5FLEXÃO SIMPLES ARMADURA LONGITUDINAL DE VIGA

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1 5 5FLEXÃO SIPLES RDUR LONGITUDINL DE VIG 5.1 Introução Uma viga reta, ee que não poua arregamento horizontai ou inlinao, erá oliitaa por momento letore e orça ortante, omo motrao na Figura 5.1. orça ortante momento letor Figura 5.1 Soliitaçõe em viga Na viga e onreto armao, o momento letore e a orça ortante ão reponávei pela eitênia e oi tipo e armaura (Figura 5.): longituinal, para reitir armaura para ao momento letore; e momento letor tranveral, para reitir à orça ortante. armaura para orça ortante armaura para momento letor orte Nete apítulo ó erão etuaa a armaura longituinai, ou eja, a armaura neeária para reitir ao momento letore. Figura 5. rmaura e viga e onreto armao Seguno o item a BNT NBR 6118, a viga iam araterizaa quano: l/h 3 para viga iotátia; e l/h para viga ontínua; one: l é o omprimento o vão teório (ou o obro o omprimento teório, no ao e balanço); e h é a altura total a viga. Viga om relaçõe l/h menore evem er trataa omo viga-paree upr/t405

2 5. Vão eetivo e viga Seguno a 6118, item , o vão eetivo (Figura 5.3) poe er alulao pela eguinte epreão: om one: a a 1 l e l 0 t h l l + a + a Equação 5.1 e 0 0,5 t1 min 0,3h 0,5 t min 0,3h 1 vão eetivo a viga; itânia entre ae e oi apoio oneutivo; omprimento o apoio paralelo ao vão a viga analiaa; altura a viga. h viga l e l 0 pilar t 1 t Figura 5.3 Vão eetivo e viga 5.3 Etao limite último omínio a BNT NBR Domínio, 3 e 4 Quano a apreentação o omínio a BNT NBR 6118 (Figura [4.7]) oi vito que a peça e onreto armao oliitaa omente por momento letor (viga) eriam poívei apena no omínio, 3 e 4, omo reprouzio na Figura 5.4. Deta Figura eve er obervao que: no omínio! o onreto não hegou ao eu enurtamento limite (3,5 ), pouino, aina, uma erta reerva e apaiae reitente;! o aço hegou ao eu alongamento máimo (10 ), teno egotao ua apaiae reitente; e! a viga, e ubmetia a um arregamento uperior ao e projeto, eve apreentar um quaro e iuração intena evio ao eeivo alongamento a armaura (e o onreto ajaente); no omínio 3 (eção ubarmaa)! o onreto hegou ao eu enurtamento limite (3,5 ), teno egotao ua apaiae reitente;! o aço tem eu alongamento ompreenio entre ε y e 10, pouino, aina, uma boa reerva e apaiae reitente; e! a viga, e ubmetia a um arregamento uperior ao e projeto, eve apreentar um quaro e iuração epreivo evio ao ato a armaura (e o onreto ajaente) apreentar alongamento onierável; upr/t405

3 no omínio 4 (eção uperarmaa)! o onreto poe etar próimo e ultrapaar eu enurtamento limite (3,5 ), teno egotao, por inteiro, ua apaiae reitente;! o aço tem eu alongamento ompreenio entre 0 e ε y, pouino uma grane reerva e apaiae reitente; e! a viga, e ubmetia a um arregamento uperior ao e projeto, não eve apreentar um quaro e iuração tão pereptível quanto ao o omínio e 3 evio ao pequeno alongamento a armaura (e o onreto ajaente). ε 3,5 0,000 3 S 0,59,34 4,34 0,59,34 C-5: 0,77 C-50: 0,68 C-60: 0,585 y σ 4 uperarmaa ubarmaa 3 ε y 10 ε Figura 5.4 Domínio poívei para viga e onreto armao viga, quano imenionaa no omínio 4 (uperarmaa), poem, em ao e uma eventual obrearga imprevita, er onuzia a uma ruptura rágil (em avio prévio poi o onreto rompe bruamente em que a armaura tenha egotao ua apaiae reitente). viga imenionaa no omínio e 3 (ubarmaa) têm, evio a oniçõe mai aequaa a poição a linha neutra, garantia boa oniçõe e utiliae, eno onuzia, para uma onição avera e arregamento, a ruptura om avio prévio (a armaura eoa ante o rompimento o onreto motrano um quaro viível e eterioração a viga). O omportamento e viga, e ubarmaa ou uperarmaa 1, ia einio pela paagem o omínio 3 para o omínio 4 (Figura 5.4), que orrepone à reta 3-4 einia pela Equação [4.8]. Deta orma é poível etabeleer, matematiamente, a onição para omportamento e viga ubarmaa (eejao) e uperarmaa (a er evitao), ou eja: 1 viga uperarmaa pouem, em geral, poua altura e eeiva armaura (aí o uper, no entio e eeiva quantiae e armaura), ao pao que a viga ubarmaa têm uma itribuição mai equilibraa e materiai (aí o ub, no entio e meno quantiae e armaura) upr/t405

4 0,77 C 5,34 ubarmaa,34 0,68 C 50 Equação 5. >,34 uperarmaa 0,585 C Reomenaçõe a BNT NBR 6118 BNT NBR 6118, item 16..3: Em relação ao ELU, além e e garantir a egurança aequaa, ito é, uma probabiliae uiientemente pequena e ruína, é neeário garantir uma boa utiliae, e orma que uma eventual ruína oorra e orma uiientemente aviaa, alertano o uuário. BNT NBR 6118, item 17..3: Na viga, prinipalmente na zona e apoio, ou quano eita reitribuição e eorço, é importante garantir boa oniçõe e utiliae, eno aotaa, e neeário, armaura e ompreão que garanta a poição a linha neutra (), repeitano-e o limite e introução a armaura e ompreão para garantir o atenimento e valore menore a poição a linha neutra (), que etejam no omínio ou 3, não onuz a elemento etruturai om ruptura rágil (uualmente hamao e uperarmao). ruptura rágil etá aoiaa a poiçõe a linha neutra no omínio 4, om ou em armaura e ompreão. BNT NBR 6118, item : apaiae e rotação o elemento etruturai é unção a poição a linha neutra no ELU. Quanto menor or /, tanto maior erá ea apaiae. Para melhorar a utiliae a etrutura na regiõe o apoio a viga ou e ligaçõe om outro elemento etruturai, memo quano não orem eita reitribuiçõe e eorço oliitante, a poição a linha neutra no ELU eve obeeer ao eguinte limite: / 0,50 para onreto om k 35 Pa; ou / 0,40 para onreto om k > 35 Pa. Ee limite poem er alterao e orem utilizao etalhe epeiai e armaura, omo por eemplo o que prouzem oninamento nea regiõe. O imenionamento e etalhamento e viga e onreto armao iam mai imple e or eguio, para toa a regiõe a viga (regiõe e apoio e aataa ele), o prerito no item a BNT NBR Deta orma, a melhora na oniçõe e utiliae a etrutura ia garantia e or aotao, para a poição a linha neutra, o valore limite (aí o.lim ) motrao na Figura 5.5 e na Equação ,500 k 35Pa, lim Equação 5.3 0,400 k > 35Pa upr/t405

5 ε 3,5 0,000 3 S 0,59,lim 4,lim 0,59,lim 0,500 k 35 Pa 0,400 k > 35 Pa σ 4 rágil 3 útil y Figura 5.5 Coniçõe e utiliae a BNT NBR 6118 ε y 10 ε 5.4 Ditribuição e tenõe na região e onreto omprimio Conorme vito em [4.1], o iagrama tenão-eormação impliiao e álulo (Figura [4.3]) permite, ao longo a altura y, a itribuição ontante e tenõe σ (região e R R σ 0,7 ε y S onreto omprimio), omo motrao na Figura 5.6. R eorço reitente e álulo l ε oliitaçõe e álulo Figura 5.6 Ditribuição e tenõe na região e onreto omprimio upr/t405

6 Da Figura 5.6, tem-e: ε 0,7 y Equação 5.4 ε Teno em vita que no omínio 3 e 4 o enurtamento o onreto ε é igual a 3,5 (Figura 5.4), a Equação 5.4 reulta: 3,5 0,7 y 3,5 y 0,8 Equação 5.5 BNT NBR 6118, item 17..-e: a itribuição e tenõe no onreto e az e aoro om o iagrama parábola-retângulo, einio em 8..10, om tenão e pio igual a 0,85, om einio em Ee iagrama poe er ubtituío pelo retângulo e altura 0,8 (one é a prouniae a linha neutra), om a eguinte tenão: 0,85 no ao a largura a eção, meia paralelamente à linha neutra, não iminuir a partir eta para a bora omprimia; 0,80 no ao ontrário. ierença e reultao obtio om ee oi iagrama ão pequena e aeitávei, em neeiae e oeiiente e orreção aiional. Como poe er obervao, a BNT NBR 6118, item 17..-e, etene o reultao alançao pela Equação 5.5 a too o omínio, inluive o omínio, eiano e er neeário repreentar o valor e y omo unção a eormação ε (Equação 5.4). Cabe ao engenheiro reponável pelo projeto etrutural a opção em aotar o proeimento motrao Capítulo [4] 1, one a altura o retângulo e tenõe e ompreão é etabeleia em unção o enurtamento a ibra e onreto mai omprimia e a poição a linha neutra (y y(ε, ) Equação 5.4), ou aotar a impliiação previta no item 17..-e a BNT NBR 6118, one a altura o retângulo e tenõe e ompreão é etabeleia em unção apena a poição a linha neutra (y 0,8 Equação 5.5). Teno em vita que o prerito no item 17..-e a BNT NBR onuz a uma itemátia e álulo mai imple, a Equação 5.5 erá uaa na eterminação a equaçõe e imenionamento e veriiação e armaura longituinal e viga e onreto armao. ina, eguino o que prereve o item 17..-e a BNT NBR 6118, o valor a tenão e ompreão (σ ) eve obeeer ao motrao na Figura 5.7, para a onição y 0,8. σ 0,85 σ 0,80 y 0,8 linha neutra y 0,8 linha neutra Figura 5.7 Valor e tenão e ompreão na região e onreto omprimio 5.5 Variávei aimenionai - ELU Elemento geométrio e eçõe retangulare Seja a Figura 5.8 one ão motrao, entre outro: o eorço reitente e álulo (R e R ), a poição a linha neutra (), a altura o retângulo e tenõe e ompreão (y), a itânia entre o eorço reitente e álulo (z) e a altura útil a viga (). 1 Ver Eemplo [4.1], item e Eemplo [4.], item upr/t405

7 0,5 y R σ ε y 0,8 h R z S b R ε l eorço reitente e álulo oliitação e álulo Figura 5.8 Soliitação e eorço reitente em viga e onreto armao Da Figura 5.8 e levano-e em onta a Equação 5.5, tem-e: poição a linha neutra 1 ε ε + ε ε ε + ε altura o retângulo e tenõe σ y 0,8 0,8 y y 0, 8 braço e alavana entre o eorço reitente e álulo R e R z 0,5 y z 0,5 ( 0,8 ) z 0,4 1 0,4 z z 1 0, 4 grupano toa a variávei geométria, e riano a variável auiliar, tem-e: ε ε + ε poição a linha neutra y z y 0,8 z 1 0,4 altura o retângulo e tenõe σ braço e alavana entre R e R Equação 5.6 0,68 z 0,68 ( 1 0,4 ) variável auiliar Equação 5.6 motra que a variávei aimenionai y, z e ão unçõe ireta e. Deta orma, uma vez onheia a poição a linha neutra ( ), too o emai elemento 1 Ver Equação [4.3]. Ver Equação upr/t405

8 geométrio ( y, z e ) iam igualmente einio. Equação 5.6 permite agrupar o valore e omo motrao na Tabela 5.1. y z 0,100 0,080 0,960 0,065 0,59 0,07 0,896 0,158 0,585 0,468 0,776 0,305 0,68 0,50 0,749 0,30 0,77 0,618 0,691 0,363 Tabela 5.1 Valore e y, z, e omo unção e 5.5. Diagrama aimenional tenão-eormação o aço Conorme vito em [4..], o iagrama tenão-eormação o aço tem o apeto motrao ε 3,5 ε y 1,0 σ ε y y ε E y 10 ε na Figura 5.9. Neta Figura optou-e por apreentar ete iagrama e orma aimenional, om a introução o valore e e ao pela Equação ,0 σ Figura 5.9 Diagrama aimenional tenão- -eormação o aço y E Pa σ y σ y ε E ε E y y 1,0 1,0 Equação 5.7 Seja a Figura 5.10 one ão motrao, entre outro: o eorço reitente e álulo (R, R e R ), a poição a linha neutra (), a altura útil a viga (), a poição a armaura omprimia ( ), o enurtamento a ibra e onreto mai omprimia (ε ), o enurtamento a armaura omprimia (ε ) e o alongamento a armaura traionaa (ε ) upr/t405

9 upr/t405 Figura 5.10 longamento e enurtamento a armaura Da Figura 5.10 e levano-e em onieração a Equação 5.6, a Figura 5.4 e a Figura 5.9, tem-e: alongamento a armaura traionaa 1 1 ε ε ε 1 ε ε > ε omínio 3 e 4 0,59 3,5 1 omínio 0,59 10 X X Equação 5.8 enurtamento a armaura omprimia ε ε ε 1 ε ε ε 1 ε ε ε 1 Ver Equação [4.15], Equação [4.16] e Equação [4.17]. Ver Equação [4.1], one oi onieraa a onvenção e inai a Figura [4.8]. σ R y l ε S eorço reitente e álulo oliitaçõe e álulo ε R R R ε

10 X 0, omínio ε Equação 5.9 X > 0,59 3,5 omínio 3 e 4 aoiação a Equação 5.7 om a Equação 5.8 e om a Equação 5.9 reulta: σ σ y y 1,0 E 1 y E E y y 10 1,0 1 3,5 1,0 3,5 1,0 X 0,59 omínio X > 0,59 omínio 3 e 4 X 0,59 omínio X > 0,59 omínio 3 e 4 Equação 5.10 Equação 5.10 emontra que e ão unçõe e, a relação / e a ategoria o aço ( yk ). im omo eito para a variávei y, z, e (Tabela 5.1), é poível aoiar o valore e a valore pré-iao e e ( /), omo motrao na Tabela 5., eita para o aço C C-50 para ( /) y z 0,05 0,10 0,15 0,100 0,080 0,960 0,065 0,68 0,59 0,07 0,896 0,158 0,71 0,68 0,50 0,749 0,30 0,800 0,640 0,680 0,370 0,4 Tabela 5. Fleão imple C-50 Figura 5.4 poe, também, er apreentaa om o iagrama aimenional tenão-eormação o aço, omo motrao na Figura tabela ompleta ão apreentaa em upr/t405

11 ε 3,5 0,000 3 S 0,59,lim 4,lim 0,59,lim 4 3 0,500 k 35 Pa 0,400 k > 35 Pa rágil útil 1,0 ε ε y 10 Figura 5.11 Viga - omínio e iagrama aimenional o aço 5.6 Ineação e área omprimia Para a araterização e área omprimia e orreponente eorço reitente e álulo (orça e momento), erá uaa a eguinte ineação (Figura 5.1): ínie 1! área e onreto omprimio e largura b e altura y;! orça reitente e álulo (R 1 ) einia pelo prouto (b y) σ ; e! momento reitente e álulo ( R1 ) einio pelo prouto R 1 z. ínie ou plia ( )! área e armaura omprimia ( );! orça reitente e álulo (R ) einia pelo prouto σ ; e! momento reitente e álulo ( R ) einio pelo prouto R ( ). ínie 3! área e onreto omprimio e largura (b - b ) e altura h ;! orça reitente e álulo (R 3 ) einia pelo prouto [(b - b ) h ] σ ; e! momento reitente e álulo ( R3 ) einio pelo prouto R 3 ( h /) upr/t405

12 b R σ ε h h R z R 3 R 1 R ε y S ε b R R1 + R + R3 eorço reitente e álulo l oliitação e álulo Figura 5.1 Ineação e área omprimia 5.7 rmaura longituinai máima e mínima rmaura mínima ruptura rágil e eçõe tranverai e viga e onreto armao poe, também, oorrer evia a poua quantiae e armaura. Viga om baia taa e armaura longituinal têm omportamento emelhante ao a viga e onreto imple, one a ruptura em avio prévio poe oorrer imeiatamente apó o apareimento a primeira iura eorrente e oliitaçõe normai (momento letor). BNT NBR 6118, item , eine a taa e armaura longituinal mínima omo eno:,min ρ min Equação 5.11 e aota o eguinte valore: 0,035 ρmin ma y eçõe retangulare 0,15% 0,04 eçõe T ma ρmin y Equação 5.1 mea omprimia 0,15% 0,031 eçõe T ma ρmin y mea traionaa 0,15% Na eçõe T, a área a eção a er onieraa eve er araterizaa pela alma areia a mea olaborante. Para viga e eção retangular, a taa e armaura mínima poe er eprea por:,min 0,035 ρ min ma y b h Equação ,15% upr/t405

13 5.7. rmaura máima O Capítulo [4] motrou epreõe para a eterminação e armaura traionaa ( ) e e armaura omprimia ( ), em nenhuma limitação e valore. Eta não limitação para a quantiae e armaura poe ar a ala impreão e que empre eria poível eterminar um onjunto ela ( e ) que, ompono om a imenõe a eção tranveral e om a reitênia o materiai ( e y ), eria apaz e reitir a qualquer oliitação e álulo. BNT NBR 6118 apreenta valore máimo para a armaura longituinai traionaa ou omprimia. BNT NBR 6118, item : epeiiação e valore máimo para a armaura eorre a neeiae e e aegurar oniçõe e utiliae e e e repeitar o ampo e valiae o enaio que eram origem à preriçõe e unionamento o onjunto aço-onreto. BNT NBR 6118, item : oma a armaura e tração e ompreão ( + ) não evem ter valor maior que 4%, alulaa na região ora a zona e emena. O item a BNT NBR 6118 poe er repreentao por: ( + ) ma ρ ma 4% Equação 5.14 apliação ireta a Equação 5.14, para eçõe T, poe onuzir a viga e iíil onretagem (eeo e armaura). Figura 5.13 b motra uma eção retangular e uma eção T, e mema altura (h) e mema armaura traionaa ( ). h mitino-e que a armaura omprimia ( ) eja e pequena monta a eguinte ituação poe vir a oorrer: ( + ) ( + ) h ρ ret < 4% b h ρ ( + ) ( + ) T < b h + ( b b ) h 4% b b Figura 5.13 Comparativo entre eçõe retangulare e T Como poe er obervao na Figura 5.13, no retângulo b h a quantiae e armaura ão iguai tanto para eção retangular omo para a eção T. Ito no leva a onluir que a veriiação a taa máima e armaura em eçõe T eve er eita tanto para a eção total omo para a eção b h., e tal orma que: ( + ) 4% b h + ( b b ) h ρt ( + ) 4% b h Como a onentração e armaura empre oorre no retângulo b h, a veriiação a taa máima e armaura em eçõe retangulare e eçõe T poe, e moo impliiao, er eita a eguinte orma: ( + ) ma ρ ma 4% Equação 5.15 b h upr/t405

14 5.8 Viga e eção retangular em armaura e ompreão Seja a Figura 5.14 one ão motrao, entre outro, a oliitação e álulo ( S ), o eorço reitente e álulo (R e R ), o elemento geométrio reerente à eção tranveral a viga (, y, z,, b e h), a eormaçõe (ε e ε ) e a área e armaura ( ). ε y 0,8 R R 1 σ h 1 z R R1 S b R ε l eorço reitente e álulo oliitação e álulo Figura 5.14 Viga e eção retangular em armaura e ompreão Da Figura 5.14 e onierano a equaçõe anteriormente apreentaa, tem-e: elemento geométrio a eção retangular (Equação 5.6) y y z z valore geométrio aimenionai (Equação 5.6) 0,8 y z 1 0,4 0,68 z valor aimenional a tenão na armaura traionaa (Equação 5.10) X 0,59 1,0 omínio σ y E 1 X > 0,59 3,5 1,0 y omínio 3 e 4 onição e egurança R S eorço reitente e álulo R 1 R momento letor (binário) evio ao eorço reitente e álulo R R1 R 1 R1 z R z eorço reitente e álulo atuante na região e onreto omprimio e largura b R b y σ 1 R R R ( ) ( b )( 0,8 )( 0,85 ) 0,68( b )( )( ) 0,68 ( b )( ) upr/t405

15 eorço reitente e álulo atuante na armaura traionaa R σ R R y y binário R1 /R 1 R z R 1 1 R 1 z 0,68 ( b )( ) z z 1 0, 4,68 4 R1 R1 R1 R1 R1 z 0,68 ( 1 0, ) [ 0,68 ( b )( )]( ) 0 ( 0,68 )( b ) 1 b z ( 0,68 )( 1 0,4 )( b ( 0,68 )( 1 0,4 )( b ) ( 0,68 ) ( 0, ) R b 7 R1, ,7b z 1,5 1,565 0,7b binário R1 /R R z R R 1 y z z R1 ( )( ) z R1 y y z R1 equilíbrio o eorço reitente e álulo R 0,68 b R 1 R R 1 y y ( )( ) 0,68 0,68b y ( b )( ) upr/t405

16 equaçõe prinipai R R R1 z S R1 b 1,5 1,0 E 1 y R1 y 0,68b y 1,565 0,7b R1 3,5 1,0 y z 0,59 > 0,59 0,8 1 0,4 0,68 z Equação Dutiliae utiliae e uma viga ia garantia pela onição etabeleia na Equação 5.3, ou eja:,lim 0,500 0,400 k k 35Pa > 35Pa aoiação a Equação 5.6 om a Equação 5.3 torna poível etabeleer, também, valore limite e que garantam a onição e utiliae e uma viga, ou eja: 0,7 k 35Pa,lim Equação ,8 k > 35Pa Por outro lao, aoiano R1 a Equação 5.16 om a Equação 5.17 torna-e poível etabeleer, também, valore limite para R1 que garantam a onição e utiliae e uma viga, ou eja: 0,7b k 35Pa R 1 R1,lim Equação ,8b k > 35Pa Tanto a Equação 5.3, omo a Equação 5.17, omo a Equação 5.18 repreentam a onição e utiliae e uma viga e onreto armao Equaçõe para imenionamento Conierano a oniçõe e: equilíbrio, ompatibiliae e egurança (Equação 5.16); utiliae (Equação 5.3 ou Equação 5.17 ou Equação 5.18); armaura mínima (Equação 5.13); e armaura máima (Equação 5.15), o imenionamento ou a veriiação e viga e eção retangular, em armaura e ompreão, poe er repreentao por: upr/t405

17 R1,lim S S ou z 0,7b k 35Pa 0,8b k > 35Pa não há neeiae e armaura e ompreão z R1,lim R b 1,0 E y R1 1,5 1 0,4 R1 y R1 1 0,68b y 0,7 0,8,min,ma k k 1,565 0,7b R1 3,5 1,0 35Pa tab z e > 35Pa 0,035 b h ma y 0,0015b h 0,04b h 0,500 0,400 0,59 > 0,59 k k 35Pa > 35Pa Equação 5.19 Eemplo 5.1: Determinar a armaura neeária para a viga abaio iniaa, a qual etá ubmetia a um momento letor oliitante e álulo ( S ) igual a 15 knm. Dao: onreto: C0; e aço: C-50. Conierar: omente oliitaçõe normai (momento letore); e etao limite último, ombinaçõe normai (γ 1,4 e γ 1,15). 45 m S 15 knm 0 m 5 m Solução: olução o problema onite na apliação ireta a Equação olução ia ailitaa e or eita a utilização a tabela e leão imple o C-50 (item 5.16). a. Dao - uniormização e uniae (kn e m) 0 Pa,0 kn/m k γ 1,40 (ELU - ombinação normal) upr/t405

18 ,0 k γ 1,40 1,43 kn/m yk 500 Pa 50 kn/m γ 1,15 (ELU - ombinação normal) yk 50 y 43,5 kn/m γ 1,15 E 10 GPa Pa 1000 kn/m b 0 m 45 m h 50 m 0,035 b h,min ma y 0,0015 b h 1,43 0, ,15 m,min ma 43,5 1,50m 0, ,50 m 0,04b h, ma, ma 0, ,0m S 15kNm 1500kNm R1,lim 0,7b k 35Pa R 1,lim 0, , kNm não há neeiae e armaura e ompreão { S < R1,lim kNm kNm S R R kNm b. Linha neutra ( ) 1,5 1,565 0,7b R1 0, ,5 1,565 0,373 < 0,500 0, ,43. Braço e alavana ( z ) 1 0, z 4 ( 0,4 0,373) 0, 851 z 1. Tenão na armaura ( ) E 1 3,5 1,0 > 0,59 y ,373 3,5,840 > 43,5 0, e. Cálulo a armaura ( ) R1,min z y,ma 1500 > 1,50 m 7,50 m 0, ,5 < 40,0m 7,50m (armaura alulaa),al OK OK upr/t405

19 . Reolução om uo e tabela R1 0,7 b ,16 < 0, ,43 0,373 0,16 0, z tabela R1,min z y,ma OK 1500 > 1,50 m 7,50 m 0, ,5 < 40,0m 7,50m (armaura alulaa),al g. Veriiação 0,68b y 0, ,43 0,373 1,001 OK 7,50 43,5 OK 5.9 Dipoição a armaura itribuição e o poiionamento orreto a armaura entro a eção tranveral e φ t φ l a h a v uma viga ontitui ator e uma importânia para a urabiliae a etrutura e onreto. ipoição a armaura entro a eção tranveral a viga não poe obtruir a oloação o onreto reo, eveno permitir, om relativa olga, a introução e equipamento e vibração (Figura 5.15). ma Figura 5.15 Epaçamento horizontal e vertial e barra longituinai BNT NBR 6118, item : O epaçamento mínimo livre entre a ae a barra longituinai, meio no plano a eção tranveral, eve er igual ou uperior ao maior o eguinte valore: a) na ireção horizontal (a h ): 0 mm; iâmetro a barra, o eie ou a luva; 1, vez o iâmetro máimo o agregao 1 ; b) na ireção vertial (a v ): 0 mm; iâmetro a barra, o eie ou a luva; 0,5 vez o iâmetro máimo o agregao. 1 O orreto eria izer imenão máima o agregao. Ver Equação [.] upr/t405

20 Para eie e barra eve-e onierar o iâmetro o eie: φ n φ n. Ee valore e apliam também à regiõe e emena por trapae a barra. O item a BNT NBR 6118 poe er epreo pela Equação 5.0. a a h v m ma φl 1, m ma φl 0,5 ma ma Equação 5.0 Eemplo 5.: Determinar o máimo momento letor oliitante e álulo ( S ) que a viga abaio repreentaa poe uportar. Dao: onreto: C0; aço: C-50; armaura longituinal: 5 φ 16 mm; armaura tranveral: 6,3 mm; obrimento: 3 m; e imenão máima o agregao: 19 mm. Conierar: omente oliitaçõe normai (momento letore); e etao limite último, ombinaçõe normai (γ 1,4 e γ 1,15). 45 m S 0 m Solução: olução o problema onite na apliação ireta a Equação 5.19 e Equação 5.0, om o auílio a tabela e leão imple o C-50 (item 5.16). a. Dao - uniormização e uniae (kn e m) 0 Pa,0 kn/m k γ 1,40 k γ 1,40 (ELU - ombinação normal),0 1,43 kn/m yk 500 Pa 50 kn/m γ 1,15 (ELU - ombinação normal) yk 50 y 43,5 kn/m γ 1,15 b 0 m h 45 m nom 3 m φ t 6,3 mm 0,63 m upr/t405

21 ma 19 mm 1,9 m π 1,6,e 5 10,05 m (armaura eetiva) 4 0,035 b h,min ma y 0,0015 b h 1,43 0, ,04 m,min ma 43,5 1,35m 0, ,35 m 0,04b h, ma, ma 0, ,0m 1,35 m < 10,05 m < 36,00 m ,min,ma OK b. Veriiação e a h e a v b ( nom + φt + nφl ) ah n 1 b largura a viga nom obrimento nominal a armaura φ t iâmetro a armaura tranveral (etribo) φ l iâmetro a armaura longituinal n número e barra na amaa φ l 0 ( 3,0 + 0, ,6 ) a h 3,97 m φ t 3 1 m a h ma φl 1, ma m ah ma φl 1,6m,8m 1, ma 1, 1,9,8m y g φ t ah,al > ah,min OK { 1 3 3,97 m,8 m (y g + φ t + nom ) m a g v ma φl 0,5 ma φ l m av ma 1,6m φl,0m h 0,5 ma 0,5 1,9 0,95 m h - (y a v,0m (valor aotao) g + φ t + nom ). Determinação a altura útil () 1 h y g < y g < 4,5m 10 a h a v nom nom m (a v ) 1 BNT NBR 6118, item : O eorço na armaura poem er onierao no entro e graviae orreponente, e a itânia ete ento ao ponto a eção e armaura mai aataa a linha neutra, meia normalmente a eta, or menor que 10%. (Ver Figura 5.6) upr/t405

22 y g i yi i π 1,6 1,6 π 1,6 1,6 3 1,6, y,4 m π 1,6 π 1, h y g + φ + g < ( ) t nom (,44 + 0,63 + 3,0 ) 38,93m 45. omento limite ( R1,lim ) 0,7b R1,lim k 35Pa R 1,lim 0,7b 0,7 0 38,93 1, kNm e. Veriiação para valore eetivo 0,68b y 0, ,93 1,43 1, 73 10,05 43,5.1 1ª tentativa 1 0,577 1,73 z 0,769 0,577 0,30 1 tabela,73 1,73 0, omento oliitante e álulo ( S ) S R1 R b R1 R1 0, ,93 1, kNm > 11790kNm Ok R1,lim 4,5 m OK Como o valor R1 alulao ( knm) reultou maior que o valor limite R1,lim ( knm) ito igniia que a viga eta om eeo e armaura. Para que ejam mantia a oniçõe e utiliae a eção tranveral apreentaa é neeário que o valor e S ique limitao ao valor limite. Portanto: knm 117,9 knm S R1, lim S 117,9 knm O valor aumio obeee ao item a BNT NBR 6118 que limita a 0,500 o valor e (,lim ) para regiõe e viga próima a apoio, one oorrem momento negativo omo é o ao ete eemplo Viga e eção retangular om armaura e ompreão Conorme vito em 5.8, viga om imenõe aequaa e em armaura e ompreão, tem omportamento útil ee que ejam projetaa para uportar momento oliitante ineriore a um eterminao limite ( S R1,lim ). Quano o momento oliitante ultrapaam o valor limite, a utiliae a viga poe er garantia om o uo e armaura e ompreão, omo motrao na Figura Para tal bata orçar que a linha neutra mantenha-e no omínio ou no omínio upr/t405

23 manutenção a linha neutra no omínio (0,000 0,59) ou no omínio 3 (0,59,lim ) poe er alançaa om a einição o valor e que onuza ao imenionamento mai eonômio, ou eja, aquele que einir a menor quantiae total e armaura (menor + ). Em termo prátio, ito nem empre é poível. prátia omum é implemente aotar para o eu valor limite (.lim que orrepone a R1 R1,lim ), inepenentemente e qualquer etuo eonômio. R σ ε y 0,8 h 1 - z R 1 R R1 + R ε S R b v + 1 R v R + R 1 (R ) (R 1 ) Figura 5.16 Viga e eção retangular om armaura e ompreão Como motrao na Figura 5.16, o momento letor reitente e álulo R ( R S ) é ompoto por oi momento R1 e R. No que e reere a R1 valem toa a onieraçõe apreentaa em 5.8. Deenvolveno, para a Figura 5.16, um raioínio emelhante ao apreentao em 5.8, hega-e: valor aimenional a tenão na armaura omprimia (Equação 5.10) E X 0, ,0 y 1 omínio σ y E X > 0,59 3,5 1,0 y omínio 3 e 4 armaura omprimia R ( ) y armaura traionaa R1 R 1 + z ( ) y equação e veriiação 0,68b + y l ε eorço reitente e álulo oliitação e álulo upr/t405

24 Deta orma, a viga e eção retangular om armaura e ompreão, poem er repreentaa por: ( ) ( + ) R1,lim S R1 S ou R z 0,7b k 35Pa 0,8b k > 35Pa > há neeiae e armaura e ompreão R1,lim R R1 R1 z R1,lim R b R R1 R1 R ( ) y 0,04bh 0,68b y valor a er aumio (poe er + R 0,7 0,8 R1 0,500 1,5 1,565 0,7b 0, ,4 1,0 0,59 E 1 3,5 1,0 0,59 > y E 10 1,0 0,59 y 1 E 3,5 1,0 > 0,59 y + 1 y + k k,min k k R1 35Pa tab z, > 35Pa 0,035 b h ma y 0,0015b h e R1,lim 35Pa > 35Pa ) Equação 5.1 Eemplo 5.3: Determinar a armaura neeária para a viga abaio iniaa, a qual etá ubmetia a um momento letor oliitante e álulo ( S ) igual a 0 knm. Dao: onreto: C0; aço: C-50; armaura tranveral: 6,3 mm; obrimento: 3 m; e imenão máima o agregao: 19 mm. Conierar: omente oliitaçõe normai (momento letore); e etao limite último, ombinaçõe normai (γ 1,4 e γ 1,15) upr/t405

25 S 0 knm 50 m 0 m Solução: olução o problema onite na apliação a Equação 5.19 ou Equação 5.1 e a tabela e leão imple o C-50 (item 5.16). a. Dao - uniormização e uniae (kn e m) 0 Pa,0 kn/m k γ 1,40 k γ 1,40 (ELU - ombinação normal),0 1,43 kn/m yk 500 Pa 50 kn/m γ 1,15 (ELU - ombinação normal) yk 50 y 43,5 kn/m γ 1,15 b 0 m h 50 m 44 m (aumio) 4 m (aumio) nom 3 m φ t 6,3 mm 0,63 m ma 19 mm 1,9 m 0,035 b h,min ma y 0,0015 b h 1,43 0, ,15 m,min ma 43,5 1,50m 0, ,50 m ( + ) 0,04b h 0, ,0m ma S 0kNm 000kNm R1,lim 0,7b k 35Pa R 1,lim 0, , kNm há neeiae e armaura e ompreão { S > R1,lim kNm kNm R 1 R1, lim kNm kNm valor aotao (orrepone a R1, lim S R R1 + R 000kNm R R R1 R kNm ) upr/t405

26 b. Tabela C-50 R1 0,7 b ,7 eria ierente e 0,7 e ,43 0,500 0,7 z 0,800 { 4 tabela 0, R1 R 1 +, min z ( ) y ,8m 0, (44 4) 43,5 > 13,8m,al π,0,e 5 φ 0mm 5 15,71m ( amaa) 4 R ( ) y 6939 (44 4) 43,5,al 3,99m 3,99m π 1,6,e φ 16mm 4,0m ,71+ 4,0 19,73m 40,0m,e,e <. Veriiação para valore alulao 0,68b + y 0, ,43 3,99 0, ,8 43,5 13,8 OK. Veriiação e a h e a v para a barra e 0 mm b ( nom + φt + nφl ) ah n 1 b largura a viga nom obrimento nominal a armaura φ t iâmetro a armaura tranveral (etribo) φ l iâmetro a armaura longituinal n número e barra na amaa 0 ( 3,0 + 0,63 + 3,0 ) a h 3,37 m 3 1 m a h ma φl 1, ma m ah ma φl m,8 m 1, ma 1, 1,9,8 m R1 1,50 m OK oe ierente e OK φ l φ t a h R1,lim a v nom upr/t405

27 a,al { > a 1 h h,min 3 3,37 m,8 m OK m a v ma φl 0,5 ma m av ma φl m,0m 0,5 ma 0,5 1,9 0,95 m a v,0m (valor aotao) e. Determinação a altura útil () h y g < y g < 5,0m 10 i yi y g i π,0,0 π,0,0 3,0, y g,60 m < 5,0 m OK π,0 π h ( y g + φ t + nom ) nom + φ t + 0,5φ l 50,60 + 0,63 + 3,0 43,77 m < 44 ( ) m. Determinação e φl nom + φt + 1,6 3,0 + 0,63 + 4,43 m > 4m h (y g + φ t + nom ) h - (y g + φ t + nom ) y g φ l φ t g φ t φ l m (a v ) nom nom g. Cálulo a armaura para novo valore e e R 1 0,7b 0,7 0 43,77 1, kNm kNm R ,7 eria ierente e 0,7 e 0 43,77 1,43 0,7 4,43 43,77 13 tabela 0,101 z 0, ,93 m 0,800 43,77 (43,77 4,43) 43,5 > 13,93m,al π,0,e 5 φ 0mm 5 15,71m 4 h R1 oe ierente e 1,50 m OK R1,lim upr/t405

28 7097 (43,77 4,43) 43,5,al 4,15m 4,15 m π 1,6 π 1,0,e φ16mm + 1φ10mm + 4 4,e +,e 15,71+ 4,81 0,5 m < 40,0 m OK 4,81m h. Reolução para R1 < R1,lim 43,77 m (aumio) 4,43 m (aumio) R 1,lim 0,7b 0,7 0 43,77 1, kNm kNm R 1 R1, lim R1 R 10958kNm valor aotao kNm 1104kNm , ,77 1,43 < 0,00 4,43 43,77 13 tabela 0,101 z 0,7 0, ,11m > 1,50m 0,864 43,77 (43,77 4,43) 43,5 13,11m,al OK π,0,e 5 φ 0mm 5 15,71m ,45m (43,77 4,43) 43,5,al 6,45m π,0 π 1,0,e φ 0 mm + 1φ10 mm ,71+ 7,07,78 m 40,0m OK,e,e < i. Comparação e reultao g.1 valore teório (valore alulao e e ) knm R 1 R1, lim R 1 13,93m,al,al 4,15m,al,al + 13,93 + 4,15 18,08m 10958kNm 13,11m,al,al 6,45m,al +,al 13,11+ 6,45 19,56 m + g. valore reai (valore eetivo e e ) kNm R 1 R1, lim 15,71m,e 7,07 m 8,% OK upr/t405

29 R 1,e 4,81m,e,e + 15,71+ 4,81 0,5m 10958kNm 15,71m,e,e 7,07m,e +,e 15,71+ 7,07,78 m + 11% 5.11 Viga e eção T em armaura e ompreão Região e onreto omprimio região e onreto omprimio, em uma viga e eção T, poe oorrer e trê moo itinto omo apreentao na Figura b b b h y y y b b b y < h y h y > h Figura 5.17 Regiõe e onreto omprimio em viga e eção T ituação em que toa a mea etá omprimia, orrepone a: y h y h Conierano a Equação 5.6, tem-e: y h y y h 0,8 0,8 h h h h 0,68 ( 1 0,4 ) 0,68 1 0,4 0,85 0,8 0,8 Levano-e em onta a oniçõe etabeleia na Figura 5.14, uja região omprimia é einia pelo retângulo e imenõe b y, tem-e, pela Equação 5.16: b R1 R1 h 0,85 h b 0,85 ( b h ) No ao partiular em que b (a Figura 5.14) or igual a b (a Figura 5.17), e einino, para ete ao, R1 omo eno o momento reitente e álulo reitio pela mea omprimia a eção T, tem-e: h R1 R,mea 0,85 ( b h ) upr/t405 h