FLEXÃO NORMAL SIMPLES - VIGAS

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1 UNIVERSIDDE ESTDUL PULIST UNESP - Campu e Bauru/SP FCULDDE DE ENGENHRI Departamento e Engenharia Civil Diciplina: ESTRUTURS DE CONCRETO I NOTS DE UL FLEXÃO NORL SIPLES - VIGS Prof. Dr. PULO SÉRGIO DOS SNTOS BSTOS (wwwp.feb.unep.br/pbato) Bauru/SP Fevereiro/015

2 PRESENTÇÃO Eta apotila tem o objetivo e ervir como nota e aula na iciplina Etrutura e Concreto I, o curo e Engenharia Civil a Faculae e Engenharia, a Univeriae Etaual Paulita UNESP, Campu e Bauru/SP. O texto apreentao etá e acoro com a precriçõe contia na norma NBR 6118/014 ( Projeto e etrutura e concreto Proceimento ), para o projeto e imenionamento a viga e Concreto rmao à flexão normal imple. apotila apreenta o etuo a eçõe retangulare com armaura imple e upla e a eçõe T com armaura imple, para olicitação e flexão imple. Viano iniciar o cálculo prático a viga o eifício, ão introuzio algun tópico aicionai, como o cálculo a carga verticai obre a viga e alguma precriçõe na norma para a viga imple e contínua. O texto contante eta apotila não inclui too o tópico relativo ao projeto a viga, como o imenionamento ao eforço cortante e ao momento torçore, ancoragem no apoio, etc. Ee tema erão aborao na apotila a iciplina Etrutura e Concreto II. Crítica e ugetõe erão bem-vina, viano a melhoria a apotila. O autor agraece ao técnico Éeron o Santo artin, pela confecção o eenho.

3 SUÁRIO 1. INTRODUÇÃO DEFINIÇÃO DE VIG COPORTENTO RESISTENTE DE VIGS SOB FLEXÃO SIPLES COPRÇÃO DOS DOÍNIOS, 3 E LGUS PRESCRIÇÕES PR S VIGS Vão Efetivo Definição a ltura e a Largura Carga Verticai na Viga Peo Próprio Paree Laje Outra Viga Dipoiçõe Contrutiva a rmaura rmaura Longituinai áxima e ínima rmaura ínima e Tração rmaura Longituinal áxima rmaura e Pele rmaura e Ligação ea-alma Epaçamento Livre entre a Face a Barra Longituinai HIPÓTESES BÁSICS SEÇÃO RETNGULR CO RDUR SIPLES Equaçõe e Equilíbrio Cálculo eiante Equaçõe com Coeficiente K Exemplo Numérico SEÇÃO RETNGULR CO RDUR DUPL Equaçõe e Equilíbrio Cálculo eiante Equaçõe com Coeficiente K Exemplo Numérico SEÇÃO T Largura Colaborante Seção T com rmaura Simple ,8x h f ,8x > h f Cálculo eiante Equaçõe com Coeficiente K Exemplo Numérico EXERCÍCIOS PROPOSTOS REFERÊNCIS BIBLIOGRÁFICS... 7 BIBLIOGRFI COPLEENTR... 7 TBELS NEXS... 73

4 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 1 1. INTRODUÇÃO flexão imple é efinia como a flexão em força normal. Quano a flexão ocorre com a atuação e força normal tem-e a flexão compota. Solicitaçõe normai ão aquela cujo eforço olicitante prouzem tenõe normai (perpeniculare) à eçõe tranverai o elemento etruturai. O eforço que provocam tenõe normai ão o momento fletor () e a força normal (N). Na etrutura e Concreto rmao ão trê o elemento etruturai mai importante: a laje, a viga e o pilare. E oi ee elemento, a laje e a viga, ão ubmetio à flexão normal imple, embora poam também, eventualmente, etarem ubmetio à flexão compota. Por io, o imenionamento e eçõe retangulare e eçõe T ob flexão normal imple é a ativiae iária mai comum ao engenheiro projetita e etrutura e Concreto rmao (SNTOS, 1983). O etuo a flexão normal imple tem como objetivo proporcionar ao aluno o correto entenimento o mecanimo reitente proporcionao pelo concreto ob compreão e pelo aço ob tração, em eçõe retangulare e T, viano levá-lo a bem imenionar ou verificar a reitência ea eçõe. O equacionamento para a reolução o problema a flexão imple é euzio em função e ua equaçõe e equilíbrio a etática, e que proporciona a aqui chamaa equaçõe teórica, que poem er facilmente implementaa para uo em programa computacionai. Também é apreentao o equacionamento com bae em coeficiente tabelao tipo K, largamente utilizao no Brail. É importante eclarecer o etuante que neta apotila ele aprenerá a imenionar a eçõe tranverai a viga ao momento fletore máximo, e fazer o etalhamento a armaura e flexão apena na eção tranveral correponente. Neta iciplina o etuo a viga etá apena iniciano. O etuo completo a viga imple ou contínua, com imenionamento ao eforço cortante e momento torçore, bem como o etalhamento completo e ancoragem a armaura, ó erá alcançao ao término a iciplina 13 - Etrutura e Concreto II. lém io, outro tópico relativo à viga, como fiuração e flecha, erão etuao na iciplina 158 Etrutura e Concreto IV.. DEFINIÇÃO DE VIG Viga ão elemento lineare em que a flexão é preponerante (NBR 6118/14 1, item ). Elemento lineare ão aquele em que o comprimento longituinal upera em pelo meno trê veze a maior imenão a eção tranveral, eno também enominaa barra. 3. COPORTENTO RESISTENTE DE VIGS SOB FLEXÃO SIPLES Coniere uma viga e concreto armao biapoiaa (Figura 1), ubmetia a ua força concentraa P crecente e e igual inteniae. armaura é compota por armaura longituinal, reitente à tenõe e tração proveniente a flexão, e armaura tranveral, imenionaa para reitir ao eforço cortante, compota por etribo verticai no lao equero a viga e etribo e barra obraa no lao ireito a viga. Figura a motra a trajetória a tenõe principai e tração e e compreão a viga aina no etáio I. Oberve que no trecho e flexão pura a trajetória a tenõe e compreão e e tração ão paralela ao eixo longituinal a viga. No emai trecho a trajetória a tenõe ão inclinaa evio à influência o eforço cortante. Enquanto a reitência à tração o concreto é uperior à tenõe principai e tração, não urgem fiura na viga. primeira fiura e flexão ó urgem na região e máximo momento fletore, no intante que a tenõe e tração atuante igualam e uperam a reitência o concreto à tração na flexão (Figura b). Para ete nível e carregamento a viga apreenta trecho fiurao, no etáio II, e trecho não fiurao, no etáio I. Note que a ireção ou inclinação a fiura é aproximaamente perpenicular à ireção a tenõe principai e tração, ou eja, a inclinação a fiura epene a 1 SSOCIÇÃO BRSILEIR DE NORS TÉCNICS. Projeto e etrutura e concreto Proceimento, NBR Rio e Janeiro, BNT, 014, 38p.

5 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga inclinação a tenõe principai e tração. Por eta razão, na região e flexão pura, a fiura ão verticai. rmaura Tranveral (omente etribo) P P rmaura Tranveral (etribo e barra obraa) V Figura 1 Viga biapoiaa e iagrama e eforço olicitante. (LEONHRDT e ÖNNIG - 198). a) tração compreão a b b) a b Etáio I Etáio II Etáio I Seção a-a c c = e c E c Seção b-b c c c) t < ct,f b ) b Etáio II Seção b-b c c = f c e) > f y Figura - Comportamento reitente e uma viga biapoiaa (LEONHRDT e ÖNNIG - 198).

6 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 3 Figura c motra o iagrama e eformaçõe e e tenõe na eçõe a e b a viga, no etáio I e II, repectivamente. No etáio I a máxima tenão e compreão ( c) aina poe er avaliaa e acoro com a lei e Hooke, o memo não valeno para o etáio II. Com o carregamento num patamar uperior começam a urgir fiura inclinaa na proximiae o apoio, por influência a força cortante atuano em conjunto com o momento fletore. Ea fiura inclinaa ão chamaa e fiura e cialhamento (Figura ), que não é um termo aequao porque tenõe e cialhamento não ocorrem por ação excluiva e força cortante. Sugerimo fiura e flexão com cortante. Com carga elevaa, a viga, em quae toa a ua extenão, apreenta-e no etáio II. pena na proximiae o apoio a viga permanece no etáio I. No cao e uma viga biapoiaa ob carregamento uniformemente itribuío, no etáio I, a tenõe principai na altura a linha neutra (a meia altura a viga) apreentam inclinação e 45 (ou 135) em relação ao eixo longituinal a viga, como motrao na Figura 3. Oberve que na regiõe próxima ao apoio a trajetória a tenõe principai inclinam-e por influência a força cortante, manteno, no entanto, a perpeniculariae entre a trajetória. II I Direção e Direção e I II (tenõe e tração) (tenõe e compreão) + x + - V Figura 3 - Trajetória a tenõe principai e uma viga biapoiaa no etáio I ob carregamento uniformemente itribuío (LEONHRDT e ÖNNIG, 198). O carregamento inuz o urgimento e iferente etao e tenão no infinito ponto que compõem a viga, e que poem er repreentao por um conjunto e iferente componente, em função a orientação o itema e eixo conierao. Como exemplo, a Figura 4 motra a repreentação o etao e tenão em oi ponto a viga, conforme o eixo coorenao x-y e o eixo principai. O etao e tenão eguno o eixo x-y efine a tenõe normai x, a tenõe y e a tenõe e cialhamento xy e yx. O etao e tenão eguno o eixo principai efinem a tenõe principai e tração I e e compreão II. tenão y poe er em geral eprezaa, teno importância apena no trecho próximo à introução e carga. O imenionamento a etrutura e concreto armao toma como bae normalmente a tenõe x e xy.

7 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 4 X y X X ( + ) ( - ) x yx x y ( - ) II ( + ) I + y y = 0 y Figura 4 Componente e tenão eguno o etao e tenão relativo ao eixo principai e ao eixo na ireçõe x e y (LEONHRDT e ÖNNIG, 198). 4. COPRÇÃO DOS DOÍNIOS, 3 E 4 eformaçõe no materiai componente a viga e Concreto rmao ubmetia à flexão imple encontram-e no omínio e eformaçõe, 3 ou 4, conforme efinio na NBR 6118 (item 17..). análie a Figura 5 e a Figura 6 permite fazer a eguinte conieraçõe a viga à flexão imple em relação ao omínio, 3 e 4: a) Domínio No omínio a eformação e alongamento ( ) na armaura tracionaa ( ) é fixa e igual a 10, e a eformação e encurtamento ( c) na fibra mai comprimia e concreto varia entre zero e cu, conierano que, para o concreto o Grupo I e reitência (f ck 50 Pa), cu aume o valor e 3,5. Sob a eformação e 10 a tenão na armaura correpone à máxima permitia no aço (f y), como e poe verificar no iagrama x o aço motrao na Figura 6. No omínio, portanto, a armaura tracionaa é econômica, ito é, a máxima tenão poível no aço poe er implementaa nea armaura. Na quetão relativa à egurança, no cao e vir a ocorrer a ruptura, ou eja, o colapo a viga, erá com avio prévio, porque como a armaura continuará ecoano além o 10, a fiuração na viga erá intena e ocorrerá ante e uma poível ruptura por emagamento o concreto na região comprimia. intena fiuração erá viível e funcionará como um avio ao uuário e que a viga apreenta um problema ério, alertano-o, e moo que ejam tomaa meia viano a evacuação o local, ante que a ruptura venha a ocorrer. 0 cu B (3,5 ) zona útil 0 y eção uperarmaa Figura 5 Diagrama e eformaçõe o omínio, 3 e 4, para concreto o Grupo I e reitência (f ck 50 Pa), one cu = 3,5.

8 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 5 f y Seçõe y Superarmaa Zona Útil 10 Figura 6 - Zona e imenionamento em função a eformação no aço. b) Domínio 3 No omínio 3 a eformação e encurtamento na fibra mai comprimia correpone ao valor último ( cu), e 3,5 para o concreto o Grupo I e reitência (f ck 50 Pa). eformação e alongamento na armaura tracionaa varia entre y (eformação e início e ecoamento o aço) e 10, o que ignifica que a armaura ecoa um certo valor. Verifica-e na Figura 6 que a tenão na armaura é a máxima permitia, igual à f y, poi qualquer que eja a eformação entre y e 10 (zona útil), a tenão erá f y. Io implica que, aim como no omínio, a armaura também é econômica no omínio 3. Nete omínio, portanto, tanto o concreto comprimio quanto o aço tracionao ão aproveitao ao máximo, iferentemente o omínio, one o concreto tem eformaçõe e encurtamento menore que a máxima ( cu). ruptura no omínio 3 é também chamaa com avio prévio, poi a armaura, ao ecoar, acarretará fiura viívei na viga, ante que o concreto alcance a ruptura por emagamento. Quano a viga tem a eformaçõe última, e cu no concreto e 10 na armaura, alcançaa imultaneamente, iz-e que a eção é normalmente armaa. linha neutra coincie com o x lim, e a eção etá no limite entre o omínio e 3. NBR 6118 (17..) inica que a eção imenionaa à flexão imple no omínio 3 é ubarmaa, um termo que parece inaequao por paar a fala impreão e que a armaura é menor que a neceária. Na Tabela 1 contam o valore a eformação e início e ecoamento o aço ( y), o limite a poição a linha neutra entre o omínio 3 e 4 (x 3lim) e x3lim ( x = x/), para o iferente tipo e aço e para o concreto o Grupo I e reitência (f ck 50 Pa). Tabela 1 - Valore e y, x 3lim e x3lim para o concreto o Grupo I e reitência (f ck 50 Pa) e em função a categoria o aço. c) Domínio 4 ço y ( ) x 3lim x3lim C-5 1,04 0,77 0,77 C-50,07 0,63 0,63 C-60,48 0,59 0,59 No omínio 4 a eformação e encurtamento na fibra mai comprimia etá com o valor máximo e cu, e a armaura tracionaa não etá ecoano, poi ua eformação é menor que a e início e ecoamento ( y). Nete cao, conforme e poe notar no iagrama x o aço motrao na Figura 6, a tenão na armaura é menor que a máxima permitia (f y). armaura reulta, portanto, antieconômica, poi não aproveita a máxima capaciae reitente o aço. Diz-e então que a armaura etá folgaa e a eção é chamaa uperarmaa na flexão imple (NBR 6118, 17..), como motrao na Figura 5 e na Figura 6.

9 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 6 viga não poem er projetaa à flexão imple no omínio 4, poi além a quetão econômica, a ruptura, e ocorrer, erá o tipo frágil, ou em avio prévio, one o concreto rompe (emaga) por compreão ( c > cu), cauano o colapo a viga ante a intena fiuração provocaa pelo aumento o alongamento na armaura tracionaa. Seguno a NBR 6118 (17..), a ruptura frágil etá aociaa a poiçõe a linha neutra no omínio 4, com ou em armaura e compreão. ) Concluão Como concluão poe-e afirmar: a viga evem er projetaa à flexão imple no omínio ou 3, e não poem er projetaa no omínio 4. Para complementar ea análie, é importante obervar que a NBR 6118 (item ) apreenta limite para a poição a linha neutra que viam otar a viga e laje e uctiliae, afirmano que quanto menor for a relação x/ (x = poição a linha neutra, = altura útil a viga), maior erá a uctiliae. O limite ão: x/ 0,45 para concreto com f ck 50 Pa e x/ 0,35 para concreto com f ck > 50 Pa. Conierano o concreto o Grupo I e reitência ( cu = 3,5 ) e o aço mai comum (C-50), no limite entre o omínio 3 e 4 a relação x/ para a linha neutra é 0,63 e a eformação no aço é a eformação e início e ecoamento ( y) e,07, o limite máximo e x/ = 0,45 correpone à eformação e alongamento e 4,3, o que ignifica que a norma etá impono uma eformação maior àquela e início e ecoamento, viano viga mai egura. Portanto, o imenionamento no omínio 3 não é permitio ao longo e toa a faixa poível e variação a poição a linha neutra, e im omente até o limite x = 0, LGUS PRESCRIÇÕES PR S VIGS 5.1 Vão Efetivo O vão efetivo (NBR 6118, item ) poe er calculao pela expreão: ef o a a 1 Eq. 1 com: a 1 t1 / 0,3 h e a t / 0,3 h Eq. imenõe o, t 1, t e h etão inicaa na Figura 7. h t 1 0 t Figura 7 Dimenõe conieraa no cálculo o vão efetivo a viga. 5. Definição a ltura e a Largura De moo geral, a preferência o engenheiro e arquiteto é que a viga fiquem embutia na paree e veação, e tal forma que não poam er percebia viualmente. Para que io ocorra, a

10 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 7 largura a viga eve er ecolhia em função a epeura final a paree, a qual epene baicamente a imenõe e a poição e aentamento a uniae e alvenaria (tijolo maciço, bloco furao, etc.). Devem também er conieraa a epeura a argamaa e revetimento (emboço, reboco, etc.), no oi lao a paree. O revetimento e argamaa no interior o Etao e São Paulo têm uualmente a epeura total e 1,5 cm a,0 cm. Exite no comércio uma infiniae e uniae e alvenaria, com a imenõe a mai variaa, tanto para o bloco cerâmico e ei como para o e oito furo, como também para o tijolo maciço cerâmico. nte e e efinir a largura a viga é neceário, portanto, efinir o tipo e a imenõe a uniae e alvenaria, levano-e em conieração a poição em que a uniae erá aentaa. No cao e contruçõe e pequeno porte, como caa, obrao, barracõe, etc., one é uual e contruir primeiramente a paree e alvenaria, para em eguia erem contruío o pilare, a viga e a laje, é intereante ecolher a largura a viga igual à largura a paree em o revetimento, ou eja, igual à imenão a uniae que reulta na largura a paree. altura a viga epene e ivero fatore, eno o mai importante o vão, o carregamento e a reitência o concreto. altura eve er uficiente para proporcionar reitência mecânica e baixa eformabiliae (flecha). Conierano por exemplo o equema e uma viga como motrao na Figura 8, para concreto o tipo C-0 e C-5 e contruçõe e pequeno porte, uma inicação prática para a etimativa a altura a viga e concreto armao é iviir o vão efetivo por oze, ito é: h 1 1 ef,1 e h 1 ef, Eq. 3 Na etimativa a altura e viga com concreto e reitência uperior evem er conierao valore maiore que oze na Eq. 3. Viga para eifício e vário pavimento, one a açõe horizontai o vento impliquem eforço olicitante conierávei obre a etrutura evem ter a altura efinia em função o eforço a que etarão ubmetia. h 1 h ef, 1 ef, Figura 8 Valore prático para etimativa a altura a viga. altura a viga eve er preferencialmente moulaa e 5 em 5 cm, ou e 10 em 10 cm. altura mínima inicaa é e 5 cm. Viga contínua evem ter a altura o vão obeeceno uma certa paronização, a fim e evitar vária altura iferente. 5.3 Carga Verticai na Viga Normalmente, a carga (açõe) atuante na viga ão proveniente e paree, e laje, e outra viga, e pilare e, empre o peo próprio a viga. carga na viga evem er analiaa e calculaa em caa vão a viga, trecho por trecho o vão e ete conter trecho e carga iferente. No próximo iten ão etalhao ee tipo e carga verticai na viga Peo Próprio O peo próprio e viga com eção tranveral contante é uma carga conieraa uniformemente itribuía ao longo o comprimento a viga, e eve empre er obrigatoriamente conierao. O eu valor é: g b h Eq. 4 pp w conc com: g pp = kn/m; γ conc = 5 kn/m 3 ;

11 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 8 b w = largura a eção (m); h = altura a eção (m) Paree Geralmente a paree têm epeura e altura contante, quano então a carga a paree poe er conieraa uniformemente itribuía ao longo o eu comprimento. Seu valor é: g par e h alv Eq. 5 com: g par = kn/m; alv = peo epecífico a paree (kn/m 3 ); e = epeura final a paree (m); h = altura a paree (m). De acoro com a NBR 610, o peo epecífico é e 18 kn/m 3 para o tijolo maciço e 13 kn/m 3 para o bloco cerâmico furao. bertura e porta geralmente não ão conieraa como trecho e carga. No cao e vitrô, janela e outro tipo e equaria, evem er verificao o valore e carga por metro quarao a erem conierao. Para janela com viro poem er conieraa a carga e 0,5 a 1,0 kn/m Laje reaçõe a laje obre a viga e apoio evem er conhecia. Importante é verificar e uma ou ua laje ecarregam a ua carga obre a viga. reaçõe a laje na viga e bora erão etuaa poteriormente neta iciplina Outra Viga Quano é poível efinir claramente qual viga erve e apoio e qual viga etá apoiaa em outra, a carga concentraa na viga que erve e apoio é igual a reação e apoio aquela que etá apoiaa. Em eterminao pavimento, a ecolha e qual viga apoia-e obre qual fica muito ifícil. ecolha erraa poe e tornar perigoa. Para contornar ete problema, poe-e calcular o eforço e elocamento e toa a viga por meio e uma grelha, com o auxílio e um programa e computaor. Dee moo, o reultao ão excelente e muito próximo ao reai. 5.4 Dipoiçõe Contrutiva a rmaura No item 18.3 a NBR 6118 etabelece ivera precriçõe relativa à armaura, e referem-e à viga iotática com relação /h,0 e à viga contínua com relação /h 3,0, em que é o comprimento o vão efetivo (ou o obro o comprimento efetivo, no cao e balanço) e h é a altura total a viga. Viga com relaçõe /h menore evem er trataa como viga-paree rmaura Longituinai áxima e ínima No item a NBR 6118 etabelece como princípio báico: ruptura frágil a eçõe tranverai, quano a formação a primeira fiura, eve er evitaa conierano-e, para o cálculo a armaura, um momento mínimo ao pelo valor correponente ao que prouziria a ruptura a eção e concreto imple, upono que a reitência à tração o concreto eja aa por f ctk,up, eveno também obeecer à coniçõe relativa ao controle a abertura e fiura aa em epecificação e valore máximo para a armaura ecorre a neceiae e e aegurar coniçõe e utiliae e e e repeitar o campo e valiae o enaio que eram origem à precriçõe e funcionamento o conjunto aço-concreto.

12 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga rmaura ínima e Tração armaura mínima e tração, em elemento etruturai armao ou protenio eve er eterminaa pelo imenionamento a eção a um momento fletor mínimo ao pela expreão a eguir, repeitaa a taxa mínima aboluta 0,15 % (NBR 6118, ):,mín = 0,8 W 0 f ctk,up Eq. 6 one: W 0 = móulo e reitência a eção tranveral bruta e concreto, relativo à fibra mai tracionaa; f ctk,up = reitência caracterítica uperior o concreto à tração: f ctk,up = 1,3 f ct,m Eq. 7 3 com: f 0,3 f (Pa) Eq. 8 ct,m ck lternativamente, a armaura mínima poe er conieraa atenia e forem repeitaa a taxa mínima e armaura a Tabela. Tabela - Taxa mínima e armaura e flexão para viga. Forma a eção Valore e mín (a) (%) Retan- 0,150 0,150 0,150 0,164 0,179 0,194 0,08 0,11 0,19 0,6 0,33 0,39 0,45 0,51 0,56 gular (a) O valore e mín etabelecio neta Tabela preupõem o uo e aço C-50, /h = 0,8, c = 1,4 e = 1,15. Cao ee fatore ejam iferente, mín eve er recalculao. mín =,mín/ c Em elemento etruturai, exceto elemento em balanço, cuja armaura ejam calculaa com um momento fletor igual ou maior ao obro e, não é neceário atener à armaura mínima. Nete cao, a eterminação o eforço olicitante eve conierar e forma rigoroa toa a combinaçõe poívei e carregamento, aim como o efeito e temperatura, eformaçõe iferia e recalque e apoio. Deve-e ter aina epecial cuiao com o iâmetro e epaçamento a armaura e limitação e fiuração. No item a NBR 6118 aina etabelece Valore mínimo para a armaura e tração ob eformaçõe impota rmaura Longituinal áxima oma a armaura e tração e e compreão ( + ) não poe ter valor maior que 4 % c, calculaa na região fora a zona e emena, eveno er garantia a coniçõe e uctiliae requeria em (NBR 6118, ) rmaura e Pele Seguno a NBR 6118 ( ), na viga com h > 60 cm eve er colocaa uma armaura lateral, chamaa armaura e pele (Figura 9), compota por barra e C-50 ou C-60, com epaçamento não maior que 0 cm e eviamente ancoraa no apoio, com área mínima em caa face a alma a viga igual a: p,face = 0,10 % c,alma = 0,0010 b w. h Eq. 9

13 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 10 Em viga com altura igual ou inferior a 60 cm, poe er ipenaa a utilização a armaura e pele. armaura principai e tração e e compreão não poem er computaa no cálculo a armaura e pele. e e h > 60 cm e e e e e e e e Figura 9 Dipoição a armaura e pele p em caa face e com epaçamento e 0 cm na eção tranveral e viga com h > 60 cm. b w Embora a norma inique a ipoição e armaura e pele omente em viga com altura uperiore a 60 cm, recomenamo a ua aplicação em viga com altura a partir e 50 cm, para evitar o aparecimento e fiura uperficiai por retração na face laterai verticai, e que acarretam preocupaçõe ao executore a obra. Nee cao, a armaura e pele poe er aotaa igual à ugeria na Eq. 9, ou uma quantiae menor, como aquela que era inicaa na NB 1 e 1978: p,face = 0,05% b w. h, por face. 5.5 rmaura e Ligação ea-alma Conforme o item a NBR 6118: O plano e ligação entre mea e alma ou talõe e alma e viga evem er verificao com relação ao efeito tangenciai ecorrente a variaçõe e tenõe normai ao longo o comprimento a viga, tanto ob o apecto e reitência o concreto, quanto a armaura neceária para reitir à traçõe ecorrente ee efeito. armaura e flexão a laje, exitente no plano e ligação, poem er conieraa parte a armaura e ligação, quano eviamente ancoraa, complementano-e a iferença entre amba, e neceário. eção tranveral mínima ea armaura, eteneno-e por toa a largura útil e aequaamente ancoraa, eve er e 1,5 cm por metro., como inicao na Figura 10. b f >1,5 cm /m h f h b w Figura 10 rmaura tranveral à alma em eçõe tranverai com mea.

14 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga Epaçamento Livre entre a Face a Barra Longituinai fim e garantir que o concreto penetre com faciliae entro a fôrma e envolva completamente a barra e aço a armaura, a NBR 6118 (18.3..) etabelece o eguinte epaçamento livre mínimo entre a face a barra longituinai (Figura 11) (NBR 6118, ): - na ireção horizontal (a h) a h,mín cm 1, máx,agr Eq na ireção vertical (a v) a v,mín cm 0,5 máx,agr Eq. 11 one: a h,mín = epaçamento livre horizontal mínimo entre a face e ua barra a mema camaa; a v,mín = epaçamento livre vertical mínimo entre a face e ua barra e camaa ajacente; máx,agr = imenão máxima caracterítica o agregao graúo utilizao no concreto; = iâmetro a barra, o feixe ou a luva. c Ø t Ø e v e h b w Figura 11 Epaçamento livre mínimo entre a face a barra e aço longituinai. 6. HIPÓTESES BÁSICS hipótee ecrita a eguir ão vália para elemento lineare ujeito a olicitaçõe normai no etao-limite último (ELU), que poibilitam etabelecer critério para a eterminação e eforço reitente e eçõe e elemento como viga, pilare e tirante, ubmetio à força normal e momento fletore (NBR 6118, item 17.). a) a eçõe tranverai permanecem plana apó a eformação (itribuição linear e eformaçõe na eção); b) a eformação em caa barra e aço é a mema o concreto no eu entorno. Ea proprieae ocorre ee que haja aerência entre o concreto e a barra e aço; c) no etao-limite último (ELU) epreza-e obrigatoriamente a reitência o concreto à tração; ) o ELU é caracterizao eguno o omínio e eformação;

15 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 1 e) o alongamento máximo permitio ao longo a armaura e tração é e 10, a fim e prevenir eformaçõe plática exceiva. tenão na armaura eve er obtia conforme o iagrama tenãoeformação e cálculo o aço (ver Figura 6); f) a itribuição e tenõe e compreão no concreto é feita e acoro com o iagrama tenãoeformação parábola-retângulo, com tenão máxima σ c e 0,85f c (Figura 1). Ee iagrama poe er ubtituío por um retangular, implificao, com profuniae y = x, one: y = 0,8x y = [0,8 (f ck 50)/400] x para o concreto o Grupo I (f ck 50 Pa); para o concreto o Grupo II (f ck > 50 Pa). Eq. 1 cu = 3,5 c c h LN x y = 0,8 x Figura 1 Diagrama x parábola-retângulo e retangular implificao para itribuição e tenõe e compreão no concreto, para concreto o Grupo I e reitência (f ck 50 Pa). tenão e compreão no concreto ( c) poe er tomaa como: f1) no cao a largura a eção, meia paralelamente à linha neutra, não iminuir a linha neutra em ireção à bora comprimia (Figura 13), a tenão é: c c 0,85f c 0,85f c ck 1 fck 50 / 000,85fc para o concreto o Grupo I (f ck 50 Pa); para o concreto o Grupo II (f ck > 50 Pa). Eq. 13 LN Figura 13 - Seçõe one a largura não iminui a linha neutra em ireção à bora comprimia. f) em cao contrário, ito é, quano a eção iminui (Figura 14), a tenão é: 0,9 0,85 para o concreto o Grupo I (f ck 50 Pa); c f c c fck 50 / 000,85fc 0,9 1 para o concreto o Grupo II (f ck > 50 Pa). Eq. 14

16 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 13 LN Figura 14 - Seçõe one a largura iminui a linha neutra em ireção à bora comprimia. 7. SEÇÃO RETNGULR CO RDUR SIPLES Embora a viga poam ter a eção tranveral com qualquer forma geométrica, na maioria o cao a prática a eção é a retangular. Define-e viga com armaura imple a eção que neceita apena e uma armaura longituinal reitente tracionaa. No entanto, por quetõe contrutiva ão colocaa barra longituinai também na região comprimia, para a amarração o etribo, não eno eta armaura conieraa no cálculo e flexão como armaura reitente, ou eja, na eção com armaura imple a tenõe e compreão ão reitia unicamente pelo concreto. No item 8 erá etuaa a eção com armaura upla, que é aquela que neceita também e uma armaura reitente comprimia, além a armaura tracionaa. Na equência erão euzia a equaçõe vália apena para a eção retangular. equaçõe para outra forma geométrica a eção tranveral poem er euzia e moo emelhante à eução eguinte. 7.1 Equaçõe e Equilíbrio formulação o eforço interno reitente a eção é feita com bae na equaçõe e equilíbrio a força normai e o momento fletore: ; N 0 0 Figura 15 motra a eção tranveral e uma viga ob flexão imple, e forma retangular e olicitaa por momento fletor poitivo, com largura b w e altura h, armaura e área c e concreto comprimio, elimitaa pela linha neutra (LN). linha neutra é emarcaa pela itância x, contaa a partir a fibra mai comprimia a eção tranveral. altura útil é, conieraa a fibra mai comprimia até o centro e graviae a armaura longituinal tracionaa. O iagrama e eformaçõe ao longo a altura a eção, com a eformaçõe notávei c (máxima eformação e encurtamento o concreto comprimio) e (eformação e alongamento na armaura tracionaa) e o iagrama retangular implificao e itribuição e tenõe e compreão, com altura y = 0,8x (Eq. 1), e a repectiva reultante e tenão (R cc e R t) etão também motrao na Figura 15. Oberve que a altura o iagrama (y = 0,8x) e a tenão e compreão no concreto (σ c) ão valore válio para o concreto o Grupo I e reitência (f ck 50 Pa). Para o concreto o Grupo II ee valore ão iferente. Figura 16 também é vália apena para o concreto o Grupo I. c c 0,85 f c ' c R cc x y = 0,8x R cc h R t LN - x R t Z cc b w Figura 15 Ditribuição e tenõe e eformaçõe em viga e eção retangular com armaura imple.

17 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 14 Para ilutrar melhor a forma e itribuição a tenõe e compreão na eção, a Figura 16 motra a eção tranveral em perpectiva, com o iagrama parábola-retângulo e retangular implificao, como apreentao no item 5. O equacionamento apreentao a eguir erá feito eguno o iagrama retangular implificao, que conuz a equaçõe mai imple e com reultao muito próximo àquele obtio com o iagrama parábola-retângulo. 0,85 f c 0,85 f c b w b w x x R LN LN cc 0,8x z R cc 0,4x R t Figura 16 Ditribuição e tenõe e compreão eguno o iagrama parábola-retângulo e retangular implificao. a) Equilíbrio e Força Normai Conierano que na flexão imple não ocorrem força normai olicitante, e que a força reultante a tenõe e compreão no concreto eve etar em equilíbrio com a força reultante a tenõe e tração na armaura, como inicaa na Figura 15, poe-e ecrever: R cc = R t Eq. 15 Tomano a Reitência o ateriai que σ = R/, a força reultante a tenõe e compreão no concreto, conierano o iagrama retangular implificao, poe er ecrita como: R t R cc = σ c c Conierano a área e concreto comprimio ( c) correponente ao iagrama retangular implificao com altura 0,8x fica: R cc = 0,85f c 0,8x b w R cc = 0,68b w x f c Eq. 16 e a força reultante a tenõe e tração na armaura tracionaa: R t = σ Eq. 17 com = tenão e cálculo na armaura tracionaa; = área e aço a armaura tracionaa. b) Equilíbrio e omento Fletore Conierano o equilíbrio e momento fletore na eção, o momento fletor olicitante eve er equilibrao por um momento fletor reitente, proporcionao pelo concreto comprimio e pela armaura tracionaa. umino valore e cálculo, por impliciae e notação ambo o momento fletore evem er iguai ao momento fletor e cálculo, tal que: olic = reit =

18 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 15 força reitente interna, proporcionaa pelo concreto comprimio e pela armaura tracionaa, formam um binário opoto ao momento fletor olicitante, poeno er ecrito: = R cc. z cc Eq. 18 = R t. z cc Eq. 19 one: R cc. z cc = momento interno reitente, proporcionao pelo concreto comprimio; R t. z cc = o momento interno reitente, proporcionao pela armaura tracionaa. Com z cc = 0,4x e aplicano a Eq. 16 na Eq. 18 fica: = 0,68b w x f c ( 0,4x) Eq. 0 one: b w = largura a eção; x = poição a linha neutra; f c = reitência e cálculo o concreto à compreão; = altura útil. é efinio como o momento interno reitente proporcionao pelo concreto comprimio. eve er conierao em valor aboluto na Eq. 0. Subtituino a Eq. 17 na Eq. 19 efine-e o momento interno reitente proporcionao pela armaura tracionaa: = σ ( 0,4x) Eq. 1 Iolano a área e armaura tracionaa: 0,4x Eq. Eq. 0 e Eq. proporcionam o imenionamento a eçõe retangulare com armaura imple. Nota-e que ão ete a variávei contia na ua equaçõe, o que leva, portanto, na neceiae e e aotarem valore para cinco a ete variávei. De moo geral, na prática fixam-e o materiai (concreto e aço) e a eção tranveral, e o momento fletor olicitante geralmente é conhecio, ficano como incógnita apena a poição a linha neutra (x) e a área e armaura ( ). Com a Eq. 0 etermina-e a poição x para a linha neutra, e comparano x com o valore x lim e x 3lim efine-e qual o omínio em que a viga e encontra (, 3 ou 4). No omínio ou 3 a tenão na armaura tracionaa ( ) é igual à máxima tenão poível, ito é, f y (ver iagrama na Figura 5 e Figura 6). Definio x e calcula-e a área e armaura tracionaa ( ) com a Eq.. Se reultar o omínio 4, alguma alteração eve er feita e moo a tornar x x 3lim, e reultar, como conequência, o omínio ou o 3. Conforme a Eq. 0 verifica-e que para iminuir x poe-e: - iminuir o valor o momento fletor olicitante ( ); - aumentar a largura ou a altura a viga (> ); - aumentar a reitência o concreto. Dea poibiliae, geralmente a olução mai viável e er implementaa na prática é o aumento a altura a viga (h), conierano empre ea poibiliae em função o projeto arquitetônico. Quano nenhuma alteração poe er aotaa, reta aina etuar a poibiliae e imenionar a eção com armaura upla, que etá apreentaa no item 8. Para complementar a análie o omínio a viga, eve também er analiaa a relação entre a poição a linha neutra e a altura útil (x/), para obeecer limite impoto pela norma. No item a NBR 6118 apreenta limite para reitribuição e momento fletore e coniçõe e uctiliae, afirmano que a capaciae e rotação o elemento etruturai é função a poição a linha neutra no ELU. Quanto menor for x/, tanto maior erá ea capaciae. E para proporcionar o aequao comportamento útil em viga e laje, a poição a linha neutra no ELU eve obeecer ao eguinte limite:

19 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 16 a) x/ 0,45 para concreto com f ck 50 Pa; b) x/ 0,35 para concreto com 50 < f ck 90 Pa. Eq. 3 Ee limite poem er alterao e forem utilizao etalhe epeciai e armaura, como, por exemplo, o que prouzem confinamento nea regiõe. verão anterior (003) a NBR 6118 preconizava que, cao a eção tranveral a viga foe e apoio ou e ligação com outro elemento etruturai, limite emelhante àquele a Eq. 3 everiam er atenio. Na verão e 014, embora e maneira não explícita, foi introuzia uma alteração, que o limite a Eq. 3 paar a erem válio também para a eçõe com momento fletore poitivo, como aquele, por exemplo, e viga biapoiaa, além a eçõe e apoio com momento fletor negativo, memo que não tenha io feita uma reitribuição o momento fletore. c) Permanência a Seção Plana Do iagrama e eformaçõe motrao na Figura 15 efine-e a relação entre a eformaçõe e cálculo na armaura ( ) e no concreto correponente à fibra mai comprimia: c x x Eq. 4 Conierano-e a variável x, que relaciona a poição a linha neutra com a altura útil, tem-e: x x Subtituino x por x. na Eq. 4 fica: Eq. 5 x c c Eq Cálculo eiante Equaçõe com Coeficiente K Com o intuito e facilitar o cálculo manual, há muito ano vem e eninano no Brail o imenionamento e viga com a utilização e tabela com coeficiente K. Para iferente poiçõe a linha neutra, exprea pela relação x = x/, ão tabelao coeficiente K c e K, relativo à reitência o concreto e à tenão na armaura tracionaa. O coeficiente K c e K encontram-e apreentao na Tabela -1 e na Tabela -, contante o nexo no final eta apotila. Tabela -1 é para apena o aço C-50 e a Tabela - é para too o tipo e aço aplicao no Concreto rmao. Coniere que a tabela citaa ão vália apena para o concreto o Grupo I (f ck 50 Pa). Conierano a Eq. 0 ( = 0,68b w x f c ( 0,4x)), ubtituino x por x. encontra-e: = 0,68b w β x f c ( 0,4β x ) = 0,68b w β x f c (1 0,4β x) Introuzino o coeficiente K c : c bw, com: K 1 K c x c x 0,68 f 1 0,4 Eq. 7

20 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 17 Iolano o coeficiente K c tem-e: bw Kc Eq. 8 O coeficiente K c etá apreentao na Tabela -1 e Tabela -. Oberve na Eq. que K c epene a reitência o concreto à compreão (f c) e a poição a linha neutra, exprea pela variável x. O coeficiente tabelao K é efinio ubtituino-e x por x. na Eq. : com: K 0,4x 1 1 0,4 x 1 0,4 x Eq. 9 a área e armaura tracionaa, em função o coeficiente K é: K Eq. 30 O coeficiente K etá apreentao na Tabela -1 e na Tabela -. Oberve que K epene a tenão na armaura tracionaa ( ) e a poição a linha neutra, exprea por x. É muito importante obervar que o coeficiente K foram calculao conierano a uniae e kn e cm, e moo que a variávei motraa na Eq. 8 e na Eq. 30 (b w,, ) evem ter ea uniae. 7.3 Exemplo Numérico viga têm baicamente oi tipo e problema para erem reolvio: e imenionamento e e verificação. O trê primeiro exemplo apreentao ão e imenionamento e o oi último ão e verificação. O imenionamento conite em e eterminar qual a armaura neceária para uma viga, eno previamente conhecio: o materiai, a eção tranveral e o momento fletor olicitante. Ee tipo e cálculo normalmente é feito urante a fae e projeto a etrutura, para a ua futura contrução. No problema e verificação a incógnita principal é o máximo momento fletor que a eção poe reitir. Problema e verificação normalmente ocorrem quano a viga pertence a uma contrução já executaa e em utilização, e e eeja conhecer a capaciae e carga e uma viga. Para io é neceário conhecer o materiai que compõem a viga, como a clae o concreto (f ck), o tipo e aço, a quantiae e armaura e o eu poicionamento na eção tranveral, a imenõe a eção tranveral, etc. Na grane maioria o cao a prática o problema ão e imenionamento, e eporaicamente ocorrem o problema e verificação e, por ete motivo, erá aa maior ênfae ao problema e imenionamento. pó o etuo o exemplo eguinte o etuante eve fazer o exercício propoto no item 10. 1º) Para a viga inicaa na Figura 17, calcular a área e armaura longituinal e flexão e a eformaçõe na fibra e concreto mai comprimia e na armaura e flexão tracionaa. São conhecio: k,máx = kn.cm h = 50 cm c = f = 1,4 ; = 1,15 b w = 0 cm concreto C0 (f ck = 0 Pa, Grupo I) = 47 cm (altura útil) aço C-50 c =,0 cm (cobrimento nominal) t = 5 mm (iâmetro o etribo) concreto com brita 1 (máx = 19 mm), em brita

21 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 18 h = 50 cm ef k,máx b w 0 cm Figura 17 - Viga biapoiaa. RESOLUÇÃO O problema é e imenionamento, aquele que mai ocorre no ia a ia o engenheiro etrutural. incógnita principal é a área e armaura tracionaa ( ), além a poição a linha neutra, aa pela variável x, que eve er eterminaa primeiramente. reolução erá feita eguno a equaçõe teórica euzia o equilíbrio a eção (Eq. 0 e Eq. ), e também com aplicação a equaçõe com coeficiente K tabelao. O momento fletor e cálculo é:. f k 1, kn.cm eno f o coeficiente e poneração que majora o eforço olicitante. O valor x lim elimita o omínio e 3, e para o concreto o Grupo I e reitência (f ck 50 Pa) é fixo e igual a 0,6: x lim 0,6 0, , cm O valor x 3lim elimita o omínio 3 e 4, e para o concreto o Grupo I e aço C-50, x 3lim é igual a 0,63 (ver Tabela 1): x 3lim = 0,63 = 0, = 9,6 cm a) Reolução com Equaçõe Teórica Com a Eq. 0 etermina-e a poição (x) a linha neutra para a eção: x 0,68b w x f c 0,4x 117,5 x 1801,8 0,0 1, ,68. 0 x 47 0,4x x x 1 99,4 cm 18,1 cm primeira raiz não interea, poi 99,4 cm > h = 50 cm. Portanto, x = 18,1 cm, como motrao na Figura 18. Como o momento fletor olicitante tem inal poitivo, a poição a linha neutra eve er meia a partir a bora uperior comprimia. Oberve que a uniae aotaa para a variávei a Eq. 0 foram o kn e o cm. Se outra uniae iferente forem aotaa eve-e tomar o cuiao e mantê-la em toa a variávei. É importante obervar que o momento fletor eve er colocao na equação com o eu valor aboluto. O momento fletor poitivo traciona a parte inferior a viga, e para reitir a ele é colocaa uma armaura longituinal chamaa armaura poitiva. No cao e momento fletor negativo é colocaa a armaura negativa, próxima à bora uperior a viga.

22 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 19 Comparano a poição a linha neutra (x) com o limite x lim e x 3lim etermina-e o omínio em que a viga e encontra: x 1, cm x 18,1 cm x lim 3lim 9,6 cm Como a linha neutra etá no intervalo entre x lim e x 3lim, conforme a Figura 18, verifica-e que a viga etá no omínio 3. Conforme o limite etabelecio na Eq. 3, conierano o concreto C0 (f ck = 0 Pa), tem-e: x 18,1 0,39 0,45 47 ok! como o limite foi atenio, nenhuma alteração é neceária e a viga poe ter a armaura eterminaa. No omínio 3 a eformação na armaura varia e y (início e ecoamento o aço) a 10 (ver Figura 5). Conforme o iagrama x o aço (Figura 6), a tenão neta faixa e eformação é = f y = f yk/ (para o aço C-50, f yk = 50 kn/cm = 500 Pa). área e armaura é calculaa pela Eq. : 0,4x 50 1, , ,4. 18,1 x = 1, lim cm LN x = 18,1 x = 9,6 3lim Figura 18 - Poição a linha neutra na eção tranveral e limite entre o omínio, 3 e 4. b) Reolução com Equaçõe com Coeficiente K Na equaçõe o tipo K evem er obrigatoriamente conieraa a uniae e kn e cm para a variávei. Primeiramente eve-e eterminar o coeficiente K c (Eq. 8): bw Kc 0 47 = 3, com K c = 3,, concreto C0 e aço C-50, na Tabela -1 eterminam-e o coeficiente x = 0,38, K = 0,07 e omínio 3. poição a linha neutra fica eterminaa pela Eq. 5: x x x = x. = 0, = 17,9 cm Como x = x/ = 0,38 é menor que o valor limite e 0,45, para concreto C0 e conforme a Eq. 3, nenhuma alteração é neceária e a armaura poe er calculaa, com a Eq. 30:

23 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 0 K = ,07 8,04 47 cm Comparano o reultao obtio eguno a ua formulaçõe verifica-e que o valore ão muito próximo. c) Detalhamento a armaura na eção tranveral Inicialmente eve-e comparar a armaura calculaa ( = 8,10 cm ) com a armaura mínima longituinal precrita pela NBR Conforme a Tabela, para concreto C0 e eção retangular, a armaura mínima e flexão é:,mín = 0,15 % b w h = 0, = 1,50 cm Verifica-e que a armaura calculaa e 8,10 cm é maior que a armaura mínima. Quano a armaura calculaa for menor que a armaura mínima, eve er ipota a área a armaura mínima na eção tranveral a viga. ecolha o iâmetro ou o iâmetro e o número e barra para atener à área e armaura calculaa amite ivera poibiliae. Um ou mai iâmetro poem er ecolhio, preferencialmente iâmetro próximo entre i. área e aço ecolhia eve atener à área e armaura calculaa, preferencialmente com uma pequena folga, ma eguno ugetão o autor amite-e uma área até 5 % inferior à calculaa. O número e barra eve er aquele que não reulte numa fiuração ignificativa na viga e nem ificulae aicionai urante a confecção a armaura. fiuração é iminuía quanto mai barra e menor iâmetro ão utilizaa. Porém, eve-e cuiar para não ocorrer exagero e aumentar o trabalho e montagem a armaura. Para a área e armaura calculaa nete exemplo, e 8,10 cm, com auxílio a Tabela -3 e Tabela -4, poem er enumeraa a eguinte combinaçõe: mm 8,00 cm ; mm 8,00 cm ; - 7 1,5 mm 8,75 cm ; mm 8,00 cm ; mm + 1,5 mm 8,50 cm ; mm 9,45 cm ; - 0 mm mm 8,30 cm ; - 0 mm + 1,5 mm 8,80 cm. Outra combinaçõe e número e barra e e iâmetro poem er enumeraa. ecolha e uma a combinaçõe litaa eve levar em conta o fatore: fiuração, faciliae e execução, porte a obra, número e camaa e barra, exequibiliae (largura a viga principalmente), entre outro. Detalhamento com uma única camaa reultam eçõe mai reitente que eçõe com ua ou mai camaa e barra, poi quanto mai próximo etiver o centro e graviae a armaura à bora tracionaa, maior erá a reitência a eção. Define-e como camaa a barra que etão numa mema linha paralela à linha e bora inferior ou uperior a eção. O menor número poível e camaa eve er um o objetivo o etalhamento. Da combinaçõe litaa, 16 8 e evem er ecartaa porque o número e barra é exceivo, o que aumentaria o trabalho o armaor (operário reponável pela confecção a armaura na contruçõe). Por outro lao, a trê última combinaçõe, com o iâmetro e 0 mm, têm um número pequeno e barra, não eno o ieal para a fiuração, além o fato a barra e 0 mm repreentar maiore ificulae no eu manueio, confecção e gancho, etc. Entre toa a combinaçõe, a melhore alternativa ão 7 1,5 e 4 16 mm, eno eta última pior para a fiuração, ma que certamente ficará entro e valore máximo recomenao pela NBR O etuo a fiuração na viga erá apreentao em outra iciplina.

24 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 1 Na ecolha entre 7 1,5 e 4 16 mm eve-e também atentar para o porte a obra. Contruçõe e pequeno porte evem ter epecificao iâmetro preferencialmente até 1,5 mm, poi a maioria ela não têm máquina elétrica e corte e barra, one ão cortaa com erra ou guilhotina manuai, com capaciae e corte e barra até 1,5 mm. Guilhotina maiore ão praticamente inexitente na obra e pequeno porte. lém io, a armaura ão feita por pereiro e ajuante e não armaore profiionai. Não há também bancaa e trabalho aequaa para o obramento a barra. De moo que recomenamo iâmetro e até 1,5 mm para a obra e pequeno porte, e acima e 1,5 mm apena para a obra e maior porte, com trabalho e armaore profiionai. Como o momento fletor olicitante tem inal poitivo, é extremamente importante que a armaura calculaa eja ipota na poição correta a viga, ito é, na proximiae a bora ob tenõe e tração, que no cao em quetão é a bora inferior. Um erro e poicionamento a armaura, como a barra erem colocaa na bora uperior, poe reultar no ério comprometimento a viga em erviço, poeno-a levar incluive ao colapo imeiatamente à retiraa o ecoramento. ipoição a barra entre o ramo verticai o etribo eve proporcionar uma itância livre entre a barra uficiente para a paagem o concreto, a fim e evitar o urgimento e nicho e concretagem, chamao na prática e bicheira. Para io, conforme apreentao na Eq. 10, o epaçamento livre horizontal mínimo entre a barra é ao por: a h,mín cm 1, máx,agr Quano a barra e uma mema camaa têm iâmetro iferente, a verificação o epaçamento livre mínimo (a h,mín) entre a barra eve er feita aplicano-e a Eq. 10 acima. Por outro lao, quano a barra a camaa têm o memo iâmetro, a verificação poe er feita com auxílio a Tabela -4, que motra a Largura b w mínima para um ao cobrimento nominal (c). Determina-e a largura mínima na interecção entre a coluna e a linha a tabela, correponente ao número e barra a camaa e o iâmetro a barra, repectivamente. O valor para a largura e b w mínimo epene o iâmetro máximo a brita e maior imenão utilizaa no concreto. Figura 19 motra o etalhamento a armaura na eção tranveral a viga, one foi aotaa a combinação 4 16 mm (a combinação 7 1,5 mm eve er feita como ativiae o aluno). Para 4 16 mm, na Tabela -4 encontra-e a largura mínima e 19 cm para concreto com brita 1 e cobrimento e,0 cm. Como a largura a viga é 0 cm, maior que a largura mínima, é poível alojar a quatro barra numa única camaa, ateneno ao epaçamento livre mínimo. lém a armaura tracionaa evem er ipota também no mínimo ua barra na bora uperior a eção, barra contrutiva chamaa porta-etribo, que ervem para a amarração o etribo a viga. rmaura contrutiva ão muito comun no elemento etruturai e concreto armao, auxiliam na confecção e montagem a armaura e colaboram com a reitência a peça, embora não ejam levaa em conta no cálculo. itância a cg, meia entre o centro e graviae a armaura tracionaa e a fibra mai tracionaa a eção tranveral, nete cao é aa pela oma o cobrimento, o iâmetro o etribo e metae o iâmetro a armaura: a cg =,0 + 0,5 + 1,6/ = 3,3 cm altura útil, efinia como a itância entre o centro e graviae a armaura tracionaa à fibra mai comprimia a eção tranveral, conforme o etalhamento a Figura 19 é: = h a cg = 50 3,3 = 46,7 cm O valor inicialmente aotao para a altura útil foi 47 cm. Exite, portanto, uma pequena iferença e 0,3 cm entre o valor inicialmente aotao e o valor real calculao em função o etalhamento ecolhio. Pequena iferença, e até 1 cm ou cm poem, e moo geral, erem econieraa em

25 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga viga e imenõe corrente, não haveno a neceiae e e recalcular a armaura, poi a iferença e armaura geralmente é pequena. Embora a norma inique a armaura e pele para viga com h > 60 cm (ver Eq. 9), recomenamo a ua aplicação quano h 50 cm, para evitar o aparecimento e fiura por retração, com área igual àquela inicaa na antiga NB 1 e 1978: p,face = 0,05% b w. h p,face = 0,05% = 0,5 cm (3 5 mm 0,60 cm em caa face vertical) armaura contrutiva 50 armaura e pele (6Ø 5) 4Ø16 (8,00 cm²) a cg 0 Figura 19 Detalhamento a armaura longituinal na eção tranveral. ) Deformaçõe na fibra mai comprimia (concreto) e na armaura tracionaa No omínio 3 a eformação e encurtamento na fibra e concreto mai comprimia é fixa e igual a 3,5 para o concreto o Grupo I. eformação na armaura varia e y (,07 para o aço C- 50) a 10, poeno er calculaa pela Eq. 4. Conierano = 46,7 cm conforme eterminao no etalhamento motrao na Figura 19: c x x 3,5 18,1 46,7 18,1 = 5,5 Figura 0 ilutra a eformaçõe no materiai e o omínio e 3 e eformação. 0 cu 3,5 LN x lim x = 18,1 cm 3 x 3lim ,5 =,07 y Figura 0 Diagrama e omínio (para concreto o Grupo I) e eformaçõe no concreto comprimio e na armaura tracionaa. 0

26 117 - Etrutura e Concreto I Flexão Normal Simple - Viga 3 º) Calcular a altura útil () e a armaura longituinal e flexão ( ), para o máximo momento fletor poitivo a viga e eção retangular, motraa na Figura 1. Dao: concreto C5 t = 5 mm (iâmetro o etribo) aço C-50 c =,5 cm b w = 0 cm concreto com brita 1 k,máx = kn.cm c = f = 1,4 ; = 1,15 k,máx = kn.cm RESOLUÇÃO Figura 1 Equema etático e iagrama e momento fletore. Como a altura a viga não etá fixaa, ao que a altura útil é uma incógnita, o problema amite infinita oluçõe, tanto no omínio como no omínio 3, ee que no omínio 3 ejam obeecio o limite etabelecio na Eq. 3. No omínio 4 não e amite o imenionamento, memo porque o limite a Eq. 3 eriam ultrapaao. O problema é reolvio fixano-e a poição a linha neutra, ito é, aotano-e um valor para x, e para caa x aotao reulta um par /. Conierano o concreto C5 e a Eq. 3, a poição a linha neutra poe variar e zero até o limite x = x/ = 0,45 (omínio 3). Com o objetivo e motrar ua oluçõe entre a infinita exitente, o exemplo erá reolvio com a poição a linha neutra fixaa em ua iferente poiçõe: no limite entre o omínio e 3 (x = x lim) e no valor máximo x/ = 0,45 ver Figura 5. mba a oluçõe viam imenionar a viga com armaura imple, poi outra oluçõe poívei com armaura upla não erão apreentaa nete exemplo. reolução o exercício erá feita eguno a equaçõe o tipo K, ficano a reolução pela equaçõe teórica como tarefa para o etuante. O cálculo pela equaçõe teórica (Eq. 0 e Eq. ) faz-e arbitrano valore para x na Eq. 0, one e obtém um valor correponente para. área e armaura é calculaa então com a Eq., teno toa a ua variávei conhecia. O momento fletor e cálculo é: = f. k = 1, = kn.cm a) Linha neutra paano por x lim Com a linha neutra em x lim implica que x = xlim = 0,6 (para o concreto o Grupo I e reitência), e na Tabela -1 para concreto C5 e aço C-50 encontram-e: Kc 3,5 K 0,06 Com a Eq. 8 calcula-e a altura útil : bw Kc 3, Kc 55,5 cm b 0 w