UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA. Faculdade de Ciências e Tecnologia EDINÉIA APARECIDA DOS SANTOS

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1 nesp UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA Facldade de Cêncas e Tecnologa Programa de Pós-Gradação em Cêncas Cartográfcas EDINÉIA APARECIDA DOS SANTOS UTILIZAÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS NO TRATAMENTO DE IMAGENS ORBITAIS DISSERTAÇÃO DE MESTRADO Presdente Prdente 00

2 EDINÉIA APARECIDA DOS SANTOS UTILIZAÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS NO TRATAMENTO DE IMAGENS ORBITAIS Dssertação apresentada ao Programa de Pós-Gradação em Cêncas Cartográfcas da Facldade de Cêncas e Tecnologa da UNESP para a obtenção do títlo de Mestre. Orentador: Prof. Dr. Ervaldo Antono da Slva Presdente Prdente 00

3 S34 Santos Ednéa Aparecda dos. Utlzação de Eqações Dferencas Parcas no Tratamento de Imagens Orbtas / Ednéa Aparecda dos Santos. - Presdente Prdente : [s.n.] 00 f.09: l. Dssertação (mestrado).- Unversdade Estadal Palsta Facldade de Cêncas e Tecnologa Orentador: Ervaldo Antono da Slva. Eqações dferencas parcas.. Imagens orbtas. I. Santos Ednéa Aparecda dos Santos. II. Títlo. CDD (8.ed.) 63.7

4 À Des. Ao me companhero de todos os momentos Rober dedcando amor e ncentvo ao longo desta camnhada. Acredtando qe o sonho se tornara realdade. Aos mes pas pelo amor carnho e compreensão. Aos mes avós em especal a mnha avó Trndade (em memóra) ca bondade se qe está bem perto de Des. As mnhas rmãs e mnha sobrnha razão de mtas alegras.

5 AGRADECIMENTOS Ao me orentador Prof. Ervaldo Pelos ensnamentos e pela confança em mm depostada qe torno possível a speração de mas ma etapa em mnha vda. Ao Prof. José Roberto Nogera (UNESP/Departamento de Matemátca) Pela proposção do problema pelas sgestões ensnamentos e prncpalmente por proporconar a realzação deste proeto não só acadêmco mas de vda. Ao Prof. e colega Evanvaldo C. da Slva Júnor (Centro Unverstáro de Votporanga(CEUV)) por colaborar no desenvolvmento do trabalho. Ao Prof. Dr. Marílo Boaventra (DCCE/IBILCE/UNESP) por ceder parte de se tempo em prol de dscssões e análses sobre o proeto de pesqsa. À Fndação Coordenação de Aperfeçoamento de Pessoal de Nível Speror (CAPES) pelo apoo fnancero da bolsa. Aos Professores do departamento de Matemátca qe me mplsonaram para esta camnhada. Aos Professores do departamento de Cartografa qe me acolheram nesta nova ornada. Aos colegas das salas () e (0) qe compartlharam momentos de alegra e refleão. Aos colegas Govane Nlclene João Bosco José Arélo Rafael Rodrgo Zann Amérco Máro e Zto e a todos os otros a qem co nome não fo ctado mas com certeza faz parte de tantas conqstas. Aos Fnconáros do Departamento de Cartografa e do PPGCC e a todos aqeles qe dretamente o ndretamente contrbíram para esta realzação.

6 EPÍGRAFE... cada m de nós compõe a sa hstóra cada ser em s carrega o dom de ser capaz... (Almr Sater)

7 RESUMO: Este trabalho apresenta m modelo matemátco alternatvo aos fltros passa-baas convenconas no Processamento Dgtal de Imagens. O modelo de Eqação Dferencal Parcal (EDP) fo aplcado em magens orbtas para etração das feções de nteresse e os resltados obtdos foram comparados com os resltados do operador de Sobel e o Gradente Morfológco. O modelo matemátco tlzado no trabalho fo baseado na teora de EDPs e srge como ma proposta metodológca alternatva para a área de Cartografa. O modelo de EDP consste em aplcar seletvamente a eqação savzando adeqadamente ma magem sem perder as bordas e otros detalhes contdos na magem prncpalmente pstas de aeroportos e estradas pavmentadas. Palavras-chaves: Eqações Dferencas Parcas; Cartografa; Imagens Orbtas; Sensoramento Remoto; Segmentação.

8 ABSTRACT Ths work presents an alternatve mathematcal model for conventonal low-pass flters n Dgtal Image Processng. The model of Partal Dfferental Eqaton (PDE) was appled to orbtal mage to etract featres of nterest and the obtaned reslts were compared to over obtaned for Sobel operator and Morphologcal Gradent. The mathematcal model sed n ths work was based on PDE theory and was ntented to be on alternatve methodology for Cartography area. Ths model conssts n selectvels applyng the model of PDE n order adeqatels smooth an mage wthot losng edges and other detals on the mage manls arports tracks and paved roads. Words keys: Partal Dfferental Eqatons; Cartography; Orbtal Images; Remote Sensng; Segmentaton.

9 SUMÁRIO LISTA DE FIGURAS... 0 LISTA DE TABELAS... 3 LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS... 4 CAPÍTULO... 5 INTRODUÇÃO Consderações ncas Trabalhos relaconados Obetvos Jstfcatva Estrtra do trabalho... 0 CAPÍTULO... FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA.... Processamento dgtal de magens..... Conceto de magem dgtal Convolção de magens Segmentação de magens Processamento no domíno espacal Fltro Gassano Métodos de detecção de bordas Operador de Gradente Operador de Sobel Morfologa Matemátca Gradente Morfológco Eqações Dferencas Parcas Classfcação das Eqações Dferencas Parcas A Eqação do Calor Espaço de escala Implementação Nmérca Modelos de Eqações Dferencas Parcas... 6 CAPÍTULO MATERIAIS E MÉTODOS... 68

10 3. Software tlzado na mplementação do modelo Imagens teste tlzadas Dscretzação dos termos presentes no modelo de EDP CAPÍTULO RESULTADOS E DISCUSSÃO... 8 CAPÍTULO CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BIBLIOGRAFIAS... 06

11 LISTA DE FIGURAS Fgra Representação de ma magem dgtal... 4 Fgra Operação de convolção bdmensonal... 6 Fgra 3 Imagem correspondente ao aeroporto Internaconal Antôno Carlos Jobm RJ (Landsat 5 TM) (a) magem orgnal (b) magem segmentada... 7 Fgra 4 Imagem orgnal gráfco da lnha 90 representado em branco na fgra 4 (a)... 3 Fgra 5 Detecção de bordas por operadores de dervação: (a) faa clara sobre m fndo escro; (b) faa escra sobre m fndo claro... 3 Fgra 6 Magntde dos gradentes e do ânglo Fgra 7 Máscaras tlzadas no operador de Sobel Fgra 8 (a) Imagem orgnal; (b) resltado da aplcação do operador na dreção horzontal (G ); (c) resltado da aplcação do operador na dreção vertcal (G y ); (d) magem completa do operador de sobel Fgra 9 Elemento estrtrante (a) crz (b) qadrado (c) heagonal Fgra 0 (a) Elemento estrtrante (B) crz (33) com orgem no centro do elemento; (b) connto orgnal (X) representado pelos pels cnza; (c) connto eroddo representado pelos pels pretos Fgra Erosão de ma magem bnára e em tons de cnza pelo elemento estrtrante (33) com orgem no centro do elemento Fgra (a) Elemento estrtrante (B) crz (33) com orgem no centro do elemento (b) connto orgnal (c) connto dlatado... 4

12 Fgra 3 Dlatação de ma magem bnára e em tons de cnza pelo elemento estrtrante (33) com orgem no centro do elemento... 4 Fgra 4 - Imagem orgnal gradente por erosão Fgra 5 Imagem orgnal gradente por dlatação Fgra 6 Imagem orgnal gradente por dlatação-erosão Fgra 7 Eemplo de aplcação da eqação do calor em ma magem para dferentes níves de savzação... 5 Fgra 8 Savzação através da eqação do calor Fgra 9 Malha de m n pontos e h = Fgra 0 Malha da dervadas parcas de prmera ordem na regão de contorno Fgra Esqema comptaconal para o método eplícto Fgra Esqema comptaconal para o método mplícto Fgra 3 Tela do ambente MATLAB Fgra 4 Tela do edtor do ambente MATLAB Fgra 5 Tela da Toolbo da Morfologa Matemátca... 7 Fgra 6 Sb-magem do aeroporto nternaconal Antôno Carlos Jobm (RJ) Fgra 7 Sb-magem da regão de Presdente Prdente (SP) Fgra 8 Núcleo de convolção com a máscara centrada no ponto em destaqe Fgra 9 Hstograma da sb-magem do Ro de Janero Fgra 30 (a) Imagem orgnal e (b) sa segmentação (c) e (d) magem com σ = 5 e r sa segmentação (e) e (f) magem com σ = 30 e sa segmentação (g) e (h) magem com σ r r = 35 e sa segmentação Fgra 3 Hstograma da sb-magem de Presdente Prdente (após realzação de contraste na magem) Fgra 3 Hstograma da magem de Presdente Prdente (sem contraste)... 87

13 Fgra 33 (a) Imagem orgnal e (b) sa segmentação (c) e (d) magem com σ = 5 e r sa segmentação (e) e (f) magem com σ =7. 9 e sa segmentação (g) e (h) magem r com σ = 9 e sa segmentação... r 88 Fgra 34 (a) Imagem orgnal (b) resltado da aplcação do operador de Sobel Fgra 35 (a) Imagem orgnal (b) resltado da aplcação do operador de Sobel Fgra 36 (a) Imagem orgnal (b) aplcação do Gradente morfológco a partr do elemento estrtrante crz (33) (c) aplcação do Gradente Morfológco a partr do elemento estrtrante bo (33)... 9 Fgra 37 (a) Imagem orgnal (b) aplcação do Gradente morfológco a partr do elemento estrtrante crz (33) (c) aplcação do Gradente Morfológco a partr do elemento estrtrante bo (33)... 9 Fgra 38 - Teste comparatvo para o modelo de EDP com parâmetros dados na tabela (a) magem orgnal e (b) sa segmentação (c) aplcação do parâmetro σ r =5 (d) sa segmentação (e) aplcação do parâmetro σ r =30 (f) sa segmentação (g) aplcação do parâmetro σ r =35 (h) sa segmentação () gradente morfológco a partr do elemento estrtrante bo 33 () operador de Sobel Fgra 39 - Teste comparatvo para o modelo de EDP com os parâmetros dados na tabela (a) magem orgnal e (b) sa segmentação (c) aplcação do parâmetro σ r =5 (d) sa segmentação (e) aplcação do parâmetro σ r =7.9 (f) sa segmentação (g) aplcação do parâmetro σ r =9 (h) sa segmentação () gradente morfológco a partr do elemento estrtrante bo 33 () operador de Sobel

14 LISTA DE TABELAS Tabela Parâmetros tlzados no modelo de EDP para a sb-magem do RJ Tabela Parâmetros tlzados no modelo de EDP para a sb-magem de Presdente Prdente SP... 87

15 LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS PDI Processamento Dgtal de Imagens dv Operador dvergente EDP Eqação Dferencal Parcal EDPs Eqações Dferencas Parcas ETM - Enhancement Thematc Mapper FCT Facldade de Cêncas e Tecnologa Help morph Comando de ada morfológca MATLAB Matr Laboratory MM - Morfologa Matemátca Morphology Toolbo Pacotes de fnções para Morfologa Pels Pctre elements RJ Ro de Janero SC per Secconalmente peródcas SP São Palo TM Thematc Mapper Toolboes Pacotes de fnções para áreas varadas do cálclo centífco UNESP Unversdade Estadal Palsta

16 Utlzação de Eqações Dferencas Parcas no Tratamento de Imagens Orbtas 5 CAPÍTULO INTRODUÇÃO. Consderações ncas Com o avanço tecnológco a área de processamento dgtal de magens tem se tornando cada vez mas abrangente. Técncas de Processamento Dgtal de Imagens (PDI) são tlzadas em magens de dversas fontes. Nas magens de Sensoramento Remoto essas técncas são tlzadas para resolver problemas relaconados à etração de feções dos alvos presentes na cena.

17 Utlzação de Eqações Dferencas Parcas no Tratamento de Imagens Orbtas 6 No caso de magens orbtas as mesmas contêm mta nformação o qe dfclta a sa nterpretação se o método escolhdo para etrar as feções de nteresse não for o mas adeqado possível. Essa grande qantdade de nformação presente nas magens orbtas da sperfíce terrestre dz respeto à dversdade de alvos contdos na cena. Um problema freqüente na aqsção de magens de Sensoramento Remoto é a presença de rídos os qas consttem ma tarefa dfícl para a segmentação de magens. Consderando qe os rídos são caracterzados pelas altas freqüêncas os denomnados fltros passa-baas atenam o elmnam os componentes de alta-freqênca deando as baas freqüêncas nalteradas prodzndo assm m efeto de borramento na magem. São consderados rídos nas magens de Sensoramento Remoto no caso da área de Cartografa todas as feções qe não são de nteresse para etração. Váras são as ferramentas e/o técncas tlzadas por pesqsadores da área de Cartografa com vstas à etração de feções. Este trabalho tem como obetvo apresentar m modelo matemátco alternatvo aos fltros passa-baas convenconas no tratamento dgtal de magens. Os modelos fndamentados pela teora de Eqações Dferencas Parcas (EDPs) se nserem no âmbto do PDI e têm como fnção prmordal à elmnação de rídos e segmentação de magens. Conseqentemente pretende-se aplcar m modelo va EDPs no processo de segmentação das feções de nteresse e comparar os resltados obtdos com o operador de Sobel e o Gradente Morfológco.

18 Utlzação de Eqações Dferencas Parcas no Tratamento de Imagens Orbtas 7. Trabalhos relaconados Qando se trata da tlzação de EDPs em PDI ncalmente devem ser consderadas algmas contrbções mportantes para o desenvolvmento de modelos matemátcos para o tratamento dgtal de magens. Um trabalho consderado ponero nesta área fo desenvolvdo por Marr e Hldreth (980) onde a teora descrta por esses atores leva em consderação a detecção de bordas em magens tlzando a convolção da magem orgnal com o Laplacano da fnção Gassana. Koendernk (984) relacono as estrtras das magens à eqação do calor através de prncípos de casaldade e homogenedade defnndo m processo para savzação de magens qe tlza a evolção temporal onde ma famíla de magens é obtda a partr do cálclo da solção de ma Eqação Dferencal Parcal (EDP) para dferentes níves de savzação. Perona e Malk (990) desenvolveram m modelo ca déa central conssta em realzar ma savzação seletva na magem. A partr dessa déa a eqação passo a representar m modelo de dfsão não lnear fornecendo m algortmo potencal para segmentação de magens remoção de rídos detecção de bordas e realce de magem tornando-se mprescndível para posterores lnhas de pesqsa. O modelo de dfsão não lnear serv como ponto de referênca para o srgmento de novos trabalhos nesta lnha de pesqsa. Nordström (990) desenvolve m modelo resltante da nfcação do modelo de dfsão não lnear com m termo de reglarzação onde o termo reglarzador tem como fnção manter as magens geradas na evolção temporal prómas à magem orgnal. casaldade: o snal é smplfcado com a escala. homogenedade: a savzação é espacalmente nvarante.

19 Utlzação de Eqações Dferencas Parcas no Tratamento de Imagens Orbtas 8 Esses modelos anda apresentavam nconsstêncas na sa formlação o qe mplsono trabalhos de pesqsas voltados ao aperfeçoamento de novos modelos. Uma grande contrbção fo dada por Alvarez Lons e Morel (99) qe sbsttíram o Gradente da fnção pelo prodto de convolção em ma vznhança dos pontos dscretzados. Otros trabalhos srgram e com o ntto de melhorar o desempenho dos modelos algns termos foram acrescentados o alterados. Cabe ressaltar qe os modelos desenvolvdos por Barcelos e Chen (000) e o modelo de Barcelos Boaventra e Slva Jr. (00) estão nserdos em ma lnha teórca qe eplora o so de Eqações Dferencas Parcas qe vem prodzndo bons resltados. Dante dos resltados obtdos a partr dos modelos anterormente descrtos o presente trabalho vsa à tlzação de EDPs na elmnação de rídos e segmentação de magens. O modelo matemátco tlzado nessa dssertação fo baseado na teora de EDPs como ma proposta metodológca alternatva para a área de Cartografa. Logo esse trabalho tem como proposta tlzar o modelo de eqação de dfsão não lnear proposto por Barcelos Boaventra e Slva Jr. (00). Esse modelo consste em aplcar seletvamente a eqação permtndo savzar adeqadamente ma magem sem perder as bordas e otros detalhes contdos na magem. A tlzação dessa técnca vem prodzndo resltados satsfatóros em magens dgtas convenconas. Assm torna-se vável mplementar o modelo e testá-lo em magens orbtas.

20 Utlzação de Eqações Dferencas Parcas no Tratamento de Imagens Orbtas 9.3 Obetvos O obetvo central desta dssertação é a mplementação de m modelo matemátco não lnear para a remoção de rídos e segmentação de magens orbtas. Onde a partr dos resltados obtdos será realzada ma análse comparatva do modelo com o operador de Sobel e o Gradente Morfológco. Os obetvos específcos consstem em: mplementar nmercamente o modelo proposto no ambente MATLAB; testar e avalar o desempenho do modelo nas Imagens teste; comparar e analsar os resltados em relação à tlzação do operador de Sobel e o Gradente Morfológco..4 Jstfcatva A tlzação de m modelo fndamentado pela teora de EDPs stfca-se pela smplfcação do formalsmo do modelo e pela forma de atação dferencada em pontos de bordas e em pontos nterores dos obetos presentes na magem onde a tlzação do modelo proposto permtrá etrar nformações contdas em magens orbtas de feções de nteresse prncpalmente pstas de aeroportos e estradas pavmentadas.

21 Utlzação de Eqações Dferencas Parcas no Tratamento de Imagens Orbtas 0 É mportante destacar qe a tlzação de EDPs vem se tornando ma ferramenta alternatva e efcente em sbsttção aos fltros passa-baa no tratamento dgtal de magens pos as magens dgtas contendo os alvos da sperfíce terrestre possem grande varação de brlho e sso dfclta em mto o processo de etração dessas feções. Ao fnal os resltados obtdos com o modelo matemátco em qestão serão comparados com fltros qe tenham como característca prncpal a savzação e a detecção de bordas. Neste sentdo será possível analsar de forma comparatva os resltados e destacar a vabldade da tlzação de EDPs na área de Cartografa salentando qe o modelo atará no processo de elmnação de rídos e segmentação de magens qe serão tlzados em processos ftros de atalzação de feções..5 Estrtra do trabalho O capítlo apresenta a revsão bblográfca concetando os fltros (Sobel e Gradente Morfológco) tlzados para a análse comparatva com o modelo baseado em EDPs bem como concetos e fndamentações teórcas sobre as EDPs qe representam os aspectos prmordas ao desenvolvmento do trabalho. É feto neste capítlo ma revsão dos modelos fndamentados pela teora de EDPs e a concetação teórca sobre o modelo mplementado no proeto. No capítlo 3 estão descrtos os materas tlzados no desenvolvmento da dssertação bem como a metodologa tlzada para a dscretzação do modelo de EDP. O capítlo 4 apresenta os resltados obtdos com o modelo e a análse comparatva com o operador de Sobel e o Gradente Morfológco.

22 Utlzação de Eqações Dferencas Parcas no Tratamento de Imagens Orbtas No capítlo 5 estão apresentadas as conclsões a respeto dos resltados obtdos e as recomendações ftras do trabalho bem como as referêncas bblográfcas e bblografas consltadas.

23 Utlzação de Eqações Dferencas Parcas no Tratamento de Imagens Orbtas CAPÍTULO FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA. Processamento Dgtal de Imagens A área de Processamento Dgtal de Imagens (PDI) vem apresentando ao longo dos anos m amento sgnfcatvo no desenvolvmento tecnológco envolvendo aplcações em dversas áreas do conhecmento hmano. O Processamento Dgtal tem alado na tarefa de análse de magens em dversas áreas de aplcação dentre elas destacam-se a Arqeologa onde métodos de processamento de magens são tlzados para restarar fgras fotografadas borradas de artefatos raros qe ao longo dos séclos foram perddos o tveram sa estrtra danfcada;

24 Utlzação de Eqações Dferencas Parcas no Tratamento de Imagens Orbtas 3 Medcna na qal procedmentos com técncas adeqadas melhoram magens de raos X facltando a nformação vsal e prncpalmente a nterpretação de especalstas da área; na Geografa técncas são tlzadas em magens de satéltes para o montoramento de recrsos natras dentre otros. O Processamento Dgtal de magens obtdas por Sensoramento Remoto tem contrbído para o desenvolvmento centífco e tecnológco pos através dessas magens torna-se possível à etração de feções qe podem ser tlzadas para alar na resolção de dversos problemas prátcos. No âmbto da Cartografa pode-se destacar a detecção de feções de nteresse para a atalzação cartográfca vsto qe essa atalzação pode ser realzada de forma dnâmca consderando a perodcdade em qe as nformações são obtdas. No processamento de dados de cenas para percepção através de máqnas o obetvo é etrar de ma magem nformação de manera adeqada para o processamento comptaconal. Eemplos de percepção por máqna qe tlzam técncas de processamento dgtal podem ser ctados tas como: reconhecmento mltar processamento de magens aéreas e de satéltes para prevsão do tempo e montoramento de cltras. Assm o processamento dgtal tem como fnção prmordal fornecer ferramentas para facltar a dentfcação e a etração de nformações contdas nas magens. Logo as técncas de PDI processam m volme consderável de nformações presentes em ma magem com o ntto de melhorar a nformação vsal para a análse e nterpretação hmana. Dante do amento da capacdade de cálclo e da velocdade de processamento dos modernos comptadores. Segndo Gomes e Velho (994) torna-se evdente a consoldação das técncas de Processamento Dgtal de Imagens Vsão Comptaconal e Comptação Gráfca logo a fsão dessas técncas oferece sporte ao desenvolvmento de métodos de etração de nformações de magens dgtas.

25 Utlzação de Eqações Dferencas Parcas no Tratamento de Imagens Orbtas 4 De acordo com Gomes e Velho (994) no Processamento Dgtal de Imagens o sstema admte como entrada ma magem qe depos de processada prodz otra magem na saída. Essa magem pode ser observada nm dspostvo gráfco. Um eemplo dessa área é o processamento de magens obtdas por satéltes de Sensoramento Remoto a técnca tlzada nesse caso realça feções de obetos presentes na magem de saída. Dessa forma entende-se por PDI a manplação e a nterpretação de ma magem por comptador de tal manera qe a entrada e saída do processo seam magens dgtas... Conceto de magem dgtal Uma magem dgtal é ma magem ƒ( y) dscretzada em coordenadas espacas e em valores de brlho. Uma magem dgtal pode ser consderada como sendo ma matrz cos índces de lnha e de colna dentfcam m ponto na magem e o correspondente valor do elemento da matrz dentfca o nível de cnza naqele ponto. A fgra representa m eemplo de magem dgtal (GONZALEZ E WOODS 000). y f(y) Fgra Representação de ma magem dgtal

26 Utlzação de Eqações Dferencas Parcas no Tratamento de Imagens Orbtas 5 A representação da matrz dgtal é dada através dos elementos dessa matrz os qas são denomnados elementos da matrz o pels (pctre elements). Cada pel é defndo pelas coordenadas espacas ( y) qe ndcam sa localzação na cena sendo qe a cada posção ( y) é atrbído m valor dgtal (nível de cnza) correspondente ao valor radométrco regstrado pelo sensor... Convolção de magens A convolção é ma forma mportante de processar ma magem. Na fgra é lstrado o processo de convolção entre ma magem f ( a b) com o núcleo h ( a b) representada por f h defnda no pel de coordenadas ( y) dada por: m n ( f * h)( y) = f ( a b) h( a y b) () a= 0 b= 0 onde: ( y) é a dmensão da magem f ; ( m n) são as dmensões do fltro h ;

27 Utlzação de Eqações Dferencas Parcas no Tratamento de Imagens Orbtas 6 h( a y b) f f y f h h( a b) (a) (b) (c) Fgra Operação de convolção bdmensonal (Fonte: GOMES E VELHO 994). O processo de convolção bdmensonal defndo na eqação () é lstrado geometrcamente na fgra onde a seqênca h( a b) é obtda de h( a b) fazendo ma refleão em torno do eo segda de ma refleão em torno do eo y (fgra (b)). A seqüênca h( a y b) na fgra (c) é obtda transladando a seqüênca h( a b) pelo vetor ( y). A área escra na fgra (c) representa os pels comns às magens h( a y b) e f ( a b) esses pels são mltplcados dos a dos e o resltado é somado de modo a obter o valor da convolção f h no pel de coordenadas ( y) (GOMES e VELHO 994)...3 Segmentação de magens Com o ntto de analsar ma magem e gerar ma descrção de se conteúdo torna-se necessáro dvdí-la em partes qe correspondam às feções de nteresse. Uma magem deve ser separada em regões sgnfcatvas sendo qe cada ma dessas regões deve defnr os obetos qe compõem a magem. Essa é ma das maores dfcldades em processamento de magens.

28 Utlzação de Eqações Dferencas Parcas no Tratamento de Imagens Orbtas 7 A segmentação é ma das prmeras etapas no processo de etração de nformação em magens dgtas. Esse processo consste em partconar ma magem em ses obetos consttntes o sea o nível de sbdvsão é realzado de acordo com o problema a ser resolvdo e o crtéro de térmno sege o prncípo do solamento dos obetos de nteresse. A fgra 3 (a) lstra a magem orgnal e 3 (b) sa segmentação dessa forma pode-se verfcar vsalmente o prncípo do solamento dos obetos obtendo como prodto fnal às bordas da magem. (a) (b) Fgra 3 Imagem correspondente ao aeroporto Internaconal Antôno Carlos Jobm - RJ (Landsat 5 - TM) (a) magem orgnal (b) magem segmentada. Os algortmos de segmentação para magens monocromátcas são geralmente baseados nas propredades báscas de valores de níves de cnza: descontndades e smlardades (GONZALEZ e WOODS 000). Para a área de nteresse dessa dssertação levo-se em consderação a abordagem de descontndades onde ma magem é partconada baseada em mdanças brscas de níves de cnza o sea detecção de bordas presentes na magem (fgra 3). As smlardades baseam-se em lmarzação crescmento de regões dvsão e fsão de regões.

29 Utlzação de Eqações Dferencas Parcas no Tratamento de Imagens Orbtas 8..4 Processamento no domíno espacal As abordagens qe envolvem métodos no domíno espacal referem-se ao própro plano da magem e as abordagens nesta categora são baseadas na manplação dreta sobre os pels da magem. O so de máscaras espacas para o processamento de magens é salmente chamado de fltragem espacal e as máscaras são denomnadas fltros espacas. Os fltros espacas mas tlzados são classfcados em passa-baa passaalta e passa-banda. Os fltros passa-baa o de savzação elmnam os componentes de alta freqüênca deando passar as baas freqüêncas. Esse tpo de fltro casa m borramento acentado na magem devdo fndamentalmente a caracterzação dos componentes de alta freqüênca onde os mesmos evdencam as bordas e otros detalhes fnos da magem. Dessa forma a magem perde detalhes o sea a nformação de alta freqüênca. O fltro Gassano é m eemplo de fltro lnear passa-baa ele é tlzado para elmnação de rídos. A magem é savzada pela convolção da magem com o núcleo Gassano. No entanto o operador Gassano é sotrópco savzando a magem em todas as dreções fazendo com qe as bordas tornem-se borradas.

30 Utlzação de Eqações Dferencas Parcas no Tratamento de Imagens Orbtas Fltro Gassano O fltro Gassano é m mportante fltro de savzação onde para o caso ndmensonal se núcleo G σ () no domíno contíno é dado por: G σ ( ) = e σ π σ () onde: σ é o desvo padrão; σ representa a varânca. Para o caso bdmensonal o núcleo Gassano é defndo por: ( y ) σ Gσ ( y) = e (3) σ π O fltro Gassano é caracterzado por ser: lnear espacalmente nvarante; a transformada Forer de ma dstrbção Gassana é ma otra Gassana; é separável e rotaconalmente smétrco o sea Gσ ( y) = Gσ ( ) Gσ ( y) ; a fnção Gassana é também conhecda como dstrbção normal de varâncaσ onde σ é o desvo padrão de ( y). É medato verfcar G σ

31 Utlzação de Eqações Dferencas Parcas no Tratamento de Imagens Orbtas 30 qe sa méda é 0 pelo fato de G σ () G σ ( ) = G σ ( ). ser ma fnção par onde Cabe ressaltar qe o fltro Gassano é m fltro passa-baa onde as altas freqüêncas do snal fltrado sofrem ma savzação de ordem eponencal. Em EDPs o núcleo Gσ é conhecdo como núcleo de Posson o núcleo do calor. Em se tratando de fltros passa-alta os mesmos elmnam as feções de baa freqüênca logo o efeto resltante desses fltros é a caracterzação das bordas e otros detalhes fnos da magem. Os fltros passa-banda removem regões seleconadas entre altas e baas freqüêncas no entanto raramente são nteressantes para realce de magens...5. Métodos de detecção de bordas Segndo Lm (990) ma borda em ma magem é m lmte o contorno no qal ma mdança sgnfcatva ocorre em algm aspecto físco da magem como a refletânca lmnação o à dstânca da sperfíce vsível do observador. Os métodos de segmentação baseados na detecção de bordas envolvem bascamente a localzação de regões da magem onde a varação dos níves de cnza ocorrem de manera relatvamente abrpta. As descontndades podem ocorrer na forma de pontos solados lnhas segmentos o crvas e a partr dsto são formados os contornos o bordas dos obetos contdos na magem. Na fgra 4 (b) é possível vsalzar as descontndades nos valores de brlho da magem o eo da fgra 4 (b) representa as colnas da magem orgnal e o eo y as varações dos níves de brlho desta magem. Neste eemplo apenas

32 Utlzação de Eqações Dferencas Parcas no Tratamento de Imagens Orbtas 3 ma lnha da magem 4 (a) fo consderada para representar grafcamente essa varação. Tal lnha corresponde a posção 90 na magem orgnal (fgra 4(a)). (a) (b) Fgra 4 - (a) Imagem orgnal (b) gráfco da lnha 90 representado em branco na fgra 4 (a). Algns operadores detectam as descontndades através da aplcação de operadores de dervação tas como os operadores de Gradente e o Laplacano os qas são operadores de dervada de prmera e segnda ordem (fgra 5).

33 Utlzação de Eqações Dferencas Parcas no Tratamento de Imagens Orbtas 3 (a) (b) Fgra 5 - Detecção de bordas por operadores de dervação: (a) faa clara sobre m fndo escro; (b) faa escra sobre m fndo claro. (Fonte: GONZALEZ E WOODS 000). A fgra 5 lstra grafcamente a prmera e a segnda dervadas em ma magem neste caso as magens são formadas por faas claras e escras. Logo a prmera dervada de qalqer ponto da magem é obtda sando-se a magntde do Gradente naqele ponto esta dervada permte encontrar as transções vsto qe para as regões de níves constantes da magem a dervada será zero e para as descontndades deverá assmr m valor de mámo o mínmo. A segnda dervada é obtda através do Laplacano. A partr da fgra 5 é possível notar qe a segnda dervada poss m crzamento por zero na posção de cada borda o qe torna possível dstngr a ocorrênca de transção de m tom escro para m tom claro o vce-versa.

34 Utlzação de Eqações Dferencas Parcas no Tratamento de Imagens Orbtas Operador de Gradente Uma borda como á defnda é consderada como sendo o lmte entre das regões com propredades dstntas de nível de cnza. O Gradente é m dos métodos qe pode ser tlzado no processo de detecção de bordas. Segndo Gonzalez e Woods (000) o Gradente de ma magem ƒ( y) na posção ( y) é dado pelo vetor: f G = G y f = f y (4) onde magntde desse vetor é : [ G ] / G (5) f = mag( f ) = y Resltados smlares são alcançados apromando o Gradente com valores absoltos: f = G G y (6) A aplcação dos operadores G e Gy resltam nos gradentes da borda nas dreções e y assm é possível obter a magntde e a dreção (ânglo) da borda em cada pel fgra 6.

35 Utlzação de Eqações Dferencas Parcas no Tratamento de Imagens Orbtas 34 Gy Magntde α G Fgra 6 Magntde dos Gradentes e do ânglo A dreção do Gradente em m ponto qalqer da magem é dada por: Gy α = tan g (7) G Portanto a magntde da prmera dervada pode ser sada na detecção da presença de bordas em ma magem. Devdo a esse fato o operador Gradente é tlzado nessa dssertação como ma ferramenta para a segmentação de magens...5. Operador de Sobel O operador de Sobel é m estmador de bordas e tem como característca savzar e detectar bordas ao mesmo tempo. Logo o operador realça lnhas vertcas e horzontas mas escras qe o fndo sem realçar pontos solados.

36 Utlzação de Eqações Dferencas Parcas no Tratamento de Imagens Orbtas 35 Esse operador calcla m Gradente dscreto nas dreções horzontal e vertcal para m pel de localzação ( ). Assm as componentes dscretas do vetor Gradente são dadas por: G = [ U ( ) U ( ) U ( ) ] [ U ( ) U ( ) U ( ) ] = [ U ( ) U ( ) U ( ) ] [ U ( ) U ( ) U ( ) ] G y = ( G G ) (8) ( J ) y O operador Sobel é eqvalente à aplcação smltânea das máscaras representadas na fgra 7. G = G y = Fgra 7 - Máscaras tlzadas no operador de Sobel Como esse operador apresenta os efetos de savzação e dferencação ao mesmo tempo é mportante destacar qe as regões homogêneas da magem apresentam ma resposta nla. Assm magntdes de peqeno valor ndcam qe o pel em estdo não pertence a ma borda bem defnda. Os resltados da aplcação do operador de Sobel podem ser vsalzados a partr da fgra 8. Incalmente tem-se ma magem orgnal fgra 8 (a); em segda é aplcado o operador na dreção horzontal G sendo o resltado apresentado em 8 (b); neste caso obtém-se respostas fortes ao longo das bordas horzontas; logo após verfca-se a aplcação do operador na dreção vertcal G y conforme resltados em 8 (c) fato smlar

37 Utlzação de Eqações Dferencas Parcas no Tratamento de Imagens Orbtas 36 ocorre na dreção vertcal. E fnalmente a magem resltante do operador de Sobel combnando os resltados na dreção horzontal e vertcal é apresentado em 8 (d). (a) (b) (c) (d) Fgra 8 (a) Imagem orgnal; (b) resltado da aplcação do operador na dreção horzontal (G ); (c) resltado da aplcação do operador na dreção vertcal (G y ); (d) magem completa do operador de Sobel.

38 Utlzação de Eqações Dferencas Parcas no Tratamento de Imagens Orbtas Morfologa Matemátca A Morfologa Matemátca (MM) teve se níco na década de sessenta através de Georges Matheron e Jean Serra. A palavra morfologa tem orgem grega e sgnfca estdo das formas ela concentra ses esforços no estdo da estrtra geométrca das entdades presentes nma magem. A morfologa matemátca em termos de magens representa m ramo não lnear das técncas de PDI permtndo processar magens com obetvos de realce segmentação detecção de bordas entre otras. A grande potencaldade da morfologa matemátca resde na palavra elemento estrtrante o qal é caracterzado como sendo m connto completamente defndo e conhecdo (forma tamanho) qe é comparado a partr de ma transformação ao connto desconhecdo da magem. Algns eemplos de elementos estrtrantes (33) com orgem no centro do elemento são dados na fgra 9. (a) (b) (c) Fgra 9 - Elemento estrtrante - (a) crz; (b) qadrado; (c) heagonal.

39 Utlzação de Eqações Dferencas Parcas no Tratamento de Imagens Orbtas Gradente Morfológco Dentre os operadores morfológcos destaca-se o Gradente Morfológco o qal é mto tlzado no processamento de magens para detectar bordas. Ele é constrído a partr dos operadores báscos da teora de Morfologa Matemátca (erosão e dlatação) logo torna-se mportante defnr esses operadores. Defnção. A erosão segndo Solle (999) de m connto X pelo elemento estrtrante B é dada por: ε ( X ) = { B X} (9) B onde: ε representa a erosão; B é o elemento estrtrante; B é o elemento estrtrante centrado no pel X ; A fgra 0 apresenta o efeto da aplcação do operador erosão em m connto X por m elemento estrtrante (B) crz (33) com orgem no centro do elemento (representado pelo ponto branco) pode-se observar qe a operação de erosão sbtra pontos do connto X.

40 Utlzação de Eqações Dferencas Parcas no Tratamento de Imagens Orbtas 39 (a) (b) (c) Fgra 0 - (a) Elemento estrtrante (B) crz (33) com orgem no centro do elemento; (b) connto orgnal ( X ) representado pelos pels cnza; (c) connto eroddo representado pelos pels pretos. Defnção. De acordo com Solle (999) a erosão de ma magem em tons de cnza f por m elemento estrtrante B é defnda como: [ ( f )]( ) mn{ f ( b) B( b) } ε B = b (0) B onde: ε B representa a erosão pelo elemento estrtrante B ; b pertence ao elemento estrtrante B ; e a erosão é representada pelo mn (mínmo) de f ( b) B( b). Na fgra é possível perceber o efeto da erosão em ma magem bnára e em ma magem em tons de cnza. Aplcando o elemento estrtrante crz (33) com orgem no centro tem-se a erosão de ma magem bnára (fgra (b)) e na fgra (d) tem-se respectvamente o efeto da erosão sobre ma magem em tons de cnza (fgra (c)).

41 Utlzação de Eqações Dferencas Parcas no Tratamento de Imagens Orbtas 40 Assm a aplcação do operador de erosão apresenta os efetos de amento do fndo escro sobre os padrões claros resltando em ma dmnção sgnfcatva da palavra morfologa. (a) Imagem bnára (b) resltado da erosão sobre (a) (c) Imagem em tons de cnza (d) resltado da erosão sobre (c). Fgra Erosão de ma magem bnára e em tons de cnza pelo elemento estrtrante (33) com orgem no centro. Defnção 3. Segndo Solle (999) a dlatação de m connto X pelo elemento estrtrante B é dada por: δ ( X ) = { B X } () B onde: δ representa a dlatação; B é o elemento estrtrante; B é o elemento estrtrante centrado no pel X.

42 Utlzação de Eqações Dferencas Parcas no Tratamento de Imagens Orbtas 4 Na fgra (a) o elemento estrtrante B com orgem no centro do elemento (representado pelo ponto branco) percorre a magem e centrado em cada pel do connto orgnal X representado na fgra (b) verfca ma possível ntersecção com a vznhança de caso ocorra essa ntersecção o pel será consderado relevante neste caso a operação de dlatação acrescenta pontos ao connto X resltado observado na fgra (c) pels pretos. (a) (b) (c) Fgra - (a) Elemento estrtrante (B) crz (33) com orgem no centro do elemento; (b) connto orgnal; (c) connto dlatado. Defnção 4. De acordo com Solle (999) a dlatação de ma magem em tons de cnza f por m elemento estrtrante B é defnda como: [ ( f )]( ) = ma f ( b) δ () B b B onde: δ B representa a dlatação de ma magem pelo elemento estrtrante B ; b pertence ao elemento estrtrante B ; e a dlatação é representada pelo ma (mámo) de f ( b).

43 Utlzação de Eqações Dferencas Parcas no Tratamento de Imagens Orbtas 4 Na fgra 3 é possível perceber como ocorre a dlatação em ma magem bnára e em ma magem em tons de cnza. A fgra 3 (b) lstra o resltado da dlação em ma magem bnára (fgra 3 (a)) pelo elemento estrtrante crz (33) com orgem no centro. A fgra 3 (d) representa o resltado da dlatação sobre ma magem em tons de cnza (fgra 3 (c)). As magens resltantes apresentam os efetos de amento dos padrões claros (palavra morfologa) sobre o fndo escro da magem resltando em m amento sgnfcatvo da palavra morfologa. (a) Imagem bnára (c) resltado da dlatação sobre (a) (c) Imagem em tons de cnza (d) resltado da dlatação sobre (c). Fgra 3 - Dlatação de ma magem bnára e em tons de cnza pelo elemento estrtrante (33) com orgem no centro do elemento. A partr dos operadores báscos da Morfologa Matemátca (erosão e dlatação) Solle (999) defne o Gradente Morfológco por erosão como sendo a dferença entre a magem orgnal e a magem erodda pelo elemento estrtrante B:

44 Utlzação de Eqações Dferencas Parcas no Tratamento de Imagens Orbtas 43 ρ ( f ) = f ε ( f B B ) (3) onde: ρ B representa o gradente por erosão; ƒ representa a magem orgnal; B é o elemento estrtrante; ε B é a erosão pelo elemento estrtrante B. Através da fgra 4 (b) é possível destacar a detecção de bordas em ma magem em tons de cnza a partr do elemento estrtrante crz 33 com orgem no centro do elemento ressaltando qe o gradente por erosão tem como resltado a detecção de bordas nas posções dos níves de cnza mas elevados das bordas. Fgra 4 - (a) Imagem orgnal (b) gradente por erosão

45 Utlzação de Eqações Dferencas Parcas no Tratamento de Imagens Orbtas 44 Como defndo em Solle (999) o Gradente Morfológco de ma magem ƒ por m elemento estrtrante B a partr da dlatação é: ρ ( f ) = δ ( f ) f (4) B B onde: ρ B representa o gradente por dlatação; B é o elemento estrtrante; δ B é a dlatação pelo elemento estrtrante B. O gradente por dlatação em níves de cnza detecta bordas nas posções dos níves de cnza mas baos das bordas esse fato pode ser vsalzado na (fgra 5 (b)) a partr do elemento estrtrante crz 33 com orgem no centro do elemento. Logo esses operadores têm como prncípo básco à detecção de contornos mas fnos na magem. Fgra 5 - (a) Imagem orgnal (b) gradente por dlatação

46 Utlzação de Eqações Dferencas Parcas no Tratamento de Imagens Orbtas 45 De acordo com Solle (999) o Gradente Morfológco por dlatação e erosão é defndo como a dferença artmétca entre a dlatação e erosão de ma magem ƒ por m elemento estrtrante B : ρ( f ) = δ B ( f ) ε ( f ) (5) B onde: ρ representa o gradente por dlatação e erosão; δ B é a dlatação pelo elemento estrtrante B; ε B é a erosão pelo elemento estrtrante B. Na fgra 6 (b) pode-se verfcar a detecção de bordas em ma magem em tons de cnza a partr do elemento estrtrante crz 33 com orgem no centro tlzando o gradente por dlatação e erosão. Fgra 6 - (a) Imagem orgnal (b) gradente por dlatação-erosão Através desse processo observa-se qe o gradente por dlatação e erosão em níves de cnza agrpa os resltados dos gradentes por erosão e por dlatação em níves de cnza. Salenta-se qe esse operador é mas efetvo no sentdo de detecção de bordas portanto será tlzado para a análse comparatva com o modelo de EDPs onde será possível verfcar o potencal do referdo modelo no sentdo esperado de ma melhora na etração de feções.

47 Utlzação de Eqações Dferencas Parcas no Tratamento de Imagens Orbtas 46. Eqações Dferencas Parcas Segndo Ióro (99) ma EDP é defnda como sendo ma eqação envolvendo das o mas varáves ndependentes y z t... e dervadas parcas de ma fnção (varável dependente) = ( y z t...). Mas precsamente ma EDP é ma eqação da forma: k F n = 0 k (6) n n n onde = (... n ) Ω Ω é m sbconnto aberto de R n F é ma fnção dada e = () é a fnção qe se qer determnar. D são as dervadas parcas de com relação a. D são as dervadas de segnda ordem com relação a. Uma EDP é dta lnear se é de prmero gra em e em todas as sas dervadas parcas qe ocorrem na eqação; caso contráro a EDP é dta não lnear. A forma mas geral de ma EDP lnear de prmera ordem é:

48 Utlzação de Eqações Dferencas Parcas no Tratamento de Imagens Orbtas 47 0 ) ( ) ( ) ( = = c b D a n (7) onde algns dos coefcentes a não são dentcamente nlos e D corresponde a dervada parcal de com relação a varável. Para eqações de segnda ordem a forma mas geral de ma EDP lnear é: 0 ) ( ) ( ) ( ) ( = = = d c D b D D a n n (8) onde algns dos coefcentes a não são dentcamente nlos e D D corresponde a dervada parcal msta com relação a e... Classfcação das Eqações Dferencas Parcas. Dada a Eqação Dferencal Parcal da forma: ) ( ) ( ) ( ) ( y yy y y f y c y b y a = (9) é possível assocar a segnte fnção (dscrmnante). ) ( ) ( ) ( ) ( y c y a y b y = δ (0)

49 Utlzação de Eqações Dferencas Parcas no Tratamento de Imagens Orbtas 48 Defnção: A EDP dada pela eqação (9) é classfcada como sendo: () parabólca no ponto ( y) Ω se δ ( y) = 0; () hperbólca no ponto ( y) Ω se δ ( y) > 0; () elíptca no ponto ( y) Ω se δ ( y) < 0. Algns eemplos de EDP são nteressantes do ponto de vsta físco pos são protótpos dos tpos parabólco hperbólco e elíptco. Tpo parabólco: O protótpo é dado pela Eqação do Calor. t = α () onde = (t) R t > 0 e α é ma constante. Tpo hperbólco: O protótpo é dado pela eqação da onda. t = c () onde t > 0 representa o tempo R é a varável espacal e c > 0 é ma constante.

50 Utlzação de Eqações Dferencas Parcas no Tratamento de Imagens Orbtas 49 Tpo elíptco: O protótpo é dado pela eqação de Posson. ) ( y h y = (3) Pode ser dto anda qe a EDP dada na eqação (9) é dta parabólca (respectvamente hperbólca elíptco) em Ω se for parabólca (respectvamente hperbólca elíptca) em todos os pontos de Ω... A Eqação do Calor A Eqação do Calor também conhecda como eqação de dfsão representa o protótpo das eqações parabólcas. Segndo Teera (00) para o caso ndmensonal a solção da Eqação do Calor. = = ) ( 0) ( ) ( ) ( 0 t t t (4) é dada pela convolção: ) ( ) * ( ) ( 0 G t t = (5)

51 Utlzação de Eqações Dferencas Parcas no Tratamento de Imagens Orbtas 50 onde Gonzalez e Woods (000) defnem a convolção de das fnções ƒ() e g() dada por ƒ()*g() como sendo: (6) f ( )* g( ) = f( ) g( ) d No caso bdmensonal a Eqação do Calor é dada por: ( y t) = ( y t) t y ( y0) = 0 ( y) ( y t) (7) ca solção é dada pela convolção: ( y t) G ( y)* 0( y) = (8) t Dessa forma o prodto de convolção é tlzado no processamento de magens para encontrar ma méda ponderada dos valores em ma vznhança de m determnado ponto. O cálclo da solção da eqação dferencal parcal dada pela eqação (7) proporcona a obtenção de ma famíla de magens para scessvos nstantes de tempo. Observar-se através da fgra 7 níves de savzação cada vez mas elevados a partr do amento do número de terações e ressalta-se também qe há m efeto de borramento na magem vsto qe ocorre ma savzação dos componentes de alta-freqênca caracterzado por bordas e otros detalhes fnos da magem.

52 Utlzação de Eqações Dferencas Parcas no Tratamento de Imagens Orbtas 5 Fgra 7 Eemplo de Aplcação da Eqação do Calor em ma magem para dferentes níves de savzação.

53 Utlzação de Eqações Dferencas Parcas no Tratamento de Imagens Orbtas 5..3 Espaço de escala A convolção de m snal com o núcleo Gassano tende a elmnar estrtras de escala menor dependendo da varânca escolhda. A escolha da varânca adeqada para ma determnada savzação é de sma mportânca em PDI pos a magem precsa ser savzada adeqadamente para qe ocorra ma elmnação satsfatóra das nformações rrelevantes contdas na magem. Assm torna-se natral defnr como espaço de escala de m snal (o magem) a composção deste snal convolído com Gassanas de todas as varâncas possíves. Segndo Teera (00) deve-se notar qe o obetvo da cração de m espaço de escala não é somente o de savzar o snal (o magem) em dversas qantdades mas aprovetar as estrtras através das dferentes escalas para analsar a magem em dferentes níves de localzação. Dentre as possbldades de se defnr espaços de escala sando núcleos de convolção dferentes do Gassano e além dsso crar estrtras dstntas das sadas com a convolção de m snal com o núcleo Gassano srge ma defnção alternatva para o espaço de escala Gassano qe envolve a Eqação do Calor ao nvés da convolção com a Gassana. mportantes como: O espaço de escala Gassano poss algmas propredades matemátcas lneardade: a transformação qe leva o snal orgnal (0) ao espaço de escala Gassano ( t) é lnear; nvarânca por translações: se T é ma transformação o espaço de escala T(0) é T ( t) pos G ( ) T( 0) = T ( G ( ) ( 0)); casaldade: o snal (0) é smplfcado com a escala. t t

54 Utlzação de Eqações Dferencas Parcas no Tratamento de Imagens Orbtas 53 As propredades de lneardade e nvarânca por translações srgem do fato da Eqação do Calor ser lnear e todos os ses termos serem nvarantes por translações o sea como conseqênca do fato de G ( ) ( 0) ser solção da Eqação do Calor. σ A propredade de casaldade está relaconada com o fato do prncípo do mámo onde se torna possível a partr da evolção de m snal (o magem) no espaço de escala verfcar qe a qantdade de mínmos e mámos locas não amenta drante essa evolção o sea qando a escala temporal amenta os valores de mínmos tendem a amentar e os valores de mámos a decrescer. A partr da fgra 8 observa-se o efeto de savzação ocasonando a elmnação de rídos savzando a magem em todas as dreções. Fgra 8 Savzação através da Eqação do Calor Os efetos observados na fgra 8 correspondem à aplcação da Eqação do Calor onde a partr do amento do tempo de evolção tem-se como resltado ma perda de detalhes o sea a magem torna-se borrada casando ma atenação progressva dos componentes de alta-freqênca onde os mesmos são caracterzados por bordas e detalhes fnos da magem. Esse borramento é ma característca nerente do processo de dfsão.

55 Utlzação de Eqações Dferencas Parcas no Tratamento de Imagens Orbtas 54.3 Implementação Nmérca Em se tratando de eqações dferencas pocas técncas matemátcas são conhecdas para encontrar ma fnção o ma famíla de fnções as qas representem o connto solção dessas eqações. Obter ma solção analítca na maor parte dos casos torna-se ma tarefa dfícl restando no entanto a bsca de apromações nmércas através de métodos aproprados para cada problema. Para eplctar as respectvas eqações nmércas tlzam-se métodos de dferenças fntas e através da dscretzação do domíno de solção obtêm-se as solções nmércas das eqações de dferenças onde as mesmas representam m estágo da evolção na escala temporal o sea a solção da EDP no estágo n representa a evolção da EDP no nstante de tempo t n. Segndo Cnha (000) a essênca dos métodos nmércos está na dscretzação do contíno. É essa dscretzação qe torna fnto o problema e portanto vablza sa solção através de comptadores. O método das dferenças fntas consste em dscretzar as dervadas parcas qe estão na eqação dferencal o sea as dervadas são apromadas por dferenças entre valores da solção dscretzada. A sére de Taylor é a ferramenta matemátca tlzada na defnção de apromações das dervadas na regão dos pontos de nteresse. Assm para o caso ndmensonal sto é fnções de ma varável defnese: y( h) y( ) h ) fórmla avançada y' ( ) = y''( ξ) (9) h y( ) y( h) h ) fórmla atrasada y '( ) = y''( ξ ) (30) h

56 Utlzação de Eqações Dferencas Parcas no Tratamento de Imagens Orbtas 55 y( h) y( h) h 3) fórmla centrada y '( ) = y' ''( ξ) (3) h 3! A fórmla da dscretzação da dervada de segnda ordem é dada por: para algm ξ ( h h). y( h) y( ) y( h) h ( v) y ''( ) = y ( ξ) (3) h Segndo Cnha (000) na constrção de solções apromadas para eqações dferencas parcas em prmero lgar dscretza-se o domíno onde a eqação dferencal é defnda. Nesta dssertação foram tlzadas magens representadas pela fnção n : Ω R R com n = onde procra-se a solção R n ( ) das EDPs nas qas basea-se o modelo. Com sso defn-se a malha sobre a qal fo calclada a solção apromada. A malha de passo h e k (fgra 9) assocada a y ) é consttída por: ( y ) = ( h y k) =... (

57 Utlzação de Eqações Dferencas Parcas no Tratamento de Imagens Orbtas 56 Consderando h = k tem se ma malha reglar em ( y). n = 0 = 0 m Fgra 9 Malha de mn pontos e h =. Generalzando as defnções do caso ndmensonal para o caso bdmensonal obtém-se as segntes eqações de dferenças relatvas às dervadas parcas da fnção ( y). ) Fórmla avançada ) Fórmla atrasada 3) Fórmla centrada 4) Fórmla avançada y 5) Fórmla atrasada y 6) Fórmla centrada y

58 Utlzação de Eqações Dferencas Parcas no Tratamento de Imagens Orbtas 57 7) Dervada parcal msta 4 4 ) ( ) ( = = = y 8) Dervadas de segnda ordem em y e. yy Utlzando as fórmlas das dervadas parcas de segnda ordem e o operador de dferenças avançadas o atrasadas no tempo pode-se dscretzar o operador Laplacano o qal é comm aos três protótpos dados pelas eqações do calor da onda e de Posson. ) ( h y (33) ( ) yy y h (34) Utlzando ma malha nforme e galmente espaçada nas das dreções tem-se: ) ( ) ( h h h y ο = (35) A malha reglar fornece ma apromação com erro da ordem de h.

59 Utlzação de Eqações Dferencas Parcas no Tratamento de Imagens Orbtas 58 Nesta dssertação foram tlzadas magens de dmensão mn as qas são representadas pela fnção : Ω R R. Assm a regão Ω fo dscretzada em ma malha nforme e galmente espaçada com h =. Generalzando a dscretzação do Laplacano dado pela eqação (35) em relação a varável tempo em ma malha reglar e consderando as segntes condções: = = 0 η Condção de contorno ( Nemann) 0 ( y0) ( y) ( y) R Condção ncal A partr da condção de contorno de Nemann tem-se para as regões de contorno C C C 3 e C 4 as segntes fórmlas de dferenças. C = = 0 = = ' C = = 0 = = ' C = = 0 = = ' 4 C = = 0 = = ' 3 Fórmla avançada Fórmla atrasada Fórmla atrasada Fórmla avançada Utlzando essas condções de contorno na malha (fgra 0) têm-se:

60 Utlzação de Eqações Dferencas Parcas no Tratamento de Imagens Orbtas 59 C 3 C C C 4 Fgra 0 - Malha das dervadas parcas de prmera ordem na regão de contorno nternos) e (pontos de contorno). (pontos Nas fgras e estão apresentados os dos esqemas nmércos correspondentes aos métodos eplícto e mplícto. O método eplícto é obtdo sando dferenças avançadas no tempo e a dscretzação sal para a segnda dervada é dada por: k k k k k k k k k a = f y tk t { } ( ) (36) com = : m = : n e k = 0... Fgra Esqema comptaconal para o método eplícto

61 Utlzação de Eqações Dferencas Parcas no Tratamento de Imagens Orbtas 60 A fgra lstra o esqema comptaconal tlzado no método eplícto este método é consderado condconalmente estável pos a establdade do método depende de ma relação entre os tamanhos dos passos tlzados na dscretzação das varáves ndependentes da eqação. Nesta dssertação fo tlzado o método eplícto pelo fato da resolção do problema por esse método ser relatvamente smples e o método apresentar m esqema de evolção na varável temporal no qal a cada nível de tempo a solção é calclada de modo eplícto. O método mplícto será defndo apenas a títlo lstratvo pos o mesmo não fo tlzado nesse trabalho. Sa eqação geral é dada por: k t k a k com = : m = : n e k = 0... k k y k k k k = f ( y t k ) (37) Fgra Esqema comptaconal para o método mplícto A fgra representa o esqema comptaconal para o método mplícto esse método apesar de ser consderado ncondconalmente estável ndependente do número

62 Utlzação de Eqações Dferencas Parcas no Tratamento de Imagens Orbtas 6 de pontos da malha tem m csto comptaconal maor ma vez qe é necessáro resolver m sstema de eqações lneares em cada nível de tempo..3. Modelos de Eqações Dferencas Parcas Algns trabalhos vêm sendo desenvolvdos na últma década com ntto prncpal de elmnar rídos preservando bordas e otros detalhes da magem. Slva Jr. Boaventra e Barcelos (00) apresentam m trabalho de pesqsa qe leva em consderação a proposta de m modelo de dfsão não lnear e ma análse comparatva com modelos mportantes propostos na lteratra. É mportante destacar qe esse trabalho serv de nspração para o desenvolvmento desta dssertação. Faz-se necessáro salentar qe a Eqação do Calor poss papel fndamental nesses estdos a qal é dada por: ( y t) = t ( y0) = I( y) ( y t) y ( y t) (38) onde: ( y t) representa a magem para a escala t; ( R y) ; e as dervadas de segnda ordem com relação a e y representam o operador Laplacano ( ). A partr da Eqação do Calor lnear dada em (38) algns atores propseram alterações e acréscmos na sa estrtra fazendo com qe os modelos fndamentados a partr

63 Utlzação de Eqações Dferencas Parcas no Tratamento de Imagens Orbtas 6 de então tvessem como característca prncpal à dfsão ansotrópca o sea savzação maor em áreas homogêneas da magem e menor prómo às bordas. A eqação proposta por Perona e Malk (990) fo de grande contrbção para a comndade de processamento de magens. A déa central desses atores conssta em realzar ma savzação seletva na magem. A partr dessa déa a eqação passo a representar m modelo de dfsão não lnear qe fornece m algortmo potencal para segmentação de magens remoção de rídos detecção de bordas e realce de magem (WEI 998). Essa eqação é dada por: ( y t) = dv t ( y0) = I( y) [( g ( y t) ) ( y t) ] (39) onde: dv representa o operador dvergente; é o operador gradente; g é ma fnção save e monótona decrescente onde g (0) = g ( s) 0 e g(s) 0 qando s. Segndo esta lnha de pesqsa otros atores propseram algmas alterações no modelo. Uma mportante contrbção fo dada por Nordström (990) qe sger a nclsão de m termo reglarzador ( I ) na eqação (39). Esse termo tem como fnção prncpal preservar melhor os contornos e bordas da magem. Adotando ma notação smplfcada para os modelos a segr a eqação (39) com o termo ( I ) passo a ser epressa por:

64 Utlzação de Eqações Dferencas Parcas no Tratamento de Imagens Orbtas 63 t = dv [( g ) ] ( y0) = I( y) ( I) (40) onde: ( y t) representa a magem savzada no nstante t ; I ( y) representa a magem orgnal. A fnção g neste caso tlza a déa de dada por: g( ) = (4) Qando a fnção g dada em (4) é tlzada verfca-se qe esse detector de bordas apresenta nconsstêncas. Se a magem apresentar ma grande qantdade de rídos no caso de magens orbtas nformações rrelevantes o módlo do gradente será grande e como efeto ndeseável a fnção g será qase nla em todos os pontos e qase todos os rídos permanecerão assm esse processo não elmna sfcentemente as regões rdosas da magem. Para qe essa nstabldade fosse sperada hove a sbsttção do gradente por ma savzação com a Gassana o termo * representa ma méda dos G σ valores crcnvznhos a o qe torna possível a dentfcação de componentes de alta freqüênca solados não detectando essas regões mas se for ma regão de contorno o comportamento do gradente será nforme possbltando a detecção desse contorno. A partr dessa alteração a fnção g dada em (4) fo sbsttída por:

65 Utlzação de Eqações Dferencas Parcas no Tratamento de Imagens Orbtas 64 g( Gσ * ) = (4) k G * σ onde: k é ma constante; [ ( y ) /(σ )] G σ ( y) = ep ; 4πσ ( y t) representa a magem savzada no nstante t. Usando a eqação conhecda como flo da crvatra méda: t = dv (43) Alvarez Lons e Morel (99) propseram m modelo segndo a corrente teórca proposta por Perona e Malk (990) combnando a eqação (43) com a sbsttção feta na fnção g. Assm a eqação (40) passo a ser escrta como: t g( G = σ ( y0) = I( y) * ) dv ( I) (44) onde: g( Gσ * ) = ; k G * σ I ( y) representa a magem orgnal; ( y t) é a magem savzada a partr de I no nstante t.

66 Utlzação de Eqações Dferencas Parcas no Tratamento de Imagens Orbtas 65 Segndo Slva Jr. Boaventra e Barcelos (00) esse modelo apresento melhores resltados qe os modelos descrtos anterormente conseqênca dreta da apromação efetada pelo prodto de convolção. Baseados em modelos propostos na lteratra Barcelos e Chen (000) descreveram m modelo qe apresenta resltados epressvos no qe tange a remoção de rídos e segmentação de magens. Esse modelo segndo Slva Jr. Boaventra e Barcelos (00) apresento resltados satsfatóros prncpalmente em relação à qaldade da segmentação de magens. Esse modelo consste em: t = g dv g g * βg ( I) ( y0) = I( y) (45) onde: g( Gσ * ) = k constante; k G * σ G ( ) = ep( / 4σ σ σ σ 4π ) > 0 constante. Segndo os modelos propostos anterormente Barcelos Boaventra e Slva Jr. (00) propseram m modelo de eqação de dfsão não lnear qe sege a corrente teórca formlada a partr de Perona e Malk (990) onde através de sbsttções e acréscmos tem-se a segnte eqação: t = g ( Gσ * ) dv ( g)( I) λ ( y0) = I( y) (46)

67 Utlzação de Eqações Dferencas Parcas no Tratamento de Imagens Orbtas 66 onde: g( Gσ * ) = ; k G * σ e λ são parâmetros. σ O modelo defndo na eqação (46) tem como obetvo prmordal savzar seletvamente a magem consderando onde o G σ * é peqeno tem-se g o qe reslta em ( g) 0. Assm o termo reglarzador ( I ) não atará no modelo fazendo com qe a regão homogênea sofra maor savzação. O efeto contráro ocorrerá se G σ * for grande. Se sso ocorrer tem-se g 0 o qe mplca em ( g) fazendo com qe o termo reglarzador ( I ) ate sgnfcatvamente na magem mantendo as característcas orgnas das bordas contdas na magem. A fnção Gassana tlzada na eqação (46) sofre ma sbsttção de parâmetros os atores consderaram at = σ. Essa adaptação se stfca pela relação entre o parâmetro de escala σ e o tempo de evolção t. Assm a fnção Gassana é dada por: G ( y) = t e aπt ( y ) / at ( y) R (47) Barcelos Boaventra e Slva Jr. (00) ntrodzram anda o conceto de tempo ótmo de savzação onde a partr de ma estmatva do nível de rído o nível de nformação rrelevante contda na magem é possível evolr até o gra de savzação adeqado. Esse tempo ótmo é defndo pela epressão:

68 Utlzação de Eqações Dferencas Parcas no Tratamento de Imagens Orbtas 67 T 0 σ = (48) a onde: a é o parâmetro presente no núcleo de savzação Gassana; σ é o valor estmado para o nível de nformações rrelevantes. Cabe salentar qe esse modelo serv de nspração para essa dssertação pos o modelo vem ao encontro das epectatvas em relação à elmnação de rídos (nformações rrelevantes) e detecção de bordas aplcado a magens orbtas de Sensoramento Remoto.

69 Utlzação de Eqações Dferencas Parcas no Tratamento de Imagens Orbtas 68 CAPÍTULO 3 MATERIAIS E MÉTODOS 3. Software tlzado na mplementação do modelo Software MATLAB e a Toolbo de Morfologa Matemátca De acordo com Vera (00) o termo "MATLAB" tem orgem na congação dos termos MATr e LABoratory. É m software nteratvo de alta performance voltado para o cálclo nmérco. Ele ntegra análse nmérca cálclo com matrzes processamento de snas e constrção de gráfcos em ambente de fácl tlzação onde

70 Utlzação de Eqações Dferencas Parcas no Tratamento de Imagens Orbtas 69 problemas e solções são epressos qase eatamente como são escrtos matematcamente ao contráro da programação tradconal. O ambente MATLAB poss ma anela de trabalho (fgra 3) qe permte a realzação de algortmos nmércos sobre matrzes com o mínmo de programação. Além dsso no ambente MATLAB é possível a cração e manplação de matrzes sem a necessdade de dmensonamento prévo. Fgra 3 Tela do ambente MATLAB. O sstema MATLAB é consttído pela lngagem a qal permte a manplação e cração de matrzes de forma rápda e nttva possndo m connto mto vasto de fnções qe permtem resolver problemas compleos de forma efcente. Na fgra 4 pode-se vsalzar o edtor do ambente MATLAB este ambente de trabalho permte a gestão e vsalzação das varáves letra e gravação das

71 Utlzação de Eqações Dferencas Parcas no Tratamento de Imagens Orbtas 70 mesmas em dsco gerando programas em lngagem MATLAB possbltando assm a atomatzação de cálclos compleos. Fgra 4 Tela do edtor do ambente MATLAB O ambente MATLAB poss m recrso gráfco onde a cração vsalzação e manplação dos mesmos são de fácl tlzação. E anda poss as Toolboes qe são consttídas por m connto de pacotes de fnções para as mas varadas áreas de cálclo centífco. As Toolboes podem ser tlzadas em processamento de snal sstema de smlação dnâmco sstema de dentfcação redes neras processamento dgtal de magens e otros. Nesta dssertação o MATLAB fo tlzado como plataforma para a Toolbo de Morfologa Matemátca da SDC Informaton Systems a qal manpla e trata magens por processos morfológcos através de realce segmentação detecção de bordas esqeletzação tratamento vsal análse de formas entre otros operadores da polvalente ferramenta morfológca (SDC Morphology Toolbo for MATLAB 5 00).

72 Utlzação de Eqações Dferencas Parcas no Tratamento de Imagens Orbtas 7 Fgra 5 Tela da Toolbo da Morfologa Matemátca A Toolbo da Morfologa Matemátca lstrada na fgra 5 encontra-se no tem geral (General) do MATLAB. Para verfcar ses componentes basta dgtar no vsor o comando de ada morfológca (help morph) após a lnha de comando atvo (prompt >> ) e assm verfcar todos os operadores morfológcos.

73 Utlzação de Eqações Dferencas Parcas no Tratamento de Imagens Orbtas 7 3. Imagens teste tlzadas No desenvolvmento desta dssertação foram tlzadas magens Landsat TM. Imagens LANDSAT TM Segndo Novo (989) m sstema sensor pode ser defndo como qalqer eqpamento capaz de transformar algma forma de energa em m snal passível de ser convertdo em nformação sobre o ambente. No caso específco de Sensoramento Remoto a energa tlzada é a radação eletromagnétca e a magem obtda é gerada à dstânca. Os dferentes sstemas sensores são caracterzados por sa resolção onde o termo resolção é defndo como a medda de habldade qe m sstema sensor poss de dstngr entre respostas qe são semelhantes espectralmente o prómas espacalmente e pode ser classfcado em resolções espacal espectral radométrca e temporal. As magens teste tlzadas na dssertação foram: A sb-magem 3 contendo o Aeroporto Internaconal Antôno Carlos Jobm (RJ) representada na fgra 6 fo escolhda por apresentar ma mltplcdade de bordas e fronteras qe delneam as pstas do aeroporto as qas representam as feções cartográfcas de nteresse. A magem é do Landsat 5 TM resolção de 30 metros banda 3 datada de 0/08/ O termo sb-magem refere-se a ma parte da magem orgnal.

74 Utlzação de Eqações Dferencas Parcas no Tratamento de Imagens Orbtas 73 Fgra 6 Sb-magem do Aeroporto Internaconal Antôno Carlos Jobm (RJ). A sb-magem contendo a regão de Presdente Prdente (fgra 7) contém ma avenda constrída recentemente qe não consta da carta do mncípo esse fato torna etremamente relevante a detecção dessa feção para posteror atalzação cartográfca. Essa sb-magem é do Landsat 7 ETM resolção de 30 metros banda 3 datada de /08/000. Fgra 7 Sb-magem da regão de Presdente Prdente (SP).

75 Utlzação de Eqações Dferencas Parcas no Tratamento de Imagens Orbtas 74 Tas magens foram escolhdas por estarem dsponíves no banco de magens da FCT/UNESP de Presdente Prdente. 3.3 Dscretzação dos termos presentes no modelo de EDP Como á descrto no capítlo fo tlzado o método de dferenças fntas para dscretzar os termos presentes no modelo de EDP dada por: t = g dv λ ( g)( I) (49) Para eplctar a evolção temporal qe está presente no modelo deve-se ressaltar qe essa evolção se caracterza por m processo teratvo. Assm para a dervada de com relação ao tempo fo tlzado neste caso o operador de dferenças avançadas no tempo conforme sege: t n t n (50) onde: representa a magem no estágo de tempo n onde n =... N. n n representa a magem no estágo de tempo n ; t representa o tamanho do passo da evolção temporal.

76 Utlzação de Eqações Dferencas Parcas no Tratamento de Imagens Orbtas 75 Tomando L( ) = g dv λ ( g)( I) e = n t L( ) tem-se: n n n = L( t ) n n n = t L( ) (5) O método de dscretzação da dervada com relação ao tempo dado em (50) está assocado com o esqema nmérco correspondente ao método eplícto. A fnção g( G * ) tlzada no modelo tem na sa formlação o σ prodto de convolção. Neste caso para convolr a fnção com o núcleo Gassano tlzo-se o prodto de convolção por etenção constante. E como á descrto no capítlo a convolção é ma forma mportante de processar ma magem na qal o processo ocorre entre ma magem f ( a b) com o núcleo h ( a b) representada por f h defnda no pel de coordenadas ( y) qe é dada por: m n ( f * h)( y) = f ( a b) h( a y b) (5) a= 0 b= 0 com 0 < m M e 0 < n < N. Os valores nteros m e n correspondem ao sbdomíno dscreto de pontos o máscara a qal é tlzada para calclar a convolção. A fgra (8) lstra o núcleo de convolção com a máscara (33) centrada no ponto em destaqe.

77 Utlzação de Eqações Dferencas Parcas no Tratamento de Imagens Orbtas 76 C Fgra 8 - Núcleo de convolção com a máscara (33) centrada no ponto em destaqe. Para calclar o prodto de convolção fo tlzada nesta dssertação a regra de Smpson para o cálclo das ntegras. Mas ncalmente é mportante destacar qe o prodto de convolção é tlzado para encontrar ma méda ponderada de valores em ma vznhança de m determnado pel. Ióro (99) defne a convolção de das fnções f e g ( l) o espaço das fnções secconalmente peródcas de período l SC per consderando l = como a fnção f g : R R defnda por: l ( f g)( ) = f ( y) g( y) dy (53) l l A convolção das fnções f e g é calclada em ma vznhança (33) do ponto. Assm a partr do cálclo da ntegral dada por: ( f g)( y ) = f ( y y) g( y) ddy (54)

78 Utlzação de Eqações Dferencas Parcas no Tratamento de Imagens Orbtas 77 Pode-se avalar essas ntegras tlzando a regra de Smpson. Tomando ma fnção f () e nm ntervalo [ab] os pontos = a 0 a b = e = b onde f ( 0 ) f ( ) e f ( ) são conhecdos a regra de Smpson para a apromação da ntegral b a f ( ) d é dada por: 0 5 h h (4) f ( ) d = [ f ( 0 ) 4 f ( ) f ( )] f ( β ) 0 < β < (55) h (4) onde f ( β ) 90 representa o erro cometdo na apromação. Assm a partr da ntegral dpla dada em (54) tem-se: I = f ( y y) g( y) d (56) e I dy (57) = I Utlzando a regra de Smpson dada em (55) para calclar o valor das ntegras dadas em (56) e (57) respectvamente tem-se: 36 [ f () g( y ) 4 f (0) g( y ) f ( ) g( y ) 4 f (0) g( y ) 6 f (00) g( y ) 4 f ( 0) g( y ) f ( ) g( y ) 4 f (0 ) g( y ) f ( ) g( y ) ] (58)

79 Utlzação de Eqações Dferencas Parcas no Tratamento de Imagens Orbtas 78 e: y y g y G y f ) ( ) ( ) ( ) ( = = = σ (59) A partr das consderações fetas em (59) a epressão nmérca dada em (58) é reescrta da forma: { [ ) (0 0) ( (0) (0) 4 (00) 6 ) ( ) ( ) ( () 36 ) )( ( = G G G G G G G G G G σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ Utlzando a forma conv (de convolção) para a epressão (60) ) ( conv = ) )( ( G σ e o operador de dferenças centradas para o cálclo das dervadas de prmera ordem de conv á descrto no capítlo tem-se: ) ( ) ( c conv conv y conv c conv conv conv = = (6) Dessa forma é obtda a epressão = y conv conv G ) ( σ. Fnalzando o processo a epressão acma é dada por: (60)

80 Utlzação de Eqações Dferencas Parcas no Tratamento de Imagens Orbtas 79 ) ( ) ( c c G y G G G = = σ σ σ σ (6) O resltado obtdo em (6) é tlzado na fnção g dada por: ) * ( c c k G g = σ k constante. O termo de dfsão dado por dv fo dscretzado a partr dos operadores de dferenças fntas descrtos anterormente no capítlo. Após o desenvolvmento dos termos presentes na epressão tem-se: y y y y yy dv = (63) Utlzando os operadores de dferenças fntas tem-se:

81 Utlzação de Eqações Dferencas Parcas no Tratamento de Imagens Orbtas 80 ) ( 4 ) ( dv (64) É mportante salentar qe foram tlzadas condções de contorno de Nemann = 0 η ressaltando qe nas regões de contorno não há pontos sfcentes para a tlzação da fórmla de dferenças centradas. Logo foram tlzados os operadores de dferenças avançadas e atrasadas para os pontos estentes nessas regões. De posse dos termos á dscretzados é possível mplementar a eqação dferencal parcal como sege: n n n L t ) ( = (65) Após a aplcação do modelo de EDP dado pela eqação (65) é realzada a segnda etapa do processo qe consste na segmentação da magem processada. A fnção tlzada para a segmentação é dada por:

82 Utlzação de Eqações Dferencas Parcas no Tratamento de Imagens Orbtas 8 g ( ) = (66) k A fnção (66) fo dscretzada tlzando as fórmlas de dferenças fntas centradas em e y. Os resltados obtdos com o modelo de EDP dado pela eqação (65) e a segmentação dada pela fnção (66) são apresentados no capítlo 4.

83 Utlzação de Eqações Dferencas Parcas no Tratamento de Imagens Orbtas 8 CAPÍTULO 4 RESULTADOS E DISCUSSÃO Os resltados apresentados neste capítlo foram obtdos a partr da aplcação do modelo de EDP do Gradente Morfológco por erosão e dlatação e o operador de Sobel em magens orbtas. O modelo de EDP e o operador de Sobel foram mplementados no software MATLAB e o Gradente Morfológco fo obtdo a partr da Toolbo da Morfologa Matemátca contda no ambente MATLAB. O modelo de EDP mplementado corresponde a eqação:

84 Utlzação de Eqações Dferencas Parcas no Tratamento de Imagens Orbtas 83 L( ) = g dv λ ( g)( I) n n n = t L( ) de bordas dado por: A magem obtda a partr desse resltado é segmentada através do detetor g( ) = k Nos testes realzados com a aplcação do modelo de EDPs na sb-magem referente ao Aeroporto Internaconal Antôno Carlos Jobm (RJ) foram tlzados os segntes parâmetros: T 0 - corresponde ao total de terações realzadas; σ r e λ - valores estmados qe dependem da qantdade de nformações rrelevantes contda na magem; t - tamanho do passo da evolção temporal; k - varável estmada; a - constante presente na fnção Gassana; k seg constante presente no detetor de bordas. A escolha dos valores de σ r levam em conta a dstrbção méda dos valores dos níves de cnza presentes na magem fato observado através do hstograma da magem onde é possível verfcar o desvo padrão de ma magem e a partr deste dado estmar o valor de σ r.

85 Utlzação de Eqações Dferencas Parcas no Tratamento de Imagens Orbtas 84 A fgra 9 representa o hstograma da sb-magem do aeroporto do Ro de Janero. Através do desvo padrão da magem dado por σ = 3. fo possível estmar valores apromados para σ r (tabela ) obtendo a partr desses parâmetros níves adeqados de segmentação após aplcação do modelo de EDP. r Fgra 9 Hstograma da sb-magem do Ro de Janero Janero. A tabela apresenta os parâmetros tlzados para a sb-magem do Ro de Tabela Parâmetros tlzados no modelo de EDP. Imagens Parâmetros T 0 σ r λ t k a ks eg - c d e f g h A fgra 30 apresenta o procedmento metodológco tlzado para a sbmagem do Ro de Janero neste caso a colna esqerda da fgra apresenta a magem orgnal em 30 (a) e as magens 30 (c) 30 (e) e 30 (g) com σ = 5 r 30 e 35

86 Utlzação de Eqações Dferencas Parcas no Tratamento de Imagens Orbtas 85 respectvamente a colna dreta apresenta os resltados obtdos do processo de segmentação a partr das magens da colna esqerda. (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) Fgra 30 - (a) Imagem orgnal e (b) sa segmentação (c) e (d) magem com segmentação (e) e (f) magem com σ r = 30 e sa segmentação (g) e (h) magem com 35 e sa segmentação. σ r = 5 e sa σ r =

87 Utlzação de Eqações Dferencas Parcas no Tratamento de Imagens Orbtas 86 A fgra 30 (a) lstra a magem orgnal e sa respectva segmentação 30 (b); neste caso observa-se ma ecessva segmentação da magem. Na magem lstrada em 30 (c) pode-se observar o prodto da aplcação do modelo de EDP e 30 (d) sa respectva segmentação. Nesta magem é possível perceber o efeto postvo da aplcação do modelo ma vez qe o resltado obtdo tem menor nível de segmentação em comparação ao resltado obtdo em 30 (b). Os resltados obtdos em 30 (f) e 30 (h) tlzando a magem orgnal com σ 30 e σ = 35 respectvamente apresentam melhoras sgnfcatvas da dmnção da r = r segmentação. Em 30 (f) percebe-se claramente esta dmnção em relação a 30 (d) em toda a magem facltando a dentfcação das pstas. Em 30 (h) vsalmente o resltado obtdo fo anda melhor onde a segmentação presente pode ser consderada mínma. Na seqüênca o mesmo procedmento metodológco tlzado para a sbmagem do Ro de Janero fo segdo para a sb-magem de Presdente Prdente. A fgra 3 apresenta o hstograma da magem de Presdente Prdente após a realzação de m contraste na magem. Neste caso o desvo padrão obtdo não fo tlzado como estmatva para o σ r presente no modelo de EDP. Fgra 3 Hstograma da sb-magem de Presdente Prdente (após realzação de contraste na magem).

88 Utlzação de Eqações Dferencas Parcas no Tratamento de Imagens Orbtas 87 A fgra 3 apresenta o hstograma da magem orgnal de Presdente Prdente (banda 3) neste caso o desvo padrão obtdo fo tlzado como estmatva para a escolha dos σ r constantes da tabela. Fgra 3 Hstograma da magem de Presdente Prdente (sem contraste). A tabela apresenta os parâmetros tlzados no modelo de EDP e na segmentação da magem respectvamente. Tabela Parâmetros tlzados no modelo de EDP. Imagens Parâmetros T 0 σ r λ t k a ks eg - c e d e e f g e h A fgra 33 apresenta todos os processamentos realzados sobre a sbmagem da regão de Presdente Prdente sendo qe na colna esqerda da referda magem tem-se: em 33 (a) a magem orgnal e em 33 (c) 33 (e) e 33 (g) a magem processada pelo modelo de EDP com σ 5 σ = 7.9 σ = 9 respectvamente e a colna dreta r = r r apresenta os resltados obtdos da segmentação das magens à esqerda.

89 Utlzação de Eqações Dferencas Parcas no Tratamento de Imagens Orbtas 88 (a) (b) (e) (f) (c) (d) (g) (h) Fgra 33 (a) Imagem orgnal e (b) sa segmentação (c) e (d) magem com segmentação (e) e (f) magem com σ r = 7.9 e sa segmentação (g) e (h) magem com = 9 e sa segmentação. σ r = 5 e sa σ r

90 Utlzação de Eqações Dferencas Parcas no Tratamento de Imagens Orbtas 89 A fgra 33 (a) apresenta grande varabldade nos valores de níves de cnza dos alvos presentes na cena tornando mas dfícl à obtenção de ma baa segmentação. A fgra 33 (a) representa a magem orgnal e 33 (b) sa respectva segmentação a partr das fgras sbseqentes é possível observar as magens após a aplcação do modelo de EDP e sas respectvas segmentações. Nestas magens com a mdança de parâmetros ocorre o efeto de savzação seletva e detecção de bordas sendo qe a fgra 33 (h) poss conseqentemente menor nível de segmentação em relação aos resltados da fgra 33 (d) e 33 (f) dmnndo boa parte das nformações rrelevantes e prncpalmente mantendo as regões de nteresse (avendas). As magens de Sensoramento Remoto apresentam grande varabldade nterna nos valores dos níves de cnza presentes na cena. Isto decorre do fato de alvos dferentes estarem contdos nma mesma magem. As das magens teste são de áreas com presença de alvos dferentes. Isto faz com qe os parâmetros tlzados em cada ma das magens seam também dferentes. O operador de Sobel corresponde a aplcação smltânea dos operadores na dreção horzontal e G y na dreção vertcal resltando na magem completa do operador. O resltado obtdo para a sb-magem do Ro de Janero é o apresentado na fgra 34 e na fgra 35 está o resltado para a sb-magem de Presdente Prdente. G (a) (b) Fgra 34 (a) Imagem orgnal (b) resltado da aplcação do operador de Sobel.

91 Utlzação de Eqações Dferencas Parcas no Tratamento de Imagens Orbtas 90 (a) (b) Fgra 35 (a) Imagem orgnal (b) resltado da aplcação do operador de Sobel. Da análse da fgra 34 (b) concl-se qe há m nível elevado de segmentação e há partes das pstas onde o nível de brlho se confnde com o valor de fndo predcando a vsalzação completa da feção. Na fgra 35 (b) é possível dentfcar as pstas rodováras com boa defnção apesar da segmentação ser grande. O Gradente Morfológco por dlatação e erosão a partr dos elementos estrtrante crz e bo 33 respectvamente fo aplcado sobre as magens teste. Na fgra 36 os resltados obtdos são da sb-magem do Ro de Janero e na fgra 37 correspondem a sb-magem da regão de Presdente Prdente.

92 Utlzação de Eqações Dferencas Parcas no Tratamento de Imagens Orbtas 9 (a) (b) (c) Fgra 36 (a) Imagem orgnal (b) aplcação do Gradente Morfológco a partr do elemento estrtrante crz 33 (c) aplcação do Gradente Morfológco a partr do elemento estrtrante bo 33. O resltado obtdo em 36 (b) sando o elemento estrtrante crz 33 mostra-se com por desempenho vsal em relação ao elemento estrtrante bo 33 apresentado em 36 (c). Ambos apresentam alto nível de segmentação mas o resltado em 36 (c) apresenta as pstas com melhor defnção vsal.

93 Utlzação de Eqações Dferencas Parcas no Tratamento de Imagens Orbtas 9 (a) (b) (c) Fgra 37 (a) Imagem orgnal (b) aplcação do Gradente Morfológco a partr do elemento estrtrante crz 33 (c) aplcação do Gradente Morfológco a partr do elemento estrtrante bo 33. Os resltados obtdos em 37 (b) e 37 (c) não possem dferenças sgnfcatvas mesmo com a mdança do elemento estrtrante. Nesses resltados percebe-se claramente segmentação ecessva. A fgra 38 apresenta os resltados comparatvos entre os testes efetados para a sb-magem do Ro de Janero.

94 Utlzação de Eqações Dferencas Parcas no Tratamento de Imagens Orbtas 93 (a) (b) (c) (d) (e) (f) Fgra 38- Teste comparatvo para o modelo de EDP com parâmetros dados na tabela (a) magem orgnal e (b) sa segmentação (c) aplcação do parâmetro σ r =5 (d) sa segmentação (e) aplcação do parâmetro σ r =30 (f) sa segmentação

95 Utlzação de Eqações Dferencas Parcas no Tratamento de Imagens Orbtas 94 (g) (h) () () Cont. Fgra 38- Teste comparatvo para o modelo de EDP com parâmetros dados na tabela (g) aplcação do parâmetro σ r =35 (h) sa segmentação () gradente morfológco a partr do elemento estrtrante bo 33 () operador de Sobel. Da análse da fgra 38 em relação ao modelo de EDP consderando os parâmetros fornecdos respectvamente na tabela pode-se conclr qe os melhores resltados referem-se a fgra 38 (h) em relação aos otros resltados; neste caso a qantdade de segmentação é relatvamente baa e a estrtra da psta não sofre alteração no nível de brlho fato observado com a aplcação do operador de Sobel fgra 38 () onde parte da psta tem o nível de brlho confnddo com o valor de fndo dfcltando a vsalzação das pstas. Na fgra 38 (d) o modelo de EDP fo mplementado com parâmetros qe resltam em resltados nferores aos resltados comparatvos em relação à segmentação obtda na fgra 38 (f). No entanto qando o tempo de evolção amenta conforme resltado na fgra 38 (h) vsalmente tem-se ma melhor performance do modelo em relação aos otros operadores. O

96 Utlzação de Eqações Dferencas Parcas no Tratamento de Imagens Orbtas 95 Gradente Morfológco e o operador de Sobel prodz segmentação ecessva de acordo com resltados apresentados nas fgras 38 () e 38 () neste caso a evolção temporal e a alteração em bsca de parâmetros adeqados tornam o modelo de EDP mas adeqado para os propóstos cartográfcos o sea elmnação de nformações ndeseadas mantendo as pstas feções de nteresse devdamente segmentadas. A fgra 39 representa a comparação entre o modelo de EDP para a sbmagem da regão de Presdente Prdente (SP) o operador de Sobel e o Gradente Morfológco a partr do elemento estrtrante bo 33. As magens da colna esqerda representam em 39 (a) a magem orgnal e em 39 (c) 39 (e) e 39 (g) respectvamente as magens processadas pelo modelo de EDP e em 39 () a magem resltante da aplcação do Gradente Morfológco. A colna dreta da magem representa em 39 (b) a segmentação da magem orgnal e em 39 (d) 39 (f) e 39 (h) as respectvas segmentações relatvas às magens da colna esqerda em 39 () a magem após aplcação do operador de Sobel.

97 Utlzação de Eqações Dferencas Parcas no Tratamento de Imagens Orbtas 96 (a) (b) (c) (d) (e) (f) Fgra 39 - Teste comparatvo para o modelo de EDP com parâmetros dados na tabela (a) magem orgnal e (b) sa segmentação (c) aplcação dos parâmetros σ r =5 (d) sa segmentação (e) aplcação dos parâmetros σ r =7.9 (f) sa segmentação