Transformadas de Laplace Matemática Aplicada

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1 Tranformada de Laplace Matemática Aplicada Carlo Luz Revito em 4/5

2 Conteúdo Introdução Definição e exemplo 3 Exitência e Unicidade 6 3. Exitência Unicidade Propriedade da tranformação de Laplace 8 4. Linearidade Tranformada de f(t a,a (delocamento Tranformadadeumafunçãoperiódica Tranformada de f(at,a > (mudançadeecala Tranformadadaderivada Tranformada da derivada de ordem n Tranformadadointegralindefinido... 5 Propriedade da tranformação invera de Laplace 3 5. Linearidade Original de F ( + a, a IR (delocamento Original de F (a, a IR + (mudançadeecala Original de F ( G( (convolução Reumo de alguma propriedade 8 /Agoto/5

3 Introdução A tranformada de Laplace contituem uma da ferramenta do cálculo operacional (ou imbólico de maior importância na aplicaçõe à fíica, à mecânica e à electrotecnia. Nomeadamente, podem er aplicada à reolução de edo lineare com coeficiente contante, endo a aprendizagem deta técnica um do principai objectivo do etudo que aqui iniciaremo. Aim, começaremo por definir a noção de tranformação de Laplace e dar algun exemplo de tranformada de Laplace de funçõe de utilização prática habitual. Referir-no-emo eguidamente à exitência e unicidade da tranformada de Laplace e terminaremo com a apreentação da principai propriedade da tranformação de Laplace e da ua invera. Definição e exemplo Definição Seja f uma função real ou complexa definida em, + integrável em cada intervalo limitado. Chama-e tranformação de Laplace à aplicação L : f F ( = e t f(tdt em que é um número complexo. A função F ( diz-e a tranformada de Laplace de f e repreenta-e por Lf(t. Ecreve-e então: Lf(t = F (. Exemplo Função Unitária de Heaviide. Eta função define-e por: {, e t H(t =, e t<. Então, LH(t = e t dt = lim e t dt = lim =, T e t = lim e T dede que Re >. Com efeito, ecrevendo o número complexo na forma = a + ib tem-e, atendendo à fórmula de Euler, e ix =cox + i en x, e T = e at ibt = e at. e ibt = e at. /Agoto/5

4 Conequentemente, lim e T = lim e at = dede que Re = a>. Portanto, LH(t =, para Re >. Exemplo Ditribuição de Dirac. Supondo ɛ>, conidere-e a família de funçõe {, e t,ɛ f ɛ (t = ɛ, e t/,ɛ. A ditribuição de Dirac, repreenta-e por δ e pode er identificada com o limite de f ɛ quando ɛ.como ɛ Lf ɛ (t = e t e ɛ dt =, ɛ ɛ vem e ɛ Lδ(t = lim Lf ɛ (t = lim =. ɛ ɛ ɛ Conequentemente, Lδ(t =. Exemplo 3 Função exponencial. f(t =e at, em que a C. Então, Conidere-e para t afunção lim e (+at Lf(t = e t e at dt = + a dede que Re( + a >, poi nete cao tem-e, T e (+at = lim + a = + a, Portanto, lim e (+at = lim e Re(+aT =. Le at =, para Re( + a >. +a Em Fíica a ditribuição de Dirac repreenta uma acção que e exerce num intervalo de tempo muito pequeno, endo por io conhecida por função impulo. Ma na realidade, não e trata de uma função no entido habitual como e contata calculando o lim ɛ f ɛ. No entanto, acrificando o rigor, age-e muita veze como e ete limite foe uma função eecreve-e: { +, e t = δ(t =, e t. De forma igualmente abuiva é também cotume ecrever δ(tdt =dado que, para todo o ɛ>, é válida a igualdade lim ɛ f ɛ(tdt =. 3 /Agoto/5

5 Exemplo 4 Funçõe trigonométrica. Coniderem-e, para t, a funçõe co ωt e en ωt em que ω IR +. Da fórmula de Euler ai que e iωt + e iωt =coωt e e iωt e iωt =ien ωt. Então, atendendo à linearidade do integral e ao exemplo 3, tem-e para Re >, Lco ωt = ( Le iωt +Le iωt = ( iω + = + iω + ω e ( Le iωt Le iωt = ( i iω = + iω Len ωt = i Portanto, para Re > ão válida a igualdade: Lco ωt = Len ωt = +ω, ω +ω. ω + ω. Exemplo 5 Funçõe hiperbólica. Coniderem-e, para t, afunçõe hiperbólica coh ωt = eωt + e ωt enh ωt = eωt e ωt em que ω IR +. Então, atendendo à linearidade do integral e ao exemplo 3, tem-e para Re >ω, Lcoh ωt = ( Le ωt +Le ωt = ( ω + = + ω ω. e Lenh ωt = ( Le ωt Le ωt = ( ω ω = + ω ω. Portanto, para Re >ωão válida a igualdade: Lcoh ωt = Lenh ωt = ω, ω ω. 4 /Agoto/5

6 Exemplo 6 Função potência. Supondo t, conidere-e para cada n IN afunçãof(t = t n. Uando o método de integração por parte obtém-e, Lf(t = e t t n dt = lim e t t n dt ( e t t n T = lim + n T e t t n dt = lim ( e T T n + n Ltn. Ora, lim ( e T T n =e Re >. Portanto, para o valore de que atifazem eta condição é válida a igualdade Lt n = n Ltn. Por conequência, Lt = n L = LH(t =, e, por indução, conclui-e que Lt = Lt = 3 Lt n = n! n+ para Re >. Exercício Uandoadefiniçãocalculeatranformada de Laplace da eguinte funçõe: { 5, e t 3. f(t =, cao contrário. R : 5( e 3, para qualquer. {, e t>a. H(t a =, cao contrário,a>. R : e a, para Re >. 3. g(t =e at co ωt, a, ω >. 4. h(t =te at,a>. R : +a, Re >. (+a +ω R : (+a, Re ( + a >. 5 /Agoto/5

7 3 Exitência e Unicidade 3. Exitência A tranformada de Laplace de uma função f ó exite e o integral impróprio e t f(tdt for convergente. Para tal é uficiente que f atifaça a condiçõe eguinte:. f eja eccionalmente contínua 3 em, + ;. f eja de ordem exponencial, ito é, exitem contante M > e α IR tai que f(t Me αt, t. ( Exemplo 7 A função en t verifica en t =e t para todo o t. Batará aim coniderar M =eα =para e concluir que en t éde ordem exponencial. Repare-e, a propóito, que toda a função limitada é de ordem exponencial. Também todo o polinómio P (t = n k= a kt k (a k IR é de ordem exponencial poi, para t, P (t n a k t k (n +max a k e nt, k= atendendo a que t e t. Conequentemente, tomando α = n e M =(n + max a k, conclui-e que a deigualdade ( é atifeita. Formaliza-e eguidamente uma condição uficiente de exitência da tranformada de Laplace. Teorema Seja f(t uma função eccionalmente contínua em, + e de ordem exponencial tal que f(t Me αt, para t. Então, o integral impróprio e t f(tdt é convergente para o valore de C tai que Re >α. Dete modo, para ete valore de fica garantida a exitência da tranformada de Laplace F (. Recorde-e que e g é uma função definida no intervalo a, +, o integral impróprio g(tdt diz-e convergente e e ó e exite e é finito o lim a g(tdt. Cao a contrário diz-e divergente. 3 Recorde-e que uma função real é eccionalmente contínua num intervalo I IR e: i I pode er ubdividido num número finito de intervalo em cada um do quai f é contínua; ii exitem o limite laterai de f no ponto extremo daquele ubintervalo. 6 /Agoto/5

8 Dem. Note-e em primeiro lugar que Então, Re >αimplica e t f(t e t Re Me αt = Me (Re αt. ( Me (Re αt dt = M Re α. (3 Por outro lado, como f é eccionalmente contínua em, + tem-e que e t f(t é integrável em qualquer intervalo contido em, +. Então pelo critério de comparação de integrai impróprio conclui-e de ( e (3 que o integral e t f(t dt é convergente. Reulta dete facto (atendendo também a que e t f(t é integrável em qualquer intervalo contido em, + poi f é aí eccionalmente contínua, que o integral e t f(tdt é convergente, ito é, exite a tranformada de Laplace de f(t. 3. Unicidade Quando F ( =Lf(t diz-e que f(t é a tranformada invera de Laplace ou original de F ( e ecreve-e f(t =L F (. Exemplo 8 Vito que Le 3t = +3 tem-e L +3 =e 3t. Apreenta-e eguidamente em demontração um reultado que etabelece a unicidade da tranformada invera de Laplace e que e revela fundamental na aplicaçõe. Teorema Sejam f(t e g(t ão funçõe eccionalmente contínua e de ordem exponencial em, +. Então, Lf(t = Lg(t f(t =g(t, ito é, a tranformação de Laplace é injectiva quando retringida à funçõe eccionalmente contínua e de ordem exponencial. Dete modo, o originai da tranformada de funçõe deta clae ão único (a meno de um número finito de decontinuidade. Exercício Quai da eguinte funçõe ão de ordem exponencial?. t n. R : Sim. 7 /Agoto/5

9 . tan t. R : Não. 3. e t3. R : Não. 4. t e 3t. R : Sim. Exercício 3 Motre que exite a tranformada de Laplace da função f(t = te t co e t embora f(t não eja de ordem exponencial. 4 Propriedade da tranformação de Laplace Litam-e em eguida alguma propriedade da tranformação de Laplace que, como e verá, ão de grande utilidade na reolução de equaçõe diferenciai. 4. Linearidade Da linearidade do integral reulta que e exitem a tranformada de Laplace da funçõe f(t e g(t então, em que λ, µ C. Dem. Exercício. Lλf(t+µg(t = λlf(t + µlg(t, Exemplo 9 L4t 3cot =4Lt 3Lco t = = +6 ( Tranformada de f(t a,a (delocamento Seja f(t uma função eccionalmente contínua e de ordem exponencial em, +. Seg(t é um delocamento de f(t, itoé, { f(t a, e t a g(t =, e t<a com a tem-e, Lg(t = e a Lf(t. 8 /Agoto/5

10 Dem. Ora Lg(t = = a = + lim e t g(tdt e t g(tdt + T a a a e t g(tdt e t f(t adt = lim e (a+u f(udu = e a lim = e a e u f(udu = e a Lf(t, a e u f(udu apó a realização, na 4 a igualdade, da mudança de variável t a = u. Exemplo Sendo g(t =(t 3 para t,comolt 3 = 3! vem Lg(t = 3! 4 e Tranformada de uma função periódica Seja f(t uma função periódica de período T,itoé,f(t + T =f(t. Sef(t é eccionalmente contínua e de ordem exponencial, tem-e Lf(t = e t f(tdt e T. Dem. Uma vez que f é periódica de período T em, + tem-e Lf(t = = = = + k= e t f(tdt = + (k+t k= kt e (u+kt f(u + ktdu = e u f(udu e u f(udu e T + k= e kt = e t f(tdt + k= e kt e u f(udu e u f(udu e T apó a mudança de variável u = t kt realizada na 3 a igualdade e o cálculo da oma da érie geométrica de razão e T. Naturalmente exige-e que Re > para que a érie + k= e kt eja convergente. 9 /Agoto/5

11 4.4 Tranformada de f(at,a > (mudança de ecala Se Lf(t = F (, então a tranformada de Laplace da função f(at (a> que reulta de f(t por uma mudança de ecala, é dada por Lf(at = a F ( a, a>. Dem. Exercício. Exemplo Como Len t = vem Len 3t = + 3 ( 3 = Tranformada da derivada +9. Se f(t é eccionalmente de clae C endo f de ordem exponencial, tem-e, Lf (t = Lf(t f(. Dem. Integrando por parte obtém-e: Lf (t = = lim e t f (tdt = lim e t f(t T lim = f( + Lf(t. e t f (tdt e t f(tdt Exemplo Eta propriedade é fundamental para a aplicação da tranformação de Laplace à reolução de equaçõe diferenciai. Suponha-e então que e pretende reolver o problema de valore iniciai: { y +4y =t y( =. (4 Aplicando a tranformação de Laplace a ambo o membro da equação diferencial e utilizando a linearidade bem como a condição inicial, obtém-e: Ly +4y =Lt Ly +4Ly =Lt Ly y( + 4Ly = ( +4Ly = Ly = ( +4. /Agoto/5

12 Aim, atendendo à injectividade da tranformação de Laplace, batará determinar o original de para e conhecer a olução de (4. Como (+4 ( +4 = , L 8 = 8, L t= e L 8 e 4t = 8 +4, a unicidade e de novo a linearidade da tranformação de Laplace permitem ecrever a olução de (4: y = L = ( t + 8 e 4t (t Tranformada da derivada de ordem n A propriedade anterior generaliza-e do eguinte modo: e f (n é eccionalmente contínua e de ordem exponencial, é válida a igualdade Lf (n (t = n Lf(t n f( n f ( f (n ( f (n (. Em particular, para n =tem-e Lf (t = Lf(t f( f (. Dem. A prova, que e deixa ao cuidado do leitor, faz-e por indução a partir da tranformada da derivada de primeira ordem (reultado anterior. 4.6 Tranformada do integral indefinido Se f (t é eccionalmente contínua e de ordem exponencial em, + é válida a igualdade t L f(udu = Lf(t. Dem. Deignemo por φ(t o integral indefinido t f(udu. Então, φ (t =f(t (porquê?. Como Lφ =Lφ φ( e φ( =, tem-e Lφ(t = Lφ t L f(udu = Lf(t t Exemplo 3 Tem-e L en udu = poi Len t =. ( /Agoto/5

13 Exercício 4 Motre que e f(t = n i= c if i (t, emquec,...,c n ão contante, então n Lf(t = c i Lf i (t. Utilize ete reultado para obter L4e 5t +6t 3 4 3en4t +cot (R: 6.3! i= 5 + Exercício 5 Prove a propriedade de mudança de ecala (tranformação directa e utilize-a para obter Lco t abendo que Lco t =. + Exercício 6 Utilize a igualdade Lf (t = Lf(t f( para obter. Lco t abendo que Len t = ; +. Len t abendo que Lco t =. + Exercício 7 Repreente graficamente a eguinte funçõe periódica de período T e obtenha a repectiva tranformada de Laplace:. f(t =t, t,t. R : Te T e T. {, e t, T. f(t =, e t T,T. R : +e T e { t, e t, T 3. f(t = (t T, e t T,T. ( e T T /. R : T (e T / e T Exercício 8 Encontre Lf(t endo f(ta função que e obtém etendendo uceivamente em período de π afunção. R : e π. ( +( e π f(t = { en t, e t π, e π t π. Exercício 9 Uando a propriedade obtenha a tranformada de Laplace da eguinte funçõe:. (t. R : 4! 5.! en t 3cot. R : /Agoto/5

14 3. e t + co 3t. R :. ( e t (t 3 3! +. R : +. ( en t. R :.. ( +4 5 Propriedade da tranformação invera de Laplace Vimo atrá a utilidade da tranformada de Laplace na reolução de equaçõe diferenciai. Com efeito, o proceo de reolução conite baicamente no eguinte:. Aplicar a tranformação de Laplace a ambo o membro da equação diferencial dada.. Reolver a equação algébrica obtida. 3. Obter a tranformada invera de Laplace da olução da equação algébrica. Em face dete procedimento importa poi etudar algun proceo de obtenção da tranformada invera de Laplace. Exitem vária técnica que podem er utilizado com o ete fim. Entre ela, conta-e o recuro à propriedade da tranformação invera de Laplace cujo conhecimento pode facilitar batante a determinação da tranformada invera. Litam-e a eguir alguma deta propriedade. 5. Linearidade A invera de uma aplicação linear é linear. Aim, endo F ( =Lf(t e G( =Lg(t tem-e, em que λ, µ C. Dem. Exercício. L λf (+µg( = λl F ( + µl G(, Exemplo 4 L = L 4L 3 + = t 4e t (t. 3 /Agoto/5

15 Obervação De um modo geral para e obter o original de uma função racional F ( = P ( utiliza-e a técnica da decompoição deta funçõe Q( numa oma de fracçõe mai imple. Aim, por exemplo, endo F ( = 3,como ( ( 3 ( ( = + obtém-e, L F ( = L + = L = e t + e t (t. + L 5. Original de F ( + a, a IR (delocamento Se f(t =L F ( tem-e, L F ( + a = e at f(t. Dem. Bata provar que F (+a =L e at f(t o que e deixa ao cuidado do leitor. Exemplo 5 Deta propriedade reultam imediatamente dua igualdade muito útei na reolução de exercício prático: L + a = e at co ωt (t ( + a + ω e L ω = e at en ωt (t. ( + a + ω 5.3 Original de F (a, a IR + (mudança de ecala Se f(t =L F ( tem-e, Dem. Exercício. L F (a = a f( t a. 4 /Agoto/5

16 5.4 Original de F ( G( (convolução Se f(t =L F ( e g(t =L G( tem-e, L F ( G( = (f g(t = t f(ug(t udu, em que (f g(t deigna o produto de convolução de f por g queedefine por (f g(t = t f(ug(t udu. Dem. Vamo provar que L(f g(t = F ( G(. Ora ( t L(f g(t = e t f(ug(t udu dt ( t = lim e t f(ug(t udu dt = lim e t f(ug(t ududt, (5 D em que D = { (u, t IR : t T, u t }. Efectuando a mudança de variávei { v = t u, w = u aregiãod é tranformada na região D = { (v, w IR : v T v, w T }. Aplicando a fórmula de mudança de variávei para integrai duplo ao integral (5 obtém-e e t f(ug(t ududt = lim D e (v+w f(wg(vdvdw D lim = lim v e (v+w f(wg(vdvdw e v g(vdv e w g(wdw e v g(vdv e w g(wdw ( e v g(vdv e w g(wdw ( v = lim = = ( ( = Lf(tLg(t. 5 /Agoto/5

17 Tem-e portanto L(f g(t = F ( G(. Exercício Encontre a tranformada invera de cada uma da eguinte tranformada de Laplace:. R :co t. +. R : 3 3t R : 3 in 3 4 t 3 8 co 3 4 t +3e 3 t e 3 t 5 7 e 4 3 t R : + 3 e 3t + 5et R : e t (+( ( et +. 7 e3t ( ( +. R :et cot +ent. Exercício Prove a propriedade do delocamento (tranformação invera e utilize-a para obter Le 4t en tabendo que Len t = +. Exercício Utilize a propriedade da convolução para calcular:. L. R : e3t e t. (+( 3 5. L. R : t3 e t. (+ ( L. R : (3 t en t 3t co t. ( L. en t t co t R : ( Exercício 3 Determineaoluçãodecadaumdoproblemadevalore iniciai:. y +4y 5y =,y( =, y ( =. R : y = e t coh 3t + 3 e t enh 3t. 6 /Agoto/5

18 . y +4y = H(t, y( = y ( =. R : y = t e 4t. 3. y +6y +y +6y =,y( =, y ( =, y ( =. R : y =8e t 9e t +3e 3t. 4. y +y +y = e t,y( =, y ( =. R : y = 5 et e t co t e t en t. 5. y y +4y 4y = t, y( = y ( =, y ( =. R : y = 3 co t 34 en t 4 t et. 6. y +y +5y = e t,y( =, y ( =. R : y = 4 e t 4 e t co t + e t en t. Exercício 4 Reolva cada um do eguinte itema de equaçõe diferenciai:.. { y + z = t y z = e t,y( = 3, y ( =, z( =. { y = R : e t +! t ++ co t 3 en t z = e t co t + 3 en t. { y + y +z +3z = e t 3y y +4z,y( =, z( =. + z = { y = R : 3 e t e t + 6 e t z = e t 5 e 3t/ 5 et. 6 e t 7 /Agoto/5

19 6 Reumo de alguma propriedade No quadro eguinte apreentam-e alguma da propriedade da tranformada de Laplace mencionada acima. PROPRIEDADE f(t =L F ( F ( =Lf(t Linearidade λf + µg λf + µg Delocamento f(t ah (t a,a e a F ( e at f(t F ( + a Mudança de ecala f(at, a > a a a a Derivada f (t F ( f( t Integral F ( Convolução (f g(t F ( G( Apreentam-e eguidamente alguma da tranformada de Laplace mai utilizada (upõe-e ω>. f(t F ( =Lf(t Validade δ H(t Re > t Re > t n n! Re > n+ e at Re( + a > +a te at Re( + a > (+a co ωt Re > +ω ω en ωt Re > +ω e at +a co ωt Re( + a > (+a +ω e at ω en ωt (+a +ω Re( + a > coh ωt Re >ω enh ωt ω ω ω Re >ω 8 /Agoto/5

20 Referência Apotol, T., Calculu, Vol. e, Reverté, 975. Kreyzig, E., Advanced Engineering Mathematic, John Wiley & Son, 997; 3 Pikounov, N., Cálculo diferencial e integral, Vol., Ediçõe Lope da Silva, Ray Wile, C. e Barret, L. C., Advanced Engineering Mathematic, McGraw-Hill, Spiegel, M. R., Tranformada de Laplace, Schaum, McGraw-Hill do Brail, /Agoto/5

21 Exercício propoto. Indique, jutificando, quai da eguinte funçõe ão de ordem exponêncial: (a t θ ; (b t cot t; (c e et ; (d coh t; (e t 5 e t.. Seja f uma função eccionalmente contínua e de ordem exponencial para t, definida por { t, t f (t =,t> Calcule L f (t utilizando a definição de tranformada de Laplace. 3. Motre que apear de t não verificar o teorema que garante a exitência ( da tranformada de Laplace, L t exite. 4. Encontre a tranformada de Laplace da eguinte funçõe (a t +6; (b a + bt + ct ; (c in πt; (d co bt; (e e a bt ; (f e t coh 3t; (g in(bt + d; (h in t co t. 5. Encontre a tranformada de Laplace da eguinte funçõe (a t e 3t ; (b e at co bt; (c 5e t co bt inh t; /Agoto/5

22 (d e t co t ; (e inh t co t; (f (t + e t. 6.EncontreatranformadadeLaplacedafunçõeperiódicaque,ao longo de um periodo, ão { e t,a (a f(t = e t a, a ; (b f(t =t, t,a; (c f(t =int, t,π; { t e t,a (d f(t = e t a, a. 7. Encontre a tranformada de Laplace da função f(t =n +,nk< t<(n +k, n =,,,... k >. Sugetão: Conidere f(t como a diferença de t+k e da onda dente de erra definida em. k 8. Encontre L (f(t da funçõe (a n, n<t<n+, n =,,,..., etc; (b ( n, n<t<n+ n =,,,..., etc. 9. Deduza, pela regra da derivada (a L(co(bt; (b L(in (t; (c L(t in(bt.. Seja f(t =t.encontrel(f abendo que L( =. e t,π. Seja f(t a função definida por f(t = e t π, π in t e t>π que L(f(t = e π. Encontre o original de + e π +.. Verifique (a ; (+ (b /Agoto/5

23 (c (+ ; + (d Encontre o originai de (a.+.9; +3.4 (b ; (c 4 ; 4 (d a b ; 4 6 (e ; (f (+ ( ; 3 (g Motre que: (a L ( (b L ( (c L ( ( +a ( +b ( +a ( +b ( +a ( +b = a in bt b in at; ab a b co bt co at = ; a b in bt in at = b a ; b a b a co bt co at = b a. b a b a ( (d L 3 ( +a ( +b ( 5. Verifique que L e = e n+, n<t<n+, n =,,,...,etc. (e e (Sugetão: Deenvolva o denominador em érie de potência de e. 6. Recorra à propriedade do integral indefinido para obter ( (a L ; ( +a ( (b L. (( +a 7. Encontre, pela regra do integral indefinido, o original de (a +4 (b 4 ; 3 (c ( +a /Agoto/5

24 (d ( Sabendo que ( +a = L ( a 3 (in at at co at motre que (a L( t in at = a ( +a (b L( (in at + at co at = a ( +a 9. Recorrendo à convolução, encontre o original de (a a ; ( +a (b ; ( + (c ; (d ( a (e e a ( ; (f (+3(.. Reolva o eguinte problema de valor inicial (a y y = t co t, y( = y ( = ; (b y +4y +8y =inx, y ( = y ( = ; (c y +6y +8y = e 3t e 5t, y ( = y ( = ; (d y +4y +3y = 3 e t in t, y ( =,y ( = ; (e y +y +y = f(t, { y ( =,y ( = 5 com f(t afunção in t e t,π definida por f(t =. e t>π. Reolva cada um do eguinte itema de equaçõe diferenciai: { d x + x + y = (a dt dx dy d y,x( =, ( =, y( =, ( = ; dt dt + x + y = dt { d x = x +(y x (b dt d y, x( =, dx dy ( =, y( =, dt = (y x ( = dt dt 3 /Agoto/5

25 k x k m y m Figura : Sitema mecânico.. Conidere o eguinte itema mecânico com a maa m e m e mola de rigidez k e k,modelado pelo eguinte itema de equaçõe diferenciai: { d m x = k dt x + k (y x d m y. (6 = k dt (y x Soluçõe (a Reolva o eguinte problema de valore iniciai aociado ao itema (6: { x ( =, dx ( = dt. (7 y ( =, ( = (b Quai ão a frequência vibratória naturai do itema? que eta dependem da condiçõe iniciai (7? Jutifique. dy dt Será a Sim; b Não; c Não; d Sim; e Sim; e ;4a + 6;4b a + b + c π ;4c ;4d + ;4ee a ;4f ;4gco d b + 3 +π t +(b +b ( 9 +b in d +a ;4h ;5a ;5b ;5c 5 4 ;5d +b +4 (+3 3 (+a +b ( 4 +b +b ( + + ; 5e + ; 5f + + ; 6a + (+ + ( + (+ + ( 3 ( ( tanh a ;6b +a a ( e a ;6c coth π/3 + ;6d (+ae a ( e a ;7 ( e k ;8a e ;8b e ;9a ;9b ;9c b ; ;ate t ;b (e (e + +b ( +4 ( +b 3 3e 3t inh t; ce ( t co t in t ;d4e t in t ; 3a.co 3.4t in 3.4t; 3be t (coh 3t 9 inh 3 t;3ccoh t inht; 3d 3 a 6 t3 b t5 ;3ee 3t +t 3 ;3f + 3 ( e t + e 3t ( ( co at; 6b a a t in at a ;3gcoh t co t; 6a ;7a 4 (e 4t ; 7b t + e t ; 4 /Agoto/5

26 7c ( co at; 7d t e t +;9atco at; 9b t co t + in t; a 9c t; 9d (e at at ; 9ef (t a com f (t = a (et ; 9f 5 (e t e 3t ;a (in t t co t; b {e x co x + e x in x co x + in x } ; c { e 3t 3 e 5t + 3 e t + e 4t ;de t co 3t + 54 e t (in 3t 3t co 3t; 3e e t co t cot in(t, e t π (3e t ;ax(t =t+ +cot, e t>π co t,y(t = co t t + ;b x (t = L ( + y (t = L L ( + ( ( + ( + ( ,. a com ( x (t = L, ( + ω ( + ω ( y (t = k L ( + ω ( + ω ( L ( + ω ( + ω ω = ω = (k +k k +4k, (k +k + k +4k. 5 /Agoto/5