Capítulo 5 AJUSTAMENTO DOS VETORES OBSERVADOS. os possíveis vetores de serem formados entre as estações, ou seja,

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1 5 Cpítulo 5 JUSMENO DOS EORES OBSERDOS Como resultdo do processmento de fses observds por R, R 3, receptores, em um mesm sessão, obter-se-ão os vlores ds componentes de todos os possíves vetores de serem formdos entre s estções, ou sej, R (R ) vetores, s sus vrâncs e os coefcentes de correlção entre eles. Um vez que o processmento ds fses observds smultnemente, em um mesm sessão, é feto provetndo condção de fechmento dos polígonos, s coordends processds são comptíves e somente R vetores serão mtemtcmente ndependentes. No entnto, entre os vetores de um mesmo polígono, determndos pelo processmento de dferentes sessões, não há dependênc mtemátc nem correlção esttístc. O justmento de observções tem como objetvo vlr quldde ds observções, detectr e elmnr quels com erros grosseros, estmr um vlor únco pr cd prâmetro, de form que som do qudrdo dos resíduos estmdos sej mínm, e vlr precsão dos prâmetros estmdos. Qundo um determndo polígono é observdo em ms de um sessão ou qundo um rede de pontos é observd em prtes, com pontos de conexão, o número de vetores ndependentes, resultntes do processmento, é mor que o número de estções serem determnds, ou sej, há observções redundntes, e este fto pode e deve ser provetdo pr detectr e elmnr vetores com erros grosseros, tornr comptíves s coordends dos dferentes polígonos observdos e vlr quldde desss coordends, ou sej, os vetores, gor consderdos como observções, devem ser justdos. Este cpítulo trt d orgnzção dos dversos vetores ndependentes processdos, d formção d mtrz dos pesos pr estes vetores e do justmento deles em rede. 5.- Orgnzção dos vetores e formção d mtrz dos pesos

2 5 Pr um mesmo polígono com R estções, ocupds por R receptores, e um só sessão, há R- vetores ndependentes e não há superbundânc. s coordends ds estções, sus vrâncs e covrâncs são quels resultntes do processmento. Se forem relzds p sessões, em um mesmo polígono, els serão processds seprdmente, cd um drá orgem R- vetores mtemtcmente ndependentes e esttstcmente correlcondos. Se s p sessões são processds tendo um mesm estção como referênc, dos vetores observdos, pens os p ( R ) ndependentes devem ser escolhdos pr serem justdos, com 3R coordends como ncógnts. Neste trblho serão escolhdos pr o justmento, somente os vetores com orgem n estção de referênc, como normlmente é feto, fm de dmnur o esforço computconl no cálculo d mtrz ds vrâncs e covrâncs dos vetores de cd sessão. Se se lter estção de referênc no processmento de dferentes sessões, hverá dferentes combnções de vetores, compondo o conjunto de p ( R ) vetores ndependentes. Com três receptores e dus sessões, é possível utlzr os três vetores do polígono como observção, processndo s sessões com dus dferentes estções de referênc. Se quldde ds observções em determnd estção não for bo, pode ser mpossível processr os ddos tendo- como referênc. le observr nd que, s componentes dos vetores e quldde dels, vrm com estção de referênc escolhd. Com qutro receptores e dus sessões, num confgurção como d Fgur 5. (), se s sessões são processds com dus dferentes estções de referênc, e C, por exemplo, ter-se-á representdos, no qudrlátero, todos os ldos e um dgonl, sendo est com dos vlores. N fgur 5. os vetores ndependentes que prtem d estção são representdos em preto-cheo e os d estção C em vermelho-trcejdo. No entnto, convém notr que ess representção geométrc pode ser engnos, se se pens nel como rgdez de fgur ou ldos ocupdos ou observdos. N reldde, o representr os vetores cheos que prtem de, não form

3 53 desconsderdos, ness sessão, os vetores CD e CB, pos s três estções form ocupds smultnemente e s coordends, ou dferençs de coordends, form justds consderndo todos os vetores observdos e os vlores desss coordends não vrm em função do cmnho ou composção que se escolh pr seu cálculo. Dto de outr mner: ess confgurção não sgnfc que se tenh feto rrdções smples prtr d estção. O que não se pode é nclur todos os vetores no justmento conjunto d rede, por serem mtemtcmente dependentes, o que levr vrâncs e covrâncs engnoss. D E D C C B () B (b) Fgur 5. etores resultntes do processmento dos ddos de dus sessões, com qutro () e cnco receptores (b), e dus dferentes estções de referênc. Já Fgur 5. (b) mostr que num polígono com cnco estções, cnco receptores e dus sessões, não há como se ter representdos todos os vetores djcentes prtr de dus estções de referênc. Pode-se verfcr que pr polígonos com E estções, não há como obter ou representr todos os vetores djcentes, prtr d estção de referênc, se o número p de sessões é menor que o E ntero superor de. N Rede Mns, form empregdos té dez receptores e normlmente form relzds três sessões por polígono. Portnto, em prncípo, pr cd polígono ser possível processr os ddos com té três estções de referênc dferentes; porém, lgums sessões não form possíves de serem processds com determnds estções escolhds pr tl.

4 54 Um dos objetvos deste trblho é nlsr nfluênc d escolh de dferentes estções de referênc pr um mesmo polígono observdo em ms de um sessão. Poder se pensr em utlzr pens os vetores menores no justmento; porém, pode ser que hj vetores menores com precsão por que de mores; por sso serão utlzdos todos os vetores ndependentes de cd sessão, o que ument o número de observções e conseqüentemente o gru de lberdde, e detecção e elmnção de outlers serão fets durnte o justmento. Escolhdos os vetores ndependentes, processdos em um sessão, de um polígono formdo pels estções,,, R ; eles podem ser orgnzdos n segunte estrutur de ddos mtrcl: υ [,,, R ], (5.) 3 (R ), um vez que cd vetor é representdo por sus três componentes. Já sus vrâncs e covrâncs podem ser orgnzds n segunte mtrz qudrd e smétrc, 3(R ) :,, R, R υ. (5.) $ R Se s coordends ds estções e sus vrâncs e covrâncs, resultntes do processmento d sessão, são orgnzds ns seguntes estruturs mtrcs: e ℵ [ X, Y, Z, X, Y, Z,, X R, YR, ZR ] (5.3) ℵ, $,R,R R (5.4)

5 55 onde, por exemplo, é mtrz 3 3 ds vrâncs e covrâncs ds coordends d estção e, mtrz 3 3 ds covrâncs entre s coordends ds estções e, resultntes do processmento d sessão ; e se estção é escolhd como referênc; tem-se, d defnção de vetor entre dus estções presentd n Fgur 4., que: R ℵ υ $, (5.5) onde é um mtrz dentdde 3 x 3. Um vez fxds s coordends d estção, sus vrâncs e covrâncs são nuls e tem-se, plcndo le de propgção ds covrâncs n equção (5.5), que: υ R R, R,, R 3,R 3,R,3 $ $, (5.6) ou sej, s vrâncs e covrâncs dos vetores com orgem n estção de referênc, são gus s vrâncs e covrâncs ds coordends ds estções pr s qus pontm esses vetores. Cd sessão drá orgem um conjunto υ de vetores com MC gul υ.

6 56 Um rede de pontos pode ser dvdd em polígonos com dferentes números de estções e dferentes polígonos podem ser observdos em quntddes dferentes de sessões. Os n vetores de um rede observd com ns sessões, podem ser orgnzdos n segunte mtrz 3 n : υ (5.7) ns obs [,, 3,, n ] Os vetores de dferentes sessões são ndependentes mtemtcmente e não correlcondos, portnto MC dos n vetores escolhdos pr serem justdos em rede, será um mtrz bloco-dgonl, onde cd bloco será formdo por mtrzes no formto dquel dd pel equção (5.6). mtrz dos pesos, utlzd pr consderr dferenç de precsão entre os vetores observdos, pode ser obtd por: sendo 3n υobs P σ (5.8) 3n σ o ftor de vrânc pror e υobs 3n x 3n, nvers d MC dos n vetores, ndependentes, observdos. 5. justmento dos vetores observdos, em rede Consderndo que o número m de estções d rede é menor que o número n de vetores ndependentes, serem trtdos como observções, quldde desses vetores, s coordends consstentes ds estções, quldde desss coordends e um solução únc pr rede, podem ser vlds justndo estes vetores. Se mtrz 3 m dos prâmetros serem justdos, X, é [ X, Y, Z, X, Y, Z,, X m, Ym, Zm ] (5.9) X etores observdos em sessões dferentes, mesmo que entre s mesms estções, são dstntos no justmento.

7 57 e o modelo mtemátco, em que s coordends ds estções são lnermente relconds com os vetores observdos, é υ B X Y Z B B B X B YB Z B X Y Z, (5.) então, o sstem de equções de observção pr os vetores observdos será: onde υ obs obs + ν ( υ) X X υ é mtrz 3 n ds componentes dos vetores observdos, ν é mtrz 3 n dos resíduos ds componentes dos vetores e (5.) ( υ ) X é mtrz, 3 n 3 m, ds dervds prcs d equção (5.) em relção às coordends ds estções. Os elementos d mtrz ds dervds prcs d equção (5.) em relção às coordends ds estções - mtrz desgn serão, + e, como n mtrz desgn do justmento de dferençs de nível. Cd estção dá orgem três coluns e cd vetor três lnhs dest mtrz. Pr cd vetor são trbuídos os elementos negtvos às coluns d estção em que orgn o vetor e postvos pr estção em que ele termn. De cordo com Gemel (994), se o modelo mtemátco é lner, s coordends justds ds estções d rede podem ser obtds de: X ( P ) P υobs. (5.5) MC dests coordends é dd pelo produto do ftor de vrânc posteror ˆσ pel nvers d mtrz ( P), ou sej,

8 58 X σˆ ( P) (5.6) sendo ν Pν σ ˆ (5.7) GL e GL o número de grus de lberdde. s vrâncs e covrâncs ds observções justds e dos resíduos estmdos tmbém podem ser clculds, respectvmente, por: e (5.8) υju X +. (5.9) ν υobs υju Um vez que os vetores contêm nformções de orentção e escl, mtrz norml ( P) é sngulr com defcênc de rnk gul três. O justmento lvre, que envolve o cálculo d pseudo-nvers de ( P), pode ser usdo pr detectr e elmnr os vetores com erros grosseros. Um estudo sobre justmento lvre de redes pode ser encontrdo em Cooper (987). Fxndo s coordends de um ds estções, o que pode ser feto elmnndo s coluns d mtrz referentes à estção ser fxd, tem-se o justmento com njunções mínms. Dess form obtém-se um vlção d precsão ntern ds coordends justds. Qundo ms de um estção d rede têm coordends conhecds de lgum levntmento nteror, com precsão melhor ou gul à que se está determnndo, precsão extern, ou extdão (curác), pode ser vld, fxndo ou ponderndo s coordends conhecds pror. s dferençs entre os vlores estmdos dess form e queles estmdos com njunções mínms ndcrão precsão extern. lém dsso, rede or justd, pss estr conectd à nteror.