6 Modelo de imunização estocástica

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1 95 6 Modelo de munzação estocástca Sabemos que, em geral, quanto mas complexa for a classe de varações que deseamos munzar, mas restrtvas se tornam as condções de munzação. ontraro a sso, quanto menor a classe, maor será a chance da estratéga falhar. or exemplo, como vmos, a teora de munzação clássca basea-se na teora de duração de Macaulay, a qual supomos que a estrutura a termo na qual os papes são precfcados é consderada plana (todas as datas de vencmento tem a mesma taxa de mercado e consdera-se que seus deslocamentos ocorrem apenas de forma paralela (todos os pontos da curva se alteram por um mesmo valor. este caso, uma estratéga de munzação contra varações paralelas requer uma restrção na duração modfcada dos atvos e passvos. sta estratégas é smples de ser mplementada porém, é altamente suscetível a falhas quando uma varação não antecpada na curva ocorrer. or outro lado, com o ntuto de generalzar um pouco mas esta teora, utlzamos uma técnca de munzação proposta por Barber e ooper (996 baseada na análse de componentes prncpas (o trabalho mas famoso nesta área é o de Ltterman e Schenman (99. através destes componentes munzamos uma curva de uros não plana e com deslocamentos não paralelos (deslocamentos na dreção dos componentes prncpas. este caso, um número maor de restrções tem que ser levado em consderação. Anda assm, a técnca proposta por Barber et a não pode ser consderada muto geral, no sentdo de que ela somente munza na dreção dos autovetores e não aceta títulos com opção. or sso, estudaremos uma técnca mas geral de munzação proposta por Robert Retano em seus város artgos escrtos em 99, 993, e 996. Assm como feto no caso anteror, prmeramente apresentaremos um arcabouço teórco no qual a teora toda se basea. m seguda, apresentaremos um exemplo smples com o ntuto de condensar toda a teora. or fm, uma aplcação prátca será feta utlzando-se dados reas.

2 96 omo dssemos, a teora clássca de munzação pressupõe curva de uros plana e deslocamentos paralelos, ou sea, a teora clássca estuda a sensbldade do preço de atvos e passvos a taxa de uros utlzando funções de preço de uma únca varável, conhecda como taxa nterna de retorno. este capítulo, remos mostrar o conceto desenvolvdo por Retano de uma análse multvarada da duração, munzação e da sensbldade do preço que sea aplcável a qualquer modelo de varação da curva de uros. Outros exemplos de modelos multvarados podem ser encontrados em Berag (977 e homas Ho (99. ara tal, ntroduzremos novos concetos de duração, convexdade e de suas relações e de munzação multvarada. 6.. Análse de duração multvarada anto a teora que será apresentada (Multvarate Stochastc Immunzaton heory quanto as teoras multvaradas desenvolvdas por Berag (977 e Ho (99 utlzam uma representação dscreta da curva de uros. Apesar de na teora esta relação ser consderada contínua, na prátca o que temos são apenas alguns pontos desta curva, os quas chamaremos de vértces da curva de uros. or exemplo, podemos ter uma curva básca de uros gerada pelas observações das taxas de mercado nas datas de vencmento de.5,.5,,, 3, 4, 5, 7,, e 3 anos. ada estas taxas, o restante da curva é gerado através de nterpolação (no presente trabalho utlzaremos apenas a nterpolação lnear, mas pode-se utlzar a que for mas convenente. onseqüentemente, estas outras taxas são dependentes das taxas dos vértces O modelo tradconal (de uma varável e suas lmtações Sabemos que no modelo tradconal a função preço é defnda somente para uma varável, a taxa nterna de retorno (yeld-to-maturty. Sea ( uma função que atrbu para cada valor de taxa de uros o valor de uma dada cartera de fluxos de caxa futuros. A taxa pode ser defnda em qualquer sstema de undades (da, ano, semestre, etc. e os fluxos de caxa futuros podem ser postvos ou negatvos, fxos ou dependentes de. Assuma anda que ( sea duas vezes

3 97 dferencavel e tenha segunda dervada contínua. ada a função preço (, sua função de duração modfcada, ( será defnda para ( como sendo: ( d d ( 6. ( Usando a expansão de aylor de prmera ordem, temos: ( ( omo ( ( Onde d ( d + ( 6. d ( d ( ( então ( ( 6.3 ( 6.4 ada a função preço (, sua função de convexdade, ( será defnda para ( como sendo: d d ( ( 6.5 ( Utlzando a aproxmação de aylor de segunda ordem teremos: ( ( omo ( ( d ( d ( + + ( 6.6 d ( d d! d d ( ( e d ( + ( ( ( ( ( temos: ( 6.7 m aplcações, exstem duas abordagens mas comuns para se utlzar este modelo. A abordagem de taxa nterna de retorno e a abordagem de varações paralelas. a prmera, a taxa (que não necessaramente será somente uma sabemos que a taxa nterna de retorno são as raízes de um polnômo é o valor no qual ( se guala ao preço ncal. Logo, estamos num mundo onde a estrutura. efnremos ( + a termo é plana com valor gual a taxa nterna de retorno vara na quantdade o preço quando a. Já a outra abordagem, de varações paralelas, tem a vantagem de permtr que o fluxo de caxa sea avalado

4 98 ncalmente na curva de uros atual (que pode ter qualquer formato, produzndo o valor (. ntão, ( alterada pelo valor representa o preço quando a curva é paralelamente, ou sea, quando cada ponto da curva ncal se deslocar pelo mesmo valor. stas aproxmações apesar de serem muto smples não valem nada caso suas lmtações não seam respetadas. Veremos um exemplo proposto por Retano (99 a segur. Sea uma cartera smplfcada composta por 3 fluxos de caxa fxos guas a, - e vencendo nas datas, e respectvamente. Sea a curva de uros spot com vértces,5 e, com vencmentos em e anos respectvamente. om sso, podemos calcular o valor presente, duração e convexdade. V + +,99 (,5 (, Usando a técnca de yeld-to-maturty, podemos modelar a função preço como: ( ν + ν, ν ( + Igualando-se esta expressão ao valor presente calculado anterormente extraímos as duas taxas nterna de retorno do fluxo: IR IR,45,57 Usando cada uma das duas taxas nternas podemos calcular a duração e a convexdade.,7,38,7,74 Sea a expansão de aylor de segunda ordem : ( IR ( ( IR + ( IR ( 6.8 Usando esta expansão, Retano (99 mostra que mesmo para uma varação paralela, esta equação fornece uma aproxmação rum da verdadera varação da cartera. assoca este erro a um problema de undade. Além dsso, outra lmtação desta aproxmação é que podemos ter fluxos que não tenham taxa nterna de retorno. Usando o modelo de varações paralelas podemos escrever a função de preço como sendo:

5 99 ( ν + Onde: v (,5 + (, + alculando-se a duração e a convexdade chegamos a:,36,44 Usando a expressão (3.6, a aproxmação de prmera ordem fca: ( (,36 ovamente, Retano mostra que a aproxmação não é de todo precsa. Isto porque, a curva de uros, normalmente, não se movmenta em paralelo. or este e pelos motvos acma, surge a necessdade de um modelo de duração mas completo, mas real, que possa explcar melhor a varação de uma cartera quando as taxas mudam. Apresentaremos dos modelos de duração: duração dreconal e duração parcal Modelos multvarados esta seção remos mostrar o característcas e propredades de modelos de duração multvarados. rmero apresentaremos o conceto de duração e convexdade dreconal. epos entraremos no conceto de duração e convexdade parcal. or fm, suas propredades serão apresentadas (seção uração e convexdade dreconal ste conceto de duração e convexdade é muto mportante para a teora de munzação dreconal, onde queremos munzar uma carta cartera na dreção de um dado vetor de mudanças. Um caso partcular desta teora é a análse de componentes prncpas, utlzada na prmera aplcação, onde os autovetores são os vetores de dreção na qual queremos munzar uma cartera e a duração na dreção de cada componente nada mas é do que a duração dreconal.

6 omo dto na ntrodução, utlzaremos o conceto de vértces da curva de uros. Sea (, m,..., o vetor que representa os m pontos (vértces da curva de uros na qual o portfólo está valorado. stes vértces da curva são as varáves que defnem a função preço, pos os outros valores são nterpolados (logo, dependentes destes valores. Sea também, ( e ( n onsdere ( t ( + t dreção, onde denota seu comprmento. n,...,n m o vetor de, onde ( é a função de preço multvarada, que remos assumr que sea duas vezes dferencavel. sta função defne o preço do portfólo quando a curva de uros ncal é varada de t undades na dreção do vetor. Ou sea, é acrescda de tn undades e assm por dante. Usando a expansão da sere de aylor, podemos aproxmar a função preço em prmera e segunda ordem. ( t ( + ( t ( 6.9 ( t ( + ( t + ( t ( 6. ara calcularmos as dervadas de ( t, sea ( a -ésma dervada parcal de ( e ( a dervada parcal cruzada de segunda ordem. Matematcamente temos: ( 6. ( 6. Sabemos da teora do cálculo que: d d d d m m ( 6.3 d dm d d ( 6.4 d dd m m Sabemos anda que: d d n dt m n m dt ( 6.5

7 e d d n n dt ( 6.6 Substtundo (6.5 em (6.3 chegamos a: d ndt nmdt n dt m ( 6.7 Logo: d dt n n n m m ( t n ( + t ( 6.8 ( 6.9 Utlzando a mesma déa podemos mostrar que: ( t n n ( + t ( 6. stas expressões ((6.9 e (6. avaladas em t, são as dervadas dreconas de prmera e segunda ordem da função preço ( avalada em. ( n ( ( n n ( ( 6. ( 6. Antes de contnuarmos, faremos duas defnções. Sea ( a função preço multvarada e o vetor de dreção. A função de duração dreconal na dreção de, ( e a função de convexdade dreconal na dreção de (, são defndas para ( como sendo: ( d ( 6.3 ( ( ( ( d ( ( 6.4 ( ( Substtundo a equação. (6. em (6.9 e a equação. (6. em (6. consegumos: ( + ( ( + ( ( ( 6.5 ( + ( ( ( 6.6

8 omo exemplo, consdere a função preço utlzada anterormente: (, ν + Onde neste caso: v ( + ( + As dervadas parcas de ( (, v (, 3 (, 4v (, (, (,, podem ser calculadas Avalando estas equações na curva ncal e utlzando as equações acma, podemos calcular as durações e convexdades dreconas. Apenas como exemplo, calcularemos a duração e convexdade na dreção dos seguntes vetores de dreção : (,, (,3 e (,,36. hegamos ao segunte resultado: (, (, 3,,44 34,4 (,3 (,3 (,,4767 (, 6, 688 este ponto, é mportante observarmos alguns aspectos mportantes da duração e convexdade dreconal. otamos que: Se (,...,, o vetor de mudança paralela, ( tradconal de (, e ( ( 4 se guala ao valor, onde os valores sem índce são calculados utlzando a aproxmação de varação paralela. Além dsso, as equações (6.5 e (6.6 são consstentes apesar de que podemos expressar de mutas formas o vetor de dreção. Mutos modelos requerem que o vetor de dreção sea normalzado (caso da análse de componentes prncpas, ou sea, que. o caso anteror (A, uma análse de componentes prncpas fo feta em cma de um hstórco de varações na curva de uros durante um dado período. esta análse, o prmero componente prncpal,, é o vetor de varações o qual melhor aproxma os múltplos das varações hstórcas, t, no sentdo de mínmos quadrados. Os múltplos do segundo componente prncpal,, melhor aproxmam os resíduos dexados pelo prmero componente, novamente no sentdo de mínmos quadrados. assm por dante.

9 3 m outras palavras, esta análse decompõe as varações hstórcas,, numa combnação lnear dos vetores de varação, para cada,, m, a coleção dos resíduos:,,, m, de modo que t,,, ( 6.7 sea a menor possível no sentdo de soma de quadrados uração e convexdade parcal omo pudemos ver, com a ntrodução da déa de duração dreconal, a teora clássca de duração pode ser facalmente adaptada para absorver varações nas taxas que não seam paralelas. Um método alternatvo sera um que reconhecesse mas explctamente a natureza multvarada das varações na estrutura a termo. Ou sea, um modelo que estme ( + é o vetor ncal da curva de uros e (,..., dretamente, onde m o vetor de varação na estrutura. onsdere a segunte versão m dmensonal da sere de aylor de prmera e segunda ordem: ( + ( + ( ( 6.8 ( ( + ( + ( + ( 6.9 stas aproxmações naturalmente motvam algumas defnções. ada a função multvarada de preço (, a -ésma função de duração e de convexdade parcal, que chamaremos de ( e ( são defndas para ( sendo: ( ( ( ( ( como,, m ( 6.3 (,,, m ( 6.3 Onde

10 4 e ( 6.3 ado as defnções acma, podemos defnr o vetor de duração total, que chamaremos de ( e a matrz de convexdade, que chamaremos de (. ( ( (,..., ( ( 6.33 (... m m (... (... m... (... ( mm ( 6.34 odemos utlzar estas defnções nas equações de expansão de aylor de prmera e segunda ordem. Substtundo temos: ( + ( ( + ( ( ( 6.35 ( + ( ( ( ( 6.36 ara smplfcar a notação na equação acma, utlzaremos o conceto de produto escalar. Se x e y são vetores de dmensão m, x y é defndo como: x y x y ( 6.37 quvalentemente, sto sgnfca a multplcação da matrz lnha ( m, (,pelo vetor coluna ( m,. O ultmo termo da expressão (6.36 também é expresso na forma matrcal. x x c x x ( 6.38 ( ( ( 6.39 ( ( ( 6.4 omo veremos depos, na pratca, não é vável se calcular as dervadas parcas dretamente. ntão, utlzamos métodos matemátcos (métodos como o de dferença central para se calcular estas dervadas. Intutvamente, ( reflete a sensbldade de prmera ordem de ( a movmentos no vértce. Ou sea, se o vértce mudar, sto rá não somente afetar a taxa do ano, mas como todas as taxas que dependem deste vértce, devdo a nterpolação. Smlarmente, ( reflete a sensbldade de segunda ordem de ( a movmentos nos vértces e. or exemplo, magne que

11 5 tvemos somente mudanças em e em,. ntão, ( e ( refletem a mudança de prmera ordem em ( enquanto ( reflete o auste de segunda ordem. Usando a expressão (6.36 temos: ( ( [ ( ( + ( ] + ( 6.4 Voltando ao exemplo acma, utlzando as dervadas parcas prevamente calculadas, podemos calcular as durações e convexdades parcas:,49,697,538 4, om este exemplo, pudemos perceber que as durações parcas somadas se equvalem a duração modfcada. O mesmo se percebe no caso das convexdades. Ou sea: ( ( ( ( ( 6.4 ( 6.43 uração e convexdade apresentam, além desta, dversas outras relações e propredades. Algumas delas estão apresentadas no fnal deste capítulo (seção stmação prátca da duração e convexdade parcal a pratca, não remos calcular durações parcas para todos os pontos de fluxo de caxa. um caso onde tvéssemos mutos fluxos sto sera um transtorno. or sso, uma aproxmação preferencal é de agrupar estas sensbldades em um numero menor de pontos. Que pontos utlzar? ormalmente utlzamos os vértces que defnem a curva de uros como pontos báscos onde a duração será calculada. Iremos nos referr a este tpo de duração como duração no vértce (ey rate duraton vea apendce..9.. Os vértce comumente utlzados na pratca são:.5,.5,,, 3, 4, 5, 7,, e 3 anos. estes pontos báscos outros valores necessáros ao longo do problema são nterpolados. A nterpolação pode ser feta lnear, exponencal, por splnes cúbcas, etc. ara este trabalho o tpo de nterpolação utlzada, por smplfcação, fo a nterpolação lnear.

12 6 Usando um modelo de curva de uros deste tpo para modelar (, ( e ( podem ser estmados utlzando-se as fórmulas dscretas de dferença central: ( [ ( + ε ( ] ( [ ( + ε ( + ( ε ] ε ( ε ε ( 6.44 ε ε ( ( 6.45 a pratca, bons resultados são obtdos se utlzando ε gual a 5 a pontos base, quando se guala ao comprmento do vetor de varações paralelas (,,. ara estmarmos a duração parcal e a convexdade parcal utlzamos as seguntes fórmulas: ε ε [ ( + ε ( ε ] ε ( [ ( + ε + ε ( ε + ε ( + ε ε ( ε ε ] 4ε ε ( ( 6.46 este caso ε (,,,, ( ε, ε,. ε m ε, onde ( 6.47 ε é a -ésma coordenada, e 6.. eora de munzação multvarada omo á vmos na teora clássca de munzação, os concetos de duração e convexdade são báscos para seu desenvolvmento. o caso da munzação multvarada o mesmo é verdade. recsamos prmeramente ntroduzr os concetos de duração e convexdade multvarada para então desenvolvermos a munzação multvarada, que fo o que fzemos até então. e posse destes concetos, podemos mostrar mas faclmente o que é e como se comporta a teora de munzação multvarada.

13 efnções de munzação multvarada Sea ( o valor no futuro de um portfólo no tempo, avalado na curva de uros, onde assummos que nenhum título é adconado ou retrado do portfólo durante este período. Assume-se anda que o vetor da curva de uros vara de para nstantaneamente após o tempo e a partr daí evolu de acordo com a curva de uros a forard. Sea Z ( o preço de um título zero cupom de períodos com valor de vencmento gual a.logo, se nvestrmos neste título teremos Z ( terá seu valor futuro gual a: no tempo. onseqüentemente, um atvo com preço ( hoe ( ( ( ( 6.48 Z or exemplo, se para todo, então Z ( ( + e ( ( (. + stendendo as noções clásscas á vstas de munzação, temos o segunte: A função preço ( é dta localmente munzada no tempo no vetor de curva de uros se: ( ( ( 6.49 para sufcentemente próxmo de. Ou sea, para < r, onde r > e < r denote o norma eucldana: ( 6.5 Smlarmente, ( é dto globalmente munzado no tempo no vetor de curva de uros. se ( ( for satsfeta para todos os possíves vetores de uros Analogamente defnremos munzação local e global dreconal na dreção do vetor por: ( t ( + ( 6.5 para todo t de forma que t < r (local e para todo t possível (global. ara a munzação dreconal, restrngremos nossa atenção para mudanças na curva de uros de um tpo fxo,, logo, somente o valor da varação t é varável.

14 8 or exemplo, pode refletr as clásscas varações paralelas, ou um vetor de mudança nível ou curvatura da curva, ou anda uma mudança mas geral. o modelo de munzação não dreconal, remos consderar todos as possíves varações da curva ncal. ada as defnções acma, voltamos a defnção de ( e nvestgaremos em mas detalhes as mplcações de munzação de ( no tempo. Assuma que ( possua apenas fluxos de caxa fxos, ou sea: ( c [ + r( t ] t t, ( 6.5 onde r (,t representa a taxa spot para t períodos, ou a taxa usada para se descontar fluxos do tempo t para o tempo. laramente, nesta notação: Z ( [ ( ] t + r, t Sea ( s t ou a taxa forard mplícta de ( s ( 6.53 r, a taxa usada para descontar fluxos de caxa do tempo t para o tempo s, [ ( ] t [ ( ] s r t r s [ r( s t ] ( t +, +, +, s t -períodos no tempo s, onde < s < t, temos: ( 6.54 Logo, um smples cálculo produz: ( [ ( ] ( t [ ( ] ( t c + r t, + c + r t t< t, ( 6.55 t t Logo, a munzação de ( no tempo em garante que o valor acma não será menor do que (. Vale lembrar que a mudança da curva de para deve acontecer de forma nstantânea (vea Retano (99. as expressões (6.49 e (6.5 podemos perceber que para ( ser munzado no tempo em, precsa ser um mínmo relatvo de (, no caso de munzação local e um mínmo global no caso de munzação global. ara obtermos os resultados, utlzamos condções conhecdas para que um ponto sea mínmo. or exemplo, a condção sufcente para que x sea um mínmo local de f ( x na dreção de é que: ( x d f ( 6.56 e ( x > d f ( 6.57 A condção sufcente para que x sea um mínmo global é que (6.56 sea

15 9 verdadera e que (6.57 sea satsfeta para todo x. Analogamente, a condção sufcente para que valham para todo ; ou sea: ( x x sea um mínmo local de ( f é que (6.69 e (6.7 d f,, m ( 6.58 x e ( d f sea postva defnda ( 6.59 x [ ] onde d f ( denota a matrz hessana de f ( x x. A condção sufcente para x ser um mínmo global é que (6.58 e (6.59 seam satsfetas para todo x Imunzação dreconal esta etapa, apresentaremos a teora de munzação dreconal. Mostraremos que para munzação local, é sufcente que ( tenha a mesma duração dreconal que Z ( e maor convexdade dreconal. para munzação global na dreção de, requer-se uma restrção de convexdade em todos os possíves vetores de curva de uros + t. onsdere as propredades descrtas ao fnal deste capítulo. Seam ( >, e dados. Vmos que: ( ( ( ( 6.6 Z Usando a propredade 8 temos que: ( ( ( Z ( ( ( Z + ( Z [ ( Z ( ] ( 6.6 Usando as defnções (6.3 e (6.4 chegamos a: d ( d ( d ( Z ( 6.6 Z ( d ( d ( Z d ( Z d ( Z d ( d + ( 6.63 Z Z Z ara munzarmos, sabemos que devemos respetar as condções de mnmzação. Logo,

16 ( ( ( Z d ( > ( ( Z d > ( 6.64 ( 6.65 ntão ( é dto localmente munzado no tempo na dreção de no vetor de curva de uros. m Anda usando a propredade 8, podemos mostrar as propredades a segur. ( ( Z ( 6.66 para todo possível vetor de curava de uros + t : ( ( Z + ( Z [ ( ( Z ] > ( 6.67 ntão ( é dto globalmente munzado no tempo na dreção de no vetor de curva de uros. omo vmos no capítulo 3, no modelo clássco de Redngton, onde (,... e a curva de uros é plana, para todo, as condções para munzação local se reduzem as preposções famlares. este caso, Z ( ( + ν o e sua duração pode ser expressa como: ( d( Z ( v Z + ( v Z v ( 6.68 Substtundo na prmera condção de munzação temos: ν ( 6.69 ( da qual é determnado, dado, por: ( M ( + ( ( ( 6.7 v onde ( M denota a duração de Macaulay de ( em. Smlarmente, a restrção de convexdade pode ser escrta como: > ( 6.7 Z ( ( Z ( > d ( Z + o vo ( > ( + ( + ( + v ( 6.7 v ( > ( +ν ( 6.73

17 a qual é equvalente a [ +ν ] M M ( > ( ( ( 6.74 Quando os fluxos de caxa de ( são fxos e postvos, a equação (6.74 é sempre satsfeta e a munzação é garantda para satsfazendo ( Aplcação da teora de munzação multvarada dreconal no gerencamento de atvos e passvos (ALM esta seção, remos adaptar a metodologa de munzação multvarada apresentada acma e seus resultados ao gerencamento de atvos e passvos (ALM Asset Lablty Management. A partr daqu, consderaremos funções obetvo, são elas: S ( A( ( ( [ A( ( ] A( R ( 6.75 ( 6.76 onde A ( e ( denotam os valor de mercado dos atvos e passvos em consderação, S ( representa o valor de mercado do excesso e R ( o percentual de excesso em relação ao total de atvos. Imunzação no contexto da a equação trás um lmte nferor para o valor do excesso no tempo, enquanto a a equação trás um lmte nferor para a taxa de excesso dos atvos, ou percentual de excesso em relação aos atvos, ou smplesmente percentual de excesso Imunzação do excesso hamando s r de percentual de excesso na curva de uros corrente, ou sea: Sea r s R( [ A( ( ] A( ( 6.77 s onsdere prmero o caso no qual r >. ela prmera condção de munzação (6.64, requeremos em que: ( S ( Z ( 6.78 Usando a propredade e as condções de munzação podemos escrever:

18 s s ( A ( r ( r ( Z + ( 6.79 s s ( A ( r ( r ( Z > + ( 6.8 s o caso de r, trabalhamos dretamente co as dervadas dreconas de S (, com o obetvo de que as condções de mnmzação de prmera e de segunda ordem seam satsfetas. As condções resultantes nas dervadas dreconas de A ( e ( são então equvalentes as condções (6.79 e (6.8 s com r. ntão podemos dzer que S ( é localmente munzado no tempo na dreção de no vetor de curva de uros. s Quando r, as condções (6.79 e (6.8 mplcam que ( S é localmente munzado em qualquer tempo na dreção de no vetor de s curva de uros. ara r >, vemos que a duração dreconal dos atvos requerda para munzação reflete tanto a duração dreconal dos passvos quanto do título zero cupom Z (, correspondente ao horzonte de munzação. m algumas aplcações, pode ser escolhdo pequeno ou gual a zero, neste caso, teríamos uma munzação de curto prazo, como parte de uma estratéga atva de gerencamento (actve management. ara, as condções de munzação acma tornam-se: s ( A ( r ( ( 6.8 s ( A ( r ( > ( 6.8 Geralmente, pode ser escolhdo de forma que sea consstente com o cclo de planeamento da organzação. or exemplo, podera ser uma meta ncal de munzação consstente com a receta durante um período. uma estratéga deste tpo, o valor de sera decrescente durante o período. Smlarmente, valores grandes de podem ser usados para refletr um planeamento de város anos de uma empresa ou anda o período de vencmento do últmo fluxo de caxa do passvo.

19 Imunzação do percentual de excesso esta parte nvestgaremos a munzação da do percentual do excesso em relação ao total de atvos, R ( [ A( ( ]/ A(. omo R ( não é uma função preço, seu valor no forard, no tempo, R ( não será dado pela equação (6.6 ntão temos: R ( [ A ( ( ] A ( R( / ( 6.83 pos os valores forard de A e satsfazem a equação (6.6. onseqüentemente, munzar R ( no tempo garante sua munzação a qualquer tempo. ara encontrarmos as condções de munzação, seguremos os mesmos passos do caso anteror. Assuma que R ( r s >. Usando as propredades e 8 podemos escrever: e onde ( R ( A ( A c[ ( A ( ] ( R c[ ( A ( ] c ( A [ ( A ( ] ( c S( ( 6.84 ( 6.85 s ara r, trabalhamos dretamente com as dervadas dreconas de, assm como feto anterormente. odemos então escrever as condções de munzação para este caso: ( A ( ( 6.86 ( A ( > ( 6.87 ntão R ( é localmente munzado em qualquer tempo na dreção de no vetor de curva de uros Imunzação não dreconal Iremos apresentar nesta etapa os resultados geras da teora de munzação não-dreconal. Veremos que estes resultados são generalzações naturas da

20 4 munzação dreconal. o entanto, neste caso, as restrções serão expressas em termos de vetores de duração total e matrzes de convexdade. omeçaremos com uma defnção. Seam A e B matrzes quadradas. zemos que A é mas convexa do que B ( A > B, se ( B defnda. Ou sea: ( e ( A B x > x, para todo x. A for postva ovamente, consdere as propredades descrtas ao fnal deste capítulo. Sea dados e assuma que exsta de forma que em : ( ( ( 6.88 Z ( ( > ( 6.89 Z ntão, dzemos que ( é localmente munzado no tempo na curva. Anda, sea ( e dados e assuma que exsta de forma que em ( ( (6.9 Z e que para todo possível: [ ] ( ( Z > ( Z ( ( Z (6.9 ntão, dzemos que ( é globalmente munzado no tempo no vetor de curva de uros. As provas foram suprmdas por serem análogas ao caso de munzação dreconal. : Aplcação da teora de munzação multvarada não-dreconal no gerencamento de atvos e passvos (ALM Assm como os resultados obtdos acma, apenas apresentaremos os resultados, pos as provas são análogas ao caso de ALM dreconal. em : Sea S( A( ( e dados. Assuma que exsta de forma que s s ( A ( r ( r ( Z + (6.9 s s ( A ( r ( r ( Z > + (6.93

21 5 ntão S ( é localmente munzado no tempo no vetor de curva de uros. Sea R ( defndo como anterormente. Assuma que em : ( A ( (6.94 ( A ( > (6.95 ntão, R ( é localmente munzado em todos tempo no vetor de curva de uros eora de munzação estocástca multvarada Anterormente, apresentamos uma extensão dos concetos clásscos de duração e munzação para uma estrutura multvarada, a qual permte, teorcamente, sua aplcação a qualquer tpo de varação na curva de uros. este capítulo, utlzaremos os concetos anterores para mostrarmos um modelo de munzação desenvolvdo por Robert Retano em 993. A teora é chamada de Multvarate Stochastc Immunzaton heory, traduzndo, teora de munzação estocástca multvarada. A abordagem é dta multvarada devdo a sua capacdade de refletr o rsco de toda curva de uros a varações não-paralelas (devdo a modelagem da mesma como um vetor de vértces das taxas e é estocástca no sentdo de mnmzação do rsco estocástco. esta nova teora, a aproxmação de rsco utlzada segue a déa de Marotz (959 de mnmzação da varânca, mas sendo generalzada para refletr a medda de rsco de pontos fora da curva (outler rs. Incalmente, apresentaremos a teora em detalhes. o capítulo segunte, um resumo do modelo será apresentado e em seguda um exemplo básco será ntroduzdo. o capítulo 8 uma aplcação prátca, com dados reas, será feta utlzando-se este modelo O modelo da curva de uros ara ncarmos, precsamos defnr como a curva de uros se comporta. Ou sea, como defnremos a curva hoe e como esta estrutura se movmentará ao

22 6 longo do tempo. ara tal, defnmos toda a curva de uros como um vetor, onde cada elemento deste vetor representa a taxa correspondente a sua respectva data de vencmento. hamando de (,,, o valor atual das taxas do vetor de curva de m uros com m pontos de vértce. O prmero modelo de varação na curva a ser utlzado será o modelo de varação dreconal, onde um vetor de dreção, ( n, n,,, é estabelecdo e fxo anterormente. Logo, o modelo de n m mudança na curva será da segunte forma: ( + tn + tn + t,,..., m + tn m (6.96 Onde t representa a varável de magntude da varação na dreção de. Vale ressaltar que no modelo clássco de varações paralelas cada ponto da curva se movmenta na mesma dreção, sentdo e magntude, logo o vetor de dreção é escrto da segunte forma: (,,,. Um outro modelo para varação na curva é o modelo de mudança totalmente multvarada, onde o mesmo vetor ncal vara de acordo com o vetor de varação em cada vértce (,..., evolu segundo o segunte: ( + + m. ntão, o modelo de varação na curva +,..., m m (6.97 este modelo, dferente do modelo dreconal, não se assume nenhuma relação explícta entre os város. m geral, esse tpo de modelo pode ser aplcado a qualquer tpo de curva (taxas spot, taxas de títulos, taxas forard, etc. e utlzando qualquer tpo de captalzação (semestral, anual, contínua, etc.. Além dsso, o modelo multvarado apresentado permte aplcação, teorcamente, a qualquer modelos dnâmco pelo qual a curva possa varar. A escolha do tpo a ser utlzado, devdo da tratabldade, precsão e facldade de uso, recomendada em város artgos publcados por Retano é o modelo de dretores da curva de uros. este modelo, a curva é modelada em termos de taxas de mercado nos seus vencmentos atvamente negocados, por exemplo: ½,,, 3, 4, 5,..., anos. Outras taxas necessáras são nterpoladas da manera usual.

23 Imunzação estocástca com mutos atvos esta parte remos apresentar o modelo desenvolvdo por Robert Retano (993 de munzação estocástca, num mundo onde exste um número muto grande de atvos, ou sea, um número sufcente para que qualquer duração possa ser atngda com os papés negocados no mercado O modelo geral Sea ( a função preço defnda nos m vértces do vetor de curva de uros, (,..., m, onde representa o valor atual da curva. or convenênca assummos que ( (esta restrção será relaxada mas tarde. a prátca, ( pode ser consderada qualquer função preço, mas no caso de aplcações de munzação, usualmente denota-se de função de excesso, a qual representaremos por S (. Utlzando a notação ntroduzda anterormente, podemos escrever a função preço para o próxmo período: ( ( ( + hamando R( de fator de retorno no período, ou sea: ( + R (6.98 ( + r (, onde r é a taxa de retorno no período. Se ocorrer um choque, a função preço rá varar de acordo com a sensbldade dela em relação a este choque. Sea a função de duração modfcada, ( : d ( d (6.99 ( Usando a expansão de aylor de prmera ordem, temos: d ( ( ( + (6. d omo ( d d ( ( então

24 8 ( ( Ou anda: R (,onde (6. ( ( (6. screvendo em forma de somatóro: R ( ( Onde (6.3 representa qualquer varação arbtrára na curva, (,, m, ( [ ( ( ],, m d ( ou vetor de durações parcas e ( ( de ( avaladas em. os cálculos matrcas, ( representa o vetor de duração total, lnha, os outros vetores são tratados como vetores colunas. Assuma que f (, a qual pode depender de sendo o vetor de méda de representa as durações parcas é consderado um vetor tem uma dada função de densdade de probabldade,. Sea também ( e ( defndos como e sua assocada matrz de covarânca. Ou sea: ( [ ] ( [ ( ( ( ( ],, m (6.4,,, m (6.5 Onde representa o operador esperança. ote anda que ( tem a mportante propredade de ser uma matrz postva sem defnda. Ou sea, x x para qualquer vetor x. Retano comenta que esta propredade é mportante, mas é em geral muto fraca para garantr que ( sea nversível (propredade necessára para o modelo. or sso, assume que ( é postva defnda. sta suposção mplca que nenhuma combnação lnear de é degenerada ou não-estocástca. a prátca, esta condção é vrtualmente garantda. (algumas propredades de uma matrz postva defnda encontra-se na seção Medda de rsco

25 9 efnmos ate então concetos que servrão de base para o desenvolvmento da teora. O próxmo passo é defnrmos uma medda de rsco, medda esta a qual deseamos mnmzar. Ou sea, queremos defnr uma medda geral de rsco para a função (. Retano (993 sugere que utlzemos a medda de rsco de Marovtz (959. Segundo Marotz, é natural consderar a varânca de R(, á que sto aproxma o rsco total do retorno meddo por ( ( +. adas as defnções, podemos calcular o valor esperado e a varânca de R(. Sabemos que R( (. Logo, para se calcular o valor esperado, utlzamos a propredade de lneardade do operador esperança: [ R( ] [ ( ] [ R( ] ( ( (6.6 (6.7 ara se calcular a varânca, utlzamos o operador esperança e suas propredades. Var [ R[ ] ] Var[ ( ] [ ( ( ( ( ] [ ( ( ( ( ( ( ] ( ( ( (6.8 Anda, podemos lmtar pontos fora da curva (outler rs, lmtar rscos de pontos longe do vetor aleatóro na medda de varânca devdo ao seu baxo peso. omo á vsto, [ R( ] ( ( módulo de ambos os lados temos: [ R( ] ( (, que podem não ser adequadamente refletdos. Rearrumando e aplcando o (6.9 ela desgualdade de auchy-schartz (A.56 sabemos que: ( ( ( ( (6. Logo concluímos que: [ R( ] ( ( (6. Smlarmente temos que: [ ( ( ( ] ( ( (6. onde chegamos que:

26 Var [ ] [ R( ] ( ( ou Var[ R( ] ( tr[ ( ] (6.3 Onde o operador tr sgnfca o traço da matrz, ou sea, a soma dos elementos da dagonal desta matrz, e x é a normalzação eucldana usual, x x x. as expressões (6. e (6.3 fca claro que [ R( ] Var[ R( ] será perto de, se o comprmento do vetor de duração total, ( será perto de e for feto pequeno. Retano mostrou em outros artgos (989, 99 e 99 que este comprmento pode ser relaconado a uma medda de rsco. Baseado nsto, dremos que ( pode ser vsto como uma medda de sensbldade extrema da duração para (. Ou sea, quando ( for feto pequeno, a sensbldade de prmera ordem de ( será relatvamente pequena. ntão, a segur, utlzaremos duas meddas de rsco de um portfólo, as quas deseamos mnmzar. São elas: Var( R( e (. A razão de ( ter sdo elevado ao quadrado é para refletr segunda ordem, assm como a função de varânca. Logo, defnremos uma medda de rsco, chamada de RM (, como sendo: RM ( Var[ R( ] + ( ( (6.4 Onde o parâmetro de peso é escolhdo como sendo:. Intutvamente, se tvermos perto de, nossa medda de rsco se reduz a varânca. ara perto de zero, estaremos mnmzando o por caso. a prátca, escolheremos muto próxmo de, caso contráro, o termo de por caso domnará, devdo a dferença de escala entre as undades de e da matrz dentdade I. Usando a equação (6.8 e o fato de que: ( : ( ( I ( (6.5 Onde I representa a matrz dentdade. Sea a matrz postva defnda, ( ( + ( I (6.6

27 ara mostrarmos que ( é postva defnda, assuma que < <. os, os casos onde se guala a ou a são ntutvamente provados. Se exstr um vetor x de forma que x ( x defnção de ( : x ( x (, então temos por lneardade e pela x (6.7 omo a matrz de covarânca ( é postva defnda, a desgualdade acma é satsfeta somente quando x. odemos, então, expressar nossa medda de rsco de forma mas compacta, expressa em forma de produto matrcal: ( RM (6.8 Onde, por smplfcação de notação, representa o vetor de duração total, a matrz ponderada de (matrz de covarânca de e da matrz dentdade As restrções do problema omo dssemos, no obetvo prncpal é mnmzar o rsco, mnmzar nossa medda de rsco RM (. ste problema torna-se trval sem restrções em pos, como pode-se faclmente notar, o valor mínmo de RM ( será zero, exatamente quando o vetor de duração total for gual a (vetor zero. este caso, se a função preço refletr uma função de excesso, esta condção de vetor de duração zero mplca que os atvos e os passvos têm suas durações parcas casadas. Logo, a únca questão pendente é como manear uma dada cartera de atvos de forma a atngrmos este vetor de duração total. Utlzaremos, bascamente, três tpos de restrção. rmeramente resolveremos o problema de otmzação para a prmera restrção, depos para a segunda. A segur resolveremos o problema para as duas restrções em conunto. m seguda, veremos como um conunto lmtado de atvos também pode ser consderado como um tpo de restrção.

28 os tpos de restrção são consderados neste problema. São elas: ( (6.9 ( ( r (6. Onde é um dado vetor de dreção. A restrção (6. fxa o valor esperado de ( dreconal dada, ( R gual a r por (6.7, enquanto (6.9 restrnge a duração gual a. Quando (,,,, a duração tradconal para varações paralelas (duração modfcada é restrta por (6.9. or smplcdade de notação, remos freqüentemente suprmr a dependênca da função de Mnmzação com restrção de duração dreconal esta etapa, queremos mnmzar a medda de rsco sueto a restrção de duração dreconal em uma ou váras dreções. Ou sea, para dado : Mn s. a. (6. omo é uma matrz postva defnda, podemos aplcar a seção dretamente. este caso, (será uma matrz de apenas um elemento. Substtundo este valor na equação (6.65 temos: λ λ, lembrando que é uma matrz ( x. Substtundo em (6.64: o (6. Substtundo na equação otmzada (medda de rsco e chamando esta medda mnmzada de RM ( temos:

29 3 ( ( ( RM (6.3 stas operações só foram possíves pos, tanto quanto a matrz consstem de apenas um elemento. Além dsso, usamos a propredade de que a matrz, assm como sua nversa, são matrzes smétrcas, sendo assm sua transposta gual a elas mesma. ote que, como a matrz é postva defnda, o vetor de duração solução (do problema de otmzação será o vetor zero se e somente se. Além dsso, o vetor total de duração solução produz o retorno esperado: ( [ ] r R Onde r. Lembrando que é um vetor lnha, um vetor coluna e r é um escalar, podemos escrever r na forma matrcal: ( o r (6.4 r (6.5 ercebemos que r vara proporconalmente com. como é postva defnda, o denomnador em (6.5 deve ser postvo, pos assummos que Mnmzação com restrção de retorno esperado ado, consdere o segunte problema de mnmzação: mnmzar a medda de rsco sueto a restrção de um retorno esperado fxo. Matematcamente: Mn (6.6

30 4 Sueto a r (6.7 Usando novamente a seção e segundo a mesma déa da seção anteror, podemos calcular o vetor de duração solução: r (6.8 Logo, o valor mínmo em (6.6 é dado por: r (6.9 o Mnmzação com ambas as restrções omo dssemos, apresentamos o problema de otmzação com dos tpos de restrção dferente. Agora, remos resolver o mesmo problema de mnmzação utlzando smultaneamente as duas restrções. Antes de consderarmos o problema de mnmzação com duas restrções, note que estas restrções não precsam ser compatíves. or exemplo, se: somente se (,,, e (6.3 ercebemos claramente, neste caso, que o problema pode ser resolvdo se e r, pos caso contráro o conunto de restrções é vazo. esse caso, apenas uma restrção pode ser formalmente usada. m geral, a compatbldade é garantda se e não são proporconas, ou sea, se eles são lnearmente ndependentes. osso problema de otmzação é mnmzar a medda de rsco sueto a restrção de duração dreconal e de retorno esperado. ado, e e lnearmente ndependentes, queremos: Mn (6.3 Sueto a r (6.3 ovamente, usaremos os resultados da seção odemos claramente escrever a nossa matrz, que neste caso não será mas um escalar e sm uma matrz quadrada de dmensão.

31 5 (6.33 screvendo o sstema de equações do apêndce usando a notação do problema, temos: r r λ λ λ (6.34 Resolvendo o sstema para λ e λ chegamos a: ( ( ( ( ( r λ (6.35 ( ( ( ( ( r λ (6.36 Anda usando a seção 6.3.4, podemos chegar ao vetor solução do problema de mnmzação: + λ λ (6.37 Substtundo este vetor em (6.8 consegumos: + + λ λ λ λ (6.38 Vale ressaltar, que estas preposções podem ser estenddas para refletr mas restrções, por exemplo, uma sére de durações dreconas podem ser especfcadas para vetores de durações ndependentes, unto de uma restrção de retorno, num dado período, constante Aplcações da teora em munzação em ALM esta seção aplcaremos os concetos acma em munzação. ara tal, prmeramente remos mnmzar o rsco de uma função de excesso, representada por ( S. Ou sea, ( ( S, onde ( ( ( A S e ( S. hamando, novamente, ( o vetor de duração total resultante da mnmzação, a estrutura da duração alvo dos atvos pode ser dervada da segunte expressão: ( ( ( ( r r s S A + (6.39

32 6 Onde S( r S é a proporção de excesso em relação aos atvos e ( A( o vetor de duração total do passvo. Apesar de parecer ntutvo estender a equação (6.39 para o caso em que S A r por smples substtução, pos neste caso teríamos ( ( como resultado, para tal, enfrentamos dos problemas: ( r S não necessaramente é gual a zero, pos ( não fo defndo. omo ( não partcpa da solução, neste caso, a restrção orgnal não necessaramente será satsfeta. função: S ara sarmos deste problema onde S (, consderaremos uma nova R A ( ( ( ( (6.4 sta equação é gual a aproxmação de prmera ordem para a relação ( + A(. A varânca de R ( é dada por (6.8 com é A. onseqüentemente, as preposções podem ser aplcadas para se mnmzar a A varânca méda ponderada de R ( e ( ( sueto a restrções em: A ( ( ( assm como em (6.4 (6.4 a qual guala a dferença entre as durações dreconas dos atvos e passvos na dada dreção, e/ou: A ( ( ( ( (6.4 a qual se guala ao valor esperado de S( + como um percentual dos atvos correntes A (. Assm como em (6.39, o vetor de duração total resultante, (, então pode ser utlzado para encontrarmos uma expressão para a duração dos atvos: A ( ( + ( (6.43

33 Operando a cartera para se atngr o vetor de duração alvo Agora, consderaremos a questão de operarmos com atvos para atngrmos o vetor alvo de duração total. Assummos que ( é dado com o vetor de duração ( ( ( m (, e deseamos efetuar uma sére de operações dentro de um conunto de atvos, (,, ( n de forma que a nova função de preço, (, tenha vetor de duração total gual ao vetor resposta da mnmzação: ( ( ( ( Sea. m a a quantdade negocada do atvo com função de preço (, de modo que a > corresponde a uma compra e a < a uma venda ou posção descoberta. Baseado na propredade da lneardade do vetor de duração total: (. ( ( + a [ ( ( + a ( ] ( ( Onde ( ( ( ( (6.44 (6.45 denota o vetor de duração total de m Fazendo o vetor resultante de duração total em (6.45, (, gual ao vetor alvo (, um sstema de equações para { a } resulta e pode ser escrto da segunte forma: [ ( ( ] ( [ ( ( ] a (6.46 onde,, m e os somatóros varam de a m. m geral, (6.46 pode ser resolvda apenas se a coleção dos n vetores de duração total: { ( ( }, que formam as colunas dos coefcentes da matrz, tverem posto m. sta mposção do posto mplca que n m. Ou sea, o número de atvos negocados n deve ser maor do que o número de vértces na curva de uros m. Se soluções. n m, a solução para (6.46 é únca. aso n > m, teremos mutas

34 8 Se ( a a n é solução de (6.46, remos em geral ter a. Ou sea, recursos adconas serão necessáros se a >, enquanto desnvestmento será necessáro se a <. omo requeremos que n m para resolvermos (6.46 no caso geral, é claro que restrções de operações de caxa neutro adconas, a, pode ser adconada a este sstema somente se n m +. este caso, obtemos o segunte sstema: a ( ( [ ( ( ],, m (6.47 a (6.48 A restrção de caxa neutro em (6.48 pode ser explctamente ncorporada nas prmeras m equações ao fazendo-se a n n n a [ ( ( ] ( [ ( ( ] n, por exemplo, produzndo: a (6.49 onde,, m. sse sstema pode ser expresso em notação matrcal: ( [ ( ( ] Aa (6.5 n onde ( a a a é o vetor de operações truncado e A é a matrz [ ] [ m x ( n ] com vetores coluna guas a ( (,,, n. n nfm, vmos que, quando a matrz A tver posto gual a m, é possível alcançarmos qualquer vetor de duração alvo. Além dsso, é mportante comentarmos o que sgnfca um valor negatvo no vetor de operações. rmeramente, mas dreto, sgnfca que o título deve ser venddo short (venda a descoberto. aso sea mpratcável ou não permtdo por regulamentos, uma saída sera crar uma posção sntétca, utlzando opções, saps, etc. or fm, um passvo que aproxme a estrutura de duração do atvo a ser venddo, podera ser venddo Imunzação estocástca com poucos atvos

35 9 ovamente, nosso obetvo é mnmzar rsco. Só que agora, os atvos não exstem mas em número e varedade lmtada. emos um número de atvos muto mas reduzdo do que na parte anteror. Logo, nem todos os vetores de duração alvo poderão ser atngdos. or sso, temos que adconar outras restrções, que façam com que o vetor de duração solução do problema de otmzação possa ser atngdo com os atvos dsponíves. aturalmente, essas novas lmtações do problema, produzrão portfólo que serão sub-otmos, do ponto de vsta dos resultados obtdos num mundo onde temos mutos atvos O modelo geral: mudança de varáves Assuma que exstam n atvos, com respectvos vetores de duração total, (, (, n. ara uma negocação geral de representada pelo vetor a ( a,, a n a undades do atvo,, o vetor de duração resultante de (6.45 é satsfeto, onde ( é o vetor total de duração do portfólo ncal. Adconaremos a restrção a. onseqüentemente, o resultado do vetor de duração total em (6.45 pode ser expresso como: ( ( + a ( (6.5 onde apenas por smplfcação de notação em (6.5 a ( em (6.45 a é equvalente a A restrção a pode ser refletda na expressão (6.5 fazendo-se: n a n a (6.5 Logo: n [ ] ( ( + a ( ( (6.53 omo em (6.5, sea A a matrz de dmensão [ m x ( n ] guas aos vetores: ( (,,, n chamaremos de ( A n [ ] n, com colunas. O posto de A, que ρ, não poderá exceder o menor valor entre n e m. Sea,, n também, R a coleção de vetores em (6.53 para todo ( a a a, o qual é

36 3 vsto ser um espaço afm em afm é um sub-espaço lnear de a (. m, espaço eucldano de dmensão m. Um espaço m, traduzdo por um vetor fxo (neste caso gual Retano (993 mostra que se ρ ( A m, então m R. Se ρ ( A m v < m v, então exstem v vetores lnearmente ndependentes em,,, de forma que A, e: R { (,,,ν } m, (6.54 Ou sea, R se guala a nterseção de v hperplanos. Logo, o problema de mnmzação resultante é: Mn (6.55 Sueto a r (6.56 onde r ( (6.57 para,, v. laramente, se v (6.56 e (6.57 não fornecem algum tpo de restrção e este problema se reduz ao caso anteror (de mutos atvos. este caso, o posto da matrz A será gual a m e então, n m +. o caso mas geral, restrções adconas em, como (6.9 e (6., podem ser adconadas ao problema dependendo do tamanho de v, pos o número total de restrções não pode exceder m Mnmzação com dos atvos ado n atvos, a matrz A será o vetor coluna ( x m : [ ( ( ], o qual tem posto gual a para ( (. onseqüentemente, como vmos na seção acma, exstem m vetores ndependentes:,, que podem ser usados em (6.56 para restrngr o, m vetor de duração total alvo, (, o qual será obtdo ao negocarmos estes dos atvos.

37 3 omo vsto acma, estes m vetores estão no espaço nulo de vetor lnha ( x m [ ( ( ],,, m A, um. Ou sea, estamos procurando m vetores que satsfaçam: (6.58 o problema assocado de mnmzação com restrção, no máxmo uma restrção pode ser adconada em (6.56. or exemplo, um retorno esperado pode ser usado como restrção se ( for ndependente de, ou uma duração dreconal pode ser restrngda, novamente sueto a este crtéro de ndependênca Mnmzação com múltplos atvos Ao aumentarmos o número de atvos n, em geral, o número de restrções v em (6.56 dmnu. or exemplo, dado 3 atvos pros quas ( ( ( ( 3 e 3 são lnearmente ndependentes, o posto de A será gual a, e teremos m restrções em (6.56, onde satsfaz: [ ( 3 ( ] [ ( ( ] (6.59 para,, m (6.6 3 ado m + n atvos, de modo que os vetores ( ( n seam lnearmente ndependentes para,, n, a matrz A será quadrada e terá posto gual a m. onseqüentemente, o sstema assocado: A (6.6 será resolvdo somente se, e as restrções em (6.56 serão sem efeto. Ou sea, a lmtação de negócos não traz nenhuma restrção para o problema de mnmzação. m resumo, sea qualquer um dos problemas de mnmzação com restrção apresentados anterormente, sempre podemos mplementar uma estratéga de operação para atngrmos o vetor de duração (. Ou sea, o sstema de equações (6.5 poderá sempre ser resolvdo, pos o posto de A é gual a m.

38 Resolução do problema geral de mnmzação com restrção Sea uma matrz ( x m m, smétrca, postva defnda e { } B uma coleção p de vetores ndependentes de dmensão m, de forma que p m. ado { r } p, consdere o segunte problema de otmzação: Mn x x (6.6 Sueto a x B r,, p (6.63 ntão, uma solução x exste e é dada por: x B Onde λ ( λ,, λ (6.64 é a únca solução de: λ p λ r (6.65 B B e r ( r,, (6.66 r p 6.4. Relações e propredades da duração e convexdade ropredade. Sea d a dferencação em respeto a. ntão: Sea ( ( ( + d d + d d d + d vdndo ambas as expressões por (, ( temos: d d + d ( d + d d d + d ( d + d odemos chegar as seguntes propredades: ( a ( a ( + (. ( a ( a ( + (.

39 33 onde a ( ( ropredade Analogamente, sea ( ( ( ( e ( : e dados. ntão para (, + ( a ( a ( (. 3 + ( a ( a ( ( a ( (. 4 + onde ropredade 3 Sea ( ( ( e (. Sea d defndo como acma, então: ( d ( d ( d + ( d + ( d ( d ( d ( d d + d + vdndo ambas por temos: d d ( d ( d + ( ( + ( ( d ( d ( d ( d ( d ( d ( ( + ( + ( ( ( ( + om sso, podemos chegar a nossa tercera propredade: ( ( ( + (. 5 ( ( + ( + ( ( + ( ( onde (. 6 é a matrz coluna transposta da matrz lnha.

40 ropredade 4 e ovamente, sea ( ( ( ( ( ( + dados. ntão para ( : (. 7 ( ( + ( ( ( ( ropredade 5 Sea ( e Q (. omo feto acma: Q d Q d Q d d Q Q ( + Logo, ( ( Q ( d Q( d Q Q 3 (. 9 ( ( Q + ( Q ( Q ( ropredade 6 e novo, sea ( ( ( Q, ( Q( Q e. ntão: (. ( ( Q + ( Q ( ropredade 7 Sea ( (, ( ( ( ( + ( (. ombnando (. e (.3 temos:

41 35 ( ( + ( + ( ( ( + ( ( ( ( ( ( ntão para ( temos: + ( ( ( (. 3 [ ] ( ( ( + ( ( ( ( ( [ ] ( ( ropredade 8 ( ( Sea (, ( e. ntão para ( : ( ( ( (. 5 ( ( ( + ( [ ( ( ] ( ropredade 9 Sea o vetor da curva de uros e ( e ( utlzando-se a abordagem de varação paralela e (,, da varações paralelas e defna a função de preço ( ( + M ( ( + M ( ( + M Avalando em ( ( ( ( e dvdndo por ( ( a duração e a convexdade M o vetor de dreção. ntão: chegamos a: (. 7 (. 8

42 ropredade Sea ( e ( funções preço com vetores de duração total correspondentes a ( e ( e matrzes de convexdade ( e (. sea ( ( (. ntão, para ( + adtvdade chegamos a: ( ( [ ( ( + ( ( ] ( [ ( ( + ( ( ] (, e dretamente da propredade de (. 9 ( ropredade Sea o vetor de dreção. ntão, ( ( n ( (. ( ( nn ( ( ropredade Sea o vetor de dreção. ntão, d d ( ( ( (. 3 ( ( ( ( ( ( ( (. 4 (. 5 ( ( ( ( (. 6

43 ropredade 3 Sea ( a função preço e ( ntão para todos os vetores de dreção, ( ( ( o vetor de duração total avalado em. ( ropredade 4 Sea ( o vetor de duração total assocado a duração ( ( (, então: (. 8 m ropredade 5, então: Sea ( λ a função preço e ( ( λ m a matrz de convexdade total avalada em ( ropredade 6 ada uma função de duração dreconal (, a duração compound dreconal, ( é defnda para como sendo: (. 3 ( ( Quando (,,,, o vetor de varação paralela, esta duração compound é chamada de duração da duração e representada por (.

44 ropredade 7 ada uma função de duração parcal (, a -esma duração compound parcal, ( é defnda para como sendo: ( (. 3 ( Usando a propredade podemos chegar as seguntes equações: ( ( ( ( (. 3 ( ( ( ( ( (. 33 ( ( ( (. 34

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