ANÁLISE DE ESTRUTURAS I

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1 IST - DECvl Deprtmento de Engenhr Cvl NÁISE DE ESTRUTURS I Tels de nálse de Estruturs Grupo de nálse de Estruturs IST, 0

2 Formuláro de es IST - DECvl Rotções: w w θ θ θ θ n θ n n Relção curvtur-deslocmento: w χ χ w w χ Relções consttutvs: m ν 0 χ m D f ν 0 χ m 0 0 ν χ Rgdez de fleão d le: D f Integrldde de curvturs: χ χ χ χ χ ν 0 m χ ν 0 m ( ν ) D f χ 0 0 ν m Eh ( ν ) omentos em fcet de orentção rtrár: Forç de cnto: R m m m nt nt nt m m n m n n m n nn ( ) ( ) m m m n n m n n nt Esforço trnsverso: Esforço trnsverso efectvo: Equção de equlíro: Eq. de grnge: v m m v m m vn vn vn m m r v r v mnt rn vn t m m m q w w w q D f Dervds dreccons f f f n n n f f f ( n) n t Grupo de nálse de Estruturs

3 Formuláro IST - DECvl Elemento de rr (vg) Esforços e deformções ndependentes θ X, u θ N e trz de fleldde elementr F EI I Relções deformções-esforços u FX u g smplesmente pod Deslocmentos trnsverss () e momentos flectores () δ T. δ ( ) 0 δ δ ( ) δ T. ( ) ( ) EI ( ) Grupo de nálse de Estruturs

4 T. IST - DECvl P Cso prtculr: / P ( ) ( ) P EI P 0 ( ) P ( ) P EI P [ ( ) ] 0 EI [ ( ) ( ) ( ) ] T. Cso prtculr: momento meo-vão EI ( ) EI 0 0 ( ) ( ) EI EI [( ) ] [ ( ) ( 5 ) ( ) ] 0 Grupo de nálse de Estruturs

5 IST - DECvl p T.5 p Cso prtculr: p unforme ( ) p ( ) p () EI 5p ( ) EI ( ) p p ( ) p p p ( ) p p EI 0 ( ) 7 p p p p p Utlzção ds tels Sendo váld soreposção é convenente decompôr s cções (ou os seus efetos) em prcels ms smples. Se, por eemplo, cção representd n tel nteror, Tel.5. p p Est crg trpezodl pode ser representd pel rect p m com m e p. É fácl oservr que mesm rect pode ser otd pel soreposção de dus rects prtculres (que tomem o vlor untáro num ds etremddes e o vlor nulo n outr) devdmente esclds: p p p p ( ) p p Ns tels seguntes recorrer-se-á est decomposção ou à decomposção lterntv em que se sepr o termo constnte (o no cso nteror) do termo lner ( o m no cso nteror). g smplesmente pod suet vrções de tempertur Grupo de nálse de Estruturs

6 T. IST - DECvl rções de Tempertur Deve dentfcr-se clrmente : vrção no vão; vrção n (ltur d) secção. Os csos de vrção no vão que constm ds tels são:. vrção unforme no vão o que sgnfc que tods s secções d vg têm mesm vrção de tempertur;. vrção crescente no vão qul vr lnermente desde um vlor zero té o vlor mámo n etremdde opost;. vrção decrescente no vão qul vr lnermente desde um vlor mámo té o vlor zero n etremdde opost. Grfcmente representm-se estes csos de vrção no vão n form segunte: (constnte) (crescente) (decrescente) vrção n secção deverá, qundo necessáro e pr utlzção d tel, ser decompost em:. vrção unforme em ltur, qul se denot por U e é dd pel vrção de tempertur no centro de rgdez d secção.. vrção lner n ltur d secção, com vlores de snl contráro pr vrção de tempertur ns frs nferores e superores, reltvmente o centro de rgdez. Denot-se dferenç entre s vrções de tempertur ds frs etrems por, qul se consder postv qundo dferenç ds vrções de tempertur entre s frs etrems nferor e superor for postv. Grfcmente representm-se estes csos de vrção n secção n form segunte: (unforme) (lner) Eemplo (de vrção n secção): Consdere-se um secção trnsversl de ltur h cuo centro de rgdez se encontr à dstânc de h d fr superor. Se vrção de tempertur n fr nferor for de 5ºC e vrção de tempertur n fr superor de 0ºC (ms postvs), então 5º C e 5º C. U Grupo de nálse de Estruturs 5

7 IST - DECvl Dstrução de tempertur lner n secção, : ( ) 0 Cso de vrção constnte no vão: α ΔT ( ) h Cso de vrção crescente no vão: α ΔT ( ) h Cso de vrção decrescente no vão: α ΔT ( ) h em que α é o coefcente de dltção térmc do mterl e h é ltur d secção Dstrução de tempertur unforme n secção, N ( ) 0 Cso de vrção constnte no vão: α u ( ) U Cso de vrção crescente no vão: u ( ) α U Cso de vrção decrescente no vão: u ( ) α U U : Grupo de nálse de Estruturs

8 g smplesmente pod suet crgs s IST - DECvl T.7 Q Q 0 N( ) 0 0 u( 0 ) ε ( ) d E 0 q T. q ( ) ( ) N( ) q q q q q Grupo de nálse de Estruturs 7

9 IST - DECvl T Deformções ndependentes em rrs com crgs de vão - Termos correctores Crg de vão P θ P( ) EI Cso prtculr / P EI θ P( ) EI Cso prtculr / P EI e 0 Q 0 0 Q E ( ) EI ( EI ) 0 Cso prtculr / EI Cso prtculr / EI p p 7 p p EI 0 0 Cso prtculr p EI p p EI p 7 0 Cso prtculr p EI p 0 p p 0 q q 0 0 q q E E rção de tempertur unforme no vão α ΔT h α ΔT h α U rção de tempertur crescente no vão rção de tempertur decrescente no vão α ΔT h α ΔT h α ΔT α U h α ΔT α U h Grupo de nálse de Estruturs

10 T. Deformds pr deslocmentos mpostos IST - DECvl Tpo de rr -encstrd Imposção de rotção à esquerd Imposção de deslocmento trnsversl encstrd-rotuld encstrd-enc deslz. Deformd d rr suet pens esforço norml NOT: deformd fnl d rr é sempre otd consderndo soreposção dos dversos efetos nomedmente: (s) rotção(ões) ndependentes; o deslocmento trnsversl reltvo entre etremddes; o deslocmento l reltvo entre etremddes; o efeto ds solctções de vão. Grupo de nálse de Estruturs 9

11 IST - DECvl Forçs de fção devds crgs de vão n rr -encstrd P P P P N Q N Q P ( ) P P ( ) ( ) P ( ) Q Q p p p p q q p 0 p 0 p 0 7p 0 q q p 0 p 0 7p 0 p 0 q q 0 0 m m 0 0 m m m m 0 0 m m m m 0 0 h 0 0 U h α E α E U 0 h h h E E h 0 h h E E Grupo de nálse de Estruturs 0

12 IST - DECvl Forçs de fção devds crgs de vão n rr encstrd-rotuld P θ P EI P 5P N Q N Q P ( ) P EI P ( ) P ( ) Q Q EI ( ) ( ) EI ( ) ( ) 0 0 p p EI 5p p q q 7 p 0 p 0EI 7 p 0 p 0 q q p 0 p 0EI p 0 p 0 q q 0 0 m m 0 0 m m h m EI m EI 5m m α ΔT h h h 5m 0 0 m 0 0 U α E α E U h α ΔT h h h E E h 0 h α ΔT EI h E E Grupo de nálse de Estruturs

13 Forçs de fção devds crgs de vão n rr encstrd-encstrd deslznte IST - DECvl P P( ) p 5 p p m m m h P P P P 0 0 p p p p p p m 0 m 0 m 0 h δ P EI P ( ) EI EI N Q Q N Q Q EI p EI 7 p 0EI p 0EI m EI m EI m EI q q q 0 0 U q q q α E α E U h 0 h α ΔT h E E h 0 h α ΔT h E E Grupo de nálse de Estruturs

14 Elemento de rr - deslocmentos prescrtos IST - DECvl Deslocmentos ndependentes consderr em cd nó rotção; deslocmento trnsversl. deformd otém-se por soreposção ds deformds, correspondentes cd um dos deslocmentos consderdos: Efeto de δ, δ 0 ( ) δ ϕ ( ) T. ( ) ϕ ( ) Efeto de δ, δ 0 T. ( ) ϕ ( ) Efeto de δ, δ 0 T. ( ) ϕ ( ) Efeto de δ, δ 0 T. ( ) ϕ ( ) Estndo deformção l tmém se devem consderr os modos de deformção ssocdos os deslocmentos ndependentes s. Contudo, estes modos não lterm função (), dstânc d cord à posção deformd em cd ponto, que é o que se desgn por deformd. Grupo de nálse de Estruturs

15 Deformds e forçs de fção n rr -encstrd IST - DECvl T5. EI ( ) EI ( ) EI ( ) EI ( ) 0 ( ) T5. EI EI EI EI 0 ( ) Forçs de fção pr forç e momento untáros T5. T5. Grupo de nálse de Estruturs

16 Deformds e forçs de fção n rr encstrd-pod ertção em : T. EI EI EI ertção em : EI EI EI T. ertção em : EI EI EI ertção em : EI EI EI IST - DECvl ertção em : 0 ( ) ertção em : ( ) 0 Notr que () é dstânc desde etremdde ncl (fnl) à secção d descontnudde. ertção em : 0 ( ) ertção em : ( ) 0 Forçs de fção pr forç e momento untáros T. T. Grupo de nálse de Estruturs 5

17 Deformds e forçs de fção n rr encstrd-encstrd deslznte IST - DECvl T7. EI EI 0 ertção em : 0 ( ) ertção em : ( ) 0 T ertção em : 0 0 ( ) ertção em : 0 ( ) 0 Forçs de fção pr forç e momento untáros T7. T7. 0 Grupo de nálse de Estruturs

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