3. DIMENSIONAMENTO À FEXÃO NORMAL SIMPLES

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1 UFP/FEC - Etrutura e Conreto rmao I 3. DIENSIONENTO À FEXÃO NORL SIPLES 3.1 VIGS Viga, omo menionao no apítulo, ão elemento lineare, ou e barra, one a imenõe a eção tranveral ão bem menore que o omprimento ou vão a peça. Geralmente, na eção tranveral, a imenão preominante é a altura. São elemento etruturai que, na maioria a etrutura onvenionai, enontram-e na poição horizontal Função etrutural No ao e eiíio onvenionai, a viga geralmente reebem o arregamento proveniente a laje, e paree e e outra viga, tranmitino-o para o pilare. im, o eorço preominante ão o momento letor, o eorço ortante e o momento torçor Tipo e viga Quanto à geometria, a viga e onreto armao poem apreentar ivera orma e eção tranveral, poeno er retangulare maiça, irulare, triangulare, T, I, vazaa ou aião, et. Eta eção tranveral poe ou não er ontante ao longo o vão. Nete ao, o projetita eve empre veriiar a eçõe mai vulnerávei a peça, memo que não etejam em treho e momento letore máimo. Quanto à unção etrutural em eiíio, baiamente a viga poem er onvenionai ou e ontraventamento (onetam a etremiae uperiore e pilare ou ua viga), balrame (onetam elemento e unação) e e tranição, quano ervem e apoio para pilare. De ato, qualquer viga que onete pilare ajua a ontraventar a etrutura e quae empre etão ujeita a arregamento normai. 65

2 UFP/FEC - Etrutura e Conreto rmao I çõe a onierar prinipai açõe a onierar ão a açõe normai. Entretanto, eta açõe geram oliitaçõe omo o momento letor, o eorço ortante e o momento torçor. Nete apítulo erá aa maior ênae ao eeito o momento letor obre a viga, pelo ato o imenionamento a armaura e leão er o prinipal objetivo. Deve-e lembrar que a açõe normai poem aumir ivera oniguraçõe, omo arga uniormemente itribuía, onentraa e, alguma veze, não uniormemente itribuía (triangulare, trapezoiai, et.). Na eiiaçõe orrente, o peo a paree atua iretamente obre a viga, ultrapaano, em algun ao, o arregamento impoto pela laje. 3. DIENSIONENTO E ESTDO LIITE ÚLTIO (ELU) Baiamente o imenionamento etrutural onite em eguir ua reomenaçõe báia, quai ejam: a) Uma eção tranveral eve er eterminaa e orma a uportar a oliitaçõe máima a que poerá etar ujeita; b) Uma eção previamente etabeleia eve er apaz e uportar a oliitaçõe mai eavorávei que poam oorrer. primeira reomenação reere-e ao imenionamento e uma eção tranveral a partir e uma oliitação onheia. eguna preoniza que uma eterminaa eção eve er veriiaa para que a oniçõe mínima e egurança ejam obeeia (veriiação etrutural). lém a oniçõe aima, a viga evem er imenionaa para que não oorra eperíio e reitênia o materiai. De preerênia, a eçõe a viga evem er imenionaa no omínio 3, alvo em ao partiulare one a raionalização o materiai não eja a prinipal eigênia. Como menionao, é no omínio 3 que e poe obter peça normalmente armaa, om a ruptura oorreno imultaneamente por emagamento o onreto e eormação plátia eeiva a armaura e leão. 66

3 UFP/FEC - Etrutura e Conreto rmao I 3..1 Diagrama retangular e tenõe para o onreto norma braileira, para impliiar o proeimento e álulo, permite ubtituir o iagrama parábola-retângulo por um iagrama retangular e tenõe no onreto, omo motra a igura 3.1. Eta zona omprimia e etene a bora omprimia até uma prouniae 0,8, one é a prouniae a linha neutra. limitação 0,85 é apliaa a eçõe retangulare em leão normal. Para outra ituaçõe eve-e utilizar 0,80 retangular impliia obremaneira o imenionamento a viga.. aoção o iagrama Figura 3.1 Ditribuição a tenõe na zona omprimia e onreto 3.. omento limite para eçõe normalmente armaa Foi vito anteriormente que no omínio 4 oorre uma ruptura rágil, em avio prévio, e que eve er evitaa. O primeiro pao no imenionamento é veriiar e o problema ao orrepone a uma ituação no omínio 4. Para tanto, etermina-e o momento limite para o omínio 3, one a ruptura é útil, e e o momento oliitante e álulo or menor ou igual a ee momento limite, igniia que a eção erá ubarmaa ou normalmente armaa, repetivamente. Quano há iniação e que a eção erá uperarmaa, emprega-e armaura upla para evitar ea ituação. Ete aunto erá vito om mai etalhe aiante. O momento limite para eçõe normalmente armaa é obtio amitino-e que a máima eormação e ompreão no onreto é e que a eormação e tração na armaura é. im, o iagrama e eormaçõe onierao orrepone ao limite y entre o omínio 3 e 4, omo motra a igura

4 UFP/FEC - Etrutura e Conreto rmao I Figura 3. Diagrama e eormaçõe no limite entre o omínio 3 e 4 Por emelhança e triângulo, lim lim y lim y O ínie lim inia que o limite entre o omínio 3 e 4. Poe-e veriiar também que a prouniae a linha neutra epene o onheimento a altura útil. Em geral, ete é um ao o problema. Quano a altura útil não or menionaa, poe onuzir o imenionamento aotano-e h 40 mm, eno h a altura total a viga. eormação y epene o tipo e aço empregao, e aoro om o epoto no apítulo 1. Para o aço C50 om patamar e eoamento poe-e azer y E y ,07 Por e tratar e imenionamento no regime elátio, o leitor ailmente etermina a eormação e álulo a partir a araterítia meânia o material. Para o aço C60 om patamar e eoamento ete valor paa a er,48. Quano ete aço não apreentam patamar e eoamento, a eormaçõe aima evem er areia e, ou eja, paam a er 4,07 e 4,48 para o aço C50 e C60, repetivamente. 68

5 UFP/FEC - Etrutura e Conreto rmao I igura 3.3 motra a reultante e ompreão e tração evia à reitênia o materiai. Deve-e notar que eta reultante irão gerar um binário reitente que ombaterá o momento oliitante e álulo, manteno a eção em equilíbrio. Figura 3.3 omento oliitante e binário reitente orça reultante na zona omprimia e onreto erá R, lim 0,8 b lim 0, 85 enquanto que a reultante e tração na armaura e leão erá R y O braço e alavana o binário reitente é ao por Z lim, 4 0 lim Como a eção eve permaneer em equilíbrio, o momento oliitante eve er igual ao momento reitente, oriuno e uma a omponente o binário. im,, lim R,lim Z lim Logo, 0,8 b lim 0,85 ( 0,4 lim ), lim 69

6 UFP/FEC - Etrutura e Conreto rmao I ou 0,68 b lim ( 0,4 lim ), lim Para o aço C50 om patamar e eoamento, lim 0,,07 68 y E o momento oliitante limite erá, 0, 3 b lim Dete moo, poe-e eterminar o momento limite para o aço mai empregao na ontrução ivil braileira. Dao o momento letor oliitante, ompara-e om o momento limite e, ao o momento oliitante eja menor ou igual ao momento limite, a eção erá ubarmaa ou normalmente armaa. Cao ontrário, a eção erá uperarmaa e, para evitar eta ituação, aota-e armaura upla para reorçar a zona omprimia e onreto Dimenionamento e eçõe retangulare om armaura imple No item anterior oi etabeleio o momento limite para que uma eção tranveral eteja no limite o omínio 3 e 4, eveno-e evitar o omínio 4. Entretanto, quano a eormação a armaura é maior que a eormação e eoamento e álulo, ou eja,, a ruptura a viga é útil, om eormação plátia eeiva a armaura, etano a eção entre o omínio e 3. Nete ao, a eção poe er ubarmaa ou normalmente armaa ( ), e a prouniae a linha neutra é repreentaa generiamente por, omo motra a igura 3.4. Na igura, também é poível obervar a oniguração o binário reitente, reponável por ombater, agora, um momento oliitante, lim. y y 70

7 UFP/FEC - Etrutura e Conreto rmao I Figura 3.4 Deormaçõe e binário reitente na eção tranveral Nete ao, torna-e neeário eterminar a poição a linha neutra e etabeleer em que omínio enontra-e a eção. Fazeno o equilíbrio o momento em relação ao entro e grávia a armaura e leão, R Z R Z 0 Logo, 0,8 b 0,85 ( 0,4 ) 0 0,68 b ( 0,4 ) 0 E a prouniae a linha neutra poe er obtia reolveno-e a equação o eguno grau em. 0,68 b 0,7 b 0 0,7 b 0,68 b 0 ou 0,7 0,68 b 0 71

8 UFP/FEC - Etrutura e Conreto rmao I pena um valor e é válio, e é aquele que etá poiionao entro a eção tranveral. O valor e obtio ever er omparao om aquele ituao no limite o omínio, para que e etermine e a armaura realmente eoou. De preerênia, o valor e eve etar no intervalo,3 3, 4, para que eja evitaa a eormação eeiva o aço (iura emaiaamente aberta) e a uperarmação, repetivamente.,3 0,,07 68 y 0, Para Para 0, 59 Domínio ; 0,59 0, 68 Domínio 3. Determinano o omínio em que a peça etá trabalhano. Se ete omínio or o 4, poe-e aumentar a altura a viga, ao eja permitio no projeto, evitano a uperarmação. De outro moo eve-e prever uma armaura longituinal para a zona omprimia e onreto. Outra obervação reere-e à eormação o onreto. O leitor, atento, eve ter perebio que a eormação e ompreão o onreto poe, em etágio intermeiário e arregamento, er menor que, om o aço em qualquer omínio. Nete ao, o leitor poe ter iiulae para ientiiar em que omínio a eção etá trabalhano, o que é pereitamente normal, uma vez que o omínio reerem-e ao etao limite último a eção, om o aço ou o onreto, ou ambo, em ruína. Para a ituação levantaa, o valore e evem er etabeleio (ritério e projeto ou etenometria), poibilitano a eterminação a tenão no onreto (equação 1.6 o apítulo 1, σ 0,85 1 (1 ) ) e o oneqüente 0,00 valor e. Realta-e que a tenão no onreto erá menor que aequar a equação para eterminação a poição a linha neutra. 0,85, eveno-e O álulo a armaura e leão, para o omínio e 3, é realizao e orma imple, aotano o valor e obtio a equação o eguno grau, ou eja, az-e o equilíbrio o 7

9 UFP/FEC - Etrutura e Conreto rmao I momento obre o entro e graviae o retângulo e ompreão o onreto e ubtitui-e o valor o braço e alavana. R Z ( 0,4 ) ( 0,4 ) mitino-e que a eção eteja trabalhano no omínio ou 3, para um melhor aproveitamento a armaura, tem-e eoamento ( ). área e aço erá aa pela equação 3.1. y, reultano que a tenão na armaura é a e y ( 0,4 ) (3.1) y Determinaa a armaura e leão e a emai armaura, a viga poe er etalhaa. Uma ituação batante omum envolve o imenionamento e eçõe tranverai om a imenõe pré-etabeleia em projeto, ma epeiiamente a altura h e a largura b. Em alguma ituaçõe, o projetita etrutural tem liberae e eterminar a imenõe a eçõe, etabeleeno em que omínio a eção everá trabalhar. Eta e outra ituaçõe erão trataa a eguir. Eemplo 3.1 Coniere uma viga iotátia om arga itribuía e 17 kn/m e apoiaa em oi pilare quarao om 00 mm e lao aa. viga poui a eguinte araterítia: omprimento = mm, b 150 mm, h = 500 mm, obrimento inerior e 5 mm, trabalha em etao limite último, 5 Pa e aço C50 om patamar e eoamento. Calular a armaura longituinal e tração, k. a) ateriai Conreto: k 5 17, 86 1,4 Pa 73

10 UFP/FEC - Etrutura e Conreto rmao I ço: y 500 y 434, 78 1,15 Pa b) Cálulo o momento oliitante Vão e álulo ou teório = = mm 17 5,8 k 1,4 100 kn m N mm 8 ) Poição a linha neutra h mm 0,7 0,68 b 0 1 = 1.014,74 mm (valor maior que, eve er eartao) = 135,6 mm 0,68 0, ,88,07 y mm,3 0,59 0, ,14 10 mm,3 = 119,14 < = 135,6 < = 88,88 eção trabalha no omínio 3, om = 8,40 > y =,07. Ok! ) Cálulo a armaura mm ( mm ) ( 0,4 ) 434,78 (460 0,4 135,6) y e) Detalhamento a eção 74

11 UFP/FEC - Etrutura e Conreto rmao I igura abaio motra o etalhamento a eção tranveral a viga. O erro e 5,0 mm poiionao na zona omprimia auiliam a armação a viga e ão hamao e porta etribo, ontribuino na reitênia aquela região. O etribo oram poiionao a aa 15 m apena por omoiae. O imenionamento ao eorço ortante erá vito mai aiante, bem omo a emai regra para etalhamento a armaura (epaçamento entre barra, por eemplo). Eemplo 3. Coniere uma viga iotátia biapoiaa om arga onentraa e 80 kn apliaa no meio o vão e mm. viga poui a eguinte araterítia: b 150 mm, h = 500 mm, obrimento inerior e 5 mm, trabalha em etao limite último, 5 Pa e aço C50 om patamar e eoamento. Calular a armaura longituinal e tração,. k a) ateriai Conreto: ço: k 5 17, 86 1,4 y 500 y 434, 78 1,15 Pa Pa 75

12 UFP/FEC - Etrutura e Conreto rmao I b) Cálulo o momento oliitante Vão e álulo ou teório = mm 80 5,6 k 1,4 156,80 kn m N mm 4 ) Poição a linha neutra h mm 0,7 0,68 b 0 1 = 914,7 mm (valor maior que, eve er eartao) = 35,8 mm,3 0,59 0, ,14 10 mm 0,68 0, ,88,07 y mm,3 = 119,14 < = 35,8 < = 88,88 eção trabalha no omínio 3, om = 3,34 > y =,07. Ok! ) Cálulo a armaura mm ( mm ) ( 0,4 ) 434,78 (460 0,4 35,8) y e) Detalhamento a eção Como a bae a viga não omporta ino barra e 16 mm e iâmetro, poi o epaçamento entre a mema erão menore que o permitio por norma, a armaura terá que er 76

13 UFP/FEC - Etrutura e Conreto rmao I itribuía em ua amaa. Nete ao, o valor e erá um pouo menor, e a viga everá er realulaa para o valor orreto e. Para ua amaa e armaura, a altura útil poe er eterminaa om o auilio a igura 3.5 e a equaçõe 3. e 3.3. Figura 3.5 Centro e graviae e armaura em mai e uma amaa y y 1 1 (3.) 1 y h y (3.3) otano o epaçamento entre a amaa e 0 mm e etribo e 5,0 mm, para o eemplo ao, o valor e erá: y 5,4 mm h y 500 5,4 447,6 460 mm Reultano na eguinte área e aço: mm ( mm ) ( 0,4 ) 434,78(447,6 0,4 39,90) y 77

14 UFP/FEC - Etrutura e Conreto rmao I eção aina trabalha no omínio 3, om = 3,14 > y =,07. Ok! im, poe-e obervar que, para ete ao epeíio, a orreção e não moiiou a área e armaura aotaa. Cao oe neeário alterar a área e aço, reomena-e moiiar o iâmetro a barra uperiore, não eno neeário orrigir novamente a altura útil. Eemplo 3.3 Coniere uma viga em balanço om arga itribuía e 9 kn/m. viga poui a eguinte araterítia: vão = mm, b 10 mm, h = 350 mm, obrimento inerior e 5 mm, trabalha em etao limite último, 40 Pa e aço C60 om patamar e eoamento. Calular a armaura longituinal e tração, k. a) ateriai Conreto: ço: k 40 8, 57 1,4 y 600 y 51, 74 1,15 Pa Pa b) Cálulo o momento oliitante 78

15 UFP/FEC - Etrutura e Conreto rmao I Vão e álulo ou teório = mm 9 3 k 1,4 56,7 kn m N mm ) Poição a linha neutra h mm 0,7 0,68 b 0 1 = 686,43 mm (valor maior que, eve er eartao) = 88,57 mm 0,585 0, ,31,48 y mm,3 0,59 0, ,9 10 mm,3 = 80,9 < = 88,57 < = 181,31 eção trabalha no omínio 3, om = 8,75 > y =,48. Ok! ) Cálulo a armaura mm ( mm ) ( 0,4 ) 51,74 (310 0,4 88,57) y Eemplo 3.4 Coniere o eemplo anterior, ma utilizano aço C50 em patamar e eoamento. Calular a armaura longituinal e tração,. a) ateriai 79

16 UFP/FEC - Etrutura e Conreto rmao I Conreto: ço: k 40 8, 57 1,4 y 500 y 434, 78 1,15 Pa Pa b) Cálulo o momento oliitante Vão e álulo ou teório = mm 9 3 k 1,4 56,7 kn m N mm ) Poição a linha neutra h mm 0,7 0,68 b 0 1 = 686,43 mm (valor maior que, eve er eartao) = 88,57 mm 0,46 0, , 4,07 y mm,3 0,59 0, ,9 10 mm,3 = 80,9 < = 88,57 < = 143, eção trabalha no omínio 3, om = 8,75 > y = 4,07. Ok! ) Cálulo a armaura mm ( 4 1,5 491 mm ) ( 0,4 ) 434,78 (310 0,4 88,57) y 80

17 UFP/FEC - Etrutura e Conreto rmao I Para ua amaa eve-e orrigir, que reulta em mm ( 4 1,5 491 mm ) ( 0,4 ) 434,78(97,5 0,4 93,50) y Como a ierença é muito pequena, mantém-e a área e 491 mm. De moo geral, eta ierença erá empre pequena e eprezível ae ao oeiiente e majoração e minoração empregao. Entretanto, para mai amaa e armaura, eta orreção eve er realizaa. Eemplo 3.5 ina utilizano o eemplo anterior, ma agora om aço C60 em patamar e eoamento. ço: y 600 y 51, 74 1,15 Pa 0,7 = = 88,57 mm 0,68 b 0 0,438 0, ,78 4,48 y mm,3 0,59 0, ,9 10 mm,3 = 80,9 < = 88,57 < = 135,78 eção trabalha no omínio 3, om = 8,75 > y = 4,48. Ok! mm ( mm ) ( 0,4 ) 51,74 (310 0,4 88,57) y O aumento a reitênia o aço reuziu em aproimaamente 0% o onumo e aço. 81

18 UFP/FEC - Etrutura e Conreto rmao I Do eemplo motrao, empre que a eormação o onreto or amitia (poe er menor, ma ubutiliza o onreto), para que a eção trabalhe no omínio, a eormação a armaura erá empre 10, que é a máima eormação permitia. Para a eção entrar no omínio 3, uma alternativa é reuzir a altura a viga. norma braileira NBR 7480 (1996) etabelee que too aço em barra, ao o C5 e C50, eve apreentar patamar e eoamento (laminação a quente), e o io ( 10 mm), ao o C60, em ete patamar (treilação). Com bae neta reomenaçõe, a NBR 6118 (003) permite que o aço C60 em patamar e eoamento eja tratao e orma emelhante ao aço om patamar, iano a eormaçõe para o aço C50 igual a,07 e para o aço C60 igual a,48. Eta reomenação permite ao aço em patamar orneçer maiore valore teório para 3, 4 e, oneqüentemente, maiore momento reitente om menore área e aço, poi a tenão e eoamento o aço C60 oi mantia. Foi também eliminaa a utilização o aço C40 em etrutura e onreto armao. C50 om patamar: 0,,07 68 ; y C50 em patamar (não permitio): réimo em 3, 4 = 36%. 0, 4,07 46 ; y C60 om patamar (não permitio): 0,, ; y C60 em patamar: 0, 4, ; y réimo em 3, 4 = 34%. O eemplo om aço em patamar e eoamento objetivaram inormar ao leitor o omportamento reai o aço, e veriiao em laboratório. Eta imulaçõe ão vália para veriiaçõe e eçõe eeutaa one poem eitir barra e aço om omportamento não previto em norma. Entretanto, a partir e agora, para impliiar o álulo, a eormaçõe e eoamento o aço C50 e C60 erão onieraa,07 e,48, repetivamente. 8

19 UFP/FEC - Etrutura e Conreto rmao I 3..4 Cálulo o máimo momento reitente a eção ( eonheia) nteriormente, onheia-e e eterminava-e. Nete item erá analiaa uma ituação one e onheem a imenõe a eção ( b e ), o tipo e aço ( y e y ) e a reitênia araterítia o onreto ( k ), e eeja-e eterminar em qual omínio e onegue o maior momento araterítio que a eção onegue reitir. De aoro om o que já oi etuao até aqui, para a reitênia última o onreto igual a 0,85, valore menore que, 3 onuzirão a valore e 10, o que não é permitio (eormaçõe eeiva). Para valore menore que 0,85, a eção não utiliza toa a reitênia o onreto e a tenão e álulo ontinua eno y, ou eja, no omínio não e tem o máimo aproveitamento a eção. Para ma y, o momento reitente poe er máimo,, e o aço não é bem utilizao, onuzino a valore elevao e, além e e ter viga uperarmaa, o que eria ineejável. im, o máimo momento reitente e uma eção, om a otimização o materiai, é obtio no limite o omínio 3 e 4, ou eja, om. Para o aço C50: Para o aço C60: 0,,07 68 y 0,, y Subtituino ete valore, a equaçõe para o momento limite, e máimo, erão: Para o aço C50: Para o aço C60: ( 0,7 0,68 ) b 0, 3 ( 0,7 0,68 ) b 0, 30 b b E a ierença entre o momento reitente máimo entre o omínio 3 e 4 torna-e inigniiante, ma a área e aço alulaa om o aço C60 erá em torno e 17% menor, evio à tenão e eoamento er maior que a o aço C50. 83

20 UFP/FEC - Etrutura e Conreto rmao I Eemplo 3.6 Coniere a eção tranveral e uma viga om b 10 mm e = 180 mm. Determinar o momento reitente máimo araterítio a eção e a área e aço mai eonômia para ete momento. Coniere 0 Pa e aço C50. k Para o aço C50: 3 ( 0,7 0,68 ) b 0, 3 b,4 Lembrano que k, 1,4 0, , N.mm = 18 kn.m O momento araterítio máimo que poerá er apliao na viga erá: k k 18 1,4 13 kn.m E a área e aço neeária para gerar a outra omponente o binário que equilibrará a eção erá: y ( 0,4 3, 4 ) 0,68 0, mm mm = 3 m 0,4 ) 435 (180 0,4 113) y ( 3, 4 O que reulta em aproimaamente 4 10, 0 em ua amaa ou 16, 0 em uma amaa. 84

21 UFP/FEC - Etrutura e Conreto rmao I 3..5 Cálulo o máimo momento reitente a eção ( onheia) Eta é uma ituação batante onheia na prátia. araterítia meânia e geométria a eção ão inteiramente onheia, e eeja-e eterminar a apaiae reitente a eção. Deve-e obervar que na ituação anterior a armaura era eterminaa para o limite entre o omínio 3 e 4 ( 3, 4 ). gora, a armaura é aa, e a linha neutra não poe mai er onieraa no limite entre o omínio 3 e 4 ( 3, 4 ), eveno er eterminaa. O problema é e áil olução, batano veriiar e a eção não etá no omínio 4, ou eja, a armaura eve apreentar y, iano implíito que y. Lembrano que a reultante e ompreão é R 0, 68 b e a reultante e tração no aço é R, e que a eção eve etar em equilíbrio, ou eja, R R, a linha neutra y é eterminaa pela equação 3.4. R R 0,68 b y y (3.4) 0, 68 b E o momento reitente poe er eterminao azeno-e o omatório o momento no ponto e apliação a reultante na zona omprimia e onreto. R z ( 0,4 ) (3.5) y Cao a eção eteja trabalhano no omínio 4 ( 3, 4 ), y e y, eveno er eterminao o valor a tenão que atua na armaura, não mai igual à e eoamento. Para e eterminar ete valor, emprega-e a Lei e Hooke e o oeiiente e minoração o aço. lgun autore hamam ete proeimento e orrigir o valor e. 85

22 UFP/FEC - Etrutura e Conreto rmao I E 1,15 Por emelhança e triângulo no iagrama e eormaçõe, Logo, E 0,0035 1,15 Subtituino novamente na equação e equilíbrio a orça reultante que atuam na eção, a prouniae a linha neutra poe er eterminaa pela equação o eguno grau 3.6. R R 0,68 b 0,68 b E 0,0035 1,15 0,78 b 0,0035 E 0,0035 E 0 (3.6) Obtio o valor a prouniae a linha neutra, o momento reitente é ailmente eterminao pela equação 3.7. ( 0,4 ) (3.7) Deve-e realtar que eta ituação, a eção atuano no omínio 4, eve er empre evitaa. Para io, bata aumentar a altura útil a eção, quano o projeto permitir, ou aiionar armaura na zona e ompreão (armaura upla), ituação a er analiaa aiante. 86

23 UFP/FEC - Etrutura e Conreto rmao I Eemplo 3.7 Calular o momento reitente araterítio e uma viga om imenõe b 10 mm e 180 mm, para a eguinte ituaçõe: 0 Pa, aço C50, 190 mm e 390 mm. k Situação 1: 190 mm a) Poição a linha neutra y ,9 mm 0,68b 0, ,3 0,68 0, ,1 mm,07 y,3 0,59 0, ,7 10 mm,3 = 46,7 < = 70,9 < = 113,1 eção trabalha no omínio 3, om = 5,4 > y =,07. Ok! b) omento reitente araterítio y ( 0,4 ) (180 0,4 70,9) N.mm 1,5 kn.m k 1,5 8,9 1,4 kn.m Situação : 390 mm a) Poição a linha neutra y ,5 mm 0,68 b 0, ,3 87

24 UFP/FEC - Etrutura e Conreto rmao I 0,68 0, ,1 mm,07 y,3 0,59 0, ,7 10 mm = 145,5 > = 113,1 eção trabalha no omínio 4, om = 0,83 < y =,07. Corrigir! b) Correção e 0,78 b 0,0035 E 0,0035 E 0 0, ,3 0, , , , ,9 Deprezano o valor negativo, 116, 5 mm e = 1,91. ) Cálulo e E , ,0035 0, ,3 Pa 1,15 116,5 1,15 ) omento reitente araterítio ( 0,4 ) ,3 (180 0,4 116,5) N.mm 18,1 kn.m k 18,1 1,9 1,4 kn.m Lembrano que o omínio 4 eve er evitao. 88

25 UFP/FEC - Etrutura e Conreto rmao I 3..6 Cálulo a altura mínima e uma eção om armaura imple No item anterior o leitor perebeu que o máimo momento que uma eção poe reitir, om o máimo aproveitamento a apaiae reitente o materiai, oorre no limite entre o omínio 3 e 4, eiano eviente que a altura útil ( mín ) mai eonômia neeária para reitir a um momento qualquer erá unção a prouniae a linha neutra no limite o omínio 3 e 4 ( 3, 4 ). Ete momento qualquer ( ) everá e menor ou igual ao momento reitente máimo eta eção ( 3, 4 ), ou eja, 3, 4. O álulo a altura mínima permite ao projetita etrutural etabeleer área e aço eonômia, ompatívei ou balaneaa (em equilíbrio) om a zona omprimia. Tomano-e a epreão generalizaa para o momento reitente máimo, tem-e: a) Poição a linha neutra Para o aço C50: 0,,07 68 y Para o aço C60: 0,, y b) omento reitente Para o aço C50: Para o aço C60: 3 ( 0,7 0,68 ) b 0, 3 b,4,4 3 ( 0,7 0,68 ) b 0, 30 b ) ltura mínima a eção ( mín ) Para o aço C50: mín 0,3 b Para o aço C60: mín 0,30 b 89

26 UFP/FEC - Etrutura e Conreto rmao I Poeno-e uar um valor méio para ambo o aço igual a mín 1,80, om b meno e % e aréimo e reução em mín para o aço C50 e C60, repetivamente. Oberva-e que mín é um valor io e erve e parâmetro para e etabeleer a apaiae reitente a eção. Eta einição também leva à eguinte onluão: Se min, eção no omínio ou 3 = eção ubarmaa; y Se min, eção no omínio 4 = eção uperarmaa; y Se min, eção no limite o omínio 3 e 4 = eção normalmente y armaa. igura 3.6 motra o omportamento a eção tranveral em unção a variação a altura útil a viga. Figura 3.6 Deormação na armaura em unção a altura útil Eemplo 3.8 Calular a altura útil mínima e a área e armaura longituinal para uma viga om a eguinte araterítia a eção tranveral: b 10 mm, 0 Pa, aço C50 e 18 knm. k 90

27 UFP/FEC - Etrutura e Conreto rmao I a) ateriai Conreto: ço: k 0 14, 3 1,4 y 500 y 435 Pa 1,15 Pa b) ltura mínima mín 1,80 1, b 10 14,3 mm ) Cálulo a armaura longituinal 0,68 0, mm,07 y y ( 0,4 ) y ( min 0, mm ) 435 (184 0,4 116) 3 m Que é igual ao valor enontrao no eemplo 3.6. Deve-e realtar que a eormação o aço oi aotaa y,07 para e eterminar 3, 4. Cao a altura útil, por razõe e projeto, paae a er 300 mm, a área e aço paaria a er apena 150 mm, ma a eormação na armaura paaria a er e 15,4. Ete valor etaria aima o reomenao para e evitar eormaçõe eeiva, 10. Nete ao, poeria-e aumentar a área e aço para e evitar eormaçõe eeiva ( 10 ). Com o aço C60 a armaura paaria e 150 mm para 170 mm, reultano em um aréimo e 13% e 35% e armaura e reitênia na eção, repetivamente. ituação aima poe e reerir, por eemplo, a preença e equaria logo abaio a viga, om o projeto arquitetônio etabeleeno a altura a eção em aumentar o momento oliitante. O alulita eve etar preparao para oluionar eta e outra ituaçõe em oloar em rio a integriae a peça, evitano a iuração preoe. 91

28 UFP/FEC - Etrutura e Conreto rmao I Eemplo 3.9 Calular a altura útil mínima e a área e armaura longituinal para uma viga om a eguinte araterítia a eção tranveral: b 10 mm, 35 Pa, aço C50 e 18 knm. k a) ateriai Conreto: k ,4 Pa b) ltura mínima mín 1,80 1, b 10 5 mm ) Cálulo a armaura longituinal 0,68 0,68140,07 y 88 mm y ( 0,4 ) y ( min 0, mm ) 435 (140 0,4 88) 4 m Eemplo 3.10 Coniere um momento oliitante e álulo 10 knm atuano obre uma viga biapoiaa. eção tranveral a viga poui a eguinte araterítia: b 150 mm, = 560 mm, k 30 Pa e aço C50. Calular a armaura longituinal e tração,. a) ateriai Conreto: ço: k 30 1, 4 1,4 y 500 y 434, 8 1,15 Pa Pa 9

29 UFP/FEC - Etrutura e Conreto rmao I b) omento oliitante N mm ) Poição a linha neutra 0,7 0,68 b 0 1 = 1.94 mm (valor maior que, eve er eartao) = 106 mm 0,68 0, ,07 y mm,3 0,59 0, mm = 106 mm <,3 = 145 mm eção trabalha no omínio, om = 15 > viga apreentará eormaçõe eeiva na armaura longituinal, o que poe gerar iuração preoe. Deve-e aumentar a área e aço ou reuzir a altura a viga. Na maioria o ao é reomenável aumentar a área e aço, poi a altura a viga poe ter io etabeleia em projeto, em poibiliae e reução. ) Cálulo a armaura menor área e aço, para que a eormação máima permitia eja e 10, é obtia tomano-e a linha neutra no limite o omínio e 3, ou eja,,3 0,59 0, mm 10 93

30 UFP/FEC - Etrutura e Conreto rmao I Como a armaura erá moiiaa, o momento reitente também muará, e paará a er maior que o oliitante. nova área e aço é obtia atravé o equilíbrio a reultante e tração e ompreão que atuam na eção, poi o novo momento reitente aina é ineterminao. 0,85 0,80 0,68 b b, 3 0,68 1, mm 434,8 y Que reulta em 6 1,5 736 mm ou mm. y e) Cálulo o momento reitente R 159 kn m z y 0,4 ) ( 0,4 ( y, 3 ) ,8 (560 0,4 145) Ete momento reitente é aproimaamente 3% maior que o momento oliitante, o que torna a eção antieonômia, ma paou a atener à reomenaçõe normativa quanto à eormação eeiva. Eemplo 3.11 Calular a armaura longituinal e tração e uma viga para reitir a um momento e álulo e 80 knm. Coniere b 150 mm, 30 Pa e aço C50. k altura mai eonômia é obtia om 0,,07 68, y que reulta em mín 1,80 1,80, logo: b b mín 1,80 1,80 84 b 150 1,4 0,68 mín 0, mm mm y ( 0,4 ) mm y ( min 0, mm ) 435 (84 0,4 178) Lembrano que para ub armar a eção, em perer reitênia, bata etabeleer mín. 94

31 UFP/FEC - Etrutura e Conreto rmao I 3.3 FÓRULS DIENSIONIS E TBEL PR DIENSIONENTO DE SEÇÕES RETNGULRES pó a ae e iuão e análie o omportamento a eçõe retangulare o leitor eve etar amiliarizao om a órmula empregaa no imenionamento e veriiação a mema. im, torna-e onveniente e prátia a apliação e órmula aimenionai e tabela e imenionamento poi, além e agilizarem o álulo, ailitam o emprego a mai ivera uniae. Na orma aimenional a equaçõe iam: a) Equação para Diviino ambo o termo a equação para por b, tem-e: b ( 0,7 0,68 ) b 0,68 0, 7 b (3.8) Chamano b Km e K, a equação 3.8 poe er reerita omo egue. Km 0,68 K 0,7 K (3.9) Veriia-e que a equação 3.9 apreenta omente termo aimenionai, e que K ó poe variar e 0 a 1 ( = 0 e = ), ou eja, = 0 (iníio o omínio ) K 0 Km 0 ; = (inal o omínio 4) K 1 Km 0, 408. b) Equação para o braço e alavana z Diviino o termo por, tem-e: z 0,4 1 0, 4 95

32 UFP/FEC - Etrutura e Conreto rmao I Chamano z Kz e lembrano que K, tem-e a equação Kz 1 0, 4 K (3.10) ) Equação para o álulo a armaura longituinal armaura poe er eterminaa onvenionalmente pela epreão lembrano que z Kz, tem-e:. a, z Kz (3.11) ) Equação para a eormaçõe K (3.1) Com too o aimenionai einio, poe-e oneionar tabela para imenionamento a eçõe retangulare. tabela 3.1 oi montaa etabeleeno-e valore válio para Km e eterminao-e K. Em eguia, etabeleeu-e valore para a eormaçõe o aço e o onreto à ompreão, om iníio no omínio e término no omínio 4. Foram iniialmente lançaa a eormaçõe o onreto para, em eguia, eterminar a eormaçõe o aço, om o emprego e K. Deve-e realtar que na tabela apareem etaaa a eormaçõe e eoamento e álulo para o aço C50 e C60, eno que para valore abaio ete tem-e o omínio 4. 96

33 UFP/FEC - Etrutura e Conreto rmao I Tabela 3.1 Valore para imenionamento e eçõe retangulare Km K Kz ( ) ( ) 0,010 0,0148 0,9941 0,150 10,0000 0,00 0,098 0,9881 0, ,0000 0,030 0,0449 0,980 0, ,0000 0,040 0,0603 0,9759 0, ,0000 0,050 0,0758 0,9697 0,805 10,0000 0,055 0,0837 0,9665 0, ,0000 0,060 0,0916 0,9634 1, ,0000 0,065 0,0996 0,960 1, ,0000 0,070 0,1076 0,9570 1,054 10,0000 0,075 0,1156 0,9537 1, ,0000 0,080 0,138 0,9505 1,416 10,0000 0,085 0,130 0,947 1,503 10,0000 0,090 0,140 0,9439 1, ,0000 0,095 0,1485 0,9406 1, ,0000 0,100 0,1569 0,937 1, ,0000 0,105 0,1653 0,9339 1, ,0000 0,110 0,1739 0,9305, ,0000 0,115 0,184 0,970,314 10,0000 0,10 0,1911 0,936,361 10,0000 0,15 0,1998 0,901, ,0000 0,130 0,086 0,9166, ,0000 0,135 0,174 0,9130, ,0000 0,140 0,64 0,9094,963 10,0000 0,145 0,354 0,9058 3, ,0000 0,150 0,445 0,90 3,363 10,0000 0,155 0,537 0,8985 3, ,0000 0,160 0,630 0,8948 3,5000 9,8104 0,165 0,73 0,8911 3,5000 9,3531 0,170 0,818 0,8873 3,5000 8,9 0,175 0,913 0,8835 3,5000 8,5154 0,180 0,3009 0,8796 3,5000 8,1306 0,185 0,3107 0,8757 3,5000 7,766 0,190 0,305 0,8718 3,5000 7,404 0,195 0,3304 0,8678 3,5000 7,0919 0,00 0,3405 0,8638 3,5000 6,7793 0,05 0,3507 0,8597 3,5000 6,4814 0,10 0,3609 0,8556 3,5000 6,1971 0,15 0,3713 0,8515 3,5000 5,955 0,0 0,3819 0,8473 3,5000 5,6658 0,5 0,395 0,8430 3,5000 5,4170 0,30 0,4033 0,8387 3,5000 5,1785 0,35 0,414 0,8343 3,5000 4,9496 0,40 0,453 0,899 3,5000 4,797 0,45 0,4365 0,854 3,5000 4,5181 0,50 0,4479 0,808 3,5000 4,3144 0,55 0,4594 0,816 3,5000 4,1181 0,60 0,4711 0,8115 3,5000 3,987 0,65 0,4830 0,8068 3,5000 3,7459 0,70 0,4951 0,800 3,5000 3,5691 Domínio Domínio 3 Km K Kz ( ) ( ) 0,75 0,5074 0,7970 3,5000 3,3981 0,80 0,5199 0,791 3,5000 3,34 0,85 0,536 0,7870 3,5000 3,0719 0,90 0,5455 0,7818 3,5000,916 0,95 0,5587 0,7765 3,5000,7649 0,300 0,571 0,771 3,5000,6179 0,305 0,5858 0,7657 3,5000,4748 0,310 0,5998 0,7601 3,5000,3355 0,315 0,6141 0,7544 3,5000,1997 0,30 0,687 0,7485 3,5000,067 0,35 0,6437 0,745 3,5000 1,9376 0,330 0,6590 0,7364 3,5000 1,8110 0,335 0,6748 0,7301 3,5000 1,6869 0,340 0,6910 0,736 3,5000 1,565 0,345 0,7077 0,7169 3,5000 1,4458 0,350 0,749 0,7100 3,5000 1,383 0,355 0,747 0,709 3,5000 1,15 0,360 0,761 0,6955 3,5000 1,0983 0,365 0,7803 0,6879 3,5000 0,9853 0,370 0,8003 0,6799 3,5000 0,873 0,375 0,813 0,6715 3,5000 0,7618 0,380 0,8433 0,667 3,5000 0,6506 C60 Domínio 3 C50 Domínio 4 O limite para o omínio 3 e 4 ão aproimao e apliam-e apena ao aço C50 e C60 om patamar e eoamento. Para melhor eini-lo, o leitor everá reinar a tabela. 97