Aula 1. Coordenadas Cartesianas

Transcrição

1 Aluno: Código: Turm: Dt: / / Aul 1. Coordends Crtesins Relembrndo... No Sistem de Coordends Crtesins, o eixo horizontl é chmdo de e indicdo por Ox enqunto o eixo verticl é chmdo e é indicdo por Oy. Cd ponto P é identificdo prtir de um pr ordendo de coordends (x, y), onde x corresponde à de P enqunto y corresponde à ordend do ponto P. Os eixos cruzm-se num ponto chmdo, indicdo por O e definido como o ponto, e dividem o plno em qutro regiões chmds, chmdos de 1, 2, 3 e 4, no sentido. A origem divide cd eixo em dus prtes, um positiv e um negtiv, segundo o sentido ds flechs. Pr loclizr um ponto no plno crtesino, mrcmos su bsciss e su ordend nos eixos Ox e Oy, trçmos rets perpendiculres eles por esses pontos e mrcmos o ponto no encontro desss perpendiculres. Atividdes 1. Anlise os pontos loclizdos no plno crtesino representdo seguir. y D C B (c) Quis deles estão sobre o eixo ds ordends? (d) Quis deles estão no primeiro qudrnte? E no segundo? E no terceiro? E no qurto? 2. Considere os pontos A(2, 1), B( 3, 2), C(1, 4), D( 2, 1), E(4,0), D(0,3), G( 4,0), H(0, 2), I(0,0), J ( 9 2, 1 ), e K ( 4, 7 3). () Represente-os no plno crtesino bixo. y (b) Quis deles estão sobre o eixo ds bscisss? (c) Quis deles estão sobre o eixo ds ordends? (d) Quis deles estão no primeiro qudrnte? E no segundo? E no terceiro? E no qurto? x F E G x H () Indique o pr ordendo correspondente cd um deles. (b) Quis deles estão sobre o eixo ds bscisss? A 3. Complete tbel bixo, sbendo que (,b) é um ponto do plno crtesino. Qudrnte Sinl de Sinl de b Primeiro Segundo Terceiro Qurto Professor Podô profpodo@gmil.com 1

2 4. Determine o vlor de x e y pr que os pres ordendos bixo sejm iguis. () (x,y) e ( 3, 2 ) Tref Em um folh seprd, resolv o exercício 3 d págin 528 do seu livro didático. Não é necessário copir o enuncido do exercício. Não se esqueç de colocr seu nome, código e sl em su folh e entregá-l o professor n próxim semn. (b) (x + 1, 5) e (3,y + 2) (c) (x + y,1) e (3,x y) 5. Em cd cso, determine o vlor de m pr que o ponto A stisfç condição dd. () A(3,m) pertence o eixo ds bscisss. (b) A(m 2,4) pertence o eixo ds ordends. (c) A(m,m 1) pertence o qurto qudrnte.. Professor Podô profpodo@gmil.com 2

3 Aluno: Código: Turm: Dt: / / Aul 2. Equções O que é um equção? A plvr equção vem do ltim equ, que signific igul. Tod equção é compost de um ou mis letrs indicndo vlores desconhecidos, denominds vriáveis ou incógnits; um sinl de iguldde, denotdo por =; um expressão à esquerd d iguldde e outr à direit, denominds primeiro e segundo membro, respectivmente. Equções do 1 gru Equções do primeiro gru com um incógnit são equções redutíveis à form x + b = 0, onde x é incógnit e e b são os vlores numéricos conhecidos, ( é chmdo coeficiente de x e b é chmdo termo independente). Resolver um equção é encontrr o vlor desconhecido, chmdo de riz. Pr resolver um equção, bst mnipulr os coeficientes numéricos té que reste pens incógnit de um dos ldos d equção. Pr que iguldde se mntenh, é importnte que tod mnipulção sej feit de mbos os ldos d equção, somndo e subtrindo ou multiplicndo e dividindo mbos os membros del. rel de um número negtivo (dizemos que o conjuntosolução d equção é vzio, representdo por S =. Se = 0, equção possui dus soluções reis iguis. Se > 0, há dus soluções reis distints. Há dus proprieddes importntes e interessntes ds rízes x 1 e x 2 de um equção qudrátic n form x 2 + bx + c = 0, com 0: x 1 + x 2 = b x 1 x 2 = c A prtir desses resultdos, dividindo form gerl d equção qudrátic por, podemos reescrevê-l como Atividdes x 2 Sx + P = 0 1. Resolv s equções seguir em R. () 5x 3 = x + 19 Equções do 2 gru Equção do segundo gru n incógnit x é tod equção redutível à form x 2 +bx +c = 0, onde, b e c são números reis chmdos coeficientes d equção, de form que 0. Com 0, se tivermos b = 0 ou c = 0, dizemos que equção é incomplet. É mis simples resolver esse tipo de equção qudrátic utilizndo técnics de ftorção ou isolndo ftores conhecidos. Pr resolver equções qudrátics n form complet, utilizmos um fórmul gerl conhecid como Fórmul de Bhskr. Dd um equção qudrátic, pós reduzirmos mesm à form x 2 + bx + c = 0, com 0, podemos encontrr s rízes d mesm usndo o vlor dos coeficientes substituindo n fórmul x = b ± b 2 4 c 2 Tmbém costummos escrever est fórmul d seguinte mneir: x = b ±, = b 2 4 c 2 O termo é chmdo discriminnte d equção. Se < 0, não há solução rel, pois não existe riz qudrd (b) 2(4x 3) = 6x 1 (c) x = x 1 6 Professor Podô profpodo@gmil.com 1

4 (d) x 2 49 = 0 4. Um terreno retngulr possui áre de 400m 2. Um dos ldos é 30 metros mior que o outro. Quis s medids dos ldos do terreno? (e) x 2 + 7x = 0 (f) x 2 5x 14 = 0 2. A som ds iddes de André e Crlos é 22 nos. Descubr s iddes de cd um deles, sbendo-se que André é 4 nos mis novo do que Crlos. Tref Em um folh seprd, resolv o exercício 10 d págin 77 do seu livro didático. Não é necessário copir o enuncido do exercício. Não se esqueç de colocr seu nome, código e sl em su folh e entregá-l o professor n próxim semn. 3. Pedro e Antônio possuem juntos R$4525, 00. Pedro possui R$875,00 menos que Antônio. Qunto cd um possui? Professor Podô profpodo@gmil.com 2.

5 Aluno: Código: Turm: Dt: / / Aul 3. Ângulos Definição e notção Ângulo é um região do plno determind por dus semirrets de mesm origem e não colineres. N nomencltur usul, denominmos o ângulo d figur de AÔB, podendo tmbém chmá-lo de um letr greg minúscul, por exemplo, α. B O α A medid usul dos ângulos é o gru, sendo que 1 (um gru) é o que se obtém o dividir um circunferênci em 360 prtes. Clssificção dos ângulos Segundo su medid, um ângulo pode ser clssificdo em: Agudo, qundo mede menos de 90 (um qurto de círculo); Reto, qundo mede extmente 90 ; Obtuso, qundo mede mis de 90 ; Rso, qundo mede extmente 180. gudo reto obtuso rso Se um ângulo possui um vértice em comum com o outro e os ldos de um são semirrets oposts os ldos do outro, estes dois são chmdos opostos pelo vértice e sempre são congruentes, isto é, possuem mesm medid. A B α O Qunto à som ds medids, os ângulos podem ser: α A B A Dus rets que formm entre si um ngulo reto são denominds perpendiculres. A semirret de origem no vértice de um ângulo que determin dois ângulos consecutivos de mesm medid é chmd bissetriz do ângulo. B O α α Rets prlels cortds por um trnsversl Observe figur seguir. ˆ1 ˆ4 ˆ5 ˆ8 C ˆ2 ˆ3 ˆ6 ˆ7 As proprieddes dos ângulos determindos por dus rets prlels cortds por um trnsversl são s seguintes: Os ângulos lternos internos são congruentes: ˆ3 = ˆ5 e ˆ4 = ˆ6; Os ângulos lternos externos são congruentes: ˆ1 = ˆ7 e ˆ2 = ˆ8; Os ângulos correspondentes são congruentes: ˆ1 = ˆ5, ˆ2 = ˆ6, ˆ4 = ˆ8 e ˆ3 = ˆ7; Os ângulos colteris são suplementres: ˆ4 = ˆ5, ˆ3 = ˆ6, ˆ1 = ˆ8 e ˆ2 = ˆ7. Atividdes 1. Em cd figur, clcule o vlor de x. () 2x 40 A Complementres, se som de sus medids for igul 90 ; Suplementres, se som de sus medids for igul 90. (b) 3x 30 Professor Podô profpodo@gmil.com 1

6 (c) 2x Dois ângulos são complementres e medid de um excede do outro em 40. Qunto mede cd ângulo? 2. Em cd figur, s rets r e s são prlels. Clculr o vlor de x em cd figur. 5. Dois ângulos são suplementres e medid de um deles é igul o dobro d medid do outro. Qunto mede cd ângulo? () 3x r x + 12 s 6. Clcule o complemento e o suplemento de cd ângulo seguir: 5x x s r () 35 (b) (b) 40 (c) 75 (c) 3x x + 40 r s (d) N figur seguir, semirret r é bissetriz do ângulo em questão. Clcule o vlor de x. 3x 40 x + 10 r Tref Em um folh seprd, resolv o exercício bixo. Não é necessário copir o enuncido do exercício. Não se esqueç de colocr seu nome, código e sl em su folh e entregá-l o professor n próxim semn. N figur, OB é bissetriz de AÔC. Clcule o vlor de x. C B 8x 31 3x x + 5 D O A Professor Podô profpodo@gmil.com 2

7 Aluno: Código: Turm: Dt: / / Aul 4. Triângulos Definição e condição de existênci Triângulo é um polígono de três ldos. É o polígono mis simples e tmbém o mis rígido. Pr que sej possível construir um triângulo, é sempre necessário que P1 som dos menores ldos sej mior que o mior ldo Proprieddes dos triângulos Há dus grndes proprieddes importntes válids pr qulquer triângulo: 1. A som ds medids dos ângulos internos de um triângulo é igul 180. Além disso, tmbém observ-se que, em qulquer triângulo, P2 o mior ldo sempre opõe-se o mior ângulo e o menor ldo, sempre o menor ângulo Clssificção Em relção os seus ldos, um triângulo ABC pode ser: 2. A medid de um ângulo externo de um triângulo é igul à som ds medids dos ângulos internos não djcentes ele. Escleno: possui todos os ldos diferentes; Isósceles: possui dois ldos congruentes (de mesm medid); ou Equilátero: todos os ldos congruentes. Qunto os ângulos internos, um triângulo ABC pode ser: Acutângulo: possui todos os ângulos menores que 90 ; Retângulo: possui um ângulo reto (de 90 ); ou Obtusângulo: possui um ângulo mior que 90. Atividdes 1. (Curso de Formção de Solddo Fuzileiro) Dois ldos de um triângulo medem 9cm e 6cm. Qul ds seguintes medids pode ser escolhid pr o terceiro ldo? Justifique su respost. () 2cm. (b) 15cm. (c) 12cm. (d) 3cm. Devido à P2, podemos concluir que nos triângulos isósceles, os ângulos internos d bse (opostos os ldos congruentes) são congruentes (têm medids iguis); e 2. Clcule o vlor de x em cd cso. 35 nos triângulos equiláteros, todos os ângulos internos são congruentes. () 50 x Professor Podô profpodo@gmil.com 1

8 (b) x (Fuvest) N figur, AB = BD = CD. Então: D y x A B C (c) 2x 3x 150 () y = 3x (b) y = 2x (c) 3x + y = 180 (d) x = y (e) 3x = 2y 3. Observe figur seguir. Qul medid de B ˆDA? A C B D 30 E 6. Prove que os ângulos internos de um triângulo equilátero medem Determine medid de cd ângulo interno nos triângulos seguir. () No T UV, US é bissetriz de V ÛT T S 82 V 28 U (b) No LMN, MH é ltur reltiv o ldo LN M b L H N Tref Em um folh seprd, resolv o exercício bixo. Não é necessário copir o enuncido do exercício. Não se esqueç de colocr seu nome, código e sl em su folh e entregá-l o professor n próxim semn. Clcule o vlor de x n figur seguir sbendo que ret r é prlel um dos ldos do triângulo. Justifique su respost. 30 x r 45 Professor Podô profpodo@gmil.com 2

9 Aluno: Código: Turm: Dt: / / Aul 5. Ângulos n Circunferênci Elementos principis Circunferênci é o conjunto dos pontos de um plno cuj distânci um ponto O (centro) é sempre igul um número r (rio). Cord é um segmento que une dois pontos M e N de um circunferênci. A mior cord de um circunferênci, de medid 2r, é chmd diâmetro. A ret que cort circunferênci em dois pontos é chmd secnte. A ret que tem pens um ponto em comum com circunferênci é chmd tngente. Um rco MN é um porção d circunferênci delimitd por dois pontos M e N. Ângulos n Circunferênci Ângulo centrl é quele que possui vértice no centro d circunferênci. Propriedde importnte Se um triângulo inscrito em um circunferênci possui um dos ldos igul o diâmetro del, então ele é um triângulo retângulo. D mesm form, um triângulo retângulo pode ser inscrito em um circunferênci prtir do ponto médio de su hipotenus. Atividdes 1. (PUC) Determine o vlor de x n figur, sendo O o centro d circunferênci. Ângulo inscrito é quele que tem o vértice n circunferênci. b Ângulo interno é quele cujo vértice é interno à circunferênci. 2. Ns figurs seguir, O é o centro de cd circunferênci. Determine o vlor de x em cd figur. (). b Ângulo externo é quele cujo vértice é externo à circunferênci. (b). b Professor Podô profpodo@gmil.com 1

10 3. (UFBA) N figur, o rco AMB mede 130 e o rco CND mede 40. Clcule o número que express medid do ângulo x. 6. N figur bixo, clcule o vlor de x. 4. (UEFS/BA) N figur bixo, em que se tem um círculo de centro em O, o rco menor AC mede 130 e o ângulo AĈB mede 62. A medid x, do ângulo BÂC, é: () 65 (b) 53 (c) 50 (d) 31 (e) N figur bixo, o triângulo ABC é retângulo em A, e o ângulo ACB mede 20. Determine medid do ângulo gudo formdo pel medin AM e ltur AH do triângulo. Tref Em um folh seprd, resolv o exercício bixo. Não é necessário copir o enuncido do exercício. Não se esqueç de colocr seu nome, código e sl em su folh e entregá-l o professor n próxim semn. Clcule o vlor de x n circunferênci seguir. Professor Podô profpodo@gmil.com 2

11 Aluno: Código: Turm: Dt: / / Aul 6. Grndezs Proporcionis Rzão e Proporção Denominmos rzão entre dois números rcionis e b, b 0, o quociente de por b : b A rzão é lid d seguinte form: está pr b Denomin-se proporção iguldde entre dus ou mis rzões: b = c, com, b, c, d 0 d A iguldde é um proporção. Os termos e c são chmdos de extremos d proporção e os termos b e d são chmdos meios. A propriedde fundmentl ds proporções grnte que o produto dos extremos é igul o produto dos meios: Atividdes 1. (Enem 2011) Sbe-se que distânci rel, em linh ret, de um cidde A, loclizd no estdo de São Pulo, um cidde B, loclizd no estdo de Algos, é igul 2000km. Um estudnte, o nlisr um mp, verificou com su régu que distânci entre esss dus ciddes, A e B, er 8cm. Os ddos nos indicm que o mp observdo pelo estudnte está n escl de () 1 : 250. (b) 1 : (c) 1 : (d) 1 : (e) 1 : b = c d = b c, com, b, c, d 0 d Grndezs proporcionis Dus grndezs são diretmente proporcionis entre si se, e somente se, vrirem quociente constnte, ou sej, rzão entre seus termos correspondentes é constnte. Dus grndezs são inversmente proporcionis entre si, se e somente se, vrirem produto constnte, ou sej, o produto entre seus termos correspondentes é constnte. Um plicção muito importnte de rzão e proporção é escl. É um método que nos permite relcionr o comprimento no desenho e medid do comprimento rel, considerndo n mesm unidde. Regr de três Qundo é conhecido um pr de vlores de dus grndezs e outro vlor de um dels, podemos clculr o vlor correspondente d outr grndez por meio de um proporção chmd regr de três simples. A regr de três simples pode ser diret ou invers. É diret qundo s grndezs são diretmente proporcionis, isto é, vrim no mesmo sentido. É invers qundo s grndezs são inversmente proporcionis, ou sej, vrim no sentido contrário (enqunto um ument, outr diminui e vice-vers). 2. (Enem 2012) Um mãe recorreu à bul pr verificr dosgem de um remédio que precisv dr seu filho. N bul, recomendv-se seguinte dosgem: 5 gots pr cd 2kg de mss corporl cd 8 hors. Se mãe ministrou corretmente 30 gots do remédio seu filho cd 8 hors, então mss corporl dele é de () 12kg. (b) 16kg. (c) 24kg. (d) 36kg. (e) 75kg. Professor Podô profpodo@gmil.com 1

12 3. (Unisinos 2012) Um empres está sfltndo um rodovi de 50km. Sbendo-se que el levou 12 dis pr sfltr 20km, quntos dis levrá pr sfltr os 30km restntes? () 14. (b) 16. (c) 18. (d) 20. (e) (Uepg 2011) Sbendo-se que um máquin impressor fz certo serviço em 4 hors, trblhndo num velocidde de 300 págins por hor, ssinle o que for correto. 01. Com velocidde de 375 págins por hor, o mesmo serviço será feito em 3 hors e 20 minutos. 02. Pr que o mesmo serviço sej feito em 2 hors e 30 minutos, máquin deve imprimir 480 págins por hor. 04. Se velocidde d máquin for de 250 págins por hor o mesmo serviço será feito em menos de 3 hors. 08. Se velocidde d máquin dobrr, o mesmo serviço será feito em 2 hors. 4. (Puc 2012) Dus rods dentds, que estão engrends, têm 12 e 60 dentes, respectivmente. Enqunto mior dá 8 volts, menor drá () 1 de volt. 5 (b) 8 de volt. 5 (c) 5 volts. (d) 40 volts. (e) 96 volts. Tref Em um folh seprd, resolv o exercício 13 d págin 61 do seu livro didático. Não é necessário copir o enuncido do exercício. Não é necessário copir o enuncido do exercício. Não se esqueç de colocr seu nome, código e sl em su folh e entregá-l o professor n próxim semn. Professor Podô profpodo@gmil.com 2