Noções de dimensionamento das lajes de concreto

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1 Noçõe e imenionamento a laje e onreto Metoologia báia para o imenionamento impliiao Eng. Wagner Queiroz Silva, D.S. UFAM Comportamento meânio a laje A laje trabalham unamentalmente à lexão Ação e momento letore (tenõe normai e ompreão e e tração) Poem er armaa em 1 ou em ireçõe, a epener a imenõe Dierente moelo para análie etrutural Conheio o eorço atuante (momento letore), parte-e para o imenionamento einição a altura h e a armaura neeária M Momento letor (valor e projeto) h: epeura inal A: quantiae e barra e aço e epaçamento entre a barra 1

2 Exemplo e laje armaa em ruz Armaura poitiva prinipai em ireçõe perpeniulare: 1. Armaura para o momento poitivo Mx. Armaura para o momento poitivo My Exemplo e laje armaa em ruz Armaura poitiva prinipai em ireçõe perpeniulare: 1. Armaura para o momento poitivo Mx. Armaura para o momento poitivo My 3. Armaura para o momento negativo Xx (e houver) 4. Armaura para o momento negativo Xy (e houver)

3 Em relação ao engatamento... Laje ão geralmente engataa em outra laje vizinha Conição: eve haver ontinuiae que permita a armaura negativa er ontínua, ito é, ela eve tranpaar treho a ua laje anorano uma na outra O engatamento e laje em viga otumam não er uma olução aequaa Coniera-e apena em ao e torção e equilíbrio (realmente neeário) Haveno ea neeiae, eve-er imenionar a viga também à torção Laje - Peça ubmetia a lexão Treho e laje: Faixa unitária (1,0 metro) h Seção aotaa para imenionamento: A : Armaura traionaa mai próxima a uperíie inerior a laje (armaura poitiva) h Objetivo Área e aço (A )/m b w 100 m e h 3

4 Peça ubmetia a lexão Seção no engate: A : Armaura traionaa mai próxima a uperíie uperior a laje (armaura negativa) h b w 100 m 4

5 Dimenionamento no Etáio 3 Proprieae o Conreto σ σ 0,85 k 0,85 ε k γ γ 1,40 Pro. Wagner Queiroz Silva 3,5 σ yk y Dimenionamento no Etáio 3 Proprieae o Aço para armaura Limite máximo e eormação a armaura traionaa 1% σ Eε ε y E y α ε ε y 10 E 10 GPa y γ yk γ 1,15 Tipo e aço para armaura Pro. Wagner Queiroz Silva yk [MPa] y [MPa] ε y [%] CA ,104% CA ,07% CA ,48% 5

6 Compatibiliae e eormaçõe ε M A x linha neutra -x ε ε + ε M Momento letor (valor e projeto) Por emelhança e triângulo: Oberve que, para aumentar x poemo: 1. Aumentar o valor eε. Diminuir o valor eε x ε ε ε ( + ) Pro. Wagner Queiroz Silva Equação e ompatibiliae x ε ε ε x ( + ) β ( ε + ε ) ε ( ε + ε ) ε x eine a poição a L.N. One a tenõe ão nula Aotano a relação x/ é poível generalizar a equaçõe Chamano então Pro. Wagner Queiroz Silva x β A variável β epene, portanto, a proporção entre a eormação o onreto omprimio e o aço traionao... Oberva-e que, quanto maior or a eormação o aço (ε ) menor erá o valor e x Io igniia que, quanto mai eixamo o aço e eormar, a zona e onreto omprimio e reuz, ou eja, iminui a partiipação o onreto omprimio e aumenta a partiipação o aço traionao na reitênia a eção! 6

7 Análie a eormaçõe Boro e onreto omprimio no limite ε 0,35% Conreto na iminênia a ruptura à ompreão Boro e aço traionao já eoano ε ε y O aço já etá na ua apaiae máxima β ( ε + ε ) ε Amitino-e o valore limite e 0,35% e enurtamento para o onreto e 1% e alongamento para o aço, teremo, por exemplo: 0,35 0,35 β 0,59 0,35 1,0 1,35 ( + ) Pro. Wagner Queiroz Silva Equaçõe e equilíbrio a eção Fazeno um orte itíio na eção a peça Tenõe e ompreão no onreto σ Atuano na área omprimia e onreto -A Tenõe e tração no aço σ t Atuano na área traionaa e aço - A e toa a eçõe e barra traionaa) σ σ t Pro. Wagner Queiroz Silva 7

8 Equação e equilíbrio e momento Conierano o iagrama e tenõe impliiao R Força reultante a tenõe e ompreão R t Força reultante a tenõe e tração R σ A M M 0 M R z R z t x? linha neutra Pro. Wagner Queiroz Silva z? A -x R σ A t t O problema paa a er a einição o braço e alavana z, que epene a parela e reitênia que vai er aborvia pelo onreto e pelo aço Amite-e: z ( 0, 4 x) Importante: z epene e e e x Equação e equilíbrio e momento 1 M 0 M R z R z t ( 0,85 )( 0,8 ) R σ A b x w ( 0,85 )( 0,8 ) ( 0,4 ) M bw x x Subtituino x β Área omprimia a eção σ 0,85 0,85 k γ ( β ) ( β ) M 0,85 bw 0,8 0,4 M 0,68 b β 1 0,4 w ( β) x x β β Pro. Wagner Queiroz Silva 8

9 Equação e equilíbrio e momento Objetivo alular área e aço neeária M 0 M R z R z y t ( 0,4 ) M A x y ( 0,4β ) M A R σ A A t t t y σ Área e aço traionaa na eção y γ yk A M x y ( 0,4 ) x β β 0,450 ( limite normativo para utiliae ) Pro. Wagner Queiroz Silva Equaçõe e equilíbrio e momento M 0,68 bwβ 1 0,4β M A y ( 1 0,4β ) M : Momento letor e projeto O momento letor é alulao na análie a etrutura Laje armaa em uma ireção álulo om moelo e viga equivalente Laje armaa em ruz Tabela impliiaa (Ex. Tabela e Maru) O momento alulao evem er majorao pelo() oeiiente() e egurança e aoro om o tipo e ação que o auou, viano garantir aim a egurança o valor a ação β: graneza que epene a poição a linha neutra (x) Ete valor everá eguir a reomenaçõe para otimizar tanto a egurança quano a eonomia (bom aproveitamento o material) A norma NBR 6118 etabelee limitação para garantir utiliae ( ) 9

10 Equaçõe e equilíbrio e momento M 0,68 b β 1 0,4β w ( ) ( 1 0,4β ) A variávei retante ão mai ailmente ontrolaa: : altura útil a eção tranveral: Poe er pré-imenionaa : Reitênia o onreto: Calulaa a partir a reitênia araterítia minoraa pelo oeiiente e egurança γ 1,40 Depene o tipo e onreto eolhio para a obra y : Reitênia o aço: Calulaa a partir a reitênia araterítia minoraa pelo oeiiente e egurança γ 1,15 Depene o tipo e aço eolhio para a armaura A y M Obervação: b w é a imenão e bae a eção tranveral No ao a laje, aotaremo b w 1,0 m 100 m Filooia para o aprenizao e imenionamento Interea ao arquiteto, prinipalmente: 1. Buar a melhore oluçõe para a obra e/ou empreenimento Só poerá azê-lo e tiver noção o que o itema preiam Exemplo: omo aber e a minha etrutura é viável para um eterminao vão.... Conheer a retriçõe e a poibiliae que aa itema etrutural e aa material oeree Exemplo: Até que ponto o onreto armao poe unionar bem 3. Ter ieia a imenõe e o quantitativo e aa uma a parte que ontitui a etrutura a ua obra Parte e imenõe a etrutura poem intererir iretamente na unionaliae e na etétia e ua arquitetura (Ex.: intererir no pé-ireito) O onumo e materiai eve balizar a eolha no projeto Saber etuar qual itema etrutural teria melhor eempenho om menor uto Impae entre arquitetura e etrutura perturbam tanto o arquiteto quanto o engenheiro! 10

11 Dimenionamento impliiao Conieraremo para o imenionamento impliiao ituaçõe 1. Situação ieal quanto a reitênia o materiai (omínio e eormação). Situação limitaa pela norma braileira NBR 6118 Item nº a norma garantir a utiliae aequaa à etrutura β 0,450 ( limite normativo para utiliae ) A y φ * h h 3, 0 m x β aotao M x ( ) aot. 0,4 aotao M b re.,5 lim,0 w M b w *Conierano,5 m e ϕ 1,0 m Metoologia: 10 pao para o imenionamento impliiao a laje 1. Deinir geometria, vão e tipo e uo (arquitetura). Pré-imenionar altura útil etimao e einir um aotao 3. Epeiiar o tipo e onreto ( k ) e e aço ( yk ) 4. Calular laje: arregamento, reaçõe e apoio e eorço 5. Veriiar limite a altura útil ( re. e lim ) Se a altura útil aotaa não atener, eve-e alterar aotao 6. Calular a área e aço (A ) neeária para aixa unitária 7. Deinir o iâmetro e barra e aço para armaura (ϕ) 8. Calular o epaçamento entre a barra () 9. Calular a quantiae e barra totai para a largura a laje 10. Veriiar a quantiae e o epaçamento limite e norma Se a quantiae or exeiva, alterar o iâmetro a armaura Se não or poível enontrar olução om o iâmetro eterminao, eve-e alterar aotao 11

12 Laje - Peça ubmetia a lexão Seção aotaa para imenionamento (impliiação): e h h b w 100 m Problema real a er reolvio: Faixa unitária (1,0 metro) h Objetivo A/m A n A φ A n A φ A Aφ Sobre a eolha a armaura φ n π φ φ π h 100 m n { } b w 100 m e h 100 m φ π A Em m² Bitola (iâmetro) iponívei no merao para armaura e onreto armao: 6 5. mm Em m 1

13 4,0 m 5,0 m Exemplo 1 Dimenionar a laje e onreto armao iolaa a igura ao lao Sabe-e que a mema eve uportar um arregamento itribuío q 10 kn/m² Carga alulaa previamente om bae no materiai, peo e tipo e uo a etrutura Aotar: Conreto Clae e Reitênia C5 Aço e Clae CA-50 Epeura h 10 m pré-imenionao anteriormente 1º) Análie a etrutura Momento letore e projeto Relação entre o vão maior e o vão menor: Ly 5 λ 1,5 ( < ) Lx 4 Seno λ <, trata-e e uma laje armaa em ruz (ua ireçõe prinipai) Tabela e Maru (Cao 1: laje om 4 boro implemente apoiao) Solução o Exemplo 1 Momento letore atuante: Na ireção e L x 4,0 m L x 4,0 m L y 5,0 m M x M x ,8 kn.m 18,14 Na ireção e L y 5,0 m M y ,65 kn.m 8,34 M y 13

14 Solução o Exemplo 1 Valore e projeto (ou e álulo): Apliar o oeiiente e egurança que majora a açõe Mx Mx γ 8,8 1, 4 1,35 kn.m My My γ 5,65 1,4 7,91 kn.m M máx M 1,35 kn.m x * h 3, 0 m * 10 3, 0 m 7 m *Conierano,5 m e ϕ 1,0 m M b re.,5 lim,0 w M b w Solução o Exemplo 1 Proprieae o materiai Calulaa apó a einição e quai materiai erão empregao na obra (einição e projeto etrutural) Conreto: C5 k 5 MPa k 5 17,86 MPa γ 1,40 γ 1,40 (norma NBR6118) Aço: CA-50 yk 500 MPa γ 1,15 (norma NBR6118) y yk ,78 MPa γ 1,15 14

15 Solução o Exemplo 1 Veriiação a poição a linha neutra Conição para garantir o aequao omportamento o onreto armao (materiai bem aproveitao e om utiliae) re. lim M 1,35,5,5 0,0657 m 6,57 m b 17, ,0 w ( ) M 1,35,0,0 0,056 m 5,6 m b 17, ,0 w ( ) 7 m Nee ao (em que oi aotao epeura h tal que 7,0 m), oberva-e que a altura útil é maior o que a altura útil mínima ( lim ) a norma. Oberva-e aina que a altura útil aotaa etá próxima o valor e reerênia Solução o Exemplo 1 Para a ireção L x 4,0 m: M x 1,35 kn.m x β aotao 0,59 7,0 1,81 m M 1, A 4,53 m ( aot. 0,4 ) 434,78 y x ( 7 0,4 1,81 ) 10 Vamo aotar, a prinípio, barra e ϕ 10 mm e iâmetro ( 1,0 m) β onierao A φ φ 1,0 π 3,14 0,79 m 100 m 100 A φ 0,79 17,44 m A 4,53 Será aotaa a eguinte armaura para o momento poitivo na ireção e L x 4,0m: ϕ 10 mm a aa 17 m 15

16 Solução o Exemplo 1 Para a ireção L y 5,0 m: M y 7,91 kn.m β onierao x β aotao 0,59 7,0 1,81 m M 7, A,90 m ( aot. 0,4 ) 434,78 y x ( 7 0,4 1,81 ) 10 A φ φ 1,0 π 3,14 0,79 m 100 m 100 A φ 0,79 7,4 m A,90 Será aotaa a eguinte armaura para o momento poitivo na ireção e L y 5,0m: ϕ 10 mm a aa 0 m Limitação normativa (em armaura prinipai 0 m) L x 4,0 m Exemplo 1 - Análie o reultao L y 5,0 m ϕ 10 mm a aa 17 m Dipota na ireção e L x (4,0 m) teremo: Barra e ϕ10 mm a aa 17 m itribuía ao longo e 500 m (upono ota entre eixo) Ea barra auxiliam o onreto na reitênia ao momento poitivo M x 1,35 kn.m Dipota na ireção e L y (5,0 m) teremo: Barra e ϕ10 mm a aa 0 m itribuía ao longo e 400 m (upono ota entre eixo) Eta outra barra auxiliam na reitênia ao momento poitivo M y 7,91 kn.m L x 4,0 m ϕ 10 mm a aa 0 m M y 7,91 kn.m M x 1,35 kn.m 16

17 L x 4,0 m Exemplo 1 - Análie o reultao L y 5,0 m ϕ 10 mm a aa 0 m ϕ 10 mm a aa 17 m A laje poui epeura total e 10 m Ea epeura om obrimento aequao garante a altura útil neeária para que a laje unione aequaamente Com ea inormaçõe é poível Determinar o volume total e onreto em m³ para a laje Calular o onumo e onreto em m³/m² Determinar o omprimento total em m e barra e aço e 10 mm e iâmetro para a armaura Determinar o peo total e aço Calular o onumo e aço em kg/m² Deinio itema etrutural e a veriiaa a viabiliae eta imenõe, poe-e proeer o etalhamento a armaura (próxima aula) Nee ao, toa a armaura erão ipota na parte mai inerior a laje (Momento poitivo tração oorre na ibra mai ineriore) Exemplo Dimenionar uma marquie e onreto armao om balanço e 1,50 m e omprimento e 10 m Sabe-e que a mema eve uportar um arregamento itribuío q 6 kn/m² Aotar: Conreto C5 Barra e ϕ8.0 mm e aço CA-50 h 10 m pré-imenionao anteriormente 1º) Análie a etrutura Momento letore e projeto Relação vão maior x vão menor: Ly 10 λ 6,67 > Lx 1,5 Seno λ >, trata-e e uma laje armaa em uma únia ireção Moelo e viga equivalente Nee ao, uma viga em balanço (balanço e 1,50 m) ( ) 17

18 1,5 m 1,0 m L 1,5 m M E 0 Solução o Exemplo 10 m q' M L R M 0 E No moelo e viga equivalente (aixa unitária) a arga q erá o valor a arga total por m² em uma aixa unitária e 1,0 m: Aim, o momento letor máximo erá o momento negativo no engate (reação) Para o álulo a reaçõe e apoio, é poível utilizar a Reultante o arregamento R q.l V L q ' 6 1,0 6 kn/m R q' L 6 1,5 9 kn q' L 1,5 M R 9 6,75 kn.m M M γ 6,75 1,4 9,45 kn.m Solução o Exemplo Proprieae o materiai Conreto: C5 k 5 MPa Aço: CA-50 yk 500 MPa * 10 3, 0 m 7 m lim y ( ) k 5 17,86 MPa γ 1,40 yk ,78 MPa γ 1,15 M 9,45,0,0 0,046 m 4,60 m b 17, ,0 w *Conierano,5 m e ϕ 1,0 m re. M 9,45,5,5 0,0575 m 5,75 m b 17, ,0 w ( ) 18

19 β onierao Solução o Exemplo x β aotao 0,59 7,0 1,81 m M 9, A 3,46 m ( aot. 0,4 ) 434,78 y x ( 7 0,4 1,81 ) 10 A φ φ 0,8 π 3,14 0,50 m 100 m 100 A φ 0,50 14,4 m A 3,45 Será aotaa a eguinte armaura para o momento negativo no engate a marquie: ϕ 8 mm a aa 14 m Exemplo Análie o reultao... Ou (opção om engatamento em viga) 19

20 Exeríio propoto Fazer o imenionamento a laje L03, o Exemplo 3 a Aula 06 (Cálulo a laje) Aotar onreto Clae C0 e aço CA-50 k 0 Mpa yk 500 MPa 0