DIMENSIONAMENTO DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO AO ESFORÇO CORTANTE

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1 1309 Etrutura de Conreto II Dimenionamento de iga de Conreto rmado ao Eforço Cortante 1 DIMENSIONMENTO DE IGS DE CONCRETO RMDO O ESFORÇO CORTNTE 1. INTRODUÇÃO Uma viga de onreto armado reite a arregamento externo primariamente pela mobilização de momento fletore (M) e força ortante (), omo motrado na fig. 1. De modo geral, no projeto de uma viga de onreto armado, o dimenionamento à flexão e o deloamento vertial (fleha) determinam a dimenõe da eção tranveral e a armadura longitudinal. O dimenionamento da viga ao eforço ortante é normalmente feito na eqüênia, determinandoe a hamada armadura tranveral. M M M + dm dx Fig. 1 Eforço oliitante na viga. ruptura de uma viga por efeito da força ortante é freqüentemente violenta e frágil, devendo empre er evitada, o que e obtém fazendo a reitênia da viga à força ortante uperior à ua reitênia à flexão. armadura de flexão deve er proporionada de tal modo

2 1309 Etrutura de Conreto II Dimenionamento de iga de Conreto rmado ao Eforço Cortante 2 que, e vier a oorrer a ruptura, deve er por flexão, de modo que e deenvolva lenta e gradualmente, ou eja, é neeário garantir uma boa dutilidade, de forma que uma eventual ruína oorra de forma ufiientemente aviada, alertando o uuário (NBR 6118/2003, item ). O iten eguinte apreentam a análie teória e o proedimento apliado pela nova NBR 6118/2003 ( Projeto de etrutura de onreto Proedimento ) para o projeto de viga de onreto armado ao eforço ortante. reitênia da viga à força ortante erá proporionada pelo onreto omprimido, por meio da biela de ompreão, e por uma armadura tranveral (normalmente na forma de etribo vertiai), onvenientemente dimenionada. baixa reitênia do onreto à tração erá deprezada, omo feito também no ao do dimenionamento da viga à flexão. 2. COMPORTMENTO DE IGS HOMOGÊNES NO ESTÁDIO I Conidere a viga não fiurada de eção retangular, biapoiada e ob arregamento uniformemente ditribuído, omo motrado na fig. 2. Sejam doi elemento infiniteimai 1 e 2 da viga de material homogêneo, iótropo (material que apreenta propriedade de deformação iguai para qualquer direção) e elátio linear. p 2 1 L.N. h a b a 2 a 2 Linha Neutra a 1 a 1 y Fig. 2 Tenõe na viga homogênea. t

3 1309 Etrutura de Conreto II Dimenionamento de iga de Conreto rmado ao Eforço Cortante 3 tenõe normai de tração e de ompreão, atuante ao nível do plano a 1 e a 2, repetivamente, aim omo a variação da tenão de ialhamento ao longo da altura da viga, enontram-e indiada na fig. 2. Da teoria láia da Reitênia do Materiai, a tenão normal e a tenão de ialhamento no elemento 1 ão: M y σ I Sy τ b I om: M e momento fletor e força ortante na eção a-a; y ditânia do elemento 1 à linha neutra; S y momento etátio da área oniderada em relação à linha neutra; I momento de inéria da eção tranveral; b largura da viga. fig. 3 e 4 motram o etado de tenão no elemento 1 e 2, bem omo o írulo de Mohr orrepondente. yx L.N. R xy x y x xy x 1 R t I yx máxima tenão de ialhamento 0 2 tenão prinipal de ompreão II tenão prinipal de tração I Fig. 3 - Tenõe no elemento 1.

4 1309 Etrutura de Conreto II Dimenionamento de iga de Conreto rmado ao Eforço Cortante 4 yx R xy x y x x L.N. 2 v Rt II yx 2 máxima tenão de ialhamento tenão prinipal de ompreão II tenão prinipal de tração I Fig. 4 - Tenõe no elemento COMPORTMENTO RESISTENTE DE IGS N FLEXÃO COM FORÇ CORTNTE Conidere uma viga de onreto biapoiada, ob arregamento uniforme, om momento fletore e força ortante omo indiada na fig. 5. O arregamento induz o urgimento de etado de tenão no vário ponto da viga, que podem er repreentado por um onjunto de diferente omponente, em função da orientação do itema de eixo oordenado. fig. 5 motra doi ponto da viga om o etado de tenão dee ponto repreentado, onforme o eixo oordenado x-y e o eixo prinipai. O eixo x-y definem, entre outra, a tenõe normai σ x e a tenõe de ialhamento τ xy, e o eixo prinipai definem a tenõe prinipai de tração σ I e de ompreão σ II. De modo geral, a tenão σ y pode er deprezada, tendo importânia apena no treho próximo à introdução de força.

5 1309 Etrutura de Conreto II Dimenionamento de iga de Conreto rmado ao Eforço Cortante 5 X y X X ( + ) ( - ) x yx x y ( - ) II ( + ) I + y y 0 y Fig. 5 Repreentação do etado de tenão por diferente omponente de tenão. Na fig. 6 ão motrada a trajetória da tenõe prinipai σ I e σ II, inlinada de 45 (ou 135 ) om o eixo longitudinal da viga, na altura da linha neutra. É importante obervar que a trajetória apreentam-e aproximadamente perpendiulare entre i. O dimenionamento da etrutura de onreto armado toma omo bae normalmente a tenõe σ x e τ xy. No entanto, onheer a trajetória da tenõe prinipai é importante para e poiionar orretamente a armadura de tração e para onheer a direção da biela de ompreão. Conidere agora a viga de onreto armado biapoiada motrada na fig. 7, ubmetida a dua força onentrada P de igual intenidade, om armadura longitudinal e tranveral, para reitirem à tenõe de tração. armadura longitudinal de tração é ompota pela ino barra poiionada próxima à fae inferior da viga. No lado equerdo da viga a armadura tranveral é ompota por apena etribo vertiai, e no lado direito é ompota por etribo vertiai ombinado om barra longitudinai dobrada a 45. Nota-e que no treho da viga entre a força onentrada a oliitação é de flexão pura ( 0). fig. 7a motra a trajetória da tenõe prinipai de tração e de ompreão, emelhante àquela já indiada na fig. 6. Oberve que no treho de flexão pura a trajetória da tenõe de ompreão e de tração ão paralela entre i e om o eixo longitudinal da viga. No demai treho a trajetória da tenõe prinipai inlinam-e, por influênia da atuação da força ortante.

6 1309 Etrutura de Conreto II Dimenionamento de iga de Conreto rmado ao Eforço Cortante 6 Fig. 6 - Trajetória da tenõe prinipai em uma viga biapoiada no Etádio I. (LEONHRDT & MÖNNIG ). Para pequeno valore da força P não oorrem fiura, permaneendo toda a viga no Etádio I. Com o aumento da força P e oneqüentemente da tenõe prinipai, no intante que a tenão de tração upera a reitênia do onreto à tração, urgem a primeira fiura no treho de flexão pura, hamada fiura de flexão. fiura de flexão ão aquela que iniiam na fibra mai traionada e prolongam-e em direção à linha neutra, onforme aumenta o arregamento externo apliado. preentam-e aproximadamente perpendiulare ao eixo longitudinal da viga e à trajetória da tenõe prinipai de tração. O treho fiurado paa do Etádio I para o Etádio II e o treho entre o apoio e a força onentrada, em fiura, permaneem no Etádio I (fig. 7b). Para ete nível de arregamento a viga apreenta treho no Etádio I e II. Continuando a aumentar a força P, outra fiura de flexão ontinuam a urgir, e aquela já exitente aumentam de abertura e prolongam-e em direção ao topo da viga (fig. 7). No treho entre o apoio e a força P, a fiura de flexão inlinam-e, devido à inlinação da tenõe prinipai de tração σ I. Ea fiura ão hamada de fiura de flexão om força ortante (ou fiura de flexão om ialhamento). Na proximidade do apoio, omo a influênia do momento fletore é muito pequena, podem urgir fiura de ialhamento pura (ver fig. 8).

7 1309 Etrutura de Conreto II Dimenionamento de iga de Conreto rmado ao Eforço Cortante 7 Fig. 7 - Comportamento reitente de uma viga biapoiada. (LEONHRDT & MÖNNIG ). tenõe de tração inlinada na alma exigem uma armadura denominada armadura tranveral, ompota normalmente na forma de etribo vertiai fehado. Note que, na região

8 1309 Etrutura de Conreto II Dimenionamento de iga de Conreto rmado ao Eforço Cortante 8 de maior intenidade da força ortante, a inlinação mai favorável para o etribo eria de aproximadamente 45, ou eja, paralelo à trajetória da tenõe de tração e perpendiulare à fiura. Por razõe de ordem prátia o etribo ão normalmente poiionado na vertial, o que o torna meno efiiente e omparado ao etribo inlinado. oloação de armadura tranveral evita a ruptura prematura da viga e, além dio, poibilita que a tenõe prinipai de ompreão poam ontinuar atuando, em maiore retriçõe, entre a fiura inlinada próxima ao apoio. Fig. 8 - Fiura na viga no Etádio II (LEONHRDT & MÖNNIG ). O omportamento da região da viga ob maior influênia da força ortante e om fiura inlinada de ialhamento no Etádio II, pode er muito bem derito fazendo-e a analogia om uma treliça iotátia (fig. 9). analogia de treliça onite em imbolizar a armadura tranveral omo a diagonai inlinada traionada (montante vertiai no ao de etribo vertiai), o onreto omprimido entre a fiura (biela de ompreão) omo a diagonai inlinada omprimida, o banzo inferior omo a armadura de flexão traionada e o banzo uperior omo o onreto omprimido aima da linha neutra. treliça iotátia om banzo paralelo e diagonai omprimida de 45 é hamada treliça láia de Ritter-Mörh. Sobre ela, Lobo Carneiro ereveu o eguinte: hamada treliça láia de Ritter-Mörh foi uma da onepçõe mai feunda na hitória do onreto

9 1309 Etrutura de Conreto II Dimenionamento de iga de Conreto rmado ao Eforço Cortante 9 armado. Há mai de meio éulo tem ido a bae do dimenionamento da armadura tranverai etribo e barra inlinada da viga de onreto armado, e etá muito longe de er abandonada ou oniderada uperada. pequia ugerem apena modifiaçõe ou omplementaçõe na teoria, mantendo no entanto o eu apeto fundamental: a analogia entre a viga de onreto armado, depoi de fiurada, e a treliça. Ea palavra ontinuam válida até o preente momento. R R R b R b a) armadura tranveral a 45 b) armadura tranveral a 90 Fig. 9 - nalogia de treliça para a força interna na região de eforço ortante de uma viga. (LEONHRDT & MÖNNIG ). analogia é feita om treliça iotátia om diagonai traionada imple, ditante entre i de tal forma que alguma fiura podem não er intereptada. Deve-e imaginar, portanto, a exitênia de uma treliça om diagonai traionada múltipla (fig. 10 a) ou treliça em malha (fig. 10 b). treliça em malha é altamente hiperetátia internamente e é implifiadamente oniderada omo a uperpoição de vária treliça iotátia, deloávei entre i. Fig. 10 Treliça múltipla ou em malha (LEONHRDT & MÖNNIG ).

10 1309 Etrutura de Conreto II Dimenionamento de iga de Conreto rmado ao Eforço Cortante 10 O etribo devem etar próximo entre i a fim de intereptarem qualquer poível fiura inlinada devido ao eforço ortante, o que leva à neeidade da treliça múltipla. Uma ruptura preoe pode oorrer quando a ditânia entre a barra for 2 z para etribo inlinado a 45 e > z para etribo a 90 (fig. 11). 2 z fiura de ialhamento z fiura de ialhamento Fig nalogia láia de uma viga om uma treliça. 4. FORMS DE RUPTUR POR FORÇ CORTNTE Quando a tenõe prinipai de tração inlinada σ I alançam a reitênia do onreto à tração, urgem a primeira fiura de ialhamento, perpendiulare à direção de σ I, omo motrado na fig. 7 e 8. À medida que a fiura vão urgindo oorre uma reditribuição do eforço interno, e a armadura tranveral e a diagonai omprimida paam então a trabalhar de maneira mai efetiva. reditribuição de eforço depende da quantidade e da direção da armadura tranveral, o que leva a divero tipo de ruptura por força ortante. Com o aumento do arregamento a fiura de flexão na região de maiore força ortante propagam-e om trajetória inlinada, dando origem à hamada fiura de flexão om ialhamento. Se a armadura tranveral for inufiiente, o aço atinge a deformação de iníio de eoamento (ε y ). fiura inlinada de ialhamento próxima ao apoio deenvolvem-e rapidamente em direção ao banzo omprimido, diminuindo a ua eção reitente, que por fim pode e romper bruamente (fig. 12). falta de armadura tranveral também pode levar a eta forma de ruptura. fiura propaga-e também pela armadura longitudinal de tração na proximidade do apoio, eparando-a do retante da viga (fig. 12).

11 1309 Etrutura de Conreto II Dimenionamento de iga de Conreto rmado ao Eforço Cortante 11 Fig. 12 Ruptura de viga e laje por rompimento do banzo uperior omprimido de onreto. (LEONHRDT & MÖNNIG ). Pode também oorrer o rompimento do etribo, ante da ruptura do banzo omprimido, ou a ruptura na ligação da diagonai omprimida om o banzo omprimido. fig. 13 motra a ruptura que pode oorrer por rompimento ou deformação exeiva do etribo. Fig. 13 Ruína da viga por rompimento do etribo. (LEONHRDT & MÖNNIG ). Em eçõe om banzo reforçado, omo eçõe I, que pouam armadura longitudinal e tranveral reforçada, formam-e muita fiura inlinada, e a biela de ompreão entre a

12 1309 Etrutura de Conreto II Dimenionamento de iga de Conreto rmado ao Eforço Cortante 12 fiura podem romper de maneira brua ao atingir a reitênia do onreto à ompreão. Tal ruptura oorre quando a diagonai ão oliitada além do limite da reitênia do onreto à ompreão, ante que a armadura tranveral entre em eoamento (fig. 14). biela de ompreão delimitam o limite uperior da reitênia da viga ao eforço ortante, o que depende da reitênia do onreto. tenão de ompreão na biela depende da inlinação do etribo, omo e verá adiante. Fig Ruptura da diagonai omprimida no ao de armadura tranveral reforçada. (LEONHRDT & MÖNNIG ). 5. ESFORÇOS E TENSÕES N TRELIÇ CLÁSSIC DE MÖRSCH fig. 15 motra a treliça láia para uma viga, om força ortante ontante, om diagonai omprimida (biela de ompreão) inlinada de 45 e om diagonai traionada inlinada de um ângulo α qualquer. treliça é iotátia o que ignifia que a força na barra podem er determinada oniderando-e apena a ondiçõe de equilíbrio do nó, a partir do eforço ortante. treliça equematizada repreenta uma da divera treliça iotátia, que, junta, formam a treliça múltipla ou em malha, que é internamente hiperetátia. Sendo a força ortante que atua na eção 1-1 da fig. 15, a força ou reultante na diagonai omprimida (biela de ompreão - R b ) é: R b en 45 (1) R b 2 (2) en 45 R b 45

13 1309 Etrutura de Conreto II Dimenionamento de iga de Conreto rmado ao Eforço Cortante 13 z 2 ( 1 + otg ) banzo omprimido diagonal omprimida P z 45 P 2 z ( 1 + otg ) z ( 1 + otg ) diagonal traionada banzo traionado Fig Treliça láia de Mörh. força em ada diagonal omprimida é relativa à ditânia ( 1 + otg α) oniderando-e a largura b da viga, a tenão média de ompreão na biela é dada por: z 2, e σ b b z 2 R b ( ) ( + α) 1+ otg α b z 1 otg σb (3) b z ( 1+ otg α) força ou reultante na diagonal traionada (R,α ) pode er determinada na eção 1-1 da fig. 15:, R α en α (4) R, α (5) en α R,

14 1309 Etrutura de Conreto II Dimenionamento de iga de Conreto rmado ao Eforço Cortante 14 Supondo que a reultante de tração, relativa à ditânia horizontal z (1 + otg α) na viga, eja aborvida por uma armadura tranveral, ompota por barra epaçada por um omprimento, a tenão σ na armadura tranveral traionada, inlinada de um ângulo α, reulta: σ, α R z, α ( 1+ otg α) z ( 1+ otg α) en α, α σ, α z ( en α + o α), α (6), 6. RELÇÕES D TRELIÇ CLÁSSIC PR ÂNGULOS α, 45 E 90 pear da láia analogia de treliça om um viga fiurada ter ido riada há era de em ano, a ua impliidade a faz ontinuar endo um modelo para o dimenionamento da armadura tranveral da viga. NBR 6118/2003 admite doi modelo para álulo da armadura, denominado Modelo de Cálulo I e II, endo que, no Modelo I, a treliça admitida é a treliça láia de Mörh, om banzo paralelo e biela de ompreão inlinada de 45. Tabela 1 reume a divera relaçõe poívei para a treliça láia em função do ângulo de inlinação da diagonal traionada. equação para determinação da tenão na diagonal omprimida motra que a tenão depende do ângulo α de inlinação da armadura de tração (etribo). Dio reulta que, omo a armadura tranveral a 90 não é favorável, a tenão na diagonal omprimida (biela de ompreão) é o dobro da mema tenão para a armadura a 45. O fato já enuniado da armadura tranveral inlinda de 45 er mai efiiente por aompanhar a inlinação da tenõe prinipai de tração σ I, fia evideniado ao e omparar a equaçõe da tenão na armadura tranveral (σ ). Nota-e que a armadura a 45 reulta 2 veze menor que a armadura a 90. No entanto, o etribo a 45 apreenta omprimento 2 veze maior que o etribo a 90, o que aaba levando a volume de armadura pratiamente iguai.

15 1309 Etrutura de Conreto II Dimenionamento de iga de Conreto rmado ao Eforço Cortante 15 Tabela 1 - Reumo da relaçõe para a treliça láia em função do ângulo α de inlinação da diagonai traionada. Relação α qualquer α 45 α 90 Reultante na diagonal omprimida (R b ) Tenão na diagonal omprimida (σ b ) 2 b z 1 1+ otg α b z 2 b z Reultante de tração (R ) en α en 45 Tenão na armadura tranveral (σ ) z 1 en α + o α z, α,45 2, 90 z 7. GENERLIZÇÃO D TRELIÇ CLÁSSIC O reultado experimentai obtido em numeroa pequia experimentai motraram que a treliça láia de Mörh onduz a armadura tranverai um pouo exagerada. oniliação de tai reultado om a hipótee báia de Mörh onduziu à idealização de uma nova treliça, a treliça generalizada. prinipai diferença entre a treliça ão: a) a inlinação da fiura é menor que 45 ; b) o banzo uperior e inferior não ão paralelo. O banzo omprimido inlina-e em direção ao apoio, omo motrado na fig. 16; ) a treliça é altamente hiperetátia internamente. Exite um erto engatamento da diagonai omprimida no banzo omprimido. biela omprimida ão muito mai rígida que o montante traionado. Exite um erto engatamento da biela om o banzo omprimido, o que faz a biela trabalharem à flexão, aliviando o montante traionado. lém dio, oberva-e que o eforço de tração na alma diminuem om a inlinação do banzo omprimido e om a inlinação menor que 45 para a diagonai omprimida (fig. 16).

16 1309 Etrutura de Conreto II Dimenionamento de iga de Conreto rmado ao Eforço Cortante 16 P P a) treliça de alma epea b) treliça de alma delgada Fig Treliça generalizada (CEB ). treliça internamente hiperetátia não onduz a um equaionamento imple para o dimenionamento ao ortante ma é, porém, útil para a onepção do omportamento etrutural da viga. Por impliidade, a nova treliça utilizada no equaionamento leva em onta apena o fato da diagonai omprimida não formarem um ângulo de 45 om o eixo longitudinal da viga, ma im um ângulo genério θ, variável em função da quantidade de armadura tranveral e prinipalmente da relação entre a largura uperior e inferior da viga. treliça om ângulo θ genério etá motrada na fig. 17. dedução da força na treliça apreentada a eguir é emelhante àquela já apreentada no item preedente. Sendo a força ortante que atua na eção 1-1 da fig. 17, a força ou reultante na diagonai omprimida (biela de ompreão - R b ) é: R en θ b (7) R b (8) en θ R b θ 45

17 1309 Etrutura de Conreto II Dimenionamento de iga de Conreto rmado ao Eforço Cortante 17 z(otg + otg )en banzo omprimido diagonal omprimida P z P 2 z(otg + otg ) z(otg + otg ) diagonal traionada banzo traionado Fig Treliça generalizada om biela de ompreão de inlinação θ e etribo inlinado. força em ada diagonal omprimida é relativa à ditânia z ( ot g θ + otg α) en θ oniderando-e a largura b da viga, a tenão média de ompreão na biela é dada por:, e σ b b z R b ( ot g θ + otg α) en θ σ b b z 2 ( ot g θ + otg α) en θ (9) fig. 17: força ou reultante na diagonal de tração (R,α ) pode er determinada na eção 1-1 da R α en α, (10) R, α (11) en α R,

18 1309 Etrutura de Conreto II Dimenionamento de iga de Conreto rmado ao Eforço Cortante 18 Supondo que a reultante de tração, relativa à ditânia horizontal z (otg θ + otg α) da viga, eja aborvida por uma armadura tranveral, ompota por barra epaçada por um omprimento, a tenão σ na armadura tranveral traionada, inlinada de um ângulo α, reulta: σ, α z R, α ( ot g θ + otg α) σ, α z ( ot g θ + otg α) en α, α, (12) 8. DETERMINÇÃO DO ÂNGULO DE INCLINÇÃO DS DIGONIS DE COMPRESSÃO (θ) Invetigaçõe experimentai motraram que, apó iniiado o proeo de fiuração na viga, oorre uma reditribuição do eforço interno, proporional à rigidez, prinipalmente da diagonai de ompreão e do banzo omprimido. No ao de eção retangular, por exemplo, a diagonai de ompreão ão rígida em relação ao banzo omprimido, o qual inlina-e em direção ao apoio, riando o efeito de aro atirantado na viga (fig. 18). O banzo omprimido, ao inlinar-e em direção ao apoio pode até memo aborver toda a força tranveral, por meio de ua omponente vertial, omo indiada na fig. 19. P P q Fig. 18 Efeito de aro ou pórtio atirantado na viga.

19 1309 Etrutura de Conreto II Dimenionamento de iga de Conreto rmado ao Eforço Cortante 19 P R R ~ P b R h f R R b R ~ b Fig. 19 Efeito de aro em viga de eção retangular e eção T om inlinação do banzo omprimido em direção ao apoio. Com a diminuição da relação b/b oorre um aumento da inlinação da força no banzo omprimido e uma diminuição da inlinação da diagonai omprimida (diminuição de θ) e, omo oneqüênia, o eforço de tração na alma diminuem progreivamente em omparação aquele alulado egundo a treliça láia. O enaio experimentai realizado na lemanha e derito por LEONHRDT & MÖNNIG (1982) motraram também que a inlinação da fiura de ialhamento ou da diagonai omprimida varia om a relação b/b ; ea inlinação itua-e em torno de 30 para b/b 1 e ree para era de 45 para b/b 8 a 12. diagonai de ompreão que pouem uma inlinação menor que 45 onduzem a eforço de tração na alma de menor valor. Na eção retangular a fiura de ialhamento motram-e om inlinação inferior a 45, reduzindo-e até 30, omo relatado por LEONHRDT & MÖNNIG diagonai omprimida aborvem uma maior parela da força ortante, diminuindo oneqüentemente o eforço de tração na alma e a armadura tranveral. Dea ontatação feita em divero enaio experimentai de viga pode-e onluir que é adequado oniderar ângulo θ inferiore a 45 quando do dimenionamento de viga de onreto de eção retangular. No ao de eçõe om banzo omprimido mai rígido, omo eçõe em forma de T, I, et., a força no banzo omprimido inlina-e pouo, e a fiura de ialhamento apreentam-e om inlinação de aproximadamente 45 (fig. 19). rigidez depende da quantidade da armadura longitudinal e tranveral, ma prinipalmente da área de onreto que formam o banzo omprimido e a diagonai de ompreão, exprea implifiadamente pela relação b/b, omo indiado na fig. 19.

20 1309 Etrutura de Conreto II Dimenionamento de iga de Conreto rmado ao Eforço Cortante REDUÇÃO D FORÇ CORTNTE Enaio experimentai om medição da tenão no etribo motram que o modelo de treliça deenvolvido para a viga é efetivamente válido apó uma pequena ditânia do apoio, poi e ontatou que o etribo muito próximo ao apoio apreentam tenão menor que o etribo fora dete treho. Em função deta araterítia, na região junto ao apoio, a NBR 6118 permite uma pequena redução da força ortante para o dimenionamento da armadura tranveral (item ). No ao de apoio direto, om a arga e a reação de apoio apliada em fae opota (omprimindo-a), valem a eguinte preriçõe: a) a força ortante oriunda de arga ditribuída pode er oniderada, no treho entre o apoio e a eção ituada à ditânia d/2 da fae de apoio, ontante e igual à deta eção (fig. 20); b) a força ortante devida a uma arga onentrada apliada a uma ditânia a 2d do eixo teório do apoio pode, nee treho de omprimento a, er reduzida multipliando-a por a/2d. Eta redução não e aplia à força ortante proveniente do abo inlinado de protenão (fig. 21). h d / 2 R d d Fig. 20 Redução da força ortante para viga ob arregamento uniforme.

21 1309 Etrutura de Conreto II Dimenionamento de iga de Conreto rmado ao Eforço Cortante 21 a < 2d h R d redução em d R d d Fig. 21 Redução da força ortante para viga ob arga onentrada. reduçõe indiada nete item não e apliam à verifiação da reitênia à ompreão diagonal do onreto (biela de ompreão). No ao de apoio indireto, ea reduçõe também não ão permitida. 10. TUÇÃO DO ESTRIBO N NLOGI DE TRELIÇ fig. 22 motra a atuação ou trabalho deenvolvido pelo etribo vertial na analogia de treliça, para uma viga om tração na fibra inferior. No nó em ua parte inferior o etribo entrelaça a armadura longitudinal traionada e no nó na ua parte uperior o etribo e anora no onreto omprimido e na armadura longitudinal uperior. biela de ompreão e apóiam na barra da armadura longitudinal inferior, no treho final do ramo vertiai do etribo e no eu ramo horizontai, prinipalmente na intereção do etribo om a barra longitudinai, omo motrado na fig. 22. O ramo horizontal inferior do etribo é importante porque, além de ervir de apoio à biela, também atua para equilibrar a tenõe de tração oriunda da inlinação tranveral da biela diagonai, omo indiado na fig. 22 III e I.

22 1309 Etrutura de Conreto II Dimenionamento de iga de Conreto rmado ao Eforço Cortante 22 Fig. 22 tuação do etribo no modelo de treliça (FUSCO 2000). Na fig. 22 II motra-e o apoio da biela na intereção do etribo om a barra longitudinal inferior, e o aréimo de tenão σ na armadura longitudinal, entre um etribo e outro e proveniente da atuação da tenão de aderênia τ b, entre a barra e o onreto. No nó uperior o etribo e anoram no onreto omprimido, e na barra longitudinai aí poiionada. Barra porta-etribo também atuam para evitar o fendilhamento, que pode er provoado pelo ganho do etribo ao apliar tenõe de tração num pequeno volume de onreto. O ramo horizontal uperior do etribo não é obrigatório, porém, ua dipoição é indiada para o poiionamento de barra longitudinai interna e para reitir a eforço eundário que poam urgir. iga om largura uperiore a 30/40 m devem ter etribo de quatro ou mai ramo vertiai.

23 1309 Etrutura de Conreto II Dimenionamento de iga de Conreto rmado ao Eforço Cortante DIMENSIONMENTO DE IGS O ESFORÇO CORTNTE SEGUNDO NBR 6118/2003 nova metodologia apreentada na NBR 6118/2003, embora ontinue oniderando a analogia de treliça, em algun apeto difere ignifiativamente daquele ontante da NBR 6118/78. Entre ele pode-e itar o novo valore adotado para a parela da força ortante aborvida por meanimo omplementare de treliça, à adoção da reitênia do onreto à ompreão para região fiurada (f d2 ), ontante no ódigo MC-90 do CEB-FIP e à onideração de uma nova itemátia para verifiação do rompimento da diagonai omprimida, por meio da força ortante reitente de álulo ( Rd2 ) em ubtituição à tenão de ialhamento última (τ u ). De modo geral, a nova metodologia egue o MC-90 do CEB-FIP e o Euroode 2, om alguma modifiaçõe e adaptaçõe. Uma da prinipai inovaçõe etá na poibilidade de e poder oniderar inlinaçõe variávei (30 θ 45 ) para a diagonai omprimida (biela de ompreão). pear da modifiaçõe introduzida foi poível implifiar o equaionamento, poibilitando a automatização manual do álulo de dimenionamento, om oneqüente ganho de tempo no álulo. NBR 6118 admite omo hipótee báia a analogia om o modelo em treliça, de banzo paralelo, aoiado a meanimo reitente omplementare deenvolvido no interior do elemento etrutural e traduzido por uma omponente adiional. O projeto do elemento etrutural à força ortante é ugerido om bae em doi modelo de álulo, hamado Modelo de Cálulo I e II. ondição de egurança do elemento etrutural é atifatória quando verifiado o etado limite último, atendida imultaneamente a dua ondiçõe eguinte: Sd Rd2 (13) + (14) Sd Rd3 onde: Sd força ortante oliitante de álulo ( d ), na eção; Rd2 força ortante reitente de álulo, relativa à ruína da diagonai omprimida de onreto; Rd3 + força ortante reitente de álulo, relativa à ruína por tração diagonal; parela de força ortante aborvida por meanimo omplementare ao de treliça; parela aborvida pela armadura tranveral.

24 1309 Etrutura de Conreto II Dimenionamento de iga de Conreto rmado ao Eforço Cortante Modelo de Cálulo I No modelo de álulo I a NBR 6118 adota a treliça láia de Mörh, ao admitir o ângulo θ de 45 o para a diagonai omprimida de onreto (biela de ompreão), e a parela omplementar tem valor ontante, independentemente do eforço ortante Sd erifiação da Diagonal Comprimida de Conreto equação que define a tenão de ompreão na biela para a treliça láia (θ 45 o ) foi deduzida no item 5, endo a eq. 3, aqui repetida: σ b b z 2 ( 1+ otg α) norma limita a tenão de ompreão na biela ao valor f d2, omo etá definido no ódigo MC-90 do CEB. O valor f d2 atua omo um fator redutor da reitênia à ompreão do onreto, quando há tração tranveral por efeito de armadura e exitem fiura tranverai à tenõe de ompreão, omo motrado na fig. 23. O valor f d2 é definido por: f d2 f k 0,60 1 f d (15) 250 tenão de tração de armadura tenão < f d2 fiura Fig. 23 Tenão de ompreão om tração tranveral onforme o MC-90 do CEB-FIP.

25 1309 Etrutura de Conreto II Dimenionamento de iga de Conreto rmado ao Eforço Cortante 25 NBR 6118 (item ) hama o fator f k de α v2. Na eq. 3, ubtituindo z por 0,9 d, σ b por f d2 e tranformando no valor de álulo Sd, a eq. 3 tranforma-e em: Sd ( 1+ ot g α) 0,60 α v2 fd b 0,9 d (16) 2 ( 1+ ot α) Sd 0,27 α v2 fd b d g (17) Fazendo Sd omo a máxima força reitente de álulo ( Rd2 ), orrepondente à ruína da diagonai omprimida de onreto, tem-e: Rd2 0,27 α f b d (18) v2 d om fk α v2 1 (f k em MPa) 250 deve-e ter: Portanto, onforme a eq. 13, para não oorrer o emagamento da diagonai omprimida d Sd Rd Cálulo da rmadura Tranveral Da eq. 14 ( Sd Rd3 ), fazendo a ortante de álulo ( Sd ) igual à máxima ortante reitente de álulo, relativa à ruptura da diagonal traionada (armadura tranveral), tem-e: + Sd Rd3 parela referente à parte da força ortante aborvida pelo meanimo omplementare ao de treliça é definida omo: a) elemento traionado quando a linha neutra e itua fora da eção 0

26 1309 Etrutura de Conreto II Dimenionamento de iga de Conreto rmado ao Eforço Cortante 26 b) na flexão imple e na flexo-tração om a linha neutra ortando a eção 0,6 f b d (19) 0 td ftk,inf 0,7 ftm 0,7. 0,3 3 2 Com ftd fk (20) γ γ γ a equação de fia: om f k em MPa. 0,7. 0, ,6 fk b d (21) γ ) na flexo-ompreão onde: M (22) M Sd,máx b menor largura da eção, ompreendida ao longo da altura útil d; d altura útil da eção, igual à ditânia da borda omprimida ao entro de gravidade da armadura de tração; epaçamento entre elemento da armadura tranveral, medido egundo o eixo longitudinal do elemento etrutural; f yd tenão na armadura tranveral paiva, limitada ao valor f yd no ao de etribo e a 70 % dee valor no ao de barra dobrada, não e tomando, para ambo o ao, valore uperiore a 435 MPa; α ângulo de inlinação da armadura tranveral em relação ao eixo longitudinal do elemento etrutural, podendo-e tomar 45 α 90 ; M 0 momento fletor que anula a tenão normal de ompreão na borda da eção (traionada por M d,max ), provoada pela força normai de divera origen onomitante om Sd, endo ea tenão alulada om valore de γ f e γ p iguai a 0,9, o momento orrepondente a ea força normai não devem er oniderado no álulo dea tenão poi ão oniderado em M Sd, apena o momento iotátio de protenão;

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