XI OMABC NÍVEL O lugar geométrico dos pontos P x, y cuja distância ao ponto Q 1, 2 é igual a y é uma:

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1 O lugr geométrco dos pontos P x, y cu dstânc o ponto Q, é gul y é um: prábol com foco no ponto Q crcunferênc de ro gul N fgur segur, o trângulo ABC é equlátero de ldo 0, crcunferênc mor é tngente os três ldos do trângulo e crcunferênc menor é tngente dos ldos e à crcunferênc mor: hpérbole com exo rel gul prábol com vértce no ponto Q Um pr de rets prlels Se P produto de todos os números nturs postvos pres menores ou gus 0 Qul mor potênc de que dvde P? Escrevendo todos os nteros postvos múltplos de ou em sequênc e sem espços entre eles: , qul o 00 0 lgrsmo d sequênc? 0 8 Um sequênc de 0 números nturs:,,,, 0, é construíd d segunte form:, e pr n, n n Qul é o últmo termo dest sequênc? Qul áre d prte pntd? 00 9 ² 8 ² 00 7 ² ² 7 9 ² 6 Sbendo que 997 é um número prmo, quntos números mores que 997 e menores que 997 são reltvmente prmos com 997? Isto é, quntos números nturs n exstem, ts que 997 n 997 e mdc n,997? ² ² XI Olmpíd de Mtemátc do Grnde ABC Prmer Fse Nível ( sére do EM) wwwmetodstbr/ev/ombc

2 7 N fgur bxo, ABCD é um qudrdo, o segmento CG é perpendculr o segmento EH, AH AB, DE AD e F é o ponto de ntersecção dos dos segmentos Se áre do trângulo EFG é qul é medd do ldo do qudrdo? 9 ², 9 No d ds mães, um comundde fez um festnh reunndo pens s mães e seus flhos Estverm presentes tods s mães e seus respectvos flhos Ao todo, entre mães e flhos, hv 8 pessos n fest Sbe-se que hv 9 mães n fest, nenhum mãe tnh ms do que flhos e mães tnhm extmente flhos cd um Qunts mães tnhm pens flho? No trângulo ABC d fgur bxo, o segmento BN é um medn, M é o ponto médo do segmento BN e G é o brcentro 8 Num trângulo ABC de áre ², se N um ponto do ldo AC, tl que o segmento BN é Aˆ BC bssetrz do ângulo, e M o ponto médo do ldo BC Se P é ntersecção dos segmentos BN e AM e AC=AN, qul é áre do trângulo ANP? 0, 7² ², ², ², 7² Se áre do trângulo ABC é ², então áre do trângulo AGM é: 0,7 0,8,, XI Olmpíd de Mtemátc do Grnde ABC Prmer Fse Nível ( sére do EM) wwwmetodstbr/ev/ombc

3 Smplfcndo expressão sen x cosx cos x senx váld pr os vlores de x que não nulm o denomndor, obtemos:, Efetundo som: 0 n obtemos: n n ² ² ² ² 0², sen x sen x cos x sen x cos x sen x sen x A função de Euler é um função : N * N que ssoc cd número nturl n postvo quntdde de números nturs menores que n e que são prmos com n Por exemplo, pr n=, os números menores que que são prmos com são,, 7 e, logo ( ) Com bse nest defnção é: Um polnômo P(x) de gru dex resto qundo dvddo por x, resto 8 qundo dvddo por x e resto 0 qundo dvddo por x 6 Se P (0) P(x) por x 7? , qul o resto d dvsão de 007 x 0 0 0² 007 x 0 007²- Ao multplcr 8 por certo número nturl, usndo um clculdor, um luno dgtou errdo o lgrsmo ds dezens do multplcdor, dgtndo no lugr do lgrsmo correto, que er, e dgtndo no lugr do lgrsmo correto ds centens, que er Com sso o resultdo obtdo fo 708 Se tvesse dgtdo corretmente o multplcdor, o resultdo ser um número: prmo múltplo de 7 múltplo de qudrdo perfeto cubo perfeto 6 Dd um mtrz A qudrd de ordem n, podemos representr lnh- pel n-upl ordend L,, ( A), n e colun- pel n-upl C ( A),,, n Defnndo o ordend produto de dus n-upls ordends por:,, b, b,, b b b, n n nbn e se A e B são dus mtrzes qudrds de ordem n e B T é mtrz trnspost de B, o elemento d d mtrz D B T A L B C A T C B C A C B L A C B C A L B L A é: XI Olmpíd de Mtemátc do Grnde ABC Prmer Fse Nível ( sére do EM) wwwmetodstbr/ev/ombc

4 7 Dos números nturs ímpres e b, de dos dígtos cd um, são ts que: é múltplo de 7, ms não de, b é múltplo de, o mínmo múltplo comum dos dos é e o máxmo dvsor comum dos dos é, qul é som desses dos números? Pr ncentvr os tmes ogrem no tque e fzerem gols, s regrs de um torneo de futebol form lgermente lterds, o tme vencedor lev três pontos, o perdedor não gnh pontos, se houver empte com gols, cd tme gnh um ponto, e se houver empte sem gols, nenhum tme gnh ponto As esttístcs fns do torneo fornecerm s seguntes nformções: I - Cd tme ogou com cd outro tme pens um vez II - O número totl de pontos de todos os tmes prtcpntes fo 7 III Houve um vencedor em ms de ogos IV - Houve um número ímpr de emptes com gol, e só um empte sem gols Quntos tmes prtcprm deste torneo? 9 Consdere s funções f : R R e g : R R defnds por x, x f ( x) e x, x x, x g ( x) Pode-se frmr que x, x f( g(x)) f ( g (x)) f ( g (x)) f ( g (x)) f ( g (x)) f ( g (x)) é dd por: x x 8x 8x x x x x x x, se x, se x, se x, se x, se x, se x, se x, se x, se x, se x / / / / XI Olmpíd de Mtemátc do Grnde ABC Prmer Fse Nível ( sére do EM) wwwmetodstbr/ev/ombc

5 0 Todo número complexo z x y, onde x e y são números res, coordends do fxo de z no plno xy, e é undde mgnár, pode x y ser representdo n form mtrcl z y x Se representrmos um fgur pln no plno xy, cd ponto d fgur represent um número complexo Multplcndo cd ponto d fgur pelo número complexo de módulo gul e rgumento 0, grmos fgur em torno d orgem de um ângulo no sentdo nt-horáro, mntendo form d fgur, e s dstâncs de cd ponto à orgem Portnto, pr grrmos um fgur no plno xy, de 0 um ângulo de 60 no sentdo nt-horáro, podemos representr cd ponto n form mtrcl e multplcá-los pel mtrz: b e XI Olmpíd de Mtemátc do Grnde ABC Prmer Fse Nível ( sére do EM) wwwmetodstbr/ev/ombc