Análise de circuitos: um enfoque de sistemas segunda edição ISBN Copyright 2010 Karl Heinz Kienitz Todos os direitos reservados.

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3 Análse de crcutos: um enfoque de sstemas segunda edção ISBN Copyrght Karl Henz Kentz Todos os dretos reserados. Capa: Yuka Osako Análse de crcutos: um enfoque de sstemas segunda edção, por Karl Henz Kentz, está lcencada sob uma Lcença Create Commons Brasl. Permssões além do escopo desta lcença podem estar dsponíes a Dados Internaconas de Catalogação na Publcação (CIP Kentz, Karl Henz Análse de crcutos: um enfoque de sstemas / Karl Henz Kentz.ed. São José dos Campos: Insttuto Tecnológco de Aeronáutca,. ISBN Crcutos elétrcos.. Engenhara Elétrca. 3. Engenhara Eletrônca. 3. Eletrcdade. I.Título CDU Índces para catálogo sstemátco:. Engenhara eletrônca: crcutos Análse de crcutos Dsão de Engenhara Eletrônca Insttuto Tecnológco de Aeronáutca Praça Marechal Eduardo Gomes, 5 Vla das Acácas.89 São José dos Campos SP

4 À memóra de meus aós Ewald, Agnes, Dad e Mara. Com sua fé no Deus da Bíbla moeram montanhas.

5 Prefáco Esta edção contém uma ersão resta e corrgda de Análse de crcutos: um enfoque de sstemas, cuja prmera edção surgu de notas de aula da dscplna Análse de Crcutos mnstrada aos alunos dos cursos de Engenhara Eletrônca e Engenhara de Computação do ITA, o Insttuto Tecnológco de Aeronáutca. A dscplna de análse de crcutos no ITA tem sdo usada também para ntroduzr concetos fundamentas de análse de sstemas dnâmcos. Crcutos elétrcos são sstemas dnâmcos, daí a naturaldade da opção de apresentálos com um enfoque de análse de sstemas dnâmcos. O objeto deste texto é apresentar as prncpas ferramentas teórcas e stuações típcas em crcutos ao estudante e ao profssonal nteressado num texto de referênca. A sequênca de apresentação pretende ser natural, ncando com o geral e camnhando para o partcular. Assm tratase, ncalmente, do crcuto (lnear ou nãolnear no domíno do tempo. Em seguda passase à dscussão de crcutos lneares (sto é, a um caso partcular usando as ferramentas pertnentes. Somente depos são tratados fasores e crcutos lneares em regme permanente senodal (sto é, uma stuação especal do caso partcular. A abordagem adotada é ao mesmo tempo densa e de compreensão facltada, pos nada precsa ser decorado, tudo pode ser deduzdo e portanto entenddo; o ponto de partda são les fundamentas e as equações com elas obtdas. O texto fo concebdo de forma a crar os fundamentos de uma cultura de crcutos adequada às aplcações em constante e rápda eolução, hoje permeadas de crcutos ntegrados. Além das técncas consagradas para ldar com os elementos de crcuto padrão (resstores, ndutores e capactores lneares e o já clássco amplador operaconal, o texto confronta o letor com exemplos de técncas que permtem explorar os benefícos da nãolneardade quando dspostos (como o MOSFET, típco de crcutos ntegrados são usados em quantdade para obtenção de alguma característca de nteresse. Sou grato a todos que me ajudaram com crítcas e sugestões da prmera edção e de ersões prelmnares. Igualmente agradeço aos meus colegas da Dsão de Engenhara Eletrônca do ITA por alosas dscussões sobre aspectos técncos e ddátcos em análse de crcutos. Esta segunda edção dfere da prmera pelas usuas correções ao texto, bem como por um refnamento e ocasonal detalhamento de colocações e explcações em alguns pontos.

6 Sumáro. Les de Krchhoff.... esstores com dos termnas esstores com múltplos termnas Ampladores operaconas Crcutos de prmera ordem Crcutos de segunda ordem e ordem superor Transformada de Laplace e resposta em frequênca O crtéro de Nyqust egme permanente senodal.... Crcutos com áras portas de acesso; recprocdade...4 Apêndce A: Frações parcas...3 Apêndce B: Fator de mérto...33 eferêncas...37 Índce remsso...38

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8 Análse de crcutos: um enfoque de sstemas. Les de Krchhoff Este texto é dedcado ao estudo da teora de crcutos, mas especfcamente à sua aplcação em análse de crcutos. Teora de crcutos é a dscplna de engenhara oltada para o desempenho elétrco, defndo por alores de tensões e correntes. Os fenômenos e propredades físcas subjacentes ao comportamento elétrco, sto é, aquelas que o proocam, não são objeto de estudo aqu. O objeto da teora de crcutos é a predção do comportamento de crcutos físcos sando a melhoras dos projetos. Em análse de crcutos, a preocupação é prncpalmente com o estudo de crcutos já projetados (ou exstentes. A atdade crata e de concepção enolendo crcutos é denomnada projeto de crcutos e está alcerçada sobre um bom conhecmento da análse. Daí a grande mportânca de se conhecer a análse. Em crcutos exstem duas grandezas físcas fundamentas: Tensão: A tensão (ou dferença de potencal entre pontos é medda pelo trabalho necessáro para transferr carga untára de um ponto para o outro. A dferença de potencal entre dos pontos perfazendo uma tensão de [V] corresponde a um trabalho de [J] necessáro para transferr uma carga de [C]. Corrente: Corrente é a transferênca (fluxo de carga. Uma corrente de [A] equale à transferênca de carga de [C/s]. Crcutos, modelos e elementos de crcuto Dspostos de crcuto, crcutos físcos Um dsposto de crcuto é um componente elétrco/eletrônco, sto é, um objeto físco. Exemplos de dspostos são: resstores, capactores, transstores, crcutos ntegrados, transformadores, chaes, fontes de tensão e corrente. Um crcuto físco (elétrco/eletrônco é um conjunto nterconectado de dspostos. Para a nterconexão, geralmente usase algum meo condutor metálco (cabo, fo, flete etc.. esstores e capactores são os dspostos de crcuto mas comuns. Eles estão presentes em pratcamente todos os crcutos exstentes e são fabrcados em dersas tecnologas. Os resstores mas comuns são os de fo e de carbono. Os capactores mas comuns são os de cerâmca, poléster e os eletrolítcos. esstores de carbono e capactores de poléster tpcamente têm marcação de seu alor no corpo do componente usando faxas de cores. As prmeras três faxas ndcam números D, D e M que apontam o alor do componente da segunte forma: D D M. As undades são [Ω] para os resstores e [pf] para os capactores. O códgo de cores é o segunte: Cor Dígto assocado Preto Marrom Vermelho Laranja 3 Amarelo 4 Cor Dígto assocado Verde 5 Azul 6 Voleta 7 Cnza 8 Branco 9 Na tercera faxa de resstores anda podem ser usados ouro (M ou prata (M. A cor da quarta faxa ndca a tolerânca do componente: esstores: 5% (ouro, % (prata, % (ausente Capactores: % (branco, % (preto ou ausente A tensão de solamento para os capactores é ndcada pela cor de uma qunta faxa: 5V (ermelho 4V (amarelo 63V (azul

9 Análse de crcutos: um enfoque de sstemas Capactores eletrolítcos possuem polardade, que sempre está ndcada no corpo do dsposto. Seu uso exge atenção especal. Elementos de crcutos e crcutos Elementos de crcutos são modelos deas de dspostos. Tratase portanto de objetos dealzados. Os seguntes elementos de crcuto são os mas comuns: o resstor com a característca ; o ndutor com a característca Ld/dt; o capactor com a característca Cd/dt. Um modelo de dado dsposto é composto de um ou mas elementos de crcuto. Exemplo: Dsposto bobna condensador Elemento de crcuto correspondente ndutor capactor Um modelo resulta de aproxmações. Por sso podem exstr dersos modelos para um mesmo dsposto, dependendo das aproxmações usadas. As aproxmações usadas dependem das aplcações nas quas se deseja empregar o dsposto. Dspostos para os quas sto é fato estabelecdo são, por exemplo, ampladores operaconas e transstores de todo tpo. Por crcuto, fnalmente, entendese a nterconexão de elementos de crcuto. Assm o crcuto é também um modelo, no caso de um crcuto físco. Do ponto de sta de sstemas, entendese um crcuto como um sstema e partes de crcutos como subcrcutos ou subsstemas. Quando nterconectamos dersos elementos de crcuto, temos um nó em cada junção. Além dsso, termnas que permanecem abertos também são nós. elemento 3 elemento FIGUA. Elementos de crcuto, termnas e nós. O que é análse de crcutos? A Fgura. lustra o contexto no qual se nsere a análse de crcutos. Ela é a ferramenta que, de forma semelhante ao expermento, permte extrar nformação quanttata de um crcuto. O expermento é realzado com o sstema físco (crcuto físco ou aparelho. A análse é realzada com o crcuto, que é o modelo do sstema físco. Aparelho Crcuto expermento modelamento análse meddas Há concordânca? resultados calculados FIGUA. Contexto da análse de crcutos.

10 Análse de crcutos: um enfoque de sstemas Em análse de crcutos, empregamse o conhecmento matemátco e o de les elétrcas que consttuem objeto deste lro. Obserações: Em teora de crcutos supõese que os modelos de cada dsposto sejam conhecdos. Na prátca, modelos adequados geralmente exstem. Crcutos concentrados crcutos dstrbuídos Do ponto de sta de modelagem, é mportante dferencar os crcutos concentrados dos crcutos dstrbuídos. Um crcuto é consderado concentrado quando suas dmensões físcas permtem supor que os snas de nteresse se propagam nstantaneamente. Para c (elocdade de propagação e f (maor frequênca de nteresse defndos, temos sto como áldo, se para o maor camnho no crcuto a segunte condção for erdadera: c d << f Nesse caso, tensões (t e correntes (t estão defndas por todo o crcuto unocamente para todo t, ndependentemente das coordenadas de posção. Exemplos: Para um crcuto de eletrônca de potênca que trabalha com f 6 [Hz], temse d << 5 7 [m]. Para um crcuto de áudo com f 5 [khz], temse d << [m]. Para um crcuto dgtal com tempos de chaeamento de, [ns], temse d << 3 7., 9,6 [m], supondo (pessmstcamente um período do snal gual a duas ezes o tempo mínmo de chaeamento. As les de Krchhoff As les de Krchhoff serão aqu entenddas como postulados, no entanto podese demonstrar sua aldade para crcutos concentrados a partr das equações de Maxwell. Incalmente defnmos o sstema de coordenadas elétrco conenconando polardades para as tensões e sentdos para as correntes assocadas, como lustrado na Fgura.3. k kn n FIGUA.3 Notação e sstema de coordenadas elétrco. A dreção de referênca de corrente, juntamente com o snal de (t, determna o sentdo de fluxo das cargas elétrcas. 3

11 Análse de crcutos: um enfoque de sstemas Defnções: Crcuto conectado é aquele no qual todo nó pode ser alcançado a partr de qualquer outro por meo de um camnho atraés dos elementos do crcuto. Nó de referênca é qualquer nó adotado por conenção para a medda de potencas elétrcos. Le de Krchhoff das tensões LKT (Le de Krchhoff das tensões Para todos os crcutos concentrados, para todas as escolhas de nós de referênca, para todos os tempos t e para todos os nós k e j ale k j ( t ek ( t e j ( t onde e j (t é o potencal do nó j no tempo t. Temse anda k j kj ( t ( t. j k k... j e k e j n e n FIGUA.4 Dagrama para enuncado da LKT. Outra formulação para a Le de Krchhoff das tensões, denomnada formulação nodal, é a segunte: para todos os crcutos concentrados conectados, para todas as sequêncas de nós fechadas (sto é, que ncam e termnam no mesmo nó, para todos os tempos t, a soma algébrca de todas as tensões nóanó ao longo de qualquer sequênca de nós escolhda é gual a zero. Le de Krchhoff das correntes Defnção Uma superfíce fechada tpo balão receberá o nome de superfíce gaussana. LKC (Le de Krchhoff das correntes Para todos os crcutos concentrados conectados, para todas as superfíces gaussanas S e todos tempos t, a soma algébrca de todas as correntes dexando a superfíce S no tempo t é nula. A formulação nodal para a Le de Krchhoff das correntes é a segunte: para todos os crcutos concentrados conectados e todos tempos t, a soma algébrca de todas as correntes dexando qualquer nó no tempo t é nula. Obserações: LKT e LKC são encarados como postulados fundamentas. LKT e LKC refletem propredades da nterconexão e não dos elementos de crcuto. LKT e LKC (se empregadas como enuncadas aqu resultam em equações algébrcas homogêneas lneares com coefcentes reas de alor, ou. 4

12 Análse de crcutos: um enfoque de sstemas Exemplo: Para lustrar o equaconamento usando LKC e LKT será usado o crcuto representado no dagrama esquemátco anotado da Fgura.5. S (t 5 (t 6 (t (t (t 3 (t 3 9 (t 4 (t 7 (t (t S 4 8 (t 5 FIGUA.5 Dagrama esquemátco anotado. Equação LKC para S : 3 Equação LKC para S : 7 4 Equação LKT para a sequênca de nós 5 4 5: Do crcuto ao grafo Vsando a uma mecanzação da aplcação das les de Krchhoff, assocaremos a cada crcuto um grafo dreconado (que não será, necessaramente, únco. O grafo dreconado é uma representação gráfca padrão para crcutos e é obtda como descrto a segur. Um grafo é defndo por um conjunto de nós e um conjunto de ramos lgando estes nós. Se os ramos receberem uma orentação (o que acontecerá no nosso caso, o grafo é chamado de grafo dreconado ou dígrafo. O dígrafo assocado a um elemento de crcuto com dos termnas é o mostrado na Fgura.6. ou FIGUA.6 Elemento de crcuto de dos termnas e dígrafo assocado. é a chamada de tensão de ramo e é chamada de corrente de ramo. Com as dreções escolhdas, o produto corresponde à potênca entregue ao elemento de crcuto atraés de seus termnas. Para assocar um grafo a um elemento de crcuto com mas de dos termnas, consderese o elemento de n termnas da Fgura.7. 5

13 Análse de crcutos: um enfoque de sstemas k... k... n n FIGUA.7 Elemento de crcuto de n termnas. Como sabemos pela LKC que apenas n correntes são ndependentes, pos n (, j t j passamos a desconsderar n (e a equação acma e assocamos ao elemento de crcuto o grafo da Fgura.8. O nó n tornase assm o nó de referênca do elemento de crcuto. Em ez de optar pelo nó n como nó de referênca, podersea optar por qualquer outro nó. O grafo resultante sera dferente, porém equalente.... n n n FIGUA.8 Grafo assocado a elemento de crcuto de n termnas. A potênca nstantânea fornecda a um elemento de crcuto atraés de seus n termnas ale: p( t n j ( t j j ( t Exemplo: Ao amplador operaconal do crcuto da Fgura.5 podese assocar um grafo como mostrado abaxo. Neste caso, adotouse o nó 5 como nó de referênca (não para o crcuto, mas para o amplador operaconal. Esta escolha não é a únca possíel. Para outras escolhas, o grafo resultante será dferente, porém equalente. 4 (t 7 (t 3 4 (t (t FIGUA.9 Grafo assocado a um amplador operaconal. 6

14 Análse de crcutos: um enfoque de sstemas O grafo de um crcuto é obtdo pela nterconexão dos grafos de seus elementos de crcuto. Exemplo: Um grafo representato do crcuto da Fgura.5 é dado a segur: FIGUA. Grafo correspondente ao crcuto da Fgura.5. O problema remanescente é o procedmento (anda em aberto com os crcutos nãoconectados. Crcutos nãoconectados podem ser conectados usando um ramo de conexão "artfcal", desprodo de sgnfcado físco, pos por ele não passará corrente. O procedmento é lustrado na Fgura FIGUA. Grafo desconectado (acma à esquerda e o equalente conectado (acma à dreta que pode ser smplfcado elmnandose o nó 4(ao meo. Ao equaconar crcutos usando as les de Krchhoff, os seguntes lapsos podem ocorrer com facldade: podese omtr alguma equação mportante; podemse obter equações lnearmente dependentes, sto é, equações em excesso. Para ambos os casos, uma possíel solução encontrase num equaconamento sstemátco a partr do dígrafo do crcuto. LKC e LKT usando grafos e notação matrcal Para exposção do assunto, consderese para equaconamento usando LKC e LKT um crcuto com o dígrafo da Fgura.. 7

15 Análse de crcutos: um enfoque de sstemas FIGUA.: Exemplo de dígrafo. As equações obtdas usando LKC são: Para o nó 4 : Para o nó 3 : Para o nó : Para o nó: Por conenção do enuncado dado para a LKC, o coefcente da corrente que sa de um nó é na equação referente àquele nó, é quando entra no nó, e nos demas casos. As quatro equações obtdas são lnearmente dependentes, pos a soma de seus lados esquerdos resulta em. Qualquer conjunto de três dessas equações, no entanto, é um conjunto de equações lnearmente ndependentes. Tanto o conjunto de quatro equações quanto qualquer conjunto de três equações podem ser escrtas na forma matrcal, conforme abaxo. Aqu optouse por elmnar a equação do nó 4 (escolhendoo assm como nó de referênca. nó 4 nó 3 nó nó A a A O etor é o etor das correntes de ramo. A matrz A a recebe o nome de matrz de ncdênca, pos descree os sentdos de ncdênca dos ramos nos nós. A matrz A é denomnada matrz de ncdênca reduzda. Uma ez que cada ramo nterlga tãosomente dos nós, cada coluna da matrz de ncdênca deerá conter um e um. Os demas elementos da coluna deerão ser nulos. As equações obtdas usando LKT com o nó de referênca 4 (sto é, e 4 são: Para o ramo 6 : Para o ramo 5 : Para o ramo 4 : Para o ramo 3 : Para o ramo : Para o ramo: e e e e e e e e e Também essas equações podem ser colocadas na forma matrcal:

16 Análse de crcutos: um enfoque de sstemas e e e 3 ou Me O etor é o etor das tensões de ramo. O etor e é o etor das tensões nóreferênca. (No caso, e 4 não consta da equação, pos o nó 4 é o nó de referênca. Obserase que M A T. Propredades geras de crcutos concentrados Uma matrz de ncdênca reduzda de um crcuto conectado sempre possurá pleno posto de lnhas, como será enuncado e demonstrado no teorema a segur: Teorema Demonstração Para qualquer dígrafo com n nós, as equações obtdas pela aplcação da LKC em sua formulação nodal para n nós quasquer formam um conjunto de equações lnearmente ndependentes Denotemos a equação para o nó j da segunte forma f j (,..., n. Suponha (por absurdo que k n equações das n são lnearmente dependentes. Portanto exstem a,..., a k não todos nulos tas que: k a j f j (,..., n para todos os alores de,..., n j Sem perda de generaldade podese assumr que todos os a j são não nulos. Consderemse agora dos conjuntos dsjuntos de nós: os k nós das equações lnearmente dependentes, e os demas. Como o grafo é conectado, exste pelo menos um ramo lgando um conjunto ao outro. A(s corrente(s deste(s ramo(s aparece(m uma únca ez no somatóro acma e, portanto, não pode(m estar sendo cancelada(s, ou seja, as equações não podem ser lnearmente dependentes, o que é uma contradção. Uma pergunta que resta é: por que com a nésma equação o conjunto tornase um conjunto de equações lnearmente dependentes? Isso acontece porque cada coluna da matrz de ncdênca A a possu um únco e um únco, o que sgnfca que, se somarmos todas as equações, todos os termos estarão sendo cancelados. Teorema de Tellegen Demonstração Seja dado um dígrafo de um crcuto concentrado com b ramos, etor de correntes de ramo e etor de tensões de ramos. Então T. Da LKT A T e, onde A é a matrz de ncdênca reduzda e e o etor de tensões nóreferênca. Portanto, T e T A, usandose LKC. Algumas nterpretações para o teorema de Tellegen a O produto T do Teorema de Tellegen pode ser reescrto como b T j ( t j( t j Uma matrz M possu pleno posto de lnhas se a equação M T x admte x como únca solução. 9

17 Análse de crcutos: um enfoque de sstemas Como sto anterormente, k (t k (t é a taxa de fornecmento de energa ao ramo k pelo resto do crcuto no tempo t. Assm podese conclur pelo teorema de Tellegen que a conseração de energa em crcutos concentrados é uma consequênca das les de Krchhoff. b Tanto o etor (solução das equações de LKC como o etor (solução das equações de LKT são elementos do b. O prmero etor exste no subespaço das soluções de LKC, de dmensão b (n. O segundo etor exste no subespaço das soluções de LKT, de dmensão (n. O teorema de Tellegen nos nforma que estes dos subespaços são ortogonas. Exercícos propostos Exercíco : No crcuto da Fgura.3, consdere an' [V], bn' [V], cn' 5 [V], an 6,7 [V]. a Encontre os alores das tensões bn e cn. b Trace o dígrafo do crcuto e repta o tem (a usando o dígrafo. N' b N a c FIGUA.3 Exercíco : a Trace o dígrafo do crcuto da Fgura.5 usando o nó 4 como nó de referênca do amplador operaconal. Determne a matrz de ncdênca A a e determne seu posto, sto é, o número de lnhas lnearmente ndependentes. b Usando agora o nó 5 como nó de referênca do amplador operaconal, escrea as equações das les de Krchhoff usando a matrz de ncdênca reduzda. Exercíco 3: a No crcuto da Fgura.4, dê nome aos nós e ramos. A segur, determne o dígrafo do crcuto e a matrz de ncdênca correspondente. b Suprma uma das lnhas da matrz de ncdênca e erfque que as lnhas anda são lnearmente dependentes. Explque. c Conecte o dígrafo obtdo no tem (a e determne a matrz de ncdênca reduzda do noo dígrafo, que agora é um dígrafo conectado. Verfque que as lnhas desta matrz são lnearmente ndependentes. d Usando a matrz de ncdênca reduzda do tem anteror, escrea as equações que resultam das les de Krchhoff. FIGUA.4 Exercíco 4: a eescrea as equações das les de Krchhoff para o grafo da Fgura.. b Uma solução do sstema de equações fca determnada com a escolha das três tensões de ramo e de um conjunto de 3 alores de correntes de ramo. Escolha dos conjuntos dferentes de alores para três correntes e a três tensões. c Para cada uma de suas duas escolhas, calcule as tensões de ramo e as correntes de ramo remanescentes. d De posse dos alores do tem (c, erfque o teorema de Tellegen, sto é, erfque que de fato para ambos os conjuntos de soluções b T j ( t j( t. j

18 Análse de crcutos: um enfoque de sstemas. esstores com dos termnas Obtdas as equações das les de Krchhoff, restam graus de lberdade (er exercíco 4 do Capítulo e por sso é mportante consderar as relações entre tensões e correntes de ramos do crcuto. Essas relações são defndas pelo comportamento dos elementos de crcuto. A prmera classe de elementos de crcuto a ser estudada é a dos resstores. Defnção: esstor é um elemento de crcuto defndo completamente pela relação entre os alores nstantâneos de corrente (t e tensão (t, sto é, por sua característca tensão corrente (ou corrente tensão. esstores de dos termnas No caso do resstor lnear de dos termnas exste proporconaldade entre corrente e tensão do ramo correspondente no grafo do crcuto, sto é, ale a le de Ohm: ( t ( t ou ( t G( t Assm e G relaconamse por /G. O alor é denomnado resstênca (medda em Ohm, [Ω] [V/A]. O alor G é denomnado condutânca (medda em Semens, [S] [A/V]. Curto crcutos ( e crcutos abertos (G são casoslmte do resstor lnear. Mas, de forma geral, a característca (t (t (ou (t (t pode ser nãolnear. No caso geral, temse: {(, : f (, } Como sto anterormente, para o caso lnear f assume a forma partcular f (, ou ~ f (, G A característca ressta f(, é denomnada a característca dual de f(,. Uma característca f(, é chamada característca blateral quando f(, f(,. A blateraldade corresponde à smetra da característca em relação à orgem. esstores lneares são blateras. A smbologa adotada para resstores neste trabalho é ndcada na Tabela.. Tabela. Smbologa para resstores de dos termnas. esstor lnear esstor nãolnear ou G f(, Defnções: esstores controlados por corrente são aqueles que têm o alor de tensão entre seus termnas unocamente determnado para dado alor de corrente. esstores controlados por tensão são aqueles que têm o alor de corrente atraés de seus termnas unocamente determnado para dado alor de tensão.

19 Análse de crcutos: um enfoque de sstemas Mutas ezes um resstor é tanto um resstor controlado por tensão quanto um resstor controlado por corrente. Este é o caso dos resstores lneares. Entre resstores lneares e nãolneares exstem algumas dferenças marcantes de comportamento. esstores nãolneares produzem harmôncas (superores. Para resstores nãolneares, mutas ezes aproxmações lneares por partes podem ser usadas. Tabela. Comparação de resstores lneares e nãolneares. esstores lneares esstores nãolneares ( ( ( ( ( ( ( k k( ( k k( Exemplo: Um resstor nãolnear com a característca corrente tensão da Fgura. produz uma forma de onda de corrente nãosenodal, quando a tensão aplcada é senodal. A deformação da forma de onda é decorrente à produção de harmôncas pelo resstor nãolnear. forma de onda nãosenodal de corrente forma de onda senodal de tensão FIGUA. Produção de harmôncas por um resstor nãolnear. Potênca, passdade e modelamento Um resstor é denomnado passo se apenas dsspa energa, sto é, o produto (t(t para o ramo correspondente do grafo do crcuto é posto. Um resstor nãopasso é chamado de ato. Neste caso, o produto (t(t para o ramo correspondente é negato Exemplos: Um resstor lnear é passo se. Um resstor nãolnear é ato se sua característca (t (t ou alternatamente (t (t ester contda nteramente no segundo e quarto quadrantes. FIGUA. Característca (t (t de um resstor ato.

20 Análse de crcutos: um enfoque de sstemas Dodo O dodo de junção é um dsposto bastante comum em crcutos. Frequentemente pode ser aproxmado por um dodo deal. As característcas do dodo deal e um modelo exponencal para o dodo de junção são dados na Tabela.3. Tabela.3 Símbolos e característcas de dodos. Símbolo Característca Expressão analítca Dodo deal {(, :, p/ < e p/ > } d Na regão exponencal: Dodo de junção A I s I s e T onde T, I s característcas são constantes..3 Dodo túnel O dodo túnel é um resstor nãolnear controlado por tensão com o símbolo e tpo de característca dado na Fgura.3. Símbolo: Característca: FIGUA.3: Símbolo e característca típca de um dodo túnel. esstores arantes e narantes no tempo Um resstor é narante no tempo quando a característca que o defne ndepende da aráel tempo, sto é, quando é do tpo {(, : f (, } Um resstor é arante no tempo quando a característca que o defne é da forma

21 Análse de crcutos: um enfoque de sstemas Obseração: {(,, t : f (,, t } As aráes tensão e corrente para qualquer resstor são, de forma geral, arantes no tempo. A defnção acma para arante no tempo referese à relação entre tensão e corrente de ramo. Exemplos: Dos exemplos de resstores arantes no tempo são potencômetros e chaes, cujos símbolos são dados abaxo. Potencômetros: (t (t Chaes: (t (t (t FIGUA.4 Smbologa para potencômetros e chaes. Fontes não controladas Fontes de tensão e corrente com alores fxos ou dependentes apenas da aráel tempo são chamadas de fontes não controladas (ou ndependentes. Uma fonte de tensão não controlada é um elemento de crcuto que mantém uma tensão especfcada f (t entre seus termnas, não mportando a corrente por ela. Uma fonte de corrente não controlada é um elemento de crcuto que mantém uma corrente especfcada f (t entrando e sando de um crcuto qualquer ao qual está conectado. O alor de corrente ndepende da tensão entre os termnas da fonte. Tanto a fonte de tensão quanto a fonte de corrente satsfazem a defnção dada para resstores. Os símbolos adotados para fontes de tensão e corrente ndependentes encontramse na Fgura.5. f (t f (t FIGUA.5 Símbolos para fontes não controladas de tensão e corrente. Fontes de tensão narantes no tempo são também frequentemente representadas pelo símbolo da Fgura.6. (t FIGUA.6 Símbolo para fontes de tensão constantes. O elemento de crcuto fonte de tensão é um elemento dealzado. A tensão entre os termnas de uma fonte de tensão real ara quando ela é conectada a um crcuto. Esse efeto de carregamento é modelado por uma resstênca de saída, conforme mostrado na Fgura.7. Para a fonte deal. 4 3

22 Análse de crcutos: um enfoque de sstemas E Carga E E/ FIGUA.7 Fonte de tensão com resstor modelando o efeto de carregamento: dagrama de crcuto e característca tensão corrente. A fonte de corrente também é um elemento dealzado. Uma fonte de corrente real pode ser modelada por uma fonte deal em paralelo com um resstor lnear conforme mostrado na fgura.8. f (t Carga FIGUA.8 Fonte de corrente com resstor modelando o efeto de carregamento. Conexões em sére, em paralelo e séreparalelo Conexões de resstores em sére, em paralelo e séreparalelo podem ser stas como elementos de crcutos resstos. Na nterconexão sére de dos ou mas resstores, as característcas de tensão corrente somadas pontoaponto resultam na característcas de tensão corrente da nterconexão. O caso da nterconexão sére de dos resstores nãolneares é lustrado na Fgura.9. ( ( ( FIGUA.9 Interconexão sére de dos resstores nãolneares. Na nterconexão paralelo de dos ou mas resstores, as característcas de corrente tensão somadas ponto a ponto resultam na característcas de corrente tensão da nterconexão. A nterconexão paralelo de dos resstores nãolneares é lustrada na Fgura.. ( ( ( FIGUA. Interconexão paralelo de dos resstores nãolneares. 5

23 Análse de crcutos: um enfoque de sstemas No caso da conexão sére de n resstores lneares com resstêncas,..., n, temse: n n n ( j j ( j j j j Ou seja, o conjunto possu uma resstênca gual à soma das resstêncas. No caso da conexão paralelo de m resstores lneares com condutâncas G,..., G m, temse: m m m ( G j j G ( j j j j Ou seja, o conjunto possu uma condutânca gual à soma das condutâncas. Na determnação da resstênca ou condutânca equalente de nterconexões séreparalelo de resstores lneares, procedese por partes Obseração: Nem toda nterconexão de elementos de crcutos faz sentdo. A conexão em sére de fontes de corrente com correntes dferentes ou a conexão em paralelo de fontes de tensão com tensões dferentes são dos exemplos de nterconexões sem sentdo físco. Exemplo: Na Fgura. é lustrada a conexão sére de três resstores e a obtenção da característca resultante para a nterconexão. Como se trata de uma nterconexão sére, a característca resultante é obtda somandose as característcas de cada resstor da nterconexão. resstor lnear > fonte > E E dodo > E FIGUA. Exemplo de nterconexão sére e característca resultante. 6

24 Análse de crcutos: um enfoque de sstemas Exemplos:. Um dsor de tensão é um subcrcuto com dos resstores lneares como o mostrado na fgura., que pode ser usado para crar uma tensão proporconal a uma tensão dsponíel. Neste crcuto e portanto. FIGUA. Dsor de tensão.. Um dsor de corrente é um subcrcuto com dos resstores lneares como o mostrado na fgura.3, que pode ser usado para crar uma corrente proporconal a uma corrente dsponíel. Neste crcuto G G e portanto G. G G G G FIGUA.3 Dsor de corrente. Crcutos equalentes Na seção anteror, fcou claro que uma nterconexão de resstores em sére ou em paralelo pode ser substtuída por um resstor com característca derada daquelas dos elementos da nterconexão. Dzse nestes casos que os crcutos correspondentes (com os áros ou com um únco resstor resultante da nterconexão são equalentes. De forma geral, crcutos equalentes são aqueles que possuem as mesmas propredades elétrcas nas portas de acesso. Uma porta de acesso é consttuída de um par de pontos de acesso ou termnas. Exemplo: O par mas famoso de crcutos equalentes e sua característca tensão corrente são dados na Fgura.4. f (t/ f (t V f V f / FIGUA.4 Crcutos equalentes de Norton (esquerda e Théenn (centro, com característca típca para f (t V f constante. 7