Regressão Linear Múltipla. Frases. Roteiro

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1 Regressão Lnear Múltpla Frases Por serem mas precsos que as palavras, os números são partcularmente adequados para transmtr conclusões centífcas Pagano e Gauvre, 004 Rotero 1. Especfcação do Modelo. Modelo Geral 3. Propredades Amostras dos EMQO 4. Estmação de Intervalos e Testes de Hpótese 5. Qualdade do Ajuste e Teste de Sgnfcânca 6. Modelo Amplado 7. Referêncas

2 Especfcação do Modelo Exemplo 5 Rede de Lanchonetes Modelo para explcar receta total em cadea de lanchonete Semanalmente decde-se: quanto gastar com propaganda e quas promoções (preços mas baxos) serão mplementadas Dados: lanchonete Fonte: Hll Exemplo 5 Rede de Lanchonetes Despesas de propaganda: Aumento despesas gera aumento na receta? Aumento de receta é sufcente para justfcar despesas? Redução de preços leva a aumento ou dmnução de receta total?

3 Exemplo 5 Rede de Lanchonetes Promoções: Redução de preços leva a aumento ou dmnução de receta total? Stuações a ser verfcadas: Redução de preços Redução de preços Pequeno aumento das vendas Grande aumento das vendas Demanda nelástca em relação ao preço Demanda elástca em relação ao preço Modelo Econômco E 0 1 ( RT ) β + β p + β a RT: receta total ($ ml) p: preço médo de todos os produtos a: nível de despesas com propaganda ($ ml) Comportamento esperado (ou médo) de mutos pontos de venda dstntos Componente sstemátco Modelo Econométrco RT 0 + β1 p + β β a + ε Incorpora o termo de erro aleatóro e: todos os fatores que fazem a receta total da semana dferr de seu valor esperado (condções meteorológcas, comportamento dos concorrentes, etc.) componente sstemátco RT E( RT ) + ε componente aleatóro

4 Interpretação dos Parâmetros ß 1 : Varação em RT ($ 1000) quando p sofre um aumento de 1 undade e a é mantdo constante: RT β1, a cte. p β 1 RT p ß 1 > 0: demanda nelástca em relação ao preço aumento de preço ocasona aumento receta ß 1 < 0: demanda elástca em relação ao preço aumento de preço ocasona decréscmo receta Interpretação dos Parâmetros () ß : Varação em RT ($ 1000) quando a é aumentado de $1 ml e p é mantdo constante. Espera-se que seja postvo: RT RT β, p cte. β a a ß <1: aumento de $1.000 na propaganda ocasonará aumento nferor a $1.000 em RT ß >1: aumento na propaganda acarretará aumento maor na receta Análse Exploratóra Graph > Matrx Plot > Matrx of plots: Smple

5 Matrx Plot of receta total; preço; propaganda 1,5,0, receta total 100,5 preço,0 0 1,5 10 propaganda Correlatons: receta total; preço; propaganda receta tota preço -0,014 0,91 preço propaganda 0,95 0,101 0,000 0,474 Comentáros Embora a correlação entre receta Total e preço seja não sgnfcante, o dagrama de dspersão mostra padrões nos pontos; A correlação entre Receta Total e propaganda é bastante forte e aparenta haver uma relação lnear entre elas Preço e propaganda são fracamente correlaconados Modelo Geral

6 Regressão Múltpla Predzer valores de uma varável dependente (Y) em função de varáves ndependentes (X 1, X,..., X k ). Conhecer o quanto as varações de X j (j 1,...,k) podem afetar Y. Aplcações X 1 renda X taxa de juros X 3 poupança Y consumo X 1 área construída X custo do m X 3 localzação Y preço móvel Modelo de Regressão Múltpla E{Y} f(x 1, X,..., X k ) Lnear: E{Y} ß 0 + ß 1 X 1 + ß X ß k X k Admte-se que X 1,..., X k são varáves não estocástcas e Y é uma varável aleatóra.

7 Modelo de Regressão Múltpla () E{Y} ß 0 + ß 1 X 1 + ß X ß k X k O coefcente ß j representa a varação esperada de Y para cada undade de varação em X j (j 1,,..., k), consderando as outras varáves ndependentes fxas. O prmero objetvo é estmar os coefcentes: ß 0, ß 1, ß,..., ß k AMOSTRA: Modelo de Regressão varáves obs. Y X 1 X... X k 1 y 1 x 11 x 1... x 1k y x 1 x... x k n y k x n1 x n... x nk E{Y } ß 0 + ß 1 X 1 + ß X ß k X k termo aleatóro Y ß 0 + ß 1 X 1 + ß X ß k X k + e Modelo de Regressão Múltplo Y β + β X + β X β X + ε k k ß j : efeto da varação da varável x j sobre o valor esperado de Y, mantdas as outras varáves constantes 1,..., n e j1,..., k ß 0 : ntercepto

8 Supostos do Modelo Os erros (e ) são ndependentes e varam aleatoramente segundo uma dstrbução (normal) com méda zero e varânca constante (homocedástco). A méda de todas a varáves omtdas do modelo é zero (o modelo em méda é correto). Para nenhuma observação a ncerteza do modelo será maor ou menor (homocedástco) Supostos do Modelo cov(e, e j ): o tamanho do erro de uma observação não tem qualquer nfluênca sobre o tamanho provável do erro de outra observação; Nenhuma varável explanatóra é uma função lnear exata de qualquer outra (multcolneardade exata) Nenhuma varável é redundante Estmatva de Mínmos Quadrados Ordnáros para Varáves Mnmzação da soma dos quadrados das dferenças entre os valores observados e seu valor esperado n 0, β1, β) ) 1 ( y E( Y ) ( y β0 β1x1 x ) S( β β 1 Os estmadores de mínmos quadrados são obtdos através das dervadas de S em relação a ß 0, ß 1 e ß. Os cálculos não são trvas n

9 Modelos Lneares Regressão Smples x y y b 0 +b 1 x + e 98 β 0 + β e β 0 + β e 11 β 0 + β e β 0 + β e 4 1 β 0 + β e 5 Notação Matrcal Regressão Smples β 0 β 1 + e 1 e e 3 e 4 e 5 Y X b + e Modelos Lneares Regressão Múltpla x 1 x y

10 Notação Matrcal Regressão Múltpla β β 0 β e 1 e e 3 e 4 e 5 Y X b + e Estmador de Mínmos Quadrados Y Xβ + ε Estmador de mínmos quadrados de β, sto é, o vetor βˆ que mnmza a função L(β) ε ε (Y - Xβ) (Y - Xβ) : ˆ -1 β (X X) (X Y) βˆ ( βˆ, βˆ, L, βˆ ) 1 k Cálculo das EMQO Na prátca, usam-se pacotes computaconas para calcular as estmatvas de mínmos quadrados (EMQO) No Mntab, o camnho é o mesmo: Stat > Regresson > Regresson

11 Lanchonetes Regressão Ajustada Regresson Analyss: receta total versus preço; propaganda The regresson equaton s receta total 105-6,64 preço +,98 propaganda Predctor Coef SE Coef T P Constant 104,786 6,483 16,16 0,000 preço -6,64 3,191 -,08 0,043 propaganda,9843 0, ,88 0,000 S 6,06961 R-Sq 86,7% R-Sq(adj) 86,% Analyss of Varance Source DF SS MS F P Regresson 11776, 5888,1 159,83 0,000 Resdual Error , 36,8 Total ,4 Interpretação A demanda aparenta ser elástca em relação ao preço Aumento de $1 no preço leva a queda de $6.64 na receta O coefcente de propaganda é postvo: Aumento de $1.000 na propaganda resulta aumento de $.984 na receta Interpretação () Intercepto: Se tanto o preço como as despesas com propaganda fossem zero, a receta sera $ Interpretação enganosa

12 Lanchonetes Gráfco de Resíduos Resdual Plots for receta total Normal Probablty Plot of the Resduals 99 Resduals Versus the Ftted Values Percent Deleted Resdual Deleted Resdual Ftted Value 140 Frequency 10,0 7,5 5,0,5 0,0 Hstogram of the Resduals -,0-1,5-1,0-0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 Deleted Resdual Deleted Resdual Resduals Versus the Order of the Data Observaton Order Equação para predção Prever a receta total para um preço de $ e despesa com propaganda de $1.000: ˆ 104,785 6,64() +,9843(10) $11,34 R T Os modelos de regressão descrevem as varáves econômcas para valores análogos aos dos dados amostras. Extrapolar resultados para valores extremos não é recomendado Estmação da Varânca A varânca é estmada por: eˆ σˆ n ( k + 1) onde, k+1: quantdade de parâmetros a estmar n: tamanho na amostra No exemplo da receta total das lanchonetes: σˆ 36,8 5 3

13 No exemplo da receta total das lanchonetes: σˆ 36,8 5 3 Propredades Amostras dos EMQO Teorema de Gauss Markov Atenddas as hpóteses do modelo de regressão, os EMQO são os melhores estmadores lneares não vcados dos parâmetros (BLUE best lnear unbased estmators). Não é necessára a hpótese de normaldade

14 Varâncas e Covarâncas dos EMQO Para o caso de duas varáves explcatvas, temos que: Var( β ˆ ) 1 n 1 ( x x ) (1 r ) r 1 : coefcente de correlação entre X 1 e X Há fórmulas análogas para as outras varáves 1 σ 1 1 Conseqüêncas Quanto maor a varânca do erro (s ), maor a varânca dos EMQO; A ncerteza global na especfcação do modelo é transmtda a seus estmadores Quanto maor o tamanho n da amostra, menor é a varânca dos EMQO Mas observações resultam em estmação mas precsa Conseqüêncas () Quanto maor a varação da varável explcatva em torno de sua méda, menor a varânca do EMQO Se a varação em x 1 é pequena, é dfícl medr seu efeto Quanto maor a correlação entre X 1 e X, maor a varânca do EMQO. Se a varação em uma explcatva está relaconada com a varação de outras varáves, é dfícl separar seus efetos

15 Matrz de Varâncas e Covarâncas Para o caso de duas varáves explcatvas: Var( βˆ 0) Σ Cov( βˆ, ˆ 0 β1) ˆ ˆ Cov( β0, β) Cov( βˆ ˆ ˆ ˆ 0, β1) Cov( β0, β) ˆ ˆ ˆ Var( β1) Cov( β1, β) Cov( βˆ, ˆ ) ( ˆ ) 1 β Var β A maora dos pacotes apresenta esta matrz como um de seus resultados de saída Cálculo no Mntab O Mntab, não apresenta a matrz de varânca e covarânca em sua saída Para seu cálculo: Stat > Regresson > Regresson Serão armazenados uma matrz de resultados (X X) -1 e uma constante (MSE) No Mntab, matrz é dentfcada com a letra M e constante com a letra K. Os resultados armazenados podem ser verfcados em: Data > Dsplay Data

16 Varâncas e Covarâncas Lanchonetes Para se obter a matrz de varâncas e covarâncas, basta se multplcar o MSE (constante) por (X X) -1 (matrz) MTB > Multply K M1 M MTB > Prnt M Data Dsplay Matrx M 4,056-19,8631-0, , ,1837-0, ,1611-0,0540 0,07868 Varâncas dos EMQO Lanchonetes Var βˆ ) ( 0 4,06 Var βˆ ) ( 1 10,184 Var βˆ ) ( 0,0787 Estmatvas Intervalares e Testes de Hpóteses

17 Normaldade Se acrescentarmos a suposção de normaldade dos erros às hpóteses do modelo, então os EMQO são os melhores estmadores não vcados dos parâmetros da regressão; Além dsso, podemos construr ntervalos de confança e realzar testes de hpóteses Inferênca para ß j Dstrbução do estmador ß j, j 0, 1,..., k: Intervalo de confança βˆ t j βˆ ~ N j ( β, ep( βˆ ) ( βˆ ) β βˆ t ep( βˆ ) α / ;( n ( k + 1)) ep j j j + α / ;( n ( k + 1)) j j j Exemplo Lanchonetes Regresson Analyss: receta total versus preço; propaganda The regresson equaton s receta total 105-6,64 preço +,98 propaganda Predctor Coef SE Coef T P Constant 104,786 6,483 16,16 0,000 preço -6,64 3,191 -,08 0,043 propaganda,9843 0, ,88 0,000 S 6,06961 R-Sq 86,7% R-Sq(adj) 86,% Analyss of Varance Source DF SS MS F P Regresson 11776, 5888,1 159,83 0,000 Resdual Error , 36,8 Total ,4 Tamanho da amostra: 5

18 Intervalos com 95% de Confança t a/,(5-(+1)),010 Do Parâmetro ß 0 : 104,79 (,010)(6,483) β0 104,79 + (,010)(6,483) 91,759 β0 117,81 Intervalos com 95% de Confança Do Parâmetro ß 1 : 6,64 (,010)(3,191) β1 6,64 + (,010)(3,191) 13,056 β1 0,8 Intervalo pouco nformatvo Redução de $1 no preço acarreta um aumento da receta de $ 8 a $ Intervalos com 95% de Confança Do Parâmetro ß :,984 (,010)(0,1669) β,984 + (,010)(0,1669),649 β1 3,319 Aumento de $1.000 nas despesas com propaganda levam a um aumento da receta de $.649 a $

19 Teste de Sgnfcânca para Coefcente Únco Teste de sgnfcânca do parâmetro ß j, j 0, 1,..., k : H 0 : ß j 0 vs H 1 : ß j? 0 Estatístca de teste: regressão não é sgnfcatva regressão sgnfcatva βˆ T ep j ( βˆ ) Dstrbução da estatístca de teste: j T ~ t( n ( k + 1)) Inferênca para Parâmetros Caso Geral Teste de Hpóteses de parâmetro: H 0 : ß j ß 0 vs H 1 : ß j? ß 0, 0,..., k β j β Estatístca de teste: T ep βˆ ˆ 0 j ( ), 0, L, k Dstrbução da estatístca de teste: T ~ t( n ( k + 1)) j Regresson Analyss: receta total versus preço; propaganda The regresson equaton s Estatístca t receta total 105-6,64 preço +,98 propaganda Predctor Coef SE Coef T P Constant 104,786 6,483 16,16 0,000 preço -6,64 3,191 -,08 0,043 propaganda,9843 0, ,88 0,000 S 6,06961 R-Sq 86,7% R-Sq(adj) 86,% Analyss of Varance Source DF SS MS F P Regresson 11776, 5888,1 159,83 0,000 Resdual Error , 36,8 Total ,4 104,786 6,64,9843 Tβ 16,163T, β T 17, β 6,483 3,191 0,1669 Rejetamos H 0 se T <,010

20 Teste de Elastcdade da Demanda Quer-se saber se: ß 1 0: demanda nelástca em relação ao preço redução no preço ocasona redução da receta ß 1 < 0: demanda elástca em relação ao preço redução no preço ocasona aumento da receta Teste de Elastcdade da Demanda () Teste de Hpóteses de parâmetro: H 0 : ß 1 0 H 1 : ß 1 < 0 vs Estatístca de teste: Lmte da regão crítca: t 0,05; (5-(+1)) -1,68 T c,081< t 1,68 elastcdade untára ou nelástca demanda elástca 6,64 3,191 T β 1,081 Há evdêncas para conclur que demanda elástca é mas compatível com os dados Teste da Efcáca da Propaganda Quer-se saber se: ß 1: aumento de $1.000 na propaganda ocasonará aumento nferor a $1.000 na receta total ß >1: aumento na propaganda acarretará aumento maor na receta total

21 Teste de Elastcdade da Demanda () Teste de Hpóteses de parâmetro: H 0 : ß 1 H 1 : ß 1 > 1 vs Estatístca de teste: Lmte da regão crítca: t 0,05; (5-(+1)) 1,68 T c 11,89 > t 1,68 propaganda nefcaz propaganda efcaz, ,1669 T β 11,89 Há evdêncas para conclur que a despesa com propaganda é justfcada com aumento de receta Qualdade do Ajuste e Teste de Sgnfcânca Coefcente de Determnação (1) SQReg ( yˆ y) R SQT ( y y) Medda da proporção da varável dependente que é explcada por todas as varáves explcatvas ( y SQRes eˆ 1 1 SQT y)

22 Exemplo Le de Consumo Regresson Analyss: receta total versus preço; propaganda The regresson equaton s receta total 105-6,64 preço +,98 propaganda R Predctor Coef SE Coef T P Constant 104,786 6,483 16,16 0,000 preço -6,64 3,191 -,08 0,043 propaganda,9843 0, ,88 0,000 S 6,06961 R-Sq 86,7% R-Sq(adj) 86,% Analyss of Varance Source DF SS MS F P Regresson 11776, 5888,1 159,83 0,000 Resdual Error , 36,8 Total , , R 1 0, ,4 Explcada Não explcada R É o quadrado do coefcente de correlação amostral entre o valor ajustado e o valor observado É um recurso descrtvo para nformação sobre o ajuste do modelo Dfculdade: É sempre possível aumentar o R através da adção de novas varáves no modelo R Ajustado Medda alternatva para a qualdade do ajustamento: SQRes n ( k + 1) R 1 SQT n 1 O R ajustado penalza a quantdade de varáves

23 Regresson Analyss: receta total versus preço; propaganda The regresson equaton s receta total 105-6,64 preço +,98 propaganda Predctor Coef SE Coef T P Constant 104,786 6,483 16,16 0,000 preço -6,64 3,191 -,08 0,043 propaganda,9843 0, ,88 0,000 R Ajustado S 6,06961 R-Sq 86,7% R-Sq(adj) 86,% Analyss of Varance Source DF SS MS F P Regresson 11776, 5888,1 159,83 0,000 Resdual Error , 36,8 Total , , 5 ( + 1) R 1 0, ,4 5 1 Consderações sobre R Não mede a adequação do modelo lnear Para comparação entre modelos, é mportante observar a varação do erro quadrátco médo Sua grandeza depende também do ntervalo de varação da varável regressora valor grande de R pode ser resultado de varação rrealsta de x Abusos Comuns Deve-se tomar cudado na forma do modelo e na seleção das varáves que serão usadas. Forte assocação não mplca relação causal entre varáves Relações de regressão são váldas somente dentro da faxa dos dados orgnas de x. Modelos de regressão não são necessaramente váldos para fns de extrapolação

24 Teste de Sgnfcânca Global do Modelo H Hpóteses: 0 : 1 k β β L β 0 H : pelo menos um 0 Estatístca de teste: Dstrbução amostral de F: 1 SQReg F k SQRes n ( k +1) F ~ F k,[ n ( k+ 1)];α Graus de Lberdade SQReg: k SQRes: n (k+1) SQT: n 1 Análse de Varânca do Modelo Fonte de varação Regressão Erro gl k n-(k+1) SQ SQReg SQRes QM SQReg k SQRes n ( k +1) Razão QMReg F QMRes Total n-1 SQT

25 Exemplo Lanchonetes Regresson Analyss: receta total versus preço; propaganda The regresson equaton s receta total 105-6,64 preço +,98 propaganda Predctor Coef SE Coef T P Constant 104,786 6,483 16,16 0,000 preço -6,64 3,191 -,08 0,043 propaganda,9843 0, ,88 0,000 S 6,06961 R-Sq 86,7% R-Sq(adj) 86,% Analyss of Varance Estatístca F Source DF SS MS F P Regresson 11776, 5888,1 159,83 0,000 Resdual Error , 36,8 Total ,4 F , 1.805, 5 ( + 1) 159,85 Teste de Sgnfcânca Global Nível de sgnfcânca de 5% Lmte da regão crítca: F 0,05;, [5-(+1)] f c 3,18658 F c 159,83 > f 3,187 Há evdêncas para conclur que a relação estmada é sgnfcante, ou seja, ou o preço, ou a despesa com propaganda, ou ambos têm nfluênca na receta total Relação entre Teste Conjunto e Testes Indvduas Qual dferença entre testar os coefcentes conjuntamente (ß ß 3 0) ou testá-los separadamente (ß 0 e ß 3 0)? O teste F, além de abranger as duas hpóteses conjuntamente, consdera a correlação entre os EMQO. Cada teste t não leva sto em conta, logo, eles não se equvalem.

26 Conflto entre Teste t e Teste F É possível os testes t não ndcarem coefcente sgnfcante, enquanto o teste F mplca os coefcentes conjuntamente sgnfcatvos Esta stuação ocorre com freqüênca quando os dados são multcolneares Modelo Restrto O teste F ndcou que ou o preço ou a propaganda ou ambas explcam a Receta Total; Como saber se a mudança no preço não tem qualquer efeto sobre a receta, contornando o efeto dos testes t ndvduas? Vamos testar: H 0 : H 1 : preço não tem efeto na receta preço tem algum efeto na receta Ou, de outra manera: H 0 : RT β 0 + β + ε a H 1 : RT β 0 + β1p + βa + ε Se H 0 for verdadera, esperamos uma pequena varação na soma dos quadrados dos resíduos dos dos modelos.

27 Soma do quadrado dos resíduos: SQRes R : soma restrta de quadrados dos resíduos SQRes de H 0 SQRes U : soma não restrta quadrados resíduos SQRes de H 1 Tem-se sempre que: A estatístca F para testar esta dferença é: SQResR SQRes F J SQResU n ( k +1) J: quantdade de restrções sob H 0 U SQRes R SQRes F U 0 ~ F J,[ n ( k+ 1)];α Teste F H 0 consste em uma ou mas hpóteses (J) de gualdades (não pode nclur hpóteses do tpo: ou ) H 1 : ao menos uma das gualdade não é verdadera Estatístca F: ( SQResR SQResU ) / J F SQRes /[ n ( k + 1)] Dstrbução amostral da estatístca U F ~ F J,[ n ( k+ 1)];α Modelo Restrto RT 0 + β a β + ε Regresson Analyss: receta total versus propaganda The regresson equaton s receta total 91,8 +,95 propaganda Predctor Coef SE Coef T P Constant 91,831 1,871 49,07 0,000 propaganda,9491 0, ,19 0,000 SQRes R J 1 S 6,6858 R-Sq 85,5% R-Sq(adj) 85,% Analyss of Varance Source DF SS MS F P Regresson ,6 0,000 Resdual Error Total Modelo Irrestrto RT 0 + β1 p + β β a + ε SQRes U 1.805, Regresson Analyss: receta total versus preço; propaganda The regresson equaton s receta total 105-6,64 preço +,98 propaganda Predctor Coef SE Coef T P Constant 104,786 6,483 16,16 0,000 preço -6,64 3,191 -,08 0,043 propaganda,9843 0, ,88 0,000 S 6,06961 R-Sq 86,7% R-Sq(adj) 86,% Analyss of Varance Source DF SS MS F P Regresson 11776, 5888,1 159,83 0,000 Resdual Error , 36,8 Total ,4

28 a 5% Estatístca de teste: Teste F Lmte da regão crítca: F 0,05; 1, [5-(+1)] f c 4,03839 F c F 4,33 > f 4, , , ,33 Há evdêncas para conclur que o preço tem efeto sgnfcatvo sobre a receta total Modelo Amplado Questonamento A relação lnear entre receta, preço e gastos com propaganda é uma boa aproxmação da realdade? Modelo lnear mplca que crescmento de gastos com propaganda leva a crescmento proporconal da receta, ndependente do nível Amento de gasto com propaganda não pode levar a retornos decrescentes?

29 Modelo Alternatvo RT β + β p + β a + β a + ε O termo do quadrado dos gastos leva em conta a dmnução dos resultados em função dos gastos com propaganda A resposta de E(RT ) é: E( RT), p cte. a E( RT ) 3 β + β a a Interpretação E( RT ) 3 β + β a a Quando a aumenta de um undade ($1.000) e p é mantdo constante, E(RT ) aumenta de ß + ß 3 a Snas esperados: ß > 0: Postva quando a 0? 3 < 0: Para o retorno car quando a aumenta Estmação do Modelo Amplado No Mntab, cramos uma coluna com os gastos da propaganda ao quadrado. Em Sesson, Edtor > Enable Command. MTB > let Let 'propaganda^' 'propaganda'** Stat > Regresson > Regresson

30 Resultados Regresson Analyss: receta tota versus preço; propaganda; propaganda^ The regresson equaton s receta total 105-6,58 preço +,95 propaganda + 0,0017 propaganda^ Predctor Coef SE Coef T P Constant 104,815 6,578 15,93 0,000 preço -6,58 3,459-1,90 0,063 propaganda,9475 0,7855 3,75 0,000 propaganda^ 0, , ,05 0,96 S 6,1336 R-Sq 86,7% R-Sq(adj) 85,9% Analyss of Varance Source DF SS MS F P Regresson ,3 395,4 104,38 0,000 Resdual Error ,1 37,6 Total ,4 Comentáros O coefcente de a não é sgnfcatvo, ou seja, não há dmnução do retorno em relação à propaganda ou o coefcente não fo estmado com precsão O preço se tornou não sgnfcatvo Dferenças nas estmatvas: RT 104,786 6,64p +,9843a R 86,7% σˆ 36,8 (6,483) (3,191) (0,1669) RT 104,815 (6,578) 6,58p (3,459) +,9843a (0,7855) + 0,00173a R 86,7% σˆ 37,6 Novos Dados Uma das soluções quando não há estmatva precsa de parâmetros econômcos é obter mas e melhores dados Neste caso, foram coletados dados de outras 6 semanas, dsponíves na planlha: lanchonete_new O nome das colunas têm o sufxo _new. Cra-se a coluna do quadrado dos gastos com propaganda.

31 Regresson Analyss: receta_new versus preço_new; propaganda_new;... The regresson equaton s receta_new , preço_new + 3,36 propaganda_new - 0,068 propaganda_new^ Predctor Coef SE Coef T P Constant 110,464 3,741 9,5 0,000 preço_new -10,198 1,58-6,45 0,000 propaganda_new 3,3610 0,417 7,97 0,000 propaganda_new^ -0,0675 0, ,68 0,096 S 5,91871 R-Sq 87,9% R-Sq(adj) 87,4% Analyss of Varance Source DF SS MS F P Regresson ,0 650,7 178,43 0,000 Resdual Error 74 59,3 35,0 Total ,3 Teste de Sgnfcânca Unlateral H 0 : ß 3 0 vs H 1 : ß 3 < 0 Nível de sgnfcânca de 5% Lmte crítco: t 0,05; [78-(3+1)] f c -1,66571 t c 1,68 < t 1,67 Os dados de que dspomos são compatíves com a hpótese da dmnução do retorno em função da despesa Comentáros Comparação com o ajuste anteror: RT 104,815 6,58p +,9843a + 0,00173a (6,578) (3,459) (0,7855) (0,03609) R 85,9% σˆ 37,6 RT * 110,464 (3,741) 10,198p* (1,58) + 3,3610a * (0,417) 0,0675a * (0,01589) R 87,4% σˆ 35,0 Houve aumento da precsão (menor erro-padrão) O termo a tem o snal esperado

32 Modelo Restrto Regresson Analyss: receta_new versus preço_new The regresson equaton s receta_new ,06 preço_new Predctor Coef SE Coef T P Constant 111,713 8,854 1,6 0,000 preço_new 5,057 4,01 1,6 0,11 S 16,5860 R-Sq,0% R-Sq(adj) 0,8% Analyss of Varance Source DF SS MS F P Regresson 1 436,9 436,9 1,59 0,11 Resdual Error ,3 75,1 Total ,3 Referêncas Bblografa Recomendada Hll, R. C., Grffths, W. E. e Judge, G. (Sarava) Econometra Gujarat, D. N. (Pearson) Econometra Básca Maddala, G. S. (LTC) Introdução à econometra