7 - LAJE. Fernando Musso Junior Estruturas de Concreto Armado 63

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1 7 - LAJE Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.r Estruturas de Concreto Armado 63

2 7.1 - LAJE - DEFINIÇÕES Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.r Estruturas de Concreto Armado 64

3 LAJE - SISTEMAS ESTRUTURAIS DE LAJES MACIÇAS E LAJES NERVURADAS Lajes Maciças Lajes Nervuradas Laje maciça com vigas Laje nervurada com vigas Laje maciça lisa Laje nervurada com capitel Laje cogumelo nervurada Laje maciça com capitel Laje cogumelo maciça Laje nervurada com vigas integradas Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.r Estruturas de Concreto Armado 65

4 7. - LAJE - ANÁLISE Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.r Estruturas de Concreto Armado 66

5 LAJE - VÃO EFETIVO DE LAJES [NBR 6118] Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.r Estruturas de Concreto Armado 67

6 LAJE - CRITÉRIO SIMPLIFICADO DE ENGASTAMENTO DE LAJES CONTÍNUAS COM APOIOS LINEARES Esquema 1 L1 L a 1 < a a Esquema Engastar L1 em L Engastar L em L1 se 0,8a < a 1 L1 L L3 a 1 < a x a y a 3 vazio laje em alanço Exemplo Engastar L1 em L Engastar L em L1 se 0,8a < a 1 e x > y/3 Engastar L3 em L L1 L 5m L3 7m L4 6 m 4 m 5 m 1 m vazio laje em alanço Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.r Estruturas de Concreto Armado 68

7 LAJE - ÁREAS PARA FORÇA CORTANTE EM LAJES COM CARGA UNIFORME E APOIOS LINEARES a /a > 1 a /a > (3 1/ +1)/ /a < (3 1/ +1)/ 1 a a 45 o 45 o 45 o 45 o a /4 a /4 [(3 1/ -1)a- 45 o (-3 1/ ) ]/ 45 o 3a 7 [a-a /]/ [a-a /]/ a /4 45 o 45 o a/ a/ a/ a/ a/ a/ a /a > 3 1/ /a < 3 1/ 3 a 60 o 60 o 3 1/ a /4 30 o [a-3 1/ /6]/ 30 o 60 o 60 o a/ a/ 3 1/ /6 3 1/ /6 5 a /a > 1 6a a /a > 3-3 1/ 30 o 45 o (3 1/ -1)a /4 45 o 60 o (3-3 1/ )a /4 [a-3 1/ a /]/ (3-3 1/ )[a/-a /4] (3-3 1/ )a /4 45 o 60 o (3-3 1/ )a/ (3 1/ -1)a/ a 30 o 30 o 3 1/ a /1 [a-3 1/ a /6]/ 3 1/ a /4 [a-3 1/ a /]/ (3 1/ -1)[a/-a /4] [a-3 1/ a /6]/ 3 1/ a /1 30 o 30 o a/ a/ 3 1/ a/ 3 1/ a/ (3 1/ -1)a/ (3-3 1/ )a/ /a > 3 1/ /3 3 1/ a/6 3 1/ a/6 [(3-3 1/ )a-3(-3 1/ )a ]/ (3-3 1/ )a /4 45 o 60 o (3-3 1/ )a/ (3 1/ -1)a/ [(3 1/ -1)a-(.3 1/ -3)a ]/ (3-3 1/ )a/ (3-3 1/ )a/ 4 6 [(3-3 1/ )a-(.3 1/ -3)a ]/ a 30 o 45 o (3 1/ -1)a /4 /a > 3 1/ -1 [(3 1/ -1)a-(-3 1/ )a ]/ (3 1/ -1)a /4 30 o 45 o (3-3 1/ )a/ (3 1/ -1)a/ a [a-(3 1/ +3) /1]/ 45 o 30 o /4 45 o 30 o [a-(3 1/ +3) /1]/ / 3 1/ /1 3 1/ /6 (3 1/ -1)a/ (3 1/ -1)a/ /a < 3-3 1/ a /a > (3 1/ +3)/6 a /a > [a-(3 1/ +1)a /4]/ 3 1/ /1 30 o [a-(3 1/ +3)a /1]/ 30 o 30 o 3 1/ a /1 45 o 3 1/ a /4 60 o 60 o [a-3 1/ /6]/ a /4 3 1/ /1 [a-(3 1/ +3)a /1]/ 45 o a/ a/ [a-(3 1/ +1)a /4]/ 30 o a/ 3 1/ a/ / / 3 1/ a/6 a/ (3 1/ -1) /4 30 o 45 o 45 o a /4 [a-a /]/ [(3-3 1/ )a- (.3 1/ -3) ]/ (3 1/ -1)/ (3 1/ -1) /4 [a-a /]/ a /4 45 o 45 o a/ a/ 30 o (3 1/ -1)/ (3 1/ -1)/ (3-3 1/ )/ / / a/ a/ Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.r Estruturas de Concreto Armado 69

8 LAJE - FORÇA CORTANTE EM LAJES COM CARGA UNIFORME E APOIOS LINEARES ( = /a) a > 1 a > (3 1/ +1)/ < (3 1/ +1)/ 1 a a 45 o pa/4 45 o 45 o pa/4 45 o pa[(3 1/ -1)- 45 o (-3 1/ ) ]/ 45 o 3a 7 pa[1-1/()]/ 45 o pa/4 45 o pa[1-3 1/ /(6)]/ a/ a/ a/ a/ a > 3 1/ 5 a > 1 6a 30 o 45 o pa(3 1/ -1)/4 pa(3-3 1/ )[1/-1/(4] 60 o 60 o pa3 1/ /4 pa[1-3 1/ /()]/ pa3 1/ /4 60 o 60 o a/ a/ pa(3-3 1/ )/4 45 o 60 o (3-3 1/ )a/ (3 1/ -1)a/ a pa[1-1/()]/ pa[1-3 1/ /()]/ pa(3 1/ -1)[1/-1/(4] 30 o 30 o pa3 1/ /1 pa[1-3 1/ /(6)]/ pa3 1/ /1 30 o 30 o a/ a/ 3 1/ a/ 3 1/ a/ (3 1/ -1)a/ (3-3 1/ )a/ > 3 1/ /3 3 1/ a/6 3 1/ a/6 3 pa[(3-3 1/ )-3(-3 1/ )/]/ a 45 o 60 o pa(3-3 1/ )/4 pa(3-3 1/ )/4 45 o 60 o > 3-3 1/ (3-3 1/ )a/ (3 1/ -1)a/ pa[(3 1/ -1)-(.3 1/ -3)/]/ (3-3 1/ )a/ (3-3 1/ )a/ 4 6 pa[(3-3 1/ )-(.3 1/ -3)/]/ a 30 o 45 o pa(3 1/ -1)/4 > 3 1/ -1 pa[(3 1/ -1)-(-3 1/ )/]/ 30 o pa(3 1/ -1)/4 45 o (3-3 1/ )a/ (3 1/ -1)a/ a pa[-(3 1/ +3) /1]/ 45 o 30 o pa/4 45 o 30 o pa[-(3 1/ +3) /1]/ / pa3 1/ /1 3 1/ /6 (3 1/ -1)a/ (3 1/ -1)a/ < 3-3 1/ a > (3 1/ +3)/6 a > o pa3 1/ /1 30 o 45 o pa/4 45 o pa[1-(3 1/ +1)/(4)]/ pa[1-(3 1/ +3)/(1)]/ 45 o a pa/4 45 o a/ a/ < 3 1/ pa[-3 1/ /6]/ 30 o 30 o pa3 1/ /1 60 o pa3 1/ /4 60 o 30 o 30 o pa[-3 1/ /6]/ 3 1/ /6 a/ a/ pa3 1/ /1 pa[1-(3 1/ +1)/(4)]/ 3 1/ /6 pa[1-(3 1/ +3)/(1)]/ a/ 3 1/ a/ / / 3 1/ a/6 a/ pa(3 1/ -1)/4 30 o (3 1/ -1)/ pa[1-1/()]/ pa[(3-3 1/ )- (.3 1/ -3) ]/ pa[1-1/()]/ 45 o pa/4 45 o a/ a/ pa(3 1/ -1)/4 30 o (3 1/ -1)/ (3 1/ -1)/ (3-3 1/ )/ / / a/ a/ Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.r Estruturas de Concreto Armado 70

9 LAJE - ESFORÇOS E FLECHAS EM LAJE RETANGULAR COM APOIOS LINEARES ( = 0,) multiplicar Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.r Estruturas de Concreto Armado 71

10 LAJE - ESFORÇOS E FLECHAS EM LAJE RETANGULAR COM APOIOS LINEARES ( = 0,) dividir Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.r Estruturas de Concreto Armado 7

11 LAJE - ESFORÇOS E FLECHAS EM LAJE RETANGULAR COM APOIOS LINEARES - ( = 0,0) [CZERNY] Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.r Estruturas de Concreto Armado 73

12 LAJE - ESFORÇOS E FLECHAS EM LAJE RETANGULAR COM APOIOS LINEARES - ( = 0,15) [BARES] Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.r Estruturas de Concreto Armado 74

13 LAJE - INFLUENCIA DO MÓDULO DE POISSON [BARES] Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.r Estruturas de Concreto Armado 75

14 LAJE - INFLUENCIA DO MÓDULO DE POISSON [BARES] Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.r Estruturas de Concreto Armado 76

15 LAJE - INFLUENCIA DO MÓDULO DE POISSON [BARES] Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.r Estruturas de Concreto Armado 77

16 LAJE - MOMENTOS E FLECHAS EM LAJE COM APOIOS INTERNOS PONTUAIS - PAINEL DE CANTO [EISENBIEGLER] Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.r Estruturas de Concreto Armado 78

17 7.3 - LAJE - DIMENSIONAMENTO NO ESTADO LIMITE ÚLTIMO (ELU) Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.r Estruturas de Concreto Armado 79

18 LAJE - DIMENSÕES LIMITES DE LAJES [NBR 6118] Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.r Estruturas de Concreto Armado 80

19 LAJE - DIMENSIONAMENTO À MOMENTO FLETOR (ELU-M) Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.r Estruturas de Concreto Armado 81

20 LAJE - FORMULÁRIO DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÂO RETANGULAR À MOMENTO FLETOR (ELU-M) A s área da seção da armadura longitudinal f yk resistência característica de escoamento do aço tracionada h altura da seção transversal A s área da seção da armadura longitudinal M d 1,4(M G + M Q ) momento fletor de cálculo comprimida M d,lim momento fletor de cálculo máximo com A s,mín área mínima da seção da armadura longitudinal armadura simples tracionada M G momento fletor da ação permanente G A s,lim área da seção da armadura tracionada M Q momento fletor da ação variável Q correspondente a M d,lim T força de tração na armadura longitudinal largura da seção transversal x profundidade da linha neutra no estádio 3 (ELU) C força de compressão no concreto x lim profundidade máxima da linha neutra para d altura útil da seção transversal ruptura dúctil da seção (ruptura com aviso) distância do centróide da armadura tracionada à z raço de alavanca (raço do inário) orda comprimida da seção transversal c encurtamento da fira extrema de concreto d distância do centróide da armadura comprimida yd f yd /E s deformação de escoamento do aço à orda comprimida da seção transversal s alongamento da armadura tracionada d h - d s encurtamento da armadura comprimida d lim altura útil mínima com armadura simples x/d profundidade da linha neutra adimensional E s MPa módulo de elasticidade do aço 0,8 coeficiente de redução da altura comprimida f cd f ck /1,4 resistência de cálculo do concreto à da seção (diagrama retangular x paraólico) compressão 0,85 coeficiente de redução da resistência de f ck resistência característica do concreto à cálculo do concreto à compressão compressão aos 8 dias M d /(d f cd ) momento fletor adimensional f yd f yk /1,15 resistência de cálculo de escoamento sd tensão de compressão na armadura longitudinal do aço A Momento fletor de cálculo máximo com armadura simples (dados, d e f ck, oter M d,lim ) Modelo resistente à momento fletor no estado limite último f ck < 35 MPa > 35 MPa Armadura simples (seção com A s ; M d < M d,lim ; x < x lim ) x lim 0,5d 0,4d A1 M d,lim 0,7d fcd 0,848d fcd A f cd f cd A s,lim 0,34dfcd / fyd 0,7dfcd / fyd A3 x x C = xf cd B Altura útil mínima da seção com armadura h d LN simples (dados M d e, oter d lim ) z d x / f ck < 35 MPa > 35 MPa A s M d T = A s f yd Md Md d lim B1 d 0,7fcd 0,848fcd (a) Md Cz f(x) xfcd(d x / ) C - Dimensionamento da armadura longitudinal () T A sfyd C xfcd ou A s xfcd / fyd (dados M d,, d, f ck e f yk, oter A s e A s ) Armadura simples (seção com A s ; M d < M d,lim ; x < x lim ) ( a) d Md x x fcd : 1 M d f d d cd ou d x 1,5d1 1 C1 0,45d fcd As 0,68xfcd / fyd C As,mín máximo 0,15%; 0,035fcd / fydh C3 f ck MPa A s,mín /(h) 0,150% 0,150% 0,173% 0,01% Armadura dupla (seção com A s e As ; M d > M d,lim ; x = x lim ) Armadura dupla (seção com A s e As ; M d > M d,lim ; x = x lim ) d f cd f cd As sd Md Md,lim d As As,lim c = 3,5 C4 s fyd(d d A ) x lim A s x s lim sd x lim x s lim d Md M d d d-d d,lim 3,5 LN = + A s C5 sd(d d s ) x A M d M d,lim M lim s A sd fyd se s yd ; sd Ess se s s f yd As sd yd C6 d A s,lim f yd f ck < 35 MPa > 35 MPa (d) Md Md,lim M ou M Md Md, lim s 0,007(0,5 d / d) 0,00875(0,4 d / d) C7 (e) M As sd(d d ) ou As M /[ sd(d d)] f yk 50 MPa 500 MPa 600 MPa (f) Asfyd As,limfyd As sd ou As As,lim As sd / fyd yd 1,035,070,484 C8 1 / (c) 1 ( ) ( ) 1 ou x f(m / d ( ) d ) 1 / ( ) 0 Md 1 d f Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.r Estruturas de Concreto Armado 8 cd

21 LAJE - PARÂMETROS ADIMENSIONAIS DE DIMENSIONAMENTO A MOMENTO FLETOR Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.r Estruturas de Concreto Armado 83

22 LAJE - GRÁFICO DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À MOMENTO FLETOR Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.r Estruturas de Concreto Armado 84

23 LAJE - TABELA DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À MOMENTO FLETOR Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.r Estruturas de Concreto Armado 85

24 LAJE - DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO T À MOMENTO FLETOR (ELU-M) (h f < x lim ; = 0,8 ; = 0,85) A - Momento fletor resistido pela mesa comprimida (M Rf ) B - Momento fletor máximo com armadura simples (M d,lim ) h d f LN A s h f x M Rf x = h f f cd C = f h f f cd z = d - h f / w T = A s f yd w T = A s,lim f yd Md,lim Ma Mw,lim Caza Cwzw MRf Cz fhffcd(d hf / ) A1 B1 (f w )hf fcd(d hf / ) wxlimfcd(d xlim / ) C - Profundidade limite da linha neutra (x lim ) x lim = 0,5d se f ck < 35 MPa x lim = 0,4d se f ck > 35 MPa C1 D - CASO 1 Seção T com M d < M Rf (parte da mesa comprimida) G - Armadura mínima para seção T (A s,mín ) armadura simples seção retangular com M d e = f As,mín máximo(0,15%; 0,04fcd / fyd) A G1 f f f ck MPa A s,mín /A 0,15% 0,15% 0,15% 0,15% h f x A (f w )hf wh (área da seção T) G h d d M d M H - Tensão na armadura comprimida ( sd) d A s A s sd fyd ( s yd) ; sd Ess ( s yd) H1 w f ck < 35 MPa > 35 MPa d d Md s 0,0070,5 0,008750,4 A H s x 1,5d1 1 D1 d d 0,45fd fcd f yk 50 MPa 500 MPa 600 MPa A s 0,68f xfcd / fyd A s,mín D yd 1,035,070,484 H3 E - CASO - Seção T com M Rf < M d < M d,lim (toda mesa e parte da alma comprimidas) Superposição de efeitos (aas comprimidas + parte da alma comprimida) armadura simples aas (seção retangular com M a e = f - w ) alma (seção retangular com M w e = w ) Ma Caza (f w )hf fcd(d hf / ) E1 Mw Md Ma E4 h d f a w a LN A s h f x lim M d,lim x lim f cd C a = ( f - w )h f f cd C w = w x lim f cd z a = d - h f / z w = d - x lim / f f - w w h d M d A s h f d M a A a h f d M w A w x w h M f w x 1,5h f E x 1,5d1 1 E5 A 0,45wd fcd s Aa A w Aa 0,68(f w )xfcd / fyd E3 A w 0,68 wxfcd / fyd E6 F - CASO 3 - Seção T com M d > M d,lim (toda mesa e parte da alma comprimidas) armadura dupla Superposição de efeitos (aas comprimidas + parte da alma comprimida) aas (seção retangular com M a e = f - w ) alma (seção retangular com M w e = w ) Ma Caza (f w )hf fcd(d hf / ) F1 Mw Md Ma F4 f f - w d w w x lim f cd A h d M d A s A s d h f d M a A a h f d M w As A w x lim = M w,lim + A w,lim f yd M s s sd d-d A sd A s w Aa A A s w A a hf x 1,5h f F M w,lim x f (d x / ) F5 w lim cd lim A w,lim 0,68wxlimfcd / fyd F6 M A s ; M M lim (d d w M w, ) sd 0,68(f w )xfcd / fyd F3 A w A w,lim As sd / fyd F7 F8 Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.r Estruturas de Concreto Armado 86

25 LAJE - LARGURA COLABORANTE DA MESA DE SEÇÃO T [NBR 6118] Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.r Estruturas de Concreto Armado 87

26 LAJE - DIMENSIONAMENTO À FORÇA CORTANTE (ELU-V) Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.r Estruturas de Concreto Armado 88

27 LAJE - VERIFICAÇÃO DA RESISTÊNCIA À FORÇA CORTANTE SEM ARMADURA TRANSVERSAL (ELU-V) A s área da seção da armadura longitudinal tracionada k 1 1,6 d > 1 d em m parâmetro k 1 largura da seção transversal 100 cm no caso de laje maciça 100 n /e n no caso de laje nervurada V d 1,4(V G + V Q ) força cortante solicitante de cálculo n largura da nervura, no caso de laje nervurada V Rd1 força cortante resistente de cálculo por tração diagonal do concreto d altura útil da seção transversal distância do centróide da armadura tracionada à orda comprimida da seção transversal V Rd força cortante resistente de cálculo máxima por compressão diagonal das ielas de concreto e n espaçamento entre nervuras, no caso de laje nervurada f cd f ck /1,4 resistência de cálculo do concreto à compressão f ck resistência característica do concreto à compressão aos 8 dias f ctd f ctk /1,4 resistência de cálculo do concreto à tração f ctk 0,7f ctm resistência característica do concreto à tração V G V Q força cortante da ação permanente G força cortante da ação variável Q 0,6(1 f ck /50); f ck em MPa coeficiente de redução da resistência do concreto fissurado por força cortante 1 A s /(d) < 0,0 taxa geométrica de armadura longitudinal tracionada Rd 0,5f ctd tensão resistente de cálculo do concreto ao cisalhamento ângulo das ielas comprimidas de concreto f ctm /3 0,3f ck (f ck em MPa) resistência média do concreto à tração h altura da seção transversal A Força cortante resistente de cálculo por tração do concreto (dados e d, oter V Rd1 ; V d < V Rd1 ) k (1, 40 ) d A1 V Rd1 VRd1 Rd 1 1 / 3 ctd 0,0375f ck Rd 0,5f (f ck em MPa) A k 1 1,6 d 1 d em m A3 1 A s 0, 0 d A4 f ck MPa f ctm MPa,10,565,896 3,10 3,509 f ctk MPa 1,547 1,795,08,47,456 f ctd MPa 1,105 1,8 1,448 1,605 1,754 Rd MPa 0,763 0,306 0,361 0,401 0,4386 B Força cortante resistente de cálculo por compressão do concreto (dados e d, oter V Rd ; V d < V Rd ) cálculo V Rd simplificado (= refinado ( = 30 o -45 o ) 45 o ) 0,45d f,45df sen cd 0 cd f ck MPa ,55 0,540 0,58 0,516 0,504 V Rd d 45 o 0,355 0,434 0,509 0,581 0,648 V Rd d 30 o 0,307 0,376 0,441 0,503 0,561 os.: V Rd /(d) em kn/cm B 1 Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.r Estruturas de Concreto Armado 89

28 LAJE - DIMENSIONAMENTO À PUNÇÃO Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.r Estruturas de Concreto Armado 90

29 LAJE - ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE RESISTÊNCIA À PUNÇÃO (ELU-PUNÇÃO) O que é punção? Punção é a ruptura local por cisalhamento, resultante de uma força concentrada (carga ou reação) atuando em uma área relativamente pequena, chamada de área carregada Ruptura por punção de laje em concreto armado Sistemas estruturais de lajes onde se deve verificar a resistência à punção Laje maciça lisa Laje nervurada com capitel Laje maciça com capitel Ensaio de resistência à punção Modelo para verificação da resistência à punção Corte Perímetros ásicos u 1 típicos em torno de áreas carregadas Planta O perímetro ásico u 1 geralmente é definido a uma distância d da área carregada e deve ser construído de modo a minimizar seu comprimento Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.r Estruturas de Concreto Armado 91

30 LAJE - ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE RESISTÊNCIA À PUNÇÃO - COMPARAÇÂO ENTRE NORMAS Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.r Estruturas de Concreto Armado 9

31 7.4 - LAJE - VERIFICAÇÃO NO ESTADO LIMITE DE SERVIÇO (ELS) Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.r Estruturas de Concreto Armado 93

32 LAJE - VERIFICAÇÃO DE FLECHA (ELS-DEF) Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.r Estruturas de Concreto Armado 94

33 LAJE - VERIFICAÇÃO DE FLECHA EM LAJE DE SEÇÃO RETANGULAR (ELS-DEF) A s área da seção da armadura longitudinal L al comprimento do alanço tracionada M G momento fletor da ação permanente G A s área da seção da armadura longitudinal M Q momento fletor da ação variável Q comprimida M QP M G + M Q momento fletor da ação quase largura da seção transversal permanente p QP (momento positivo no vão; d altura útil da seção transversal momento no engaste, no caso de alanço) distância do centróide da armadura tracionada M r W c f ctf momento fletor de fissuração à orda comprimida da seção transversal n E s /E cs razão entre os módulos de elasticidade d distância do centróide da armadura comprimida do aço e do concreto à orda comprimida da seção transversal p QP G + Q ação quase permanente d h - d Q ação variável E cs 4760f 1/ ck MPa módulo de elasticidade secante x profundidade da linha neutra no estádio do concreto x c profundidade da linha neutra da seção ruta E s MPa módulo de elasticidade do aço distância do centróide da seção ruta à fira f ck resistência característica do concreto à extrema comprimida compressão aos 8 dias t tempo que se deseja calcular a flecha (meses) f ctf f ctm resistência do concreto à tração na flexão t o idade do concreto ao entrar em carga (meses) /3 f ctm 0,3f ck (f ck em MPa) resistência média do y t h - x c distância do centróide da seção ruta à concreto à tração fira extrema tracionada f diferida flecha do efeito da fluência do concreto W c I c /y t (h /6 para seção retangular) f elástica flecha otida com p = p QP, E = E cs e I = I c módulo resistente da seção ruta f imediata flecha da viga ao entrar em carga 1,0 (EC); 1,5 seção retangular (NBR 6118) f limite flecha máxima para limitar efeito visual f coeficiente para levar em conta a fluência do desagradável concreto no cálculo da flecha diferida f tot al f imediata + f diferida flecha total 0,3 para edifícios residenciais G ação permanente 0,4 para edifícios comerciais, de escritórios, h altura da seção transversal estações e edifícios púlicos I momento de inércia da seção no estádio 0,6 para iliotecas, oficinas e garagens I c h 3 /1 para seção retangular fator de redução da ação variável para momento de inércia da seção ruta cominação de ação quase permanente I e momento de inércia efetivo da seção A s /(d) taxa geométrica de armadura L vão entre apoios longitudinal comprimida A Flecha elástica F - Parâmetros auxiliares f elástica f ck MPa A1 (ver flechas em diversos sistemas) f ctm MPa,10,565,896 3,10 B Flecha imediata f ctf,ec MPa,10,565,896 3,10 fimediata I E cs MPa c felástica B1 n = E s /E cs 9,865 8,84 8,055 7,457 Ie G Seção equivalente (seção fissurada estádio ) seção fissurada (M QP > M r ) seção real seção equivalente 3 3 M r M de concreto r Ie I c 1 I M QP M (BRANSON) B d d QP As x (n-1) A x s seção não fissurada (M QP < M r ) Ie I B3 d LN d LN c d-x C Flecha diferida A s na s f f C1 diferida f imediata ( t) (t o ) f C 1 50' [ a a 4a a ] /(a ) G1 x t 0, 3 ( t 70 meses) 0,68(0,996 )t a 1 / G C3 ( t 70 meses) a na s (n 1) As G3 t meses > 70 a3 na sd (n 1)A s d G4 (t) 0,68 0,95 1,18 1,44,00 3 D Flecha total x I na s (d x ) (n 1)A s (x d) G5 ftotal fimediata fdiferida flimite D1 3 E Flecha limite profundidade da l. neutra momento de inércia L flimite (L = L al, no caso de alanço) E1 x xiai Ai I (Ii Aii ) 50 Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.r Estruturas de Concreto Armado 95

34 LAJE - SEÇÃO EQUIVALENTE DE CONCRETO (SEÇÃO HOMOGENEIZADA OU TRANSFORMADA) No estado limite de serviço de deformações (ELS-DEF), tanto o concreto quanto o aço tem comportamento linear. Assim, a área [A+(n-1)A s ] é uma área fictícia só de concreto (seção equivalente), que quando sumetida a tensão c resulta na mesma carga P que atua na seção real composta de concreto e aço MOMENTO DE INÉRCIA DA SEÇÃO BRUTA I C E MOMENTO DE INÉRCIA DA SEÇÃO FISSURADA I Seção real Seção ruta de concreto Seção fissurada (estádio puro) Armadura Simples Armadura Dupla Armadura Simples Armadura Dupla P s h d h d h h h f h f 1 A s A s f A s A s w f A s A s w E s aço d d d d s = c s h x c (1) 3 h Ic () 1 1 wh (f w)h f x c (7) wh (f w)h f I c c h h ( f 3 wh 1 h wh xc w )hf x (8) 3 f (f w )h 1 c hf Os.: x profundidade da linha neutra x c LN x c LN E cs P f A 1 c concreto w A c h f s A s real E P c s s A c d d d d x x x x Ai i c A s LN LN h f / na s (n-1)a s x LN E LN s f (n-1)a s f c cs na s w na s w na s c A d A ; i c d h f A c s na s E s E n x 1 [ a a 4a1a 3 ] /(a ) (3) a 1 / a na s a na d 3 s 3 x na s (d x ) I (4) 3 x 1 [ a a 4a1a 3 ] /(a ) (5) a 1 / a na s (n 1) As a na d (n 1)A d 3 s s 3 x na s(d x ) (n 1)A s (x d) I x c x cs 3 (6) [ a a 4a1a 3 ] /(a1) hf a1 w / a (f w )hf nas a3 (f w )hf / nasd 3 3 w x ( f w )h f I ( (9) f w 3 )h f x 1 hf na s (d x ) (10) [ a a 4a1a 3 ] /(a1) hf a1 w / a ( f w )h f na s (n 1) As (11) a3 ( f w )h f / na sd (n 1)A s d ( A f s I c n w equivalente c (A w x 3 )h f x 3 ( hf f w 1 na )h s 3 f s (x d ) ( n 1)A (1) I momento de inércia c c E onde n E na ) s A (n-1)a s c s cs [A (n 1)A (d x (I A Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.r Estruturas de Concreto Armado 96 i i i s ) ) ]

35 LAJE - TABELA DE MOMENTO DE INÉRCIA E POSIÇÃO DO CENTRO DE GRAVIDADE DE SEÇÃO T Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.r Estruturas de Concreto Armado 97

36 LAJE - GRÁFICO DE PROFUNDIDADE DA LINHA NEUTRA DE SEÇÃO RETANGULAR NO ESTÁDIO Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.r Estruturas de Concreto Armado 98

37 LAJE - GRÁFICO DE MOMENTO DE INÉRCIA DE SEÇÃO RETANGULAR NO ESTÁDIO Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.r Estruturas de Concreto Armado 99

38 LAJE - GRÁFICO DE MOMENTO DE INÉRCIA EFETIVO DE SEÇÃO RETANGULAR - BRANSON Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.r Estruturas de Concreto Armado 100

39 LAJE - VERIFICAÇÃO DE ABERTURA DE FISSURA (ELS-W) Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.r Estruturas de Concreto Armado 101

40 LAJE - VERIFICAÇÃO DE ABERTURA DE FISSURA (ELS-W) Momento Fletor de Cálculo M F Momento de Fissuração M r,w É o valor do momento fletor que produz na seção M F = M Gk + 1 M Q1k + n j M Qjk (1) ruta (secão de concreto desprezando armadura) uma tensão igual a f ct,f na fira extrema tracionada (cominação freqüente) M r,w Wc fct,w () M Gk parcela permanente W c módulo resistente da seção ruta em relação a 1 M Q1k parcela variável principal fira extrema tracionada Ic / y t (3) n j M Qjk demais parcelas variáveis I c momento de inércia da seção ruta y t distância do centróide à fira ext. tracionada Taela 1 Coeficientes 1 e f ct,w resistência do concreto à tração na flexão Finalidade da Estrutura 1 (módulo de ruptura) (MPa) edifício residencial 0,4 0,3 1,05fctm (seção re tan gular) (NBR 6118) (4a) 0,84fctm (seção T ) (NBR 6118) (4) ilioteca; oficina; garagem 0,7 0,6 f ctm (EC) (4c) Sim M F < M r,w? Não Seção não Fissurada (Estádio 1) Seção Fissurada (Estádio ) w k = 0 s 3 s s 4 w 1 (5); w 45 (6) 1,5 1 E s fctm 1,5 1 E s r Área de Envolvimento A cr w k mínimo(w 1; w ) (7) w k aertura de fissura característica A cr diâmetro da arra da armadura longitudinal h d 1 coeficiente de conformação superficial da arra < h/ s tensão no aço tracionado no estádio y E s módulo de elasticidade do aço f ctm resistência média do concreto à tração = 0,3f /3 ck (MPa) (8) r taxa de armadura A s na região de envolvimento A cr A cr = mín[(y+7,5; h/]. (10) = A s /A cr (9) A s área de aço da armadura longitudinal tracionada área da região de envolvimento 7,5 A cr Módulo de Elasticidade do Aço E s e Módulo de Elasticidade Secante do Concreto E cs 1/ 1/ aço E s = MPa (11) concreto E 0,85E 0,85(5600)f 4760f MPa (1) cs ci ck ck Tensão no Aço Tracionado na Taela - Coeficiente de Conformação Superficial 1 Seção Fissurada s (Estádio puro) Tipo de Barra 1 s n c MF n (d x ) (14) I lisa (CA-5) 1,00 n razão E s /E cs (13) entalhada (CA-60) 1,40 M F momento fletor para cominação frequente I momento de inércia da seção no estádio alta aderência (CA-50),5 d altura útil da seção x profundidade da linha neutra no estádio Verificação da Segurança ELS-W x ; I (ver ELS-DEF) w k < w lim (15) Taela 3 - Aertura de Fissura Limite w lim Classe de Agressividade Agressividade Tipo de Amiente w lim (mm) Amiental I fraca rural ou sumerso 0,4 II moderada urano III forte marinho ou industrial 0,3 IV muito forte indústrias químicas ou respingos de maré 0, Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.r Estruturas de Concreto Armado 10

41 7.5 - LAJE - EXEMPLOS Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.r Estruturas de Concreto Armado 103

42 LAJE MACIÇA - EXEMPLOS Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.r Estruturas de Concreto Armado 104

43 LAJE MACIÇA QUADRADA COM APOIOS SIMPLES Fernando Musso Junior Estruturas de Concreto Armado 105

44 LAJE MACIÇA QUADRADA COM DOIS APOIOS ADJACENTES ENGASTADOS E DOIS APOIOS SIMPLES Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.r Estruturas de Concreto Armado 106

45 LAJE MACIÇA QUADADA COM APOIOS ENGASTADOS Fernando Musso Junior Estruturas de Concreto Armado 107

46 LAJE MACIÇA RETANGULAR COM APOIOS SIMPLES Fernando Musso Junior Estruturas de Concreto Armado 108

47 LAJE MACIÇA RETANGULAR COM DOIS APOIOS ADJACENTES ENGASTADOS E DOIS APOIOS SIMPLES Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.r Estruturas de Concreto Armado 109

48 LAJE MACIÇA RETANGULAR COM APOIOS ENGASTADOS Fernando Musso Junior Estruturas de Concreto Armado 110

49 LAJE NERVURADA - EXEMPLOS Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.r Estruturas de Concreto Armado 111

50 LAJE NERVURADA QUADRDA COM APOIOS SIMPLES Fernando Musso Junior Estruturas de Concreto Armado 11

51 LAJE NERVURADA QUADRADA COM DOIS APOIOS ADJAC. ENGASTADOS E DOIS APOIOS SIMPLES Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.r Estruturas de Concreto Armado 113

52 LAJE NERVURADA QUADRADA COM APOIOS ENGASTADOS Fernando Musso Junior Estruturas de Concreto Armado 114

53 LAJE NERVURADA RETANGULAR COM APOIOS SIMPLES Fernando Musso Junior Estruturas de Concreto Armado 115

54 LAJE NERVURADA RETANGULAR COM DOIS APOIOS ADJAC. ENGASTADOS E DOIS APOIOS SIMPLES Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.r Estruturas de Concreto Armado 116

55 LAJE NERVURADA RETANGULAR COM APOIOS ENGASTADOS Fernando Musso Junior Estruturas de Concreto Armado 117