5FLEXÃO SIMPLES - ARMADURA LONGITUDINAL DE VIGA

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1 5 5FLEXÃO SIPLES - RDUR LONGITUDINL DE VIG 5.1 Introução Uma viga reta, ee que não poua arregamento horiontai ou inlinao, erá oliitaa por momento letore e orça ortante, omo motrao na Figura 5.1. orça ortante momento letor Figura Soliitaçõe em viga Na viga e onreto armao, o momento letore e a orça ortante ão reponávei pela eitênia e oi tipo e armaura (Figura 5.): Figura 5. - rmaura e viga e onreto armao longituinal, para reitir ao momento letore; e tranveral, para reitir à orça ortante. Nete apítulo ó erão etuaa a armaura longituinai, ou eja, a armaura neeária para reitir ao momento letore. Seguno a BNT NBR , a viga iam arateriaa quano: one: armaura para orça ortante l h armaura para momento letor l/h para viga iotátia; e l/h 3 para viga ontínua. armaura para momento letor orte é o omprimento o vão teório (ou o obro o omprimento teório, no ao e balanço); e é a altura total a viga. Viga om relaçõe l/h menore evem er trataa omo viga-paree upr/t037

2 5. Vão eetivo e viga Seguno a BNT NBR , o vão eetivo e viga (Figura 5.3) poe er alulao pela eguinte epreão: om: one: l l + a + a Equação 5.1 a a e 1 l e l 0 t h 0 1 0,5t 1 min 0,3h 0,5 t min 0,3h vão eetivo a viga; itânia entre ae e oi apoio oneutivo; largura o apoio paralelo ao vão a viga analiaa; e altura a viga. h viga l e l 0 pilar t 1 t Figura Vão eetivo e viga 5.3 Etao-limite último 1 O imenionamento a armaura longituinai eve onuir a um eorço reitente ( R ) igual ou uperior ao eorço oliitante ( S ) eterminao na análie etrutural Hipótee báia Na análie o eorço reitente e uma eção e viga, evem er onieraa a eguinte hipótee báia: a. a eçõe tranverai e mantém plana apó a eormação; b. a eormação a barra paiva aerente, em tração ou ompreão, eve er a mema o onreto em eu ontorno;. a tenõe e tração no onreto, normai à eção tranveral, evem er epreaa;. a itribuição e tenõe no onreto é eita e aoro om o iagrama parábola-retângulo, om einio em (página 1-5), om tenão e pio igual a 0,85, om einio em (página 3-7), poeno ete iagrama er ubtituío pelo retângulo (Figura 5.4) e prouniae y λ, one o valor o parâmetro λ poe er tomao igual a: 1 Como apreentaa na BNT NBR upr/t037

3 0,8 λ k 50 0,8 400 k k 50Pa > 50Pa Equação 5. e one a tenão ontante atuante até a prouniae y poe er tomaa omo eno (σ α ) 1, e tal orma que: 0,85 k 50Pa α Equação 5.3 k 50 0,85 1 k > 50Pa 00 σ 0,9 α (ver nota e roapé) ε y λ R R σ y S R l ε Figura Ditribuição e tenõe no onreto omprimio e. a tenão na armaura eve er obtia a partir o iagrama tenão-eormação, (Figura 5.5) om valore e álulo einio em (página 3-9); σ y ε y E y γ yk E ε E 10000Pa ε y 10 Figura Diagrama tenão-eormação o aço. o etao-limite é arateriao quano a itribuição a eormaçõe na eção tranveral pertener a um o omínio einio na Figura No ao a largura a eção, meia paralelamente à linha neutra, não iminuir a partir eta para a bora omprimia, a tenão no onreto eve er tomaa omo eno σ α. Cao ontrário, omo na Figura 5.4, σ 0,9 α upr/t037

4 enurtamento ε ε ε u h b 3 a 5 4a 4 1 ε ε y 10 alongamento Figura Domínio a BNT NBR Domínio, 3 e 4 De uma análie mai etalhaa o omínio apreentao em (Figura 5.6), é poível onluir que a viga e onreto armao oliitaa omente por momento letor eriam poívei apena no omínio, 3 e 4, om a linha neutra poiionaa entro a eção geométria a viga (0 ), omo motrao na Figura 5.7. ε u ε 0,000 3 S,3,34 4 ε ε y 10 1,000 1,000 4,34 3,3 y σ uperarmaa ubarmaa Figura Domínio poívei para viga e onreto armao ε y 10 ε upr/t037

5 Da Figura 5.7, tem-e: no omínio [0,000,3 ], o onreto não hegou ao eu enurtamento limite (ε u ), pouino, aina, erta reerva e apaiae reitente; o aço hegou ao eu alongamento máimo (10 ), teno egotao ua apaiae reitente; e a viga, e ubmetia a um arregamento uperior ao e projeto, eve apreentar um quaro e iuração inteno evio ao eeivo alongamento a armaura (e o onreto ajaente). no omínio 3 [,3,34 ] (eção ubarmaa), o onreto hegou ao eu enurtamento limite (ε u ), teno egotao ua apaiae reitente; o aço tem eu alongamento ompreenio entre ε y e 10, pouino, aina, uma boa reerva e apaiae reitente; e a viga, e ubmetia a um arregamento uperior ao e projeto, eve apreentar um quaro e iuração epreivo evio ao ato a armaura (e o onreto ajaente) apreentar alongamento onierável. no omínio 4 [,34 1,000] (eção uperarmaa), o onreto poe etar próimo e ultrapaar eu enurtamento limite (ε u ), teno egotao, por inteiro, ua apaiae reitente; o aço tem eu alongamento ompreenio entre 0 e ε y, pouino uma grane reerva e apaiae reitente; e a viga, e ubmetia a um arregamento uperior ao e projeto, não eve apreentar um quaro e iuração tão pereptível quanto ao o omínio e 3 evio ao pequeno alongamento a armaura (e o onreto ajaente). viga, quano imenionaa no omínio 4 (uperarmaa), poem, em ao e uma eventual obrearga imprevita, er onuia a uma ruptura rágil, em avio prévio, poi o onreto rompe bruamente ante a armaura egotar ua apaiae reitente. viga imenionaa no omínio e 3 (ubarmaa) têm, evio a oniçõe mai aequaa a poição a linha neutra, garantia boa oniçõe e utiliae, eno onuia, para uma onição avera e arregamento, a ruptura om avio prévio, poi a armaura eoa ante o rompimento o onreto motrano um quaro viível e eterioração a viga. O omportamento e viga, e ubarmaa ou uperarmaa 1, ia einio pela paagem o omínio 3 para o omínio 4 (Figura 5.7), que orrepone à reta ε u - ε y. Conierano um etao e eormação qualquer, entro o omínio, 3 ou 4 (Figura 5.8), tem-e: ε ε Equação 5.4 ε + ε h ε Figura Deormaçõe em eção longituinal e viga 1 viga uperarmaa pouem, em geral, poua altura e eeiva armaura (aí o uper, no entio e eeiva quantiae e armaura), ao pao que a viga ubarmaa têm uma itribuição mai equilibraa e materiai (aí o ub, no entio e meno quantiae e armaura) upr/t037

6 Para ε igual a ε u e ε igual a 10, que repreenta a paagem o omínio para o 3 (Figura 5.7), tem-e: εu,3 Equação 5.5 ε + 10 u Teno em vita que a BNT NBR 6118 etabelee valore e ε u em unção a lae o onreto, omo motrao em (página 1-5), o valor e,3, para ierente tipo e onreto, poe er ao por: 3,5 k 50Pa 3, ,3 ( 90 - ) Equação 5.6 k, > 50Pa 4 k ( 90 - k ), Para ierente tipo e onreto, a Tabela 5.1 motra o valore e,3 alulao pela Equação 5.6.,3 C50 C55 C60 C70 C80 C90 0,59 0,38 0,4 0,10 0,07 0,06 Tabela Valore e,3 para ierente onreto Para ε igual a ε u e ε igual a ε y, que repreenta a paagem o omínio 3 para o 4 (Figura 5.7), tem-e: ε u,34 Equação 5.7 εu + ε y Teno em vita que a BNT NBR 6118 etabelee valore e ε u em unção a lae o onreto, omo motrao em (página 1-5), e ε y é epenente a ategoria o aço, omo apreentao na Figura 5.5 (página 5-3), o valor e,34, para ierente tipo e onreto e aço, poe er ao por: 3,5 k 50Pa yk 3,5 + γ 10,34 Equação ( 90 - k ), > 50Pa 4 k ( ) 90 - k yk, γ 10 Para ierente tipo e onreto e aço, a Tabela 5. motra o valore e,34 alulao pela Equação 5.8, one γ oi onierao omo eno igual a 1, upr/t037

7 ,34 C50 C55 C60 C70 C80 C90 C-5 0,77 0,751 0,736 0,70 0,716 0,715 C-50 0,68 0,60 0,58 0,56 0,557 0,557 C-60 0,585 0,557 0,537 0,517 0,51 0,511 Tabela 5. - Valore e,34 para ierente onreto e aço - γ 1, Reomenaçõe a BNT NBR 6118 BNT NBR : Em relação ao ELU, além e e garantir a egurança aequaa, ito é, uma probabiliae uiientemente e pequena e ruína, é neeário garantir uma boa utiliae, e orma que uma eventual ruína oorra e orma uiientemente aviaa, alertano o uuário. BNT NBR : Na viga é neeário garantir boa oniçõe e utiliae repeitano o limite a poição a linha neutra (/) ao em , eno aotaa, e neeário, armaura e ompreão. introução a armaura e ompreão para garantir o atenimento e valore menore a poição a linha neutra (), que etejam no omínio ou 3, não onu a elemento etruturai om ruptura rágil (uualmente hamao e uperarmao). ruptura rágil etá aoiaa a poiçõe a linha neutra no omínio 4, om ou em armaura e ompreão. BNT NBR : apaiae e rotação o elemento etruturai é unção a poição a linha neutra no ELU. Quanto menor or /, tanto maior erá ea apaiae. Para proporionar o aequao omportamento útil em viga e laje, a poição a linha neutra no ELU eve obeeer ao eguinte limite: / 0,45 para onreto om k 50 Pa; e / 0,35 para onreto om 50 Pa < k 90 Pa. Ee limite poem er alterao e orem utiliao etalhe epeiai e armaura, omo, por eemplo, o que prouem oninamento nea regiõe. Deta orma, e moo a garantir a oniçõe e utiliae e elemento etruturai oliitao por momento letor, a linha neutra eve er poiionaa no omínio ou 3, repeitao o limite etabeleio na BNT NBR , omo motrao na Figura 5.9. Da mema orma que a linha neutra poe er repreentaa e moo aimenional, atravé o parâmetro, a tenõe e tração na armaura também poem er repreentaa e moo aimenional, atravé e: σ Equação 5.9 y Deta orma, na Figura 5.9, o eio a tenõe etá repreentao e orma aimenional, atravé o parâmetro upr/t037

8 ε ε u 0,000 S 3,tl 4 ε ε y,tl 10 1,000 1,000 4 σ y rágil 3 útil 0,000 1,0 ε y 10 ε Figura Coniçõe e utiliae a BNT NBR 6118 obeiênia à BNT NBR , que etabelee o aequao omportamento útil e viga e laje, poe er repreentaa por: 0,450 k 50Pa, tl Equação ,350 k > 50Pa 5.4 Variávei aimenionai - ELU Elemento geométrio e eçõe retangulare Seja a Figura 5.10 one ão motrao, entre outro: o eorço reitente e álulo (R e R ); a poição a linha neutra (); a altura o retângulo e tenõe e ompreão (y); a itânia entre o eorço reitente e álulo (); e a altura útil a viga () upr/t037

9 0,5 y σ α ε y λ R h R S b w R eorço reitente e álulo l ε oliitação e álulo Figura Soliitação e eorço reitente em viga e onreto armao Da Figura 5.10, tem-e: poição a linha neutra, omo etabeleia pela Equação 5.4 (página 5-5) ε ε + ε altura o retângulo e tenõe σ y λ λ y y λ braço e alavana entre o eorço reitente e álulo R e R 0,5 y 0,5 ( λ ) 1 0,5 λ 1 0, 5 λ grupano toa a variávei geométria, e riano a variável auiliar, tem-e: ε ε + ε poição a linha neutra y y λ 1 0,5 λ altura o retângulo e tenõe σ braço e alavana entre R e R Equação 5.11 λα λα ( 1 0,5 λ ) variável auiliar Equação 5.11 motra que a variávei aimenionai y, e ão unçõe ireta e, λ e α. Como motrao na Equação 5. e Equação 5.3 (página 5-3), a variávei λ e α ão unçõe ireta a lae o onreto atravé e k. Deta orma, a Equação 5.11 reultam: upr/t037

10 onreto lae igual ou inerior a C50 ( k 50 Pa) ε ε + ε y y 0,8 1 0,4 k 50Pa Equação 5.1 λα 0,68 onreto lae uperior a C50 ( k > 50 Pa) ε ε + ε y y k 50 0,8 400 k 50 10,5 0,8 400 k > 50Pa Equação 5.13 λα k 50 k 50 0, Deta orma, uma ve onheia a poição a linha neutra ( ), too o emai elemento geométrio ( y, e ) iam igualmente einio, para aa lae e onreto. Equação 5.1 e a Equação 5.13 permitem agrupar o valore e omo motrao na Tabela 5.3. C50 C90 y y 0,100 0,080 0,960 0,065 0,100 0,070 0,965 0,046 0,00 0,160 0,90 0,15 0,00 0,140 0,930 0,089 0,50 0,00 0,900 0,153 0,50 0,175 0,913 0,109 0,300 0,40 0,880 0,180 0,300 0,10 0,895 0,18 0,350 0,80 0,860 0,05 0,350 0,45 0,878 0,146 0,450 0,360 0,80 0,51 0,450 0,315 0,843 0,180 Tabela Valore e y,, e omo unção a lae o onreto e 5.4. Diagrama aimenional tenão-eormação o aço Conierano o iagrama tenão-eormação o aço omo apreentao na Figura 5.5 (página 5-3), e, agora, onierano também a eormaçõe e enurtamento (ompreão), hega-e a Figura Neta Figura, aim omo na Figura 5.9 (página 5-8), optou-e por apreentar o iagrama e orma aimenional, om a introução o valore e e upr/t037

11 ε u ε y 1,0 σ y ε E y ε ε ε y 10 1,0 E Pa σ y Figura Diagrama aimenional tenãoeormação o aço O valore e e, no treho inlinao, ão ao por: σ y σ y ε E ε E y y γ E ε yk γ E ε yk 1,0 1,0 Equação 5.14 Seja a Figura 5.1 one ão motrao, entre outro: a poição a linha neutra (); a altura útil a viga (); a poição a armaura omprimia ( ); o enurtamento a ibra e onreto mai omprimia (ε ); o enurtamento a armaura omprimia (ε ); e o alongamento a armaura traionaa (ε ). R R R σ ε ε y S R eorço reitente e álulo l ε oliitação e álulo Figura longamento e enurtamento a armaura O valore e ε e ε, neeário para a eterminação e e pela Equação 5.14, ó ão poívei e orem onheio o valore e,, e ε, omo motrao na Figura 5.1. Seno ε epenente o omínio a BNT NBR 6118, a eterminação e e ia, também, epenente ete omínio upr/t037

12 rmaura traionaa Domínio e 3 Conierano a Figura 5.7 (página 5-4) e a Figura 5.9 (página 5-8), oberva-e, para o omínio e 3 (0,000,34 ), que o ε valor e é empre igual a 1,0, omo ε u apreentao na Figura Oberva-e, 0,000 também, na reeria Figura que uma viga ubarmaa poe er arateriaa om a impoição e igual a 1,0. 3,34 4 uperarmaa 1,0 ε ε y σ y ubarmaa 1,0 10 ε y 10 ε Figura Domínio e 3 - ( 1,0) Deta orma, para o omínio e 3, o valor e, ao pela Equação 5.14, orrepone a: 1,000 0, 000,34 Equação Domínio 4 Da Figura 5.13, poe er obervao que o valor e é menor que 1,0 omente no omínio 4 (,34 1,000). Por outro lao, no ε u omínio 4, o enurtamento o onreto orrepone ao valor último, ou eja, ε 0,000 u (Figura 5.14).,34 uperarmaa 1,0 4 ε ε y σ y ε y ubarmaa < 1, ε Figura Domínio 4 - ( < 1,0) upr/t037

13 Da Figura 5.1 (página 5-11), tem-e: 1 ε ε εu (ε ε u no omínio 4) (Equação 5.4, página 5-5) ε 1 ε u E γ ε 1,0 (Equação 5.14, página 5-11) yk 1 γ E yk ε u 1,0 3,5 k 50Pa εu (1.5.8, página 1-5) 4 ( 90 - k ), > k 50Pa 100 onreto lae igual ou inerior a C50 ( k 50 Pa) 1 γ E yk 3,5 1,0,34 k 1,000 50Pa Equação 5.16 onreto lae uperior a C50 ( k > 50 Pa) 1 γ E yk, ( 90 - ) 100 k 4 1,0,34 k 1,000 > 50Pa Equação rmaura omprimia Domínio Conierano a Figura 5.13, oberva-e, para o omínio (0,000,3 ), que o valor e ε é igual a 10 (Figura 5.15). ε ε u 0,000 3,3 4 ε 10 Figura Domínio - (ε 10 ) upr/t037

14 upr/t037 Da Figura 5.1 (página 5-11), tem-e: 10 1 ε ε (ε 10 no omínio ) (Equação 5.4, página 5-5) 10 1 ε 1,0 E yk γ ε (Equação 5.14, página 5-11),3 yk 000 0, 1,0 10 E 1 γ Equação Domínio 3 e 4 Conierano a Figura 5.15, oberva-e, para o omínio 3 e 4 (,3 1,000), que o enurtamento o onreto orrepone ao valor último ε u (Figura 5.16). Figura Domínio 3 e 4 - (ε ε u ) Da Figura 5.1 (página 5-11), tem-e: u ε ε ε (ε ε u no omínio 3 e 4) (Equação 5.4, página 5-5) u ε ε 1,0 E yk γ ε (Equação 5.14, página 5-11) ε y 10 ε u 3 0,000,3 ε 4 1,000

15 γ E yk ε u 1,0 3,5 k 50Pa εu (1.5.8, página 1-5) 4 ( 90 - k ), > k 50Pa 100 onreto lae igual ou inerior a C50 ( k 50 Pa) γ E yk 3,5 1,0,3 k onreto lae uperior a C50 ( k > 50 Pa) γ E yk, ( 90 - ) 100 1,000 50Pa k 4 1,0,3 k Equação ,000 Equação 5.0 > 50Pa Valore tabelao Conierano a Equação 5.15 a Equação 5.0, onta-e que o valore e e ão unçõe e, a relação /, a lae o onreto ( k ), a ategoria o aço ( yk ) e o oeiiente e egurança o aço (γ ). im omo eito para a variávei y,, e (Tabela 5.3, página 5-10), é poível aoiar o valore e a valore pré-iao e, e outro, omo motrao na Tabela 5.4, eita para o aço C-5 (γ 1,15) e onreto C70 1. Conreto C70 ço C-5 γ 1,15 para (/) y 0,05 0,050 0,075 0,100 0,15 0,150 0,175 0,00 0,5 0,50 0,100 0,075 0,963 0,055 1,000 0,805 0,537 0,68 0,0 0,165 0,918 0,116 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,816 0,55 0,33 0,30 0,40 0,880 0,16 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,96 0,76 0,561,tl 0,63 0,869 0,174 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,916 0,733 0,450 0,338 0,831 0,15 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 Tabela Fleão imple - C70 e C-5 (γ 1,15) 1 tabela ompleta etão apreentaa em 5.13 (página 5-53 em iante) upr/t037

16 5.5 Ineação e área omprimia Para a arateriação e área omprimia e orreponente eorço reitente e álulo (orça e momento), erá uaa a eguinte ineação (Figura 5.17): ínie 1 área e onreto omprimio e largura b w e altura y; orça reitente e álulo (R 1 ) einia pelo prouto (b w y) σ ; e momento reitente e álulo ( R1 ) einio pelo prouto R 1. ínie ou plia ( ) área e armaura omprimia ( ); orça reitente e álulo (R ) einia pelo prouto σ ; e momento reitente e álulo ( R ) einio pelo prouto R ( - ). ínie 3 área e onreto omprimio e largura (b - b w ) e altura h ; orça reitente e álulo (R 3 ) einia pelo prouto [(b - b w ) h ] σ ; e momento reitente e álulo ( R3 ) einio pelo prouto R 3 ( - h /). b R σ ε h h R 3 R 1 R ε y S R ε b w R R1 + R + R3 eorço reitente e álulo l oliitação e álulo Figura Ineação e área omprimia 5.6 rmaura longituinai máima e mínima rmaura mínima e tração ruptura rágil a eçõe tranverai, quano a ormação a primeira iura, eve er evitaa onierano-e, para o álulo a armaura, um momento mínimo ao pelo valor orreponente ao que prouiria a ruptura a eção e onreto imple, upono que a reitênia à tração o onreto eja aa por tk,up. armaura mínima e tração, em elemento etruturai armao ou protenio eve er eterminaa pelo imenionamento a eção a um momento letor mínimo ao pela epreão a eguir, repeitaa a taa mínima aboluta e 0,15%. 0,8 W Equação 5.1,min 0 tk,up one: W 0 é o móulo e reitênia a eção tranveral bruta o onreto, relativo à ibra mai traionaa; e upr/t037

17 tk,up é a reitênia araterítia uperior o onreto à tração (1.5.5, página 1-4). tk,up tk,up 0,39 3 k,756ln 1 50Pa ( + 0,11 ) > 50Pa k k k Equação 5. taa e armaura longituinal mínima (ρ min ) é einia omo eno:,min ρ min 0,15% Equação 5.3 one:,min orrepone a área a eção tranveral a armaura longituinal traionaa eterminaa pelo imenionamento a eção tranveral o elemento e onreto etrutural, neeária para reitir ao momento letor,min, omo etabeleio pela Equação 5.1; e orrepone a área a eção tranveral bruta o elemento e onreto que inorpora a armaura,min rmaura máima epeiiação e valore máimo para a armaura eorre a neeiae e e aegurar oniçõe e utiliae e e e repeitar o ampo e valiae o enaio que eram origem à preriçõe e unionamento o onjunto aço-onreto. oma a armaura e tração e ompreão ( + ) não evem ter valor maior que 4%, alulaa na região ora a ona e emena. taa e armaura longituinal máima (ρ ma ) erá aa por: + ρ ma 4% Equação 5.4 one: orrepone a área a eção tranveral a armaura longituinal traionaa; orrepone a área a eção tranveral a armaura longituinal omprimia; e orrepone a área a eção tranveral bruta o elemento e onreto que inorpora a armaura e. apliação ireta a Equação 5.4, para eçõe T, poe onuir a viga e iíil onretagem (eeo e armaura). Figura 5.18 b motra uma eção retangular e uma eção T, e mema altura (h) e mema armaura traionaa ( ). h mitino-e que a armaura omprimia ( ) eja e pequena monta a eguinte ituação poe vir a oorrer: h ρ ρ ret T ( + ) ( + ) 4% ( + ) ( + ) b b w w h h + ( b b ) w h 4% b w b w Figura Comparativo entre eçõe retangulare e T Como poe er obervao na Figura 5.18, no retângulo b w h a quantiae e armaura ão iguai tanto para eção retangular omo para a eção T. Ito no leva a onluir que a veriiação a taa máima e armaura em eçõe T eve er eita tanto para a eção total omo para a eção b w h, e tal orma que: upr/t037

18 ρ T bw h + bw h ( + ) ( + ) ( b b ) w 4% h 4% Como a onentração e armaura empre oorre no retângulo b w h, a veriiação a taa máima e armaura em eçõe retangulare e eçõe T poe, e moo impliiao, er eita a eguinte orma: + ρ T,ma 4% Equação 5.5 b h w 5.7 Viga e eção retangular em armaura e ompreão Seja a Figura 5.19 one ão motrao, entre outro: a oliitação e álulo ( S ); o eorço reitente e álulo (R e R ); o elemento geométrio reerente à eção tranveral a viga (, y,,, b w e h); a eormaçõe (ε e ε ); e a área e armaura ( ). σ α ε y λ R h R S b w R eorço reitente e álulo l ε oliitação e álulo Figura Viga e eção retangular em armaura e ompreão Da Figura 5.19 e onierano a equaçõe anteriormente apreentaa, tem-e: elemento geométrio a eção retangular (Equação 5.11, página 5-9) y y valore geométrio aimenionai (Equação 5.11, página 5-9) y λ 1 0,5 λ λα valor aimenional a tenão na armaura traionaa (Equação 5.14, página 5-11) σ y onição e egurança R S upr/t037

19 eorço reitente e álulo R R momento letor (binário) evio ao eorço reitente e álulo R R R eorço reitente e álulo atuante na região e onreto omprimio e largura b w R R R R ( bw y) σ ( b w )( y )( α ) ( b w )( λ )( α ) λα ( b w ) eorço reitente e álulo atuante na armaura traionaa R R R σ y y binário R /R R R R λα λ α R R R ( b w ) [ λα ( b ) ] ( ) w ( λ α ) ( b ) w b b w R binário R /R R R R R y w ( ) ( ) R y y equilíbrio o eorço reitente e álulo R R λα R R y y λα ( b w ) ( b w ) λ α bw y upr/t037

20 oniçõe limite momento reitente (Equação 5.1, página 5-16) R ma,min S 0,8W 0 ma S tk,in utiliae (Equação 5.10, página 5-8),tl 0,450 0,350 k k 50Pa > 50Pa armaura (Equação 5.3 e Equação 5.4, página 5-17),min,ma equaçõe e álulo om uo e tabela R ma,min S 0,8 W0 ma S tk,up b w R tab,tl 0,450 0,350 k k 50Pa > 50Pa,tl não é neeária armaura e ompreão Equação 5.6 R y,min,ma 0,15% 4% λ α bw y Eemplo 5.1: Determinar a armaura neeária para a viga abaio iniaa, a qual etá ubmetia a um momento letor oliitante e álulo ( S ) igual a 15 knm. Dao: onreto: C35; e aço: C-50. Conierar: omente oliitaçõe normai (momento letore); e etao limite último, ombinaçõe normai (γ 1,4 e γ 1,15) upr/t037

21 45 m S 15 knm 0 m 5 m Solução: olução o problema onite na apliação ireta a Equação 5.6, om o uo a tabela para onreto C35 e aço C-50 (página 5-61). a. Dao - uniormiação e uniae (kn e m) 35 Pa 3,5 kn/m k λ 0,80 k 50Pa α 0,85 k 50Pa, tl 0,45 k 50Pa tk, up 0,39 3 k k 50Pa tk, up 3 0, ,17Pa 0,417kN/ m γ 1,40 k γ 1,40 yk (ELU - ombinação normal) 3,5,50 kn/m 500 Pa 50 kn/m γ 1,15 (ELU - ombinação normal) yk 50 y 43,5 kn/m γ 1,15 b w 0 m 45 m h 50 m b h m w bw h ,33 m W 6 6,min 0,8 W0 tk, up 0,8 8333,33 0, ,00kNm S 15kNm 1500kNm ma,min S 780 ma 1500 R 0,15,min 0,15% ,50 m 100 4,ma 4% ,00 m kNm upr/t037

22 b. Determinação e b w { <,tl { 0,197 0,450 R ,50 0,13 tab 0,197 0,91 1,000. Cálulo a armaura R y,min,ma ,93m 0, ,000 43,5 6,93 m. Veriiação λ α bw y > 1,50m < 40,0m 0,8 0, ,50 0,197 1,000 6,93 43,5 e. Determinação e em o uo e tabela b ,50 R w ( 1 0, λ ) λα 5 0, [ 1 ( 0,5 0, )] 0, ,8 0,85,5 + 0, ,5,5 8 ( 4 0, ) 0,19709 ( 0,5 0,8 0,19709) 0, ,5 λ 1 1,000 0, 000, ,93100 m R y 0, ,000 43,5 λα bw y 0,8 0, ,50 0, , ,5 1, upr/t037

23 5.8 Dipoição a armaura itribuição e o poiionamento orreto a armaura entro a eção tranveral e φ t φ l a h a v uma viga ontitui ator e uma importânia para a urabiliae a etrutura e onreto. ipoição a armaura entro a eção tranveral a viga não poe obtruir a oloação o onreto reo, eveno permitir, om relativa olga, a introução e equipamento e vibração (Figura 5.0). ma Figura Epaçamento horiontal e vertial e barra longituinai O epaçamento mínimo livre entre a ae a barra longituinai, meio no plano a eção tranveral, eve er igual ou uperior ao maior o eguinte valore (BNT NBR ): na ireção horiontal (a h ): 0 mm; iâmetro a barra, o eie ou a luva; 1, ve a imenão máima araterítia o agregao graúo; Na ireção vertial (a v ): 0 mm; iâmetro a barra, o eie ou a luva; 0,5 ve a imenão máima araterítia o agregao graúo; Para eie e barra eve-e onierar o iâmetro o eie: φ n φ n. Ee valore e apliam também à regiõe e emena por trapae a barra. a a h v m ma φl 1, m ma φl 0,5 ma ma Equação 5.7 Eemplo 5.: Determinar o máimo momento letor oliitante e álulo ( S ) que a viga abaio repreentaa poe uportar. Dao: onreto: C70; aço: C-50; armaura longituinal: 5 φ 16 mm; armaura tranveral: 6,3 mm; obrimento: 3 m; e imenão máima o agregao: 19 mm upr/t037

24 Conierar: omente oliitaçõe normai (momento letore); e etao limite último, ombinaçõe normai (γ 1,4 e γ 1,15). 45 m S 0 m Solução: olução o problema onite na apliação ireta a Equação 5.6 e Equação 5.7, om o uo a tabela para onreto C35 e aço C-50 (página 5-64). a. Dao - uniormiação e uniae (kn e m) 70 Pa 7,0 kn/m k k 50 λ 0,8 k λ 0,8 0, α α k 50 0,851 k 00 > 50Pa > , ,765, tl 0,35 k > 50Pa tk, up tk, up,756ln 1 50Pa ( + 0,11 ) 50Pa k k [ + ( 0,11 70) ] 5,96Pa 0,596kN/ m,756ln 1 γ 1,40 k γ 1,40 yk (ELU - ombinação normal) 7,0 5,00 kn/m 500 Pa 50 kn/m γ 1,15 (ELU - ombinação normal) yk 50 y 43,5 kn/m γ 1,15 b w 0 m h 45 m b h m w bw h m W 6 6 nom 3 m ma 19 mm 1,9 m upr/t037

25 φ t 6,3mm 0,63m φ l 16 mm 1,6 m 0,15,min 0,15% 900 1,35m 100 4,ma 4% ,00m 100,e π1, ,05m 1,35m 36,00m,min 0,8W 0 tk, up 0, , ,40kNm b. Veriiação e a h e a v bw ( nom + φt + nφl ) ah n 1 b w largura a viga (0 m) nom obrimento nominal a armaura (3 m) φ t φ l n iâmetro a armaura tranveral (0,63 m) iâmetro a armaura longituinal (1,6 m) número e barra na amaa (3 barra) ( 3,0 + 0, ,6 ) 0 a h 3,97 m 3 1 φ l a h φ t a v nom a h m ma φl 1, a { h,al > ah,min 1 3 3,97m,8m ma m ma 1,6m φl,8m 1, ma 1, 1,9,8m a v m m ma ma 1,6m φl φl,0m (aotao a v,00 m) 0,5 ma 0,5 ma 0,5 1,9 0,95m. Determinação a altura útil () 1 h 45 y g < < < 4,5m i yi y g i (y g + 0,5 φ l + φ t + nom ) y g φ t g nom m (a v ) h φ l h - (y g + 0,5 φ l + φ t + nom ) 1 BNT NBR : O eorço na armaura poem er onierao no entro e graviae orreponente, e a itânia ete ento e graviae ao entro a armaura mai aataa, meia normalmente à linha neutra, or menor que 10% e h. (Ver Figura 5.8, página 5-51) upr/t037

26 π 1,6 π 1,6 1,6 1,6 3 ( 0,0 ), y g 1,44 m < 4,5m π 1,6 π 1, φl h yg + + φt + nom 1,6 45 1, ,63 + 3,0 39,13m. Equação e veriiação λ α bw y 5, 135 0,75 0, ,13 5,00 10,05 43,5 0, 195 1ª tentativa 0,195 (amitino 1,000) { <,tl { 0,195 0,350 0,195 tab 5,135 0,97 0,104 1,000 5,135 0,195 1,001 1,000 e. omento reitente e álulo ( R ) R b w R 0, ,13 5, kNm 159,4kNm veriiação R. omento oliitante e álulo ( S ) y 159,4kNm S R ,09m 0,97 39,13 1,000 43,5 10,05 m 5.9 Viga e eção retangular om armaura e ompreão Conorme motrao na Equação 5.6 (página 5-0), viga om imenõe aequaa e em armaura e ompreão, tem omportamento útil ee que ejam projetaa om a poição a linha neutra atiaeno a onição e,tl. tentativa e empre imenionar viga em armaura e ompreão nem empre é poível. omento letore oliitante e maior porte poem neeitar que a poição e linha neutra e aproime o omínio 4, ou memo que e itue nete omínio, e tal orma que a viga pae a ter um omportamento rágil ( >,tl ). utiliae a viga poe er empre garantia om o uo e armaura e ompreão, omo motrao na Figura 5.1. Para tal, bata orçar que a linha neutra ique poiionaa no omínio ou no omínio 3, impono que,tl. Embora poa er atribuío para qualquer valor ompreenio entre 0,000 e,tl, é prátia omum aotar para o valor e,tl. Para aoção e valore e ineriore a,tl é upr/t037

27 onveniente veriiar qual ele onuirá ao imenionamento mai eonômio, ou eja, aquele que levar a menor quantiae total e armaura (menor + ). σ α ε y λ R 1 h 1 R1 S1 1 R 1 b w ε ε R ( - ) R ε S R eorço reitente e álulo l ε oliitaçõe e álulo Figura Viga e eção retangular om armaura e ompreão Como motrao na Figura 5.1, o momento letor reitente e álulo R ( R S ) é ompoto por oi momento R1 e R. No que e reere a R1 (parte uperior a Figura) valem toa a onieraçõe apreentaa em 5.7 (página 5-18), em epeial, o ontio na Equação 5.6 (página 5-0). Deta orma: binário R1 /R 1 R1 b w binário R1 /R 1 R1 1 y equilíbrio o eorço reitente e álulo R 1 e R 1 1 λ α b w y No que er reere a R (parte inerior a Figura 5.1), tem-e: eorço reitente e álulo atuante na armaura traionaa R R R σ y y upr/t037

28 binário R /R R R R ( ) ( ) y R ( ) y eorço reitente e álulo atuante na armaura omprimia R R R σ y y binário R /R R R R ( ) ( ) y R ( ) y equilíbrio o eorço reitente e álulo R e R R R y y y y Conierano a omatória o eorço oliitante e reitente, tem-e: momento oliitante + S S1 S momento reitente + R R1 R armaura traionaa - 1ª onieração + 1 R1 R1 + 3 y + R ( ) y 1 R ( ) y armaura traionaa - ª onieração + 1 λ α bw y λα bw y upr/t037

29 oniçõe limite momento reitente (Equação 5.1, página 5-16) R ma,min S 0,8W 0 ma S tk,in utiliae (Equação 5.10, página 5-8),tl 0,450 0,350 k k 50Pa > 50Pa armaura (Equação 5.3 e Equação 5.4, página 5-17),min,ma equaçõe e álulo om uo e tabela R ma,min S 0,8 W0 ma S tk,up b w R tab >,tl 0,450 0,350 k k 50Pa > 50Pa >,tl neeária armaura e ompreão aotar < ou,tl,tl (melhor olução) Equação 5.8 tab R1 b w R R R1 R1 R + ( ) 1 y 0,15% upr/t037

30 ( R ) y ( + ) 4% λ α bw y + Eemplo 5.3: Determinar a armaura neeária para a viga abaio iniaa, a qual etá ubmetia a um momento letor oliitante e álulo ( S ) igual a 70 knm. Dao: onreto: C35; aço: C-50; armaura tranveral: 6,3 mm; obrimento: 3 m; e imenão máima o agregao: 19 mm. Conierar: omente oliitaçõe normai (momento letore); e etao limite último, ombinaçõe normai (γ 1,4 e γ 1,15). 50 m S 70 knm 0 m Solução: olução o problema onite na apliação a Equação 5.6 ou Equação 5.8, om o uo a tabela para onreto C35 e aço C-50 (página 5-61). a. Dao - uniormiação e uniae (kn e m) 35 Pa 3,5 kn/m k λ 0,80 k 50Pa α 0,85 k 50Pa, tl 0,45 k 50Pa tk, up 0,39 3 k k 50Pa tk, up 3 0, ,17Pa 0,417kN/ m γ 1,40 k γ 1,40 yk (ELU - ombinação normal) 3,5,50 kn/m 500 Pa 50 kn/m γ 1,15 (ELU - ombinação normal) upr/t037

31 yk 50 y 43,5 kn/m γ 1,15 b w 0 m 45 m (aumio) 5 m (aumio) 5 0, h 50 m b h m w bw h ,33 m W 6 6 nom 3 m φ t 6,3 mm 0,63 m ma 19 mm 1,9 m,min 0,8 W0 tk, up 0,8 8333,33 0, ,00kNm S 70kNm ma,min S 7000kNm 780 ma 7000 R 0,15,min 0,15% ,50 m 100 4,ma 4% ,00 m kNm b. Determinação e b w R ,50 0,67 tab 0,487 0,805 1,000 { >,tl { 0,487 0,450 >,tl neeária armaura e ompreão. Conição e utiliae,tl 0,450 0,450 tab 0,111 0,80 0,51 1,000 1,000 R 1 bw 0, , ,75 knm 1 R R R 7000, , ,5kNm , ,5 R1 R + 16,74m ( ) + > y 0,80 45 (45 5) 1,000 43,5 1 1,50 m upr/t037

32 1 586,5 0,91m ( (45 5) 1,000 43,5 R ) y λ α b w 0,80 0, ,50 0,91 + 0, , 000 y 16,74 43,5 16,74 1,000 π, 3 φ mm 3 11,40 m 4,e + 17,69 m ( amaa) π,0 φ 0mm 6,8 m 4 π 1,00,e φ10mm 1,57 m 4 ( + ) 17,69 + 1,57 19,6m < 40,00 m e,al 16,74m 17,69 m,al,e,e 0,91m 1,57 m. Veriiação e a h e a v bw ( nom + φt + nφl ) ah n 1 b w largura a viga (0 m) nom obrimento nominal a armaura (3 m) φ t φ l n iâmetro a armaura tranveral (etribo) (0,63 m) iâmetro a armaura longituinal (, m - 1ª amaa) número e barra na amaa (3 barra) ( 3,0 + 0,63 + 3, ) 0 a h 3,07m 3 1 φ l a h φ t a v nom a h m ma φl 1, a { h,al > ah,min 1 3 3,07 m,8m ma m ma,m φl,8 m 1, ma 1, 1,9,8 m a v m ma φl 0,5 ma a v,m (valor aotao) m ma,m φl,0 m 0,5 ma 0,5 1,9 0,95m upr/t037

33 e. Determinação a altura útil () h 50 y g < < < 5,0m i yi y g i h - (y g + 0,5 φ l + φ t + nom ) h φ l (,0 m) a v (, m) (y g + 0,5 φ l + φ t + nom ) g nom (3,0 m) y g φ l (, m) φ t (0,63 m) π, π,0,,0 3 ( 0,0 ), y g 1,53 m < 5,0m π, π φl, h yg + + φt + nom 50 1, ,63 + 3,0 43,74m OK { aot > { al 45,00m 43,74m armaura mai próima o entro e graviae a eção geométria reaer o álulo om 43,74 m. Determinação e φ + φ l { aot > { al 5,00 m t 4,13m + nom 1,00 + 0,63 + 3,0 4,13m φ t φ l nom armaura mai aataa o entro e graviae a eção geométria não eria neeário reaer o álulo om 4,13 m g. Cálulo a armaura para novo valore e e 43,74 m 4,13 m h 0,5 φ l + φ t + nom 4,13 0,094 43,74 0,450 tab 0,094 0,80 0,51 1,000 1,000 R 1 b w 0, ,74, ,50 knm 1 R R R 7 000, ,50 989,50kNm upr/t037

34 R1 R 1 + ( ) y 4 010,50 989, ,1m > 1,50 m 0,80 43,74 (43,74 4,13) 1,000 43,5 989,50 1,74 m ( (43,74 4,13) 1,000 43,5 R ) λ α b w y y + 0,80 0, ,74,50 1,74 0, ,000 1,000 17,1 43,5 17,1 π, 3 φ mm 3 11,40 m 4,e + 17,69 m ( amaa) π,0 φ 0mm 6,8 m 4 π 1,00,e 3φ10mm 3 4 e,36 m ( + ) 17,69 +,36 0,05 m < 40,00 m,al 17,1m 17,69 m,al,e,e 1,74 m,36 m h. Reolução para <,tl 0,400 (valor aumio) 43,74 m 4,6 m 4,6 0,097 43,74 0,400 tab 0,097 0,840 0,8 1,000 1,000 R 1 b w 0,8 0 43,74, ,34 knm R R R 7 000, , ,66kNm R1 R 1 + ( ) y 1810, , ,67 m > 1,50 m 0,840 43,74 (43,74 4,6) 1,000 43,5 5189,66 3,0 m ( (43,74 4,6) 1,000 43,5 R ) y preaução para poível uo e barra e 1,5 mm 3 φ 10 mm upr/t037

35 λ α b w y + 0,80 0, ,74,50 3,0 0, ,00 1,000 16,67 43,5 16,67 π, 3 φ mm 3 11,40 m 4,e + 17,69 m ( amaa) π,0 φ 0mm 6,8 m 4 π 1,5,e 3φ1,5mm 3 4 φ l + φ e t + nom 3,68 m 1,5 + 0,63 + 3,0 4,6 m ( + ) 17,69 + 3,68 1,37 m < 40,00 m,al 16,67 m 17,69 m,al,e,e 3,0m 3,68 m i. Comparação e reultao (valore e álulo) 3 φ 1,5 mm m m + m 0,450 17,1 1,74 18,86 0,400 16,67 3,0 19,69 4,40% 5.10 Viga e eção T em armaura e ompreão Região e onreto omprimio região e onreto omprimio, em uma viga e eção T, poe oorrer e trê moo itinto, omo apreentao na Figura 5.. b b b h y y y b w b w b w y < h y h y > h Figura 5. - Regiõe e onreto omprimio em viga e eção T upr/t037

36 ituação em que toa a mea etá omprimia, orrepone a: y h Conierano a Equação 5.11 (página 5-9), tem-e: y h y y h λ λ λα h λ h λ ( 1 0,5 λ ) λ α 1 0,5 λ α Levano-e em onta a oniçõe etabeleia na Figura 5.19 (página 5-18), uja região omprimia é einia pelo retângulo e imenõe b w y, tem-e, pela Equação 5.6 (página 5-0): b R1 R1 α w h h b w α h ( b w h ) No ao partiular em que b w (a Figura 5.19) or igual a b (a Figura 5.), e einino, para ete ao, R1 omo eno o momento reitente e álulo uportao pela mea omprimia a eção T, tem-e: h R1 R,mea α ( b h ) R,mea h α ( b h ) Equação 5.9 Deta orma, para a regiõe e onreto omprimio em viga e eçõe T, têm-e: y < h R < R,mea h h y h R R,mea Equação 5.30 y > h R > R,mea Seçõe T em armaura e ompreão: y h Seja Figura 5.3 one etá repreentaa uma viga e eção T em que a oliitação e álulo S é reitia pelo momento reitente e álulo R, ompoto omente pelo binário e orça R e R, em a neeiae e armaura e ompreão. b σ α ε y λ h R h R S R ε b w eorço reitente e álulo l oliitação e álulo Figura Viga e eção T em armaura e ompreão - y h upr/t037

37 Comparano a Figura 5.19 (página 5-18) om a Figura 5.3 poe-e onluir que a viga e eção T em armaura e ompreão, om y h, é equivalente a uma viga e eção retangular e bae b. Deta orma, introuino valore e b no lugare e b w apreentao na Equação 5.6 (página 5-0), e onierano: a relação entre y e h (Equação 5.30); armaura mínima (Equação página 5-17); e armaura máima (Equação página 5-18), a viga e eção T, em armaura e ompreão, om y h, poem er repreentaa por: R ma,min S 0,8 W0 ma S tk,up R,mea R b,tl α R,mea R ( b h ) 0,450 0,350 h tab y k k 50Pa > 50Pa R R,mea vale eção retangular e bae b Equação 5.31 y y h R y,min,ma 0,15% 4%b w h λ α b y Eemplo 5.4: Determinar a armaura neeária para a viga abaio iniaa, a qual etá ubmetia a um momento letor oliitante e álulo ( S ) igual a 70 knm. Dao: onreto: C35; aço: C-50; armaura tranveral: 6,3 mm; obrimento: 3 m; e imenão máima o agregao: 19 mm upr/t037

38 Conierar: omente oliitaçõe normai (momento letore); e etao limite último, ombinaçõe normai (γ 1,4 e γ 1,15). 60 m 10 m S 70 knm 40 m Solução: olução o problema onite na apliação ireta a Equação 5.31, om o uo a tabela para onreto C35 e aço C-50 (página 5-61). a. Dao - uniormiação e uniae (kn e m) 35 Pa 3,5 kn/m k 0 m λ 0,80 k 50Pa α 0,85 k 50Pa, tl 0,45 k 50Pa tk, up 0,39 3 k k 50Pa tk, up 3 0, ,17Pa 0,417kN/ m γ 1,40 k γ 1,40 yk (ELU - ombinação normal) 3,5,50 kn/m 500 Pa 50 kn/m γ 1,15 (ELU - ombinação normal) yk 50 y 43,5 kn/m γ 1,15 b w 0 m b 60 m 43 m (aumio) h 50 m h 10 m w ( b b ) h ( 60-0) m b h + y w (b h ) [(b bw )(h h ) ] (60 50 ) [(60 0) (50 10) ] w {[(b h) [(b bw )(h h )]} {[(60 50) [(60 0) (50 10)] } y h y w 50 30,71 19,9m b I h 3 [(b b 3 w 3 )(h h ) ] y w h h b g b w 30,71m y y w upr/t037

39 [(60 0) (50 10) ] I , m 3 I W0 W0,w y W m 30,71 w ibra mai traionaa (w) 3 S,min 0,8 W0 tk, up 0, , ,83kNm S 70kNm ma,min S 7000kNm 3544,83 ma 7000 R 0,15,min 0,15% ,ma 4%bw h h,10 m 7000kNm 40,00 m 10 ( b h ) 0,85 ( 60 10) 43, kNm R,mea α { R < R,mea vale eção retangular e bae b 4 b. Determinação e b R { <,tl { 0,15 0, ,50 y y 0,1 43 5,5m 0,097 tab y 0,15 0,1 0,939 1,000 h b y y < h ,5m 10,00m h. Cálulo a armaura R y,min,ma ,37m 0, ,000 43,5, al 15,37 m >,10m < 40,0m π,0,e 5φ0mm 5 15,71m 4. Determinação a altura útil () h 50 y g i < < < 5,0m y y g i i upr/t037

40 h - (y g + 0,5 φ l + φ t + nom ) h φ l (,0 m) a v (,0 m) g nom (3,0 m) (y g + 0,5 φ l + φ t + nom ) a v φ l,0 m a h 1, ma,8 m b ne 3,00 ( nom ) 0,63 (φ t ),8 (a h ) 3,00 (φ l ) 17,8 m y g φ t (0,63 m),0,0 [ 3 ( 0,0 )] + +,0 + y g 1,60 m < 5,0m OK 5 φl,0 h yg + + φt + nom 50 1, ,63 + 3,0 43,77m { aot < { al 43,00m 43,77m armaura mai aataa o entro e graviae a eção geométria não é neeário reaer o álulo om 43,77 m e. Veriiação para valore e álulo λ α b y 0,8 0, ,50 15,37 43,5. Comparação om o Eemplo 5.3 0,15 0,997 1,000 S 70 knm Seção Retang. Seção T 1000,0 m 1400,0 m 40,0% 315,0 m 315,0 m 0,0%,36 m # # 17,69 m 15,37 m -13,1% + 0,05 m 15,37 m -3,3% 60 m 15,75 m 5,5 m 10 m 33 m 0 m 0 m 7 m 17,37 m,3 m 15,37 m upr/t037

41 Seçõe T em armaura e ompreão: y > h Seja Figura 5.4 one etá repreentaa uma viga e eção T em que a oliitação e álulo S ( S S1 + S3 ) é reitia pelo momento reitente e álulo R ( R R1 + R3 ), ompoto pelo binário a orça R 1 / R 1 e R 3 / R 3, em a neeiae e armaura e ompreão. σ α ε y λ R 1 h 1 R1 S1 1 b w R 1 ε b σ α ε h h h 3 3 ( - 0,5 h) R 3 R3 S3 3 R 3 eorço reitente e álulo l ε oliitaçõe e álulo Figura Viga e eção T em armaura e ompreão - y > h Como motrao na Figura 5.4, o momento letor reitente e álulo R ( R S ) é ompoto por oi momento R1 e R3. No que e reere a R1 (parte uperior a Figura) valem toa a onieraçõe apreentaa em 5.7 (página 5-18), em epeial, o ontio na Equação 5.6 (página 5-0). Deta orma: binário R1 /R 1 R1 b w binário R1 /R 1 R1 1 y equilíbrio o eorço reitente e álulo R 1 e R 1 1 λ α b w y No que er reere a R3 (parte inerior a Figura), tem-e: eorço reitente e álulo atuante na região e onreto omprimio e largura b - b w upr/t037

42 R R 3 3 [( b b w ) h ] σ [( b b ) h ]( α ) w binário R3 /R 3 R 3 R3 R α 3 h h ( b bw ) h eorço reitente e álulo atuante na armaura traionaa R R R σ y 3 y binário R3 /R 3 R 3 R 3 3 R 3 h 3 y R3 h h y equilíbrio o eorço reitente e álulo R 3 e R 3 R R [( b b ) h ]( α ) 3 y α 3 w y α [( b b w ) h ] [( b b ) h ] w y Conierano a omatória o eorço oliitante e reitente, tem-e: momento oliitante + S S1 S3 momento reitente + R R1 R3 armaura traionaa - 1ª onieração + 1 R1 3 y R3 + h R1 R3 1 + h armaura traionaa - ª onieração y y upr/t037

43 λ α bw y λ α b w y α + α + [( b b ) h ] w y [( b b ) h ] oniçõe limite momento reitente (Equação 5.1, página 5-16) R ma,min S w y 0,8W 0 ma S tk,in utiliae (Equação 5.10, página 5-8),tl 0,450 0,350 k k 50Pa > 50Pa armaura (Equação 5.3 e Equação 5.4, página 5-17),min,ma equaçõe e álulo om uo e tabela R ma,min S 0,8 W0 ma S tk,up R,mea R R3 > α α R,mea ( b h ) ( b b ) w h h h R > R,mea álulo omo eção T R1 R R3 Equação 5.3 b R1 w tab y,tl 0,450 0,350 k k 50Pa > 50Pa y y > h upr/t037

44 R1 R3 1 + h y,min,ma 0,15% 4%b w h λ α bw y α + [( b b ) h ] w y Eemplo 5.5: Determinar a armaura neeária para a viga abaio iniaa, a qual etá ubmetia a um momento letor oliitante e álulo ( S ) igual a 460 knm. Dao: onreto: C35; aço: C-50; armaura tranveral: 6,3 mm; obrimento: 3 m; e imenão máima o agregao: 19 mm. Conierar: omente oliitaçõe normai (momento letore); e etao limite último, ombinaçõe normai (γ 1,4 e γ 1,15). 60 m 10 m S 460 knm 40 m 0 m Solução: olução o problema onite na apliação ireta a Equação 5.31 (página 5-37) ou Equação 5.3, om o uo a tabela para onreto C35 e aço C-50 (página 5-61). a. Dao - uniormiação e uniae (kn e m) 35 Pa 3,5 kn/m k λ 0,80 k 50Pa α 0,85 k 50Pa, tl 0,45 k 50Pa tk, up 0,39 3 k k 50Pa tk, up 3 0, ,17Pa 0,417kN/ m γ 1,40 k γ 1,40 yk (ELU - ombinação normal) 3,5,50 kn/m 500 Pa 50 kn/m upr/t037

45 γ 1,15 (ELU - ombinação normal) yk 50 y 43,5 kn/m γ 1,15 b w 0 m b 60 m 40 m (aumio) h 50 m h 10 m w ( b b ) h ( 60-0) m b h + y w (b h ) [(b bw )(h h ) ] (60 50 ) [(60 0) (50 10) ] w {[(b h) [(b bw )(h h )]} {[(60 50) [(60 0) (50 10)] } y h y w 50 30,71 19,9m b I h 3 [(b b 3 w 3 )(h h ) ] [(60 0) (50 10) ] I , m 3 W W I y 0 0,w w W m 30,71 y w ibra mai traionaa (w) 3 S,min 0,8 W0 tk, up 0, , ,83kNm S 460kNm ma,min S 46000kNm 3544,83 ma R 0,15,min 0,15% ,ma 4%bw h h,10 m 46000kNm 40,00 m ,71m ( b h ) 0,85 ( 60 10) 40, knm R,mea α { R > R,mea b. omento reitente R3 α h ( b bw ) h 10 R 0, álulo omo eção T ( 60 0) 10 40, kNm R 1 R R kNm h h b g b w y y w upr/t037

46 . Determinação e b R1 w { <,tl { 0,347 0, ,03 tab 0 40,50 y y 0, ,08m y 0,347 0,77 0,861 1,000 h b y y > h ,08m 10,00m h. Cálulo a armaura R1 R3 1 + h y,min,ma ,39m 0, ,000 43,5 40, al 30,39 m π,5,e 7 φ 5mm 7 4 e. Determinação a altura útil () h 50 y g < < < 5,0m i yi y g i 34,36 m h (y g + 0,5 φ l + φ t + nom ),10m 40,00m h - (y g + 0,5 φ l + φ t + nom ) φ l (,5 m) g a v (,5 m) nom (3,0 m) y g φ t (0,63 m) ( 3,0 ) + ( 0,63 ) + ( 5,5 ) 19,76 m 0m b ne < obrimento etribo ino barra (ua virtuai entre trê reai) b w,5,5,5,5 [ 3 ( 0,0 )] + +,5 + 7, y g 4,9 m < 5,0m 7 φl,5 h yg + + φt + nom 50 4, ,63 + 3,0 40,83m upr/t037

47 { aot < { al 40,00m 40,83m armaura mai aataa o entro e graviae a eção geométria não é neeário reaer o álulo om 40,83 m. Veriiação λ α bw y α + [( b b ) h ] 0,8 0, ,50 0,85 0, ,39 43,5 w y [( 60 0) 10] 30,39 43,5,50 g. Obervação ρ T,ma w + b h 4% 1,000 34,36 ρ T,ma 3,44% 0 50 Viga om armaura batante epreiva, om a taa e armaura (3,44%) muito próima o limite (4%). Inia que a viga etá om poua altura em relação ao momento oliitante. Por outro lao, omo a viga é batante oliitaa por momento letor, o memo everá aonteer om a orça ortante. Diiilmente a viga poerá er etalhaa om etribo e 6,3 mm. O uo e etribo e 8 mm já tornaria impoível abrigar 3 barra e 5 mm em uma mema amaa (b ne reultaria em 0,10 m uperior ao 0 m e b w ). É onveniente aumentar a altura a viga para, pelo meno, 60 m Compoição e b Conjunto laje-viga Na etrutura e onreto armao, a viga e eção T apareem naturalmente poi o onjunto laje-viga eine ete tipo e eção, omo motrao na Figura 5.5. P1 0 0 V P 0 0 L1 10 m L 10 m L3 10 m V V P3 0 0 V P4 0 0 L1 b Corte V4 L3 V3 b w h L Figura Conjunto laje-viga Deve er notao que no imenionamento a armaura longituinal (armaura e leão), a viga e onreto armao ompota por nervura (alma) e aba (mea), omo motrao na upr/t037

48 Figura 5.5, ó poerá er onieraa omo eção T, quano a mea etiver omprimia. Cao ontrário (mea traionaa), a viga everá er onieraa omo e eção retangular e bae b w. De moo geral, poe e ier que a eção T, om a mea poiionaa na parte uperior a viga (T em pé), poe er uaa para o imenionamento a armaura longituinal poitiva (momento letore poitivo a viga V3 a Figura 5.5). Eventualmente, em ontruçõe om laje rebaiaa (apoiaa na bae a viga), é poível onigurar-e eçõe (T invertio a viga V4 a Figura 5.5). Nete ao, eta eçõe poeriam er uaa no imenionamento a armaura longituinal negativa (momento letore negativo, e houverem, na viga V4 a Figura 5.5) Largura olaborante e viga e eção T Ditânia entre ponto e momento letore nulo onieração a largura olaborante a laje aoiaa à viga (Figura 5.5) eve obeeer à preriçõe a BNT NBR BNT NBR 6118, item : largura olaborante b eve er aa pela largura a viga b w areia e no máimo 10% a itânia a entre ponto e momento letor nulo, para aa lao a viga em que haja laje olaborante. itânia a poe er etimaa, em unção o omprimento l o tramo onierao, omo e apreenta a eguir: viga implemente apoiaa: a 1,00 l; viga om momento em uma ó etremiae: a 0,75 l; viga om momento na ua etremiae: a 0,60 l; viga em balanço: a,00 l. lternativamente, o ômputo a itânia a poe er eito ou veriiao meiante eame o iagrama e momento letore na etrutura. No ao e viga ontínua, permite-e alulá-la om uma largura olaborante únia para toa a eçõe, inluive no apoio ob momento negativo, ee que ea largura eja alulaa a partir o treho e momento poitivo one a largura reulte mínima. O valore e a poem er etabeleio omo: a l a 0,75l a 0,60l a l viga implemente apoiaa viga om momento em uma ó etremiae viga om momento na ua etremiae viga em balanço Equação 5.33 Figura 5.6 motra o valore impliiao e a, omo etabeleio pela BNT NBR l 1 l l 3 l 4 a 1 l 1 a 0,75 l a 3 0,60 l 3 a 4,00 l 4 I II III IV Figura Ditânia entre ponto e momento letor nulo upr/t037

49 Deve er obervao na Figura 5.6 que para a viga iotátia (l 1 ) ó tem entio o uo e eçõe T om a mea poiionaa na parte uperior a viga (T em pé), poi neta viga ó atuam momento letore poitivo. Nete ao: a a 1 l 1 Para a viga ontínua (l + l 3 + l 4 ), a eçõe T om a mea poiionaa na parte uperior a viga (T em pé) poem er amitia no treho I e III, one atuam momento letore poitivo. eçõe om a mea poiionaa na parte inerior a viga (T invertio) poem er amitia no treho II e IV, one atuam momento letore negativo. Para o ao em que a viga ontínua motraa na Figura 5.6 tiver, em toa ua etenão, eção tranveral em orma e T om a mea poiionaa na parte uperior a viga (T em pé), na eterminação o valor e b (a er uao no imenionamento o momento letore poitivo o treho I e III), eve er tomao para a o menor o eguinte valore: a a a 3 0,75 l 0,60l 3 Para o ao em que a viga ontínua motraa na Figura 5.6 tiver, em toa ua etenão, eção tranveral em orma e om a mea poiionaa na parte inerior a viga (T invertio), na eterminação o valor e b (a er uao no imenionamento o momento letore negativo o treho II e IV), eve er tomao para a o menor o eguinte valore: 0,5 l a 0,0 l 3 + 0,0l +,00 l Viga iolaa e painel e viga Na eterminação e b não poe er apena onieraa a itânia a entre o ponto e momento letor nulo, omo apreentao em lguma ipoiçõe eorrente a própria naturea a viga, ou o onjunto ela, evem er onieraa, omo motrao na Figura 5.7. b b 3 b 1 b 1 b 4 b onjunto e viga b w b w b b 3 b 1 b 1 0,1a 0,5b viga iolaa b 3 0,1a b 4 b w Figura Largura e mea olaborante upr/t037

50 relaçõe entre o valore e a motrao na Figura 5.6 e o valore e b i apreentao na Figura 5.7 orreponem a: 0,1a 0,1a b 1 b3 Equação ,5b b 4 Eemplo 5.6: Determinar o valor e b para a viga V. Conierar viga implemente apoiaa no pilare. V1 V1B 180 L1 V V3 P L VB 40 V4 P P3 10 L3 P4 Solução: olução o problema onite na apliação ireta a Equação 5.33 e a Equação a. Deinição e a (vita longituinal e V) a a 0, 75l a 0, m l 1 m P3 l 7,8 m P4 a 0,75 l b. Deinição e b (eção tranveral e V) b 400 m b 4 10m b b b ,1a 0,5b 0, ,5m 0,5b 0, m 0,1a b4 V V b upr/t037 b 3 b w b b 1 b b w

51 b 3 0, ,5m 10m b b + b + b 3 w b 58, ,5 157m b 157 m Dipoiçõe ontrutiva Dimenõe limite viga e onreto armao, e moo geral, não evem pouir largura inerior a 1 m. BNT NBR 6118, item 13..: eção tranveral a viga não eve apreentar largura menor que 1 m e a viga-paree, menor que 15 m. Ete limite poem er reuio, repeitao um mínimo aboluto e 10 m em ao eepionai, eno obrigatoriamente repeitaa a eguinte oniçõe: alojamento a armaura e ua intererênia om a armaura e outro elemento etruturai, repeitano o epaçamento e obertura etabeleio neta Norma; lançamento e vibração o onreto e aoro om a BNT NBR Conentração e armaura O eorço na armaura, traionaa ou omprimia, poem er onierao onentrao no entro e graviae orreponente (Figura 5.8), e a itânia ete entro e graviae ao entro a armaura mai aataa, meia normalmente à linha neutra, or menor que 10% h (BNT NBR ). h y g < 0,1 h g y g Figura Centro e graviae e armaura rmaura e tração na eçõe e apoio Seguno o item a BNT NBR 6118, a armaura longituinai poitiva e viga evem er prolongaa até o apoio (Figura 5.9), e tal orma que:,apoio 0,33,vão, e apoio or nulo ou negativo e valor aboluto apoio 0,5 vão ; ou,apoio 0,5,vão, e apoio or negativo e valor aboluto apoio > 0,5 vão. No ao e apoio intermeiário, one não haja a poibiliae e oorrênia e momento poitivo, a armaura proveniente o meio o vão everão e etener, no mínimo, 10 φ além a ae o apoio (item a BNT NBR 6118) upr/t037

52 0,33,vão,vão 0,5,vão Figura Prolongamento e armaura poitiva rmaura e pele BNT NBR inia que a mínima armaura lateral eve er 0,10%,alma em aa ae a alma a viga e ompota por barra e C-50 ou C-60, om epaçamento não maior que 0 m e eviamente anoraa no,pele 0,1 b w h (por ae) 0 m 10 φ h 60 m apoio, não eno neeária uma armaura uperior a 5 m /m por ae.(figura 5.30). b w Figura rmaura e pele Em viga om altura igual ou inerior a 60 m, poe er ipenaa utiliação a armaura e pele upr/t037

53 5.13 Tabela e Fleão Simple C upr/t037

54 Conreto C50 ço C-5 γ 1,15 para (/) y 0,05 0,050 0,075 0,100 0,15 0,150 0,175 0,00 0,5 0,50 0,010 0,008 0,996 0,007 1,000 0,00 0,016 0,99 0,013 1,000 0,030 0,04 0,988 0,00 1,000 0,050 0,040 0,03 0,984 0,07 1,000 0,151 0,050 0,040 0,980 0,033 1,000 0,54 0,060 0,048 0,976 0,040 1,000 0,360 0,103 0,070 0,056 0,97 0,046 1,000 0,467 0,08 0,080 0,064 0,968 0,053 1,000 0,578 0,315 0,05 0,090 0,07 0,964 0,059 1,000 0,690 0,45 0,159 0,100 0,080 0,960 0,065 1,000 0,805 0,537 0,68 0,110 0,088 0,956 0,07 1,000 0,93 0,651 0,380 0,109 0,10 0,096 0,95 0,078 1,000 1,000 0,768 0,494 0,0 0,130 0,104 0,948 0,084 1,000 1,000 0,888 0,611 0,333 0,056 0,140 0,11 0,944 0,090 1,000 1,000 1,000 0,730 0,449 0,168 0,150 0,10 0,940 0,096 1,000 1,000 1,000 0,85 0,568 0,84 0,160 0,18 0,936 0,10 1,000 1,000 1,000 0,978 0,690 0,403 0,115 0,170 0,136 0,93 0,108 1,000 1,000 1,000 1,000 0,815 0,54 0,33 0,180 0,144 0,98 0,114 1,000 1,000 1,000 1,000 0,94 0,648 0,353 0,059 0,190 0,15 0,94 0,119 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,775 0,477 0,179 0,00 0,160 0,90 0,15 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,906 0,604 0,30 0,10 0,168 0,916 0,131 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,734 0,48 0,1 0,0 0,176 0,91 0,136 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,867 0,557 0,48 0,30 0,184 0,908 0,14 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,690 0,376 0,063 0,40 0,19 0,904 0,148 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,86 0,508 0,191 0,50 0,00 0,900 0,153 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,966 0,644 0,3 0,60 0,08 0,896 0,158 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,779 0,455 0,130 0,70 0,16 0,89 0,164 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,876 0,563 0,50 0,80 0,4 0,888 0,169 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,965 0,663 0,36 0,90 0,3 0,884 0,174 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,757 0,466 0,300 0,40 0,880 0,180 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,844 0,563 0,310 0,48 0,876 0,185 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,96 0,654 0,30 0,56 0,87 0,190 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,739 0,330 0,64 0,868 0,195 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,819 0,340 0,7 0,864 0,00 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,894 0,350 0,80 0,860 0,05 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,965 0,360 0,88 0,856 0,10 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,370 0,96 0,85 0,14 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,380 0,304 0,848 0,19 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,390 0,31 0,844 0,4 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,400 0,30 0,840 0,8 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,410 0,38 0,836 0,33 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,40 0,336 0,83 0,38 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,430 0,344 0,88 0,4 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,440 0,35 0,84 0,47 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000,tl 0,360 0,80 0,51 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,460 0,368 0,816 0,55 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,470 0,376 0,81 0,60 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,480 0,384 0,808 0,64 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,490 0,39 0,804 0,68 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,500 0,400 0,800 0,7 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1, upr/t037