror ou gual a - e ele verfca as gualdades: {.. } P( = klk ( = δ = (4 k = k = A forma de Lagrage de um polômo de terpolação tem apeas um teresse teórco. Na prátca ela é raramete utlzada. Ela demada um úmero muto grade de operações. Por outro lado todos os cálculos devem ser refetos se decde-se utar um outro poto de terpolação. O polômo de terpolação de potos pode ser escrto de uma forma mas ecoômca em tempo de cálculo e que demada modfcações pequeas a cada vez que um ovo poto é adcoado. É a forma de Newto que utlza o prcípo das dfereças dvddas. 2.3 Dfereças Dvddas e Fórmula de Newto Sedo dados + potos ode os são dsttos mas ão ecessaramete ordeados procura-se um polômo p( de grau que satsfaça p( = para =.... (5 aso = : Um polômo de grau é uma reta que passa por ( (. É dado por: p( = + ( (6 aso = 2: Para obter um polômo de grau 2 (uma parábola que passe pelos três potos ( ( ( 2 2 adcoa-se um termo de correção (de grau 2 à equação (6. Como este termo deverá ser zero os potos e têm-se ecessaramete: ( ( p = + + a.( (. (7 O coefcete a é determado por p( 2 = 2. Um cálculo smples (subtrar p( de p( 2 e dvdr por ( 2 ( 2 forece: a 2 =. (8 2 2 k k Bol. Cêc. Geod. sec. Artgos Curtba v. 7 o 2 p abr-u 2.

6 Cararo A. C. e Ferrera L.D.D. 223 Um eemplo para o caso = 5 com os ão eqüdstates é mostrado a fgura. Para os casos ode > 2 as fórmulas apresetam-se mas compleas e é recomedável troduzr-se uma otação coveete para smplfcar as epressões como a equação (8. Fgura Polômo de terpolação de grau 5. Defção (dfereças dvddas: Para ( dados ( dsttos defe-se = : (9 = : δ ( k k k = : 2 δ δ δ ( : = δ δ δ (2 Teorema (fórmula de Newto: O polômo de terpolação de grau que passa pelos + potos ( (... ( ode os são dsttos é úco e é dado por.... (... ( (... ( ( ( ( 2 2 p δ δ δ = (3 Demostração: Para = e = 2 a equação (3 é equvalete a equação (6 e as equações (7 e (8. Para demostrar o caso geral procede-se por recorrêca. Supõe-se que:... (... (... ( ( = p δ δ (4 sea o polômo úco de grau - que passa por ( para = Etão como a equação (7 o polômo p( é ecessaramete da forma Bol. Cêc. Geod. sec. Artgos Curtba v. 7 o 2 p abr-u 2.

7 224 Iterpolação de efemérdos - GPS. p ( = p ( + a ( (... ( (5 ode a é determado por p( =. Isto resulta a ucdade do polômo de terpolação. Para mostrar que a = δ... o que falza a demostração cosdera-se gualmete o polômo de grau -: p2 ( = + ( δ (... ( δ 2... (6 que passa por ( para =... Depos afrma-se (déa de Atke-Nevlle q( : = (( p( + ( p2(. (7 Trata-se de um polômo de grau que satsfaz a equação (5 para o poto (aqu o fator ( é ulo e para os potos =... - (aqu os dos polômos p ( e p 2 ( são guas a. Pela ucdade do polômo de terpolação temos agora q( = p(. Comparado o coefcete de da equação (7 com aquele da equação (5 obtêm-se: ( δ... δ... = δ... a = (8 o que demostra a equação (3. Tabela Dfereças dvddas para os dados da fgura. δ δ 2 δ 3 δ 4 δ 5-2 3/8 5/2-77/ /6 67/96-6 3/4-287/96 5 5/3 -/8 2/3 -/4 8 2 /6 3/2 5 Eemplo: Para os dados da fgura as dfereças dvddas são apresetadas a tabela. O polômo de terpolação é dado etão por: Bol. Cêc. Geod. sec. Artgos Curtba v. 7 o 2 p abr-u 2.

8 Cararo A. C. e Ferrera L.D.D p( = + + ( 2 ( 2( 4 8 ( 2( 4( 5( ( 2( 4( O Algortmo de Nevlle Há um outro método de ecotrar o polômo de terpolação P de duas lstas X (abcssas e Y (ordeadas útl sobretudo para calcular os valores deste polômo: trata-se do Algortmo de Nevlle (que se assemelha lgeramete com o método das dfereças dvddas. Cosdera-se por eemplo os 3 potos A ( A 2 ( 2 2 A 3 ( 3 3 de abcssas dsttas. Sea P o polômo de grau terpolado somete A : é a costate. Da mesma forma seam P 22 e P 33 os polômos costates terpolado respectvamete A 2 e A 3. Geeralzado esta otação sea P 2 o polômo ( de grau feror ou gual a terpolado os dos potos A e A 2 e sea P 23 aquele que terpola A 2 e A 3. Costata-se em COSTA (993 que: ( X + ( X ( X P + ( X P ( = = (2 2 2 P Da mesma maera: ( X ( ( 2 X X 3 3 P22 + ( 2 X P33 P23 = = (2 2 3 Sea P 23 o polômo de grau feror ou gual a 2 terpolado os três potos A A 2 e A 3. Costata-se efm que: e ( X P + ( 2 X P = (22 3 P Com efeto: ( 3 P2 ( ( 3 P23 ( 3 P 23( = = P 23( 3 = = 3 (23 3 ( P ( + ( P ( ( + ( P = = = ( ( Mas geralmete sea uma famíla de potos A k ( k k de abcssas dsttas duas à duas. Sea P o polômo terpolado os - prmeros potos A A 2... A -. Sea P o polômo terpolado os - últmos potos A 2 A 3... A. 3 3 Bol. Cêc. Geod. sec. Artgos Curtba v. 7 o 2 p abr-u 2.

9 226 Iterpolação de efemérdos - GPS. Estes dos polômos são de grau feror ou gual a - 2. O polômo: P = ( X P ( X P23... (25 possu grau - e costata-se que ele terpola os potos A A 2... A. A partr dos potos aplca-se etão o método segute: Escrever os polômos costates P P P terpolado cada um dos potos. Assocar duas a duas estas costates para formar os - polômos P 2 P P - terpolado dos potos cosecutvos da famíla. Assocar estes polômos dos a dos para formar os -2 polômos P 23 P 234 etc. terpolado três potos cosecutvos da famíla. Prossegur este procedmeto até o polômo P = P 2... terpolado os potos da famíla. A cada etapa todo ovo polômo terpolador é formado a partr de dos paretes e o fato que as formulas de cálculo são as mesmas (os ídces prómos permte escrever um algortmo smples. Segue um eemplo do algortmo de Nevlle para o caso de uma famíla de 5 potos. Por ecooma de espaço ão serão mostradas as duas últmas coluas que termam a tabela 2 (tragular para o cálculo do polômo de terpolação P 2345 destes 5 potos. Tabela 2 Eemplo do algortmo de Nevlle para famíla de 5 potos 2.5 Iterpolação Trgoométrca Cosdere-se uma aplcação umérca f ( defda sobre o couto dos úmeros reas e peródca de período 2π. Supõe-se que são cohecdos apeas os valores de f em potos do segmeto 2π (ou de outro tervalo de comprmeto 2π. Desea-se estmar os valores de f em um poto qualquer deste tervalo. Para sto procura-se uma fução trgoométrca g (que também possu período gual a Bol. Cêc. Geod. sec. Artgos Curtba v. 7 o 2 p abr-u 2.

10 Cararo A. C. e Ferrera L.D.D π o mas smples possível apresetado o mesmo valor que f em cada um destes potos. A fução g será etão ecarregada de terpolar f sobre o restate do tervalo. O modelo é aquele das combações leares das fuções ep(k para k tero. Para mmzar as freqüêcas utlzadas é razoável cetrar os valores dos teros k em toro da orgem. Ter-se-ão coefcetes descohecdos pos será resolvdo um problema de terpolação a potos. Isto coduz a fução g segute (o tervalo de varação do ídce k leva em cota a pardade de : g : ( a 2 a k ep( k k = + 2 (27 Por eemplo se é mpar ( = 2q+: g( = a q ep( q a ep( + a + a ep( aq ep( q (28 E se é par ( = 2q: g( = a q + ep( ( q a ep( + a + a ep( aq ep( q 29 Em todos os casos g( é uma soma de termos. Assoca-se a g o polômo segute: k = P : ( X a a k X (3 Assm quado é mpar ( = 2q+: Se é par ( = 2q: k + + / 2. 2 P ( X = a + a X a X a X. (3 q q+ q + 2 P( X = a q+ + aq+ 2X aq X + aq X Costata-se que para com m = -/2+ e colocado ω = ep(: q. (32 Bol. Cêc. Geod. sec. Artgos Curtba v. 7 o 2 p abr-u 2.

11 228 Iterpolação de efemérdos - GPS. 2 k g( = a k ω = m k = m 2 k m ω akω = m k m ω a = 33 k + mω ω P( ω k = m k = O problema da terpolação trgoométrca dos potos A = ( pode ser colocado a segute forma: trata-se de ecotrar os coefcetes a k tal que =... : g( =. Quado se assoca a aplcação polomal P à fução trgoométrca g retora-se a um problema de terpolação polomal. Trata-se efetvamete de ecotrar os coefcetes a k do polômo P(deg(P - tal que: m =... : P( ω = ω com m = + e ω = ep(. (34 2 Quado o problema é resolvdo (ou sea quado os coefcetes do polômo são ecotrados etão a fução g pode ser avalada em um poto qualquer escrevedo-se: m R g( = ω ( com P ω ω = ep( e m = +. ( EFEMÉRIDES PRECISAS DOS SATÉLITES GPS E INFORMAÇÃO SOBRE OS RELÓGIOS Iteratoal GNSS Servce - IGS (atgamete: Iteratoal GPS Servce fo formalmete estabelecdo pela Iteratoal Assocato of Geodes (IAG em 993 e cou ofcalmete suas operações em º. de aero de 994. O IGS gera e dssema efemérdes precsas para os satéltes GPS e também forece produtos relacoados como Earth Oretato Parameters (EOP e correções dos relógos para os satéltes. Os servços IGS estão baseados em uma rede global de motorameto e estações de rastreameto GNSS e forece formações e dados de seus cetros de processameto de dados para todos os usuáros GNSS. Os arquvos com formações orbtas dos satéltes GPS que são forecdos pelo IGS estão o formato defdo pelo Natoal Geodetc Surve (NGS o chamado SP3. Este é uma represetação ASCII que clu as posções dos satéltes e correções dos relógos. Este formato fo cudadosamete plaeado para levar em cosderação também seu uso para o GLONASS e para satéltes geoestacoáros. Equato a prmera geração deste formato poda acomodar somete 35 satéltes a seguda geração pode acomodar até 85 satéltes. O cabeçalho da seguda geração fo melhorado para receber modfcações e ovas formações como por eemplo a acuráca da formação orbtal de cada satélte (REMONDI 99. O formato SP3 é dado em udades de Km para as coordeadas e em mcrossegudos para o erro dos relógos dos satéltes com acuráca de mm e ps (pco-segudo respectvamete. Se os arquvos com as velocdades dos satéltes estão cluídos (formato SP as udades para velocdade são Bol. Cêc. Geod. sec. Artgos Curtba v. 7 o 2 p abr-u 2.

12 Cararo A. C. e Ferrera L.D.D. 229 decímetros/segudo com uma acuráca de -4 mm/s. A varação a marcha dos relógos (rate of chage é dada em udades de -4 ps/s (HILLA 27. As formações sobre os relógos dos satéltes o formato SP3 são forecdas as mesmas épocas (a cada 5 ou 5 m para as quas são também forecdas as posções dos satéltes. A terpolação é ecessára para obter-se a posção do satélte e a correção do relógo a época de trasmssão. 4. METODOLOGIA UTILIZADA SCHENEWERK (23 usa as duas estratégas mas comus de terpolação de efemérdes GPS: terpolação polomal e terpolação por fuções trgoométrcas. Na terpolação polomal : 2 3 N C = A + AT + A2T + A3T A N T (36 No prmero caso um smples polômo é a fução aalítca que rá apromar o couto de dados o terpolador. Aqu C represeta uma das coordeadas (X Y ou Z da posção do satélte GPS em um sstema de referêcas geocêtrco ercal ou rotacoal (terrestre T é o tempo e A até A N são os coefcetes que deverão ser ecotrados pelo processo de terpolação para represetar o couto de dados de etrada (efemérdes-fote. O algortmo usado é o de Nevlle. No segudo caso a escolha basea-se o comportameto aturalmete cíclco das coordeadas da posção do satélte GPS. A fgura 2 mostra o gráfco das coordeadas e z da posção do satélte GPS PRN um sstema de referêca geocêtrco rotacoal (IGS 2 para o da..22 obtdo à partr das efemérdes rápdas gr472.sp3 forecdas pelo IGS. Fgura 2 Gráfco das coordeadas do PRN para o da..22 o sstema de referêca geocêtrco rotacoal. Fote: (SCHENEWERK 23. Deve-se observar que as três coordeadas apresetam comportameto cíclco mas apeas a coordeada z possu o período esperado de 2 horas. As coordeadas e apresetam um comportameto mas compleo de período apromado de 24 Bol. Cêc. Geod. sec. Artgos Curtba v. 7 o 2 p abr-u 2.

13 23 Iterpolação de efemérdos - GPS. horas. Isto ocorre em vrtude destas coordeadas estarem epressas um sstema referecal geocêtrco rotacoal (IGS2 combado assm o movmeto orbtal dos satéltes com o da rotação da Terra. Para o caso das coordeadas dos satéltes estarem represetadas um sstema geocêtrco ercal o comportameto das coordeadas e z é apromadamete seodal com período de 2 horas coforme mostra a fgura 3. Fgura 3 Gráfco das coordeadas do PRN para o da..22 epressas o sstema de referêca geocêtrco ercal. Fote: SCHENEWERK 23. SCHENEWERK (23 dspoblza através da pága do NOAA ( o programa eecutável em lguagem C (atest para realzar os dos casos de terpolação: polomal (através do algortmo de Nevlle e trgoométrca (dstgudo-se o caso das efemérdes-fote estarem epressas em sstema ercal ou rotacoal. Dspoblza também um couto de dados da segute forma: Efemérdes fote: estruturada da mesma forma que as efemérdes (fal ou rápda típcas do IGS o formato SP3 cosstdo em uma tabela com dados das coordeadas e z da posção dos 32 satéltes (e das correções dos relógos a cada 5 mutos cado às :: até 23:45: GPS Tme para o da em questão. Efemérdes de cotrole: também estão o formato SP3 mas as coordeadas dos satéltes estão apresetadas a cada 5 mutos. Estas são as tabelas (efemérdes-fote e de cotrole que serão utlzadas para os testes com os terpoladores. Com o programa atest é possível etrar com: as efemérdes fote e cotrole o úmero PRN do satélte GPS o úmero de potos (dados cetrados em cada época usado para computar os coefcetes de terpolação o úmero de termos a ser usado a fução de terpolação Bol. Cêc. Geod. sec. Artgos Curtba v. 7 o 2 p abr-u 2.

14 Cararo A. C. e Ferrera L.D.D. 23 e um caracter especfcado a fução (algortmo. 5. RESULTADOS E ANÁLISES Nos testes realzados fo aalsado o desempeho dos terpoladores. Foram recrados e esteddos os resultados obtdos por SCHENEWERK (23. Os dados para teste cludo as efemérdes fote e de referêca foram obtdos do autor e foram segudos crtéros smlares de aálse. Nestas aálses o úmero de potos usados fo gual ao úmero de coefcetes a serem determados em todos os casos. Os valores mostrados as tabelas 3 e 5 represetam os resultados ecotrados para os procedmetos de terpolação (polomal e trgoométrco aplcados aos dados de etrada (efemérdes-fote do satélte PRN para o da..22. A colua dcada com Ma é a máma dfereça ecotrada (o módulo do vetor posção etre os valores terpolados e aqueles forecdos pelas efemérdes de cotrole. Na tabela 3 as efemérdes-fote estavam epressas o sstema geocêtrco rotacoal e a tabela 5 o sstema geocêtrco ercal. As tabelas 4 e 6 resumem os mesmos tpos de resultados o caso do satélte GPS PRN 8. Tabela 3 Mámo desvo da fução terpolada represetado as efemérdes geocêtrcas rotacoas para o PRN em fução do úmero de termos usados a fução. Termos Polomal Trgoométrco Ma. (cm Ma.(cm Tabela 4 Mámo desvo da fução terpolada represetado as efemérdes geocêtrcas rotacoas para o PRN 8 em fução do úmero de termos usados a fução. Termos Polomal Trgoométrco Ma. (cm Ma.(cm Bol. Cêc. Geod. sec. Artgos Curtba v. 7 o 2 p abr-u 2.

15 232 Iterpolação de efemérdos - GPS. Tabela 5 Mámo desvo da fução terpolada represetado as efemérdes geocêtrcas ercas para o PRN em fução do úmero de termos usados a fução. Termos Polomal Trgoométrco Ma. (cm Ma.(cm Tabela 6 Mámo desvo da fução terpolada represetado as efemérdes geocêtrcas ercas para o PRN 8 em fução do úmero de termos usados a fução. Termos Polomal Trgoométrco Ma. (cm Ma.(cm A fgura 4 mostra as dfereças em cm etre os valores de referêca e os terpolados ao logo do da..22 para o PRN. Aqu o método de terpolação é o trgoométrco (7 termos com efemérdes-fote o sstema geocêtrco ercal. A fgura 5 mostra as dfereças em cm etre os valores de referêca e os terpolados ao logo do da..22 para o PRN. Aqu o método de terpolação é o polomal (5 termos com efemérdes-fote o sstema geocêtrco rotacoal. Bol. Cêc. Geod. sec. Artgos Curtba v. 7 o 2 p abr-u 2.

16 Cararo A. C. e Ferrera L.D.D. 233 Fgura 4 Dfereças etre os valores de referêca e terpolados para o PRN da..22 o caso de terpolação trgoométrca (7 termos sobre efemérdes-fote o sstema geocêtrco ercal. Fgura 5 Dfereças etre os valores de referêca e terpolados para o PRN da..22 o caso de terpolação polomal (5 termos sobre efemérdesfote o sstema geocêtrco rotacoal. Na fgura 6 são mostradas as dfereças etre coordeadas terpoladas e de cotrole em fução do tempo para o PRN. O horáro de íco é 23: horas e térmo 24: horas para o da..22. Neste caso a terpolação realzada é a trgoométrca com efemérdes-fote o sstema rotacoal com 9 termos a fução terpolada. Na fgura 7 são mostradas as dfereças etre coordeadas terpoladas e de cotrole em fução do tempo para o PRN. O horáro de íco é 23: horas e Bol. Cêc. Geod. sec. Artgos Curtba v. 7 o 2 p abr-u 2.

17 234 Iterpolação de efemérdos - GPS. térmo 24: horas para o da..22. Neste caso a terpolação realzada é a polomal com efemérdes-fote o sstema rotacoal com termos a fução terpolada. Fgura 6 Desempeho do terpolador para o PRN a terpolação trgoométrca sobre efemérdes-fote o sstema rotacoal o caso da fução terpolada com 9 termos. Fgura 7 Desempeho do terpolador para o PRN a terpolação polomal sobre efemérdes-fote o sstema rotacoal o caso da fução terpolada com termos. Na fgura 8 são mostradas as dfereças etre coordeadas terpoladas e de cotrole em fução do tempo para o PRN. O horáro de íco é 23: horas e térmo 24: horas para o da..22. Neste caso a terpolação realzada é a trgoométrca com efemérdes-fote o sstema ercal com 7 termos a fução terpolada. Bol. Cêc. Geod. sec. Artgos Curtba v. 7 o 2 p abr-u 2.

18 Cararo A. C. e Ferrera L.D.D. 235 Fgura 8 Desempeho do terpolador para o PRN a terpolação trgoométrca sobre efemérdes-fote o sstema ercal o caso da fução terpolada com 7 termos. Na fgura 9 são mostradas as dfereças etre coordeadas terpoladas e de cotrole em fução do tempo para o PRN. O horáro de íco é 23: horas e térmo 24: horas para o da..22. Neste caso a terpolação realzada é a polomal com efemérdes-fote o sstema ercal com 9 e termos as fuções terpoladas. Fgura 9 Desempeho do terpolador para o PRN a terpolação polomal sobre efemérdes-fote o sstema ercal o caso da fução terpolada com 9 e termos. Através da aálse das tabelas e gráfcos apresetados este trabalho pode-se ferr o que segue: Para os prmeros 5 mutos e últmos 5 mutos dos dados (ver fguras 4 e 5 observa-se um efeto de degeeração do procedmeto de terpolação. Isto está lgado ao feômeo de Ruge (maor osclação da Bol. Cêc. Geod. sec. Artgos Curtba v. 7 o 2 p abr-u 2.

19 236 Iterpolação de efemérdos - GPS. fução terpoladora as bordas da terpolação típco estes procedmetos e também à atureza dos dados. Como os erros de terpolação são mas evdetes ao fal do da as fguras segutes efatzaram este aspecto. A precsão omal das efemérdes GPS forecdas pelo IGS para a época dos dados é de 3 cm para as rápdas e 2 cm para as fas pósprocessadas. Dos tpos de fuções foram testadas para represetar as efemérdes-fote (rápdas e ambas se mostraram bastate adequadas para terpolação assumdo-se um úmero aproprado de termos a fução a ser usada. Das tabelas e gráfcos apresetados verfca-se que o caso de efemérdesfote o sstema rotacoal o melhor resultado para terpolação polomal acoteceu o caso da fução apresetar etre 9 e termos. E o melhor resultado para a terpolação trgoométrca fo o caso da fução apresetar 9 termos. Verfca-se também através das tabelas e gráfcos que o caso de efemérdes-fote o sstema ercal o melhor resultado apresetado pelo terpolador polomal fo também para 9 e termos. E o melhor resultado do terpolar trgoométrco acoteceu para o caso de 7 termos. De todos os casos a terpolação trgoométrca sobre efemérdes-fote dadas o sstema ercal fo o método que apresetou o melhor desempeho. Isto está lgado às característcas físcas dos dados (a atureza cíclca das órbtas GPS é mas bem represetada por fuções trgoométrcas. Não foram percebdas dfereças sgfcatvas etre o mesmo procedmeto de terpolação aplcado a dferetes satéltes GPS (PRN e PRN CONCLUSÕES A terpolação de efemérdes GPS é ecessára em város tpos de aplcações: o poscoameto por poto precso (PPP precse pot postog ecessta de formações sobre a posção do satélte GPS e correção do relógo para as épocas de trasmssão do sal que quase sempre ão cocdem com a época omal das efemérdes produzdas pelo IGS e demas agêcas. Para poscoameto precso dferecal GPS em tempo real em wde area órbtas precsas ou alteratvamete correções com respeto a uma órbta de referêca (como as efemérdes trasmtdas são ecessáras (FENG e ZENG 25. Essas correções são geradas através de terpolações sobre efemérdes de forma smlar ao efetuado este trabalho o que efatza a mportâca deste tpo de estudo. Pelo fato das efemérdes IGS serem dspoblzadas em épocas omas gualmete espaçadas o feômeo de Ruge está presete o íco e fal do Bol. Cêc. Geod. sec. Artgos Curtba v. 7 o 2 p abr-u 2.

20 Cararo A. C. e Ferrera L.D.D. 237 couto de dados terpolados sedo mas proucado os 5 mutos fas do procedmeto. Para evtar a perda de acuráca o processo de terpolação esses etremos devem ser desprezados. Os dos tpos de fuções utlzadas se mostraram adequadas mas a terpolação através de fuções trgoométrcas mostrou-se o método mas adequado a ser aplcado as efemérdes GPS dspoblzadas pelo IGS o formato SP3. Nesse caso o melhor desempeho do terpolador se deu com 7 termos com as efemérdes-fote o sstema ercal. Um método de terpolação ão é cosderado adequado se os erros de terpolação são maores do que as certezas as efemérdes. Escolhedo-se adequadamete o úmero de termos da fução terpoladora pode-se mmzar os erros de terpolação torado vável sua aplcação como demostram os resultados obtdos. Dada a mportâca do tema terpolação detro das Cêcas Geodéscas pretedeu-se com esse trabalho eplctar os algortmos utlzados em SCHENEWERK (23. Procurou-se amplar os seus resultados com ovos gráfcos e aálses. Têm-se verfcado que em algus trabalhos em Cêcas Geodéscas há alguma cofusão etre os procedmetos de terpolação e austameto aparecedo algumas vezes o termo terpolação aplcado erroeamete o caso de austameto pelo método dos mímos quadrados. Em aálse umérca os procedmetos de terpolação e austameto são bastate dsttos. Em vrtude deste fato procurou-se mostrar uma defção mas detalhada de terpolação aplcada às Cêcas Geodéscas. AGRADECIMENTOS: A prmera autora agradece ao CNPq pelo suporte facero. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS COSTA M. A. F. Cálculo Numérco com Pascal. Lsboa: Escolar Edtora 993. FENG Y. e ZHENG Y. Effcet Iterpolatos to GPS Orbts for Precse Wde Area Applcatos. GPS Solutos vol 9 pp GURTNER W. Re: The Recever Idepedet Echage Format Verso 2.. Astroomcal Isttute Uverst of Bere 8 de uho 2. HILLA S. The Eteded Stadard Product 3 Orbt Format (SP3c. Natoal Geodetc Surve Slver Sprg 2 de Feverero de 27 (dspoível em: ftp://gscb.pl.asa.gov/pub/data/format/sp3c.tt. HOREMUZ M. e ANDERSSON J. V. Polomal Iterpolato of GPS Satellte Coordates. GPS Solutos vol. pp IERS ANNUAL REPORT 25. Verlag des Budesamts für Kartographe ud Geodäse Frakfurt am Ma 27. Bol. Cêc. Geod. sec. Artgos Curtba v. 7 o 2 p abr-u 2.

21 238 Iterpolação de efemérdos - GPS. IGS THE INTERNATIONAL GPS SERVICE FOR LEADING-EDGE SPACE MISSIONS. ESA Bullet 6 Darmstadt Novembro de 23. (dspoível em: KOUBA J. MIREAULT Y. BEUTLER G. SPRINGER T. GENDT G. A Dscusso of IGS Solutos Ad Ther Impact O Geodetc Ad Geophscal Applcatos. GPS solutos 2( KREYSZIG E. Advaced Egeerg Mathematcs. Nova York: Wle Sos 26. RALSTON A. e RABINOWITZ P. A Frst Course I Numercal Aalss. Nova York: Dover 2. REMONDI B. NGS SECOND GENERATION ASCII AND BINARY ORBIT FORMATS AND ASSOCIATED INTERPOLATION STUDIES. Apresetado a 2a. Assembléa Geral do IUGG Vea -24 de Agosto de 99. SCHENEWERK M. A Bref Revew Of Basc GPS Orbt Iterpolato Strateges. GPS Solutos vol. 6 pp YOUNG D. M. e GREGORY R. T. A Surve Of Numercal Mathematcs vol.. Lodres: Adsso-Wesle 972. YOUSIF H. e EL-RABBANY A. Assessmet Of Several Iterpolato Methods for Precse GPS Orbt. The Joural Of Navgato vol 6 pp (Recebdo em ulho de 2. Aceto em uho de 2. Bol. Cêc. Geod. sec. Artgos Curtba v. 7 o 2 p abr-u 2.

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