6 - VIGA. Fernando Musso Junior Estruturas de Concreto Armado 23

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1 6 - VIGA Fernano Muo Junior muo@np.ufe.br Etrutura e Concreto Armao 3

2 6.1 - VIGA - ANÁLISE Fernano Muo Junior muo@np.ufe.br Etrutura e Concreto Armao 4

3 VIGA - VÃO EFETIVO DE VIGA [NBR 6118] Fernano Muo Junior muo@np.ufe.br Etrutura e Concreto Armao 5

4 VIGA - MOMENTO FLETOR, FORÇA CORTANTE, MOMENTO TORÇOR E FLECHA Momento Fletor ( = a/l; = b/l) Sitema Carga M máx ; x o /L M máx ; x o /L M ir M máx ; x o /L M eq M ir M eq pl 9pL ; 0,5 ; 0, pl pl pl pl pl ; 0, pl pl pl ; 0,577 ; 0, 447 pl pl pl pl ; 0, , pl pl 7pL ; 0,43 ; 0, 39 pl pl ; 0, , ,64 0 L/ PL 5PL ; 0,5 ; 0,5 4 3 a 3 b PL ; PL; Força Cortante ( = a/l; = b/l) Sitema 3PL PL ; 0, PL PL; PL 8 pl 30 PL 8 pl 6 PL PL PL PL Carga V eq V ir V eq V ir V eq V ir V eq pl pl 3pL 5pL pl pl pl 8 8 pl pl pl pl pl 0,15pL 0,35pL pl pl 11pL 9pL pl 0,35pL 0,15pL P P 5P 11P P P L/ P P 3 a b P P P (3 ) P (3 ) P P Momento Torçor ( = a/l; = b/l) Carga L/ a b Sitema T eq T ir T eq T ir T eq T ir T eq T ir T eq T ir tl tl tl tl tl tl T T T T T eq T eq T eq T eq T eq tl tl tl T T Flecha ( = a/l; = b/l) Sitema Carga máx ; x o /L máx ; x o /L máx ; x o /L ir 5 pl ;0,5 ; 0, 384EI 184,6EI 4 pl 4 ; 0, 384EI 5 pl 4 8EI 4 pl 0,0065 ;0,519 pl 4 ; 0,447 ; 0, EI 419,3EI 764,EI 55 11pL 4 10EI 4 pl 0,0065 ;0,481 pl 4 ; 0,40 ; 0, EI 38,1EI 764,EI 475 pl 4 30EI L/ a b PL 3 PL 3 ;0,5 ; 0, 48EI 48 5EI 447 PL 3 5PL 3 ; 0, 5 19EI 48EI 3 (3 4 ) PL (3 ) PL ; 0, EI 6EI 3 Fernano Muo Junior muo@np.ufe.br Etrutura e Concreto Armao 6

5 VIGA - FLECHAS EM DIVERSOS SISTEMAS COM DIFERENTES CARREGAMENTOS [GRASSER] Fernano Muo Junior muo@np.ufe.br Etrutura e Concreto Armao 7

6 6. - VIGA - DIMENSIONAMENTO NO ESTADO LIMITE ÚLTIMO (ELU) Fernano Muo Junior muo@np.ufe.br Etrutura e Concreto Armao 8

7 VIGA - DIMENSÕES LIMITES DE VIGAS [NBR 6118] Fernano Muo Junior muo@np.ufe.br Etrutura e Concreto Armao 9

8 VIGA - DIMENSIONAMENTO À MOMENTO FLETOR (ELU-M) Fernano Muo Junior muo@np.ufe.br Etrutura e Concreto Armao 30

9 VIGA - FORMULÁRIO DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÂO RETANGULAR À MOMENTO FLETOR (ELU-M) A área a eção a armaura longituinal f yk reitência caracterítica e ecoamento o aço tracionaa h altura a eção tranveral A área a eção a armaura longituinal M 1,4(M G + M Q ) momento fletor e cálculo comprimia M,lim momento fletor e cálculo máximo com A,mín área mínima a eção a armaura longituinal armaura imple tracionaa M G momento fletor a ação permanente G A,lim área a eção a armaura tracionaa M Q momento fletor a ação variável Q correponente a M,lim T força e tração na armaura longituinal b largura a eção tranveral x profuniae a linha neutra no etáio 3 (ELU) C força e compreão no concreto x lim profuniae máxima a linha neutra para altura útil a eção tranveral ruptura úctil a eção (ruptura com avio) itância o centróie a armaura tracionaa à z braço e alavanca (braço o binário) bora comprimia a eção tranveral c encurtamento a fibra extrema e concreto itância o centróie a armaura comprimia y f y /E eformação e ecoamento o aço à bora comprimia a eção tranveral alongamento a armaura tracionaa h - encurtamento a armaura comprimia lim altura útil mínima com armaura imple x/ profuniae a linha neutra aimenional E MPa móulo e elaticiae o aço 0,8 coeficiente e reução a altura comprimia f c f ck /1,4 reitência e cálculo o concreto à a eção (iagrama retangular x parabólico) compreão 0,85 coeficiente e reução a reitência e f ck reitência caracterítica o concreto à cálculo o concreto à compreão compreão ao 8 ia M /(b f c ) momento fletor aimenional f y f yk /1,15 reitência e cálculo e ecoamento tenão e compreão na armaura longituinal o aço A Momento fletor e cálculo máximo com armaura imple (ao b, e f ck, obter M,lim ) Moelo reitente à momento fletor no etao limite último f ck < 35 MPa > 35 MPa Armaura imple (eção com A ; M < M,lim ; x < x lim ) x lim 0,5 0,4 A1 M,lim 0,7b fc 0,848b fc A b f c f c A,lim 0,34bfc / fy 0,7bfc / fy A3 x x C = bxf c B Altura útil mínima a eção com armaura h LN imple (ao M e b, obter lim ) z x / f ck < 35 MPa > 35 MPa A M T = A f y M M lim B1 0,7bfc 0,848bfc (a) M Cz f(x) bxfc( x / ) C - Dimenionamento a armaura longituinal (b) T A fy C bxfc ou A bxfc / fy (ao M, b,, f ck e f yk, obter A e A ) Armaura imple (eção com A ; M < M,lim ; x < x lim ) ( a) b M x x fc : 1 M b f c ou x 1,51 1 C1 0,45b fc A 0,68bxfc / fy C A,mín máximo 0,15%; 0,035fc / fybh C3 f ck MPa A,mín /(bh) 0,150% 0,150% 0,173% 0,01% Armaura upla (eção com A e A ; M > M,lim ; x = x lim ) Armaura upla (eção com A e A ; M > M,lim ; x = x lim ) M M,lim A A,lim c = 3,5 C4 fy( ) x lim x lim M M,lim 3,5 A C5 ( ) xlim fy e y ; E e y C6 f ck < 35 MPa > 35 MPa 0,007(0,5 / ) 0,00875(0,4 / ) C7 f yk 50 MPa 500 MPa 600 MPa y 1,035,070,484 C8 Fernano Muo Junior muo@np.ufe.br Etrutura e Concreto Armao 31 1 / (c) 1 ( ) ( ) 1 ou x f(m / ( ) ) 1 / ( ) 0 M 1 b f () M M,lim M ou M M M, lim (e) M A ( ) ou A M /[ ( )] (f) A f A f A ou A A A y b A LN A x lim M,lim y f c A f y A = x lim M,lim f c A,lim f y,lim + M / f c y A - A

10 VIGA - PARÂMETROS ADIMENSIONAIS DE DIMENSIONAMENTO A MOMENTO FLETOR Fernano Muo Junior muo@np.ufe.br Etrutura e Concreto Armao 3

11 VIGA - GRÁFICO DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À MOMENTO FLETOR Fernano Muo Junior muo@np.ufe.br Etrutura e Concreto Armao 33

12 VIGA - TABELA DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À MOMENTO FLETOR Fernano Muo Junior muo@np.ufe.br Etrutura e Concreto Armao 34

13 VIGA - DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO T À MOMENTO FLETOR (ELU-M) (h f < x lim ; = 0,8 ; = 0,85) A - Momento fletor reitio pela mea comprimia (M Rf ) B - Momento fletor máximo com armaura imple (M,lim ) h b f LN A h f x M Rf x = h f f c C = b f h f f c z = - h f / b w T = A f y b w T = A,lim f y M,lim Ma Mw,lim Caza Cwzw MRf Cz bfhffc( hf / ) A1 B1 (bf bw )hf fc( hf / ) bwxlimfc( xlim / ) C - Profuniae limite a linha neutra (x lim ) x lim = 0,5 e f ck < 35 MPa x lim = 0,4 e f ck > 35 MPa C1 D - CASO 1 Seção T com M < M Rf (parte a mea comprimia) G - Armaura mínima para eção T (A,mín ) armaura imple eção retangular com M e b = b f A,mín máximo(0,15%; 0,04fc / fy) A G1 b f b f f ck MPa A,mín /A 0,15% 0,15% 0,15% 0,15% h f x A (bf bw )hf bwh (área a eção T) G h M M H - Tenão na armaura comprimia ( ) A A fy ( y) ; E ( y) H1 b w f ck < 35 MPa > 35 MPa M 0,0070,5 0,008750,4 A H x 1,51 1 D1 0,45bf fc f yk 50 MPa 500 MPa 600 MPa A 0,68bf xfc / fy A,mín D y 1,035,070,484 H3 E - CASO - Seção T com M Rf < M < M,lim (toa mea e parte a alma comprimia) Superpoição e efeito (aba comprimia + parte a alma comprimia) armaura imple aba (eção retangular com M a e b = b f - b w ) alma (eção retangular com M w e b = b w ) Ma Caza (bf bw )hf fc( hf / ) E1 Mw M Ma E4 h b f a w a LN A h f x lim M,lim x lim f c C a = (b f - b w )h f f c C w = b w x lim f c z a = - h f / z w = - x lim / b f b f - b w b w h M A h f M a A a h f M w A w x b w h M f w x 1,5h f E x 1,51 1 E5 A 0,45bw fc Aa A w Aa 0,68(bf bw )xfc / fy E3 A w 0,68b wxfc / fy E6 F - CASO 3 - Seção T com M > M,lim (toa mea e parte a alma comprimia) armaura upla Superpoição e efeito (aba comprimia + parte a alma comprimia) aba (eção retangular com M a e b = b f - b w ) alma (eção retangular com M w e b = b w ) Ma Caza (bf bw )hf fc( hf / ) F1 Mw M Ma F4 b f b f - b w b w b w x lim f c A h M A A h f M a A a h f M w A A w x lim = M w,lim + A w,lim f y M - A A b w Aa A A w A a hf x 1,5h f F M w,lim b x f ( x / ) F5 w lim c lim A w,lim 0,68bwxlimfc / fy F6 M A ; M M lim ( w M w, F7 ) 0,68(bf bw )xfc / fy F3 A w A w,lim A / fy F8 Fernano Muo Junior muo@np.ufe.br Etrutura e Concreto Armao 35

14 VIGA - LARGURA COLABORANTE DA MESA DE SEÇÃO T [NBR 6118] Fernano Muo Junior muo@np.ufe.br Etrutura e Concreto Armao 36

15 6.. - VIGA - DIMENSIONAMENTO À FORÇA CORTANTE (ELU-V) Fernano Muo Junior muo@np.ufe.br Etrutura e Concreto Armao 37

16 VIGA - FORMULÁRIO DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÂO RETANGULAR À FORÇA CORTANTE (ELU-V) A w área a eção a armaura tranveral h altura a eção tranveral A w,mín área mínima a eção a armaura tranveral M momento fletor e cálculo b largura a eção tranveral epaçamento longituinal entre etribo C força e compreão na biela e concreto 100 cm (para obter A w em cm /m) altura útil a eção tranveral V c força cortante reitia por outro mecanimo itância o centróie a armaura tracionaa V 1,4(V G + V Q ) força cortante e cálculo à bora comprimia a eção tranveral V R força cortante e cálculo máxima reitia por f c f ck /1,4 reitência e cálculo o concreto à compreão iagonal a biela e concreto compreão V G força cortante a ação permanente G f ck reitência caracterítica o concreto à V Q força cortante a ação variável Q compreão ao 8 ia V w força cortante e cálculo reitia pela f ct f ctk /1,4 reitência e cálculo o concreto à armaura tranveral tração z braço e alavanca f ctk 0,7f ctm reitência caracterítica o concreto à ângulo a tenão principal e tração tração 0,6(1 f ck /50) (f ck em MPa) coeficiente e /3 f ctm 0,3f ck (f ck em MPa) reitência méia o reução a reitência o concreto fiurao concreto à tração por força cortante f y f yk /1,15 reitência e cálculo e ecoamento c tenão principal e compreão o aço t tenão principal e tração f yk reitência caracterítica e ecoamento o aço tenão tangencial a força cortante F c força e compreão no concreto ângulo a biela e concreto comprimia F força e tração na armaura longituinal Analogia e treliça tração compreão b a A Verificação a compreão iagonal o concreto (ao b, e f ck, obter V R ; V < V R ) Moelo reitente à força cortante no etao limite último implificao refinao Compreão iagonal a biela e concreto (corte a-a) cálculo (45 o ) (30 o a 45 o ) V R 0,45b fc 0,45bfc en A1 b biela zco F c f ck MPa V R 0,55 0,540 0,58 0,516 C = b(zcof c V R /(b) (45 o ) 0,355 0,434 0,509 0,581 h A (30 o w ) 0,307 0,376 0,441 0,503 M ob.: V R /(b) em kn/cm B Dimenionamento a armaura tranveral fiura F (ao V, b,, f ck e f yk, obter A w ) (a) VR Cen bzfc co en 0,45bfcen implificao refinao cálculo (45 o ) (30 o a 45 o ) Tração tranveral o etribo (corte b-b) A w ( V Vc ) (V Vc ) B1 etribo zcot 0,9fy 0,9fy cot b F c V V o V Vo V V c V o A w,mín V o V o VR V B Vo VR Vo 0,6bfct B3 0,bfctm / fyk B4 f ck MPa f ctm MPa,10,565,896 3,10 f ct MPa 1,105 1,8 1,448 1,605 V o /(b) 0,0663 0,0769 0,0869 0,0963 A w, mín /(b) 0,088% 0,103% 0,116% 0,18% ob.: V o /(b) em kn/cm e A w,mín /(b) para f yk = 500 MPa c (b) V Vw Vc ou Vw V Vc A w A w (c) Vw z fy cot 0,9 f (V (b) em (c): Vc ) A w 0,9f cot Fernano Muo Junior muo@np.ufe.br Etrutura e Concreto Armao 38 h t t c A w c t M y F y V c cot b a z = 0,9 fiura V w = (zcot/)a w f y número e etribo em zcot

17 VIGA - GRÁFICO DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À FORÇA CORTANTE Fernano Muo Junior muo@np.ufe.br Etrutura e Concreto Armao 39

18 Fernano Muo Junior Etrutura e Concreto Armao 40

19 VIGA - TABELA DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À FORÇA CORTANTE - SIMPLIFICADO Fernano Muo Junior muo@np.ufe.br Etrutura e Concreto Armao 41

20 VIGA - TABELA DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À FORÇA CORTANTE - REFINADO Fernano Muo Junior muo@np.ufe.br Etrutura e Concreto Armao 4

21 VIGA - DIMENSIONAMENTO À MOMENTO TORÇOR (ELU-T) Fernano Muo Junior muo@np.ufe.br Etrutura e Concreto Armao 43

22 VIGA - FORMULÁRIO DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À MOMENTO TORÇOR (ELU-T) A bh área a eção tranveral F força e tração na armaura longituinal A e b e h e área limitaa pela linha méia a eção h altura a eção tranveral vazaa epaçamento longituinal entre etribo A área a eção a armaura longituinal 100 cm (para obter A w em cm /m) tracionaa t e máximo(a/u; c 1 ); < b/; < h/ epeura a A,mín área mínima a eção a armaura longituinal paree a eção vazaa no perímetro u e T 1,4(T G + T Q ) momento torçor e cálculo A w área a eção a armaura tranveral T R momento torçor e cálculo máximo reitio por A w,mín área mínima a eção a armaura tranveral compreão iagonal a biela e concreto b largura a eção tranveral T G momento torçor a ação permanente G c 1 c t t / 5 cm T Q momento torçor a ação variável Q c t cobrimento o etribo u (b + h) perímetro a eção tranveral altura útil a eção tranveral u e (b e + h e ) perímetro a área A e f c f ck /1,4 reitência e cálculo o concreto à b e b t e largura a área A e compreão h e h t e altura a área A e f ck reitência caracterítica o concreto à iâmetro a armaura longituinal compreão ao 8 ia t iâmetro a armaura tranveral f ctm /3 0,3f ck (f ck em MPa) reitência méia o 0,5(1 f ck /50) (f ck em MPa) coeficiente e concreto à tração reução a reitência o concreto fiurao f y f yk /1,15 reitência e cálculo e ecoamento por momento torçor o aço tenão tangencial o momento torçor f yk reitência caracterítica e ecoamento o aço ângulo a biela comprimia e concreto Seção vazaa e cálculo com epeura t e Moelo reitente à momento torçor no etao limite último Compreão iagonal e tração longituinal (1 paree) eção eção ( te ) fluxo e torção real e cálculo V1 ( t e )h e; V ( t e ) be V T V1b e / V h / b e biela h e co ( te )hebe ( te )beh TRh F / e T e h T e V 1 V 1 A T e T ( t e ) Ae ( te ) C = t e (h e cof c h t e A t e h e Th e e A e V Th e Tb e b V1 ; V A e e (b e h e ) F A e A e fiura / = (A /u e )h e f y / A e, u e A A, u armaura longituinal na paree h e A Verificação a compreão iagonal o concreto (ao b, h e f ck, obter T R ; T < T R ) TR he implificao refinao (a) Cen tehefc coen cálculo A (45 o ) (30 o a 45 o e ) ou TR Aetefcen T R A et e fc A e t efcen A1 (b) Cco (F / ) (A / ue )h efy f ck MPa ,460 0,450 0,440 0,430 The A (c) Cen (C co ) tan h f tan (45 o e y ) 0,657 0,804 0,943 1,075 A u TR /(Aete ) e e (30 o ) 0,569 0,696 0,817 0,931 T u ob.: T R /(A e t e ) em kn/cm ou e A Aefy tan B Dimenionamento a armaura tranveral (ao T, b, h e f yk, obter A w por paree) implificao refinao Tração tranveral (1 paree) cálculo (45 o ) (30 o a 45 o ) b etribo h e cot T T A w B1 A efy A efy cot Th e A w,mín 0,t efctm / fyk B T h A e h t e e C Dimenionamento a armaura longituinal (ao T, b, h e f yk, obter A total no perímetro u e ) fiura implificao refinao cálculo A w (h e cot/)a w f y (45 o ) (30 o a 45 o ) A e, u e A, u Tu e T u número e etribo em h e cot e A C1 A efy A efy tan T () he he cot T A w f ou A y w A,mín 0,t euefctm / fyk C A e Aefy cot Fernano Muo Junior muo@np.ufe.br Etrutura e Concreto Armao 44

23 VIGA - DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À M. TORÇOR, M. FLETOR E FORÇA CORTANTE A Verificação a compreão iagonal o concreto A bh área a eção tranveral (ao V, T, b, h e f ck : V / V R + T / T R < 1) A e b e h e área limitaa pela linha méia a eção cálculo implificao refinao vazaa (45 o ) (30 o a 45 o ) A,M área a eção a armaura longituinal V R 0,45b fc 0,45bfc en A1 tracionaa para M f ck MPa A,T área a eção a armaura longituinal 0,55 0,540 0,58 0,516 tracionaa para T cálculo implificao refinao A w,t área a eção a armaura tranveral para T (45 o ) (30 o a 45 o ) A w,v área a eção a armaura tranveral para V T R A et e fc A e t efcen A b largura a eção tranveral f ck MPa c 1 c / 5 cm 0,460 0,450 0,440 0,430 c t cobrimento o etribo Superpoição e força cortante e momento torçor altura útil a eção tranveral V T f c f ck /1,4 reitência e cálculo o concreto à 1 A3 VR TR compreão B Dimenionamento a armaura tranveral f ck reitência caracterítica o concreto à (ao V, T, b,, h, f ck e f yk, obter A w,total ) compreão ao 8 ia cálculo implificao refinao f ct f ctk /1,4 reit. e cálculo o concreto à tração (45 o ) (30 o a 45 o ) f ctk 0,7f ctm reit. caracterítica o concreto à tração A w,v /3 ( V Vc ) (V Vc ) f ctm 0,3f ck (f ck em MPa) reitência méia o B1 0,9fy 0,9fy cot concreto à tração V c V o V o V V o Vo V o V V Fernano Muo Junior muo@np.ufe.br Etrutura e Concreto Armao 45 t t V f y f yk /1,15 reit. e cálculo e ecoamento o aço R R V Vo Vo B f yk reitência caracterítica e ecoamento o aço h altura a eção tranveral 0,6bfct B3 M 1,4(M G + M Q ) momento fletor e cálculo f ck MPa M,lim momento fletor e cálculo máximo com f ct MPa 1,105 1,8 1,448 1,605 armaura imple V o /(b) kn/cm 0,0663 0,0769 0,0869 0,0963 epaçamento longituinal entre etribo cálculo implificao refinao 100 cm (para obter A w em cm /m) (45 o ) (30 o a 45 o ) t e máximo(a/u; c 1 ); < b/; < h/ epeura a A w,t T T paree a eção vazaa por B4 A paree efy A efy cot T 1,4(T G + T Q ) momento torçor e cálculo Superpoição e armaura tranverai T R momento torçor e cálculo máximo reitio por A A A B5 compreão iagonal a biela e concreto w,total w,v w,t C Dimenionamento a armaura longituinal u e (b e + h e ) perímetro a área A e (ao M, T, b,, h, f ck e f yk, obter A por face) u (b + h) perímetro a eção tranveral f ck < 35 MPa > 35 MPa V c força cortante reitia por outro mecanimo x lim 0,5 0,4 C1 V 1,4(V G + V Q ) força cortante e cálculo M,lim 0,7b fc 0,848b fc C V R força cortante e cálculo máxima reitia por Armaura imple (eção com A ; M < M,lim ; x < x lim ) compreão iagonal a biela e concreto b e b t e largura a área A M e x 1,51 1 C3 h e h t e altura a área A e 0,45b fc x profuniae a linha neutra no etáio 3 (ELU) A,M 0,68bxfc / fy (face tracionaa) C4 x lim profuniae máxima a linha neutra para cálculo implificao refinao ruptura úctil a eção (ruptura com avio) (45 o ) (30 o a 45 o ) iâmetro a armaura longituinal A T,T ue T ue t iâmetro a armaura tranveral C5 em u e A efy A efy tan 0,5(1 f ck /50) (f ck em MPa) coeficiente e Superpoição e armaura longituinai reução a reit. o concreto fiurao por T A,face comprimia por M A,Tb e / ue C6 0,6(1 f ck /50) (f ck em MPa) coeficiente e A A,caa face lateral A,Th e / ue C7 reução a reit. o concreto fiurao por V,face tracionaa por M A,M A,Tb e / ue C8 ângulo a biela comprimia e concreto

24 VIGA - TABELA DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À MOMENTO TORÇOR - SIMPLIFICADO Fernano Muo Junior muo@np.ufe.br Etrutura e Concreto Armao 46

25 VIGA - TABELA DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À MOMENTO TORÇOR - REFINADO Fernano Muo Junior muo@np.ufe.br Etrutura e Concreto Armao 47

26 6.3 - VIGA - VERIFICAÇÃO NO ESTADO LIMITE DE SERVIÇO (ELS) Fernano Muo Junior muo@np.ufe.br Etrutura e Concreto Armao 48

27 VIGA - VERIFICAÇÃO DE FLECHA (ELS-DEF) Fernano Muo Junior muo@np.ufe.br Etrutura e Concreto Armao 49

28 VIGA - VERIFICAÇÃO DE FLECHA EM VIGA DE SEÇÃO RETANGULAR (ELS-DEF) A área a eção a armaura longituinal L bal comprimento o balanço tracionaa M G momento fletor a ação permanente G A área a eção a armaura longituinal M Q momento fletor a ação variável Q comprimia M QP M G + M Q momento fletor a ação quae b largura a eção tranveral permanente p QP (momento poitivo no vão; altura útil a eção tranveral momento no engate, no cao e balanço) itância o centróie a armaura tracionaa M r W c f ctf momento fletor e fiuração à bora comprimia a eção tranveral n E /E c razão entre o móulo e elaticiae itância o centróie a armaura comprimia o aço e o concreto à bora comprimia a eção tranveral p QP G + Q ação quae permanente h - Q ação variável E c 4760f 1/ ck MPa móulo e elaticiae ecante x profuniae a linha neutra no etáio o concreto x c profuniae a linha neutra a eção bruta E MPa móulo e elaticiae o aço itância o centróie a eção bruta à fibra f ck reitência caracterítica o concreto à extrema comprimia compreão ao 8 ia t tempo que e eeja calcular a flecha (mee) f ctf f ctm reitência o concreto à tração na flexão t o iae o concreto ao entrar em carga (mee) /3 f ctm 0,3f ck (f ck em MPa) reitência méia o y t h - x c itância o centróie a eção bruta à concreto à tração fibra extrema tracionaa f iferia flecha o efeito a fluência o concreto W c I c /y t (bh /6 para eção retangular) f elática flecha obtia com p = p QP, E = E c e I = I c móulo reitente a eção bruta f imeiata flecha a viga ao entrar em carga 1,0 (EC); 1,5 eção retangular (NBR 6118) f limite flecha máxima para limitar efeito viual f coeficiente para levar em conta a fluência o eagraável concreto no cálculo a flecha iferia f total f imeiata + f iferia flecha total 0,3 para eifício reienciai G ação permanente 0,4 para eifício comerciai, e ecritório, h altura a eção tranveral etaçõe e eifício público I momento e inércia a eção no etáio 0,6 para biblioteca, oficina e garagen I c bh 3 /1 para eção retangular fator e reução a ação variável para momento e inércia a eção bruta combinação e ação quae permanente I e momento e inércia efetivo a eção A /(b) taxa geométrica e armaura L vão entre apoio longituinal comprimia A Flecha elática F - Parâmetro auxiliare f elática f ck MPa A1 (ver flecha em ivero itema) f ctm MPa,10,565,896 3,10 B Flecha imeiata f ctf,ec MPa,10,565,896 3,10 fimeiata I E c MPa c felática B1 n = E /E c 9,865 8,84 8,055 7,457 Ie G Seção equivalente (eção fiuraa etáio ) eção fiuraa (M QP > M r ) eção real eção equivalente 3 3 M r M e concreto r I I 1 I (BRANSON) B b b e c M QP M QP eção não fiuraa (M QP < M r ) I C Flecha iferia f iferia e I c f imeiata B3 f C1 ( t) (t o ) f 1 50' C x [ a a 4a1a 3 ] /(a1 ) G1 t 0, 3 ( t 70 mee) 0,68(0,996 )t a 1 b / G C3 ( t 70 mee) a na (n 1) A G3 t mee > 70 a3 na (n 1)A G4 (t) 0,68 0,95 1,18 1,44,00 3 D Flecha total bx I na ( x ) (n 1)A (x ) G5 ftotal fimeiata fiferia flimite D1 3 E Flecha limite profuniae a l. neutra momento e inércia L flimite (L = L bal, no cao e balanço) E1 x xiai Ai I (Ii Aii ) 50 Fernano Muo Junior muo@np.ufe.br Etrutura e Concreto Armao 50 A LN A x (n-1) A LN na x -x

29 VIGA - SEÇÃO EQUIVALENTE DE CONCRETO (SEÇÃO HOMOGENEIZADA OU TRANSFORMADA) No etao limite e erviço e eformaçõe (ELS-DEF), tanto o concreto quanto o aço tem comportamento linear. Aim, a área [A+(n-1)A ] é uma área fictícia ó e concreto (eção equivalente), que quano ubmetia a tenão c reulta na mema carga P que atua na eção real compota e concreto e aço MOMENTO DE INÉRCIA DA SEÇÃO BRUTA I C E MOMENTO DE INÉRCIA DA SEÇÃO FISSURADA I Seção real Seção bruta e concreto Seção fiuraa (etáio puro) Armaura Simple Armaura Dupla Armaura Simple Armaura Dupla P h h h h h f h f 1 A b A b f A A b b w b f A A b w E aço = c b h x c (1) 3 bh Ic () 1 1 b wh (bf bw)h f x c (7) bwh (bf bw)h f I c c h h (b f 3 bwh 1 b h bwh xc w )hf x (8) 3 f (bf bw )h 1 c hf Ob.: x profuniae a linha neutra x c LN x c LN E c P b f A 1 c concreto b w A c h f A real E P c A c x x x x Ai i c A LN LN h f x 1 [ a a 4a1a 3 ] /(a ) (3) a 1 b / a na a na 3 3 bx na ( x ) (4) 3 Fernano Muo Junior muo@np.ufe.br Etrutura e Concreto Armao 51 / b na (n-1)a b x LN E LN b f (n-1)a b f c c na b w na b w na c A A ; i c h f A c na E E n I x 1 [ a a 4a1a 3 ] /(a ) (5) a 1 b / a na (n 1) A a na (n 1)A 3 3 bx na ( x ) (n 1)A (x ) I x c x c 3 (6) [ a a 4a1a 3 ] /(a1) hf a1 b w / a (bf bw )hf na a3 (bf bw )hf / na 3 3 b w x (b f b w )h f I (b (9) f b w 3 )h f x 1 hf na ( x ) (10) [ a a 4a1a 3 ] /(a1) hf a1 b w / a (b f b w )h f na (n 1) A (11) a3 (b f b w )h f / na (n 1)A (b A f I c b n equivalente b w c (A w x 3 )h f x 3 (b hf f b w 1 na )h 3 f (x ) ( n 1)A (1) I momento e inércia c c E one n E na ) A (n-1)a c c [A (n 1)A ( x (I A i i i ) ) ]

30 VIGA - TABELA DE MOMENTO DE INÉRCIA E POSIÇÃO DO CENTRO DE GRAVIDADE DE SEÇÃO T Fernano Muo Junior muo@np.ufe.br Etrutura e Concreto Armao 5

31 VIGA - GRÁFICO DE PROFUNDIDADE DA LINHA NEUTRA DE SEÇÃO RETANGULAR NO ESTÁDIO Fernano Muo Junior muo@np.ufe.br Etrutura e Concreto Armao 53

32 VIGA - GRÁFICO DE MOMENTO DE INÉRCIA DE SEÇÃO RETANGULAR NO ESTÁDIO Fernano Muo Junior muo@np.ufe.br Etrutura e Concreto Armao 54

33 VIGA - GRÁFICO DE MOMENTO DE INÉRCIA EFETIVO DE SEÇÃO RETANGULAR - BRANSON Fernano Muo Junior muo@np.ufe.br Etrutura e Concreto Armao 55

34 VIGA - VERIFICAÇÃO DE ABERTURA DE FISSURA (ELS-W) Fernano Muo Junior muo@np.ufe.br Etrutura e Concreto Armao 56

35 VIGA - VERIFICAÇÃO DE ABERTURA DE FISSURA EM VIGA DE SEÇÃO RETANGULAR (ELS-W) Momento Fletor e Cálculo M F M F = M Gk + 1 M Q1k + n j M Qjk (1) (combinação freqüente) M Gk parcela permanente 1 M Q1k parcela variável principal n j M Qjk emai parcela variávei Tabela 1 Coeficiente 1 e Finaliae a Etrutura 1 eifício reiencial 0,4 0,3 eifício comercial 0,6 0,4 biblioteca; oficina; garagem 0,7 0,6 Momento e Fiuração M r,w É o valor o momento fletor que prouz na eção bruta (ecão e concreto eprezano armaura) uma tenão igual a f ct,f na fibra extrema tracionaa Mr,W Wc fct,w () W c móulo reitente a eção bruta em relação a fibra extrema tracionaa Ic / y t (3) I c momento e inércia a eção bruta y t itância o centróie à fibra ext. tracionaa f ct,w reitência o concreto à tração na flexão (móulo e ruptura) (MPa) 1,05fctm (eção re tan gular) (NBR 6118) (4a) 0,84fctm (eção T) (NBR 6118) (4b) (EC) (4c) f ctm Sim M F < M r,w? Não Seção não Fiuraa (Etáio 1) w k = 0 Área e Envolvimento A cr h A cr A cr = mín[(y+7,5; h/].b (10) b 7,5 y < h/ Seção Fiuraa (Etáio ) 3 4 w 1 (5); w 45 (6) 1,5 1 E fctm 1,5 1 E r w k mínimo(w 1; w ) (7) w k abertura e fiura caracterítica iâmetro a barra a armaura longituinal 1 coeficiente e conformação uperficial a barra tenão no aço tracionao no etáio E móulo e elaticiae o aço f ctm reitência méia o concreto à tração = 0,3f /3 ck (MPa) (8) r taxa e armaura A na região e envolvimento A cr = A /A cr (9) A área e aço a armaura longituinal tracionaa área a região e envolvimento A cr Móulo e Elaticiae o Aço E e Móulo e Elaticiae Secante o Concreto E c 1/ 1/ aço E = MPa (11) concreto E 0,85E 0,85(5600)f 4760f MPa (1) c ci ck ck Tenão no Aço Tracionao na Seção Fiuraa (Etáio puro) MF n c n ( x ) (14) I n razão E /E c (13) M F momento fletor para combinação frequente I momento e inércia a eção no etáio altura útil a eção x profuniae a linha neutra no etáio x ; I (ver ELS-DEF) Tabela - Coeficiente e Conformação Superficial 1 Tipo e Barra 1 lia (CA-5) 1,00 entalhaa (CA-60) 1,40 alta aerência (CA-50),5 Verificação a Segurança ELS-W w k < w lim (15) Tabela 3 - Abertura e Fiura Limite w lim Clae e Agreiviae Agreiviae Tipo e Ambiente w lim (mm) Ambiental I fraca rural ou ubmero 0,4 II moeraa urbano III forte marinho ou inutrial 0,3 IV muito forte inútria química ou repingo e maré 0, Fernano Muo Junior muo@np.ufe.br Etrutura e Concreto Armao 57

36 6.4 - VIGA - EXEMPLOS Fernano Muo Junior muo@np.ufe.br Etrutura e Concreto Armao 58

37 VIGA BIAPOIADA - (b = 0 cm; C5) Fernano Muo Junior muo@np.ufe.br Etrutura e Concreto Armao 59

38 VIGA MONOENGASTADA - (b = 0 cm; C5) Fernano Muo Junior muo@np.ufe.br Etrutura e Concreto Armao 60

39 VIGA BIENGASTADA - (b = 0 cm; C5) Fernano Muo Junior muo@np.ufe.br Etrutura e Concreto Armao 61

40 VIGA EM BALANÇO - (b = 0 cm; C5) Fernano Muo Junior muo@np.ufe.br Etrutura e Concreto Armao 6