Y em função de X, onde Y é a variável explicada por X. Y - variável explicada ou dependente de X X - variável explicativa ou independente

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1 II- REGREÃO E CORRELAÇÃO.. REGREÃO LIEAR IMPLE:...Intrduçã:. Relacnament entre varáves : - requer cnhecment ϕ( ) + ψ term estcástc Ex:. Prduçã agrícla Fertlzante em funçã de, nde é a varável explcada pr. - varável explcada u dependente de - varável explcatva u ndependente... Dagrama de Dspersã: (lb/acre) (bushel/acre) Dagrama de Dspersã Prduçã Agrícla Fertlzante

2 . dstânca de entrega de uma carga temp de entrega Carregament Amstrad Dstânca (em Km) 85 3, ,5 8 35, Temp de Entrega (em das) 5 Gráfc de Dspersã 4 Temp Dstânca 3. dade da casa valr d aluguel CAA (ans) (dlar) a a. 30 3a a a a a a. 40 9a a. 5 60

3 3 Dagrama de Dspersã Aluguel Idade..3. Crrelaçã Lnear: cv(, ) E{[ E( )].[ E( )]} ( )( ) ρ r cv(, ) cv(, ) σ σ var( ). var( ) ( )( ) ( ) ( ) x. y x y. nde vara entre r n cas d exempl : ( ) r 0, ( 8x0 ).( 350. ) segund: r 0, tercer: r -0,83355

4 4 Estudarems relacnament lnear entre as varáves, assm: α + β + ε $ a + b $ d upsções:. A relaçã de e é lnear e há efet causal entre elas.. é uma varável nã estcástca e cnhecda 3. Cnsderações a cerca d err: 0,σ 3.. ε ( ) dnde vems que: E( ε ) 0 e Var( ε ) σ (cnstante, pr st nã é ndexada) Mdel Hmscedátc Mdel Hmscedástc Mdel Heterscedástc 3.. ã há crrelaçã seral entre err aleatór, st é, s errs sã ndependentes. E[ ε ε j ] 0 j

5 5..4. Least quare lutn ( luçã ds Mínms Quadrads) u Ordnary Least quare (OL) (Mínms Quadrads Ordnárs): eja a equaçã da reta: α + β A déa é estmar s parâmetrs α e β de tal manera que a sma ds quadrads ds desvs seja mínma, st é; mnmzar ( d ) ( $ ) substtund $ a + b e dervand em relaçã a a e b, e gualand as expressões a zer, tems: a + b a + b Reslvend sstema tems: a a b b cas d exempl terems: a 3,85743 e b 0, Ex: (exercíc). Resluçã cm transferênca de rgem:(exercíc) a 0 b e b x y x

6 6..5. Prpredades ds estmadres OL:. E(ε) 0.. Var(ε ) σ Dem: [ ] ( ε ) ε ( ε ) E{ ε ε E( ε ) + [ E( ε )] } ( ε ) 0 Var E E cm E Var ( ) E( ) ε ε σ 3. Cv(ε ε j ) 0 Dem: cv(ε ε j )E{[ε - E(ε )][ε j E(ε j )]} cm: E(ε )E(ε j )0 cv(ε ε j )E{[ε 0][ε j 0]E(ε ε j ) cm ε e ε j sã ndependentes, entã E(ε ε j )E(ε )E(ε j )0 assm, cv(ε ε j )0 4. E(a) α Dem: E( a) E( b ) E( ) E( b) E α + β + ε α + β / + 0 / β α ( ) β 5. Var(a) σ 6. E(b) β x 7. Var(b) σ x 8. E( ) α + β 9. Var( ) σ

7 7 Prpsçã: $β ( β, σ ) x $α ( α, σ ) x Cm estmar σ Var( ε ): Var( ε ) Var( $ ) Var [ ( α$ + β$ )] ( α$ β$ )..6- Terema de Gauss-Markv: a classe ds estmadres lneares e nã tendencss de α e β, 3 estmadr de mínms quadrads, tem mínma varânca. bre as hpóteses estudadas s estmadres α e β sã BLUE (Best Lnear Umbased Estmatr) sã btds pel métd ds mínms quadrads. - Prvar que sã lneares: α$ β$ β$ - E( $ β ) β x y x utr estmadr 3- Var( $ β) Var( $ θ )

8 8..7- Decmpsçã da ma ds Quadrads:. ( ) ˆ ) ( ( ˆ ) Prpredade Adtva: ( ) ( $ ) + ( $ ) Varaçã Ttal: n T ( ) yy Varaçã Explcada pel Mdel: n R ( ) xx xy Varaçã Resdual: ˆ b b E T R yy b xy Obs: T χ n R χ E χ n

9 9 Cefcente de Determnaçã: T E + R E R + T T Assm: R E T R T Que é a prprçã d ttal de varaçã de explcada pela regressã de em. 0 R Quand: - R 0 mdel de regressã lnear nã explca a varaçã de - R a psçã de tds s pnts amstrads estã na lnha de regressã. Err de Estmatva da Regressã: R ( ˆ ) n b n..8. Teste de Hpóteses: H : β 0 ã exste regressã H : β 0 Exste regressã Fxa nível de sgnfcânca: λ (5 u %). b ( β, σ )

10 0 t c b β nde b n Cmpara cm t n, λ /. Análse da Varânca. Fnte de Varaçã ma Graus Quadrad F calc. F tab. dequad. de Lb. Méd Devd à regressã R R/ Resdual E n- E/n- FR/ F,n-,λ Ttal T n- Hpóteses: H : β 0 H : β Interval de Cnfança; Para α : P t P n, λ / ˆ α α t λ ( a t. α a + t. ) λ n, λ / ˆ α ˆ α n, λ / n, λ / ˆ α nde: n ˆ α. x

11 Para β : P t P b n, λ / ˆ β β t λ β ( t. ˆ β b + t. ˆ ) λ n, λ / β ˆ n, λ / n, λ / β nde: $β x..0. Predçã: eja α + β + ε e $ $ $ α + β eja, anda 0 querems prever um 0 relatv a um 0. $ α$ + β $ 0 0 α$ + β$ $ ε f frecast errr (err de prevsã) ε f $

12 E( ε f ) E( $ ) 0 σ f Var( ε f ) E[( $ ) - E( $ )] Entã: ( $ ) (0, σ f ) $ t $ + t, λ f, f λ

13 3.. REGREÃO MÚLTIPLA eja a ntaçã matrcal: Onde: β + ε M M n K K O K M k k nk M n β β β M K ε ε ε M n Assm tems que: n ε ε' ε ( ε' ε) 0 tems: β ( β) '( β) ' ' β β' ' + β' ' β ' β' ' + β' ' β ˆ - + β 0 entã: β ( ' ) ' Hpóteses: ) ε ~ (0,σ I) I matrz dentdade ) E (ε) 0 3) E (εε ) σ I

14 4 Prpredades:. E( β $ ) β. Var( β $ ) σ ( ) Pr analga a mdels de regressã lnear smples tems: σˆ εˆ nde k é númer de parâmetrs n k Verfcar a qualdade de aderênca para β j Testes de Hpóteses: ) Para cada β j j,,...,k H : β j 0 u β j β j0 H a : β j 0 u β j β j0 Estatístca: t n k, α / βˆ j β β j j0 ) Teste F de nedecr: H : β β... β k 0 H a : pel mens um β j 0 Fnte de Varaçã ma dequad. Graus de Lb. Quadrad Méd Devd a regressã R k- R/k- Resdual E n-k E/n-k F F calc. R / k E / n k F tab. F k-,n-k;λ Ttal T n-

15 5 OB: A seleçã de varáves pde ser feta pr: Frward electn Backward electn tepwse Regressn: Calcula a crrelaçã entre as varáves mas crrelacnadas e deps va nsernd u retrand varáves d mdel utlzand teste F até atngr deal. ó se usa quand númer de varáves fr grande, cas cntrár é melhr fazer tdas as cmbnações pssíves. Cefcente de Determnaçã: R E T R T Obs: Quant mas varáves se ntrduz n mdel mar cefcente de determnaçã. Crrelaçã Parcal: upnha que se tenha 3 varáves, e pde-se medr a as crrelações smples entre e, e e e. O cefcente de crrelaçã parcal mede a crrelaçã entre varáves, nclund s efets que a tercera pssa ter causad sbre cmprtament delas, st é, cnsderand que a tercera fsse cnstante. r é cefcente de crrelaçã parcal entre e. em presença de r r. r ( r )( r ) r Multclneardade: e varáves cuja cncepçã sã de ndependênca, mas pdem alguma lneardade entre elas (crrelaçã entre elas). Deve-se lhar a matrz de crrelaçã e verfcar se varáves ndependentes que a crrelaçã entre elas é mar que cm. Precsa-se

16 retrar uma delas para elmnar a multclneardade, ps va dar prblema n mdel. 6 Heterscedastcdade: Para detectar a heterscedatcdade deve-se pltar valr prevst versus resídus a quadrad. e a reta estver nclnada ndca heterscedastcdade..3 REGREÃO ÃO LIEAR - Regressã cm Varáves Transfrmadas: Uma funçã que relacna a é ntrnsecamente lnear se, pr me de uma transfrmaçã em e/u em ela puder ser expressa lnearmente. A tabela a segur mstra alguns exempls. Funçã Transfrmaçã Frma Lnear β e (Expnencal) ln( ) α ln( α ) + β β α (Ptênca) lg( ), lg( ) lg( α ) + β α + β (Recíprca) α + β Quand mdel transfrmad satsfaz as hpóteses, métd ds mínms quadrads frnece s melhres resultads. - Regressã Plnmal Os mdels plnmas sã nã lneares, mas ntrnsecamente lneares. A equaçã d mdel de regressã plnmal de k-ésm grau é: β 0 + β + β β k k

17 7 A estmatva usand mínms quadrads é a aprprada, entretant mdel plnmal cm k grande é mut mprvável e, na mara das aplcações usa-se k (quadrátc) u k3 (cúbc). - Regressã Lgístca Quand fr uma varável dctômca cm s pssíves valres e 0 crrespndentes a sucess e fracass usa-se a Regressã Lgístca para prever resultad. A frma específca d mdel lgístc usad será A transfrmaçã lgt β x e β 0+ E(/x) π(x) β x e β 0+ + ln π que pde ser clcada na frma ( x) β x e β 0+ ln β x e β 0+ + π(x) g(x) ln β 0 + β x π(x) Estmaçã ds parâmetrs: Métd Quase-ewtn Métd da Funçã Dscrmnante Mdel de Lcaçã de Varáves Mstas O Mdel de Regressã Lgístca Múltpla é dada pr: e g(x) π(x) + e g(x) nde: g(x) β 0 + β x + β x β p x p