P U C R S PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE ENGENHARIA CURSO DE ENGENHARIA CIVIL CONCRETO ARMADO II FLEXÃO SIMPLES

Transcrição

1 P U C S PONTIFÍCIA UNIVESIDADE CATÓLICA DO IO GANDE DO SUL FACULDADE DE ENGENHAIA CUSO DE ENGENHAIA CIVIL CONCETO AADO II FLEXÃO SIPLES Prof. Almir Shäffer POTO ALEGE AÇO DE 006

2 1 FLEXÃO SIPLES 1- Generaliae Na eção tranveral e uma peça exite uma oliitação e flexão pura quano na mema atua apena um momento fletor (). Nete ao a tenõe normai e tração e e ompreão prouzia pelo momento e reuzem a um par e força ( e ), que é equivalente a um momento (Fig. 1). Quano junto om o momento fletor atua uma força ortante (V), a oliitação paa a er hamaa e flexão imple. Na oliitação e flexão imple a tenõe tangeniai prouzia pela força ortante não influem na tenõe normai prouzia pelo momento fletor. Aim, o que for etabeleio para a tenõe normai na flexão pura vale também na flexão imple. A oliitação e flexão poe er laifiaa e aoro om a ireção o traço o plano e oliitação obre a eção tranveral a peça, em: a) reta (ou normal), quano o traço oinie om um o oi eixo prinipai e inéria a eção; e b) eviaa (ou oblíqua), quano o traço não oinie om nenhum o oi eixo. - Hipótee báia No álulo e viga e onreto armao, no etao limite último (ELU), oliitaa por flexão, ão feita a eguinte hipótee báia (NB 6118, item 17..): a) a eçõe tranverai permaneem plana apó a eformação a peça; b) a eformaçõe a barra e aço (alongamento e enurtamento) ão iguai à o onreto no entorno a mema; )... (referente à onreto protenio);

3 ) a tenõe e tração no onreto ão eprezaa; e) a tenõe e ompreão no onreto e itribuem na eção e aoro om o iagrama parábola-retângulo (e álulo) o onreto (NB 6118, item 8..10), ou, omo implifiação, e aoro om um iagrama retangular e altura y = 0, 8. x (one x é a itânia a linha neutra até a bora mai omprimia a eção) e tenão σ = 0 80,. f ou σ = 0 85 f,. (onforme a largura a eção iminua ou não, a linha neutra para a bora mai omprimia); f) a tenõe no aço e itribuem na eção e aoro om o iagrama tenãoeformação (e álulo) o aço (NB 6118, item 8.3.6); e g) o etao limite último (e egotamento a apaiae reitente a eção) é atingio quano o enurtamento o onreto atinge o enurtamento e ruptura o onreto, ε = 3, 5, ou quano o alongamento o aço atinge o alongamento plátio limite o aço, ε L = Ditribuição a tenõe na eção Seja uma fatia e viga, ompreenia entre ua eçõe tranverai S1 e S, oliitaa apena por um eforço e flexão (Fig. 1). S1 S' S x y LN z 1 L FIGUA 1

4 3 Devio ao eforço e flexão a eçõe S1 e S giram, uma em relação à outra. Imaginano fixa a eção S1, então a eção S gira, em torno a linha neutra, para a nova poição S'. A região a eção aima a linha neutra erá omprimia. Se o enurtamento ε a fibra mai omprimia e onreto atingir o valor o enurtamento e ruptura o onreto ε (Fig. 1), o que oorre empre por oaião a ruptura a viga, então poe-e amitir que a tenõe e ompreão no onreto e itribuam na eção eguno o iagrama retangular e tenõe ugerio na norma (NB 6118, item 17.., e). A região a eção abaixo a linha neutra erá traionaa. O onreto traionao fiura, não eno permitio ontar om qualquer reitênia à tração ete material. Para reitir ao eforço e tração que e eenvolvem abaixo a linha neutra é uaa então uma armaura e aço. Se o alongamento ε o aço for uperior à ε (Fig. 1), então a tenão no aço atinge o valor f. 4- omento reitente e álulo em função a reitênia o onreto A tenõe normai que atuam na eção e uma viga oliitaa por flexão e reuzem a um par e força ( e ). O momento ee par inepene o ponto em relação ao qual e alula o momento. O momento reitente e uma viga e eção retangular, em função a reitênia o onreto, poe er obtio alulano-e o momento o par e força em relação ao ponto e apliação a força, omo egue: Ditânia x, a linha neutra até a bora mai omprimia a eção (arbitraa omo uma fração k x a altura útil a eção): x = k x. (1) Altura y a zona omprimia e onreto (NB 6118, item 17..): y = 0, 8. x ()

5 4 S' S x y h LN z A bw L FIGUA reulta: reulta: Subtituino x a equação (1) na (), e fazeno Braço e alavana z, a força interna (Fig. ): k y = 0, 8. k (3) x y = k y. (4) z y = (5) Subtituino y ao pela equação (4) na (5) e fazeno k z = 1 k y (6) z = k z. (7) Área a zona omprimia a eção e onreto (Fig. ): Subtituino y a equação (4) na (8), reulta: A = b. y (8) w A = k y. bw. (9) Tenão e ompreão no onreto (NB 6118, item 17..): σ = 0, 85. f (10) eultante a tenõe e ompreão no onreto (Fig. ): = A.σ (11)

6 5 Subtituino A e σ ao pela equaçõe (9) e (10) na (11), reulta: = 0, 85. k. b.. f (1) y w omento o par e força, em relação ao ponto e apliação a força (Fig. ): =.z (13) Subtituino e z ao pela equaçõe (1) e (7) na (13) e fazeno reulta: k = 0, 85. k. k (14) m y z m w = k.b.. f (15) Eta equação fornee o momento reitente e álulo a eção a viga, em função a reitênia o onreto. 5- omento reitente e álulo em função a reitênia o aço O momento reitente a eção, em função a reitênia o aço, poe er obtio alulano-e o momento o par e força em relação ao ponto e apliação a força, omo egue: (Fig. ): Tenão e tração no aço (NB 6118, item 17..): eultante a tenõe e tração no aço (Fig. ): σ = f (16) = A.σ (17) Subtituino σ ao pela equação (16) na (17), reulta: = A. f (18) omento o par e força em relação ao ponto e apliação a força =.z (19) Subtituino ao pela equação (18) na (19), reulta: = A.f.z (0) Eta equação fornee o momento reitente e álulo a eção, em função a reitênia o aço.

7 6 6- Alongamento o aço obtém-e: Da emelhança o triângulo o iagrama e eformaçõe unitária (Fig. ) ε ε = x ( x) Subtituino x ao pela equação (1) na (1) e iolano ε, reulta one o enurtamento e ruptura o onreto, ε, vale: ε (1) k x = 1. ε () k x ε = 3, 5 (3) Para que o aço entre em eoamento (viga ubarmaa), é neeário que ε ε (4) one o alongamento ε o aço, para a tenão e álulo, vale eno ε f = (5) E E = Pa (6) Subtituino ε ao pela equação () na (4) e iolano k x, reulta: k x ε ε + ε (7) Logo: k x, max ε = (8) ε + ε Com a equaçõe (5) e (8) foram alulao o valore e ε e a tabela 1 o anexo A. k x, max Para que o alongamento o aço não ultrapae o alongamento plátio limite o aço, ε L, é neeário que one ε ε L (9) ε L = 10 (30)

8 7 Subtituino ε ao pela equação () na (9) e iolano k x, reulta: Logo: k x k x, min ε (31) ε + ε L ε = (3) ε + ε Subtituino ε e ε L ao pela equaçõe (3) e (30) na (3) reulta: L k x, min = 0,59 (33) 7- Tabela aimenional para a flexão Uano k x omo variável inepenente e a equaçõe (3), (6) e (14) para alular k y, k z e k m, foi ontruía a tabela o anexo A. Eta tabela é útil no álulo e viga e eção retangular oliitaa por flexão. A tabela poe er uaa om qualquer onreto, qualquer aço e qualquer itema e uniae. 8- Cálulo a armaura om o uo e uma tabela Para alular a armaura e flexão e uma viga e eção retangular, om o auxílio a tabela, proee-e omo egue: a) Calular k m (fazer = na equação (15) e iolar k m ). b) Entrar om k m na tabela e obter k z. ) Calular z (uar a equação (7)). k m = (34) b.. f w z = k z. ) Calular A (fazer = na equação (0) e iolar A ). A = (35) z. f

9 8 9- Cálulo a armaura om o uo e um programa e omputaor Com a equaçõe anteriore poe-e failmente eenvolver um programa e omputaor para o álulo e viga e eção retangular oliitaa por flexão. 10- Taxa e armaura A taxa geométria e armaura ( ρ ) é a relação entre a área a eção a armaura e a área a eção o onreto que a envolve. ρ = A A (36) A taxa meânia e armaura ( ω) é a relação entre a reitênia e álulo a armaura e a reitênia e álulo o onreto que a envolve. Diviino membro a membro a equação (36) pela (37) e iolano ρ, obtéme N A ω = = N A. f. f (37) ρ = ω. f f que é a relação exitente entre a ua taxa e armaura. (38) 11- Armaura e tração mínima A taxa geométria a armaura e tração e uma viga não poe er menor que a mínima aa pela expreão (NB 6118, item ): f ρ min = aior(0,0015; ω min. ) (39) f Para viga e eção retangular (NB 6118, tabela 17.3), ω min = 0,035 (40) A área mínima e eção e armaura é aa por: A, min = ρ. A (41) min

10 9 11- Força na armaura e tração Fazeno = e = na equação (19) e iolano, reulta = (4) z equação que fornee a força e tração e álulo na armaura a viga. Como o braço e alavana z varia pouo om o momento e álulo (ver k z na tabela ), poe-e amitir z = on tan te e, nete ao, e aoro om a equação (4), a força na armaura e tração,, em aa eção, reulta iretamente proporional ao momento que atua nea eção. Aim, amitino z = on tan te, o iagrama a força reulta afim ao iagrama o momento. O métoo e obertura o iagrama e momento uao no exemplo eguinte é baeao neta afiniae. 1- Exemplo e álulo Calular e etalhar a armaura e flexão a viga a figura. Equema Seção P = 115 kn A C B 0,50 3,00,00 5,00 m 0,0 FIGUA 3

11 10 Dao: Conreto C30: fk = 30 Pa Aço CA-50: fyk = 500 Pa Comprimento e anoragem báio: b = 33, 4.φ Tranlação: a = Cobrimento: = 30 mm Solução: f f eitênia e álulo: fk 30 = = = 14, Pa γ 14, fyk 500 = = = 435 Pa γ 115, eaçõe e apoio: VA = 46, 0 kn VB = 69, 0 kn Diagrama V e : A C B V FIGUA 4

12 11 omento máximo na viga: = 46, 0. 3, 00 = 69, 0., 00 = 138, 0 kn. m omento e álulo: = γ. = 14138,., 0 = 193, kn. m f Altura útil a eção: φ a = + φt + = = 50 mm = 0, 05 m = h a = 0, 50 0, 05 = 0, 45 m k Coefiiente km: 193, = = 0,3 Tabela k z = 0, 840 b..f 0,0.0,45.(1,4E3) m = w Braço e alavana z: z = k. = 0, , 45 = 0, 378 m z Armaura neeária (na eção mai oliitaa): 193, A = = = 0, m z.f 0,378.(435E3) Verifiação a armaura e tração mínima: ρ Taxa mínima e armaura: f. f 1,4 ) = aior(0,0015; 0,035. ) 435 min = aior(0,0015; ωmin = ρ min = 0,00173 aior(0,0015; 0,00173), min Armaura mínima: A = ρ.a = 0, ,0.0,50 = 0, m min Conluão. Como A > A, min, ua-e A. Portanto:

13 1 A = 0, m = 11,80 m 4 φ 0 mm Detalhamento a armaura: A armaura alulaa eve er oloaa, evientemente, no lao traionao a viga. Portanto, nete problema, no lao e baixo a viga. Eta armaura ( A e 4 φ 0 mm) é neeária apena na eção mai oliitaa a viga (one o momento fletor é máximo). Na outra eçõe, one o momento fletor é menor, eta armaura poe er iminuía, e moo a reuzir o onumo e aço na ontrução a viga. O omprimento mínimo a barra a armaura evem er eterminao e tal moo que o iagrama e momento fletore (afim ao iagrama e força na armaura) eja oberto, ito é, em aa eção a viga eve exitir armaura ufiiente para reitir o momento que nela atua. Para obrir o iagrama e momento fletore proee-e em etapa, omo egue (Fig. 5): a) Numa primeira etapa, too o ponto o iagrama e momento fletore (A D B) ão eloao, paralelamente ao eixo a viga, para o lao efavorável, e uma itânia igual à tranlação ( a ), obteno-e um novo iagrama(a1 D1 D B). É ete novo iagrama o iagrama que eve er oberto pela armaura. b) Numa eguna etapa, o iagrama e momento fletore é iviio em faixa e igual altura. Tanta faixa quanto o número e barra eolhio para a armaura. Caa uma eta faixa eve er oberta por uma a barra a armaura. ) Numa tereira etapa, mara-e, em aa faixa, para ambo o lao (ver faixa na figura eguinte): 1) a partir o ponto em que o momento na faixa omeçam a iminuir (E1 e E), o omprimento e anoragem a barra ( b ), eterminano o ponto G1 e G; e

14 13 ) a partir o ponto em que o momento na faixa e anulam (F1 e F), o omprimento e 10.φ, eterminano o ponto H1 e H. A barra que eve obrir eta faixa eve e etener entre o ponto G e H mai afatao o entro eta faixa. A1 A C B B Faixa 4 H1 G1 F1 F 10.φ 10.φ E1 E b b D1 D D H G Faixa 3 Faixa Faixa 1 a a Barra a poição FIGUA 5 O omprimento a barra a poiçõe 1 e foram eterminao om o proeimento anterior (Fig. 6). Foram uao: Tranlação: a = = 0, 45 m b Comprimento e anoragem a barra: = 33, 4. φ = 33, 4. 0, 0 = 0, 67 m Prolongamento a barra: 10. φ = 10. 0, 0 = 0, 0 m A ua barra a poição 3, neeária para anorar força que e eenvolvem junto ao apoio (o que erá vito poteriormente), evem er

15 14 etenia até o apoio. Eta barra também ão neeária para anorar o anto o etribo. Aina om a finaliae e anorar o anto o etribo ão uaa mai ua barra, om iâmetro no mínimo igual ao iâmetro o etribo, na poição Po 1-1 Po mm 0 mm 10 Tranlação a Po 3-0 mm Compr. anoragem b FIGUA 6

16 15 ANEXO A Tabela 1 Valore e ε e k x, max Aço ε ( ) k x, max ( γ = 115, ) CA-5 1,035 0,77 CA-50,070 0,68 CA-60,484 0,585

17 16 Tabela Flexão imple reta - Seção retangular (Tabela aimenional) S' ε ε S 0,85.f x y h LN z A bw ε ε L ε f kx ky kz km aximo para o ao CA aximo para o ao CA aximo para o ao CA k m x = k x. y = k y. z = k z. = b A w.. f = z. f ar/006